讨论这一序列的最早出版物似乎是大约公元300年的《Sepher Yezirah(创造之书)》。(请参阅Knuth,以及Zeilberger链接)-N.J.A.斯隆2014年4月7日
对于n>=1,a(n)是n X n(0,1)矩阵的数量,每行和每列正好包含一个等于1的条目。
此序列是的二项式均值变换A000354号(请参见A075271号定义。)-约翰·莱曼2002年9月12日[这很容易从Paul Barry公式中验证A000354号,通过交换求和并使用公式:Sum_k(-1)^k C(n-i,k)=KroneckerDelta(i,n)-大卫·卡伦2003年8月31日]
具有1个元素A、2个元素B……的T(n-1)元素的不同子集的数量。。。,n-1元素X(例如,在n=5时,我们考虑ABBCCCDDDD的不同子集,有5!=120)-乔恩·佩里2003年6月12日
不!是具有素数签名的最小数字。例如,720=2^4*3^2*5-阿玛纳斯·穆尔西2003年7月1日
a(n)是M(i,j)=1的n X n矩阵M的永久值-菲利普·德尔汉姆2003年12月15日
给定n个不同大小的对象(例如,区域、体积),使得每个对象都足够大,可以同时包含所有之前的对象,那么n!是使用所有n个对象的基本不同排列的总数。在排列中允许任意层次的对象嵌套。(该序列的应用受到了考虑剩余移动框的启发。)如果存在限制,即每个对象一次最多只能包含一个较小的(但可能是嵌套的)对象,则生成的序列将从1、2、5、15、52开始(贝尔数?)。在这里,人们会想到一组嵌套木箱或传统的嵌套俄罗斯娃娃-里克·L·谢泼德2004年1月14日
发件人迈克尔·索莫斯2004年3月4日;编辑人M.F.哈斯勒2015年1月2日:(开始)
[2,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A052856号= [2, 2, 4, 14, 76, ...].
[1,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A000670号= [1, 3, 13, 75, ...].
[0,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A052875号= [0, 2, 12, 74, ...].
[1,1,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A000629号= [1, 2, 6, 26, ...].
[0,1,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A002050型= [0, 1, 5, 25, 140, ...].
斯特林变换(A165326号*A089064号)(1…)=[1,0,1,-1,8,-26,194,…]是[1,1,2,6,24,120,…](此序列)。(结束)
第一个欧拉变换是1,1,1、1、1,1……第一个欧拉变换通过公式t(n)=Sum_{k=0..n}e(n,k)s(k)将序列s变换为序列t,其中e(n、k)是一阶欧拉数[A008292号]. -罗斯·拉海耶2005年2月13日
据推测,只有1、6和120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski(cmt1288(AT)comcast.net),2005年3月30日
不!是连续n次幂的第n个有限差分。例如,对于n=3,[0,1,8,27,64,…]->[1,7,19,37,…]->[6,12,18,…]-->[6,6,…].-布莱恩·雅各布斯(bryanjj(AT)gmail.com),2005年3月31日
a(n+1)=(n+11, 2, 6, ... 例如f.1/(1-x)^2-保罗·巴里2005年4月22日
在圆圈上写下数字1到n。则a(n)=所有n-2个相邻数的乘积之和。例如,a(5)=1*2*3+2*3*4+3*4*5+4*5*1+5*1*2=120-阿玛纳斯·穆尔西2005年7月10日
按子集关系排序的{1,2,…,n}幂集中最大长度链的个数-里克·L·谢泼德2006年2月5日
n>=0的n个字母的循环排列数是1,1,1、2、6、24、120、720、5040、40320,…-Xavier Noria(fxn(AT)hashref.com),2006年6月4日
a(n)是高度为n的装饰多面体的数量(n>=1;参见Barcucci等人参考文献中的定义)-Emeric Deutsch公司2006年8月7日
a(n)是n大小的分区表编号。有关定义,请参阅Steingrimson/Williams链接-大卫·卡伦2006年10月6日
考虑n!整数序列的置换[n]=1,2。。。,n.第i个置换由ncycle(i)置换循环组成。然后,如果Sum_{i=1..n!}2^ncycle(i)从1运行到n!,我们有求和{i=1..n!}2^ncycle(i)=(n+1)!。例如,对于n=3,我们有ncycle(1)=3,nccycle(2)=2,ncycle-托马斯·维德2006年10月11日
a(n)是{1,2,…,2n-1,2n}分成大小为2(完美匹配)的块的集合分区数,其中每个块由一个偶数和一个奇数整数组成。例如,a(3)=6表示12-34-56、12-36-45、14-23-56、14-25-36、16-23-45、16-25-34-大卫·卡伦2007年3月30日
考虑多集M=[1、2、2、3、3、4、4、4,4、4,…]=[1,2,2,…,n x'n'],形成M的所有子集n(其中n可能再次是多集)的集合U(其中U是严格意义上的集合)。然后U的元素|U|的数量等于(n+1)!。例如,对于M=[1,2,2],我们得到U=[[],[2],[2],[1],[1,2],[1,2]和|U|=3!=6.该评论是对已经发表的评论的更正式版本里克·L·谢泼德2004年1月14日-托马斯·维德2007年11月27日
对于n>=1,a(n)=1,2,6,24。。。是Liouville常数十进制展开式中对应于1的位置(A012245号). -保罗·穆尔贾迪2008年4月15日
三角形A144107号有n个!对于右边框为n的行和(给定n>0)!和左边框A003319号,(1,2,6,24,…)的INVERTi变换-加里·亚当森2008年9月11日
等于的INVERT变换A052186号和三角形的行和A144108号. -加里·亚当森2008年9月11日
