显示找到的64个结果中的1-10个。
与右侧立柱o.g.f.s.相关的三角形A130534型（E（x，m=1，n））。
+20
16
1, 1, 0, 2, 1, 0, 6, 8, 1, 0, 24, 58, 22, 1, 0, 120, 444, 328, 52, 1, 0, 720, 3708, 4400, 1452, 114, 1, 0, 5040, 33984, 58140, 32120, 5610, 240, 1, 0, 40320, 341136, 785304, 644020, 195800, 19950, 494, 1, 0, 362880, 3733920, 11026296, 12440064, 5765500, 1062500
评论
如果假设三角形不是基于（1,1）而是基于（0,0），则T（n，k）=E2（n，n-k），其中E2（n，k）是二阶欧拉数A340556型. -彼得·卢什尼2021年2月12日
配方奶粉
a（n，m）=和{k=0..（m-1）}（-1）^（n+k+1）*二项式（2*n-1，k）*斯特林1（m+n-k-1，m-k），对于1<=m<=n。
假设offset＝0，则T（n，k）是递归定义的多项式的系数。T（n，k）=[x^k]x^n*E2poly（n，1/x），其中E2poly-彼得·卢什尼2021年2月12日
例子
三角形起点：
[ 1] 1;
[ 2] 1, 0;
[ 3] 2, 1, 0;
[ 4] 6, 8, 1, 0;
[ 5] 24, 58, 22, 1, 0;
[ 6] 120, 444, 328, 52, 1, 0;
[ 7] 720, 3708, 4400, 1452, 114, 1, 0;
[ 8] 5040, 33984, 58140, 32120, 5610, 240, 1, 0;
[ 9] 40320, 341136, 785304, 644020, 195800, 19950, 494, 1, 0;
前几个W1（z，p）多项式是
W1（z，p=1）=1/（1-z）；
W1（z，p=2）=（1+0*z）/（1-z）^3；
W1（z，p=3）=（2+1*z+0*z^2）/（1-z）^5；
W1（z，p=4）=（6+8*z+1*z^2+0*z^3）/（1-z）^7。
MAPLE公司
与（组合）：a:=proc（n，m）：加（-1）^（n+k+1）*二项式（2*n-1，k）*stirling1（m+n-k-1，m-k），k=0..m-1）结束：seq（seq（a（n，m），m=1..n），n=1..9）#约翰内斯·梅耶尔2012年11月27日修订
数学
表[和[（-1）^（n+k+1）*二项式[2*n-1，k]*StirlingS1[m+n-k-1，m-k]，{k，0，m-1}]，{n，1，10}，{m，1，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2017年8月13日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=1,10，对于（m=1，n，print1（总和（k=0，m-1，（-1）^（n+k+1）*二项式（2*n-1，k）*斯特林（m+n-k-1，m-k，1），“，”））\\G.C.格鲁贝尔2017年8月13日
（PARI）\\假设偏移量=0：
E2poly（n，x）=如果（n==0，1，x*（x-1）^（2*n）*导数（（1-x）^；
{用于（n=0，9，打印（Vec（E2poly（n，x）））}\\彼得·卢什尼2021年2月12日
1, 1, 2, 7, 36, 250, 2229, 24656, 329883, 5233837, 96907908, 2066551242, 50196458429, 1375782397859, 42203985613593, 1438854199059479, 54180508061067099, 2241000820010271224, 101316373253530824771, 4984697039955303538934, 265819807417517749652933
评论
三角形开始
1;
1, 1;
2, 3, 1;
6, 11, 6, 1;
24, 50, 35, 10, 1;
...
将整个三角形向下移动1位，T（0,0）=1。设T=新三角形：（1；1；1，1；2，3，1；…）。
配方奶粉
a（n）=Sum_{k=0..n-1}（-1）^（n-k-1）*Stirling1（n，k+1）*a（k）对于n>0且a（0）=1（根据定义）-保罗·D·汉纳2013年10月1日
例如：求和{n>=0}a（n）*x^n/n！=1+Sum_{n>=1}a（n-1）*（-log（1-x））^n/n-保罗·D·汉纳2009年5月20日
例子
例如：A（x）=1+x+2*x^2/2！+7*x^3/3！+36*x^4/4！+250*x^5/5！+。。。
A（x）=1-对数（1-x）+对数（1-x）^2/2！-2*log（1-x）^3/3！+7*log（1-x）^4/4！-36*log（1-x）^5/5！+-。。。（结束）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=局部（a=[1]）；对于（i=1，n，a=Vec（serlaplace（1+总和（k=1，#a，a[k]*（-log（1-x+x*O（x^n））））；a[n+1]}\\保罗·D·汉纳2009年5月20日
（PARI）{Stirling1（n，k）=n！*polcoeff（二项式（x，n），k）}
{a（n）=如果（n==0，1，和（k=0，n-1，（-1）^（n-k-1）*Stirling1（n，k+1）*a（k））}\\保罗·D·汉纳2013年10月1日
1, 1, 1, 2, 3, 2, 6, 11, 12, 7, 24, 50, 70, 70, 36, 120, 274, 450, 595, 540, 250, 720, 1764, 3248, 5145, 6300, 5250, 2229
评论
右边框=143805英镑（1，1，2，7，36，250，…）=行和向左移动一个位置，=（1，2。第n行项之和=下一行最右边的项。
1;
1, 1;
2, 3, 1;
6, 11, 6, 1;
...
例子
三角形的前几行：
1;
1, 1;
2, 3, 2;
6, 11, 12, 7;
24, 50, 70, 70, 36;
120, 274, 450, 595, 540, 250;
720, 1764, 3248, 5145, 6300, 5250, 2229;
...
三角数：a（n）=二项式（n+1,2）=n*（n+1）/2=0+1+2+…+n.（名词）。
（原名M2535 N1002）
+10
4644
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431
评论
也称为T（n）或C（n+1,2）或二项式（n+1，2）（首选）。
广义六角形数：n*（2*n-1），n=0，+-1，+-2，+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错，k>=5。在这种情况下，k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1阶完备图的边数，K_{n+1}。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如，三个字母有六种写法：（a）bc，（ab）c，（abc），a（b）c，a（bc），ab（c）。证明：有C（n+2.2）方法可以选择括号的位置，但其中n+1是非法的，因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1，a（n）也是n+2次非奇异曲线的亏格，如费马曲线x^（n+2）+y^（n+2）=1.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my_deja.com），2001年2月21日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
n个不相同链接的链可以分解的方式数。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题：质谱仪中n个氨基酸残基的肽可以被分解的方式的数量。一般来说，每个氨基酸的质量不同，所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德，2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数；1, 3, 6, 10, 15, 21, ... - 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque，2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如，中心五边形数（1,6,16,31，…）=5*（0,1,3,6，…）+1。居中七元数（1,8,22,43，…）=7*（0,1,3,6，…）+1.-Xavier Acloque，2003年10月31日
由n+1个平面的交点形成的最大线数-罗恩·R·金2004年3月29日
避开模式132且正好有1个下降的[n]排列数-迈克·扎布罗基，2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字（0,1）、（0,2）和（1,2）-奥利维尔·热拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2，…，n}中选择两个不同的数字而不重复，或者，可以在集合{1,2，……，n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测，只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski（cmt1288（AT）comcast.net），2005年3月30日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母的对称群中的转座数，即除两个元素外所有元素都固定的置换数-杰弗里·克雷策2006年6月23日
对于rho（n）：=exp（i*2*Pi/n）（1的n次方根），对于n>=1，rho（n）^a（n）=（-1）^（n+1）。只需使用琐碎性a（2*k+1）==0（mod（2*k+1））和a（2*k）==k（mod））。
a（n）是（a1+a2+a3）^（n-1）展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a（n+1）是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
等于半群PT_n\S_n的秩（生成集的最小基数），其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特，2007年5月3日
a（n）给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数，其中n=绘制的cevian数+1。例如，绘制1个cevian，n=1+1=2和a（n）=2*（2+1）/2=3，则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians，则n=1+2=3和a（n）=3*（3+1）/2=6，则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck（npriluck（AT）gmail.com），2007年4月30日
对于n>=1，a（n）是当项的顺序不同的表示被认为不同时，n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说，对于n>=1，a（n）是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月22日（编辑：罗伯特·A·比勒)
a（n）是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数（单位为h*f0，普朗克常数为h，振子频率为f0）。请参阅上文A.Murthy的评论：n=n1+n2+n3带有正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
数字m>=0，使圆（sqrt（2m+1））-圆（squart（2m））=1。
数字m>=0，这样天花板（2*sqrt（2m+1））-1=1+地板（2*m2（2m））。
数字m>=0，使得fract（sqrt（2m+1））>1/2，fract（m2））<1/2，其中fract（x）是x的小数部分（即x-floor（x），x>=0）。（结束）
如果Y和Z是一个n集X的3个块，那么对于n>=6，a（n-1）是与Y和Z相交的X的（n-2）子集的数目-米兰Janjic2007年11月9日
循环赛中的比赛数量：n*（n-1）/2给出了n名球员所需的比赛数量。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德（Georg Wrede），2008年12月18日
等效于连续四面体数的第一个差。请参阅A000292号.-Jeremy Cahill（jcahill（AT）inbox.com），2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P（n，x）表示的153641英镑2^（n-1）（P（n，1）-（-1）^k P（n，2k+1））。因此a（k）=|2^（-3）（P（2,1）-（-1）^k P（2,2k+1））|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a（n）是最小的数>a（n-1），使得gcd（n，a（n。如果n是奇数，则gcd是n；如果n是偶数，则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯，2009年8月6日
弗洛伊德三角形右边的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日
更一般地说，a（2k+1）==j*（2j-1）（mod 2k+2j+1）和
a（2k）==[-k+2j*（j-1）]（模2k+2j）。
列总和：
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
---------------
1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a（n）^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^（1/3）的球体的体积。
（结束）
1/a（n+1），n>=0，具有例如f-2*（1+x-exp（x））/x^2和o.g.f.2*（x+（1-x）*log（1-x））/x^2（见斯蒂芬·克劳利公式行）-1/（2*a（n+1））是贝努利多项式系数的谢弗三角形的z序列A196838号/A196839号. -沃尔夫迪特·朗2011年10月26日
（结束）
绘制三个点（0,0）、（a（n）、a（n+1））、（a+1）、a+2）以形成三角形。面积为a（n+1）/2-J.M.贝戈2012年5月4日
以a（n）=n*（n+1）/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*（n+2）^2。a（n）*a（n+2）/2=a（a（n+1）-1）-J.M.贝戈2012年5月17日
（a（n）*a（n+3）-a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月18日
a（n）*a（n+1）+a（n+2）*a（n+3）+3=a（n^2+4*n+6）-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说，a（n）*a（n+1）+a（n+k）*a-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+3）+a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说，a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a-查理·马里恩2012年9月11日
a（n）*a（n+2）+a（n+1）*a-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点（a（n）、a（n+1））、（a（n/1）、a-J.M.贝戈2012年5月23日
a（n）+a（n+k）=（n+k）^2-（k^2+（2n-1）*k-2n）/2。对于k=1，我们得到a（n）+a（n+1）=（n+1）^2（见下文）-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中，我们可以定义一个（n-1）非平凡的正交投影。例如，在3-空间中，有一个（2）=3（即点到线上，点到平面，线到平面）-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
对于n>=1，a（n）等于半群P_n\S_n的秩（生成集的最小基数）和幂等秩（幂等生成集的极小基数），其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3，a（n-1）等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩，其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
（结束）
对于n>=3，a（n）等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩，其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2013年1月15日
公式a（n）*a（n+4k+2）/2+a（k）=a（a（n+2k+1）-（k^2+（k+1）^2））是Bergot 2012年5月17日评论中公式a（n*a（n+2）/2=a（a+1）-1的推广-查理·马里恩2013年3月28日
对于奇数m=2k+1，我们有递推式a（m*n+k）=m^2*a（n）+a（k）。推论：如果数字T在序列中，那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中指出，只要T是三角形数，那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说，如果T是三角形数，那么（2*k+1）^2*T+k*（k+1）/2也是三角形数-彼得·巴拉2015年1月5日
使用1/b和1/（b+2）将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1，得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a（n），对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a（n）=A028896号（n） /6，其中A028896号（n） =s（n）-s（n-1）是s（n，n）=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s（n）可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X（n-1）X（n-2）矩形棱镜的体积之和-J.M.贝戈，2013年8月13日
A_n型根系中的正根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n，k的第r次连续求和的公式是二项式（n+r，r+1）[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
对于n>=3，a（n-2）是1,2，…，的置换数，。。。，n的上（1）-下（0）个元素的分布为0…011（n-3个零），或者相同，a（n-2）是上下系数{n，3}（参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫，2014年2月14日
a（n）是对称n×n矩阵的向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
大小为2的{1，…，n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
Vandermonde行列式V（x_1，x_2，…，x_n）定义中的因子数=Product_{1<=i<k<=n}x_i-x_k-汤姆·科普兰2014年4月27日
假设一个袋子包含一个（n）红色大理石和一个（n+1）蓝色大理石，其中a（n）、a（n+1）是连续的三角形数字。然后，对于n>0，随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。通常，对于k>2，设b（0）=0，b（1）=1，对于n>1，b（n）=（k-1）*b（n-1）-b（n-2）+1。假设，对于n>0，一个袋子包含b（n）个红色大理石和b（n+1）个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠，得到两个红色或两个蓝色的概率为（k-1）/（k+1）。另请参见A027941号,A061278号,A089817号,A053142号,A092521号. -查理·马里恩2014年11月3日
考虑将自然数从集合S=（1,2,3，…，n）分为若干部分。生成序列的签名的长度（顺序）由三角数给出。例如，对于n=10，签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a（n）将（n-1）个未标记对象的分区计算为三（3）个部分（标记为a、b、c），例如，a（5）=15表示（n-1”=4。这些是（aaaa）、（bbbb）、)、（英国广播公司）、（密件抄送）、（英国电视广播公司）-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月21日
推测：序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。因此，推测出的公式是（n-1）（n-2）/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想：设m为任意正整数。然后，对于每个n=1,2,3，。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a（n）=n*（n+1）/2；换句话说，所有1<=s<=t的和{k=s.t}1/k^m是两两不同的。（我通过计算机检查了这个猜想，没有发现反例。）-孙志伟2015年9月9日
对于n>=1，a（n）是n+4到n个部分的组成数，避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
假设您正在玩保加利亚纸牌游戏（请参阅A242424型以及Chamberland和Gardner的书），对于n>0，你从一堆a（n）牌开始。那么，达到固定状态{n，n-1，…，1}所需的操作数是a（n-1）。例如，{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1，a（n）=tau_n（k*），其中tau_n（k）是k的有序n分解数，k*是素数的平方。例如，tau_3（4）=tau_3（9）=tau_3（25）=tau _3（49）=6（参见A007425号)因为4、9、25和49的除数的除数是6，并且a（3）＝6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日
