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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000217号 三角数:a(n)=二项式(n+1,2)=n*(n+1)/2=0+1+2+…+n.(名词)。
(原名M2535 N1002)
4595
0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
也称为T(n)或C(n+1,2)或二项式(n+1,2)(首选)。
广义六角形数:n*(2*n-1),n=0,+-1,+-2,+-3。。。广义k-角数是第二个k-角数和k-角数字的正项交错,k>=5。在这种情况下,k=6-奥马尔·波尔2011年9月13日和2012年8月4日
n+1,K_{n+1}阶完整图的边数。
在n个字母的字符串中插入一对括号的合法方法的数量。例如,三个字母有六种写法:(a)bc,(ab)c,(abc),a(b)c,a(bc),ab(c)。证明:有C(n+2.2)方法可以选择括号的位置,但其中n+1是非法的,因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415号.
对于n>=1,a(n)也是n+2次非奇异曲线的亏格,如费马曲线x^(n+2)+y^(n+2)=1.-艾哈迈德·法尔斯(ahmedfares(AT)my_deja.com),2001年2月21日
根据哈纳克定理(1876),n阶非奇异曲线的分支数有界于a(n)-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
双n多米诺骨牌中的瓷砖数量-斯科特·布朗2002年9月24日
一个由n个不相同的链接组成的链可以被分解的方式的数量。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题:质谱仪中n个氨基酸残基的肽可以被分解的方式的数量。一般来说,每个氨基酸的质量不同,所以AB和BC的质量不同-詹姆斯·雷蒙德2003年4月8日
三角数-奇数=移位三角数;1, 3, 6, 10, 15, 21, ... - 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... = 0, 0, 1, 3, 6, 10, ... - Xavier Acloque,2003年10月31日[由更正德里克·奥尔2015年5月5日]
居中多边形数是[边数]的结果*A000217号+ 1]. 例如,中心五边形数(1,6,16,31,…)=5*(0,1,3,6,…)+1。居中七元数(1,8,22,43,…)=7*(0,1,3,6,…)+1.-Xavier Acloque,2003年10月31日
n+1平面相交形成的最大线数-罗恩·金2004年3月29日
避开模式132且正好有1个下降的[n]排列数-迈克·扎布罗基2004年8月26日
不允许长度为n-1的三元字的数量带有子字(0,1)、(0,2)和(1,2)-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日
可以从集合{0,1,2,…,n}中选择两个不同的数字而不重复,或者,可以在集合{1,2,……,n{中选择二个不同数字并重复的方法。
据推测,只有1、6、120是三角形和阶乘的数字Christopher M.Tomaszewski(cmt1288(AT)comcast.net),2005年3月30日
二项式变换是{0,1,5,18,56,160,432,…},A001793号前面有一个零-菲利普·德尔汉姆2005年8月2日
每对相邻的项组成一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日
n+1个字母对称组中的转置数,即除两个元素外,其余元素都保持不变的排列数-杰弗里·克雷策,2006年6月23日
对于rho(n):=exp(i*2*Pi/n)(1的第n个根),对于n>=1,有rho(n)^a(n)=(-1)^(n+1)。只需使用琐碎性a(2*k+1)==0(mod(2*k+1))和a(2*k)==k(mod))。
a(n)是(a1+a2+a3)^(n-1)展开式中的项数-塞尔吉奥·法尔孔2007年2月12日
a(n+1)是2个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
与n+1人在一个房间里明显握手的次数-穆罕默德·阿扎里安2007年4月12日[已更正,乔格·阿恩特,2016年1月18日]
等于半群PT_n\S_n的秩(生成集的最小基数),其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日
a(n)给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面绘制cevian时发现的三角形总数,其中n=绘制的cevian数+1。例如,绘制1个cevian,n=1+1=2和a(n)=2*(2+1)/2=3,则图形中总共有3个三角形。如果从一个点到另一侧绘制2个cevians,则n=1+2=3和a(n)=3*(3+1)/2=6,则图中总共有6个三角形。-Noah Priluck(npriluck(AT)gmail.com),2007年4月30日
对于n>=1,a(n)是当项的顺序不同的表示被认为不同时,n-1可以写成三个非负整数之和的方式数。换句话说,对于n>=1,a(n)是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳斯·穆尔西2001年4月22日(编辑:罗伯特·A·比勒)
a(n)是三维各向同性谐振子的能量为n+3/2的能级数(单位为h*f0,普朗克常数为h,振子频率为f0)。请参阅上文A.Murthy的评论:n=n1+n2+n3带有正整数并排序。o.g.f.的证明见A.Messiah参考-沃尔夫迪特·朗2007年6月29日
发件人Hieronymus Fischer公司,2007年8月6日:(开始)
数字m>=0,使圆(sqrt(2m+1))-圆(squart(2m))=1。
数字m>=0,这样天花板(2*sqrt(2m+1))-1=1+地板(2*m2(2m))。
数字m>=0,使得fract(sqrt(2m+1))>1/2,fract(m2))<1/2,其中fract(x)是x的小数部分(即x-floor(x),x>=0)。(结束)
如果Y和Z是一个n集X的3个块,那么对于n>=6,a(n-1)是与Y和Z相交的X的(n-2)子集的数目-米兰Janjic2007年11月9日
等于三角形的行和A143320型,n>0-加里·亚当森,2008年8月7日
a(n)也是一个完全数A000396号如果n是梅森素数A000668号,假设没有奇数完全数-奥马尔·波尔2008年9月5日
等于三角形的行和A152204号. -加里·亚当森2008年11月29日
循环赛中的比赛次数:n*(n-1)/2表示n名选手所需的比赛次数。每个人都会和其他人比赛一次乔治·雷德(Georg Wrede),2008年12月18日
-a(n+1)=E(2)*二项式(n+2,2)(n>=0),其中E(n)是枚举中的欧拉数A122045型这样看,a(n)是三角形中对角线序列中k=2的特例A153641号. -彼得·卢什尼2009年1月6日
等效于连续四面体数的第一个差。请参见A000292号.-Jeremy Cahill(jcahill(AT)inbox.com),2009年4月15日
交替幂和的一般公式是以瑞士-刀多项式P(n,x)表示的A153641号2^(-n-1)(P(n,1)-(-1)^k P(n、2k+1))。因此a(k)=|2^(-3)(P(2,1)-(-1)^k P(2,2k+1))|-彼得·卢什尼2009年7月12日
a(n)是最小的数>a(n-1),使得gcd(n,a(n。如果n是奇数,则gcd是n;如果n是偶数,则为n/2-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2009年8月6日
的部分总和A001477号. -尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2010年1月25日。[A编号由更正奥马尔·波尔,2012年6月5日]
弗洛伊德三角形右边缘的数字是1、3、6、10、15-保罗·穆贾迪2010年1月25日
发件人查理·马里恩,2010年12月3日:(开始)
更一般地说,a(2k+1)==j*(2j-1)(mod 2k+2j+1)和
a(2k)==[-k+2j*(j-1)](模2k+2j)。
列总和:
1 3 5 7 9 ...
