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A000142号
阶乘数:n! = 1*2*3*4*...*n(对称群的阶数S_n,n个字母的置换数)。
(原名M1675 N0659)
2919
1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, 20922789888000, 355687428096000, 6402373705728000, 121645100408832000, 2432902008176640000, 51090942171709440000, 1124000727777607680000
抵消
0,3
评论
讨论这一序列的最早出版物似乎是大约公元300年的《Sepher Yezirah(创造之书)》。(请参阅Knuth,以及Zeilberger链接。)-N.J.A.斯隆2014年4月7日
对于n>=1,a(n)是n X n(0,1)矩阵的数量,每行和每列正好包含一个等于1的条目。
此序列是的二项式均值变换A000354号(请参见A075271号定义。) -约翰·莱曼2002年9月12日[这很容易从Paul Barry公式中验证A000354号,通过交换求和并使用公式:Sum_k(-1)^k C(n-i,k)=KroneckerDelta(i,n)。 -大卫·卡伦2003年8月31日]
具有1个元素A,2个元素B,的T(n-1)元素的不同子集的数量。..,n-1元素X(例如,在n=5时,我们考虑ABBCCCDDDD的不同子集,有5!=120)。 -乔恩·佩里2003年6月12日
n!是具有素数签名的最小数字。例如,720=2^4*3^2*5。 -阿马纳特·穆尔蒂,2003年7月1日
a(n)是M(i,j)=1的n X n矩阵M的永久值。 -菲利普·德尔汉姆2003年12月15日
给定n个不同大小的对象(例如,区域、体积),使得每个对象都足够大,可以同时包含所有之前的对象,那么n!是使用所有n个对象的基本不同排列的总数。在排列中允许任意层次的对象嵌套。(该序列的应用受到了考虑剩余移动框的启发。)如果存在限制,即每个对象一次最多只能包含一个较小的(但可能是嵌套的)对象,则生成的序列将从1、2、5、15、52开始(贝尔数?)。在这里,人们会想到一组嵌套木箱或传统的嵌套俄罗斯娃娃。 -里克·L·谢泼德2004年1月14日
发件人迈克尔·索莫斯2004年3月4日;编辑人M.F.哈斯勒2015年1月2日:(开始)
[2,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A052856号= [2, 2, 4, 14, 76, ...].
[1,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A000670号= [1, 3, 13, 75, ...].
[0,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A052875号= [0, 2, 12, 74, ...].
[1,1,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A000629号= [1, 2, 6, 26, ...].
[0,1,2,6,24,120,…]的斯特林变换是A002050型= [0, 1, 5, 25, 140, ...].
斯特林变换(165326元*A089064号)(1…)=[1,0,1,-1,8,-26,194,…]是[1,1,2,6,24,120,…](此序列)。(结束)
第一个欧拉变换是1,1,1、1、1,1……第一个欧拉变换通过公式t(n)=Sum_{k=0..n}e(n,k)s(k)将序列s变换为序列t,其中e(n、k)是一阶欧拉数[A008292号]. -罗斯·拉海耶2005年2月13日
据推测,只有1、6和120是三角形和阶乘的数字。-Christopher M.Tomaszewski(cmt1288(AT)comcast.net),2005年3月30日
n!是连续n次幂的第n个有限差分。例如,对于n=3,[0,1,8,27,64,…]->[1,7,19,37,…]->[6,12,18,…]/>[6,6,…]。-布莱恩·雅各布斯(bryanjj(AT)gmail.com),2005年3月31日