对常见的公式a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2（2004年2月19日）和a（n”^2+a（n+1）^2=a（（n+1+6a（k-1））-查理·马里恩2016年11月27日
a（n）也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0，2^5*（二项式（n+1,2））^2表示2*（2*n+1）^2个连续整数之和中的第一个整数，等于（2*n+1）^6-帕特里克·麦克纳布2016年12月25日
不大于n的正整数的有序三元组（a，b，c）的数量，使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数，因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
a（n）是顶点位于（1,1）、（n+1，n+2）和（n+1）^2，（n+2，^2）的三角形的面积-阿特·贝克，2018年12月6日
对于n>0，a（n）是最小的k>0，因此n除以（1/a（1）+1/a（2）+…+的分子1/a（n-1）+1/k）。应该注意的是，1/1+1/3+1/6+…+2/（n（n+1））=2n/（n+1-托马斯·奥多夫斯基2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界（参见Dimca中的定理1.1）-斯特凡诺·斯佩齐亚2019年10月4日
对于n>0，a（n+1）是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数，其中A是n个数字的集合。（结束）
a（n）是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行绘制两行，每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出双射线。对于n>=1，a（n-1）是线之间可能的最大交点数。等价地，[n]置换中的最大反转数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论（2015年1月5日）中的概括。（2k+1）^2*a（n）+a（k）=a（（2k+1*n+k）-查理·马里恩2023年8月28日
a（n）+a（n+k）+a。对于k=1，我们有a（n）+a（n+1）=（n+1”）^2-查理·马里恩2023年11月17日
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配方奶粉
通用：x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如：exp（x）*（x+x^2/2）。
a（n）=a（-1-n）。
a（n）=（-1）^n*Sum_{k=1..n}（-1）*k*k^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a（n+1）=（n+2）/n）*a（n），和{n>=1}1/a（n=2）-乔恩·佩里2003年7月13日
对于插值零，这是n*（n+2）*（1+（-1）^n）/16-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a（n+1）是n X n对称帕斯卡矩阵M_（i，j）=二项式（i+j+1，i）的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a（n）=（（n+1）^3-n^3-1）/6.-泽维尔·阿克洛佩，2003年10月24日
a（n）=a（n-1）+（1+sqrt（1+8*a（n-1）））/2。当取平方根的负分支时，此递归关系被反转，即a（n）被转换为a（n-1）而不是a（n+1）-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a（n）=a（n-2）+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a（n）=平方（sqrt（和{i=1..n}和{j=1.n}（i*j）^3））=（和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}（i*j））^（1/6）-亚历山大·阿达姆楚克，2004年10月26日
如果n是奇数，a（n）==1（mod n+2）；如果n是偶数，a-乔恩·佩里2004年12月16日
a（0）=0，a（1）=1，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a（n）=地板（（2*n+1）^2/8）-保罗·巴里2006年5月29日
a（n）^2+a（n+1）^2=a（n+1^2）[R B Nelsen，《数学杂志》70（2）（1997），第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a（n）*a（n+k）+a（n+1）*a（n+1+k）=a（（n+1）*（n+1+k））。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期：2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日
（sqrt（8*a（n）+1）-1）/2=n.大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net），2007年2月26日
多边形数的一般公式是P（k，n）=（k-2）*（n-1）n/2+n=n+（k-2*A000217号（n-1），对于n>=1，k>=3-奥马尔·波尔，2008年4月28日和2013年3月31日
如果我们定义f（n，i，a）=Sum_{j=0..k-1}（二项式（n，k）*Stirling1（n-k，i）*Product_{j=0.0..k-1}（-a-j）），那么当n>=1时，a（n）=-f（n，n-1,1）-米兰Janjic2008年12月20日
4*a（x）+4*a（y）+1=（x+y+1）^2+（x-y）^2-弗拉基米尔·舍维列夫2009年1月21日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}（（Pochhammer（1，m）*Pochhamder（1，m））*x^m/（Pochharmer（3，m）*阶乘（m））=（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2给出，其n阶导数具有闭合形式，必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号（n+1）=（lim_{x->0}d^n/dx^n（（2-2*x）*log（1-x）+2*x）/x^2）+n*（对数（1-x）+对数（-1/（-1+x）））*（-x+1+n））/x^2））^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
偏移量为1时，a（n）=楼层（n^3/（n+1））/2-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a（n）=4*a（楼层（n/2））+（-1）^（n+1）*楼层（n+1，/2）-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）；a（0）=0，a（1）=1-马克·多尔斯2010年8月20日
a（n）+2*a（n-1）+a（n-2）=n^2+（n-1；和
a（n）+3*a（n-1）+3*a（n-2）+a（n-3）=n^2+2*（n-1。
一般来说，对于n>=m>2，求和{k=0..m}二项式（m，m-k）*a（n-k）=求和{k=0..m-1}二项式（m-1，m-1-k）*（n-k）^2。
a（n）-2*a（n-1）+a（n-2）=1，a。
通常，对于n>=m>2，Sum_{k=0..m}（-1）^k*二项式（m，m-k）*a（n-k）=0。
（结束）
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..Pi/2}4*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
（n）+（a（n））+1=a（a（n）+1）-J.M.贝戈2012年4月27日
a（n）*a（n+1）=a（和{m=1..n}A005408号（m） ）/2，对于n>=1。例如，如果n=8，则a（8）*a（9）=a（80）/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
通用公式：x*（1+3x+6x^2+…）=x*产品{j>=0}（1+x^（2^j））^3=x*A（x）*A（x^2）*A。。。，其中A（x）=（1+3x+3x^2+x^3）-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+（2*k+3）*x/（2*k+1-x*（k+2）*（2*k+1）/（x*（k+2）+（k+1）/G（k+1）））；（连分数，第3类，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
G.f.：x+3*x^2/（Q（0）-3*x），其中Q（k）=1+k*（x+1）+3*x-x*（k+1）*（k+4）/Q（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a（n）+a（n+1）+a（n+2）+a（n+3）+n＝a（2*n+4）-伊万·伊纳基耶夫2013年3月16日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+8）+6*n=a（3*n+15）-查理·马里恩2013年3月18日
a（n）+a（n+1）+…+a（n+20）+2*n^2+57*n=a（5*n+55）-查理·马里恩2013年3月18日
当n>0时，3*a（n）+a（n-1）=a（2*n）-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说，a（k*n）=（2*k-1）*a（n）+a（（k-1）*n-1）-查理·马里恩2015年4月20日
此外，a（k*n）＝a（k）*a（n）+a（k-1）*a（n-1）-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a（n+1）=det（二项式（i+2，j+1），1<=i，j<=n）-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a（n）=地板（n/2）+天花板（n^2）=n-地板（n/2）+地板（n^2）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a（n）=楼面（（n+1）/（exp（2/（n+1））-1））-理查德·福伯格2013年6月22日
和{n>=1}a（n）/n！=3*exp（1）/2 by the e.g.f.另请参见A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=4*log（2）-2=0.7725887-理查德·福伯格2014年8月11日
2/（和{n>=m}1/a（n））=m，对于m>0-理查德·福伯格2014年8月12日
下面是2006年11月22日公式A（n）^2+A（n+1）^2=A（n+1^2）的推广。设T（k，n）=a（n）+k。然后对于所有k，T（k、n）^2+T（k和n+1）^2=T（k（n+1））^2+2*k）-2*k-查理·马里恩2015年12月10日
Dirichlet g.f.：（zeta（s-2）+zeta（s-1））/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a（n）^2-a（n-1）^2=n^3-米奎尔·塞尔达，2016年6月29日
a（n）^2+a（n+3）^2+19=a（n^2+4*n+10）-查理·马里恩2016年11月23日
2*a（n）^2+a（n”）=a（n^2+n）-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式：x/（1-x）^3=（x*r（x）*r（x^3）*r，其中r（x）=（1+x+x^2）^3=（1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6）-加里·亚当森2016年12月3日
a（n）=矩阵Q（n）的逆的元素之和，其中Q（n）有元素Q_i，j=1/（1-4*（i-j）^2）。因此，如果e=由1组成的适当大小的向量，那么a（n）=e’。Q（n）^-1.e-迈克尔·尤基什，2017年3月20日
a（n）=和{k=1..n}（2*k-1）*（2*n-2*k-1）！！）/（（2*k-2）*（2*n-2*k）！！）-迈克尔·尤基什，2017年3月20日
求和{i=0..k-1}a（n+i）=（3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k）/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
当n为奇数时，a（n）==0（mod n）（参见De Koninck参考）-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a（k）*a（n）+（（a（k。当k=1时，这个公式简化为众所周知的公式8*a（n）+1=（2*n+1）^2-查理·马里恩2020年7月23日
a（k）*a（n）=和{i=0..k-1}（-1）^i*a（（k-i）*（n-i））-查理·马里恩2020年12月4日
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（7）*Pi/2）/（2*Pi）。
乘积_｛n＞＝2｝（1-1/a（n））＝1/3。（结束）
a（n）=Sum_{k=1..2*n-1}（-1）^（k+1）*a（k）*a（2*n-k）。例如，对于n=4，1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a（n）=A000384号（n） 通常，如果P（k，n）=第n个k次方数，则（j+1）*a（n）=P（5+j，n）-n^2+（j+1-查理·马里恩2023年3月14日
例子
总尺寸：x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。
当n=3时，a（3）=4*3/2=6。
示例（a（4）=10）：ABCD，其中a、B、C和D是链中的不同链接，或是肽中的不同氨基酸可能片段：a、B，C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a（2）：冬青树叶落在德川幕府，a（4）：毕达哥拉斯四联中的分数，a（5）：八球台球中的物体球-Bradley Klee公司2015年8月24日
a（1）=1到a（5）=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2（Beeler，McGrath，上文）如下。这些作文按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121) (122) (123) (124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
(231) (223)
(312) (232)
(321) (241)
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
(421)
(511)
（结束）
MAPLE公司
istriangular:=proc（n）局部t1；t1:=楼层（平方米（2*n））；如果n=t1*（t1+1）/2，则返回true，否则返回false；结束条件：；终末程序#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S，{S=Prod（B，B，B），B=Set（Z，1<=卡）}，未标记]：
seq（combstruct[计数]（ZL，大小=n），n=2..55）#零入侵拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程（n）
issqr（1+8*n）；
结束进程：#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼2022年9月2日]
数学
数组[#*（#-1）/2&，54](*零入侵拉霍斯2009年7月10日*）
文件夹列表[#1+#2&，0，范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*）
系数列表[级数[x/（1-x）^3，{x，0，50}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[多边形编号[n]，{n，0，53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
线性递归[｛3，-3，1｝，｛0，1，3｝，54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*）
（*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供，用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列，只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford，因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*）
fd[x_]：=楼层[10^Mod[Log[10，x]，1]]
benfordtest[num_]：=模块[{}，
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=0]；
对于[n=1，n<=num，n++，
{
d=fd[n（n+1）/2]；
如果[d！=0，数字[d]=数字[d]+1]；
}];
对于[d=1，d<=9，d++，数字[d]=1.0位[d]/num]；
对于[d=1，d<=9，d++，
打印[d，“”，100.0位[d]，“”、100.0日志[10，（d+1）/d]]]；
];
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n，{3}]]，{n，0，15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*）
黄体脂酮素
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），n，t）；而（t=n*n++/2）<=lim，listput（v，t））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
（哈斯克尔）
a000217 n=a000217_list！！n个
a000217_list=扫描1（+）[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
（岩浆）[0..60]]中的[n*（n+1）/2:n//布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
（SageMath）[n*（n+1）/2表示n in（0..60）]#布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
（Scala）（1至53）.左图（0）（_+_）//霍斯特曼（2012），第171页
（J） a000217=：*-：@>：注意。斯蒂芬·马克迪西，2018年5月2日
（Python）对于范围（0，60）中的n：打印（n*（n+1）/2，end='，'）#斯特凡诺·斯佩齐亚，2018年12月6日
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是
#孤立术语。如果在迭代中，行“x，y=x+y+1，y+1”
#被替换为“x，y=x+y+k，y+k”，然后得到图形数，
#对于k=0（自然A001477号)，k=1（三角形），k=2（正方形），k=3（五边形），k=4（六边形）。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+1，y+1
交叉参考
囊性纤维变性。A000096号,A000124号,A000292号,A000330号,A000396号,A000668美元,A001082号,A001788号,A002024年,A002378号,A002415号,A003056号（反函数），A004526号,A006011号,A007318号,A008953号,A008954号,A010054号（特征函数），A028347号,A036666号,A046092号,A051942号,A055998号,A055999号,A056000型,A056115号,A056119号,A056121号,A056126号,A062717号,A087475型,A101859号,A109613号,A143320型,A210569型,A245031型,A245300型,A060544号,A016754号.
阶乘数：n！=1*2*3*4*...*n（对称群S_n的阶，n个字母的置换数）。
（原M1675 N0659）
+10
2834
1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, 51090942171709440000, 1124000727777607680000
评论
讨论这一序列的最早出版物似乎是大约公元300年的《Sepher Yezirah（创造之书）》。（请参阅Knuth，以及Zeilberger链接。）-N.J.A.斯隆2014年4月7日
对于n>=1，a（n）是n X n（0,1）矩阵的数量，每行和每列正好包含一个等于1的条目。
具有1个元素A、2个元素B……的T（n-1）元素的不同子集的数量。。。，n-1元素X（例如，在n=5时，我们考虑ABBCCCDDDD的不同子集，有5！=120）-乔恩·佩里2003年6月12日
不！是具有素数签名的最小数字。例如，720=2^4*3^2*5-阿玛纳斯·穆尔西，2003年7月1日
a（n）是M（i，j）=1的n X n矩阵M的永久值-菲利普·德尔汉姆2003年12月15日
给定n个不同大小的对象（例如，区域、体积），使得每个对象都足够大，可以同时包含所有之前的对象，那么n！是使用所有n个对象的基本不同排列的总数。在排列中允许任意层次的对象嵌套。（该序列的应用受到了考虑剩余移动框的启发。）如果存在限制，即每个对象一次最多只能包含一个较小的（但可能是嵌套的）对象，则生成的序列将从1、2、5、15、52开始（贝尔数？）。在这里，人们会想到一组嵌套木箱或传统的嵌套俄罗斯娃娃-里克·L·谢泼德2004年1月14日
[2，2，6，24120，…]的斯特林变换是A052856号= [2, 2, 4, 14, 76, ...].
[1,2,6,24,120，…]的斯特林变换是A000670号= [1, 3, 13, 75, ...].
[0，2，6，24120，…]的斯特林变换是A052875号= [0, 2, 12, 74, ...].
[1，1，2，6，24，120，…]的斯特林变换是A000629号= [1, 2, 6, 26, ...].
