0,3个

讨论这一序列的最早的出版物似乎是大约公元300年的《创造之书》（Sepher Yezirah）[创世之书]（参见Knuth，也可参见Zeilberger链接）-N、 斯隆2014年4月7日

对于n>=1，a（n）是nxn（0,1）矩阵的个数，每行和每列包含一个正好等于1的条目。

这个序列是A000354号（参见A075271号定义。）-约翰·W·外行，2002年9月12日[Paul Barry公式很容易验证A000354号，通过交换求和并使用公式：Sum_ck（-1）^kC（n-i，k）=KroneckerDelta（i，n）-大卫·凯伦，2003年8月31日]

具有1个元素A，2个元素B，…，n-1个元素X的T（n-1）元素的不同子集的数目（例如，在n=5时，我们考虑abbccdddd的不同子集，有5！=120）-乔恩·佩里2003年6月12日

n！是有素数签名的最小数。E、 g.，720=2^4*3^2*5-阿玛纳特·穆尔蒂2003年7月1日

a（n）是nxn矩阵M的恒量，M（i，j）=1-菲利普·德莱厄姆2003年12月15日

给定n个大小不同的对象（例如，面积、体积），使得每个对象都足够大，可以同时包含所有先前的对象，那么n！是使用所有n个对象的基本不同排列的总数。在排列中允许任意级别的对象嵌套。（这个序列的应用灵感来自于考虑剩余的移动盒子。）如果存在限制，即每个对象一次最多可以包含一个更小的（但可能是嵌套的）对象，则结果序列从1,2,5,15,52开始（钟形数？）。一套套套的木箱或传统的嵌套俄罗斯娃娃出现在这里-瑞克·L·谢泼德2004年1月14日

从迈克尔·索莫斯2004年3月4日；编辑M、 哈斯勒2015年1月2日：（开始）

[2，2，6，24，120，…]的斯特林变换是A052856号=[2，2，4，14，76，…]。

[1，2，6，24，120，…]的斯特林变换是A000670型=[1，3，13，75，…]。

[0，2，6，24，120，…]的斯特林变换是A052875号=[0，2，12，74，…]。

[1，1，2，6，24，120，…]的斯特林变换是A000629号=[1，2，6，26，…]。

[0，1，2，6，24，120，…]的斯特林变换是A002050=[0，1，5，25，140，…]。

斯特林变换(A165326号*A006894年)（1…）=[1，0，1，-1，8，-26，194，…]是[1，1，2，6，24，120，…]（这个序列）。（结束）

1，1，1，1，1，1…的第一个欧拉变换通过公式t（n）=和{k=0..n}e（n，k）s（k），其中e（n，k）是一阶欧拉数[A008292号]. -罗斯拉海2005年2月13日

推测一下，1、6和120是唯一既有三角形又有阶乘的数克里斯托弗M.托马谢夫斯基（cmt1288（AT）康卡斯特。net），2005年3月30日

n！是连续n次方的n次有限差分。E、 g.对于n=3，[0，1，8，27，64，…]>[1，7，19，37，…]>[6，12，18，…]>[6，6，…]。-布莱恩·雅各布（bryanjj（AT）gmail。com），2005年3月31日

a（n+1）=（n+1）！=1，2，6，…具有例如1/（1-x）^2-保罗·巴里2005年4月22日

把数字1到n写在一个圆圈上。则a（n）=所有n-2个相邻数的乘积之和。E、 例如，a（5）=1*2*3+2*3*4+3*4*5+4*5*1+5*1*2=120-阿玛纳特·穆尔蒂2005年7月10日

按子集关系排序的{1，2，…，n}幂集中最长链的个数-瑞克·L·谢泼德2006年2月5日

n>=0时n个字母的循环排列数为1，1，1，2，6，24，120，720，5040，40320，…-Xavier Noria（fxn（AT）hashref。com），2006年6月4日

a（n）是高度为n的装饰多元胺的数量（n>=1；见Barcucci等人参考文献中的定义）-德国金刚砂2006年8月7日

a（n）是大小为n的分区表的数目。有关定义，请参阅Steingrimsson/Williams link-大卫·凯伦2006年10月6日

想想n！整数序列[n]=1，2，…，n的置换。第i个置换由n循环（i）置换环组成。那么，如果和{i=1..n！}2^n循环（i）从1到n！，我们有和{i=1..n！}2^n循环（i）=（n+1）！。E、 例如，对于n=3，我们有ncycle（1）=3，ncycle（2）=2，ncycle（3）=1，ncycle（4）=2，ncycle（5）=1，ncycle（6）=2和2^3+2^2+2^1+2+2^1+2^2=8+4+2+4+2+4=24=（n+1）-托马斯·威德2006年10月11日

a（n）是{1，2，…，2n-1，2n}的集合划分成大小为2（完全匹配）的块的数目，其中每个块由一个偶数和一个奇数整数组成。例如，a（3）=6个计数12-34-56、12-36-45、14-23-56、14-25-36、16-23-45、16-25-34-大卫·凯伦2007年3月30日

