整数序列杂志第3卷(2000),第00条第1.5条

由寡形置换群实现的序列

彼得·J·卡梅伦
数学科学学院
伦敦大学玛利皇后学院
伦敦E1 4NS
英国
电子邮箱地址P.J.Calimon @ QMW.AC.U.

摘要本文的目的是尽可能地识别这些序列。整数序列百科全书无限置换群的轨道计数N-或N-置换域元素的元组。本文还介绍了这类序列的性质及其与组合枚举问题的关系。

目录

  1. 说明
  2. 寡形置换群
  3. 循环指数
  4. 新老群体
  5. 群与枚举
  6. 逆欧拉变换
  7. 实例
  8. 致谢
  9. 推荐信
  10. 表(在单独的文件中)

1。说明

无穷集上的置换群寡形的如果有序轨道数N对于所有正整数,元组是有限的。N. 这里排列G一套X集合行为XN在所有N元素的元组X按照规定
XXNG=γ(XGXNG
许多整数的重要序列可以被实现为一个寡形群的序列计数轨道。N-元组或N套装本文的目的是记录作者所知道的所有序列中出现的这样的序列。整数序列百科全书. 既然这样实例列表这是不可能完成的,它计划从时间到时间更新它。请在上面的地址向作者发电子邮件。

文中还包括了关于寡型置换群的一般理论及其与组合枚举的关系。〔3〕〔5〕.

在这里可以找到许多熟悉的序列(斐波那契数、分割、图、树、二项式系数、幂、……)。作者认为一个序列作为一个寡群的U-或L序列的出现会给它带来额外的兴趣。同时,如果一个群的U序列是有趣的,那么L序列也是如此。反之亦然所以表格里的空白是值得研究的!

这些表还提供了关于关于寡型置换群的U和L序列的行为猜想的数据。

请注意,这里所报道的例子和构造与物种密切相关(参见〔1〕然而,物种是更一般的,和一些已知的限制的U型序列的寡型群(参见)第2.4节不适用于对物种进行计数。交叉引用将在适当的情况下给出。

2。寡形置换群

在绪论中定义了一个寡形置换群的概念。从定义,如果G是集上的一个亚型置换群X然后,每个正整数的每一个数都是有限的N按照惯例,我们设置fG=fG(=)f*G= 1。我们省略了(G如果问题组是清楚的。

在下面,所有置换群都被作用在可数集合上。这不失一般性:基于一阶逻辑的下层L·O.W.Wehan-He-Skulm定理证明了,对于任何一个寡形置换群G在一个可数集上有一个同构群,它们实现相同的数。fNfN,和fN*(见〔3〕

2.1。逻辑连接

这第三个序列自然地与一阶逻辑中可数范畴的概念有关。T在一阶语言中是一致完整的理论。

我们说T可数范畴如果它有一个唯一的可数同构模型。

N-类型结束T是一组公式N自由变量XXN关于一致性的最大值T. 这个N类型S实现在模型中属于T如果存在元素N进入使公式在S当是真的代替SX(注意)在一个模型中的元素的给定元组上的所有公式的集合。T是一种类型。

现在恩格勒、Ryll Nardzewski和Svenonius的定理证明了如下。

定理。T在一阶语言中是一致完整的理论。然后T可数范畴当且仅当它只有有限多个时N-每个正整数的类型N. 如果这些条件成立,并且是可数模型T然后,每种类型S实现在和元组实现S是自同构群的一个轨道.

相反,让在一阶语言上是可数结构,并假设自同构群是一个置换群然后一阶理论可以说是绝对的。

根据这一定理,我们将“可数范畴”一词应用到可数结构,其自同构群是寡形的。

我们看到,如果可数范畴理论的可数模型T然后,数量N-类型的T等于fN*G,在哪里G是自同构群.

2.2。u-和L-序列

在前一节的基础上,本文将重点讨论序列。fNG)和(fNG),因为出现的原因。一个正整数序列称为U序列L-序列如果它被实现为轨道计数序列γ(fNG)(或)fNG)分别为一些寡形群G. 字母U和L代表“未标记”和“标记”。这个原因将在下面解释。)这个项目的主要目的是注释。整数序列百科全书关于其条目是U序列或L序列的信息。fN*)它的值可以由γ值来确定。fN通过下面的公式,其中Sn,k斯特灵号码第二类(A的分区数)N-设置成K部分):
fN*=KSn,kfK.