1 3 5 ...
1 ...
...............
---------------
1 3 6 10 15 ...
和{n>=1}1/a(n)^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^(1/3)的球体的体积。
(结束)
A004201号(a(n))=A000290型(n) ;A004202号(a(n))=A002378号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2011年2月12日
1/a(n+1),n>=0,有f.-2*(1+x-exp(x))/x^2和o.g.f.2*(x+(1-x)*log(1-x斯蒂芬·克劳利公式行)-1/(2*a(n+1))是贝努利多项式系数的谢弗三角形的z序列A196838号/A196839号. -沃尔夫迪特·朗2011年10月26日
发件人查理·马里恩2012年2月23日:(开始)
a(n)+a(A002315号(k) *个+A001108年(k+1))=(A001653号(k+1)*n+A001109号(k+1))^2。对于k=0,我们得到a(n)+a(n+1)=(n+1)^2(恒等式由N.J.A.斯隆2004年2月19日)。
a(n)+a(A002315年(k) *个-A055997号(k+1))=(A001653号(k+1)*n-A001109号(k) )^2。
(结束)
绘制三个点(0,0)、(a(n)、a(n+1))、(a+1)、a+2)以形成三角形。面积为a(n+1)/2-J.M.贝戈2012年5月4日
以a(n)=n*(n+1)/2开头的四个连续三角形数之和减去2等于2*(n+2)^2。a(n)*a(n+2)/2=a(a(n+1)-1)-J.M.贝戈2012年5月17日
(a(n)*a(n+3)-a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月18日
a(n)*a(n+1)+a(n+2)*a(n+3)+3=a(n^2+4*n+6)-J.M.贝戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+1)+a(n+k)*a-查理·马里恩2012年9月11日
a(n)*a(n+3)+a(n+1)*a(n+2)=a(n^2+4*n+2)-J.M.贝尔戈2012年5月22日
一般来说,a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a-查理·马里恩2012年9月11日
a(n)*a(n+2)+a(n+1)*a-J.M.贝戈2012年5月22日
三个点(a(n)、a(n+1))、(a(n/1)、a-J.M.贝戈2012年5月23日
a(n)+a(n+k)=(n+k)^2-(k+(2n-1)*k-2n)/2。对于k=1,我们得到a(n)+a(n+1)=(n+1)^2(见下文)-查理·马里恩2012年10月2日
在n空间中,我们可以定义一个(n-1)非平凡的正交投影。例如,在3空间中有一个(2)=3(即点对线、点对平面、线对平面)-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日
发件人詹姆斯·伊斯特2013年1月8日:(开始)
对于n>=1,a(n)等于半群P_n\S_n的秩(生成集的最小基数)和幂等秩(幂等生成集的极小基数),其中P_n和S_n表示[n]上的分区幺半群和对称群。
对于n>=3,a(n-1)等于半群T_n\S_n的秩和幂等秩,其中T_n和S_n表示[n]上的完全变换半群和对称群。
(结束)
对于n>=3,a(n)等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩,其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2013年1月15日
猜想:对于n>0,中间总是有一个素数A000217号(n) 和A000217号(n+1)。顺序A065383号拥有这些素数中的前1000个-伊万·伊纳基耶夫2013年3月11日
公式a(n)*a(n+4k+2)/2+a(k)=a(a(n+2k+1)-(k^2+(k+1)^2))是Bergot 2012年5月17日评论中公式a(n*a(n+2)/2=a(a+1)-1的推广-查理·马里恩2013年3月28日
级数Sum_{k>=1}1/a(k)=2,由下式给出乔恩·佩里2003年7月13日,部分总和为2*n/(n+1)(伸缩总和)=A022998号(n)/A026741号(n+1)-沃尔夫迪特·朗2013年4月9日
对于奇数m=2k+1,我们有递归a(m*n+k)=m^2*a(n)+a(k)。推论:如果数字T在序列中,那么它就是9*T+1-Lekraj Beedassy公司2013年5月29日
欧拉在歌剧《Postuma》第87节中指出,只要T是三角形数,那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说,如果T是一个三角形数,那么(2*k+1)^2*T+k*(k+1)/2也是一个三角形数-彼得·巴拉2015年1月5日
使用1/b和1/(b+2)将得到一个边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。设置b=n-1,得到一个边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。四分之一周长=a(n),对于n>1-J.M.贝戈2013年7月24日
a(n)=A028896号(n) /6,其中A028896号(n) =s(n)-s(n-1)是s(n,n)=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s(n)可以解释为12个边长加上6个面面积加上n个X(n-1)X(n-2)矩形棱镜的体积之和-J.M.贝戈2013年8月13日
正交群O的维数(n+1)-埃里克·施密特2013年9月8日
A_n型根系中的正根数(对于n>0)-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于k=1到n,k的第r次连续求和的公式是二项式(n+r,r+1)[H.W.Gould]-加里·德特利夫斯2014年1月2日
此外A095831号。还有A055461号,对于n>=1-奥马尔·波尔2014年1月26日
对于n>=3,a(n-2)是1,2,…,的置换数,。。。,n的上(1)-下(0)个元素的分布为0…011(n-3个零),或者相同,a(n-2)是上下系数{n,3}(参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月14日
a(n)是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日
的非消失次对角A132440号^2/2,除了初始零点。无符号的第一个子对角线A238363型.参见。A130534型对于与彩色森林的关系,旗杆上旗帜的配置,以及完整图顶点的着色-汤姆·科普兰2014年4月5日
大小为2的{1,…,n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日
Vandermonde行列式V(x_1,x_2,…,x_n)定义中的因子数=Product_{1<=i<k<=n}x_i-x_k-汤姆·科普兰2014年4月27日
将n的弱组分数分成三部分-罗伯特·A·比勒2014年5月20日
假设一个袋子包含一个(n)红色大理石和一个(n+1)蓝色大理石,其中a(n)、a(n+1)是连续的三角形数字。然后,对于n>0,随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色的概率为1/2。一般来说,对于k>2,设b(0)=0,b(1)=1,对于n>1,b(n)=(k-1)*b(n-1)-b(n-2)+1。假设,对于n>0,一个袋子包含b(n)个红色大理石和b(n+1)个蓝色大理石。然后随机选择两个弹珠,得到两个红色或两个蓝色的概率为(k-1)/(k+1)。另请参见A027941美元,A061278号,A089817号,A053142号,A092521号. -查理·马里恩2014年11月3日