a(n+1)=(n+1! = 1, 2, 6, ...具有例如f.1/(1-x)^2。 -保罗·巴里2005年4月22日
在圆圈上写下数字1到n。则a(n)=所有n-2个相邻数的乘积之和。例如,a(5)=1*2*3+2*3*4+3*4*5+4*5*1+5*1*2=120。 -阿玛纳斯·穆尔西2005年7月10日
按子集关系排序的{1,2,…,n}幂集中最大长度链的个数。 -里克·L·谢泼德2006年2月5日
n>=0时,n个字母的循环排列数为1、1、1,2、6、24、120、720、5040、40320、。..-Xavier Noria(fxn(AT)hashref.com),2006年6月4日
a(n)是高度为n的装饰多面体的数量(n>=1;参见Barcucci等人参考文献中的定义)。 -Emeric Deutsch公司2006年8月7日
a(n)是n大小的分区表编号。有关定义,请参阅Steingrimson/Williams链接。 -大卫·卡伦2006年10月6日
考虑n!整数序列[n]=1,2,的置换。..,n.第i个置换由ncycle(i)置换循环组成。那么,如果Sum_{i=1..n!}2^ncycle(i)从1运行到n!,我们有Sum_{i=1..n!}2^ncycle(i)=(n+1)!例如,对于n=3,我们有ncycle(1)=3,ncycle(2)=2,ncycle(3)=1,ncycle(4)=2,ncycle(5)=1,ncycle(6)=2和2^3+2^2+2^1+2^2+2^2=8+4+2+4=24=(n+1)!. -托马斯·维德2006年10月11日
a(n)是{1,2,…,2n-1,2n}分成大小为2(完美匹配)的块的集合分区数,其中每个块由一个偶数和一个奇数整数组成。例如,a(3)=6表示12-34-56、12-36-45、14-23-56、14-25-36、16-23-45、16-25-34。 -大卫·卡伦2007年3月30日
考虑多集M=[1,2,2,3,3,4,4,4,4,4!例如,对于M=[1,2,2],我们得到U=[[],[2],[2],[1],[1,2],[1,2]和|U|=3! = 6.这个观察是对已经给出的评论的一个更正式的版本里克·L·谢泼德2004年1月14日。 -托马斯·维德2007年11月27日
对于n>=1,a(n)=1,2,6,24。..是Liouville常数十进制展开式中与1对应的位置(A012245号). -保罗·穆尔贾迪2008年4月15日
三角形A144107号有n个!对于右边框为n的行和(给定n>0)!和左边框A003319号,(1,2,6,24,…)的INVERTi变换。 -加里·亚当森2008年9月11日
等于的INVERT变换A052186号和三角形的行和1944年1月. -加里·亚当森,2008年9月11日
发件人阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月12日:(开始)
a(n)也是(n链的)降阶完全变换的数目。
a(n-1)也是(n链的)幂零序递减全变换的个数。(结束)
n!也是完整图K_{n}中最优广播方案的数目,相当于嵌入在K_{n}中的二项式树的数目(参见Calin D.Morosan,Information Processing Letters,100(2006),188-193)。-Calin D.Morosan(cd_moros(AT)alumbers.concordia.ca),2008年11月28日
设S_{n}表示n星图。S_{n}结构由n个S_{n-1}结构组成。这个序列给出了S_{n+2}(n>=1)中任意两个指定S_{n+1}结构的顶点之间的边数。 -K.V.Iyer公司2009年3月18日
太阳图S_{n-2}的色不变量。
似乎a(n+1)是A000255号. -蒂莫西·霍珀2009年8月20日
a(n)也是平方矩阵An的行列式,其系数是β函数的倒数:a{i,j}=1/β(i,j),det(An)=n!. -恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年9月21日
