二项式系数
是拾取方式的数量
无序的结果来自
可能性,也称为结合或组合数。符号
和
用于表示二项式系数,有时读作“
选择
."
因此给出了k个-子集可能的从一组
不同的项目。例如
这六双是吗
,
,
,
,
、和
,所以
此外晶格路径来自起源
到某一点
)是二项式系数
(希尔顿和佩德森,1991年)。
二项式系数的值非负整数
和
具有
由提供
 |
(1)
|
(格雷厄姆等人。1989年,第157页),其中
表示阶乘的.填充在值中(按行)
, 1, ...,
用于增加
给予帕斯卡三角形.
编写阶乘的作为一个伽马函数
允许将二项式系数推广到非整数参数(包括复杂的
和
)作为
 |
(2)
|
这个罗马系数(Roman 1992,Loeb 1995)是二项式系数的推广。每当二项式系数定义,则罗马系数同意但是罗马系数已定义对于二项式系数不是的值。
的二项式系数非负整数
给出多项式
哪里
是一个Pochhammer符号.这些有理系数有时被称为“广义二项式系数”
使用伽马函数对称公式
 |
(5)
|
对于整数
,
和复杂
,这个定义可以扩展到负整数参数,使其连续除了负整数
和非整数
,在这种情况下,它是无限的(Kronenburg,2011年)。该定义由
 |
(6)
|
对于负整数
和整数
与二项式定理相一致,与组合身份,但有一些特殊的例外(Kronenburg,2011年)。
二项式系数在Wolfram语言作为二项式[n个,k个],它遵循从版本8开始的上述约定。一种变体
保留了帕斯卡的身份
![[n,k]=[n-1,k]+[n-1、k-1],](/images/equations/BinomialCoefficient/NumberedEquation5.svg) |
(7)
|
因此,其价值不同于负整数
,在中实现Wolfram语言作为帕斯卡二项式[n个,k个].
绘制二项式系数
-平面图(Fowler 1996)展示了上图中美丽的情节,它有一个非常复杂的图表对于消极的
和
因此很难使用标准绘图进行渲染程序。
对于正整数
,的二项式定理给予
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(8)
|
这个有限差分这种身份的模拟称为Chu-Vandermonde身份.类似的公式适用于负整数,
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(9)
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有一些优雅二项式和.
二项式系数满足恒等式
二项式系数的乘积由下式给出
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(14)
|
哪里
是一个超阶乘的和
是一个阶乘.
如库姆1852年所示,如果
是首要的
这就分裂了
,其中
和
是非负整数,则
是的数字携带发生的什么时候
已添加到
在底座中
(格雷厄姆等人。1989年,练习5.36,第245页;Ribenboim 1989年;瓦尔迪1991年,第68页)。Kummer的结果也可以表示为一首要的
划分
由整数的数量给出
对于其中
 |
(15)
|
哪里
表示小数部分属于
这个不等式可以简化为指数的研究总和
,哪里
是Mangoldt函数.这些的估计Jutila(1973、1974)给出了总数,但最近的改进是Granville和Ramare(1996年)。
相对湿度。Gosper表明
 |
(16)
|
为所有人素数并推测它成立只有对于素数当Skiena(1990)发现它也适用于复合数
瓦尔迪(1991年,第63页)随后表明
是一种解决方案
是一个韦伊费列治素数和如果
具有
是一个解决方案,那么也是
这使他能够表明唯一的解决方案对于混合成的
是5907,
、和
,其中1093和3511为威弗里奇素数.
考虑二项式系数
前几位是1、3、10、35、126、,…(OEIS)A001700号).这个生成功能是
![1/2[1/(平方(1-4x))-1]=x+3x^2+10x^3+35x^4+。...](/images/equations/BinomialCoefficient/NumberedEquation11.svg) |
(17)
|
这些数字是无平方的只为
, 3, 4, 6, 9, 10, 12, 36, ...(OEIS)A046097号),没有其他人知道。事实证明
可被4整除,除非
属于2-自动设置
,正好是一组数字谁的二元的表示最多包含两个1s:1,2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18, ...(OEIS)A048645号).同样,
可被9整除,除非
属于3-自动设置
,由数字组成
其中
在里面三元的完全由0s和2s(可能除了一对相邻的1s)。的初始元素
是1、2、3、4、6、7、9、10、11、12、13、18、19、21、22、27、。..(OEIS)A051382号).如果
那么是平方自由的
必须属于
.很有可能
是有限的,但没有已知的证明。现在,大于4和9也可能分开
但仅通过消除这两个因素
对于
是1、2、3、4、6、9、10、12、18、33、34、36、40、64、66、192、256、264、272、513,514、516、576、768、1026、1056、2304、16392、65664、81920、532480和545259520。除最后一项外,所有这些都已经过检查,确定没有其他
这样的话
是平方自由的
.
Erdős表明二项式系数
具有
是一个权力的整数对于单个案例
(《狮子座》1983年,第48页)。二项式系数
是正方形
什么时候
是一个三角形数,发生于
, 6, 35, 204, 1189, 6930, ...(OEIS)A001109号).这些值
具有相应的值
, 9, 50, 289, 1682, 9801, ...(OEIS)A052436号).
二项式系数
被称为中心的二项式系数,其中
是楼层功能,尽管系数的子集
有时也有这个名字。Erdős和Graham(1980年,第71页)推测中心的二项式系数
是从未 无平方的对于
,这有时被称为Erdős公司无平方猜想.萨科齐的定理(Sárkőzy 1985)提供了部分解决方案,其中指出二项式系数
永远不会无平方的对于都足够大
(瓦尔迪,1991年)。Granville和Ramare(1996)证明了这个只有 无平方的值为
和4。桑德(1992)随后表明
也永远不会无平方的足够大的
只要
不是“太大”
对于
,
,和
不同的素数,则函数(◇)满足
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(18)
|
(瓦尔迪1991年,第66页)。
大多数二项式系数
具有
有一个基本因子
和拉坎帕涅等人。(1993)推测这种不平等对所有人来说都是真实的
,或更强烈地认为任何此类二项式系数有最小素因子
或
除了例外
,
,
,
对于其中
第19、23、29页(盖伊1994年,第84页)。
二项式系数
(mod 2)可以使用异或操作
异或
,制作帕斯卡三角形mod2很容易构建。
Sondow(2005)和Sondow and Zudilin(2006)指出了不平等
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(19)
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对于
一正整数和
一个实数。