设O(n)为长方形数n(n+1)=A002378美元和S(n)平方数n^2=A000290型(n) ●●●●。然后a(4n)=O(3n)-O(n),a(4n+1)=S(3n+1)-S-查理·马里恩2015年2月21日
考虑将自然数从集合S=(1,2,3,…,n)分为若干部分。生成序列的签名的长度(顺序)由三角数给出。例如,对于n=10,签名长度为55-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月5日
a(n)将(n-1)个未标记对象的分区计算为三(3)个部分(标记为a、b、c),例如,a(5)=15表示(n-1”=4。这些是(aaaa)、(bbbb)、)、(英国广播公司)、(密件抄送)、(英国电视广播公司)-大卫·尼尔·麦格拉思2015年5月21日
推测:序列是指数n为代数曲线的正弦螺旋的亏格。值0对应于Bernoulli Lemniscate n=2的情况。所以推测的公式是(n-1)(n-2)/2-沃尔夫冈·廷特曼2015年8月2日
猜想:设m为任意正整数。然后,对于每个n=1,2,3,。。。集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a(n)=n*(n+1)/2;换句话说,具有1<=s<=t的所有和Sum_{k=s.t}1/k^m是成对不同的。(我通过计算机检查了这个猜想,没有发现反例。)-孙志伟2015年9月9日
读取序列模m的Pisano周期长度似乎是A022998号(m) ●●●●-R.J.马塔尔2015年11月29日
对于n>=1,a(n)是n+4到n个部分的组成数,避免了第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
在这个序列中,只有3是素数-费比安·科普2016年1月9日
假设您正在玩保加利亚纸牌(请参阅A242424型以及张伯伦和加德纳的书),如果n>0,则从一堆a(n)卡开始。那么,达到固定状态{n,n-1,…,1}所需的操作数是a(n-1)。例如,{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}. -查理·马里恩2016年1月14日
数字k,使8k+1为正方形-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2016年4月9日
每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2 = 1^3, 3^2-1^2 = 2^3, 6^2-3^2 = 3^3. -米奎尔·塞尔达2016年6月26日
对于n>1,a(n)=tau_n(k*),其中tau_n(k)是k的有序n分解数,k*是素数的平方。例如,tau_3(4)=tau_3(9)=tau_3(25)=tau _3(49)=6(参见A007425号)因为4、9、25和49的除数是6,a(3)=6-梅尔文·佩拉尔塔,2016年8月29日
在(n+1)维超立方体中,与顶点同余的二维面数(另请参见A001788号). -斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年10月23日
对常见的公式a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2(2004年2月19日)和a(n”^2+a(n+1)^2=a((n+1+6a(k-1))-查理·马里恩2016年11月27日
a(n)也是具有n+4个顶点的多面体中可能的最大对角线数-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日
对于n>0,2^5*(二项式(n+1,2))^2表示2*(2*n+1)^2个连续整数之和中的第一个整数,等于(2*n+1)^6-帕特里克·麦克纳布2016年12月25日
不符合本福德定律(参见罗斯,2012)-N.J.A.斯隆2017年2月12日
不大于n的正整数的有序三元组(a,b,c)的数量,使得a+b+c=2n+1-阿维埃尔·利维2017年2月13日
最多使用n种颜色的不等四面体面着色数,因此没有颜色只出现一次-大卫·纳辛2017年2月22日
也是完全图K_{n+1}的维纳指数-埃里克·韦斯特因2017年9月7日
n次Bernstein多项式之间的交点数-埃里克·德斯比亚2018年4月1日
a(n)是顶点位于(1,1)、(n+1,n+2)和(n+1)^2,(n+2,^2)的三角形的面积-阿特·贝克,2018年12月6日
对于n>0,a(n)是最小的k>0,因此n除以(1/a(1)+1/a(2)+…+的分子1/a(n-1)+1/k)。应该注意的是,1/1+1/3+1/6+…+2/(n(n+1))=2n/(n+1-托马斯·奥多夫斯基2019年8月4日
n-齐次超可解线排列中线数的上界(见Dimca中的定理1.1)-斯特凡诺·斯佩齐亚,2019年10月4日
对于n>0,a(n+1)是边长为n的三角形网格上的格点数量-韦斯利·伊万·赫特2020年8月12日
发件人迈克尔·朱2022年5月4日:(开始)
长度为n的字符串的非空子串的最大数目。
求和集A+A的最大基数,其中A是n个数字的集合。(结束)
a(n)是避免模式123、132和312的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
假设平行画出两行,每行由n个均匀间隔的点组成。假设我们在两行的点之间画出直线。对于n>=1,a(n-1)是直线之间的最大可能相交数。等价地,[n]置换中的最大反转数-塞拉·弗里德2023年4月18日
以下等式补充了Bala评论(2015年1月5日)中的概括。(2k+1)^2*a(n)+a(k)=a((2k+1*n+k)-查理·马里恩2023年8月28日
a(n)+a(n+k)+a。对于k=1,我们有a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2-查理·马里恩2023年11月17日
参考文献
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,国家标准应用数学局。1964年第55辑(以及各种重印本),第828页。
C.Alsina和R.B.Nelson,《魅力证明:优雅数学之旅》,MAA,2010年。见第1章。
T.M.Apostol,《解析数论导论》,Springer-Verlag,1976年,第2页。
A.H.Beiler,《数字理论中的娱乐》,纽约州多佛,1964年,第189页。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn,《真正重要的证据:组合证明的艺术》,M.A.A.2003,第109ff页。
马克·张伯兰(Marc Chamberland),《单个数字:赞美小数字》(Single Digits:In Pracise of Small Number),第3章,数字三,第72页,普林斯顿大学出版社,2015年。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第155页。
J.M.De Koninck和A.Mercier,1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres,Probléme 309 pp 46-196,Ellipses,巴黎,2004年
E.Deza和M.M.Deza,数字,世界科学出版社(2012),第6页。
