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问候整数序列的在线百科全书!)
A04903 斯特灵数的第二种三角形,S(n,k),n>=0, 0<k<=n。 一百七十三
1, 0, 1,0, 1, 1,0, 1, 3,1, 0, 1,7, 6, 1,0, 1, 15,25, 10, 1,0, 1, 31,90, 65, 15,1, 0, 1,63, 301, 350,140, 21, 1,140, 21, 1,γ,y,γ,y,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0,9

评论

也称为斯特灵集合数。

S(n,k)将n-集的划分枚举为k非空子集。

对于对角线k(k=0为主对角线)的序列的O.G.F.是G(k,x)=((x^ k)/(1-x)^(2×k+1))*SuMi{{m=0…k-1 }。A000 85 17(k,m+1)*x^ m。A000 85 17是二阶欧拉三角形。-狼人郎10月14日2005

菲利普德勒姆,11月14日2007:(开始)

SuMu{{K=0…n}s(n,k)*x^ k= Byn(x),其中Byn(x)=贝尔多项式。前几个贝尔多项式是:

BY0(x)=1;

B1(x)=0+x;

BY2(x)=0+x+x^ 2;

BY3(x)=0+x+3x^ 2+x ^ 3;

BY4(x)=0+x+7x^ 2+6x^ 3+x^ 4;

By5(x)=0+x+15x ^ 2+25x ^ 3+10x ^ 4+x^ 5;

B6(x)=0+x+31×^ 2+90x ^ 3+65×^ 4+15x ^ 5+x^ 6;

(结束)

这是Sheffer三角形(1,Exp(x)- 1),一个指数(二项式)卷积三角形。A序列是由A000 623/A000 623(柯西序列)。Z序列是零序列。参见下面的链接A000 623对于这些序列的定义和使用。行和给出A000 0110(Bell),并给出交替行和A000 0597(见菲利普德勒姆公式和下面的交叉引用)。-狼人郎10月16日2014

阶乘数的逆Bell变换A000 0142关于贝尔变换的定义见A26428交叉引用A265604. -彼得卢斯尼12月31日2015

狼人郎,2月21日2017:(开始)

该关联类型S=(1,EXP(x)- 1)(作为n×n矩阵为任意大N)的下三角剖分SHIFER矩阵的转置(反)提供从基{X^ N/N的转移矩阵!},n>=0,至基{y^ n/n!},n>=0,用y^ n/n!= SUMY{{m}= n}s^ {Tr}}(n,m)x^ m/m!= Smx{m>=0 } x^ m/m!*S(m,n)。

在矩阵符号VEC(b)=S VEC(a)中,序列{{ann}的{s(g,f)为{nn}为{nn}的Sheffer变换满足,例如,f.s a和b,b(x)=g(x)*a(f(x))和b(x)=a(y(x)),与VEC(xHAT)=s^ {反,-1 } VEC(yHAT)在符号符号中与VEC(xHAT)n=x^ n/n!(类似于VEC(YHAT))。

(结束)

对于k>=1 s(n,k)=H^ {(k)}{n-k},n- k的k符号1,2,…,k的完全齐次对称函数,因此S(n,k)为k>1(无量纲)的多个选择(k,n- k)=二项(n-1,k-1)的多维度(n-1,k-1)的多面体,其具有从集{ 1, 2,…,k}的具有(无量纲)边长度的n维k(无量纲)。见下面的例子。-狼人郎5月26日2017

推荐信

M. Abramowitz和I. A. Stegun,EDS,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55, 1964(和各种改版),第835页。

L. Comtet,高级组合数学,雷德尔,1974,第310页。

J. H. Conway和R. K. Guy,《数字之书》,Springer,第92页。

F. N. David,M. G. Kendall和D. E. Barton,对称函数和联合表,剑桥,1966,第223页。

R. L. Graham,D. E. Knuth和O. Patashnik,具体的数学。Addison Wesley,读,MA,1990,第244页。

J. Riordan,组合分析导论,第48页。

链接

David W. Wilsonn,a(n)n=0…10010的表

M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十打印,1972 [替代扫描副本]。

V. E. Adler设置分区和可积层次,ARXIV:1510.02900 [NLI.si],2015。

P. Bala幂级数的白色钻石积

P. Barry广义斯特灵数、指数Riordon阵列和ToDA链方程《整数序列》杂志,17(2014),第142.3页。

P. Barry从A和Z序列构造指数Riordan Arrays《整数序列》杂志,17(2014),第142.6页。

Paul Barry序列变换流水线上的三个参数,阿西夫:1803.06408(数学,Co),2018。

R. M. Dickau第二类斯特灵数

G. Duchamp,K. A. Penson,A. I. Solomon,A. Horzela和P. Blasiak,单参数群与组合物理,阿西夫:QuhanPH/0401126, 2004。

FUNSTAT-组合统计查找器设置分区中的块数。

Bill Gosper第二类斯特灵数字三角形的彩色插图读取MOD 2, 3, 4、5, 6, 7

W. S. Gray和M. Thitsa系统互连与组合整数序列,系统理论(SST),2013届第四十五东南会议,会议日期:2013年3月11日至11日,数字对象标识符:101109/SSST.2013.6624939。

A. Hennessy,P. Barry,广义斯特灵数、指数Riordon阵和正交多项式J. Int. Seq。14(2011)

C. M. Ringel遗传ARTIN代数的Calalon组合,ARXIV预告ARXIV:1502.06553 [数学,RT ],2015。

T. Su,D,杨,W,W,W,W,W。关于广义阶乘的一个注记《澳大利亚组合数学杂志》,第56卷(2013),第133-137页。

公式

S(n,k)=k*s(n-1,k)+s(n-1,k-1),n>0;s(0,k)=0,k>0;s(0, 0)=1。

等于[ 0, 1, 0,2, 0, 3,0, 4, 0,5,…]δ[1, 0, 1,0, 1, 0,1, 0, 1,0, 1,…],其中δ是定义在DeleHAM算子中的A084938.