考虑多集M=[1，2，2，3，3，3，4，4，4，…]=[1，2，2，…，n x'n']并形成M的所有子集n（其中n可能再次是多集）的集合U（其中U是严格意义上的集），则U的元素数| U |等于（n+1）！。E、 g.对于M=[1，2，2]，我们得到U=[]，[2]，[2，2]，[1]，[1，2]，[1，2，2]]和|=3！=6.本意见是对瑞克·L·谢泼德2004年1月14日-托马斯·威德2007年11月27日

对于n>=1，a（n）=1，2，6，24，…是Liouville常数的十进制展开式中对应于1的位置(A012245型). -保罗·穆尔贾迪2008年4月15日

三角形邮编：A144107有n！对于右边框为n的行和（给定n>0）！和左边框A003319号（1，2，6，24，…）的逆变换-加里·W·亚当森2008年9月11日

等于反转变换A052186号：（1，0，1，3，14，77，…）和三角形的行和A144108号. -加里·W·亚当森2008年9月11日

从阿卜杜拉希·乌马尔2008年10月12日：（开始）

a（n）也是（n链的）降阶全变换的数目。

a（n-1）也是（n-链）幂零阶递减全变换的个数。（结束）

n！也是完全图K{n}中最优广播方案的数目，相当于K{n}中嵌入的二叉树的数目（见Calin D.Morosan，信息处理信函，100（2006），188-193）Calin D.Morosan（cd_moros（AT）校友，康科迪亚。加利福尼亚州），2008年11月28日

和{n>=0}1/a（n）=e-詹姆·奥利弗·拉丰2009年3月3日

让S{n}表示n星图。S{n}结构由n个S{n-1}结构组成。这个序列给出了S{n+2}（n>=1）中任意两个指定S{n+1}结构顶点之间的边数-K、 V.伊耶2009年3月18日

太阳图S{n-2}的色不变量。

似乎a（n+1）是A000255——蒂莫西·霍珀（timothyhopper（AT）hotmail.co.uk），2009年8月20日

a（n）也是方矩阵an的行列式，其系数是β函数的倒数：a{i，j}=1/beta（i，j），det（an）=n-恩里克·佩雷斯·赫雷罗2009年9月21日

指数积分E（x，m=1，n=1）~exp（-x）/x*（1-1/x+2/x^2-6/x^3+24/x^4+…）和E（x，m=1，n=2）~exp（-x）/x*（1-2/x+6/x^2-24/x^3+…）的渐近展开式得到了阶乘数。看到了吗邮编：A163931和邮编：A130534了解更多信息-约翰内斯W.梅杰2009年10月20日

满足A（x）/A（x^2），A（x）=邮编：A173280. -加里·W·亚当森2010年2月14日

a（n）=A173333号（n，1）-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月19日

a（n）=G^n，其中G是前n个正整数的几何平均值-雅罗斯拉夫·克里泽克2010年5月28日

增加1-2棵树的颜色，为非叶的最右边的分支选择两种颜色-文津沃恩2011年5月23日

有1个项链颜色的珠子-罗伯特·G·威尔逊五世2011年9月22日

顺序1！，（2！）！，（（3！）！）！，（（4！）！）。。。，（（…（n！）！）…）！（n次）增长太快，没有自己的入口。见霍夫斯塔特。

1/a（n）的e.g.f.=1/n！是贝塞利（0，2*sqrt（x））。见Abramowitz Stegun，第375页，9.3.10-狼牙2012年1月9日

a（n）是第n行的长度，它是三角形中第n行的和邮编：A170942. -莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月29日

元素1，2，…，n+1的置换数与属于长度r的循环的固定元素不依赖于r，等于a（n）-弗拉基米尔·谢韦列夫2012年5月12日

a（n）是1，…，n的所有置换中不动点的数目：在所有n！排列，1就是第一个（n-1）！乘以，2正好是秒（n-1）！次数等，给予（n-1）*n=n-乔恩·佩里2012年12月20日