L.E.Dickson,《数字理论史》。卡内基公共研究所。256,华盛顿特区,第1卷,1919年;第2卷,1920年;1923年第3卷,见第2卷,第1页。
马丁·加德纳(Martin Gardner),《数学巨著》(Colossal Book of Mathematics),第34章,保加利亚纸牌游戏和其他看似无止境的任务,第455-467页,诺顿公司(W.W.Norton&Company),2001年。
詹姆斯·格莱克,《信息:历史,理论,洪水》,万神殿,2011年。[第82页提到了E.de Joncort1762年出版的前19999个三角形数字的表格。]
Cay S.Horstmann,《不耐烦的斯卡拉》。新泽西州上萨德尔河:艾迪森·韦斯利(2012):171。
拉博斯·E:关于RGB颜色的数量,我们可以区分。配分光谱。在第七届匈牙利生物计量学和生物数学会议上演讲。布达佩斯。2005年7月6日。
A.弥赛亚,《量子力学》,第一卷,荷兰北部,阿姆斯特丹,1965年,第457页。
J.C.P.Miller,编辑,《二项式系数表》。英国皇家学会数学表,第3卷,剑桥大学出版社,1954年。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
T.Trotter,三角数的一些恒等式,《休闲数学杂志》,1973年春季,6(2)。
D.Wells,《企鹅好奇和有趣数字词典》,第91-93页,企鹅图书1987年。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准应用数学局。系列55,第十次印刷,1972年。
K.Adegoke、R.Frontzcak和T.Goy,涉及多边形数和Horadam数的特殊公式《喀尔巴阡数学》。出版物。,13(2021年),第1期,207-216。
阿约米昆·阿德尼兰(Ayomikun Adeniran)和劳拉·普德威尔(Lara Pudwell),停车功能中的模式避免,枚举器。梳子。申请。3:3(2023),第S2R17条。
Joerg Arndt,计算事项(Fxtbook)第39.7节,第776-778页。
卢西亚诺·安科拉,方形金字塔数和其他数字,第5章。
S.Barbero、U.Cerruti和N.Murru,二项式插值算子的推广及其对线性递归序列的作用,J.国际顺序。13(2010)第10.9.7号提案18。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki,加泰罗尼亚语单词的下降分布避免了长度最多为三的模式,arXiv:1803.06706[math.CO],2018年。
保罗·巴里,整数序列上的加泰罗尼亚变换及相关变换《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.4.5条。
T.贝尔登和T.加德纳,三角数和完美平方,《数学公报》86(2002),423-431。
迈克尔·博德曼,鸡蛋滴数《数学杂志》,77(2004),368-372。[来自Parthasarathy楠比2009年9月30日]
阿尼修斯·曼利乌斯·塞韦里努斯·博伊修斯,De institutione算术,libri duo,第7-9节。
萨迪克·布鲁比和阿里·德巴赫,P^3_1集合和三次三角数之间的意外相遇,arXiv:20011.11407[math.NT],2020年。
P.J.Cameron,由寡态置换群实现的序列,J.集成。序号。第3卷(2000年),第00.1.5号。
比卡什·查克拉博蒂,无词证明:自然数幂和,arXiv:2012.11539[math.HO],2020年。
罗伯特·道森,关于与幂和有关的一些序列,J.国际顺序。,第21卷(2018年),第18.7.6条。
卡尔·丁格尔,Beiträge zur Lehre von den算术与几何Reihen höherer Ordnung,贾里斯·贝里赫特·路德维希·威廉·吉姆纳西姆·拉斯塔特,拉斯塔特1910年。[带注释的扫描副本]
Alexandru Dimca和Takuro Abe,关于复超可解线排列,arXiv:1907.12497[math.AG],2019年。
托米斯拉夫·多什利奇,划分为不同部分的最大产品数《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.5.8条。
阿斯卡·朱马迪尔·达耶夫和达米尔·叶利乌西佐夫,二项式系数的幂和《整数序列杂志》,第16卷(2013年),#13.1。
J.East,部分变换半群奇异子半群的表示,内部。代数计算杂志。,20(2010),第1期,第1-25页。
J.East,关于分划幺半群的奇异部分,国际。代数计算杂志。,21(2011),第1-2期,第147-178页。
Gennady Eremin,自然括号行和Motzkin三角形,arXiv:2004.09866[math.CO],2020年。
利昂哈德·尤勒,欧拉档案-E806 D,杂项,第87节《歌剧《数学与物理》,2卷。,圣彼得堡科学院,1862年。
E.T.Frankel,数字微积分与有限差分《美国数学月刊》,57(1950),14-25。[带注释的扫描副本]
Fekadu Tolessa Gedefa,关于多边形数字序列的对数凹性,arXiv:2006.05286[math.CO],2020年。
亚当·格拉博夫斯基,多边形数字《形式化数学》,第21卷,第2期,第103-113页,2013年;DOI:10.2478/forma-2013-012;备用副本
S.S.Gupta,迷人的三角数
C.汉堡,三角形数字无处不在《伊利诺伊州数学和科学学院数学杂志:高中数学资源笔记本》(1992年),第7-10页。
郭乃涵,标准拼图的枚举[缓存副本]
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr,河内塔——神话与数学,Birkhäuser,2013年。参见第35页。图书网站
J.M.Howie,有限全变换半群中的幂等生成元,程序。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A、 81(1978),第3-4、317-323号。
INRIA算法项目,组合结构百科全书253[死链接]
Milan Janjić,两个枚举函数
季向东,第8章:有限核的结构,马里兰大学物理741课程讲稿,第139-140页[摘自汤姆·科普兰2014年4月7日]。
R.Jovanovic,三角形数字[在Wayback Machine缓存副本]
萨米恩·艾哈迈德·汗,多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。(2020)第33卷,第2期,265-282。
Hyun Kwang Kim,关于正则多面体数,程序。阿米尔。数学。《社会学杂志》,131(2003),65-75。
克拉克·金伯利,互补方程《整数序列杂志》,第10卷(2007年),第07.1.4条。
克拉克·金伯利(Clark Kimberling)和约翰·布朗(John E.Brown),部分补体和转座色散,J.整数序列。,2004年第7卷。
J.Koller,三角形数
A.J.F.Leatherland,乌拉姆螺旋上的三角形数在埃里克·魏斯坦(Eric Weisstein)的《数学世界》(World of Mathematics)中,有一篇关于Prime Spiral to Leatherland,a.J.F。,神秘的素数螺旋现象. -N.J.A.斯隆2019年12月13日
Sergey V.Muravyov、Liudmila I.Khudongova和Ekaterina Y.Emelyanova,具有偏好聚合的区间数据融合《计量》(2017),见第5页。
Enrique Navarrete和Daniel Orellana,寻找素数作为序列的不动点,arXiv:1907.10023[math.NT],2019年。
A.诺维基,数字a^2+b^2-dc^2,J.国际顺序。18 (2015) # 15.2.3.
