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A000217 三角数:a(n)=二项式(n+1,2)=n*(n+1)/2=0+1+2+…+n。
(原M2535 N1002)
4371
0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210,231,253,276,300,325,351,378,406,435,465,496,528,561,595,630,666,703,741,780,820,861,903,946,990,1035,1081,1128,1176,1225,1275,1326,1378,1431 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

也称为T(n)或C(n+1,2)或二项式(n+1,2)(首选)。

广义六角数:n*(2*n-1),n=0,+-1,+-2,+-3,…广义k-角数是第二个k-角数和k-角数的正项,k>=5。在这种情况下k=6-奥马尔·E·波尔2011年9月13日和2012年8月4日

n+1,K{n+1}阶完全图的边数。

在n个字母串中插入一对括号的合法方法。E、 三个字母有6种方式:(a)bc,(ab)c,(abc),a(b)c,a(bc),ab(c)。证明:有C(n+2,2)方法来选择括号的位置,但是n+1是非法的,因为括号是相邻的。囊性纤维变性。A002415.

对于n>=1,a(n)=n*(n+1)/2也是n+2次非奇异曲线的属,例如Fermat曲线x^(n+2)+y^(n+2)=1.-Ahmed-Fares(AT)my-deja。com),2001年2月21日

根据Harnack定理(1876),n阶非奇异曲线的分支数由a(n)有界-贝诺伊特·克罗伊特2002年8月29日

双n多米诺骨牌组中的瓷砖数-斯科特A.布朗2002年9月24日

一个由n个不相同的链环组成的链可以被分解的方法。这是基于蛋白质组学领域的一个类似问题:在质谱仪中,n个氨基酸残基组成的肽可以被分解的方式有很多种。一般来说,每种氨基酸的质量不同,所以AB和BC的质量也不同-詹姆斯·A·雷蒙德2003年4月8日

三角形数-奇数=移位三角形数;1,3,6,10,15,21,…-1,3,5,7,9,11,…=0,0,1,3,6,10,…-Xavier Acloque,2003年10月31日德里克·奥尔,2015年5月5日]

中心多边形数是[number of sides]的结果*A000217+1]。E、 居中五角数(1,6,16,31,…)=5*(0,1,3,6,…)+1.居中的七边形数(1,8,22,43,…)=7*(0,1,3,6,…)-1.-Xavier Acloque,2003年10月31日

n+1平面相交形成的最大线数-罗恩·R·金2004年3月29日

[n]的排列数,它避开了模式132,并且只有一个下降-迈克·扎布罗基2004年8月26日

不允许包含子字(0,1)、(0,2)和(1,2)的长度为n-1的三元字数-奥利维尔·杰拉德2012年8月28日

从集合{0,1,2,…,n}中选择两个不同的数字而不重复的方法的数目,或者从集合{1,2,…,n}中选择两个不同的数字的方法的数目。

推测一下,1、6、120是唯一既有三角形又有阶乘的数克里斯托弗M.托马谢夫斯基(cmt1288(AT)康卡斯特。net),2005年3月30日

二项式变换是{0,1,5,18,56,160,432,…},A001793号一个前导零-菲利普·德莱厄姆2005年8月2日

每一对相邻的项加起来就是一个完美的正方形-扎克·塞多夫2006年3月21日

n+1字母对称群中的换位次数,即除两个元素外其余元素不变的排列数-杰弗里·克里特2006年6月23日

对于rho(n):=exp(i*2*Pi/n)(1的第n个根),当n>=1时,rho(n)^a(n)=(-1)^(n+1)。只需使用平凡性a(2*k+1)==0(mod(2*k+1))和a(2*k)==k(mod(2*k))。

a(n)是(a_1+a_2+a_3)^(n-1)展开式中的项数-塞尔吉奥猎鹰2007年2月12日

a(n+1)是二元n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日

在一个有n+1个人的房间里不同的握手次数-穆罕默德阿扎里安,2007年4月12日[更正,乔尔阿恩特,2016年1月18日]

等于半群PT_n\S_n的秩(生成集的最小基数),其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯东区2007年5月3日

a(n)给出了从三角形上的一个顶点到该顶点对面的边绘制cevian时发现的三角形总数,其中n=绘制的cevian数+1。例如,绘制1个cevian,n=1+1=2和a(n)=2*(2+1)/2=3,因此图中总共有3个三角形。如果从一个点到另一边画了2个塞维安,那么n=1+2=3和a(n)=3*(3+1)/2=6,那么图中总共有6个三角形。—诺亚·普里拉克(npriluck(AT)gmail)。com),2007年4月30日

对于n>=1,a(n)是指如果在项的顺序上不同的表示被认为是不同的,则n-1可以写成三个非负整数的和的方法。换言之,对于n>=1,a(n)是方程x+y+z=n-1的非负积分解的个数-阿玛纳特·穆尔蒂2001年4月22日(编辑罗伯特A.比勒)

a(n)是三维各向同性谐振子的能级数,能量n+3/2(以h*f0为单位,普朗克常数h和振子频率f0)。参见上文A.Murthy的评论:n=n1+n2+n3,正整数,有序。来自o.g.f.的证据见A.Messiah参考资料-狼牙2007年6月29日

希罗尼穆斯·菲舍尔2007年8月6日:(开始)

数字m>=0,使四舍五入(sqrt(2m+1))-圆(sqrt(2m))=1。

数字m>=0,天花板(2*sqrt(2m+1))-1=1+地板(2*sqrt(2m))。

数字m>=0,使得fract(sqrt(2m+1))>1/2,fract(sqrt(2m))<1/2,其中fract(x)是x的小数部分(即x-楼层(x),x>=0)。(结束)