对于n>=1，a（n-1）是A000757号见莫雷诺里维拉-路易斯·曼努埃尔·里维拉·马丁内斯2013年12月9日

每个项都可以被其数字根整除(A010888号). -伊万·N·伊纳基耶夫2014年4月14日

对于m>=3，a（m-2）是具有m个顶点的简单图中无圈哈密顿路径的个数hp（m），除了一条缺失的边外，它是完整的。当m<3时，hp（m）=0-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月17日

a（n）=A245334号（n，n）-莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日

a（n）是具有n个节点的不断增加的林的数量-布拉德·R·琼斯2014年12月1日

和{n>=0}a（n）/（a（n+1）*a（n+2））=和{n>=0}1/（（n+2）*（n+1）^2*a（n））=2-exp（1）-gamma+Ei（1）=0.5996203229953…，其中gamma=A001620型，Ei（1）=A091725型. -伊利亚·古特科夫斯基2016年11月1日

阶乘数可以用递归n！=（楼层（n/2）！）^2*sf（n），其中sf（n）是摆动阶乘A056040型如果sf（n）是通过素数因式分解计算出来的，这将导致一个有效的算法。有关此算法的详细说明，请参阅下面的链接-彼得·卢什尼2016年11月5日

树形树是有序（平面）二元（0-1-2）递增树，其中出度1的节点有两种颜色。有n个！大小为n的树精灵和经典的弗朗索恩的双射将双射树精灵映射成排列-谢尔盖·柯尔吉佐夫2016年12月26日

满足本福德定律[Diaconis，1977；Berger-Hill，2017]-N、 斯隆2017年2月7日

a（n）=Sum（（dúp）^2），其中dúp是整数分区p的Ferrers板中标准tableaux的数目，求和是n的所有整数分区p的总和。例如：a（3）=6。实际上，3的分区是[3]、[2,1]和[1,1,1]，分别有1、2和1个标准tableaux；我们有1^2+2^2+1^2=6-德国金刚砂2017年8月7日

a（n）是x^n的n阶导数-伊恩·福克斯2017年11月19日

a（n）是n维布尔立方体{0,1}^n中关于关系“precedes”的最大链数。它的定义如下：对于{0,1}^n的任意向量u，v，使得u=（u_1，u_2，…，u n）和v=（v_1，v_2，…，v n），“u在v”之前，如果u_i<=v_i，i=1，2，…，n-瓦伦丁·巴科耶夫2017年11月20日

a（n）是图Hün中节点（0,0，…，0）（即全零向量）和（1,1，…，1）（即全一向量）之间的所有最短路径数（例如，通过广度优先搜索获得），对应于n维布尔立方体{0,1}^n。图被定义为H_n=（Vˉn，Eˉn），其中Vˉn是{0,1}^n的所有向量的集合，E_n包含每对相邻向量形成的边-瓦伦丁·巴科耶夫2017年11月20日

a（n）也是对称n×n矩阵M的行列式，由M（i，j）=sigma（gcd（i，j））定义，对于1<=i，j<=n-伯纳德·肖特2018年12月5日

a（n）也是长度为n的反转序列的数目。长度为n的反转序列e_1，e_2，…，e_n是n个整数的序列，使得0<=e_i<i-胡安·S·奥利2019年10月14日

{1+n（a）和（u2）加在一起，就产生了（1+n）的和-弗雷德·丹尼尔·克莱恩2020年11月8日

术语“factorial”是法国数学家路易斯·弗朗索瓦·安托万·阿博加斯特（Louis François Antoine Arbogast，1759-1803）在1800年发明的1808年，法国数学家克里斯蒂安·克拉姆（Christian Kramp，1760-1826）首次使用-阿米拉姆埃尔达2021年4月16日

同样，秩为2的signotopes的数目，即映射X:{1..n}选择2}->{+，-}，这样对于任何三个索引a<b<c，序列X（a，b），X（a，c），X（b，c）最多改变一次符号（见Felsner-Weil参考）-曼弗雷德·舍切尔2022年2月9日

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准局应用数学。系列551964年（和各种重印），第833页。

A、 T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证明：组合证明的艺术》，M.A.2003，id.125；另见第90页，例3。