小埃德·佩格。,序列图片《数学游戏》专栏,2003年12月8日。
小埃德·佩格。,序列图片,数学游戏专栏,2003年12月8日[缓存副本,经许可(仅pdf)]
迈克尔·佩恩,荷兰的一个函数方程,YouTube视频,2021年。
伊瓦斯·彼得森,三角数和幻方.
Alexsandar Petojevic,函数vM_m(s;a;z)和一些已知序列《整数序列杂志》,第5卷(2002年),第02.1.7条。
西蒙·普劳夫,盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。
西蒙·普劳夫,1031生成函数,论文附录,蒙特利尔,1992
大卫·G·拉德克利夫,三角数的乘积规则,arXiv:1606.05398[math.NT],2016年。
F.Richman,三角形数字
J.Riordan,《弗兰克尔评论》(1950)[带注释的扫描副本]
路易斯·曼努埃尔·里维拉,整数序列与k-交换置换,arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO],2014-2015。
肯尼思·罗斯,正方形和立方体的第一位数字,数学。杂志85(2012)36-42。doi:10.4169/math.mag.85.136。
Frank Ruskey和Jennifer Woodcock,集分区对的随机距离和块距离,《组合算法》,287-299,《计算讲义》。科学。,7056,斯普林格,海德堡,2011年。
Sci.mah新闻组,三角形的平方数[断开的链接:缓存的副本]
詹姆斯·塞勒斯,不包括特定多边形数字的分区《整数序列杂志》,第7卷(2004年),第04.2.4条。
克劳德·亚历山大·西蒙内蒂,一种新的数学符号:术语,arXiv:2005.00348[math.GM],2020年。
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚(Amelia Carolina Sparavigna),梅森、费马、库伦、伍达尔等数的群胚及其整数序列表示意大利都灵理工大学(2019年),[math.NT]。
艾米莉亚·卡罗琳娜·斯帕维尼亚,三角数的广群及相关整数序列的生成意大利都灵理工大学(2019年)。
H.Stamm-Wilbrandt,帕斯卡三角形倒数之和[来自Wayback Machine的缓存副本]
T.Trotter,三角数的几个恒等式,J.Rec.数学。第6卷,第2期,1973年春季。[来自Wayback Machine的缓存副本]
G.维尔曼的《数字年鉴》,Nombres三角形
曼努埃尔·沃格尔,真实彭宁陷阱中单个粒子的运动《彭宁阱中的粒子约束》,《原子、光学和等离子体物理学斯普林格系列》,第100卷。查姆施普林格。2018, 61-88.
米歇尔·沃尔德施米特,连续分数埃科尔·德雷切·CIMPA-Oujda,《名义应用研究》,2015年5月18日至29日:乌伊达(马洛克)。
维基百科,三角形数; 也:弗洛伊德三角.
常系数线性递归的索引项,签名(3,-3,1)。
配方奶粉
通用:x/(1-x)^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中
例如:exp(x)*(x+x^2/2)。
a(n)=a(-1-n)。
a(n)+a(n-1)*a(n+1)=a(n”^2-小特雷尔·特罗特。2002年4月8日
a(n)=(-1)^n*Sum_{k=1..n}(-1)*k*k^2-贝诺伊特·克洛伊特2002年8月29日
a(n+1)=(n+2)/n)*a(n),和{n>=1}1/a(n=2)-乔恩·佩里2003年7月13日
对于n>0,a(n)=A001109号(n) -和{k=0..n-1}(2*k+1)*A001652号(n-1-k);例如,10=204-(1*119+3*20+5*3+7*0)-查理·马里昂,2003年7月18日
对于插值零,这是n*(n+2)*(1+(-1)^n)/16-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n+1)是n X n对称帕斯卡矩阵M_(i,j)=二项式(i+j+1,i)的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
a(n)=((n+1)^3-n^3-1)/6.-Xavier Acloque,2003年10月24日
a(n)=a(n-1)+(1+sqrt(1+8*a(n-1)))/2。当取平方根的负分支时,这种递归关系被反转,即a(n)被转换为a(n-1)而不是a(n+1)-卡尔·R·怀特2003年11月4日
a(n)=总和{k=1..n}φ(k)*楼层(n/k)=总和_{k=1.n}A000010号(k)*A010766号(n,k)(R.Dedekind)-弗拉德塔·乔沃维奇2004年2月5日
a(n)+a(n+1)=(n+1”)^2-N.J.A.斯隆2004年2月19日
a(n)=a(n-2)+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日
a(n)=平方(和{i=1..n}和{j=1..n{(i*j))=平方(A000537号(n) )-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月24日
a(n)=平方(sqrt(和{i=1..n}和{j=1.n}(i*j)^3))=(和{i=1..n{和{j=1..n}和_{k=1..n}(i*j))^(1/6)-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月26日
如果n是奇数,a(n)==1(mod n+2);如果n是偶数,a-乔恩·佩里2004年12月16日
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日
a(n)=a(n-1)+n-扎克·塞多夫2005年3月6日
a(n)=A108299号(n+3,4)=-A108299号(n+4.5)-莱因哈德·祖姆凯勒2005年6月1日
a(n)=A111808号(n,2)对于n>1-莱因哈德·祖姆凯勒2005年8月17日
a(n)*a(n+1)=A006011号(n+1)=(n+1)^2*(n ^2+2)/4=3*A002415号(n+1)=1/2*a(n^2+2*n)。a(n-1)*a(n)=(1/2)*a-亚历山大·阿达姆楚克2006年4月13日查理·马里恩2010年11月26日]
a(n)=地板((2*n+1)^2/8)-保罗·巴里2006年5月29日
对于正n,我们有a(8*a(n))/a(n)=4*(2*n+1)^2=(4*n+2)^2,即a(A033996美元(n) )/a(n)=4*A016754号(n) =(A016825号(n) )^2=A016826号(n) ●●●●-Lekraj Beedassy公司2006年7月29日
a(n)^2+a(n+1)^2=a(n+1^2)[R B Nelsen,《数学杂志》70(2)(1997),第130页]-R.J.马塔尔2006年11月22日
a(n)=A126890型(n,0)-莱因哈德·祖姆凯勒2006年12月30日