[0,1,2,6,24,120，…]的斯特林变换是A002050型= [0, 1, 5, 25, 140, ...].
斯特林变换(A165326号*A089064号)（1…）=[1，0，1，-1，8，-26，194，…]是[1，1，2，6，24，120，…]（此序列）。（结束）
第一个欧拉变换是1，1，1、1、1，1……第一个欧拉法变换通过公式t（n）=和{k=0..n}e（n，k）s（k）将序列s转换为序列t，其中e（n、k）是一阶欧拉数[A008292号]. -罗斯·拉海耶2005年2月13日
据推测，只有1、6和120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski（cmt1288（AT）comcast.net），2005年3月30日
不！是连续n次幂的第n个有限差分。例如，对于n=3，[0，1，8，27，64，…]->[1，7，19，37，…]->[6，12，18，…]/>[6，6，…].-布莱恩·雅各布斯（bryanjj（AT）gmail.com），2005年3月31日
a（n+1）=（n+11, 2, 6, ... 例如f.1/（1-x）^2-保罗·巴里2005年4月22日
在圆圈上写下数字1到n。则a（n）=所有n-2个相邻数的乘积之和。例如，a（5）=1*2*3+2*3*4+3*4*5+4*5*1+5*1*2=120-阿玛纳斯·穆尔西2005年7月10日
按子集关系排序的{1，2，…，n}幂集中最大长度链的个数-里克·L·谢泼德2006年2月5日
n>=0的n个字母的循环排列数是1，1，1、2、6、24、120、720、5040、40320，…-Xavier Noria（fxn（AT）hashref.com），2006年6月4日
a（n）是n大小的分区表编号。有关定义，请参阅Steingrimson/Williams链接-大卫·卡伦2006年10月6日
考虑n！整数序列[n]＝1，2。。。，n.第i个置换由ncycle（i）置换循环组成。然后，如果Sum_{i=1..n！}2^ncycle（i）从1运行到n！，我们有求和{i=1..n！}2^ncycle（i）=（n+1）！。例如，对于n=3，我们有ncycle（1）=3，ncycle（2）=2，ncycle（3）=1，ncycle（4）=2，ncycle（5）=1，ncycle（6）=2和2^3+2^2+2^1+2^2=8+4+2+4=4=24=（n+1）-托马斯·维德2006年10月11日
a（n）是{1，2，…，2n-1，2n}分成大小为2（完美匹配）的块的集合分区数，其中每个块由一个偶数和一个奇数整数组成。例如，a（3）=6表示12-34-56、12-36-45、14-23-56、14-25-36、16-23-45、16-25-34-大卫·卡伦2007年3月30日
考虑多集M=[1、2、2、3、3、4、4、4,4、4，…]=[1，2，2，…，n x'n']，形成M的所有子集n（其中n可能再次是多集）的集合U（其中U是严格意义上的集合）。然后U的元素|U|的数量等于（n+1）！。例如，对于M=[1，2，2]，我们得到U=[[]，[2]，[2]，[1]，[1,2]，[1，2]和|U|=3！=6.该评论是对已经发表的评论的更正式版本里克·L·谢泼德2004年1月14日-托马斯·维德2007年11月27日
a（n）也是（n链的）降阶完全变换的数目。
a（n-1）也是（n链的）幂零序递减全变换的个数。（结束）
不！也是完整图K_{n}中最优广播方案的数量，相当于嵌入在K_{n}中的二项式树的数量（参见Calin D.Morosan，Information Processing Letters，100（2006），188-193）Calin D.Morosan（cd_moros（AT）校友.concordia.ca），2008年11月28日
设S_{n}表示n星图。S_{n}结构由n个S_{n-1}结构组成。这个序列给出了S_{n+2}（n>=1）中任意两个指定S_{n+1}结构的顶点之间的边数-K.V.Iyer公司2009年3月18日
太阳图S_{n-2}的色不变量。
似乎a（n+1）是A000255美元.-蒂莫西·霍珀（Timothy Hopper（AT）hotmail.co.uk），2009年8月20日
a（n）也是平方矩阵An的行列式，其系数是β函数的倒数：a{i，j}=1/β（i，j），det（An）=n-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年9月21日
增加1-2棵彩色树，为最右边的非叶子分支选择两种颜色-文锦Woan2011年5月23日
序列1！，(2!)!, ((3!)!)!, (((4!)!)!)!, ..., （……（n！）！）！（n次）增长太快而无法进入。见霍夫施塔特。
1/a（n）=1/n！的示例f！是贝塞尔（0，2*sqrt（x））。见Abramowitz-Stegun，第375、9.3.10页-沃尔夫迪特·朗2012年1月9日
元素1、2、…、的排列数。。。，具有属于长度r的循环的固定元素的n+1不依赖于r，并且等于a（n）-弗拉基米尔·舍维列夫2012年5月12日
a（n）是1，…，的所有置换中的不动点数。。。，n： 总共n个！排列，1正好是第一个（n-1）！乘以，2正好是秒（n-1）！次数等，给予（n-1）*n=n-乔恩·佩里2012年12月20日
对于m>=3，a（m-2）是具有m个顶点的简单图中的非循环哈密顿路径的数目hp（m），除了一条缺失的边外，它是完整的。对于m<3，hp（m）=0-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月17日
a（n）是具有n个节点的增加森林的数量-布拉德·琼斯2014年12月1日
阶乘数可以通过递归n！=计算（地板（n/2）！）^2*sf（n），其中sf（n）是摆动因子A056040型如果sf（n）是通过素因式分解计算的，那么这将导致一个有效的算法。有关此算法的说明，请参阅下面的链接-彼得·卢什尼2016年11月5日
树精灵是有序的（平面）二进制（0-1-2）递增树，其中阶数为1的节点有2种颜色。有n个！大小为n的树丛和经典的Françon双射将树丛映射为置换-谢尔盖·柯尔吉佐夫2016年12月26日
满足本福德定律[Diaconis，1977；Berger-Hill，2017]-N.J.A.斯隆2017年2月7日
a（n）=总和（（d_p）^2），其中d_p是整数分区p的费雷斯板中标准表的数量，总和是n的所有整数分区p。例如：a（3）=6。实际上，3的分区是[3]、[2,1]和[1,1,1]，分别有1、2和1个标准表；我们有1^2+2^2+1^2=6-Emeric Deutsch公司2017年8月7日
a（n）是x^n的n阶导数-伊恩·福克斯2017年11月19日
a（n）是n维布尔立方体{0,1}^n中关于关系“preceds”的最大链数。定义如下：对于{0,1}^n的任意向量u，v，使得u=（u1，u2，…，u_n）和v=（v_1，v_2，…，v_n），如果u _i<=v_i，则“u先于v”，对于i=1，2。。。，n.（名词）-瓦伦丁·巴科耶夫2017年11月20日
a（n）是图H_n中节点（0,0，…，0）（即全零向量）和（1,1，…，1）（即全能向量）之间的最短路径数（例如，通过宽度优先搜索获得），对应于n维布尔立方体{0,1}^n。图定义为H_n=（V_n，e_n），其中V_n是{0,1{的所有向量的集合^n、 和E_n包含由每对相邻向量形成的边-瓦伦丁·巴科耶夫2017年11月20日
a（n）也是对称n×n矩阵M的行列式，由M（i，j）=σ（gcd（i，j））定义，对于1<=i，j<=n-伯纳德·肖特，2018年12月5日
a（n）也是长度n的反转序列数。长度n反转序列e1，e2。。。，enn是n个整数的序列，因此0<=ei<i-胡安·奥利，2019年10月14日
“阶乘”（factorial）一词是法国数学家路易斯·弗朗索瓦·安托万·阿博加斯特（Louis François Antoine Arbogast，1759-1803）于1800年发明的。1808年，法国数学家克里斯蒂安·克拉姆（1760-1826）首次使用符号“！”-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年4月16日
此外，秩2的符号数，即映射X:{{1..n}选择2}->{+，-}，这样对于任何三个指数a<b<c，序列X（a，b），X（a、c），X-曼弗雷德·舒彻2022年2月9日
a（n）也是具有n个元素的标记交换半单环的数目。例如，只有F_4和F_2XF_2是具有4个元素的交换半单环。它们都有两个自同构，因此a（4）=24/2+24/2=24-保罗·劳比2024年3月5日
a（n）是n+1阶极不吉利的斯特林置换数；即n+1阶Stirling置换正好有一辆幸运车的数量-布里吉特·坦纳2024年4月9日
参考文献
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塞格·韦尔（Sage Weil），前999家工厂[在Wayback Machine上缓存副本]
配方奶粉
求和{i=0..n}（-1）^i*i^n*二项式（n，i）=（-1）*n*n！.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日
和{i=0..n}（-1）^i*（n-i）^n*二项式（n，i）=n！.-Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2007年4月10日
序列通常满足递归a（n+1）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*a（k）*a（n-k）-罗伯特·费雷奥2009年12月5日
递归D-有限：a（n）=n*a（n-1），n>=1。不！~sqrt（2*Pi）*n^（n+1/2）/e^n（斯特林近似）。
a（0）=1，a（n）=子（x=1，（d^n/dx^n）（1/（2-x））），n=1，2-卡罗尔·彭森2001年11月12日
a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*A000522号（k） *二项式（n，k）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*（x+k）^n*二项法（n，k）-菲利普·德尔汉姆2004年7月8日
a（n）=Sum_{i=1..n}（（-1）^（i-1）*每次取n-i的1..n之和）-例如，4！=(1*2*3 + 1*2*4 + 1*3*4 + 2*3*4) - (1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*3 + 2*4 + 3*4) + (1 + 2 + 3 + 4) - 1 = (6 + 8 + 12 + 24) - (2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12) + 10 - 1 = 50 - 35 + 10 - 1 = 24. -乔恩·佩里2005年11月14日
a（n）=（n-1）*（a（n-1）+a（n-2）），n>=2.-Matthew J.White，2006年2月21日
1/a（n）=（i，j）项为（i+j）的矩阵的行列式/（i！（j+1）！）对于n>0。这是一个对角线上有加泰罗尼亚数字的矩阵-亚历山大·阿达姆楚克2006年7月4日
对于n>=2，a（n-2）=（-1）^n*Sum_{j=0..n-1}（j+1）*Stirling1（n，j+1）-米兰Janjic2008年12月14日
G.f.：1/（1-x-x^2/（1-3x-x^2/（1-5x-9x^2（1-7x-16x^2）/（1-9x-25x^2…（连分数）），因此Hankel变换是A055209号.