指数积分E(x,m=1,n=1)~exp(-x)/x*(1-1/x+2/x^2-6/x^3+24/x^4+…)和E。请参见A163931号A130534型了解更多信息。 -约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
满足A(x)/A(x^2),A(x=A173280号. -加里·亚当森2010年2月14日
a(n)=G^n,其中G是前n个正整数的几何平均值。 -雅罗斯拉夫·克里泽克2010年5月28日
增加1-2棵有颜色的树,选择两种颜色作为最右侧的无檐树枝。 -文锦窝2011年5月23日
带有n个1色标签珠子的项链数量。 -罗伯特·威尔逊v2011年9月22日
序列1!, (2!)!, ((3!)!)!, (((4!)!)!)!, ...,(…(n!)!)...)!(n次)增长太快而无法进入。见霍夫施塔特。
1/a(n)=1/n!的示例f!是贝塞尔(0,2*sqrt(x))。见Abramowitz-Stegun,第375、9.3.10页。 -沃尔夫迪特·朗2012年1月9日
a(n)是第n行的长度,即三角形中第n行之和A170942号. -莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月29日
元素1、2、的排列数。..,n+1,其固定元素属于长度r的循环,不依赖于r,且等于a(n)。 -弗拉基米尔·舍维列夫2012年5月12日
a(n)是1的所有置换中的不动点数。..,n:总共n!排列,1正好是第一个(n-1)!乘以,2正好是秒(n-1)!次数等,给予(n-1)!*n=n!. -乔恩·佩里2012年12月20日
对于n>=1,a(n-1)是A000757号参见Moreno-Rivera。 -路易斯·曼努埃尔·里维拉·马丁内斯2013年12月9日
每个术语都可以被其数字根整除(A010888型). -伊万·伊纳基耶夫2014年4月14日
对于m>=3,a(m-2)是具有m个顶点的简单图中的非循环哈密顿路径的数目hp(m),除了一条缺失的边外,它是完整的。对于m<3,hp(m)=0。 -斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月17日
a(n)是具有n个节点的增加森林的数量。 -布拉德·琼斯2014年12月1日
阶乘数可以通过递归n!=(地板(n/2)!)^2*sf(n),其中sf(n)是摆动因子A056040型如果sf(n)是通过素因式分解计算的,那么这将导致一个有效的算法。有关此算法的说明,请参阅下面的链接。 -彼得·卢什尼2016年11月5日
树丛是有序(平面)二叉(0-1-2)递增树,其中大于1的节点有2种颜色。有n个!大小为n的树丛和经典的Françon双射将树丛映射为置换。 -谢尔盖·柯尔吉佐夫2016年12月26日
满足本福德定律[Diaconis,1977;Berger-Hill,2017]-N.J.A.斯隆2017年2月7日
a(n)=总和((d_p)^2),其中d_p是整数分区p的费雷斯板中标准表的数量,总和是n的所有整数分区p。例如:a(3)=6。实际上,3的分区是[3]、[2,1]和[1,1,1],分别有1、2和1个标准表;我们有1^2+2^2+1^2=6。 -Emeric Deutsch公司2017年8月7日
a(n)是x^n的n阶导数-伊恩·福克斯2017年11月19日
a(n)是n维布尔立方体{0,1}^n中关于关系“preceds”的最大链数。定义如下:对于{0,1}^n的任意向量u,v,例如u=(u_1,u_2,…,u_n)和v=(v_1,v_2,……,v_n),如果u_i<=v_i,则i=1,2,“u在v之前”。…,编号-瓦伦丁·巴科耶夫2017年11月20日
a(n)是图H_n中节点(0,0,…,0)(即全零向量)和(1,1,…,1)(即全能向量)之间的最短路径数(例如,通过宽度优先搜索获得),对应于n维布尔立方体{0,1}^n。图定义为H_n=(V_n,e_n),其中V_n是{0,1{的所有向量的集合^n、 和E_n包含由每对相邻向量形成的边。 -瓦伦丁·巴科耶夫2017年11月20日
a(n)也是对称n×n矩阵M的行列式,由M(i,j)=σ(gcd(i,j))定义,对于1<=i,j<=n-伯纳德·肖特,2018年12月5日