戴康尼斯，波斯，前导数字分布与均匀分布模型1，人工神经网络，概率，5，1977，72--81，

Douglas R.Hofstadter，《流体概念与创造性类比：思维基本机制的计算机模型》，基础书籍，1995年，第44-46页。

A、 霍万斯基。连分式及其推广在逼近论问题中的应用。格罗宁根：荷兰诺德霍夫，1963年。见第141页（10.19）

D、 E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第3卷，第5.1.2节，第23页N、 斯隆2014年4月7日]

J、 -米。De Koninck&A.Mercier，1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres，Problème 693页，第90页，297页，巴黎埃利斯2004年。

A、 P.Prudnikov，余。A、 Brychkov和O.I.Marichev，“积分和级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，戈登和Breach科学出版社，1986-1992。

R、 罗宾逊，《主教的计数安排》，第198-214页，组合数学IV（阿德莱德，1975），Lect。数学笔记。，560年（1976年）。

西弗·耶齐拉【创世记】，约公元300年。见第52节。

N、 J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

D、 斯坦顿和D.怀特，构造组合学，斯普林格，1986；见第91页。

卡罗苏亚雷斯，西弗·耶茨拉，香巴拉出版物，1976年。见第52节。

大卫威尔斯，《企鹅好奇有趣的数字词典》，企鹅出版社，1987年，第102页。

N、 J.A.斯隆，前100个阶乘：n，n的表！对于n=0..100

M、 Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[备选扫描件]。

五十、 阿博加斯特，竞争计算，斯特拉斯堡：Levrault，1800年。

S、 B.阿克斯和B.克里希纳穆尔蒂，对称互连网络的群论模型，IEEE Trans。计算机。，38（4），1989年4月，555-566。

安藤正男，奇数与梯形数，arXiv:1504.04121[math.CO]，2015年。

大卫·阿普盖特和N·J·A·斯隆，Maple格式的S_0至S_40的循环索引表[节拍]

C、 乐队成员，M.Bousquet-Mélou，A.Denise，P.Flajolet，D.Gardy和D.Gouyou Beauchamps，生成树的生成函数离散数学246（1-3），2002年3月，第29-55页。

斯特凡诺·巴贝罗、翁贝托·瑟鲁蒂和纳迪尔·穆鲁，关于环中序列的运算与二项式序列，Ricerche di Matematica（2018年），第1-17页arXiv:1805.11922年[math.NT]，2018年。

E、 巴库奇，A.德尔·伦戈和R.皮扎尼，“装饰”多胺、排列和随机生成，理论计算机科学，1591996，29-42。

E、 巴库奇，A.德尔·伦戈，R.平扎尼和R.斯普鲁格诺利，普立米诺斯迪里格垂直对流，第31e页，公共图书馆。IRMA，斯特拉斯堡第一大学（1993年）。

Jean-Luc Baril，Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki，树精灵的图案《离散数学》，第340卷，第12期（2017年），2946-2954，arXiv:公元161793年2016年。