a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a。概括了2006年11月22日之前的公式[以及J.M.贝戈日期:2012年5月22日]-查理·马里昂,2011年2月4日
(sqrt(8*a(n)+1)-1)/2=n.大卫·W·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2007年2月26日
a(n)=A023896号(n)+A067392号(n) ●●●●-Lekraj Beedassy公司2007年3月2日
和{k=0..n}a(k)*A039599号(n,k)=A002457号(n-1),对于n>=1-菲利普·德尔汉姆2007年6月10日
8*a(n)^3+a(n*A000330号(n) ●●●●-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日[编辑:德里克·奥尔2015年5月5日]
多边形数的一般公式是P(k,n)=(k-2)*(n-1)n/2+n=n+(k-2*A000217号(n-1),对于n>=1,k>=3-奥马尔·波尔2008年4月28日和2013年3月31日
a(3*n)=A081266号(n) ,a(4*n)=A033585号(n) ,a(5*n)=A144312号(n) ,a(6*n)=1944年1月14日(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒,2008年9月17日
a(n)=A022264号(n)-A049450型(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月9日
如果我们定义f(n,i,a)=Sum_{j=0..k-1}(二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*Product_{j=0.0..k-1}(-a-j)),那么当n>=1时,a(n)=-f(n,n-1,1)-米兰Janjic,2008年12月20日
4*a(x)+4*a(y)+1=(x+y+1)^2+(x-y)^2-弗拉基米尔·舍维列夫,2009年1月21日
a(n)=A000124号(n-1)+n-1,对于n>=2。a(n)=A000124号(n) -1-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年6月16日
该序列逆的指数生成函数由和{m>=0}((Pochhammer(1,m)*Pochhamder(1,m))*x^m/(Pochharmer(3,m)*阶乘(m))=((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2给出,其n阶导数具有闭合形式,必须通过将极限取为x->0来计算。A000217号(n+1)=(lim_{x->0}d^n/dx^n((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2)+n*(对数(1-x)+对数(-1/(-1+x)))*(-x+1+n))/x^2))^-1-斯蒂芬·克劳利2009年6月28日
a(n)=A034856号(n+1)-A005408号(n)=A005843号(n)+A000124号(n)-A005408号(n) ●●●●-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年9月5日
一个(A006894号(n) )=a(A072638美元(n-1)+1)=A072638号(n)=A006894号(n+1)-1,对于n>=1。对于n=4,a(11)=66-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年9月12日
偏移量为1时,a(n)=楼层(n^3/(n+1))/2-加里·德特利夫斯,2010年2月14日
a(n)=4*a(楼层(n/2))+(-1)^(n+1)*楼层(n+1,/2)-布鲁诺·贝塞利2010年5月23日
a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3);a(0)=0,a(1)=1-马克·多尔斯2010年8月20日
发件人查理·马里恩2010年10月15日:(开始)
a(n)+2*a(n-1)+a(n-2)=n^2+(n-1;
a(n)+3*a(n-1)+3*a(n-2)+a(n-3)=n^2+2*(n-1。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}二项式(m,m-k)*a(n-k)=求和{k=0..m-1}二项式(m-1,m-1-k)*(n-k)^2。
a(n)-2*a(n-1)+a(n-2)=1,a。
一般来说,对于n>=m>2,求和{k=0..m}(-1)^k*二项式(m,m-k)*a(n-k)=0。
(结束)
a(n)=平方米(A000537号(n) )-扎克·塞多夫2010年12月7日
对于n>0,a(n)=1/(积分_{x=0..Pi/2}4*(sin(x))^(2*n-1)*(cos(x),^3)-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
a(n)=A110654号(n)*A008619号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月24日
a(2*k-1)=A000384号(k) ,a(2*k)=A014105号(k) ,k>0-奥马尔·波尔2011年9月13日
a(n)=A026741号(n)*A026741号(n+1)-查尔斯·格里特豪斯四世2012年4月1日
(n)+(a(n))+1=a(a(n)+1)-J.M.贝尔戈2012年4月27日
a(n)=-s(n+1,n),其中s(n,k)是第一类斯特林数,A048994号. -米尔恰·梅卡2012年5月3日
a(n)*a(n+1)=a(和{m=1..n}A005408号(m) )/2,对于n>=1。例如,如果n=8,则a(8)*a(9)=a(80)/2=1620-伊万·伊纳基耶夫2012年5月27日
a(n)=A002378号(n) /2=(A001318号(n)+A085787号(n) )/2-奥马尔·波尔2013年1月11日
通用公式:x*(1+3x+6x^2+…)=x*产品{j>=0}(1+x^(2^j))^3=x*A(x)*A(x^2)*A。。。,其中A(x)=(1+3x+3x^2+x^3)-加里·亚当森2012年6月26日
G.f.:G(0),其中G(k)=1+(2*k+3)*x/(2*k+1-x*(k+2)*(2*k+1)/(x*(k+2)+(k+1)/G(k+1)));(连分数,第3类,3步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日
a(n)=A002088号(n)+A063985号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2013年1月21日