（n+1）的G.f！是1/（1-2x-2x^2/（1-4x-6x^2/-（1-6x-12x^2//（1-8x-20x^2…（连分数）），因此Hankel变换是A059332美元.（结束）
a（n）=Product_{pprime}p^（Sum_{k>0}floor（n/p^k））-乔纳森·桑多2009年7月24日
看起来a（n）=（1/0！）+（1/1！）*n+（3/2！）*n*（n-1）+（11/3！）*n*（n-1）*（n-2）+…+（b（n）/n！）*n*（n-1）**2*1，其中a（n）=（n+1）！和b（n）=A000255号. -蒂莫西·霍珀2009年8月12日
a（n）=a（n-1）^2/a（n-2）+a（n-1），n>=2-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月21日
a（n）＝a_{n}（1），其中a_{n}（x）是欧拉多项式-彼得·卢什尼2010年8月3日
a（n）=n*（2*a（n-1）-（n-1-加里·德特利夫斯2010年9月16日
1/a（n）=-和{k=1..n+1}（-2）^k*（n+k+2）*a（k）/（a（2*k+1）*a-格鲁·罗兰2010年12月8日
a（n）=Product{pprime，p<=n}p^（和{i>=1}floor（n/p^i））。
这个公式的无限模拟是：a（n）=乘积{q项A050376号<=n}q^（（n）q），其中（n）_q表示这些数的个数<=n，其中q是无穷除数（有关定义，请参阅A037445号). （结束）
G.f.:1/（1-x/（1-x/（1-2*x/（1-2*x/）（1-3*x/…））））-迈克尔·索莫斯2012年5月12日
G.f.1+x/（G（0）-x），其中G（k）=1-（k+1）*x/（1-x*（k+2）/G（k+1；（连分数，2步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月14日
G.f.:W（1,1；-x）/（W（1,1,1；-x）-x*W（1,2；-x）），其中W（a，b，x）=1-a*b*x/1！+a*（a+1）*b*（b+1）*x^2/2！-…+a*（a+1）**（a+n-1）*b*（b+1）**（b+n-1）*x^n/n！+。。。；见[A.N.Khovanskii，p.141（10.19）]-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月15日
G.f.:A（x）=1+x/（G（0）-x）其中G（k）=1+（k+1）*x-x*（k+2）/G（k+1；（续分数）。
G.f.：1+x*（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-（2*k+1）/（1-x/（x-1/（1-2*k+2）/（1-x/（x-1/G（k+1））））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月15日
G.f.：1+x*（1-G（0））/（sqrt（x）-x），其中G（k）=1-（k+1）*sqrt；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月25日
G.f.：1+x/G（0），其中G（k）=1-x*（k+2）/（1-x*（k+1）/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月23日
a（n）=det（S（i+1，j），1<=i，j<=n），其中S（n，k）是第二类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月4日
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1）+1/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月24日
G.f.：2/G（0），其中G（k）=1+1/（1-1/（2*x*（k+1））+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月29日
G.f.:G（0），其中G（k）=1+x*（2*k+1）/（1-x*（2%k+2）/（x*（2\*k+2，+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月7日
a（n）=P（n-1，楼层（n/2））*楼层（n/3）！*（n-（n-2）*（（n+1）mod 2）），其中P（n，k）是n个对象的k-置换，n>0-韦斯利·伊万·赫特2013年6月7日
a（n）=a（n-2）*（n-1）^2+a（n-1-伊万·伊纳基耶夫2013年6月18日
a（n）=a（n-2）*（n^2-1）-a（n-1），n>1-伊万·伊纳基耶夫，2013年6月30日
一般公式：1+x/Q（0），m=+2，其中Q（k）=1-2*x*（2*k+1）-m*x^2*（k+1）*（2xk+1）/（1-2*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月24日
a（n）=圆（Sum_{k>=1}log（k）^n/k^2），对于n>=1，它与黎曼zeta函数在x=2时的n阶导数有关，如下所示：圆（（-1）^n*zeta^（n）（2））。另请参见A073002型. -理查德·福伯格2014年12月30日
a（n）=产品{k=1..n}（C（n+1，2）-C（k，2））/（2*k-1）；请参阅Masanori Ando链接-米歇尔·马库斯2015年4月17日
a（2^n）=2^（2^n-1）*1！！*3!! * 7!! * ... * （2^n-1）！！。例如，16！=2^15*(1*3)*(1*3*5*7)*(1*3*5*7*9*11*13*15) = 20922789888000. -彼得·巴拉2016年11月1日
a（n）=sum（prod（B）），其中sum覆盖{1,2，…，n-1}的所有子集B，其中prod（B）表示集合B的所有元素的乘积。如果B是带有元素B的单元素集，则定义prod（a）=B，如果B是空集，则将prod（C）定义为1。例如，a（4）=（1*2*3）+（1*2）+-丹尼斯·沃尔什2017年10月23日
和{n>=0}1/（a（n）*（n+2））=1.-将上面Jaume Oliver Lafont条目中的分母乘以（n+2）可以得到一个可伸缩的和-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2020年11月8日
O.g.f.：求和{k>=0}k*x^k=Sum_{k>=0}（k+y）^k*x^k/（1+（k+y）*x）^（k+1）对于任意y-彼得·巴拉2022年3月21日
例如：1/（1+LambertW（-x*exp（-x）））=1/（1-x），参见A258773型.-（1/x）*替换（z=x*exp（-x），z*（d/dz）LambertW（-z））=1/（1-x）。请参阅A075513号证明：使用成分反转（x*exp（-x））^[-1]=-LambertW（-z）。请参阅A000169号或152917英镑，和理查德·斯坦利：《枚举组合数学》，第2卷，第37页，等式（5.52）-沃尔夫迪特·朗2022年10月17日
1/a（n）=（e/（2*Pi*n）*Integral_{x=-oo..oo}cos（x-n*arctan（x））/（1+x^2）^（n/2）dx）。证明：取1/Gamma（x）的拉普拉斯积分的实分量。
a（n）=积分{x=0..1}e^（-t）*LerchPhi（1/e，-n，t）dt。证明：使用Gamma（x+1）=Sum_{n>=0}积分{t=n.n.n+1}e^。
猜想：a（n）=1/（2*Pi）*Integral_{x=-oo..oo}（n+i*x+1）/（i*x+1）-（n+i*x-1）/（i*x-1）dx。（结束）
a（n）=e^（Integral_{x=1..n+1}Psi（x）dx），其中Psi（x）是digamma函数-安德烈亚·皮诺斯2024年1月10日
例子
有3个！=1*2*3=6种排列3个字母{a，b，c}的方式，即abc，acb，bac，bca，cab，cba。
设n=2。考虑{1,2,3}的排列。固定元件3。在下列每种情况下都有一个（2）=2置换：（a）3属于长度为1的循环（置换（1，2，3）和（2，1，3））；（b） 3属于长度为2的循环（排列（3，2，1）和（1，3，2））；（c） 3属于长度为3的循环（排列（2，3，1）和（3，1，2））-弗拉基米尔·舍维列夫2012年5月13日
G.f.=1+x+2*x^2+6*x^3+24*x^4+120*x^5+720*x^6+5040*x^7+。。。
MAPLE公司
规范：=[S，{S=序列（Z）}，标记]；seq（combstruct[count]（规范，大小=n），n=0..20）；
#计算对称群循环指数的Maple程序
M： =6:f:=数组（0..M）：f[0]：=1:打印（`n=`，0）；打印（f[0]）；f[1]：=x[1]：打印（`n=`，1）；打印（f[1]）；对于从2到M的n，做f[n]：=展开（（1/n）*加（x[l]*f[n-l]，l=1..n））；打印（`n=`，n）；打印（f[n]）；日期：
带有（combstruct）：ZL0:=[S，{S=集合（循环（Z，卡>0））}，标记]：seq（计数（ZL0，大小=n），n=0..20）#零入侵拉霍斯2007年9月26日
数学
文件夹列表[#1#2&，1，范围@20](*罗伯特·威尔逊v2011年5月7日*）
递归表[{a[n]==n*a[n-1]，a[0]==1}，a，{n，0，22}](*雷·钱德勒2015年7月30日*）
黄体脂酮素
（公理）[在0..10中n的阶乘（n）]
（岩浆）a:=func<n|阶乘（n）>；[a（n）:n在[0..10]]中；
（哈斯克尔）
a000142:：（枚举a，数字a，整数t）=>t->a
a000142 n=积[1..来自积分n]
a000142_list=1:zipWith（*）[1..]a000142_列表
（Python）
对于范围（11000）内的i：
y=i
对于范围（1，i）中的j：
y*=i-j
打印（y，“\n”）
（Python）
导入数学
对于范围（11000）内的i：
数学.阶乘（i）
打印（“”）
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！）}/*迈克尔·索莫斯2004年3月4日*/
（Sage）[（1..22）中n的阶乘（n）]#朱塞佩·科波列塔2014年12月5日
（Scala）（1:BigInt）.到（24:BigInt.）.scanLeft（1:Big Int）（_*_）//阿隆索·德尔·阿特2019年3月2日
（Julia）打印（[在0:28中n的阶乘（大（n））]）#保罗·穆尔贾迪2024年5月1日
交叉参考
囊性纤维变性。A000165号,A001044号,A001563号,A003422号,A009445号,A010050型,A012245号,A033312号,A034886号,A038507号,A047920号,A048631号.
有关初始数字d（1<=d<=9）的阶乘，请参见A045509号,A045510号,A045511号,A045516号,A045517号,A045518号,A282021型,A045519号;A045520型,A045521美元,A045522号,A045523号,A045524号,A045525号,A045526号,A045527号,A045528号,A045529号.
按行读取的帕斯卡三角形：C（n，k）=二项式（n，k）=n/（k！*（n-k）！），0<=k<=n。
（原名M0082）
+10
2078
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1
评论
A.W.F.Edwards写道：“它（三角形）早在1654年，也就是布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）写下三角算术的那一年，这本书就被首次记录下来了，但正是这本书首次将数字的所有不同方面结合在一起。在这本书中，帕斯卡将数字的性质发展成为一个纯粹的数学。。。然后，在一系列附录中，展示了这些性质如何与数字的研究、组合理论、二项式表达式的展开以及概率论中一个重要问题的解决相关。”（A.W.F.Edwards，《帕斯卡的算术三角》，约翰·霍普金斯大学出版社（2002），第xiii页）
爱德华兹（Edwards）报告称，1708年，蒙莫特（Montmort）首先以帕斯卡（Pascal）命名三角形，称之为“帕斯卡组合表”（Table de M.Pascal pour les combinations），1730年，德莫伊夫（de Moivre）将其命名为“三角算术PASCALANIUM”。（爱德华兹，第xiv页）
在中国，杨辉在1261年列出了（a+b）^n到n=6的系数，将这种扩展归功于大约1100年的嘉欣的《世素算书》。另一个突出的早期应用是1303年朱世嘉的《四行宝镜》。（爱德华兹，第51页）
在波斯，Al-Karaji在“1007年后不久的某个时间”发现了二项式三角形，而Al-Samawal在1180年前的某个时候在Al-bahir杂志上发表了它。（Edwards，第52页）
在印度，Halayuda对Pingala关于音节组合的论文（约公元前200年）的评论（约900年）清楚地描述了三角形的加法计算。（Amulya Kumar Bag，古印度二项式定理，第72页）
同样在印度，C（n，k）的乘法公式于850年为Mahavira所知，并于1150年由Bhaskara重申。（爱德华兹，第27页）
在意大利，塔尔塔利亚在他的《特拉塔托将军》（1556年）中发表了三角形，卡尔达诺在他的《新作品》（1570年）中发表了三角形。（爱德华兹，第39、44页）-俄罗斯考克斯2022年3月29日
有时也称为Omar Khayyam三角形。
有时也称为杨辉三角形。
C（n，k）=n元集的k元子集的数目。
第n行给出了（1+x）^n展开式中的系数。
二项式（n+k-1，n-1）是将k个无法区分的球放入n个盒子中的方法数（“条形和星形”参数-参见Feller）。
二项式（n-1，k-1）是n与k和的组合数（有序分区）。
二项式（n+k-1，k-1）是n的弱成分（有序弱分区）精确到k个和的数量-尤根·威尔2016年1月23日
二项式（n，k）是使用步骤（1,0）和（1,1）从（0,0）到（n，k）的晶格路径数-乔格·阿恩特，2011年7月1日
如果将其视为无限下三角矩阵，则逆矩阵开始：
+1
-1 +1
+1 -2 +1
-1 +3 -3 +1
+1 -4 +6 -4 +1
可以看作是一个数组，由反对偶读取，其中第一行和第一列中的条目都是1，对于所有其他条目，A（i，j）=A（i-1，j）+A（i、j-1）。从（0,0）开始的每个n×n子数组的行列式为1-杰拉尔德·麦卡维2004年8月17日
此外，矩阵指数的下三角读数，其条目{j+1，j}等于j+1（所有其他条目都为零）Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年5月26日
二项式（n-3，k-1）计算S_n中图案231零次出现、图案132和k下降一次出现的排列。二项式（n-3，k-1）还计算S_n中模式231零次出现、模式213和k下降一次出现的排列David Hoek（David.hok（AT）telia.com），2007年2月28日
考虑整数列表LL的列表L的形式LL=[m#L]=[m#[k#2]]（其中“#”表示“时间”），如LL（m=3，k=3）=[2,2,2]，[2,2,2]，[2,2]]。如果像[1,1]、[2]、[2]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[2]、[1,1]]和[2]、[1]、[2]这样的多个分区只计算一次，LL（m，k）的整数列表分区数等于二项式（m+k，k）。例如，我们发现4*5*6/3！=20=二项式（6,3）-托马斯·维德2007年10月3日
来自Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日：（开始）
二项式（n+k-1，k）是将长度为k的序列划分为n个子序列的方法数（参见Naish链接）。
二项式（n+k-1，k）也是以至少k为基数写的n个（或更少）数字的数目，其数字总和为k。例如，在十进制中，有二项式的（3+3-1,3）=10个3位数，其数字之和为3（参见A052217号)二项式（4+2-1,2）=10个四位数，其数字之和为2（参见A052216号). 此关系可用于生成序列数A052216号到A052224号（以及使用大于10的基数的进一步序列）。（结束）
用sigma_k（x_1，x_2，…，x_n）表示初等对称多项式。然后：
二项式（2n+1,2k+1）=σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n+1）），（i=1,2，…，n）。
二项式（2n，2k+1）=2n*sigma{n-1-k}（x_1，x_2，…，x_{n-1}），其中x_i=tan^2（i*Pi/（2n）），（i=1,2，…，n-1）。
二项式（2n，2k）=σ{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n）），（i=1,2，…，n）。
二项式（2n+1,2k）=（2n+1）sigma_{n-k}（x_1，x_2，…，x_n），其中x_i=tan^2（（2i-1）Pi/（4n+2）），（i=1,2，…，n）。（结束）
给定矩阵R和S，其中R（n，k）=二项式（n，k）*R（n-k）和S（n，k-）=二项式（n、k）*S（n-k。并且，R、s和T的行多项式的例如f.s分别是exp（x*T）*exp[R（.）*x]、exp。行多项式本质上是Appell多项式。请参阅A132382号例如-汤姆·科普兰2008年8月21日
如果A007318号=M作为无限下三角矩阵，M^n给出A130595型,A023531号,A007318号,A038207号,A027465号,A038231号,A038243号,A038255号,A027466号,A038279号,A038291号,A038303号,A038315号,A038327号,133371美元,A147716号,A027467号n分别为-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15-菲利普·德尔汉姆2008年11月11日
多项式的系数，例如f.exp（x*t）*（cosh（t）+sinh（t））-彼得·卢什尼2009年7月9日
三角形或国际象棋的总和，参见A180662号关于它们的定义，将Pascal三角形与二十个不同的序列联系起来，参见交叉引用。由于这个三角形的对称性，所有的总和都成对出现。骑士总金额Kn14-Kn110已添加。值得注意的是，所有骑士和都与斐波那契数相关，即。，A000045号，但其他都没有-约翰内斯·梅耶尔2010年9月22日
二项式（n，k）也是将n+1个球分配到k+1个骨灰盒中的方法的数量，以便每个骨灰盒至少得到一个球。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年1月29日
二项式（n，k）是从{1，…，k}增加到{1，..，n}的函数数，因为有二项式的（n，k）方法从共域{1，，…，n}.中选择范围内k个不同的有序元素。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
二项式（n，k）是以k+1为中间元素的{1，…，n+1}的子集数。要了解这一点，请注意总和{j=0..min（k，n-k）}二项式（k，j）*二项式。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
这是晶格Z^n的坐标三角形，参见Conway-Sloane，1997-N.J.A.斯隆2012年1月17日
高度为1的整数阶乘比序列的三个无穷族之一（参见Bober定理1.2）。其他两个是A046521号和A068555号.对于实际r>=0，C_r（n，k）：=楼层（r*n）/（地板（r*k）*地板（r*（n-k））！）是整数。请参阅A211226型对于r=1/2的情况-彼得·巴拉2012年4月10日
