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二项式系数


二项式系数(n;k)是拾取方式的数量k个 无序的结果来自n个可能性,也称为结合或组合数。符号_取消(_k)(n;k)用于表示二项式系数,有时读作“n个 选择 k个."

(n;k)因此给出了k个-子集可能的从一组n个不同的项目。例如{1,2,3,4}这六双是吗{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4}、和{3,4},所以(4; 2)=6此外晶格路径来自起源 (0,0)到某一点(a、b))是二项式系数(a+b;a)(希尔顿和佩德森,1991年)。

二项式系数的值非负整数 n个k个具有0<=k<=n由提供

 (n;k)=(n!)/(k!(n-k)!)
(1)

(格雷厄姆等。1989年,第157页),其中z!表示阶乘的.填充在值中(按行)k=0, 1, ...,n个用于增加n个给予帕斯卡三角形.

编写阶乘的作为一个伽马函数 z=伽马(z+1)允许将二项式系数推广到非整数参数(包括复杂的x个年)作为

 (x;y)=(γ(x+1))/(γ(y+1)γ(x-y+1))。
(2)

这个罗马系数(Roman 1992,Loeb 1995)是二项式系数的推广。每当二项式系数定义,则罗马系数同意然而罗马系数已定义对于二项式系数不是的值。

的二项式系数非负整数 年给出多项式x个

(x;y)=(x)年/(y!)
(3)
=(x(x-1)(x-2)。。。(x-y+1))/(y(y-1)。。。2·1),
(4)

哪里(x) 是(_y)是一个Pochhammer符号.这些有理系数有时被称为“广义二项式系数”

使用伽马函数对称公式

 (伽马射线(s-a+1))/(伽马线(s-b+1))=(-1)^(b-a)(伽马(b-s))/
(5)

对于整数一,b和复杂秒,这个定义可以扩展到负整数参数,使其连续除了负整数x个和非整数年,在这种情况下,它是无限的(Kronenburg 2011)。该定义由

 (n;k)={(-1)^k(-n+k-1;k)对于k>=0;(-1)(n-k)(-k-1;n-k)对于k<=n;否则为0
(6)

对于负整数n个和整数k个与二项式定理相一致,与组合身份,但有一些特殊的例外(Kronenburg,2011年)。

二项式系数在Wolfram语言作为二项式[n个,k个],它遵循从版本8开始的上述约定。一种变体【n,m】保留了帕斯卡的身份

 [n,k]=[n-1,k]+[n-1、k-1],
(7)

因此其价值不同负整数 n个,可以在未来版本的沃尔夫拉姆语言作为帕斯卡二项式[n个,k个].

二项式系数

绘制二项式系数xy公司-平面图(Fowler 1996)展示了上图中美丽的情节,它有一个非常复杂的图表对于消极的 x个年因此很难使用标准绘图进行渲染程序。

对于正整数 n个,的二项式定理给予

 (x+a)^n=sum_(k=0)^n(n;k)x^ka^(n-k)。
(8)

这个有限差分这种身份的模拟称为Chu-Vandermonde身份.类似的公式适用于负整数,

 (x+a)^(-n)=sum_(k=0)^inff(-n;k)x^ka^(n-k)。
(9)

有一些优雅二项式和.

二项式系数满足恒等式

(n;0)=(n;n)=1
(10)
(n;k)=(n;n-k)
(11)
(n;k+1)=(n;k)(n-k)/(k+1)
(12)
(n+1;k)=(n;k)+(n;k-1)。
(13)

二项式系数的乘积由下式给出

 产品_(k=0)^n(n;k)=(H^2(n))/((n!)^(n+1)),
(14)

哪里H(n)是一个超阶乘的n!是一个阶乘的.

如库姆1852年所示,如果p^k(磅)是的最大幂首要的 第页这就分裂了(m+n;m),其中米n个是非负整数,那么k个是的数字携带发生的什么时候米已添加到n个在底座中第页(格雷厄姆等。1989年,练习5.36,第245页;Ribenboim 1989年;瓦尔迪1991年,第68页)。Kummer的结果也可以表示为首要的 第页划分(n;m)由整数的数量给出j> =0对于其中

 压裂(m/p^j)>压裂(n/p^j),
(15)

哪里压裂(x)表示小数部分属于x个这个不等式可以简化为指数的研究总和总和(n)λ(n)e(x/n),哪里兰姆达(n)Mangoldt函数.这些的估计Jutila(1973、1974)给出了总数,但最近的改进是Granville和Ramare(1996年)。

相对湿度。高斯珀证明了这一点

 f(n)=(n-1;1/2(n-1))=(-1)
(16)

为所有人素数并推测它成立只有对于素数当Skiena(1990)发现它也适用于复合数 n=3×11×179瓦尔迪(1991年,第63页)随后显示n=p^2是一种解决方案第页是一个韦伊费列治素数如果n=p^k具有k> 3个是一个解决方案,那么也是n=p^(k-1)这使他能够表明唯一的解决方案对于混合成的 n<1.3×10^7是5907,1093^2、和3511^2,其中1093和3511为威弗里奇素数.