通用公式:x+3*x^2/(Q(0)-3*x)其中Q(k)=1+k*(x+1)+3*x-x*(k+1)*(k+4)/Q(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a(n)+a(n+1)+a-伊万·伊纳基耶夫2013年3月16日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+8)+6*n=a(3*n+15)-查理·马里恩2013年3月18日
a(n)+a(n+1)+…+a(n+20)+2*n^2+57*n=a(5*n+55)-查理·马里恩2013年3月18日
当n>0时,3*a(n)+a(n-1)=a(2*n)-伊万·伊纳基耶夫2013年4月5日
一般来说,a(k*n)=(2*k-1)*a(n)+a((k-1)*n-1)-查理·马里恩2015年4月20日
此外,a(k*n)=a(k)*a(n)+a(k-1)*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
a(n+1)=det(二项式(i+2,j+1),1<=i,j<=n)-米尔恰·梅卡2013年4月6日
a(n)=地板(n/2)+天花板(n^2/2)=n-地板(n/2+)+地板(n^1/2)-韦斯利·伊万·赫特2013年6月15日
a(n)=楼面((n+1)/(exp(2/(n+1))-1))-理查德·福伯格2013年6月22日
和{n>=1}a(n)/n!=3*exp(1)/2 by the e.g.f.另请参见A067764号关于用这种方法计算的二项式系数的比率-理查德·福伯格2013年7月15日
和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=4*log(2)-2=0.7725887-理查德·福伯格2014年8月11日
2/(Sum_{n>=m}1/a(n))=m,对于m>0-理查德·福伯格,2014年8月12日
A228474号(a(n))=n;A248952型(a(n))=0;A248953型(a(n))=(n);248961元(a(n))=A000330号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2014年10月20日
a(a(n)-1)+1(a(n+2)-1)+1=A000124号(n+1)^2-查理·马里恩2014年11月4日
a(n)=2*A000292号(n)-A000330号(n) ●●●●-卢西亚诺·安科拉2015年3月14日
a(n)=A007494号(n-1)+A099392号(n) 对于n>0-步广团2015年3月27日
和{k=0..n}k*a(k+1)=a(A000096号(n+1))-查理·马里昂2015年7月15日
设O(n)为长方形数n(n+1)=A002378号(n) 和S(n)平方数n^2=A000290型(n) ●●●●。那么a(n)+a(n+2k)=O(n+k)+S(k)和a(n-查理·马里恩2015年7月16日
2006年11月22日公式A(n)^2+A(n+1)^2=A((n+1)^2)的推广如下。设T(k,n)=a(n)+k。然后对于所有k,T(k、n)^2+T(k和n+1)^2=T(k(n+1))^2+2*k)-2*k-查理·马里恩2015年12月10日
a(n)^2+a(n+1)^2=a(a(n。可从中推断N.J.A.斯隆是a(n)+a(n+1)=(n+1-本·保罗·瑟斯顿2015年12月28日
Dirichlet g.f.:(zeta(s-2)+zeta(s-1))/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a(n)^2-a(n-1)^2=n^3-米奎尔·塞尔达2016年6月29日
a(n)=A080851号(0,n-1)-R.J.马塔尔2016年7月28日
a(n)=A000290型(n-1)-A034856号(n-4)-Peter M.Chema公司2016年9月25日
a(n)^2+a(n+3)^2+19=a(n^2+4*n+10)-查理·马里昂2016年11月23日
2*a(n)^2+a(n”)=a(n^2+n)-查理·马里恩2016年11月29日
通用公式:x/(1-x)^3=(x*r(x)*r(x^3)*r,其中r(x)=(1+x+x^2)^3=(1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6)-加里·亚当森2016年12月3日
a(n)=矩阵Q(n)的逆的元素之和,其中Q(n)有元素Q_i,j=1/(1-4*(i-j)^2)。因此,如果e=由1组成的适当大小的向量,那么a(n)=e’。Q(n)^-1.e-迈克尔·尤基什2017年3月20日
a(n)=和{k=1..n}(2*k-1)*(2*n-2*k-1)!!)/(2*k-2)*(2*n-2*k)!!)-迈克尔·尤基什2017年3月20日
求和{i=0..k-1}a(n+i)=(3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k)/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日
a(n)=A060544号(n+1)-A016754号(n) ●●●●-拉尔夫·斯坦纳2019年11月9日
当n为奇数时,a(n)==0(mod n)(参见De Koninck参考)-伯纳德·肖特2020年1月10日
8*a(k)*a(n)+((a(k。当k=1时,这个公式简化为众所周知的公式8*a(n)+1=(2*n+1)^2-查理·马里恩2020年7月23日
a(k)*a(n)=和{i=0..k-1}(-1)^i*a((k-i)*(n-i))-查理·马里恩2020年12月4日
发件人阿米拉姆·埃尔达尔,2021年1月20日:(开始)
乘积_{n>=1}(1+1/a(n))=cosh(sqrt(7)*Pi/2)/(2*Pi)。
产品{n>=2}(1-1/a(n))=1/3。(结束)
a(n)=和{k=1..2*n-1}(-1)^(k+1)*a(k)*a。例如,对于n=4,1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日
2*a(n)=A000384号(n) 通常,如果P(k,n)=第n个k次方数,则(j+1)*a(n)=P(5+j,n)-n^2+(j+1-查理·马里恩2023年3月14日
a(n)=109613年(n)*A004526号(n+1)-托拉赫·拉什2023年11月10日
例子
总尺寸:x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x*9+。。。
当n=3时,a(3)=4*3/2=6。
示例(a(4)=10):ABCD,其中a、B、C和D是链中的不同链接,或是肽中的不同氨基酸可能片段:a、B,C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。
a(2):冬青树叶落在德川幕府,a(4):毕达哥拉斯四联中的分数,a(5):八球台球中的物体球-布拉德利·克莱2015年8月24日
发件人古斯·怀斯曼2020年10月28日:(开始)
a(1)=1到a(5)=15个正整数的有序三元组加起来等于n+2(Beeler,McGrath,上文)如下。这些成分按A014311号.