如果Y和Z是n集X的3个块,那么对于n>=6,a(n-1)是X的(n-2)-子集与Y和Z相交的数目-米兰-扬吉奇2007年11月9日

等于三角形的行和邮编:A143320,n>0-加里·W·亚当森2008年8月7日

a(n)也是一个完全数A000396号如果n是梅森素数A000668号,假设没有奇数完全数-奥马尔·E·波尔2008年9月5日

等于三角形的行和邮编:A152204. -加里·W·亚当森2008年11月29日

循环赛中的比赛次数:n*(n-1)/2给出了n名选手所需的比赛数。每个人都只和别人比赛一次。-乔治·雷德(乔治·雷德)。fi),2008年12月18日

-a(n+1)=E(2)*二项式(n+2,2)(n>=0),其中E(n)是枚举中的欧拉数A122045型从这个角度看,a(n)是三角形对角线序列中k=2的特例邮编:A153641. -彼得·卢什尼2009年1月6日

相当于连续四面体数的第一个差。看到了吗A000292号-杰里米·卡希尔(jcahill,AT)收件箱。com),2009年4月15日

交替幂和的一般公式是用瑞士刀多项式P(n,x)表示的邮编:A1536412^(-n-1)(P(n,1)-(-1)^k P(n,2k+1))。因此a(k)=| 2^(-3)(P(2,1)-(-1)^kp(2,2k+1))|-彼得·卢什尼2009年7月12日

a(n)是大于a(n-1)的最小数,使得gcd(n,a(n))=gcd(n,a(n-1))。如果n为奇数,则gcd为n;如果n是偶数,则为n/2-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2009年8月6日

a(A006894号(n) )=一个(A072638号(n-1)+1)=A072638号(n)=A006894号(n+1)-1表示n>=1。对于n=4,a(11)=66-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年9月12日

部分和A001477号. -朱丽·斯特潘·格拉西莫夫,2010年1月25日。[A编号由奥马尔·E·波尔2012年6月5日]

沿着弗洛伊德三角形右边的数字是1,3,6,10,15-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日

查理·马里恩2010年12月3日:(开始)

更一般地说,a(2k+1)==j*(2j-1)(mod 2k+2j+1)和

a(2k)==[-k+2j*(j-1)](mod 2k+2j)。

列和:

1 3 5 7 9。。。

1 3 5。。。

1。。。

...............

---------------

1 3 6 10 15。。。

和{n>=1}1/a(n)^2=4*Pi^2/3-12=12小于半径为Pi^(1/3)的球体的体积。

(结束)

A004201型(a(n))=A000290型(n) ;A004202号(a(n))=A002378号(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2011年2月12日

1/a(n+1),n>=0,具有例如f.-2*(1+x-exp(x))/x^2和o.g.f.2*(x+(1-x)*log(1-x))/x^2(参见斯蒂芬克劳利公式行)-1/(2*a(n+1))是Bernoulli多项式系数的Sheffer三角的z序列邮编:A196838/邮编:A196839. -狼牙2011年10月26日

查理·马里恩2012年2月23日:(开始)

a(n)+a(A002315(k) *无+A001108(k+1))=(A001653号(k+1)*n+A001109(k+1))^2。对于k=0,我们得到a(n)+a(n+1)=(n+1)^2(身份由N、 斯隆2004年2月19日)。

a(n)+a(A002315(k) *无-A055997号(k+1))=(A001653号(k+1)*n-A001109(k) )^2。

(结束)

画出三个点(0,0),(a(n),a(n+1),(a(n+1),a(n+2))形成一个三角形。面积为a(n+1)/2-J、 伯格特先生2012年5月4日

以a(n)=n*(n+1)/2开始的四个连续三角形数的和减2为2*(n+2)^2。a(n)*a(n+2)/2=a(a(n+1)-1)-J、 伯格特先生2012年5月17日

(a(n)*a(n+3)-a(n+1)*a(n+2))*(a(n+1)*a(n+4)-a(n+2)*a(n+3))/8=a((n^2+5*n+4)/2)-J、 伯格特先生2012年5月18日

a(n)*a(n+1)+a(n+2)*a(n+3)+3=a(n^2+4*n+6)-J、 伯格特先生2012年5月22日

一般来说,a(n)*a(n+1)+a(n+k)*a(n+k+1)+a(k-1)*a(k)=a(n^2+(k+2)*n+k*(k+1))-查理·马里恩2012年9月11日

a(n)*a(n+3)+a(n+1)*a(n+2)=a(n^2+4*n+2)-J、 伯格特先生2012年5月22日

一般来说,a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a(n+k-1)=a(n^2+(k+1)*n+k-1)-查理·马里恩2012年9月11日

a(n)*a(n+2)+a(n+1)*a(n+3)=a(n^2+4*n+3)-J、 伯格特先生2012年5月22日

三个点(a(n),a(n+1),(a(n+1),a(n))和(a(n+2),a(n+3))形成面积为4*a(n+1)的三角形-J、 伯格特先生2012年5月23日

a(n)+a(n+k)=(n+k)^2-(k^2+(2n-1)*k-2n)/2。对于k=1,我们得到a(n)+a(n+1)=(n+1)^2(见下文)-查理·马里恩2012年10月2日

在n-空间中,我们可以定义一个(n-1)非平凡正交投影。例如,在3空间中有一个(2)=3(即点到线、点到平面、线到平面)-道格拉斯·拉蒂默2012年12月17日

詹姆斯东区2013年1月8日:(开始)

