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二项式系数

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二项式系数（n；k）是拾取方式的数量k个 无序的结果来自n个可能性，也称为结合或组合数。符号_取消（_k）和（n；k）用于表示二项式系数，有时读作“n个 选择 k个."

（n；k）因此给出了k个-子集可能的从一组n个不同的项目。例如{1,2,3,4}这六双是吗{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4}、和{3,4}，所以(4; 2)=6.数量晶格路径来自起源 (0,0)到某一点（a、b）)是二项式系数（a+b；a）（希尔顿和佩德森，1991年）。

二项式系数的值非负整数 n个和k个由提供

（n；k）={（n！）/（k！（n-k）！）对于0<=k<n；否则为0，
(1)

哪里z！表示阶乘的，对应于中的值帕斯卡三角形.

编写阶乘的作为一个伽马函数 z=伽马（z+1）允许将二项式系数推广到非整数参数（包括复杂的x个和年)作为

（x；y）=（γ（x+1））/（γ（y+1）γ（x-y+1））。
(2)

的二项式系数非负整数 年因此，给出一个多项式x个

（x；y）=（x）年/（y！）
(3)
=（x（x-1）（x-2）。。。（x-y+1））/（y（y-1）。。。2·1),
(4)

哪里（x） 是（_y）是一个Pochhammer符号.这些有理系数有时被称为“广义二项式系数”

使用伽马函数对称公式

（伽马射线（s-a+1））/（伽马线（s-b+1））=（-1）^（b-a）（伽马（b-s））/
(5)

对于整数一,b条和复杂秒,这个定义可以扩展到负整数参数，使其连续除了负整数x个和非整数年,在这种情况下，它是无限的（Kronenburg，2011年）。该定义由

（n；k）={（-1）^k（-n+k-1；k）对于k>=0；（-1）（n-k）（-k-1；n-k）对于k<=n；否则为0
(6)

对于负整数n个和整数k个与二项式定理相一致，与组合身份，但有一些特殊的例外（Kronenburg，2011年）。

二项式系数在Wolfram语言作为二项式[n个,k个]，它遵循从版本8开始的上述约定。

二项式系数

绘制二项式系数xy公司-平面图（Fowler 1996）展示了上图中美丽的情节，它有一个非常复杂的图表对于消极的 x个和年因此很难使用标准绘图进行渲染程序。

对于正整数 n个，的二项式定理给予

（x+a）^n=sum_（k=0）^n（n；k）x^ka^（n-k）。
(7)

这个有限差分这种身份的模拟称为Chu-Vandermonde身份.类似的公式适用于负整数,

（x+a）^（-n）=sum_（k=0）^inff（-n；k）x^ka^（n-k）。
(8)

有一些优雅二项式和.

二项式系数满足恒等式

（n；0）=（n；n）=1
(9)
（n；k）=（n；n-k）
(10)
（n；k+1）=（n；k）（n-k）/（k+1）
(11)
（n+1；k）=（n；k）+（n；k-1）。
(12)

二项式系数的乘积由下式给出

产品_（k=0）^n（n；k）=（H^2（n））/（（n！）^（n+1）），
(13)

哪里H（n）是一个超阶乘的和不！是一个阶乘的.

如库姆1852年所示，如果p^k（磅）是首要的 第页这就分裂了（m+n；m），其中米和n个是非负整数，那么k个是的数字携带发生的什么时候米已添加到n个在底座中第页（格雷厄姆等。1989年，练习5.36，第245页；Ribenboim 1989年；瓦尔迪1991年，第68页）。Kummer的结果也可以表示为一首要的 第页划分（n；m）由整数的数量给出j> =0对于其中

压裂（m/p^j）>压裂（n/p^j），
(14)

哪里压裂（x）表示小数部分属于x个这个不等式可以简化为指数的研究总和总和（n）λ（n）e（x/n）,哪里兰姆达（n）是Mangoldt函数.这些的估计Jutila（1973、1974）给出了总数，但最近的改进是Granville和Ramare（1996年）。

R.W.Gosper表明

f（n）=（n-1；1/2（n-1））=（-1）
(15)

为所有人素数并推测它成立只有对于素数当Skiena（1990）发现它也适用于复合数 n=3×11×179瓦尔迪（1991年，第63页）随后表明n=p^2是一种解决方案第页是一个韦伊费列治素数和如果n=p^k具有k> 3个是一个解决方案，那么也是n=p^（k-1）这使他能够表明唯一的解决方案对于混合成的 n<1.3×10^7是5907，1093^2、和3511^2，其中1093和3511为威弗里奇素数.