发件人阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月12日:(开始)
a(n)也是(n链的)降阶完全变换的数目。
a(n-1)也是(n链的)幂零序递减全变换的个数。(结束)
不!也是完整图K_{n}中最优广播方案的数量,相当于嵌入在K_{n}中的二项式树的数量(参见Calin D.Morosan,Information Processing Letters,100(2006),188-193)Calin D.Morosan(cd_moros(AT)校友.concordia.ca),2008年11月28日
设S_{n}表示n星图。S_{n}结构由n个S_{n-1}结构组成。这个序列给出了S_{n+2}(n>=1)中任意两个指定S_{n+1}结构的顶点之间的边数-K.V.Iyer公司2009年3月18日
太阳图S_{n-2}的色不变量。
似乎a(n+1)是A000255号.-蒂莫西·霍珀(Timothy Hopper(AT)hotmail.co.uk),2009年8月20日
a(n)也是平方矩阵an的行列式,其系数是β函数的倒数:a{i,j}=1/β(i,j),det(an)=n-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年9月21日
指数积分E(x,m=1,n=1)~exp(-x)/x*(1-1/x+2/x^2-6/x^3+24/x^4+…)和E。请参见A163931号和A130534型了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
满足A(x)/A(x^2),A(x=A173280号. -加里·亚当森2010年2月14日
a(n)=G^n,其中G是前n个正整数的几何平均值-雅罗斯拉夫·克里泽克2010年5月28日
增加1-2棵彩色树,为最右边的非叶子分支选择两种颜色-文锦Woan2011年5月23日
带有n个1色标签珠子的项链数量-罗伯特·威尔逊v2011年9月22日
序列1!,(2!)!, ((3!)!)!, (((4!)!)!)!, ..., (……(n!)!)!(n次)增长太快而无法进入。见霍夫施塔特。
1/a(n)=1/n!的示例f!是贝塞尔(0,2*sqrt(x))。见Abramowitz-Stegun,第375、9.3.10页-沃尔夫迪特·朗2012年1月9日
a(n)是第n行的长度,即三角形中第n行之和A170942号. -莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月29日
元素1、2、…、的排列数。。。,具有属于长度r的循环的固定元素的n+1不依赖于r,并且等于a(n)-弗拉基米尔·舍维列夫2012年5月12日
a(n)是1,…,的所有置换中的不动点数。。。,n: 总共n个!排列,1正好是第一个(n-1)!乘以,2正好是秒(n-1)!次数等,给予(n-1)*n=n-乔恩·佩里2012年12月20日
对于n>=1,a(n-1)是A000757号参见Moreno-Rivera-路易斯·曼努埃尔·里维拉·马丁内斯2013年12月9日
每个术语都可以被其数字根整除(A010888型). -伊万·伊纳基耶夫2014年4月14日
对于m>=3,a(m-2)是具有m个顶点的简单图中的非循环哈密顿路径的数目hp(m),除了一条缺失的边外,它是完整的。对于m<3,hp(m)=0-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月17日
a(n)是具有n个节点的增加森林的数量-布拉德·琼斯2014年12月1日
阶乘数可以通过递归n!=来计算(地板(n/2)!)^2*sf(n),其中sf(n)是摆动因子A056040型如果sf(n)是通过素因式分解计算的,那么这将导致一个有效的算法。有关此算法的说明,请参阅下面的链接-彼得·卢什尼2016年11月5日
树丛是有序(平面)二叉(0-1-2)递增树,其中大于1的节点有2种颜色。有n个!大小为n的树丛和经典的Françon双射将树丛映射为置换-谢尔盖·柯尔吉佐夫2016年12月26日
满足本福德定律[Diaconis,1977;Berger-Hill,2017]-N.J.A.斯隆2017年2月7日
a(n)=总和((d_p)^2),其中d_p是整数分区p的费雷斯板中标准表的数量,总和是n的所有整数分区p。例如:a(3)=6。实际上,3的分区是[3]、[2,1]和[1,1,1],分别有1、2和1个标准表;我们有1^2+2^2+1^2=6-Emeric Deutsch公司2017年8月7日
a(n)是x^n的n阶导数-伊恩·福克斯2017年11月19日
a(n)是n维布尔立方体{0,1}^n中关于关系“preceds”的最大链数。定义如下:对于{0,1}^n的任意向量u,v,例如u=(u_1,u_2,…,u_n)和v=(v_1,v_2,……,v_n),如果u_i<=v_i,则“u在v之前”,对于i=1,2。。。,n.(名词)-瓦伦丁·巴科耶夫2017年11月20日
a(n)是图H_n中节点(0,0,…,0)(即全零向量)和(1,1,…,1)(即全能向量)之间的所有最短路径数(例如,通过宽度优先搜索获得),对应于n维布尔立方体{0,1}^n。图被定义为H_n=(V_n,E_n),其中V_n是{0,1}^n的所有向量的集合,E_n包含每对相邻向量形成的边-瓦伦丁·巴科耶夫2017年11月20日
a(n)也是对称n×n矩阵M的行列式,由M(i,j)=σ(gcd(i,j))定义,对于1<=i,j<=n-伯纳德·肖特,2018年12月5日
a(n)也是长度n的反转序列数。长度n反转序列e1,e2。。。,enn是n个整数的序列,因此0<=ei<i-胡安·奥利2019年10月14日
“阶乘”(factorial)一词是法国数学家路易斯·弗朗索瓦·安托万·阿博加斯特(Louis François Antoine Arbogast,1759-1803)于1800年发明的。1808年,法国数学家克里斯蒂安·克拉姆(1760-1826)首次使用符号“!”-阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月16日
此外,秩2的符号数,即映射X:{{1..n}选择2}->{+,-},这样对于任何三个指数a<b<c,序列X(a,b),X(a、c),X-曼弗雷德·舒彻2022年2月9日
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