当n>=1时,a(n)等于半群P_n\S_n的秩(生成集的最小基数)和幂等秩(幂等生成集的最小基数),其中P_n和S_n表示[n]上的分划幺半群和对称群。

当n>=3时,a(n-1)等于半群T\n的秩和幂等秩,其中Tïn和S_n表示[n]上的全变换半群和对称群。

(结束)

当n>=3时,a(n)等于半群PT_n\S_n的秩和幂等秩,其中PT_n和S_n表示[n]上的部分变换半群和对称群-詹姆斯东区2013年1月15日

猜想:对于n>0,在A000217(n) 以及A000217(n+1)。序列A065383型有前1000个素数-伊万·N·伊纳基耶夫2013年3月11日

公式a(n)*a(n+4k+2)/2+a(k)=a(a(n+2k+1)-(k^2+(k+1)^2)),是Bergot 2012年5月17日评论中公式a(n)*a(n+2)/2=a(a(n+1)-1)的推广-查理·马里恩2013年3月28日

级数和{k>=1}1/a(k)=2,由下式给出乔恩·佩里,2003年7月13日,部分和为2*n/(n+1)(伸缩和)=A022998号(n)/A026741号(n+1)-狼牙2013年4月9日

对于奇数m=2k+1,我们有一个递归a(m*n+k)=m^2*a(n)+a(k)。推论:如果数T在序列中,那么9*T+1也是-莱克莱·比达西2013年5月29日

欧拉在《歌剧假设》第87节中指出,无论何时T是三角形数,那么9*T+1、25*T+3、49*T+6和81*T+10也是三角形数。一般来说,如果T是一个三角形数,那么(2*k+1)^2*T+k*(k+1)/2也是一个三角形数-彼得·巴拉2015年1月5日

使用1/b和1/(b+2)将得到边为2*b+2、b^2+2*b和b^2+2*b+2的毕达哥拉斯三角形。将b=n-1设置为边长为2*n、n^2-1和n^2+1的三角形。对于n>1,周长为a(n)的四分之一-J、 伯格特先生2013年7月24日

a(n)=A028896号(n) /6,在哪里A028896号(n) =s(n)-s(n-1)是s(n)=n^3+3*n^2+2*n-8的第一个差。s(n)可以解释为12个边长度加上6个面面积之和加上nx(n-1)X(n-2)矩形棱柱体的体积之和-J、 伯格特先生2013年8月13日

正交群O(n+1)的维数-埃里克施密特2013年9月8日

A_n型根系的正根数(n>0)-汤姆·埃德加2013年11月5日

对于k=1到n,k的r次连续求和公式是二项式的(n+r,r+1)[H.W.Gould]-加里·德特勒夫斯2014年1月2日

还有的交替行和A095831号。以及的交替行和A055461号,对于n>=1-奥马尔·E·波尔2014年1月26日

对于n>=3,a(n-2)是1,2,…,n的排列数,其上(1)-下(0)个元素的分布为0…011(n-3个零),或者,相同地,a(n-2)是上下系数{n,3}(参见中的注释A060351号). -弗拉基米尔·谢韦列夫2014年2月14日

a(n)是对称n×n矩阵向量空间的维数-德里克·奥尔2014年3月29日

不可消的A132440^2/2,除了最初的零。无符号的第一个子矩形A238363号.Cf。邮编:A130534对于与有色森林的关系,旗杆上旗子的配置,以及完全图顶点的着色-汤姆·科普兰2014年4月5日

大小为2的{1,…,n+1}的Sidon子集的数目-卡尔·纳杰菲2014年4月27日

范德蒙行列式V(x_1,x_2,…,x_n)=积{1<=i<k<=n}x_i-x_k定义中的因子个数-汤姆·科普兰2014年4月27日

n的弱组成分为三部分的数目-罗伯特A.比勒2014年5月20日

假设一个袋子里有一个(n)红色弹珠和一个(n+1)蓝色弹珠,其中a(n),a(n+1)是连续的三角形数字。那么,对于n>0,随机选择两个弹珠并得到两个红色或两个蓝色弹珠的概率是1/2。一般来说,对于k>2,设b(0)=0,b(1)=1;对于n>1,b(n)=(k-1)*b(n-1)-b(n-2)+1。假设n>0,一个袋子里有b(n)红色弹珠和b(n+1)蓝色弹珠。那么随机选择两个弹珠得到两个红色或两个蓝色的概率是(k-1)/(k+1)。另请参见A027941号,A061278号,A089817号,A053142型,A092521号. -查理·马里恩2014年11月3日

设O(n)为长方形数n(n+1)=A002378号S(n)平方数n^2=A000290型(n) 一。则a(4n)=O(3n)-O(n),a(4n+1)=S(3n+1)-S(n),a(4n+2)=S(3n+2)-S(n+1),a(4n+3)=O(3n+2)-O(n)-查理·马里恩2015年2月21日

考虑将自然数从集合S=(1,2,3,…,n)分成若干部分。结果序列的签名长度(顺序)由三角形数字给出。E、 g.当n=10时,签名长度为55-大卫·尼尔·麦克格拉斯2015年5月5日

a(n)将(n-1)个未标记对象的分区计算为三(3)个部分(标记为a、b、c),例如,a(5)=15,表示(n-1)=4。这三个部分分别是(aaaa)、(bbbbb)、(cccc)、(aaab)、(aaac)、(aabb)、(aacc)、(aabc)、(abbc)、(abcc)、(abbb)、(accc)),(bbcc),(bccc),(bbbc)-大卫·尼尔·麦克格拉斯2015年5月21日