考虑二项式系数f（n）=（2n-1；n）前几位是1、3、10、35、126、，…（OEIS）A001700号). 这个生成功能是

1/2[1/（平方（1-4x））-1]=x+3x^2+10x^3+35x^4+。。。。
(16)

这些数字是无平方的只为n=2, 3, 4, 6, 9, 10, 12, 36, ... （组织环境信息系统A046097号),没有其他人知道。事实证明f（n）可被4整除，除非n个属于2-自动设置 S_2号机组，正好是一组数字谁的二元的表示最多包含两个1s:1，2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 17, 18, ... （组织环境信息系统A048645号).同样，f（n）可被9整除，除非n个属于3-自动设置 S_3号机组，由数字组成n个其中2个在里面三元的完全由0s和2s（可能除了一对相邻的1s）。的初始元素S_3号机组是1、2、3、4、6、7、9、10、11、12、13、18、19、21、22、27。。。（组织环境信息系统A051382号).如果f（n）那么是平方自由的n个必须属于S=S_2交叉点S_3。很可能S公司是有限的，但没有已知的证明。现在，大于4和9也可能分开f（n）但仅通过消除这两个因素n个对于n≤2^（64）是1、2、3、4、6、9、10、12、18、33、34、36、40、64、66、192、256、264、272、513、，514、516、576、768、1026、1056、2304、16392、65664、81920、532480和545259520。除最后一项外，所有这些都已经过检查，确定没有其他n个这样的话f（n）是平方自由的n≤545259520.

Erdős表明二项式系数（n；k）具有3<=k<=n/2是一个权力的整数对于单个案例(50; 3)=140^2（Le Lionnais 1983，第48页）。二项式系数T_（n-1）=（n；2）是正方形a^2什么时候a^2是一个三角形数，发生于a=1, 6, 35, 204, 1189, 6930, ... （组织环境信息系统A001109号). 这些值一具有相应的值n=2, 9, 50, 289, 1682, 9801, ... （组织环境信息系统A052436号).

二项式系数（n；|_n/2_|）被称为中心的二项式系数，其中|_x个_|是楼层功能,尽管系数子集（2n；n）有时也有这个名字。Erdős和Graham（1980年，第71页）推测中心的二项式系数 （2n；n）是从未 无平方的对于n> 4个,这有时被称为Erdős公司无平方猜想.萨科齐的定理（Sárkőzy 1985）提供了部分解决方案，其中指出二项式系数（2n；n）永远不会无平方的对于都足够大n> =n_0（瓦尔迪，1991年）。Granville和Ramare（1996）证明了这个只有 无平方的值为n=2和4。桑德（1992）随后表明（2n+/-d；n）也永远不会无平方的足够大的n个只要d日不是“太大”

对于第页,q个,和第页不同的素数，然后是函数(◇) 满足

f（pqr）f（p）f（q）f（r）=f（pq）f
(17)

（瓦尔迪1991年，第66页）。

大多数二项式系数（n；k）具有n> =2千有一个基本因子p<=无/无和拉坎帕涅等。（1993）推测这种不平等对所有人来说都是真实的n> 17.12.5万，或更强烈地认为任何此类二项式系数有最小素因子 p<=无/无或p<=17除了例外(62; 6),(959; 56),(474; 66),(284; 28)对于其中p=19第19、23、29页（盖伊1994年，第84页）。

二项式系数（m；n）（mod 2）可以使用异或操作n个异或米,制作帕斯卡三角形mod2很容易构建。

Sondow（2005）和Sondow and Zudilin（2006）指出了不平等

1/（4rm）[（（r+1）^（r+1；m） <[（r+1）^（r+1”）/（r^r）]^米
(18)

对于米一正整数和r> =1一个实数。

另请参见

Apéry编号,平衡二项式系数,选票问题,伯努利三角形,二项式,二项式分发,二项式恒等式,二项式总和,二项式定理,中央二项式系数,选择,圣诞节斯托金定理,Chu-Vandermonde身份,组合,缺乏,Erdős无平方猜想,特殊二项式系数,阶乘,斐波诺米亚系数,Gamma函数,很好二项式系数,k个-子集,国王问题,克莱的身份,拉编号,多选,多项式系数,帕斯卡公式,置换,q个-二项式系数,古罗马的系数,Sárkőzy定理,斯坦利的身份,星星大卫定理,斯托拉斯基-哈伯斯常量,斯特雷尔身份,塞凯利身份,沃尔斯滕霍姆定理 探索这个数学世界课堂上的主题