定义一个有n行的有限三角形T（m，k），使T（m、0）=1为左列，T（m）=二项式（n-1，m）为右列，其他条目为T（m；k）=T（m-1，k-1）+T（m-l，k）（如帕斯卡三角形中所示）。T中所有项目的总和（有A000217号（n） 元素）为3^（n-1）-J.M.贝戈2012年10月1日
如果p_i＞p_（i+1），则集合{1，…，n}的置换p_1…p_n在位置i处具有下降。设S（n）表示{1，…，n}的置换p_1…p_n的子集，使得p_（i+1）-p_i<=1，。。。，n-1。然后二项式（n，k）给出了S（n+1）中k下降的置换数。或者，二项式（n，k）给出了S（n+1）中随k+1增加的排列数-彼得·巴拉2013年3月24日
和{n=>0}二项式（n，k）/n！=e/k！，其中e=exp（1），同时允许n<k，其中二项式（n，k）=0。同时求和{n>=0}二项式（n+k-1，k）/n！=e（电子）*A000262号（k） /k！，对于k>=1等于e*A067764号（k）/A067653号（k） ●●●●-理查德·福伯格2014年1月1日
下面公式中定义的Pascal矩阵P（X）的平方n X n子矩阵（前n行和n列）在左边乘以Vandermonde矩阵V（X_1，…，X_n）（第一行中有一个）时，将矩阵转换为V（X_1+X，…，X_n+X），同时保持行列式不变-汤姆·科普兰，2014年5月19日
设G_（2n）是对称群S_（2n。G_（2n）的阶数为2^n。二项式（n，k）给出了具有n+k个循环的G_（2 n）中的置换数。囊性纤维变性。A130534型和A246117号. -彼得·巴拉2014年8月15日
C（n，k）=半长n+1的Dyck路径数，其中k+1“u”位于奇数位置，k+1返回x轴。示例：{U=U在奇数位置，_=返回x轴}二项式（3,0）=1（Uududd_）；二项式（3,1）=3[（Uududd_Ud_），（Ud_Uudd_）；二项式（3,2）=3[（Ud_Ud_U udd_），（Uudd_U d_U d），（U d_Uudd_ d）]；二项式（3,3）=1（Ud_Ud_uUd_）-罗杰·福特2014年11月5日
二项式系数二项式（n，k）给出了n个种群加倍后第k代的个体数。每增加一倍种群，每个个体的克隆都会使其世代指数增加1，从而转到下一行。只需将每一行从0到2^n-1相加即可得到二项式系数。
0 1 3 7 15
0:O|.|..|….||
1:|O|O.|O…|（O…|）O|
2:||O|O操作。|O O O。哦|
3:|||O|O O O O|
4:|||O|
这是一个分形过程：要获得从0到2^n-1的图案，请在图案右侧附加一个从0到2 ^（n-1）-1的图案下移（一行）副本。（灵感来自“二项式堆”数据结构。）
生成指数序列：1’s计数序列：n的二进制展开中的1’s数（或n的二进制权重）（参见A000120号):
{0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...}
0到15的二进制扩展：
0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1111
（结束）
T（n，k）是[n+1]的集合分区w的数量，它们以rb（w）=k避免了1/2/3。对于ls（w）=k也适用，其中避免是在Klazar和ls的意义上，rb由Wachs和White定义。
满足本福德定律[Diaconis，1977]-N.J.A.斯隆2017年2月9日
设{A（n）}是一个有n个完全相同元素的集，{A（0）}为空集E。{A（n，1）}=A{（n）}的所有子集的集合，包括{A（n-）}和E。设A（n，k）是{A（n、k）}中的元素数。然后A（n，k）=C（n+k，k），每次迭代都复制帕斯卡三角形第k对角线的成员。请参见示例-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日
二项式（n-1，k）也是避免213和312的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式（n-1，k）也是避免132和213的排列数，其中k个上升-劳拉·普德威尔2018年12月19日
二项式（n，k）是维数n的向量空间的第k次外幂的维数-斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日
C（n，k-1）是使用k种颜色的n维单纯形的面（或顶点）的无方向着色数。在列举无定向排列时，每个手性对都算作一对-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日
Dilcher和Stolarsky：“数学中最普遍的两个对象是素数序列和二项式系数（以及Pascal三角形）这两者之间的联系是由素数的一个著名特征给出的：考虑帕斯卡三角形第k行中的项，不包括首项和尾项。它们都可以被k整除当且仅当k是素数。" -汤姆·科普兰2021年5月17日
皮埃尔·雷蒙德·德·蒙莫特（1708）以法国数学家、物理学家和哲学家布莱斯·帕斯卡（1623-1662）的名字命名为“帕斯卡组合表”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日
将三角形的第n条对角线视为序列b（n），n从0开始。通过保持第0项不变，然后考虑n的所有组成，从中形成一个新序列，取b（i）对每个组成中相应数字i的乘积，加上与偶数部分组成对应的项，减去与奇数部分组成相对应的项。然后得到三角形的第n行，每第二项乘以-1，后面跟着无穷多个零。对于以1开头的序列，此操作是自反转操作的特例，因此反之亦然-托马斯·安东2021年7月5日
C（n，k）是n维单位超立方体中的顶点数，距离给定顶点L1距离为k（或：具有k个1d边的最短路径）-艾坦·莱文2023年5月1日
C（n+k-1，k-1）是无限维框中距给定顶点L1距离处的顶点数，对于每m>=0，该框具有长度为2^m的k条边。等价地，给定一组包含k个可区分令牌的令牌，每个m>=0的值为2^m，C（n+k-1，k-1）是总值为n的令牌子集的数量-艾坦·莱文，2023年6月11日
第k列中的数，即，对于n>=k，形式为C（n，k）的数，称为k-单纯形数-蓬图斯·冯·布罗姆森2023年6月26日
设r（k）是第k行，c（k）为第k列。用*表示卷积，用^表示重复卷积。然后r（k）*r（m）=r（k+m）和c（k）*c（m）=c（k+m+1）。这是因为r（k）=r（1）^k和c（k）=c（0）^k+1-艾坦·莱文2023年7月23日
长度n的排列数同时避免了图案231和312（分别为213和231；213和312）和k个下降（相当于k个上升）。置换a（1）a（2）中的上升（分别是下降）。。。a（n）是位置i，使得a（i）<a（i+1）（相应地，a（i-田汉2023年11月25日
C（n，k）是m=0阶的广义二项式系数。通过公式C（n，k）=和{i=0..n-k}二项式（n+1，n-k-i）*斯特林2（i+m+1，i+1）*（-1）^i计算，其中m=0表示n>=0，0<=k<=n-伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科2023年2月26日
Akiyama-Tanigawa算法应用于对角线二项式（n+k，k），得出n的幂-谢尔·卡潘，2024年5月3日
参考文献
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配方奶粉
a（n，k）=C（n，k）=二项式（n，克）。
C（n，k）=C（n-1，k）+C（n-1，k-1）。
三角形是对称的：C（n，k）=C（n、n-k）。
a（n+1，m）=a（n，m）+a（n、m-1），a（n；-1）：=0，a（m，n）:=0，n<m；a（0，0）=1。
C（n，k）=n/（k！（n-k）！）如果0<=k<=n，则为0。
G.f.：1/（1-y-x*y）=总和（C（n，k）*x^k*y^n，n，k>=0）
G.f.：1/（1-x-y）=和_（C（n+k，k）*x^k*y^n，n，k>=0）。
第n行的G.f:（1+x）^n=Sum_{k=0..n}C（n，k）*x^k。
柱k的G.f:x^k/（1-x）^（k+1）；[更正人沃纳·舒尔特，2022年6月15日]。
例如：A（x，y）=exp（x+x*y）。
例如，对于n列：x^n*exp（x）/n！。
一般来说A007318号表示为：T（0，0）=1，T（n，k）=T（n-1，k-1）+m*T（n-1，k），其中n是行index，k是列；T（n，k）=m^（n-k）*C（n，k）。
设P（n+1）=（n+1）的整数分区数；设p（i）=（n+1）的第i个分区的部分数；设d（i）=（n+1）的第i个分区的不同部分的数目；设m（i，j）=（n+1）的第i分区的第j部分的重数。将运算符Sum_{i=1..P（n+1），P（i）=k+1}定义为从i=1到i=P（n/1）的和，但只考虑具有P（i）=（k+1）部分的分区。定义操作符Product_{j=1..d（i）}=Product从j=1运行到j=d（i）。那么C（n，k）=和{p（i）=（k+1），i=1.p（n+1）}p（i[产品{j=1..d（i）}m（i，j）！]。例如，C（5，3）=10，因为n=6有以下m=3部分的分区：（114），（123），（222）。对于它们的多重性，我们有：（114）：3/(2!*1!) = 3; (123): 3!/(1!*1!*1!) = 6; (222): 3!/3! = 1.总和为3+6+1=10=C（5,3）-托马斯·维德2005年6月3日
通用格式：1+x*（1+x）+x^3*（1++x）^2+x^6*（1+x）^3+-迈克尔·索莫斯2006年9月16日
C（t+p-1，t）=和{i=0..t}C（i+p-2，i）=和}i=1..p}C（i+t-2，t-1）。二项式数是它的左父母和所有右祖先的总和，等于它的右父母和所有左祖先的总和Lee Naish（Lee（AT）cs.mu.oz.au），2008年3月7日
设A（x）=Sum_{n>=0}x^（n*（n+1）/2）*（1+x）^n是平面三角形的g.f:
A（x）=1+（x+x^2）+（x^3+2*x^4+x^5）+（x ^6+3*x^7+3*x ^8+x^9）+。。。
则A（x）等于级数Sum_{n>=0}（1+x）^n*x^n*Product_{k=1..n}（1-（1+x）*x^（2*k-1））/（1-（1+x）*x ^（2*k））；
此外，A（x）等于连分数1/（1-x*（1+x）/（1+x*（1-x）*（1+x）/）。
这些公式是由于（1）q级数恒等式和（2）部分椭圆θ函数表达式。（结束）
三角形的第n行（n>=0）由无穷矩阵P^n的第n对角化给出，其中P=（P_{i，j}），i，j>=0是生产矩阵
0, 1,
1, 0, 1,
0, 1, 0, 1,
0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
…（结束）
三角形的第n行也由多项式P_n（x）的n+1个系数给出，多项式P_n（x）由递推式P_0（x）=1，P_1（x）=x+1，P_n（x）=x*P_{n-1}（x）+P_{n-2}（x），n>1定义-L.埃德森·杰弗里2013年8月12日
（1+x）^n=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*二项式（n，k）*和{i=0..k}k^（i-i）*二项式（k，i）*x^（n-i）/（n-i）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月21日
例如：A（x，y）=exp（x+x*y）=1+（x+y*x）/（E（0）-（x+y*x）），其中E（k）=1+；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年11月8日
例如：E（0）-1，其中E（k）=2+x*（1+y）/（2*k+1-x*（1+y）/E（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日
通用系数：1+x*（1+x）*（1+x^2*（1++x）/（W（0）-x^2-x^3）），其中W（k）=1+（1+x）*x^（k+2）-（1+x）*xqu（k+3）/W（k+1）；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年12月24日
和{n>=k}1/C（n，k）=k/（k-1）对于k>=1-理查德·福伯格2014年2月10日
将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n，并将结果指定为A007318号（x） =P（x）。然后利用：xD:^n=x^n*（d/dx）^n和B（n，x），Bell多项式(A008277号),
A） P（x）=经验（x*dP）=经验[x*（e^M-I）]=经验[M*B（.，x）]=（I+dP）^B（.、x）
C） P（x）^y=P（y*x）。P（2倍）=A038207号（x） =exp[M*B（.，2x）]，n维超立方体的面向量。
D） P（x）=[St2]*exp（x*M）*[St1]=[St2]*（I+dP）^x*[St1）
E） =[St1]^（-1）*（I+dP）^x*[St1]=[St2]*
递归方程：T（n，k）=T（n-1，k）*（n+k）/（n-k）-T。注意，将递归中的减号改为加号可以递归二项式系数的平方-参见A008459号.
行的例如f.和三角形的对角线之间有一个关系，即exp（x）*例如f.对于行n=例如f.对角线n。例如，对于n=3，我们有exp（x）*（1+3*x+3*x^2/2！+x^3/3！）=1+4*x+10*x^2！+20*x^3/3！+35*x^4/4！+。。。。此属性更普遍地适用于形式为（f（x），x/（1-x））的Riordan数组，其中f（x）是形式为1+f_1*x+f_2*x^2+…的o.g.f。。。。例如，请参见，A055248号和A106516号.
让P表示现在的三角形。对于k=0,1,2，。。。定义P（k）为下单位三角形块数组
/确定0（_k）\
\0p/具有k×k单位矩阵I_ k作为左上块；特别地，P（0）=P。无穷乘积P（0，P（1）*P（2）*。。。，这是明确定义的，等于第二类斯特林数的三角形A008277号.按相反顺序的无穷乘积，即*P（2）*P（1）*PA130534型.（结束）
C（a+b，C）=和{k=0..a}C（a，k）*C（b，b-C+k）。这是普鲁德尼科夫等人参考文献第4.2.5节方程式1的推广，其中a=b=c=n:c（2*n，n）=Sum_{k=0..n}c（n，k）^2。有关新公式的动画，请参见“链接”部分-赫尔曼·斯坦姆·威尔勃朗2015年8月26日
Pascal矩阵P（n，x）=（1+x）^n的行多项式与Bernoulli多项式Br（n，x）及其本影合成逆Bv（n，x=（-Br（.，-Bv（.，x））^n=（-1）^n Br，M是对角矩阵图（1，-1,1，-1，…），Br是伯努利多项式系数的矩阵，Bv是由Br（n，Bv（.，x））=x^n=Bv（n，Br（.，x））定义的本影逆多项式的矩阵。注M=M^（-1）-汤姆·科普兰2015年9月5日
1/（1-x）^k=（r（x）*r（x^2）*r其中r（x）=（1+x）^k-加里·亚当森2016年10月17日
Riordan阵列k列的Boas-Buck型递归（参见2017年8月10日的备注A046521号，也供参考），Boas-Buck序列b（n）={repeat（1）}。T（n，k）=（（k+1）/（n-k））*Sum_{j=k..n-1}T（j，k），对于n>=1，T（n、n）=1。通过T（n，k）=二项式（n，k），这可以简化为已知的二项式恒等式（例如，Graham等人，第161页）-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日
C（（p-1）/a，b）==（-1）^b*fact_a（a*b-a+1）/fact_a（a*b）（mod p），其中fact_n表示第n个多因子，a除以p-1，方程右侧分数的分母表示模逆-艾萨克·萨福克2019年1月7日
和{k=0..n}C（n+k，2*k+1）=F（2*n）。
和{k=0..n}C（n+k，2*k）=F（2*n+1）。（结束）
例子
三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
...
有C（4,2）=6种方式在3个不同的瓮中分配5个球BBBBB，<>（）[]，以便每个瓮获得至少一个球，即<BBB>（B）[B]、<B>（BBB。
从{1,2}到{1,2,3,4}有C（4,2）=6个递增函数，即{（1,1），（2,2）}，{（1.11）-丹尼斯·沃尔什2011年4月7日
含有中间元素3的{1,2,3,4,5}的C（4,2）=6个子集，即{3}、{1,3,4}、}1,3,5}、{2,3,4]、{2,5}和{1,2,4,5{-丹尼斯·沃尔什2011年12月15日
{A（0）}=E的连续k次迭代是E；E；E、 ；。。。；相应的元素数为1,1,1，。。。{A（1）}={A}的连续k次迭代是（省略括号）A；a、 E；a、 E，E；。。。；相应的元素数为1,2,3，。。。{A（2）}={A，A}的连续k次迭代是aa；aa、a、E；aa、a、E和a、E与E；。。。；相应的元素数量为1，3，6-格雷戈里·西蒙，2018年8月6日
k列的Boas-Buck型递推=4:T（8，4）=（5/4）*（1+5+15+35）=70。请参阅上面的Boas-Buck评论-沃尔夫迪特·朗2018年11月12日
数学
扁平[表[二项式[n，k]，{n，0，11}，{k，0，n}]](*罗伯特·威尔逊v2004年1月19日*）
压扁[系数列表[系数列表[Series[1/（1-x-x*y），{x，0，12}]，x]，y]](*Mats Granvik公司2014年7月8日*）
黄体脂酮素
（公理）--（开始）
)设置expose添加构造函数OutputForm
帕斯卡（0，n）==1
帕斯卡（n，n）==1
帕斯卡（i，j|0<i和i<j）==帕斯卡
pascalRow（n）==[pascal（i，n）for i in 0..n]
displayRow（n）==输出中心空白分隔行（n）
对于0..20中的i，重复显示第i行--（结束）
（Python）#请参阅Hobson链接。其他计划：
从数学导入prod，阶乘
定义C（n，k）：返回prod（范围（n，n-k，-1））//阶乘（k）#M.F.哈斯勒，2019年12月13日，2022年4月29日更新，2023年2月17日更新
（哈斯克尔）
a007318 n k=a007318_tabl！！不！！k个
a007318_row n=a007318-tabl！！n个
a007318_list=连接a007318-tabl
a007318_tabl=迭代（\row->zipWith（+）（[0]++行）（row++[0]））[1]
--参见。http://www.haskell.org/haskellwiki/Blow_your_mind#Mathematical_sequences
（极大值）create_list（二项式（n，k），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（Sage）def C（n，k）：返回子集（range（n），k）.cardinality（）#拉尔夫·斯蒂芬2014年1月21日
（岩浆）/*作为三角形：*/[[二项式（n，k）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//文森佐·利班迪，2015年7月29日
（GAP）平面（列表（[0..12]，n->List（[0..n]，k->二项式（n，k）））#斯特凡诺·斯佩齐亚2018年12月22日
交叉参考
等于A102363号——David G.Williams（大卫·威廉姆斯（AT）Paxway.com），2006年1月23日
囊性纤维变性。A008277号,A132311号,A132312号,A052216号,A052217号,A052218号,A052219号,A052220型,A052221号,A052222号,A052223号,A144225号,202750英镑,A211226型,A047999美元,A026729号,A052553号,A051920号,A193242号.