猜想:该序列是指数n的正弦螺线的亏格。值0对应于Bernoulli引理n=2的情况,因此推测的公式为(n-1)(n-2)/2-沃尔夫冈·丁特曼2015年8月2日

猜想:设m为任意正整数。那么,对于每个n=1,2,3,…集合{Sum{k=s..t}1/k^m:1<=s<=t<=n}具有基数a(n)=n*(n+1)/2;换句话说,所有1<=s..t}1/k^m与1<=s<=t的和是成对不同的。(我通过电脑检查了这个猜想,没有发现反例。)-孙志伟2015年9月9日

读取序列模m的Pisano周期长度似乎是A022998号(m) 一-R、 J.马萨2015年11月29日

对于n>=1,a(n)是n+4组成n个部分(避开第2部分)的数量-米兰-扬吉奇2016年1月7日

在这个序列中只有3是素数-费边·科普2016年1月9日

假设你在玩保加利亚纸牌(见A242424以及张伯伦和加德纳的书),对于n>0,你从一堆a(n)卡片开始。那么达到固定状态{n,n-1,…,1}所需的操作数是a(n-1)。例如,{6}->{5,1}->{4,2}->{3,2,1}-查理·马里恩2016年1月14日

数字k使得8k+1是一个正方形-朱丽·斯特潘·格拉西莫夫2016年4月9日

每个完美立方体都是两个连续三角形数的平方差。1^2-0^2=1^3,3^2-1^2=2^3,6^2-3^2=3^3-米克尔·塞尔达2016年6月26日

对于n>1,a(n)=τn(k*),其中tau逖n(k)是k的有序n因子分解的数目,k*是素数的平方。例如,τ3(4)=τ3(9)=τ3(25)=τ3(49)=6(参见A007425)因为4,9,25,49的除数是6,a(3)=6-梅尔文·佩拉尔塔2016年8月29日

在(n+1)维超立方体中,与一个顶点一致的二维面数(另见A001788号). -斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年10月23日

熟悉的公式的推广,a(n)+a(n+n+1)=(n+1)^2(2004年2月19日)和a(n)2+a(n+1)^2=a((n+1)^2^2(2006年11月22日11月22日)(2006年11月22日),以下为:a(n+n)+a(n+2k-1)+4a(k-1)=(n+k)^2+2+6a(k-1)和a(n)^2+a(n+2k-1)^2+(4a(k-1))^2+3a(k-1))^2+3a(k-1)=a(n+k)^2+6a(k-1))(n+k+k)^2+6a(k)2+1))在-查理·马里恩2016年11月27日

a(n)也是顶点为n+4的多面体中对角线的最大数目-弗拉基米尔·莱茨科2016年12月19日

对于n>0,2^5*(二项式(n+1,2))^2代表2*(2*n+1)^2个连续整数之和中的第一个整数,等于(2*n+1)^6-帕特里克·J·麦克纳布2016年12月25日

不满足本福德定律(参见Ross,2012)-N、 斯隆2017年2月12日

不大于n的正整数的有序三元组(a,b,c)的个数,使得a+b+c=2n+1-阿维尔·利维2017年2月13日

使用最多n种颜色的不相等四面体面着色数,因此没有颜色只出现一次-大卫·纳金2017年2月22日

也是完全图K{n+1}的Wiener指数-埃里克·W·维斯坦2017年9月7日

n次Bernstein多项式的交集数-埃里克·德斯比厄2018年4月1日

a(n)是三角形的面积,顶点位于(1,1),(n+1,n+2)和((n+1)^2,(n+2)^2)-艺术面包师2018年12月6日

对于n>0,a(n)是最小的k>0,使得n除以(1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(n-1)+1/k的分子。需要注意的是1/1+1/3+1/6+…+2/(n(n+1))=2n/(n+1)-托马斯奥多夫斯基2019年8月4日

n-齐次超可解线排列的线数的上界(见Dimca中的定理1.1)-斯佩齐亚2019年10月4日

a(n)==0(mod n)如果n是奇数(参见De Koninck reference)-伯纳德·肖特2020年1月10日

当n>0时,a(n+1)是边长为n的三角形网格上的点阵点数-韦斯利·伊万受伤了2020年8月12日

朱棣文2022年5月4日:(开始)

长度为n的字符串的最大非空子串数。

相集A+A的最大基数,其中A是n个数的集合。(结束)

参考文献

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“核心”序列的索引项

相关分区计数序列的索引项

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双向无限序列的索引项

与多边形数相关的序列的索引

与Benford定律有关的序列的索引项

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E、 g.f.:经验(x)*(x+x^2/2)。

a(n)=a(-1-n)。

a(n)+a(n-1)*a(n+1)=a(n)^2-小特雷尔·特罗特。2002年4月8日

a(n)=(-1)^n*和{k=1..n}(-1)^k*k^2-贝诺伊特·克罗伊特2002年8月29日

a(n+1)=((n+2)/n)*a(n),和{n>=1}1/a(n)=2-乔恩·佩里2003年7月13日

n>0时,a(n)=A001109(n) -和{k=0..n-1}(2*k+1)*A001652型(n-1-k);e、 克,10=204-(1*119+3*20+5*3+7*0)-查理·马里恩2003年7月18日