考虑二项式系数f(n)=(2n-1;n)前几位是1、3、10、35、126、,…(OEIS)A001700号). 这个生成功能

 1/2[1/(平方(1-4x))-1]=x+3x^2+10x^3+35x^4+。。。。
(17)

这些数字是无平方的只为n=2个, 3, 4, 6, 9, 10, 12, 36, ... (组织环境信息系统A046097号),没有其他人知道。事实证明f(n)可被4整除,除非n个属于2-自动设置 S_2,正好是一组数字谁的二元的表示最多包含两个1s:1,2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18, ... (组织环境信息系统A048645美元).同样,f(n)可被9整除,除非n个属于3-自动设置 S_3号机组,由数字组成n个其中2个在里面三元的完全由0s和2s(可能除了一对相邻的1s)。的初始元素S_3号机组是1、2、3、4、6、7、9、10、11、12、13、18、19、21、22、27。。。(组织环境信息系统A051382号).如果f(n)那么是平方自由的n个必须属于S=S_2交叉点S_3。很可能S公司是有限的,但没有已知的证明。现在,大于4和9也可能分开f(n)但仅通过消除这两个因素n个对于n<=2^(64)是1、2、3、4、6、9、10、12、18、33、34、36、40、64、66、192、256、264、272、513、,514、516、576、768、1026、1056、2304、16392、65664、81920、532480和545259520。除最后一项外,所有这些都已经过检查,确定没有其他n个这样的话f(n)是平方自由的n≤545259520.

Erdős表明二项式系数(n;k)具有3<=k<=n/2是一个权力整数对于单个案例(50; 3)=140^2(《狮子座》1983年,第48页)。二项式系数T_(n-1)=(n;2)是正方形a^2什么时候a^2是一个三角形数,发生于a=1, 6, 35, 204, 1189, 6930, ... (组织环境信息系统A001109号). 这些值一具有相应的值n=2, 9, 50, 289, 1682, 9801, ... (组织环境信息系统A052436号).

二项式系数(n;|_n/2_|)被称为中心的二项式系数,其中|_x个_|楼层功能,尽管系数子集(2n;n)有时也有这个名字。Erdős和Graham(1980年,第71页)推测中心的二项式系数 (2n;n)从未 无平方的对于n> 4个,这有时被称为Erdős公司无平方猜想.Sárkõzy的定理(Sárkőzy 1985)提供了部分解决方案,其中指出二项式系数(2n;n)永远不会无平方的对于都足够大n> =n_0(瓦尔迪,1991年)。Granville和Ramare(1996)证明了这个只有 无平方的值为n=2和4。桑德(1992)随后表明(2n+/-d;n)也永远不会无平方的足够大的n个只要d日不是“太大”

对于第页,q个,第页不同的素数,则函数(◇)满足

 f(pqr)f(p)f(q)f(r)=f(pq)f
(18)

(瓦尔迪1991年,第66页)。

大多数二项式系数(n;k)具有n> =2千有一个主要因素p<=无/无和拉坎帕涅等。(1993)推测这种不平等对所有人来说都是真实的n> 17.12.5万,或更强烈地认为任何此类二项式系数最小素因子 p<=无/无p<=17除了例外(62; 6),(959; 56),(474; 66),(284; 28)对于其中p=19第19、23、29页(盖伊1994年,第84页)。

二项式系数(m;n)(mod 2)可以使用异或操作n个异或米,制作帕斯卡三角形mod2很容易构建。

Sondow(2005)和Sondow and Zudilin(2006)指出了不平等

 1/(4rm)[((r+1)^(r+1;m) <[(r+1)^(r+1”)/(r^r)]^米
(19)

对于米正整数r> =1一个实数。


另请参见

Apéry编号,平衡二项式系数,选票问题,伯努利三角形,二项式,二项式分发,二项式恒等式,二项式总和,二项式定理,中央二项式系数,选择,圣诞节斯托金定理,Chu-Vandermonde身份,组合,缺乏,Erdős无平方猜想,特殊二项式系数,阶乘,斐波诺米亚系数,Gamma函数,很好二项式系数,k个-子集,国王问题,克莱的身份,编号,多选择,多项式系数,帕斯卡公式,置换,q个-二项式系数,古罗马的系数,Sárkõzy定理,斯坦利的身份,星形大卫定理,斯托拉斯基-哈伯斯常量,斯特雷尔身份,塞凯利身份,沃尔斯滕霍姆定理 探索这个数学世界课堂上的主题