斐波那契-帕斯卡三角形：A027926号,A036355号,A037027号,A074829号,A105809号,A109906号,A111006号,A114197年,A162741号,A228074号,A228196型,A228576号.
m=2..12时广义二项式系数（n，k）_m的三角形（或广义Pascal三角形）：A001263号,A056939号,A056940号,A056941号,A142465号,A142467号,A142468号,A174109号,A342889型,A342890型,A342891型.
扩展
检查了所有链接，删除了8个似乎永远丢失的链接，这些链接可能并不重要-N.J.A.斯隆2018年5月8日
长椭圆形（或短圆形、短圆形或短圆形）数字：a（n）=n*（n+1）。
（原名M1581 N0616）
+10
785
0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550
评论
根据韦伯斯特第二版，正确的单词是“promic”-R.K.盖伊
a（n）是根晶格a_n中的最小向量数（见Conway和Sloane，第109页）。
设M_n表示n×n矩阵M_n（i，j）=（i+j）；那么M_n的特征多项式是x^（n-2）*（x^2-a（n）*x-A002415号（n） ）-贝诺伊特·克洛伊特2002年11月9日
对于j<k<=n，对于n>1，所有对（j，k）的最大LCM-罗伯特·威尔逊v2004年6月19日
第一个差异是a（n+1）-a（n）=2*n+2=2，4，6。。。（而平方的第一个差是（n+1）^2-n^2=2*n+1=1，3，5，…）-亚历山大·瓦恩伯格2005年12月29日
快速（心理）乘法/因式分解技术——Lekraj Beedassy评论的推广：对于所有基b>=2和正整数n，c，d，k，c+d=b^k，我们有（n*b^k+c）*（n*b ^k+d）=A（n）*b^（2*k）+c*d。因此乘积的最后2*k个基-b数字正好是c*d的数字，包括前导0（s）根据需要--前面的以b为基数的数字与a（n）的数字相同。示例：十进制中，113*117=13221（n=11，b=10=3+7，k=1，3*7=21，a（11）=132）；在八进制中，61×67=5207（52是八进制中的a（6））。特别地，对于b=2*m（m>0）和c=d=m，这样的乘积是这种类型的平方。小数因式分解：5609立即被视为71*79。同样，120099=301*399（此处k=2）和99990000001996=9999002*9999998（k=3）-里克·L·谢泼德2021年7月24日
迭代平方根sqrt序列（N+sqrt（N+…））对于N=1,2。。。极限（1+sqrt（1+4*N））/2。对于N=a（N），该极限为N+1，N=1，2。。。。对于所有其他数字N，N>=1，此极限不是自然数。示例：n=1，a（1）=2:sqrt（2+sqrt…））=1+1=2；n=2，a（2）=6:sqrt（6+sqrt，6+…））=1+2=3-沃尔夫迪特·朗2006年5月5日
可被上限（sqrt（m））整除的非方形整数m，m=0除外-马克斯·阿列克塞耶夫2006年11月27日
（n+1）X（n+1”）矩阵的非对角元素数-阿图尔·贾辛斯基2007年1月11日
a（n）等于函数f:{1，2}->{1，2，…，n+1}的个数，因此对于{1，2]中的固定x和{1，2中，…，n+1}中的一个固定y，我们有f（x）<>y.-Aleksandar M.Janjic和米兰Janjic2007年3月13日
数字m>=0，使fract（sqrt（m+1））>1/2，fract（mqrt（m））<1/2，其中fract（x）是分数部分（fract（x）=x-floor（x），x>=0）-Hieronymus Fischer公司2007年8月6日
方程4*X^3+X^2=Y^2的解的X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（2n+1）-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
如果Y是n个集合X的2个子集，那么对于n>=2，a（n-2）是X的2个子集和3个子集的数量，它们正好有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年12月28日
a（n）与Redheffer矩阵中均匀宽度抛物线的顶点重合，指向零。整数p是素数当且仅当对于所有整数k，当y=p时，抛物线y=kx-x^2不具有1<x<k的整数解；a（n）对应奇数k-莱库·库隆2008年11月30日
超几何函数3F2某些值的第三个差导致长圆数的平方，即3F2（[1，n+1，n+1），[n+2，n+2]，z=1）-3*3F2 1/（（n+2）*（n+3））^2表示n=-1， 0, 1, 2, ... . 另请参见A162990型. -约翰内斯·梅耶尔2009年7月21日
对于n>1，a（n）是函数f:{1，2}->{1，…，n+2}的数目，其中f（1）>1和f（2）>2。注意，f（1）有n+1个可能值，f（2）有n个可能值。例如，a（3）=12，因为有12个函数f从{1,2}到{1,2,3,4,5}，其中f（1）>1和f（2）>2-丹尼斯·沃尔什2011年12月24日
a（n）给出了包含两个1的对称（0，1）-矩阵（n+1）X（n+1）的个数（参见[Cameron]）-L.埃德森·杰弗里2012年2月18日
a（n）是[n+2]x[n+2]中带有|x-y|>1的有序对（x，y）的数量-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是从{1，2}到{1，2，…，n+1}的内射函数数-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是2n+2的分区部分的正差之和，正好分成两部分（参见示例）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
a（n）/a（n-1）对e^（2/n）是渐近的-理查德·福伯格2013年6月22日
D_{n+1}型根系中的正根数（对于n>2）-汤姆·埃德加2013年11月5日
A_n型根系统中的根数（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于m>=1，a（m）是唯一的正整数值t，对于该正整数值，b（0）=0且b（1）=1的递归b（n）=b（n-1）+t*b（n-2）的Binet-de-Moivre公式具有平方根。证明（根据建议沃尔夫迪特·朗（2014年3月26日）：如果4t+1=（2m+1）^2，即t=a（m），m>=1，则出现在特征方程的零点r1和r2中的sqrt（1+4t）是正整数t的（正）整数。因此，特征根是整数：r1=m+1和r2=-m。
设m>1为整数。如果b（n）=b（n-1）+a（m）*b（n-2），n>=2，b（0）=0，b（1）=1，那么lim_{n->oo}b（n+1）/b（n）=m+1。（结束）
囊性纤维变性。A130534型对于与着色森林的关系，旗杆上旗帜的配置，以及完整图（这里简称K_2）顶点的着色（色多项式）-汤姆·科普兰2014年4月5日
整数k的集合，其中k+sqrt（k+sqrt。。。是一个整数-莱斯利·科勒2014年4月11日
a（n-1）是最大的数字k，使得（n*k）/（n+k）是整数-德里克·奥尔2014年5月22日
在长度为n-2的条带上放置domino和singleton的方法数量-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月9日
对于n>1，n值a（1）到a（n）的调和平均值为n+1。累加调和平均数为整数的递增正整数的最小无限序列-伊恩·达夫2015年2月1日
a（n）是在（n+2）X（n+2）棋盘上，一种颜色的皇后可以共存而不攻击对手颜色的一个皇后的最大数量。唯一的王后可以放置在棋盘周边的任何位置-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
在a（0）=1的情况下，a（n-1）是不在序列中的最小正数，因此Sum_{i=1..n}1/a（i-1）的分母等于n-德里克·奥尔2015年6月17日
这个序列的正成员是所谓的1-幸福夫妇产品的适当子序列A007969号参见W.Lang链接，等式（4），Y_0=1，末尾有一个表格-沃尔夫迪特·朗2015年9月19日
对于n>0，a（n）是区间[0，1]中x的上边界为y=x^（n-1），下边界为y=x^n的面积的倒数。对所有这些面积求和直观地演示了下面的公式，即求和{n>=1}1/a（n）=1-里克·L·谢泼德2015年10月26日
看起来，除了a（0）=0之外，这是一组正整数n，因此x*floor（x）=n没有解。（例如，要得到3，取x=-3/2。）-梅尔文·佩拉尔塔2016年4月14日
如果两个独立的实随机变量x和y按照相同的指数分布进行分布：pdf（x）=lambda*exp（-lambda*x），lambda>0，则n-1<=x/y<n的概率由1/a（n）给出-安德烈斯·西卡廷2016年12月3日
a（n）等于n对不同的连续奇数之间所有可能的差异之和（参见示例）-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
a（n+1）是平面上多项式系数高达n阶的向量场空间的维数-马丁·利希特2016年12月4日
此外，（n+3）-三角形蜂窝状锐角骑士图中的3个圈数-埃里克·韦斯特因2017年7月27日
由偶数组成的弗洛伊德三角形的左边缘：0；2, 4; 6, 8, 10; 12, 14, 16, 18; 20, 22, 24, 26, 28; ... 给出0、2、6、12、20。。。右边缘生成A028552号. -Waldemar Puszkarz公司2018年2月2日
a（n+1）是偏序集上的行运动顺序，该偏序集通过将唯一的最小（或最大）元素与至少两个n个元素链的不相交并邻接而获得-尼克·梅耶斯，2018年6月1日
对于n>0，1/a（n）=n/（n+1）-（n-1）/n。
例如，1/6=2/3-1/2；1/12 = 3/4 - 2/3.
由此推论：
服用1/2粒。
第二天，服用1/6粒。1/2+1/6=2/3，所以你的日均值是1/3。
第二天，服用1/12粒。2/3+1/12=3/4，所以你的日平均值是1/4。
依此类推。（结束）
对于一个长方形数m>=6，存在一个欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序以公共整数比b进行几何级数。对于b>=2和q>=1，欧几里得除法为m=qb*（qb+1）=qb^2*q+qb，其中（q，qb，qb^2）是几何级数。
具有不同比率和商的一些示例：
6 | 4 30 | 25 42 | 18
----- ----- -----
2 | 1 , 5 | 1 , 6 | 2 ,
以及：
42 | 12 420 | 100
----- -----
6 | 3 , 20 | 4 .
一些长方形数也满足欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序进行几何级数，但具有共同的非整数比b>1（参见A335064型). （结束）
a（n-2）是所有n个顶点树的最大不规则度。极值图是恒星。（图形的不规则性是图形所有边上度数差的总和。）-艾伦·比克2023年5月29日
a（n-1）是具有n个顶点的所有树的最大萨格勒布指数。极值图是恒星。（图的萨格勒布指数是图的所有顶点上度数的平方和。）-艾伦·比克，2024年4月11日
对于n>=1，a（n）是2*n+1顶点上循环图距离矩阵的行列式（如果循环长度是偶数，则行列式为零）-米克尔·A·菲尔，2024年8月20日
参考文献
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H.Eves，《数学史导论》，修订版，霍尔特、莱茵哈特和温斯顿，1964年，第72页。
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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D.Suprijanto和Rusliansyah，关于四除整数幂和的观察《应用数学科学》，第8卷，2014年，第45期，2219-2226页。
R.Tijdeman，丢番图逼近的一些应用《数论调查》（Urbana，2000年5月21日）第261-284页，M.A.Bennett等人编辑，Peters，2003年。
Wolfram研究公司，超几何函数3F2，Wolfram Functions网站。
配方奶粉
总尺寸：2*x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）=a（n-1）+2*n，a（0）=0。
和{n>=1}a（n）=n*（n+1）*（n+2）/3（比较。A007290号，部分总和）。
和{n>=1}1/a（n）=1。（参考蒂德曼）
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=log（4）-1=A016627号-1[乔利方程（235）]。
1=1/2+和{n>=1}1/（2*a（n））=1/2+1/4+1/12+1/24+1/40+1/60+。。。部分和：1/2、3/4、5/6、7/8、9/10、11/12、13/14-加里·亚当森2003年6月16日
a（n）*a（n+1）=a（n*（n+2））；例如，a（3）*a（4）=12*20=240=a（3*5）-查理·马里恩2003年12月29日
和{k=1..n}1/a（k）=n/（n+1）-罗伯特·威尔逊v2005年2月4日
对数2=和{n>=0}1/a（2n+1）=1/2+1/12+1/30+1/56+1/90+…=(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + (1/7 - 1/8) + ... = 和{n>=0}（-1）^n/（n+1）=A002162号. -加里·亚当森2003年6月22日
（2，6，12，20，30，…）=（2，4，2）的二项式变换-加里·亚当森，2007年11月28日
a（n-1）=楼层（n^5/（n^3+n^2+1））-加里·德特利夫斯2010年2月11日
对于n>0，a（n）=1/（积分{x=0..Pi/2}2*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
求和{n>=1}1/（a（n））^（2s）=求和{t=1..2*s}二项式（4*s-t-1，2*s-1）*（（1+（-1）^t）*zeta（t）-1）。参见Arxiv:1301.6293-R.J.马塔尔2013年2月3日
当n>0时，a（n）^2+a（n+1）^2=2*a（n+1^2）-伊万·伊纳基耶夫2013年4月8日
a（n）=楼层（n^2*e^（1/n））和a（n-1）=楼层-理查德·福伯格2013年6月22日
[0,2,2,0,0,0，…]的二项式变换-阿洛伊斯·海因茨2015年3月10日
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..1}（x^（n-1）-x^n）dx）-里克·L·谢泼德2015年10月26日
对于n>0，a（n）=lim_{m->oo}（1/m）*1/（Sum_{i=m*n..m*（n+1）}1/i^2），误差为~1/m-理查德·福伯格2016年7月27日
Dirichlet g.f.：zeta（s-2）+zeta（s-1）。
和{n>=0}a（n）/n！=3*经验（1）。（结束）
a（n）*a（n+2k-1）+（n+k）^2=（（2n+1）*k+n^2）^2。
a（n）*a（n+2k）+k^2=（（2n+1）*k+a（n））^2。（结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月20日
2003年12月29日公式A（n）*A（n+1）=A（n*（n+2））的推广如下。a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k+1））+（k-1）*n*（n+k+1）-查理·马里恩2023年1月2日
例子
a（3）=12，因为2（3）+2=8有4个分区，正好有两部分：（7,1），（6,2），（5,3），（4,4）。将每个分区中各部分的正差异相加，得到：6+4+2+0=12-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
G.f.=2*x+6*x^2+12*x^3+20*x^4+30*x^5+42*x^6+56*x^7+-迈克尔·索莫斯2014年5月22日
a（1）=2，因为45-43=2；
a（2）=6，因为47-45=2和47-43=4，那么2+4=6；
a（3）=12，因为49-47=2，49-45=4，49-43=6，然后2+4+6=12。（结束）
数学
表[n（n+1），｛n，0，50｝](*罗伯特·威尔逊v2004年6月19日*）
长方形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[4 n+1]；选择[范围[0，2600]，长方形Q](*罗伯特·威尔逊v，2011年9月29日*）
2累计[范围[0，50]](*哈维·P·戴尔2011年11月11日*）
线性递归[{3，-3，1}，{2，6，12}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月27日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=n*（n+1）}；
（PARI）concat（0，Vec（2*x/（1-x）^3+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月26日
（PARI）是（n）=我的（m=平方（n））；m*（m+1）==n\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年11月1日
（哈斯克尔）
a002378 n=n*（n+1）
a002378_list=zipWith（*）[0..][1..]