对于插值零,这是n*(n+2)*(1+(-1)^n)/16-贝诺伊特·克罗伊特2003年8月19日

a(n+1)是nxn对称Pascal矩阵M_(i,j)=二项式(i+j+1,i)的行列式-贝诺伊特·克罗伊特2003年8月19日

a(n)=((n+1)^3-n^3-1)/6.-Xavier Acloque,2003年10月24日

a(n)=a(n-1)+(1+sqrt(1+8*a(n-1)))/2。当取平方根的负分支时,这种递归关系是颠倒的,即a(n)被转换成a(n-1)而不是a(n+1)-卡尔·R·怀特2003年11月4日

a(n)=和{k=1..n}φ(k)*楼层(n/k)=和{k=1..n}A000010号(k)*A010766号(n,k)(R.Dedekind)-弗拉德塔·乔沃维奇2004年2月5日

a(n)+a(n+1)=(n+1)^2-N、 斯隆2004年2月19日

a(n)=a(n-2)+2*n-1-保罗·巴里2004年7月17日

a(n)=sqrt(和{i=1..n}和{j=1..n}(i*j))=sqrt(A000537号(n) )-亚历山大·阿达姆丘克2004年10月24日

a(n)=sqrt(sqrt(Sum{i=1..n}Sum{j=1..n}(i*j)^3))=(Sum{i=1..n}Sum{j=1..n}和{k=1..n}(i*j*k)^3)^(1/6)-亚历山大·阿达姆丘克2004年10月26日

如果n是奇数,a(n)==1(模n+2);如果n是偶数,a(n)==n/2+2(mod n+2)-乔恩·佩里2004年12月16日

a(0)=0,a(1)=1,a(n)=2*a(n-1)-a(n-2)+1-米克洛斯·克里斯托夫2005年3月9日

a(n)=a(n-1)+n-扎克·塞多夫2005年3月6日

a(n)=A108299号(n+3,4)=-A108299号(n+4,5)-莱因哈德·祖姆凯勒2005年6月1日

a(n)=A111808年(n,2)对于n>1-莱因哈德·祖姆凯勒2005年8月17日

a(n)*a(n+1)=A006011号(n+1)=(n+1)^2*(n^2+2)/4=3*A002415(n+1)=1/2*a(n^2+2*n)。a(n-1)*a(n)=(1/2)*a(n^2-1)-亚历山大·阿达姆丘克,2006年4月13日[更正和编辑查理·马里恩2010年11月26日]

a(n)=楼层((2*n+1)^2/8)-保罗·巴里2006年5月29日

对于正n,我们有a(8*a(n))/a(n)=4*(2*n+1)^2=(4*n+2)^2,即a(A033996年(n) )/a(n)=4*A016754号(n) =(A016825年(n) )^2个=A016826年(n) 一-莱克莱·比达西2006年7月29日

a(n)^2+a(n+1)^2=a((n+1)^2)[R B Nelsen,数学杂志70(2)(1997),第130页]-R、 J.马萨2006年11月22日

a(n)=邮编:A126890(n,0)-莱因哈德·祖姆凯勒2006年12月30日

a(n)*a(n+k)+a(n+1)*a(n+1+k)=a((n+1)*(n+1+k))。总结了2006年11月22日的公式J、 伯格特先生2012年5月22日]-查理·马里恩2011年2月4日

(sqrt(8*a(n)+1)-1)/2=n.-David W.Cantrell(DWCantrell(AT)西格玛希。net),2007年2月26日

a(n)=A023896号(n)+A067392号(n) 一-莱克莱·比达西2007年3月2日

和{k=0..n}a(k)*A039599号(n,k)=A002457号(n-1),对于n>=1-菲利普·德莱厄姆2007年6月10日

8*a(n)^3+a(n)^2=Y(n)^2,其中Y(n)=n*(n+1)*(2*n+1)/2=3*A000330型(n) 一-穆罕默德·布哈米达,2007年11月6日[编辑德里克·奥尔,2015年5月5日]

多边形数的一般公式是P(k,n)=(k-2)*(n-1)n/2+n=n+(k-2)*A000217(n-1),对于n>=1,k>=3-奥马尔·E·波尔,2008年4月28日和2013年3月31日

a(3*n)=A081266号(n) ,a(4*n)=A033585号(n) ,a(5*n)=A144312(n) ,a(6*n)=邮编:A144314(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2008年9月17日

a(n)=A022264(n)-A049450型(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2008年10月9日

如果我们定义f(n,i,a)=和{j=0..k-1}(二项式(n,k)*Stirling1(n-k,i)*乘积{j=0..k-1}(-a-j)),那么a(n)=-f(n,n-1,1),对于n>=1-米兰-扬吉奇2008年12月20日

4*a(x)+4*a(y)+1=(x+y+1)^2+(x-y)^2-弗拉基米尔·谢韦列夫2009年1月21日

a(n)=A000124号(n-1)+n-1表示n>=2.a(n)=A000124号(n) -1-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年6月16日

给出了该序列逆的指数母函数为和{m>=0}((Pochhammer(1,m)*Pochhammer(1,m))*x^m/(Pochhammer(3,m)*factorial(m))=((2-2*x)*log(1-x)+2*x)/x^2,其n阶导数具有闭式形式,其极限必须取x->0。A000217(n+1)=(lim{x->0}d^n/dx ^n(((2-2*x)*日志(1-x)+2*x x)/x^2^ 2))^-1=(lim{x->0}(2*伽马(n)*(2*伽马(n)*(-1/x)^n*(n*(x/(-1+x))^n*(n*(x/(-1+x))^n*(-x+1+1+n)*勒尔尔赫菲(x/(-1+1+x),1,n)+(-1+x)*(n+1*1*(n+1/(-1+x))^n+1/(-1+x))^n+n+n+n+n n*(对数(1-x)+对数(-1/(-1+x)))*(-x+1+n))/x^2))^-1-斯蒂芬克劳利2009年6月28日

a(n)=A034856号(n+1)-A005408号(n)=A005843号(n)+A000124号(n)-A005408号(n) 一-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年9月5日