(111) (112) (113) (114) (115)
(121) (122) (123) (124)
(211) (131) (132) (133)
(212) (141) (142)
(221) (213) (151)
(311) (222) (214)
(231) (223)
(312) (232)
(321) (241)
(411) (313)
(322)
(331)
(412)
(421)
(511)
无序版本为A001399号(n-3)=A069905号(n) ,带有Heinz数字A014612美元.
严格的情况是A001399号(n-6)*6,排名依据A337453型.
无序严格情况是A001399号(n-6),带有Heinz数A007304型.
(结束)
MAPLE公司
A000217号:=程序(n)n*(n+1)/2;结束;
istriangular:=proc(n)局部t1;t1:=楼层(平方米(2*n));如果n=t1*(t1+1)/2,则返回true,否则返回false;结束if;终末程序#N.J.A.斯隆2008年5月25日
ZL:=[S,{S=Prod(B,B,B),B=Set(Z,1<=卡)},未标记]:
seq(combstruct[计数](ZL,大小=n),n=2..55)#零入侵拉霍斯2007年3月24日
isA000217:=进程(n)
issqr(1+8*n);
结束进程:#R.J.马塔尔2015年11月29日[这是Leonhard Euler在1765年《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的食谱。彼得·卢什尼2022年9月2日]
数学
数组[#*(#-1)/2&,54](*零入侵拉霍斯2009年7月10日*)
文件夹列表[#1+#2&,0,范围@50](*罗伯特·威尔逊v2011年2月2日*)
累计[范围[0,70]](*哈维·P·戴尔2012年9月9日*)
系数列表[级数[x/(1-x)^3,{x,0,50}],x](*文森佐·利班迪,2014年7月30日*)
(*对于Mathematica 10.4+*)表[多边形编号[n],{n,0,53}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*)
线性递归[{3,-3,1},{0,1,3},54](*罗伯特·威尔逊v2016年12月4日*)
(*以下Mathematica程序由Steven J.Miller提供,用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列,只需更改一行即可。这强烈表明三角形数字不是Benford,因为输出的第二列和第三列不一致-N.J.A.斯隆2017年2月12日*)
fd[x_]:=楼层[10^Mod[Log[10,x],1]]
benfordtest[num_]:=模块[{},
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=0];
对于[n=1,n<=num,n++,
{
d=fd[n(n+1)/2];
如果[d!=0,数字[d]=数字[d]+1];
}];
对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=1.0位[d]/num];
对于[d=1,d<=9,d++,
打印[d,“”,100.0位[d],“”、100.0日志[10,(d+1)/d]]];
];
本福德试验[20000]
表[Length[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n,{3}]],{n,0,15}](*古斯·怀斯曼2020年10月28日*)
黄体脂酮素
(PARI)A000217号(n) =n*(n+1)/2;
(PARI)是_A000217号(n) =n*2==(1+n=平方(2*n))*n\\M.F.哈斯勒2012年5月24日
(PARI)是(n)=异多角形(n,3)\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年2月28日
(PARI)列表(lim)=my(v=list(),n,t);而((t=n*n++/2)<=lim,listput(v,t));车辆(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2021年6月18日
(哈斯克尔)
a000217 n=a000217_列表!!n个
a000217_list=扫描1(+)[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日
(岩浆)[0..60]]中的[n*(n+1)/2:n//布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
(岩浆)[0..1500]|IsSquare(8*n+1)中的n:n//尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2016年4月9日
(SageMath)[n*(n+1)/2表示n in(0..60)]#布鲁诺·贝塞利2014年7月11日
(Scala)(1至53).scanLeft(0)(_+_)//霍斯特曼(2012),第171页
(方案)(定义(A000217号n) (/(*n(+1)));;安蒂·卡图恩2017年7月8日
(J) a000217=:*-:@>:注。斯蒂芬·马克迪西2018年5月2日
(Python)对于范围(0,60)中的n:打印(n*(n+1)/2,end=',')#斯特凡诺·斯佩齐亚,2018年12月6日
(Python)#用于计算序列的初始段,而不是
#孤立术语。如果在迭代中,行“x,y=x+y+1,y+1”
#被替换为“x,y=x+y+k,y+k”,然后得到图形数,
#对于k=0(自然A001477号),k=1(三角形),k=2(正方形),k=3(五边形),k=4(六边形)。
定义aList():
x、 y=1,1
产量0
为True时:
收益率x
x、 y=x+y+1,y+1
A000217号=列表()
打印([下一页(A000217号)对于范围(54)内的i)#彼得·卢什尼2019年8月3日
交叉参考
数字,参数k与第二个Python程序中的一样:A001477号(k=0),该序列(k=1),A000290美元(k=2),A000326号(k=3),A000384号(k=4),A000566号(k=5),A000567元(k=6),A001106年(k=7),A001107号(k=8)。
a(n)=A110449号(n,0)。
a(n)=10555英镑(n+2,2)。
对角线A008291号.
第2列,共列1995年1月52日.
形式n*t(n+k,h)-(n+k)*t(n,h)的数,其中t(i,h)=i*(i+2*h+1)/2对于任何h(对于A000217号k=1):A005563号,A067728号,A140091号,A140681号,A212331号.
Boutrophedon变换:A000718号,A000746号.
迭代次数:A007501号(开始=2),A013589号(开始=4),A050542号(开始=5),A050548美元(开始=7),A050536号(开始=8),A050909号(开始=9)。
囊性纤维变性。A002817号(双三角数),A075528号(a(n)=a(m)/2的解)。
囊性纤维变性。A104712号(第一列,从a(1)开始)。
一些广义k角数是A001318号(k=5),该序列(k=6),A085787号(k=7)等。
A001399年(n-3)=A069905号(n)=A211540型(n+2)统计3部分分区。
A001399年(n-6)=A069905号(n-3)=A211540型(n-1)统计3部分严格分区。
A011782号计算任意长度的成分。
A337461型使用无序版本统计两两互质三元组A307719型.
关键词
非n,核心,容易的,美好的
作者
扩展
编辑人德里克·奥尔2015年5月5日
状态
经核准的

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