（岩浆）[0..100]]中的[n*（n+1）:n//韦斯利·伊万·赫特2015年10月26日
（标量）（2到100乘2）.scanLeft（0）（_+_）//阿隆索·德尔·阿特2019年9月12日
（Python）
定义a（n）：返回n*（n+1）
打印（[a（n）代表范围（51）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年1月13日
交叉参考
囊性纤维变性。A035106型,A087811号,A119462年,A127235号,A049598号,A124080型,A033996号,A028896号,A046092号,A000217号,A005563号,A046092号,A001082号,A059300型,A059297号,A059298号,A166373号,A002943号（二等分），A002939号（二等分），A078358美元（补语）。
由第一类斯特林数行读取的三角形，s（n，k），n>=1，1<=k<=n。
+10
262
1, -1, 1, 2, -3, 1, -6, 11, -6, 1, 24, -50, 35, -10, 1, -120, 274, -225, 85, -15, 1, 720, -1764, 1624, -735, 175, -21, 1, -5040, 13068, -13132, 6769, -1960, 322, -28, 1, 40320, -109584, 118124, -67284, 22449, -4536, 546, -36, 1, -362880, 1026576, -1172700, 723680, -269325, 63273, -9450, 870, -45, 1
评论
无符号数也称为斯特林循环数：|s（n，k）|=正好有k个循环的n个对象的排列数。
无符号数字（从右到左读取）也给出了复杂度为k的1..n的置换数，其中置换的复杂度定义为周期长度减去周期数之和。换句话说，复杂性等于所有周期的（周期长度）-1之和。对于n=5，复杂度为0、1、2、3、4的排列数为1、10、35、50、24-N.J.A.斯隆2019年2月8日
无符号数字也是1..n从左到右最大k的排列数（参见Khovanova和Lewis，Smith）。
其中P（n）=n的整数分区数，T（i，n）=n的第i个分区的部分数，D（i，n）=n第i个划分的不同部分数，P（j，i，n=从i=1到i=p（n）的和，但只考虑T（i，n）=k部分的分区，Product_{j=1..T（i、n）}=从j=1到j=T（i），Product__{j=1..D（i，n）}=从j=1到j=D（i）的积，其中S1（n，k）=sum_[T（i p（j，i，n））*（1/Product_{j=1..D（i，n。例如，S1（6,3）=225，因为n=6具有以下k=3部分的分区：（114）、（123）、（222）。他们的肤色是：（114）：（6！/1*1*4）*（1/2！*1！）=90，（123）：。配位的总和为90+120+15=225=S1（6,3）-托马斯·维德2005年8月4日
|s（n，k）枚举了由k个递增的非平面（无序）树组成的无序n顶点森林。第一列的f和f.Bergeron等人的参考文献，特别是表1最后一行（非平面“递归”）的证明，如A049029号. -沃尔夫迪特·朗2007年10月12日
|s（n，k）枚举了由k个一元树组成的无序递增n顶点k森林（从{0,1}导出r），其深度顶点（与根的距离）j>=0以j+1颜色表示（对于k根，j=0）-沃尔夫迪特·朗2007年10月12日，2008年2月22日
第一类Stirling数与下降阶乘和1924年Norlund通过求和{k=1..n+1}T（n+1，k）*x^（k-1）=（x-1）卷积或广义Bernoulli数B_n有关/（x-1-n）！=（x+B.（0））^n=B_n（x），用（B.（0-汤姆·科普兰2015年9月29日
如果x=e^z、D_x=D/dx、D_z=D/dz和p_n（x），则此条目的行多项式为x^n（D_x）^n=p_n（D_z-n）！=（xD_x）！/（xD_x-n）-汤姆·科普兰2015年11月27日
从算子关系z+Psi（1）+sum_{n>0}（-1）^n（-1/n）二项式（D，n）=z+Psi（1+D），其中D=D/dz，Psi是digamma函数，Zeta（n+1）=sum_{k>n-1}（1/k）|S（k，n）|/k！对于n>0且Zeta为Riemann-Zeta函数-汤姆·科普兰2016年8月12日
让X_1，。。。，X_n是具有平均值=1的指数分布的i.i.d.随机变量。设Y=最大值{X_1，…，X_n}。那么（-1）^n*n/（Sum_{k=1..n+1}a（n+1，k）t^（k-1））是Y的矩母函数。Y的期望值是n次谐波数-杰弗里·克雷策，2018年12月25日
在描述无限等位基因模型下大小为n的样本中等位基因类大小的多元概率分布的Ewens抽样理论中，|s（n，k）|给出了n个等位基因样本恰好具有k个不同类型的概率公式中的系数-诺亚·罗森伯格2019年2月10日
尼尔森（1906）以苏格兰数学家詹姆斯·斯特林（1692-1770）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日和2023年10月2日
牛顿于1664或1665年写的手稿（Turnbull第169页）中发现了前几行多项式和递归公式，给出了有理幂二项式定理的几何表示-汤姆·科普兰，2022年12月10日
参考文献
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链接
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Dragoslav S.Mitrinović和Ruíica S.Mitrinović，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。，第77号（1962年），第1-77页。
Dragoslav S.Mitrinović和Ruíica S.Mitrinović，斯特林名录贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。，第77号（1962年），第1-77页【jstor稳定版】。
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詹姆斯·斯特林，微分法伦敦，1749年；见第10页。
配方奶粉
s（n，k）=s（n-1，k-1）-（n-1）*s（n-l，k），n，k>=1；s（n，0）=s（0，k）=0；s（0，0）=1。
无符号数a（n，k）=|s（n，k）|满足a（n、k）=a（n-1，k-1）+（n-1）*a（n-l，k），n，k>=1；a（n，0）=a（0，k）=0；a（0，0）=1。
E.g.f.：对于第m列（无符号）：（（-log（1-x））^m）/m！。
s（n，k）=T（n-1，k-1），n>1和k>1，其中T（n，k）是三角形[1，-1，-2，-2，-3，-3，-4，-4，-5，-6，-6，…]DELTA[1，0，1A084938号。无符号数字也为|s（n，k）|=T（n-1，k-1），对于n>0和k>0，其中T（n，k）=[1，1，2，2，3，3，4，4，5，…]DELTA[1，0，1，0，0，…]。
求和{i=0..n}（-1）^（n-i）*斯特林S1（n，i）*二项式（i，k）=（-1）*（n-k）*斯特林S1（n+1，k+1）.-卡罗·伍德（Carlo（AT）alinoe.com），2007年2月13日
G.f.:S（n）=乘积_{j=1.n}（x-j）（即，（x-1）*（x-2）*（x-3）=x^3-6*x^2+11*x-6）-乔恩·佩里2005年11月14日
a（n，k）=s（n，k）=lim_{y->0}和{j=0..k}（-1）^j*二项式（k，j）*（（-j*y）/（-j*y-n）！）*y^（-k）/k！=求和{j=0..k}（-1）^（n-j）*二项式（k，j）*（（j*y-1+n）/（j*y-1）！）*y^（-k）/k-汤姆·科普兰2015年8月28日
设x_（0）：=1（空积），且对于n>=1：
x_（n）：=Product_{k=0..n-1}（x-k），称为阶乘项（Boole，1970）或阶乘多项式（Elaydi，2005:p.60），以及x_（-n）：=1/[Product_{k=0..n-1{（x+k）]。
然后，对于n>=1:x_（n）=Sum_{k=1..n}T（n，k）*x^k，1/[x_（-n）]=Sum_{k=1A008277号（n，k）*x_（k），其中A008277号（n，k）是第二类斯特林数。
行和（有符号值或绝对值）是和{k=1..n}T（n，k）=0^（n-1），和{k=1..n}|T（n、k）|=T（n+1）=n！。（结束）
s（n，m）=（（-1）^（n-m）/n）*和{i=0..m-1}C（2*n-m-i，m-i-1）*A008517号（n-m+1，n-m-i+1）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2018年2月14日
正交关系：和{i=0..n}i^p*和{j=k.n}（-1）^（i+j）*二项式（j，i）*斯特林1（j，k）/j！=δ（p，k），i，k，p<=n，n>=1-列奥尼德·贝德拉图克2020年7月27日
求和{k=1..n}（-1）^k*k*T（n，k）=-T（n+1，2）。
求和{k=1..n}k*T（n，k）=（-1）^n*（n-2）！=当n>=2时，T（n-1，1）。（结束）
第n行多项式=n*求和{k=0..2*n}（-1）^（n+k）*二项式（x，k）*二项式（x-1，2*n-k）=n*求和{k=0..2*n+1}（-1）^（n+k+1）*二项式（x，k）*二项式（x-1，2*n+1-k）-彼得·巴拉2024年3月29日
例子
|s（3,2）|=3，对于三个无序2-森林，有三个顶点和两个增加（非平面）树：（1），（2,3）），（2），（1,3））（3），（1，2））。
三角形开始：
1
-1, 1
2, -3, 1
-6, 11, -6, 1
24, -50, 35, -10, 1
-120, 274, -225, 85, -15, 1
720, -1764, 1624, -735, 175, -21, 1
-5040, 13068, -13132, 6769, -1960, 322, -28, 1
40320, -109584, 118124, -67284, 22449, -4536, 546, -36, 1
同一三角形的另一个版本，来自乔格·阿恩特，2009年10月5日：（开始）
s（n，k）：=恰好具有k个循环的n个元素的置换数（“斯特林循环数”）
n |总m=1 2 3 4 5 6 7 8 9
-+-----------------------------------------------------
1| 1 1
2| 2 1 1
3| 6 2 3 1
4| 24 6 11 6 1
5| 120 24 50 35 10 1
6| 720 120 274 225 85 15 1
7| 5040 720 1764 1624 735 175 21 1
8| 40320 5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1
9| 362880 40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1
（结束）
|s（4,2）|=11是由（1），（23）（24）），（2），（13）（14），（3），（12）（14；((1),(2,3,4)),((2),(1,2,3)), ((3), (1,2,4)), ((4),(1,2,3)); ((1,2),(3,4)), ((1,3),(2,4)), ((1,4),(2,3)). -沃尔夫迪特·朗2008年2月22日
MAPLE公司
与（组合）：seq（seq（stirling1（n，k），k=1..n），n=1..10）#零入侵拉霍斯2007年6月3日
对于从0到9的i，执行seq（stirling1（i，j），j=1。。i） od#零入侵拉霍斯2007年11月29日
数学
扁平@桌子[系数[积[x-k，{k，0，n-1}]，x，范围[n]]，{n，范围[10]}](*奥利弗·塞佩尔2024年6月11日*）
a[n，n]：=1；a[n，0]：=0；a[0，k_]：=0；
a[n，k]：=a[n、k]=a[n-1，k-1]+（n-1）a[n-1，k]；
扁平@桌子[（-1）^（n-k）a[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}](*奥利弗·塞佩尔2024年6月11日*）
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=如果（n<1，0，n！*polcoeff（二项式（x，n），k））
（PARI）T（n，k）=如果（n<1，0，n！*polcoeff（polcoeff（（1+x+x*O（x^n））^y，n），k）
（PARI）vecstirling（n）=Vec（factorback（vector（n-1，i，1-i*'x）））/*（将所有s（n，k）作为向量返回的函数）*/\\Bill Allombert（Bill.Allombert-（AT）math.u-bordeaux1.fr），2009年3月16日
（最大值）create_list（stirling1（n+1，k+1），n，0，30，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2012年6月1日*/
（哈斯克尔）
a008275 n k=a008275_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a008275_row n=a008275-tabl！！（n-1）
a008275_tabl=地图尾部$tail a048994_tabl
交替群A_n的顺序，或n个字母的偶数置换数。
（原名M2933 N1179）
+10
212
1, 1, 1, 3, 12, 60, 360, 2520, 20160, 181440, 1814400, 19958400, 239500800, 3113510400, 43589145600, 653837184000, 10461394944000, 177843714048000, 3201186852864000, 60822550204416000, 1216451004088320000, 25545471085854720000, 562000363888803840000
评论
对于n>=3，a（n-1）也是对称群S_n中的3个循环可以写成2个长循环（长度为n）的乘积的次数Ahmed Fares（ahmedfares（AT）my deja.com），2001年8月14日
a（n）是无向图的nXn邻接矩阵的哈密顿回路掩码数-乍得酿酒师2003年1月31日
a（n-1）是用n个不同的珠子可以制作的项链数量：n！珠子排列，除以2表示翻转项链，除以n表示旋转项链。与第一类斯特林数，斯特林循环有关-乍得酿酒师2003年1月31日
[n-1]（n>=2）的所有排列中递增的运行次数。例如：a（4）=12，因为我们在[3]的所有排列中有12个递增运行（如括号所示）：（123），（13）（2），（3）（12），（2）（13），（23）（1）-Emeric Deutsch公司2004年8月28日
所有n×n（0,1）-矩阵上的最小永久值精确为n/2个零-西蒙·塞韦里尼，2004年10月15日
对于n>=1，1..n的置换数为0，1，3，12，60，360，2520，20160-乔恩·佩里2008年9月20日
起始（1，3，12，60，…）=的二项式变换A000153号: (1, 2, 7, 32, 181, ...). -加里·亚当森2008年12月25日
高阶指数积分E（x，m=1，n=3）~exp（-x）/x*（1-3/x+12/x^2-60/x^3+360/x^4-2520/x^5+20160/x^6-81440/x^7+…）的渐近展开导致了上述序列。请参阅A163931号和A130534型了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
起始（1、3、12、60…）=三角形的特征序列A002260号，（给定k=1,2,3，…，每行中k项为（1,2,3，..）的三角形）。示例：a（6）=360，由（1，2，3，4，5）点（1，1，3，12，60）=（1+2+9+48+300）生成-加里·亚当森2010年8月2日
a（n-1）是指，当n>=2时，带有n个珠子（只有C_n对称，没有翻边）的项链数量，带有n-1个不同颜色和签名C[.]^2c[.]^（n-2）。这意味着两个珠子具有相同的颜色，对于n=2，忽略第二个因子。也就是说，循环（c[1]c[1]c[2]c[3]…c[n-1]），简而言之，1123…（n-1），是循环的。例如，n=2:11，n=3:112，n=4:1123，1132，1213，n=5:11234，11243，11324，11342，11423，11432，12134，12143，13124，13142，14123，14132。请参阅代表性项链分区数组第n>=2行倒数第二个条目A212359型. -沃尔夫迪特·朗2012年6月26日
阶乘基数(A007623号)这些数字有一个简单的模式：1，1，11，200，2200，30000，330000，4000000，44000000，500000000，5500000000，600000000000，66000000000，700000000000，770000000000，80000000000000000，880000000000000，9000000000000，9900000000000000等。另请参阅基于此观察的公式，如下所示-安蒂·卡图恩2015年12月19日
包含偶数个偶数圈的n个字母的排列数-迈克尔·索莫斯2018年7月11日
与Brewbaker和Sykora的注释等效，a（n-1）是覆盖n个标记顶点的无向循环数，因此是A002135号. -古斯·怀斯曼2018年10月20日
对于n>=2和一组n个不同的叶标签，a（n）是具有毛虫形状的二元、根、叶标签树拓扑的数量（列k=1A306364型). -诺亚·罗森伯格2019年2月11日
a（n）是固定单反射s在s_n上的弱阶形式[s，w]的格数-布里吉特·坦纳2020年1月16日
对于n>3，a（n）=p_1^e_1**p_m^e_m，其中p_1=2和e_m=1。存在p_1^x，其中x<=e_1，因此p_1^x*p_m^e_m是原始Zumkeller数(180332元)p_1^e_1*p_m^e_m是Zumkeller数(A083207号). 因此，对于n>3，a（n）=p_1^e_1*p_m^e_m*r，其中r是p_1*p_m的相对素数，也是一个Zumkeller数-伊万·伊纳基耶夫2020年3月11日
对于n>1，a（n）是具有1和2作为循环配对的[n]的排列的数目，也就是说，1和2包含在[n]的排列的循环表示的同一循环中。例如，a（4）将带有1和2的12个排列作为循环配对进行计数，即（1 2 3 4）、（1 2 4 3）、（13 2 4）、、（1 3 4 2）、（14 2 3）、。因为a（n+2）=的行和A162608型，我们的结果随之而来-丹尼斯·沃尔什2020年5月28日
参考文献
J.Riordan，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第87-8页，第20页。（a） ，c_n^e（t=1）。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
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Chanchal Kumar和Amit Roy，整数序列与单项式理想，arXiv:2003.10098[math.CO]，2020年。
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S-Z Song、S-G Hwang、S-H Rim和G-S Cheon，（0,1）-矩阵的永久数极值，《组合矩阵理论会议专刊》（Pohang，2002）。线性代数应用。373 (2003), 197-210.