偏移量为1时,a(n)=楼层(n^3/(n+1))/2-加里·德特勒夫斯2010年2月14日

a(n)=4*a(楼层(n/2))+(-1)^(n+1)*楼层((n+1)/2)-布鲁诺·贝尔塞利2010年5月23日

a(n)=3*a(n-1)-3*a(n-2)+a(n-3);a(0)=0,a(1)=1-马克·多尔斯2010年8月20日

查理·马里恩2010年10月15日:(开始)

a(n)+2*a(n-1)+a(n-2)=n^2+(n-1)^2;

a(n)+3*a(n-1)+3*a(n-2)+a(n-3)=n^2+2*(n-1)^2+(n-2)^2。

一般来说,对于n>=m>2,Sum{k=0..m}二项式(m,m-k)*a(n-k)=Sum{k=0..m-1}二项式(m-1,m-1-k)*(n-k)^2。

a(n)-2*a(n-1)+a(n-2)=1,a(n)-3*a(n-1)+3*a(n-2)-a(n-3)=0和a(n)-4*a(n-1)+6*a(n-2)-4*(a-3)+a(n-4)=0。

一般来说,对于n>=m>2,和{k=0..m}(-1)^k*二项式(m,m-k)*a(n-k)=0。

(结束)

a(n)=平方英尺(A000537号(n) )-扎克·塞多夫2010年12月7日

当n>0时,a(n)=1/(积分{x=0..Pi/2}4*(sin(x))^(2*n-1)*(cos(x))^3)-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日

a(n)=A110654号(n)*A008619号(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月24日

a(2*k-1)=A000384号(k) ,a(2*k)=A014105号(k) ,k>0-奥马尔·E·波尔2011年9月13日

a(n)=A026741号(n)*A026741号(n+1)-查尔斯R格雷特豪斯四世2012年4月1日

a(n)+a(a(n))+1=a(a(n)+1)-J、 伯格特先生2012年4月27日

a(n)=-s(n+1,n),其中s(n,k)是第一类斯特林数,A048994号. -米尔恰梅尔卡2012年5月3日

a(n)*a(n+1)=a(和{m=1..n}A005408号(m) )/2,表示n>=1。例如,如果n=8,则a(8)*a(9)=a(80)/2=1620-伊万·N·伊纳基耶夫2012年5月27日

a(n)=A002378号(n) /2=(A001318型(n)+A085787号(n) )/2-奥马尔·E·波尔2013年1月11日

G、 f.:x*(1+3x+6x^2+…)=x*乘积{j>=0}(1+x^(2^j))^3=x*A(x)*A(x^2)*A(x^4)*…,其中A(x)=(1+3x+3x^2+x^3)-加里·W·亚当森2012年6月26日

G、 f.:G(0),其中G(k)=1+(2*k+3)*x/(2*k+1-x*(k+2)*(2*k+1)/(x*(k+2)+(k+1)/G(k+1)));(连分式,第3类,3步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年11月23日

a(n)=A002088号(n)+A063985号(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2013年1月21日

G、 f.:x+3*x^2/(Q(0)-3*x),其中Q(k)=1+k*(x+1)+3*x-x*(k+1)*(k+4)/Q(k+1);(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日

a(n)+a(n+1)+a(n+2)+a(n+3)+n=a(2*n+4)-伊万·N·伊纳基耶夫2013年3月16日

a(n)+a(n+1)+…+a(n+8)+6*n=a(3*n+15)-查理·马里恩2013年3月18日

a(n)+a(n+1)+…+a(n+20)+2*n^2+57*n=a(5*n+55)-查理·马里恩2013年3月18日

3*a(n)+a(n-1)=a(2*n),对于n>0-伊万·N·伊纳基耶夫2013年4月5日

一般来说,a(k*n)=(2*k-1)*a(n)+a((k-1)*n-1)-查理·马里恩2015年4月20日

另外,a(k*n)=a(k)*a(n)+a(k-1)*a(n-1)-罗伯特·以色列2015年4月20日

a(n+1)=det(二项式(i+2,j+1),1<=i,j<=n)-米尔恰梅尔卡2013年4月6日

a(n)=地板(n/2)+天花板(n^2/2)=n-地板(n/2)+地板(n^2/2)-韦斯利·伊万受伤了2013年6月15日

a(n)=楼层((n+1)/(exp(2/(n+1))-1))-理查德·R·福伯格2013年6月22日

和{n>=1}a(n)/n!=3*exp(1)/2由e.g.f.也可参见A067764号一般来说,对于二项式系数用这种方法计算的比率-理查德·R·福伯格2013年7月15日

和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=4*log(2)-2=0.7725887-理查德·R·福伯格2014年8月11日

2/(和{n>=m}1/a(n))=m,对于m>0-理查德·R·福伯格2014年8月12日

A228474号(a(n))=n;邮编:A248952(a(n))=0;邮编:A248953(a(n))=a(n);邮编:A248961(a(n))=A000330型(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2014年10月20日

a(a(n)-1)+a(a(n+2)-1)+1=A000124号(n+1)^2-查理·马里恩2014年11月4日

a(n)=2*A000292号(n)-A000330型(n) 一-卢西亚诺·安科拉2015年3月14日

a(n)=A007494号(n-1)+A099392号(n) n>0时-裴广团2015年3月27日

和{k=0..n}k*a(k+1)=a(A000096号(n+1))-查理·马里恩2015年7月15日

设O(n)为长方形数n(n+1)=A002378号(n) S(n)平方数n^2=A000290型(n) 一。然后a(n)+a(n+2k)=O(n+k)+S(k)和a(n+a(n+2k+1)=S(n+k+1)+O(k)-查理·马里恩2015年7月16日

