讨论这一序列的最早的出版物似乎是西弗·耶齐拉(Sepher Yezirah)[创造之书],大约公元300年。(参见Knuth,也是Zeilberger链接)-N、 斯隆2014年4月7日
对于n>=1,a(n)是nxn(0,1)矩阵的个数,每行和每列包含一个正好等于1的条目。
这个序列是A000354号. (参见A075271号定义。)-约翰·W·外行,2002年9月12日[Paul Barry公式很容易验证A000354号,通过交换求和并使用公式:Sum_ck(-1)^kC(n-i,k)=KroneckerDelta(i,n)。-大卫·凯伦,2003年8月31日]
具有1个元素A,2个元素B,…,n-1个元素X的T(n-1)元素的不同子集的数目(例如,在n=5时,我们考虑abbccdddd的不同子集,并且有5个!=120)。-乔恩·佩里2003年6月12日
n!是有素数签名的最小数。E、 g.,720=2^4*3^2*5。-阿玛纳特·穆尔蒂2003年7月1日
a(n)是nxn矩阵M的恒量,M(i,j)=1。-菲利普·德莱厄姆2003年12月15日
给定n个大小不同的对象(例如,面积、体积),使得每个对象都足够大,可以同时包含所有先前的对象,那么n!是使用所有n个对象的基本不同排列的总数。在排列中允许任意级别的对象嵌套。(这个序列的应用灵感来自于考虑剩余的移动盒子。)如果存在限制,即每个对象一次最多可以包含一个更小的(但可能是嵌套的)对象,则结果序列从1,2,5,15,52开始(钟形数?)。一套套套的木箱或传统的嵌套俄罗斯娃娃出现在这里。-瑞克·L·谢泼德2004年1月14日
从迈克尔·索莫斯2004年3月4日;编辑M、 哈斯勒2015年1月2日:(开始)
[2,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A052856号=[2,2,4,14,76,…]。
[1,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A000670型=[1,3,13,75,…]。
[0,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A052875号=[0,2,12,74,…]。
[1,1,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A000629号=[1,2,6,26,…]。
[0,1,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A002050=[0,1,5,25,140,…]。
斯特林变换(A165326号*A089064号)(1…)=[1,0,1,-1,8,-26,194,…]是[1,1,2,6,24,120,…](这个序列)。(结束)
第一个欧拉变换,1,1,1,1,1。。。第一个欧拉变换通过公式t(n)=和{k=0..n}e(n,k)s(k),其中e(n,k)是一阶欧拉数[A008292号]. -罗斯拉海2005年2月13日
推测一下,1、6和120是唯一既有三角形又有阶乘的数。-Christopher M.Tomaszewski(cmt1288(AT)comcast.net),2005年3月30日
n!是连续n次方的n次有限差分。E、 g.对于n=3,[0,1,8,27,64,…]>[1,7,19,37,…]>[6,12,18,…]>[6,6,…]>[6,6,…]。-Bryan Jacobs(bryanjj(AT)gmail.com),2005年3月31日
a(n+1)=(n+1)!=1,2,6。。。例如f.1/(1-x)^2。-保罗·巴里2005年4月22日
把数字写在1上。则a(n)=所有n-2个相邻数的乘积之和。E、 例如,a(5)=1*2*3+2*3*4+3*4*5+4*5*1+5*1*2=120。-阿玛纳特·穆尔蒂2005年7月10日
按子集关系排序的{1,2,…,n}幂集中最长链的个数。-瑞克·L·谢泼德2006年2月5日
n>=0时n个字母的循环排列数为1,1,1,2,6,24,120,720,5040,40320。。。-Xavier Noria(fxn(AT)hashref.com),2006年6月4日
a(n)是高度为n的装饰多元胺的数量(n>=1;见Barcucci等人参考文献中的定义)。-德国金刚砂2006年8月7日