配方奶粉
带递归的D-有限：a（0）=a（1）=a（2）=1；当n>2时，a（n）=n*a（n-1）-乍得酿酒师，2003年1月31日[更正人N.J.A.斯隆2008年7月25日]
a（0）=0，a（1）=1；a（n）=Sum_{k=1..n-1}k*a（k）-阿玛纳斯·穆尔西2002年10月29日
a（n）=0^n+Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k-1）*T（n-1，k）*cos（Pi*（n-k-1）/2）^2。
例如：（2-x^2）/（2-2*x）。
例如，a（n+2），n>=0，等于1/（1-x）^3。
例如：1+sinh（log（1/（1-x）））-杰弗里·克雷策2010年12月12日
a（n）=n/n>=2时为2（例如f的证明）-沃尔夫迪特·朗2010年4月30日
O.g.f.：1+x*Sum_{n>=0}n^n*x^n/（1+n*x）^n-保罗·D·汉纳，2011年9月13日
a（n）=如果n<2，则为1，否则为Pochhammer（n，n）/二项式（2*n，n）-彼得·卢什尼2011年11月7日
a（n）=和{k=0..floor（n/2）}s（n，n-2*k），其中s（n、k）是第一类斯特林数，A048994号. -米尔恰·梅卡2012年4月7日
a（n-1），n>=3，是M_1（[2,1^（n-2）]）/n=（n-1/2，对于n的给定n-1部分分区，使用M_1多项式数。请参见第n行中倒数第二项A036038型以及上述W·朗的项链评论-沃尔夫迪特·朗2012年6月26日
G.f.:A（x）=1+x+x^2/（G（0）-2*x）其中G（k）=1-（k+1）*x/（1-x*（k+3）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月26日。
G.f.：1+x+（Q（0）-1）*x^2/（2*（sqrt（x）+x）），其中Q（k）=1+（k+2）*sqrt（x）/（1-sqrt（x）/（sqrt（x）+1/Q（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
G.f.：1+x+（x*Q（x）-x^2）/（2*（sqrt（x）+x）），其中Q（x）=和{n>=0}（n+1）*x^n*sqrt（x）*（平方（x）+x*（n+2））-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
G.f.：1+x/2+（Q（0）-1）*x/（2*（sqrt（x）+x）），其中Q（k）=1+（k+1）*sqrt（x）/（1-sqrt（x）/（sqrt（x）+1/Q（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月15日
G.f.：1+x+x^2*G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x/（x+1/（k+3）/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月1日
G.f.：1+x+x^2*W（0），其中W（k）=1-x*（k+3）/（x*（k+3）-1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1）-1/W（k+）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月26日
a（0）=a（1）=1；之后，对于偶数n:a（n）=（n/2）*（n-1）！，对于奇数n：a（n）=（n-1）/2*（（n-1（n-2）！）。[该公式是在阶乘基础上查看这些数字后根据经验得出的，A007623号，并通过考虑上述Lang（2010年4月30日）和Detlefs（2010年5月21日）的公式很容易证明。]
对于n>=1，a（2*n+1）=a（2*n）+A153880号（a（2*n））。[从上往下看。]（结束）
a（n）~sqrt（Pi/2）*n^（n+1/2）/exp（n）-伊利亚·古特科夫斯基2016年8月7日
o.g.f.A（x）满足Riccati方程x^2*A'（x）+（x-1）*A（x。
通用公式：A（x）=1+x+x^2/（1-3*x/（1-x/（1-4*x/。
A（x）=1+x+x^2/（1-2*x-x/（1-3*x/（1-4*x/。（结束）
和{n>=0}1/a（n）=2*（e-1）。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=2/e。（结束）
例子
G.f.=1+x+x^2+3*x^3+12*x^4+60*x^5+360*x^6+2520*x^7+。。。
MAPLE公司
seq（mul（k，k=3..n），n=0..20）#零入侵拉霍斯2007年9月14日
数学
a[n_]：=如果[n>2，n！/2，1]；数组[a，21，0]
a[n_]：=如果[n<3，1，n*a[n-1]]；数组[a，21，0]；(*罗伯特·威尔逊v2011年4月16日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！级数系数[（2-x^2）/（2-2x），{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月22日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，n！系列系数[1+Sinh[-Log[1-x]]，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月22日*）
表[GroupOrder[AlternatingGroup[n]]，{n，0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年5月21日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<2，n>=0，n！/2）}；
（PARI）a（n）=polceoff（1+x*和（m=0，n，m^m*x^m/（1+m*x+x*O（x^n））^m），n）\\保罗·D·汉纳
（方案，使用memoization-macro definec，其实现可在http://oeis.org/wiki/Memoization网站 )
（Python）
从数学导入阶乘
交叉参考
囊性纤维变性。A000142号,A000153号,A000255号,A001147号,A001286号,A001720号,A002135号,A002260号,A007623号,A007717号,A049444号,A049459号,A093468号,A094587号,A094638号,A138533号,A153880号,A173333号,A213936型,2015年2月71日,A319225型,A319226型,A320655型.
扩展
Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2001年8月20日
第一类无符号斯特灵数的三角形（见A048994号)，按行读取，T（n，k）表示0<=k<=n。
+10
118
1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 6, 11, 6, 1, 0, 24, 50, 35, 10, 1, 0, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, 0, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1, 0, 362880, 1026576, 1172700
评论
另一个名称：第一类无意义斯特林数三角形。
三角形T（n，k），0<=k<=n，由[0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5，…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,1，…]给出的行读取，其中DELTA是在A084938号.
指数Riordan数组[1/（1-x），log（1/（1-x））]-拉尔夫·斯蒂芬2014年2月7日
这是相关或Jabotinsky类型的下三边形Sheffer矩阵|S1|=（1，-log（1-x））（请参阅下面的W.Lang链接A006232号表示法和参考）。这意味着下面给出的示例f.s|S1|是从单项基{x^n}到上升阶乘基{risefac（x，n）}的转移矩阵，n>=0-沃尔夫迪特·朗2017年2月21日
对于n>=k>=1，T（n，k）也是由从集合{1，2，…，n-1}中选择的不同长度的n-k正交向量组成的n-k维单元（多面体）的总体积。参见T（n，k）的基本对称函数公式和下面的示例-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
y=y（t；x）=x*（1-t（-log（1-x）/x））=x+t*log（1-x）的组成逆w.r.t.x是x=x（t；y）=ED（y，t）：=Sum_{d>=0}d（d，t）*y^（d+1）/（d+1）！，当前三角形对角序列的o.g.f.s D（D，t）的e.g.f=Sum{m>=0}t（D+m，m）*t^m。参见P.Bala链接以获得证明（其中d=n-1，n>=1是对角线的标签）。
这个反演得到D（D，t）=P（D，t）/（1-t）^（2*D+1），分子多项式P（D、t）=Sum_{m=0..D}A288874型（d，m）*t^m。参见下面的示例。另请参见中的P.Bala公式A112007号.（结束）
对于n>0，T（n，k）是从1到n的整数的排列数，当从特定的一端查看时，这些整数有k个可见数字，从这个意义上讲，较高的值会在随后的位置隐藏较低的值-伊恩·达夫，2019年7月12日
参考文献
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链接
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配方奶粉
T（n，k）=T（n-1，k-1）+（n-1）*T（n-1，k），n，k>=1；T（n，0）=T（0，k）；T（0,0）=1。
展开1/（1-t）^x=Sum_{n>=0}p（x，n）*t^n/n！；然后p（x，n）的系数产生三角形-罗杰·L·巴古拉2008年4月18日
求和{k=0..n}x^k*T（n，k）=x*（1+x）*（2+x）*（n-1+x），n>=1-菲利普·德尔汉姆2008年10月17日
例如，第k列：（-log（1-x））^k，k>=0。
E.g.f.三角形（见2008年4月18日Baluga评论）：exp（-x*log（1-z））。
行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k，对于n>=0，是R（n、x）=risefac（x，n-1）：=Product_{j=0..n-1}x+j，其中n=0的空乘积被置为1。见上文2017年2月21日的评论。这意味着：
T（n，k）=sigma^{（n-1）}_（n-k），对于n>=k>=1，在n-1个符号1、2、…、n-1中，具有阶m的初等对称函数sigma^{（n-1））_m，具有二项式（n-1，m）项。参见下面的示例。（完）
列序列k的Boas-Buck型递推：T（n，k）=（n！*k/（n-k））*Sum_{p=k.n-1}β（n-1-p）*T（p，k）/p！，对于n>k>=0，输入T（k，k）=1，β（k）=A002208号（k+1）/A002209号（k+1）。请参阅中的评论和参考资料A286718型. -沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
第n行多项式：n*求和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（-x，k）*二项法（-x、2*n-k）=n*求和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（1-x，k）*二项（-x，2*n-k）-彼得·巴拉2024年3月31日
例子
三角形T（n，k）开始于：
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 2, 3, 1;
0, 6, 11, 6, 1;
0, 24, 50, 35, 10, 1;
0, 120, 274, 225, 85, 15, 1;
0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1;
0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1;
---------------------------------------------------
生产矩阵为
0, 1
0, 1, 1
0, 1, 2, 1
0, 1, 3, 3, 1
0, 1, 4, 6, 4, 1
0, 1, 5, 10, 10, 5, 1
0, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
0, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
...
三期复发：50=T（5，2）=1*6+（5-1）*11=50。
Sheffer a序列的递归[1，1/2，1/6，0，…]：50=T（5，2）=（5/2）*（二项式（1，1）*1*6+二项式。消失的z序列从T（0，0）=1生成k=0列。（结束）
初等对称函数T（4，2）=sigma^{（3）}_2=1*2+1*3+2*3=11。这里的单元格（多边形）是3个矩形，总面积为11-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
对角线的O.g.f.s：d=2（第三对角线）[0,6,50，…]有d（2，t）=P（2，t）/（1-t）^5，其中P（2、t）=2+t，n=2行A288874型. -沃尔夫迪特·朗2017年7月20日
列k=2和n=5的Boas-Buck递推：T（5，2）=（5！*2/3）*（（3/8）*T（2,2）/2！+（5/12）*T（3,2）/3！+（1/2）*T（4,2）/4！）=(5!*2/3)*((3/16 + (5/12)*3/3! + (1/2)*11/4!) = 50.测试序列开始：{1/2，5/12，3/8，…}-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
MAPLE公司
a132393_row:=进程（n）局部k；seq（系数（展开（pochhammer（x，n）），x，k），k=0..n）结束：#彼得·卢什尼2010年11月28日
数学
p[t]=1/（1-t）^x；表[ExpandAll[（n！）SeriesCoefficient[Series[p[t]，{t，0，30}]，n]]，{n，0，10}]；a=表[（n！）*系数列表[系列系数[系列[p[t]，{t，0，30}]，n]，x]，{n，0，10}]；压扁[a](*罗杰·L·巴古拉2008年4月18日*）
压扁[表[Abs[StirlingS1[n，i]]，{n，0，10}，{i，0，n}]](*哈维·P·戴尔，2014年2月4日*）
黄体脂酮素
（最大值）create_list（abs（stirling1（n，k）），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（哈斯克尔）
a132393 n k=a132393_tabl！！不！！k个
a132393_当前n=a132393_启用！！n个
a132393_tabl=地图（地图abs）a048994_tabl
作者
菲利普·德尔汉姆，2007年11月10日，2008年10月15日，2007年10月17日
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