下面是2006年11月22日公式A(n)^2+A(n+1)^2=A((n+1)^2)的推广。设T(k,n)=a(n)+k。那么对于所有k,T(k,n)^2+T(k,n+1)^2=T(k,(n+1)^2+2*k)-2*k-查理·马里恩2015年12月10日

a(n)^2+a(n+1)^2=a(a(n)+a(n+1))。从中推断N、 斯隆's a(n)+a(n+1)=(n+1)^2和R.B.纳尔逊的a(n)^2+a(n+1)^2=a((n+1)^2)-本保罗瑟斯顿2015年12月28日

迪里克莱特g.f.:(zeta(s-2)+zeta(s-1))/2-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日

a(n)^2-a(n-1)^2=n^3-米克尔·塞尔达2016年6月29日

a(n)=A080851号(0,n-1)-R、 J.马萨2016年7月28日

a(n)=A000290型(n-1)-A034856号(n-4)-彼得·M·切玛2016年9月25日

a(n)^2+a(n+3)^2+19=a(n^2+4*n+10)-查理·马里恩2016年11月23日

2*a(n)^2+a(n)=a(n^2+n)-查理·马里恩2016年11月29日

G、 f.:x/(1-x)^3=(x*r(x)*r(x^3)*r(x^9)*r(x^27)*…),其中r(x)=(1+x+x^2)^3=(1+3*x+6*x^2+7*x^3+6*x^4+3*x^5+x^6)-加里·W·亚当森2016年12月3日

a(n)=矩阵Q(n)的逆元素之和,其中Q(n)有元素Q_i,j=1/(1-4*(i-j)^2)。所以如果e=由1组成的适当大小的向量,那么a(n)=e'.Q(n)^-1.e-迈克尔·尤基什2017年3月20日

a(n)=和{k=1..n}((2*k-1)*(2*n-2*k-1)!!)/((2*k-2)*(2*n-2*k)!!)-迈克尔·尤基什2017年3月20日

和{i=0..k-1}a(n+i)=(3*k*n^2+3*n*k^2+k^3-k)/6-克里斯托弗·霍尔2019年2月23日

a(n)=A060544号(n+1)-A016754号(n) 一-拉尔夫·斯坦纳2019年11月9日

8*a(k)*a(n)+((a(k)-1)*n+a(k))^2=((a(k)+1)*n+a(k))^2。当k=1时,这个公式化简为众所周知的公式8*a(n)+1=(2*n+1)^2-查理·马里恩2020年7月23日

a(k)*a(n)=和{i=0..k-1}(-1)^i*a((k-i)*(n-i))-查理·马里恩2020年12月4日

阿米拉姆埃尔达2021年1月20日:(开始)

积{n>=1}(1+1/a(n))=cosh(sqrt(7)*Pi/2)/(2*Pi)。

积{n>=2}(1-1/a(n))=1/3。(结束)

a(n)=和{k=1..2*n-1}(-1)^(k+1)*a(k)*a(2*n-k)。例如,当n=4时,1*28-3*21+6*15-10*10+15*6-21*3+28*1=10-查理·马里恩2022年3月23日

例子

G、 f.:x+3*x^2+6*x^3+10*x^4+15*x^5+21*x^6+28*x^7+36*x^8+45*x^9+。。。

当n=3时,a(3)=4*3/2=6。

例(a(4)=10):ABCD其中a、B、C和D是链中的不同链或肽中的不同氨基酸可能片段:a、B、C、D、AB、ABC、ABCD、BC、BCD、CD=10。

a(2):冬青树叶子在德川门,a(4):在勾股四分之一,a(5):物体球在八球台球-布拉德利·克莱2015年8月24日

格斯·怀斯曼2020年10月28日:(开始)

a(1)=1到a(5)=15个正整数的有序三元组和为n+2[上面的比勒,麦克格拉斯]如下所示。这些作文按A014311号.

(111)(112)(113)(114)(115)

(121)(122)(123)(124)

(211)(131)(132)(133)

(212)(141)(142)

(221)(213)(151)

(311)(222)(214)

(231)(223)

(312)(232)

(321)(241)

(411)(313)

(322)

(331)

(412)

(421)

(511)

无序版本是A001399型(n-3)=A069905号(n) ,带有亨氏数字A014612号.

严格的情况是A001399型(n-6)*6,排名依据A337453.

无序严格的情况是A001399型(n-6),带有Heinz数字A007304型.

(结束)

枫木

A000217:=过程(n)n*(n+1)/2;结束;

正三角形:=proc(n)局部t1;t1:=楼层(sqrt(2*n));如果n=t1*(t1+1)/2,则返回true,否则返回false;结束if;结束程序#N、 斯隆2008年5月25日

ZL:=[S,{S=Prod(B,B,B),B=Set(Z,1<=卡)},未标记]:

seq(combstruct[count](ZL,size=n),n=2..55)#泽伦瓦拉乔斯2007年3月24日

isA000217:=过程(n)

issqr(1+8*n);

结束过程:#R、 J.马萨,2015年11月29日【这是Leonhard Euler在其《Vollständige Anleitung zur代数》第七章中提出的方法,1765年。彼得·卢什尼2022年9月2日]

数学

数组[#*(#-1)/2&,54](*泽伦瓦拉乔斯2009年7月10日*)

折叠列表[#1+#2&,0,范围@50](*罗伯特·G·威尔逊五世2011年2月2日*)

累加[范围[0,70]](*哈维·P·戴尔2012年9月9日*)

系数列表[系列[x/(1-x)^3,{x,0,50}],x](*文琴佐·利班迪2014年7月30日*)