a(n)是大小为n的分区表的数目。有关定义,请参阅Steingrimsson/Williams link。-大卫·凯伦2006年10月6日
想想n!整数序列[n]=1,2,…,n的置换。第i个置换由n循环(i)置换环组成。那么,如果和{i=1..n!}2^n循环(i)从1到n!,我们有和{i=1..n!}2^n循环(i)=(n+1)!。E、 例如,对于n=3,我们有ncycle(1)=3,ncycle(2)=2,ncycle(3)=1,ncycle(4)=2,ncycle(5)=1,ncycle(6)=2和2^3+2^2+2^1+2+2^1+2^2=8+4+2+4+2+4=24=(n+1)!。-托马斯·威德2006年10月11日
a(n)是{1,2,…,2n-1,2n}的集合划分成大小为2(完全匹配)的块的数目,其中每个块由一个偶数和一个奇数整数组成。例如,a(3)=6个计数12-34-56、12-36-45、14-23-56、14-25-36、16-23-45、16-25-34。-大卫·凯伦2007年3月30日
考虑多集M=[1,2,2,3,3,3,4,4,4,…]=[1,2,2,…,n x'n']并形成M的所有子集n(其中n可能再次是多集)的集合U(其中U是严格意义上的集),则U的元素数| U |等于(n+1)!。E、 g.对于M=[1,2,2],我们得到U=[],[2],[2,2],[1],[1,2],[1,2,2]]和| U |=3!=6。这是对瑞克·L·谢泼德2004年1月14日。-托马斯·威德2007年11月27日
对于n>=1,a(n)=1,2,6,24。。。是与Liouville常数的十进制展开式中的1相对应的位置(A012245型). -保罗·穆尔贾迪2008年4月15日
三角形邮编:A144107有n!对于右边框为n的行和(给定n>0)!和左边框A003319号(1,2,6,24,…)的逆变换。-加里·W·亚当森2008年9月11日
等于反转变换A052186号:(1,0,1,3,14,77,…)和三角形的行和A144108号. -加里·W·亚当森2008年9月11日
从阿卜杜拉希·乌马尔2008年10月12日:(开始)
a(n)也是(n链的)降阶全变换的数目。
a(n-1)也是(n-链)幂零阶递减全变换的个数。(结束)
n!也是完全图K{n}中最优广播方案的数目,相当于K{n}中嵌入的二叉树的数目(见Calin D.Morosan,信息处理信函,100(2006),188-193)。-Calin D.Morosan(cd_moros(AT)校友会,加利福尼亚州康科迪亚),2008年11月28日
和{n>=0}1/a(n)=e-詹姆·奥利弗·拉丰2009年3月3日
让S{n}表示n星图。S{n}结构由n个S{n-1}结构组成。这个序列给出了S{n+2}(n>=1)中任意两个指定S{n+1}结构顶点之间的边数。-K、 V.伊耶2009年3月18日
太阳图S{n-2}的色不变量。
似乎a(n+1)是A000255. -蒂莫西·霍珀(timothyhopper(AT)hotmail.co.uk),2009年8月20日
a(n)也是方矩阵an的行列式,其系数是β函数的倒数:a{i,j}=1/beta(i,j),det(an)=n!。-恩里克·佩雷斯·赫雷罗2009年9月21日
指数积分E(x,m=1,n=1)~exp(-x)/x*(1-1/x+2/x^2-6/x^3+24/x^4+…)和E(x,m=1,n=2)~exp(-x)/x*(1-2/x+6/x^2-24/x^3+…)的渐近展开式得到了阶乘数。参见邮编:A163931和邮编:A130534了解更多信息。-约翰内斯W.梅杰2009年10月20日
满足A(x)/A(x^2),A(x)=邮编:A173280. -加里·W·亚当森2010年2月14日
a(n)=A173333号(n,1)。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月19日
a(n)=G^n,其中G是前n个正整数的几何平均值。-雅罗斯拉夫·克里泽克2010年5月28日
增加1-2棵树的颜色,为非叶的最右边的分支选择两种颜色。-文津沃恩2011年5月23日
有n个标签的1种颜色珠子的项链数量。-罗伯特·G·威尔逊五世2011年9月22日
顺序1!,(2!)!,((3!)!)!,((4!)!)!,…,((…(n!)!)…)!(n次)增长太快,没有自己的入口。见霍夫斯塔特。