a(n)也是长度n的反转序列数。长度n的反演序列e1,e2。..,e_n是n个整数的序列,其中0<=e_i<i-胡安·奥利2019年10月14日
“阶乘”(factorial)一词是法国数学家路易斯·弗朗索瓦·安托万·阿博加斯特(Louis François Antoine Arbogast,1759-1803)于1800年发明的。1808年,法国数学家克里斯蒂安·克拉姆(1760-1826)首次使用符号“!”。 -阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月16日
此外,秩2的符号数,即映射X:{{1..n}选择2}->{+,-},这样对于任何三个指数a<b<c,序列X(a,b),X(a、c),X。 -曼弗雷德·舒彻2022年2月9日
a(n)也是具有n个元素的标记交换半单环的数目。例如,只有F_4和F_2XF_2是具有4个元素的交换半单环。它们都有两个自同构,因此a(4)=24/2+24/2=24。 -保罗·劳比2024年3月5日
a(n)是n+1阶极不吉利的斯特林置换数;即n+1阶Stirling置换正好有一辆幸运车的数量。 -布里吉特·坦纳2024年4月9日
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求和{i=0..n}(-1)^i*i^n*二项式(n,i)=(-1)*n*n!.-香港勇(ykong(AT)curagen.com),2000年12月26日
Sum_{i=0..n}(-1)^i*(n-i)^n*二项式(n,i)=n!——Peter C.Heinig(算法(AT)gmx.de),2007年4月10日
序列通常满足递归a(n+1)=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*a(k)*a(n-k)。 -罗伯特·费雷奥2009年12月5日
递归D-有限:a(n)=n*a(n-1),n>=1。n!~sqrt(2*Pi)*n^(n+1/2)/e^n(斯特林近似)。
a(0)=1,a(n)=子(x=1,(d^n/dx^n)(1/(2-x))),n=1,2。.. -卡罗尔·彭森2001年11月12日
例如:1/(1-x)。 -迈克尔·索莫斯2004年3月4日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*A000522号(k) *二项式(n,k)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*(x+k)^n*二项法(n,k)。 -菲利普·德尔汉姆2004年7月8日
的二项式变换A000166号. -罗斯·拉海耶2004年9月21日
a(n)=Sum_{i=1..n}((-1)^(i-1)*每次取n-i的1..n之和)-例如,4! = (1*2*3 + 1*2*4 + 1*3*4 + 2*3*4) - (1*2 + 1*3 + 1*4 + 2*3 + 2*4 + 3*4) + (1 + 2 + 3 + 4) - 1 = (6 + 8 + 12 + 24) - (2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12) + 10 - 1 = 50 - 35 + 10 - 1 = 24. -乔恩·佩里2005年11月14日
a(n)=(n-1)*(a(n-1)+a(n-2)),n>=2。-Matthew J.White,2006年2月21日
1/a(n)=(i,j)项为(i+j)的矩阵的行列式!/(i!(j+1)!)对于n>0。这是一个对角线上有加泰罗尼亚数字的矩阵。 -亚历山大·阿达姆楚克2006年7月4日
汉克尔变换A074664美元. -菲利普·德尔汉姆2007年6月21日
对于n>=2,a(n-2)=(-1)^n*Sum_{j=0..n-1}(j+1)*Stirling1(n,j+1)。 -米兰Janjic2008年12月14日
发件人保罗·巴里,2009年1月15日:(开始)
G.f.:1/(1-x-x^2/(1-3x-x^2/(1-5x-9x^2(1-7x-16x^2)/(1-9x-25x^2…(连分数)),因此Hankel变换是A055209号.