(*对于Mathematica 10.4+*)表格[多边形编号[n],{n,0,53}](*阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*)

LinearRecurrence[{3,-3,1},{0,1,3},54](*罗伯特·G·威尔逊五世2016年12月4日*)

(*以下Mathematica程序,由Steven J.Miller提供,用于测试序列是否为Benford。要测试不同的序列,只需更改一行。这强烈表明三角形数字不是Benford,因为输出的第二列和第三列不一致-N、 斯隆2017年2月12日*)

fd[x_x]:=楼层[10^Mod[Log[10,x],1]]

benfordtest[num\]:=模块[{},

对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=0];

对于[n=1,n<=num,n++,

{

d=fd[n(n+1)/2];

如果[d!=0,则数字[d]=数字[d]+1];

}];

对于[d=1,d<=9,d++,数字[d]=1.0位数[d]/num];

对于[d=1,d<=9,d++,

打印[d,”,100.0位数字[d],“”,100.0日志[10,(d+1)/d]];

];

本福德试验[20000]

表[Length[Join@Permutations/@IntegerPartitions[n,{3}]],{n,0,15}](*格斯·怀斯曼2020年10月28日*)

黄体脂酮素

(平价)A000217(n) =n*(n+1)/2;

(同等)是_A000217(n) =n*2==(1+n=平方(2*n))*n\\M、 哈斯勒2012年5月24日

(PARI)is(n)=多角(n,3)\\查尔斯R格雷特豪斯四世2014年2月28日

(PARI)列表(lim)=my(v=list(),n,t);而((t=n*n++/2)<=lim,listput(v,t));向量机(v)\\查尔斯R格雷特豪斯四世2021年6月18日

(哈斯克尔)

a000217 n=a000217_列表!!n

a000217 U列表=扫描1(+)[0..]--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月23日

(岩浆)[n*(n+1)/2:n in[0..60]]//布鲁诺·贝尔塞利2014年7月11日

(岩浆)[n:n in[0..1500]| IsSquare(8*n+1)]//朱丽·斯特潘·格拉西莫夫2016年4月9日

(Sage)[n*(n+1)/2代表n in(0..60)]#布鲁诺·贝尔塞利2014年7月11日

(Scala)(1到53)。scanLeft(0)(\+\uU)//Horstmann(2012),第171页

(方案)(定义(A000217n) (/(*n(+n1))2);;安蒂·卡尔图宁2017年7月8日

(J) a000217=:*-:@>:NB。斯蒂芬·马克迪西2018年5月2日

(Python)对于范围(0,60)中的n:print(n*(n+1)/2,end=',')#斯佩齐亚2018年12月6日

(Python 3)#用于计算序列的初始段,而不是

#孤立术语。如果在迭代中“x,y=x+y+1,y+1”行

#用“x,y=x+y+k,y+k”代替,然后得到数字,

#k=0(自然A001477号),k=1(三角形),k=2(正方形),k=3(五边形),k=4(六边形),k=5(七边形),k=6(八角形),等等。

定义列表():

x、 y=1,1

收益率0

如果是真的:

收益率x

x、 y=x+y+1,y+1

A000217=列表()

打印([下一页(A000217)对于范围(54)]内的i)#彼得·卢什尼2019年8月3日

交叉引用

与第二个Python程序中的参数k对应的数字:A001477号(k=0),这个序列(k=1),A000290型(k=2),A000326号(k=3),A000384号(k=4),A000566号(k=5),A000567号(k=6),A001106(k=7),A001107型(k=8)。

囊性纤维变性。A000096号,A000124号,A000292号,A000330型,A000396号,A000668号,A001082型,A001788号,A002024号,A002378号,A002415,A003056型(反函数),A006011号,A007318型,A008953号,A008954号,A010054型(特征函数),A028347号,A036666号,A046092型,A051942型,A055998号,A055999,A056000美元,A056115型,A056119号,A056121号,A056126号,A062717型,A087475号,A101859号,邮编:A143320,A210569号,A245031号,A245300个,A060544号,A016754号.

a(n)=A110449号(n,0)。

a(n)=A110555号(n+2,2)。

对角线A008291号.

第2列,共A195152型.

形式为n*t(n+k,h)-(n+k)*t(n,h)的数,其中t(i,h)=i*(i+2*h+1)/2(对于A000217是k=1):A005563号,A067728号,A140091号,A140681号,甲12331.

布氏变换:A000718号,A000746号.

迭代次数:A007501号(开始=2),A013589号(开始=4),A050542号(开始=5),A050548号(开始=7),A050536号(开始=8),A050909号(开始=9)。

囊性纤维变性。A002817号(双三角数),A075528号(a(n)=a(m)/2的解。

囊性纤维变性。A104712号(第一列,从a(1)开始)。

一些广义k-边数是A001318型(k=5),这个序列(k=6),A085787号(k=7)等。

A001399型(n-3)=A069905号(n)=A211540型(n+2)计算3部分分区。

A001399型(n-6个)=A069905号(n-3)=A211540型(n-1)计算三部分严格分区。

A011782号计算任何长度的合成。

A337461型计数成对互质三元组,具有无序版本A307719飞机.

囊性纤维变性。A000212型,A001840,A007304型,A156040型,A220377号,A337483飞机,A337604飞机.

囊性纤维变性。A099174号,邮编:A130534,A132440,A238363号.

上下文顺序:A089594号 A253145 邮编:A161680*邮编:179865 A105340 邮编:A176659

相邻序列:A000214型 A000215型 A000216型*A000218号 A000219号 A000220型

关键字

,核心,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

编辑德里克·奥尔2015年5月5日

状态

经核准的

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