A、 伯杰和T.P.希尔，本福德定律是什么？通知，艾默尔。数学。Soc.，64:2（2017年），第132-134页。

M、 巴格瓦，阶乘函数及其推广，艾默尔。数学。月刊，107（2000年11月），783-799。

娜塔莎·布利特维奇和埃纳尔·斯坦格里姆松，排列、力矩、量度，arXiv:2001.00280[math.CO]，2020年。

亨利·巴特利，初始术语说明

道格拉斯·巴特勒，阶乘！

大卫·凯伦，计数稳定区间自由置换《整数序列杂志》，第7卷（2004年），第04.1.8条。

彼得·J·卡梅隆，由寡态置换群实现的序列，J.积分。顺序。第3卷（2000年），#00.1.5。

组合对象服务器，生成排列

罗伯特M.迪卡，排列图

S、 费尔斯纳和H.威尔，清扫、布置和标志牌《离散应用数学》第109卷，2001年第1-2期，第67-94页。

菲利普·弗莱约特和罗伯特·塞吉威克，解析组合学2009年；见第18页

J、 弗朗索恩，二元组合与应用《法国自动信息报》，第10期第3期（1976年），第35-50页。

H、 弗里珀丁格，对称群的元素

H、 弗里珀丁格，循环记数法中对称群的元素

乔·盖伊和文森特·皮劳德，Weyl偏序集上的弱序，arXiv:1804.06572[math.CO]，2018年。

伊丽莎白哈通，洪富宏，托尔斯滕·穆茨，亚伦·威廉姆斯，通过排列语言进行组合生成。一、 基本原理，arXiv:1906.06069[cs.DM]，2019年。

A、 易卜拉欣先生，阶乘概念对负数的推广《数论与离散数学笔记》，第19卷，2013，2，30-42。

INRIA算法项目，组合结构百科全书20

INRIA算法项目，组合百科全书297

米兰-扬吉奇，有限集上某些函数的计数公式

M、 詹吉奇，行列式与递归序列《整数序列杂志》，2012年，第12.3.5条-N、 斯隆2012年9月16日

B、 R.琼斯，关于树钩子长度公式、Feynman规则和B-级数，第22页，西蒙弗雷泽大学硕士论文，2014年。

克拉克·金伯利，整数序列的矩阵变换，J.整数序列。，2003年第6卷。

克里斯蒂安·克拉姆，巴黎大学，科隆：De l'imprimerie De Th.F.Thiriart，1808年。

G、 Labelle等人。，使用禁止子序列置换的Stirling数插值离散数学。246年（2002年），177-195年。

沃尔夫迪特·朗，关于Stirling数三角形的推广，J.整数序列。，第3卷（2000年），#00.2.4。

约翰·W·外行，Hankel变换及其若干性质，J.整数序列，4（2001），#01.1.5。

保罗·莱兰德，广义Cullen和Woodall数[回程机器上的缓存副本]

彼得·卢什尼，挥棒，除法和征服阶乘，（节选）。

Rutilo Moreno和Luis Manuel Rivera，圈中的块与k-交换置换，arXiv:1306:5708[math.CO]，2013-2014年。

托马斯·莫瑞尔，基于对数的“非毕达哥拉斯”音阶的进一步发展，arXiv:1804.08067[math.HO]，2018年。

T、 莫兹金，气缸的分类号和其他分类号在组合数学中，Proc。辛普森。纯数学。19，AMS，1971年，第167-176页。[注释，扫描副本]

中岛北弘，徐熙杰，扩展加泰罗尼亚和Shi类平面的计数，arXiv:1904.09748[math.CO]，2019年。

N、 恩隆，沃勒松根纽伯差异斯普林格1924年，第98页。

R、 昂德雷卡，1273个精确阶乘，数学。公司。，第24卷（1970年），第231页。

恩里克·佩雷斯·赫雷罗，β函数矩阵行列式迷幻几何blogspot-09/21/09

亚历克山达·佩托杰维奇，函数vM_m（s；a；z）与一些已知序列《整数序列杂志》，第5卷（2002年），第02.1.7条

弗雷德里克曼，多精度算术（计算高达765的阶乘）

路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014-2015年。

大卫·A·谢泼德，主要平衡标号图的阶乘表示，离散数学。，15（1976年），第4号，379-388。

迈克尔·斯皮维和劳拉·L·斯泰尔，k-二项式变换与Hankel变换《整数序列杂志》，第9卷（2006年），第06.1.1条。

R、 斯坦利P，组合杂集

R、 P.斯坦利，代数组合学的新进展，公牛。阿默尔。数学。第40卷（2003年），第55-68页。

艾纳·斯坦林姆森和劳伦·K·威廉姆斯，排列表和排列模式，arXiv:math/0507149[math.CO]，2005-2006年。

A、 乌马尔，关于降阶有限全变换的半群，过程。罗伊。爱丁堡学会120A（1992），129-142。

G、 维勒明的数字年鉴，阶乘

圣人威尔，前999个阶乘[回程机器上的缓存副本]

埃里克·韦斯坦的数学世界，阶乘,伽马函数,多因素的,置换,排列模式,拉盖尔多项式,对角矩阵,色不变量.

R、 W.惠蒂，二维曲面上的Rook多项式与图的优美标号，离散数学。，308（2008年），674-683。

维基百科，阶乘

多伦·泽尔伯格，所罗门王和拉比本以斯拉对圆周率的评价和祖宗亚伯拉罕对算法的分析.