1/a(n)的e.g.f.=1/n!是贝塞利(0,2*sqrt(x))。见Abramowitz Stegun,第375页,9.3.10。-狼牙2012年1月9日
a(n)是第n行的长度,它是三角形中第n行的和邮编:A170942. -莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月29日
元素1,2,…,n+1的置换数与属于长度r的循环的固定元素不依赖于r,等于a(n)。-弗拉基米尔·谢韦列夫2012年5月12日
a(n)是1,…,n的所有置换中不动点的数目:在所有n!排列,1就是第一个(n-1)!乘以,2正好是秒(n-1)!次数等,给予(n-1)!*n=n!。-乔恩·佩里2012年12月20日
对于n>=1,a(n-1)是A000757号. 见莫雷诺里维拉。-路易斯·曼努埃尔·里维拉·马丁内斯2013年12月9日
每个项都可以被其数字根整除(A010888号). -伊万·N·伊纳基耶夫2014年4月14日
对于m>=3,a(m-2)是具有m个顶点的简单图中无圈哈密顿路径的个数hp(m),除了一条缺失的边外,它是完整的。当m<3时,hp(m)=0。-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月17日
a(n)=A245334号(n,n)。-莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日
a(n)是具有n个节点的不断增加的林的数量。-布拉德·R·琼斯2014年12月1日
和{n>=0}a(n)/(a(n+1)*a(n+2))=和{n>=0}1/((n+2)*(n+1)^2*a(n))=2-exp(1)-gamma+Ei(1)=0.5996203229953…,其中gamma=A001620型,Ei(1)=A091725型. -伊利亚·古特科夫斯基2016年11月1日
阶乘数可以用递归n!(2层)^2*sf(n),其中sf(n)是摆动阶乘A056040型. 如果sf(n)是通过素数分解来计算的,那么这将导致一个有效的算法。有关此算法的详细说明,请参阅下面的链接。-彼得·卢什尼2016年11月5日
树形树是有序(平面)二元(0-1-2)递增树,其中出度1的节点有两种颜色。有n个!大小为n的树精灵和经典的弗朗索恩的双射将双射树精灵映射成排列。-谢尔盖·柯尔吉佐夫2016年12月26日
满足本福德定律[Diaconis,1977;Berger-Hill,2017]-N、 斯隆2017年2月7日
a(n)=Sum((dΒp)^2),其中dΒp是整数分区p的Ferrers板中标准tableaux的个数,求和是n的所有整数分区p的总和。示例:a(3)=6。实际上,3的分区是[3]、[2,1]和[1,1,1],分别有1、2和1个标准tableaux;我们有1^2+2^2+1^2=6。-德国2017年8月7日
a(n)是x^n的n阶导数-伊恩·福克斯2017年11月19日
a(n)是n维布尔立方体{0,1}^n中关于关系“precedes”的最大链数。它的定义如下:对于{0,1}^n的任意向量u,v,使得u=(u_1,u_2,…,u n)和v=(v_1,v_2,…,v n),“u在v”之前,如果u_i<=v_i,i=1,2,…,n-瓦伦丁·巴科耶夫2017年11月20日
a(n)是图Hün中节点(0,0,…,0)(即全零向量)和(1,1,…,1)(即全一向量)之间的所有最短路径数(例如,通过广度优先搜索获得),对应于n维布尔立方体{0,1}^n。该图被定义为H_n=(V逯n,en),其中V逯n是{0的所有向量的集合,1} ^n和eun包含每对相邻向量形成的边。-瓦伦丁·巴科耶夫2017年11月20日
a(n)也是对称n×n矩阵M的行列式,由M(i,j)=sigma(gcd(i,j))定义,对于1<=i,j<=n-伯纳德·肖特2018年12月5日
a(n)也是长度为n的反转序列的数目。长度为n的反转序列e_1,e_2,…,e_n是n个整数的序列,使得0<=e_i<i-胡安·S·奥利2019年10月14日
和{n>=0}1/(a(n)*(n+2))=1。-在Jaume Oliver Lafont上面的条目中,将分母乘以(n+2)就可以得到一个可伸缩的和。-丹尼尔·弗雷德·克莱恩2020年11月8日
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