SuMi{{K=0…n} x^ k*s(n,k)=A213170(n)A000 0597(n)A000 0 07(n)A000 0110(n)A000 1861(n)A027 710(n)A078944(n)A144180(n)A144223(n)A144263(n)分别为x=2,- 1, 0, 1,2, 3, 4,5, 6, 7。-菲利普德勒姆,五月09日2004,2月16日2013

S(n,k)=SuMu{{i=0…k}(- 1)^(k+i)二项式(k,i)i ^ n/k!-保罗·巴里,八月05日2004

SuMu{{K=0…n} k*s(n,k)=b(n+1)-b(n),其中b(q)是贝尔数(b)。A000 0110-埃米里埃德奇01月11日2006

等于逆二项变换A000 827. -加里·W·亚当森1月29日2008

G.f.:(1)/(1-x/(1-x/)(1-xx/(1-2x/)(1-xY/1-3x/)(1-xy/(1-4x/)(1-xy/(1-5x/)(1)…(连续分数相当于德莱姆三角洲构造)。-保罗·巴里,十二月06日2009

G.f.:1/q(0),其中q(k)=1(y+k)*x-(k+1)*y*x^ 2 /q(k+1);(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克09月11日2013

填充倒数A000 8255(如A04903=衬垫A000 827-汤姆·科普兰4月25日2014

对于行多项式S(n,x)=SuMu{{k=0…n}s(n,k)*x^ k是EXP(x*(EXP(z)- 1))(Sheffer性质)。对于k阶前导零点的第k列序列,E.F.是((Exp(x)- 1)^ k)/k!(Sheffer地产)-狼人郎10月16日2014

G.F.对于列k:x^ k/乘积{{j=1…k}(1-j*x),k>=0(k=0的空乘积为1)。见Abramowitz Stegun,第824页,24.1.4页。狼人郎5月26日2017

列序列M:S(n,k)=(k/(n- k))*((n*s(n-1,k)/ 2+SuMu{{P= K.N-2}(-1)^(N-P)*二项式(n,p)*伯努利(n- p)*s(p,k)),对于n> k>=0,输入t(k,k)=1。见评论和参考文献A262629. 下面给出一个例子。-狼人郎8月11日2017

第n行多项式具有形式x o x o…O x(n个因子),其中O表示Bala中定义的白色菱形乘法运算符-参见示例E4。-彼得巴拉,07月1日2018

例子

三角形S(n,k)开始:

NK 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 9 10 11 12

0:1

1:0、1

2:0、1、1

3:0、1、3、1

4:0、1、7、6、1

5:0、1、15、25、10、1

6:0、1、31、90、65、15、1

7:0、1、63、301、350、140、21 1

8:0、1、127、966、1701、1050、266 28 1

9:0、1、255、3025、7770、6951、2646、462 36 1

10:0、1、511、9330、34105、42525、22827、5880 750 45 45

11:0、1、1023、28501、145750、246730、179487、63987 11880 11880 1155 55

12:0、1、2047、86526、611501、1379400、1323652、627396 159027 159027 22275 1705

重新格式化和扩展狼人郎10月16日2014

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

完全对称函数S(4, 2)=H^ {(2)} 2=1 ^ 2+2 ^ 2+1 ^ 1×2 ^ 1=7;S(5, 2)=H^ {(2)} 3=α^+^ ^+^ ^×^×^ ^ ^=^ ^=α=^×^ ^=α。-狼人郎5月26日2017

狼人郎,8月11日2017:(开始)

复发:S(5, 3)=S(4, 2)+2×S(4, 3)=7+3×6=25。

Boas Buck递归列m=3,n=5:S(5, 3)=(3/2)*((5/2)*s(4, 3)+10×伯努利(2)*s(3, 3))=(3/2)*(15 + 10 *(1/6)**)=α。-狼人郎8月11日2017

(结束)

枫树

用(组合):对于n从0到10,做SEQ(SturnL2(n,k),k=0…n)OD;埃米里埃德奇01月11日2006

Mathematica

t[n],k]:= StrimsS2(n,k];表[t[n,k],{n,0, 10 },{k,0,n} / /平坦(*)Robert G. Wilson五世*)

黄体脂酮素

(PARI)为(n=0, 22,(k=0,n,Prrt1(斯特灵(n,k,2),”));乔尔格阿尔恩特4月21日2013

(最大值)CREATEY列表(STRILG2(n,k),n,0, 12,k,0,n);/*伊曼纽勒穆纳里尼3月11日2011*

(哈斯克尔)

A0493NK=A049033Tabl!!!K!

A048 99 3l行n=A048 99 3a Tabl!n!

A048 99 3a Tabl =迭代(\行->)

[0 ] ++(ZIPOF(+)行$ ZIPOP(*)[ 1…]尾行)++[ 1 ])[ 1 ]

——莱因哈德祖姆勒3月26日2012

交叉裁判

特别看到A000 827这是这个三角形的主要入口。

囊性纤维变性。A000 8255A039 810-A039 813A049099.

A000 0110(n)=和(S(n,k))k=0…n,n>=0。囊性纤维变性。A085696.

囊性纤维变性。A084938A1068(镜像)A213061(国防部2)。

语境中的顺序:A151509 A26434 A151511*A26431 A257050 A2444

相邻序列:A08990 A04901 A04902*A049099 A04905 A04966

关键词

诺恩塔布

作者

斯隆12月11日1999

地位

经核准的

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最后修改8月21日01:33 EDT 2019。包含326155个序列。(在OEIS4上运行)