多伦·泽尔伯格，所罗门王和拉比本以斯拉对圆周率的评价和祖宗亚伯拉罕对算法的分析[本地副本]

多伦·齐尔伯格和诺姆·齐尔伯格，关于分拆数的两个问题，arXiv:1810.12701[math.CO]，2018年。

“核心”序列的索引项

可除序列索引

与阶乘数相关的序列的索引项

与Benford定律有关的序列的索引项

Exp（x）=和{m>=0}x^m/m-穆罕默德阿扎里安2010年12月28日

和{i=0..n}（-1）^i*i^n*二项式（n，i）=（-1）^n*n！。-永康（ykong）库拉索。com），2000年12月26日

和{i=0..n}（-1）^i*（n-i）^n*二项式（n，i）=n！.-Peter C.Heinig（算法（AT）gmx。德国），2007年4月10日

序列平凡地满足递推a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n，k）*a（k）*a（n-k）-罗伯特·费雷奥2009年12月5日

D-有限递归：a（n）=n*a（n-1），n>=1.nsqrt（2*Pi）*n^（n+1/2）/e^n（斯特林近似）。

a（0）=1，a（n）=子项（x=1，（d^n/dx^n）（1/（2-x）），n=1，2-卡罗尔·彭森2001年11月12日

E、 g.f.：1/（1-x）-迈克尔·索莫斯2004年3月4日

a（n）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*A000522号（k） *二项式（n，k）=和{k=0..n}（-1）^（n-k）*（x+k）^n*二项式（n，k）-菲利普·德莱厄姆2004年7月8日

二项式变换A000166号. -罗斯拉海2004年9月21日

a（n）=和{i=1..n}（（-1）^（i-1）*1..n的和，每次取n-i）-例如，4！=（1*2*3+1*2*4+1*3*4+2*3*4）-（1*2+1*3+1*4+2*3+2*4+3*4）+（1+2+3+4）-1=（6+8+12+24）-（2+3+4+6+8+12）+10-1=50-35+10-1=24-乔恩·佩里2005年11月14日

（2006年2月21日），（n-a），（n-a），（n-2）

1/a（n）=其（i，j）项为（i+j）的矩阵的行列式/（i！（j+1）！）对于n>0，这是一个对角线上有加泰罗尼亚数字的矩阵-亚历山大·阿达姆丘克2006年7月4日

汉克尔变换A074664号. -菲利普·德莱厄姆2007年6月21日

对于n>=2，a（n-2）=（-1）^n*和{j=0..n-1}（j+1）*Stirling1（n，j+1）-米兰-扬吉奇2008年12月14日

从保罗·巴里2009年1月15日：（开始）

G、 f.：1/（1-x-x^2/（1-3x-4x^2/（1-5x-9x^2/（1-7x-16x^2/（1-9x-25x^2….（连分式），因此汉克尔变换为A055209号.

G、 （n+1）的f！为1/（1-2x-2x^2/（1-4x-6x^2/（1-6x-12x^2/（1-8x-20x^2….）（连分式），因此汉克尔变换为A059332号（结束）

a（n）=Prod{p prime}p^{Sum{k>0}[n/p^k]}由素数除n的最高幂的勒让德公式得到-乔纳森·桑多2009年7月24日

a（n）=A053657型（n）/邮编：A163176（n） n>0时-乔纳森·桑多2009年7月26日

似乎a（n）=（1/0！）+（1/1！）*n+（3/2！）*n*（n-1）+（11/3！）*n*（n-1）*（n-2）+…+（b（n）/n！）*n*（n-1）*…*2*1，其中a（n）=（n+1）！和b（n）=A000255. -蒂莫西·霍珀2009年8月12日

a（n）=a（n-1）^2/a（n-2）+a（n-1），n>=2-詹姆·奥利弗·拉丰2009年9月21日

a（n）=伽马（n+1）-恩里克·佩雷斯·赫雷罗2009年9月21日

a（n）=a{n}（1），其中a{n}（x）是欧拉多项式-彼得·卢什尼2010年8月3日

a（n）=n*（2*a（n-1）-（n-1）*a（n-2）），n>1-加里·德特勒夫斯2010年9月16日

1/a（n）=-和{k=1..n+1}（-2）^k*（n+k+2）*a（k）/（a（2*k+1）*a（n+1-k））-罗兰松鸡2010年12月8日

从弗拉基米尔·谢韦列夫2011年2月21日：（开始）

a（n）=积{p素数，p<=n}p^（和{i>=1}层（n/p^i）；

这个公式的无限类比是：a（n）=prod{q项A050376号<=n}q^（（n）_q），其中（n）q表示这些数的个数<=n，其中q是无穷除数（有关定义，请参见中的注释A037445号). （结束）

这些项是sinh（x）+cosh（x）展开的分母-阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2012年2月3日

G、 f.：1/（1-x/（1-2*x/（1-2*x/（1-3*x/（1-3*x/（1-3*x/…）））））-迈克尔·索莫斯2012年5月12日

G、 f.1+x/（G（0）-x），其中G（k）=1-（k+1）*x/（1-x*（k+2）/G（k+1））；（续分数，2步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月14日