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/二项式/

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Abramowitz，M.和Stegun，I.A.（编辑）。“二项式系数”，第24.1.1节手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第10和822-8231972页。康泰特，L。高级组合数学：有限和无限扩展的艺术，英文版。预计起飞时间。多德雷赫特，荷兰：Reidel，1974年。Conway，J.H.和Guy，R.K.In这个《数字书》。纽约：Springer-Verlag，第66-74页，1996年。埃尔德，体育。；格雷厄姆·R·L。；Nathanson，M.B。；和贾，X。旧以及组合数论中的新问题和新结果。纽约：Springer-Verlag，1998Erdős，P。；拉坎帕涅，C.B。；和塞尔弗里奇，J.L。“二项式系数最小素数因子的估计。”数学。计算。 61, 215-224, 1993.Feller，W.“二项式系数”和“涉及二项式系数的问题和恒等式”§2.8和2.12英寸安概率论及其应用导论，第1卷，第3版。纽约：Wiley，第48-50和61-641968页。Fowler，D.“The二项式系数函数。"阿默尔。数学。每月 103, 1-17,1996格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和Patashnik，O.“二项式系数。“第5章英寸混凝土数学：计算机科学基础。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第153-242页，1989年。Granville，A.“二项式系数。I.二项式系数模素数幂。“输入有机数学。1995年12月12日至14日在不列颠哥伦比亚省伯纳比市举行的研讨会会议记录（编辑J.Borwein、P.Borwein、L.Jörgenson和R.Corless）。普罗维登斯，RI:Amer。数学。Soc.，第253-276页，1997年。格兰维尔，A.“二项式系数的算术性质”网址：http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/二项式/.格兰维尔，A.和Ramaré，O.“指数和的显式界与稀缺性无平方二项系数。"马塞马提卡 43, 73-107,1996Guy，R.K.“二项式系数”，“最大二项式系数的除数，与泽塔-功能。“§B31、B33和F17英寸未解决数论问题，第二版。纽约：Springer-Verlag，第84-85页，87-89和257-2581994年。Harborth，H.“奇数二项式系数的数量”不是。阿默尔。数学。Soc公司。 23, 4, 1976.希尔顿·P和佩德森，加泰罗尼亚数字，它们的概括及其用途数学。英特尔。 13,64-75, 1991.Jutila，M.“关于具有大素数因子的数字”J.印度数学。Soc公司。 37, 43-53, 1973.M.朱蒂拉“On具有大素数因子的数字。二、。"J.印度数学。Soc公司。 38,125-130, 1974.Kronenburg，M.“负二项式系数论据。“2011年5月18日。http://arxiv.org/abs/1105.3689/.勒Lionnais，F。女同性恋名字是可以重复的。巴黎：赫尔曼，1983年。C.S.奥美。“二项式系数。”阿默尔。数学。每月 57, 551-552,1950出版社，W.H。；弗兰纳里，B.P。；Teukolsky，S.A。；和Vetterling，W.T.“伽马函数，β函数，阶乘，二项式系数。“§6.1数字的FORTRAN:科学计算的艺术，第二版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第206-209页，1992年。Prudnikov，A.P。；马里切夫，O.I。；和Brychkow，Yu.A.41级方程式积分和系列，第1卷：基本函数。新泽西州纽瓦克：戈登和布雷奇，第6111986页。里宾博伊姆，P。这个素数记录新书。纽约：Springer-Verlag，第23-24页，1989Riordan，J.“逆关系和组合恒等式”阿默尔。数学。每月 71, 485-498, 1964.J.W.桑德。“关于二项式系数的素数除数。”牛市。伦敦数学。Soc公司。 24,140-142, 1992.Sárkőzy，A.“关于二项式的除数系数I。”J.编号Th。 20, 70-80, 1985.斯基纳，美国。实施离散数学：组合数学和图论与数学。阅读，马萨诸塞州：Addison-Wesley，第262页，1990年。新泽西州斯隆序列A001109号/M4217，A001700号/M2848，A046097号,A048645号,A051382号、和A052436号,在“整数序列在线百科全书”中索多，J.“问题11132。”阿默尔。数学。每月 112, 180, 2005.索多，J.和Zudilin，W.“欧拉常数，q个-Ramanujan和Gosper的对数和公式。"拉马努詹J。 12, 225-244, 2006.Spanier，J.和Oldham，K.B.“二项式系数（nu；m）“第6章英寸安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第43-521987页。斯维德，M.“计数和重新计数。”数学。英特尔。 5, 21-26, 1983.瓦尔迪，I.“二项式系数的应用”“一类解”、“计算二项式系数”和“二项式整数模”§2.2、4.1、4.2、4.3和4.4计算型数学娱乐。加利福尼亚州红木市：Addison-Wesley，第25-28页以及1991年第63-71页。Wolfram，S.《二项式系数的几何》阿默尔。数学。每月 91, 566-571, 1984.

参考Wolfram | Alpha

二项式系数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“二项式系数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/二项式系数.html

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