(n+1)的G.f!是1/(1-2x-2x^2/(1-4x-6x^2/-(1-6x-12x^2//(1-8x-20x^2…(连分数)),因此Hankel变换是A059332号.(结束)
a(n)=Product_{pprime}p^(Sum_{k>0}floor(n/p^k))由勒让德素数最高幂公式除以n!. -乔纳森·桑多2009年7月24日
a(n)=A053657号(n)/A163176号(n) 对于n>0。 -乔纳森·桑多2009年7月26日
看起来a(n)=(1/0!)+(1/1!)*n+(3/2!)*n*(n-1)+(11/3!)*n*(n-1)*(n-2)+。..+(b(n)/n!)*n*(n-1)*。..*2*1,其中a(n)=(n+1)!和b(n)=A000255号. -蒂莫西·霍珀,2009年8月12日
Sum_{n>=0}1/a(n)=e-杰姆·奥利弗·拉丰2009年3月3日
a(n)=a(n-1)^2/a(n-2)+a(n-1),n>=2。 -杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月21日
a(n)=伽马(n+1)。 -恩里克·佩雷斯·埃雷罗2009年9月21日
a(n)=A173333号(n,1)。 -莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月19日
a(n)=a_{n}(1),其中a_{n}(x)是欧拉多项式。 -彼得·卢什尼2010年8月3日
a(n)=n*(2*a(n-1)-(n-1。 -加里·德特利夫斯2010年9月16日
1/a(n)=-求和{k=1..n+1}(-2)^k*(n+k+2)*a(k)/(a(2*k+1)*a(n+1-k))。 -格鲁·罗兰2010年12月8日
发件人弗拉基米尔·舍维列夫2011年2月21日:(开始)
a(n)=Product{pprime,p<=n}p^(和{i>=1}floor(n/p^i))。
这个公式的无限模拟是:a(n)=乘积{q项A050376号<=n}q^((n)q),其中(n)_q表示这些数的个数<=n,其中q是无穷除数(有关定义,请参阅A037445号).(结束)
这些项是sinh(x)+cosh(x)展开式的分母。 -阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2012年2月3日
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1-2*x/(1-2*x/)(1-3*x/…))))。 -迈克尔·索莫斯,2012年5月12日
G.f.1+x/(G(0)-x),其中G(k)=1-(k+1)*x/(1-x*(k+2)/G(k+1));(连分数,2步)。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月14日
G.f.:W(1,1;-x)/(W(1,1,1;-x)-x*W(1,2;-x)),其中W(a,b,x)=1-a*b*x/1!+a*(a+1)*b*(b+1)*x^2/2! - ...+a*(a+1)*。..*(a+n-1)*b*(b+1)*。..*(b+n-1)*x^n/n! + ...;见[A.N.Khovanskii,p.141(10.19)]。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月15日
发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月26日:(开始)
G.f.:A(x)=1+x/(G(0)-x)其中G(k)=1+(k+1)*x-x*(k+2)/G(k+1;(续分数)。
设B(x)为的g.fA051296号,则A(x)=2-1/B(x)。(结束)
G.f.:1+x*(G(0)-1)/(x-1),其中G(k)=1-(2*k+1)/(1-x/(x-1/(1-2*k+2)/(1-x/(x-1/G(k+1))));(续分数)。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月15日
G.f.:1+x*(1-G(0))/(sqrt(x)-x),其中G(k)=1-(k+1)*sqrt;(续分数)。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月25日
G.f.:1+x/G(0),其中G(k)=1-x*(k+2)/(1-x*(k+1)/G(k+1));(续分数)。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月23日
a(n)=det(S(i+1,j),1<=i,j<=n),其中S(n,k)是第二类斯特林数。 -米尔恰·梅卡2013年4月4日
G.f.:G(0)/2,其中G(k)=1+1/(1-x*(k+1)/(x*(k+1)+1/G(k+1;(续分数)。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月24日
G.f.:2/G(0),其中G(k)=1+1/(1-1/(2*x*(k+1))+1/G(k+1));(续分数)。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月29日
G.f.:G(0),其中G(k)=1+x*(2*k+1)/(1-x*(2%k+2)/(x*(2\*k+2,+1/G(k+1));(续分数)。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月7日
a(n)=P(n-1,楼层(n/2))*楼层(n/3)!*(n-(n-2)*((n+1)mod 2)),其中P(n,k)是n个对象的k-置换,n>0。 -韦斯利·伊万·赫特,2013年6月7日