G、 f.：W（1,1；-x）/（W（1,1；-x）-x*W（1,2；-x）），其中W（a，b，x）=1-a*b*x/1！+a*（a+1）*b*（b+1）*x^2/2！-…+a*（a+1）*…*（a+n-1）*b*（b+1）*…*（b+n-1）*x^n/n！+。。。；见[A.N.Khovanskii，第141页（10.19）]-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年8月15日

从谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月26日：（开始）

G、 f.：A（x）=1+x/（G（0）-x，其中G（k）=1+（k+1）*x-x*（k+2）/G（k+1）；（续分数）。

设B（x）为A051296号，则A（x）=2-1/B（x）。（结束）

G、 f.：1+x*（G（0）-1）/（x-1），其中G（k）=1-（2*k+1）/（1-x/（x-1/（1-（2*k+2）/（1-x/（x-1/G（k+1）））））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月15日

G、 f.：1+x*（1-G（0））/（sqrt（x）-x，其中G（k）=1-（k+1）*sqrt（x）/（1-sqrt（x）/（sqrt（x）-1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月25日

G、 f.：1+x/G（0），其中G（k）=1-x*（k+2）/（1-x*（k+1）/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月23日

a（n）=det（S（i+1，j），1<=i，j<=n），其中S（n，k）是第二类斯特林数-米尔恰梅尔卡2013年4月4日

G、 f.：G（0）/2，式中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1）+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月24日

G、 f.：2/G（0），式中G（k）=1+1/（1-1/（2*x*（k+1））+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月29日

G、 f.：G（0），其中G（k）=1+x*（2*k+1）/（1-x*（2*k+2）/（x*（2*k+2）+1/G（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月7日

a（n）=P（n-1，楼层（n/2））*楼层（n/2）！*（n-（n-2）*（（n+1）mod 2）），其中P（n，k）是n个对象的k-置换，n>0-韦斯利·伊万受伤了2013年6月7日

a（n）=a（n-2）*（n-1）^2+a（n-1），n>1-伊万·N·伊纳基耶夫2013年6月18日

a（n）=a（n-2）*（n^2-1）-a（n-1），n>1-伊万·N·伊纳基耶夫2013年6月30日

G、 f.：1+x/Q（0），m=+2，其中Q（k）=1-2*x*（2*k+1）-m*x^2*（k+1）*（2*k+1）/（1-2*x*（2*k+2）-m*x^2*（k+1）*（2*k+3）/Q（k+1））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月24日

a（n）=乘积{i=1..n}A014963号^楼层（n/i）=产品{i=1..n}A003418号（楼层（n/i））-马修·范德马斯特2014年12月22日

a（n）=round（和{k>=1}log（k）^n/k^2），对于n>=1，它与Riemann-zeta函数在x=2处的n阶导数有关，如下所示：round（（-1）^n*zeta^（n）（2））。另请参见A073002号. -理查德·R·福伯格2014年12月30日

a（n）~和{j>=0}j^n/e^j，其中e=A001113。当用泛型变量代替“e”时，这个无穷和与欧拉多项式有关。看到了吗A008292号.这个n的近似值！在n=2时在0.4%范围内。参见A255169号。对于较大的n，准确度（以百分比表示）会迅速提高-理查德·R·福伯格2015年3月7日

a（n）=积{k=1..n}（C（n+1，2）-C（k，2））/（2*k-1）；见安藤正彦链接-米歇尔·马库斯2015年4月17日

a（2^n）=2^（2^n-1）*1！！*3！！*7！！*…*（2）！！。例如，16！=2^15*（1*3）*（1*3*5*7）*（1*3*5*7*9*11*13*15）=2092278988000-彼得·巴拉2016年11月1日

a（n）=和（prod（B）），其中和在{1,2，…，n-1}的所有子集B上，其中prod（B）表示集合B中所有元素的乘积。如果B是元素B的单粒子集，那么我们定义prod（B）=B，并且，如果B是空集，我们将prod（B）定义为1。例如，a（4）=（1*2*3）+（1*3）+（2*3）+（1+2）+（3）+1=24-丹尼斯·P·沃尔什2017年10月23日