相关Wolfram站点

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。(编辑)。《二项式系数》§24.1.1手册《数学函数与公式、图形和数学表》,第9次印刷。纽约:多佛,第10、256和822-8231972页。康泰特,L。高级组合数学:有限和无限扩展的艺术,英文版。预计起飞时间。多德雷赫特,荷兰:Reidel,1974年。康威,J.H。和盖伊·R·K。这个《数字书》。纽约:Springer-Verlag,第66-74页,1996年。埃尔德,第页。;格雷厄姆·R·L。;Nathanson,M.B。;和贾,X。以及组合数论中的新问题和新结果。纽约:Springer-Verlag,1998Erdős,P。;拉坎帕涅,C.B。;和塞尔弗里奇,J.L。“二项式系数最小素数因子的估计。”数学。计算。 61, 215-224, 1993.Feller,W.“二项式系数”和“涉及二项式系数的问题和恒等式”§2.8和2.12英寸概率论及其应用导论,第1卷,第3版。纽约:Wiley,第48-50和61-641968页。Fowler,D.“The二项式系数函数。"阿米尔。数学。每月 103, 1-17,1996格雷厄姆·R·L。;Knuth,D.E。;和Patashnik,O.“二项式系数。“第5章英寸混凝土数学:计算机科学基础。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,第153-242页,1989年。Granville,A.“二项式系数。I.二项式系数模素数幂。“输入有机数学。1995年12月12日至14日在不列颠哥伦比亚省伯纳比市举行的研讨会会议记录(编辑J.Borwein、P.Borwein、L.Jörgenson和R.Corless)。普罗维登斯,RI:Amer。数学。Soc.,第253-276页,1997年。格兰维尔,A.“二项式系数的算术性质”网址:http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/二项式/.格兰维尔,A.和Ramaré,O.“指数和的显式界与稀缺性无平方二项系数。"马塞马提卡 43, 73-107,1996盖伊,R.K。“二项式系数”,“最大二项式系数的除数,与泽塔-功能。“§B31、B33和F17英寸未解决数论问题,第二版。纽约:Springer-Verlag,第84-85页,87-89和257-2581994年。奇二项式系数的数目不是。阿米尔。数学。Soc公司。 23, 4, 1976.希尔顿·P和佩德森,加泰罗尼亚数字,它们的概括及其用途数学。英特尔。 13,64-75, 1991.Jutila,M.“关于具有大素数因子的数字”J.印度数学。Soc公司。 37, 43-53, 1973.M.朱蒂拉“On具有大素数因子的数字。二、。"J.印度数学。Soc公司。 38,125-130, 1974.Kronenburg,M.“负二项式系数论据。“2011年5月18日。http://arxiv.org/abs/1105.3689/.Lionnais,F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎:赫尔曼,1983年。D.E.勒布。“二项式系数的推广”,1995年2月9日。http://arxiv.org/abs/math/9502218.奥美,C.S.公司。“二项式系数。”阿米尔。数学。每月 57,551-552, 1950.出版社,W.H。;弗兰纳里,B.P。;Teukolsky,S.A。;和韦特林。“伽马函数,β函数,阶乘,二项式系数。“§6.1数字的FORTRAN:科学计算的艺术,第二版。英国剑桥:剑桥大学出版社,第206-209页,1992年。Prudnikov,A.P。;马里切夫,O.I。;和Bryckow,Yu。答:。41英寸配方奶粉积分和系列,第1卷:基本函数。新泽西州纽瓦克:Gordon&Breach,第6111986页。里宾博伊姆,P。这个素数记录新书。纽约:Springer-Verlag,第23-24页,1989.Riordan,J.“逆关系和组合恒等式”阿米尔。数学。每月 71, 485-498, 1964.Roman,S.“The对数二项式公式。"阿米尔。数学。每月 99, 641-648,1992J.W.桑德。“关于二项式系数的素数除数。”牛市。伦敦数学。Soc公司。 24, 140-142, 1992.萨科齐,A.“关于二项式系数的除数,I。”J.编号Th。 20,70-80, 1985.斯基纳。实施离散数学:组合数学和图论与数学。阅读,马萨诸塞州:Addison-Wesley,第262页,1990年。新泽西州斯隆。答:。序列A001109号/M4217,A001700号/M2848,A046097美元,A048645号,A051382号、和A052436号,在“整数序列在线百科全书”中索多,J.“问题11132。”阿米尔。数学。每月 112, 180, 2005.索多,J.和Zudilin,W.“欧拉常数,q个-Ramanujan和Gosper的对数和公式。"拉马努詹J。 12, 225-244, 2006.Spanier,J.和Oldham,K.B。二项式系数(nu;m)“第6章英寸功能地图集。华盛顿特区:《半球》,第43-521987页。斯维德,M.“计数和重新计数。”数学。英特尔。 5, 21-26, 1983.瓦尔迪,I.“二项式系数的应用”“一类解”、“计算二项式系数”和“二项式整数模”§2.2、4.1、4.2、4.3和4.4计算型数学娱乐。加利福尼亚州红木市:Addison-Wesley,第25-28页以及1991年第63-71页。Wolfram,S.《二项式系数的几何》阿米尔。数学。每月 91, 566-571, 1984.

参考Wolfram | Alpha

二项式系数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“二项式系数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/二项式系数.html

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