a(n)=a(n-2)*(n-1)^2+a(n-1),n>1。 -伊万·伊纳基耶夫2013年6月18日
a(n)=a(n-2)*(n^2-1)-a(n-1),n>1。 -伊万·伊纳基耶夫2013年6月30日
一般公式:1+x/Q(0),m=+2,其中Q(k)=1-2*x*(2*k+1)-m*x^2*(k+1)*(2xk+1)/(1-2*x*;(续分数)。 -谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月24日
a(n)=A245334型(n,n)。 -莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日
a(n)=产品{i=1..n}A014963号^地板(n/i)=产品{i=1..n}A003418号(地板(n/i))。 -马修·范德马斯特2014年12月22日
a(n)=圆(Sum_{k>=1}log(k)^n/k^2),对于n>=1,它与黎曼zeta函数在x=2时的n阶导数有关,如下所示:圆((-1)^n*zeta^(n)(2))。另请参见A073002型. -理查德·福伯格2014年12月30日
a(n)~Sum_{j>=0}j^n/e^j,其中e=A001113号当用一般变量代替“e”时,这个无穷和与欧拉多项式有关。请参见A008292号。n的近似值!n=2时在0.4%范围内。请参见A255169号.对于较大的n,精确度(以百分比表示)会迅速提高-理查德·福伯格2015年3月7日
a(n)=乘积_{k=1..n}(C(n+1,2)-C(k,2))/(2*k-1);请参阅Masanori Ando链接。 -米歇尔·马库斯2015年4月17日
求和{n>=0}a(n)/(a(n+1)*a(n+2))=Sum_{n>=0.}1/((n+2)*(n+1=A001620号,Ei(1)=A091725号. -伊利亚·古特科夫斯基2016年11月1日
a(2^n)=2^(2^n-1)*1!! * 3!! * 7!! * ...*(2^n-1)!!例如,16! = 2^15*(1*3)*(1*3*5*7)*(1*3*5*7*9*11*13*15) = 20922789888000. -彼得·巴拉2016年11月1日
a(n)=sum(prod(B)),其中sum覆盖{1,2,…,n-1}的所有子集B,其中prod(B)表示集合B的所有元素的乘积。如果B是带有元素B的单元素集,则定义prod(a)=B,如果B是空集,则将prod(C)定义为1。例如,a(4)=(1*2*3)+(1*2)+。 -丹尼斯·沃尔什2017年10月23日
和{n>=0}1/(a(n)*(n+2))=1。-将上面Jaume Oliver Lafont条目中的分母乘以(n+2),得到一个可伸缩的和。 -弗雷德·丹尼尔·克莱恩2020年11月8日
O.g.f.:求和{k>=0}k!*x^k=Sum_{k>=0}(k+y)^k*x^k/(1+(k+y)*x)^(k+1)对于任意y-彼得·巴拉2022年3月21日
例如:1/(1+LambertW(-x*exp(-x)))=1/(1-x),参见A258773型.-(1/x)*替换(z=x*exp(-x),z*(d/dz)LambertW(-z))=1/(1-x)。请参见2005年5月13日证明:使用合成逆(x*exp(-x))^[-1]=-LambertW(-z)。请参见A000169号A152917号,和理查德·斯坦利:《枚举组合数学》,第2卷,第37页,等式(5.52)。 -沃尔夫迪特·朗2022年10月17日
和{k>=1}1/10^a(k)=A012245号(刘维尔常数)。 -伯纳德·肖特2022年12月18日
发件人大卫·乌尔吉尼斯2023年9月19日:(开始)
1/a(n)=(e/(2*Pi*n)*Integral_{x=-oo..oo}cos(x-n*arctan(x))/(1+x^2)^(n/2)dx)。证明:取1/Gamma(x)的拉普拉斯积分的实分量。
a(n)=积分{x=0..1}e^(-t)*LerchPhi(1/e,-n,t)dt。证明:使用Gamma(x+1)=Sum_{n>=0}积分{t=n.n.n+1}e^。
猜想:a(n)=1/(2*Pi)*Integral_{x=-oo..oo}(n+i*x+1)!/(i*x+1)-(n+i*x-1)!/(i*x-1)dx。(结束)
a(n)=楼层(b(n)^n/(楼层((2^b(n=A007778号(n+1)。与合作米海普鲁内斯库. -洛伦佐·索拉斯(Lorenzo Sauras Altuzarra)2023年10月18日
a(n)=e^(Integral_{x=1..n+1}Psi(x)dx),其中Psi(x)是digamma函数。 -安德烈亚·皮诺斯2024年1月10日
a(n)=Integral_{x=0..oo}e^(-x^(1/n))dx,对于n>0。 -Ridouane Oudra公司,2024年4月20日
O.g.f.:N(x)=超几何([1,1],[],x)=LaplaceTransform(x/(1-x))/x,满足x^2*N'(x)+(x-1)*N(x)+1=0,其中N(0)=1。 -沃尔夫迪特·朗2025年5月31日
例子
有3个!=1*2*3=6种排列3个字母{a,b,c}的方式,即abc,acb,bac,bca,cab,cba。
设n=2。考虑{1,2,3}的排列。固定元件3。在下列每种情况下都有一个(2)=2置换:(a)3属于长度为1的循环(置换(1,2,3)和(2,1,3));(b)3属于长度为2的循环(排列(3,2,1)和(1,3,2));(c)3属于长度为3的循环(置换(2,3,1)和(3,1,2))。 -弗拉基米尔·舍维列夫2012年5月13日
G.f.=1+x+2*x^2+6*x^3+24*x^4+120*x^5+720*x^6+5040*x^7+。..