O、 g.f.：和{k>=0}k*x^k=和{k>=0}（k+y）^k*x^k/（1+（k+y）*x）^（k+1）-彼得·巴拉2022年3月21日

有3个！=1*2*3=6种方式排列3个字母{a，b，c}，即abc，acb，bac，bca，cab，cba。

设n=2。考虑{1，2，3}的排列。固定元素3。在以下每种情况下都有（2）=2个置换：（a）3属于长度为1的循环（置换（1，2，3）和（2，1，3））；（b） 3属于长度为2的循环（排列（3，2，1）和（1，3，2））；（c） 3属于长度为3的循环（排列（2，3，1）和（3，1，2））-弗拉基米尔·谢韦列夫2012年5月13日

G、 f.=1+x+2*x^2+6*x^3+24*x^4+120*x^5+720*x^6+5040*x^7+。。。

A000142号：=n->n！；[顺序（n！，n=0..20）]；

规范：=[S，{S=Sequence（Z）}，带标签]；[顺序（组合结构[计数]（规格，尺寸=n），n=0..20）]；

#计算对称群循环指数的Maple程序

M： =40:f:=数组（0..M）：f[0]：=1:lprint（“n=”，0）；打印（f[0]）；f[1]：=x[1]：lprint（“n=”，1）；打印（f[1]）；从2到M的n做f[n]：=展开（（1/n）*加（x[l]*f[n-l]，l=1..n））；lprint（“n=，n）；打印（f[n]）；外径：

带（combstruct）：ZL0:=[S，{S=Set（Cycle（Z，card>0））}，标签为：seq（count（ZL0，size=n），n=0..20）#泽伦瓦拉乔斯2007年9月26日

表[阶乘[n]，{n，0，20}](*斯特凡·斯坦伯格2006年3月30日*）

折叠列表[#1#2&，1，范围@20](*罗伯特·G·威尔逊五世2011年5月7日*）

射程[20]！(*哈维·P·戴尔2011年11月19日*）

循环表[{a[n]==n*a[n-1]，a[0]==1}，a，{n，0，22}](*雷·钱德勒2015年7月30日*）

（公理）[0..10中n的阶乘（n）]

（岩浆）a:=func<n |阶乘（n）>；[a（n）：n in[0..10]]；

（哈斯克尔）

a000142:：（枚举a，数值a，整数t）=>t->a

a000142 n=积[1..from integral n]

a000142_list=1:zipWith（*）[1..]a000142_列表

--莱因哈德·祖姆凯勒2014年3月2日、2011年11月2日、2011年4月21日

（蟒蛇）

对于范围内的i（1000）：

y=我

对于范围（1，i）中的j：

y*=i-j

打印（y，“\n”）

（蟒蛇）

导入数学

对于范围内的i（1000）：

数学。阶乘（i）

打印（“”）

#拉斯金·哈丁2013年2月22日

（PARI）a（n）=生产（i=1，n，i）\\费利克斯·弗利希2014年8月17日

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，n！）}/*迈克尔·索莫斯2004年3月4日*/

（Sage）[（1..22）中n的阶乘（n）]#科波塞塔2014年12月5日

（GAP）列表（[0..22]，阶乘）#阿西鲁2018年12月5日

（Scala）（1:BigInt）。到（24:BigInt）。scanLeft（1:BigInt）（\//阿隆索·德尔阿尔特2019年3月2日

囊性纤维变性。A000165号,A001044型,A001563号,A003422号,A009445号,A010050型,A012245型,A033312号,A034886号,A038507型,A047920型,A048631号.

阶乘基表示：A007623号.

囊性纤维变性。A003319号,A052186号,邮编：A144107,A144108号. -加里·W·亚当森2008年9月11日

补足A063992年. -莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月11日

囊性纤维变性。A053657型,邮编：A163176. -乔纳森·桑多2009年7月26日

囊性纤维变性。邮编：A173280. -加里·W·亚当森2010年2月14日

布氏变换：A230960,A230961.

囊性纤维变性。A23589号.

囊性纤维变性。A245334号.

数组中的一行A249026号.

囊性纤维变性。A001013型（乘法闭包）。

对于初始数字为d（1<=d<=9）的阶乘，请参见A045509号,A045510,A045511号,A0516年,A045517型,A045518号,A282021型,A045519号;A045520型,A045521号,A045522号,A045523号,A045524号,A045525,A045526号,A045527号,A045528号,A045529号.

上下文顺序：邮编：A133942 A159333号 A165233号*A104150型 A074166型 A130641号

相邻序列：A000139号 A000140型 A000141号*A000143号 A000144号 A000145型

核心,容易的,不,美好的

N、 斯隆

经核准的