MAPLE公司
A000142号:=n->n!;序列(n!,n=0..20);
规范:=[S,{S=序列(Z)},标记];seq(combstruct[count](规范,大小=n),n=0..20);
#计算对称群循环指数的Maple程序
M: =6:f:=数组(0..M):f[0]:=1:打印(`n=`,0);打印(f[0]);f[1]:=x[1]:打印(`n=`,1);打印(f[1]);对于从2到M的n,做f[n]:=展开((1/n)*加(x[l]*f[n-l],l=1..n));打印(`n=`,n);打印(f[n]);日期:
带有(combstruct):ZL0:=[S,{S=集合(循环(Z,卡>0))},标记]:seq(计数(ZL0,大小=n),n=0..20); #零入侵拉霍斯2007年9月26日
数学
表[阶乘[n],{n,0,20}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年3月30日*)
文件夹列表[#1#2&,1,范围@20](*罗伯特·威尔逊v2011年5月7日*)
范围[20]! (*哈维·P·戴尔2011年11月19日*)
递归表[{a[n]==n*a[n-1],a[0]==1},a,{n,0,22}](*雷·钱德勒2015年7月30日*)
黄体脂酮素
(公理)[在0..10中n的阶乘(n)]
(岩浆)a:=func<n|阶乘(n)>;[0..10]]中的[a(n):n;
(哈斯克尔)
a000142::(枚举a,数字a,整数t)=>t->a
a000142 n=积[1..来自积分n]
a000142_list=1:zipWith(*)[1..]a000142_列表
--莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月2日、2011年11月2日和2011年4月21日
(Python)
对于范围(11000)内的i:
y=i
对于范围(1,i)中的j:
y*=i-j
打印(y,“\n”)
(Python)
导入数学
对于范围(11000)内的i:
数学.阶乘(i)
打印(“”)
#拉斯金·哈丁2013年2月22日
(PARI)a(n)=产品(i=1,n,i)\\费利克斯·弗罗利奇(Felix Fröhlich)2014年8月17日
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!)}; /*迈克尔·索莫斯2004年3月4日*/
(Sage)[(1..22)中n的阶乘(n)]#朱塞佩·科波列塔2014年12月5日
(GAP)列表([0..22],阶乘); #穆尼鲁·A·阿西鲁,2018年12月5日
(Scala)(1:BigInt).到(24:BigInt.).scanLeft(1:Big Int)(_*_)//阿隆索·德尔·阿特,2019年3月2日
(Julia)print([阶乘(big(n))用于0:28中的n])#保罗·穆尔贾迪2024年5月1日
交叉参考
阶乘基表示:A007623号.
囊性纤维变性。A003319号,A052186号,A144107号,A144108号. -加里·亚当森2008年9月11日
的补语A063992号. -莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月11日
囊性纤维变性。A053657号,A163176号. -乔纳森·桑多2009年7月26日
囊性纤维变性。A173280号. -加里·亚当森2010年2月14日
Boutrophedon变换:A230960型,A230961型.
囊性纤维变性。A233589型.
囊性纤维变性。A245334型.
中的一行数组A249026型.
囊性纤维变性。A001013号(乘法闭包)。
关键词
核心,容易的,非n,美好的
作者
状态
经核准的