伯恩斯坦和斯隆的术语〔2〕,星号序列是斯特灵变换未出演的:f*=斯特灵f)(参见)变换在在线百科全书中。

我们会看到后来L序列的斯特灵变换也是一个L-序列。因此,通过包含星号序列,不可放大的可实现序列类。

我们也会看到相关的观察结果。后来是吗,对于很多组G存在一个群体G*其u-序列是L序列G.

2.3。两个重要实例

我们总结了这一节的两个重要例子:

2.4。一些限制

对U和L序列的一些限制是已知的。最关注的是序列的生长速度。我们远远没有必要的充分条件!

U序列比L序列有更多的研究。下面的结果大部分是由于Dugald Macpherson〔8〕和其他论文,并在已引用的参考文献中进一步讨论。

麦弗逊也有一些关于较快增长率的结果,与模型理论性质有关,如稳定性和严格序性质。

L序列也不是非递减的(虽然这更容易看到);事实上,L序列的连续项只有当它们都是1时才是相等的。弗朗西丝卡梅罗拉〔10〕最近,通过一个原始的但不是高度同质的群的L序列增长至少快得更快,增强了麦弗逊指数增长的结果。CNN对于一些常数C>1。

三。循环指数

3.1。生成函数

我们表示U序列(U序列)。fN一般生成函数(简而言之,O.G.F.)
fX= fNXN
一个L序列fN指数母函数(简而言之,例如:F)
fX= fNXN/N.
如果需要,我们通过编写这些幂级数来指定组。fGXfGX

3.2。循环指数

这两个幂级数都是无穷级数中幂级数的一个特例。修正循环指数,我们现在定义了三个阶段。

如果G是一个置换N循环指数属于G定义为单项

ZG=SCSNCN
不确定的SSN,在哪里CI是多少?I循环分解中的循环G.

现在让G是一组大小上的置换群N. The循环指数 ZG的)G简单地通过求其元素的循环指数并按群的阶除以得到。G.

最后,让G是在(通常为无穷)集上作用的一个寡形置换群X. 这个修正循环指数 ZG得到如下:选择一组轨道的代表G关于有限子集X. 对于每一个这样的有限集,考虑它在其上设置的稳定器在其上引起的置换群。G并计算这个有限置换群的循环指数。然后添加所有这些循环指数。(无限的和是允许的,因为任何给定的单项仅来自固定有限基数集。N并且只有有限的许多轨道代表N-自考虑设置G根据约定俗成,我们将对应于空集的项称为1。因此ZG)是不确定的形式幂级数。SS,….

对我们来说,重要的是以下事实:

4。新老群体

4.1。直接产品

GH集合上的置换群XY分别。这个直接产品 g次h不相交工会的行为X联Y如下:有序对(g,h行动X作为G以及在Y作为H. 我们有以下内容:
Zg次h=ZGZH
此操作对应于物种产品种(见)〔1〕

因此,L序列的指数生成函数g次h通过乘以GH与u序列的一般生成函数相似。序列的运算是卷积和多项式相乘关于u u序列和ExpCopv对于L序列。

特别是直接产品的生产操作。S用它代替U序列普萨姆变换,其项是原序列的部分和,并且用它代替L序列。二项式变换。

直接产品还有另一种作用。产品行动在上X倍Y,在哪里?g,h)地图x,y钇铝石榴石计算这个动作中的轨道要困难得多,甚至不能解决。S时代. (TheNU序列中的项是A04311,一个零矩阵的个数N一个且没有零行或列,即行和列排列;等价地,二部图与N边和没有孤立顶点与指定的二分块。

4.2。花圈产品

再次让GH集合上的置换群XY分别。这个花圈产品 G·WH定义为如下,作为置换群X倍Y它包含一个基群 的函数集YG,函数在哪里f地图(x,yXFYY;和A顶级集团 T一个同构的群H,元素所在H地图(x,yX,YH环的乘积GH是(半直)乘积T.

花圈产品的操作相当于物种替代(或)分区合成物种的:见〔1〕.

L序列G·WH可以从那些GH替代:

fG·WHX=fHfGX- 1)。

然而,没有L序列的公式。G·WH关于那些GH. 修正后的循环指数有这样的公式:

ZG·WHSS,…)ZHZ- 1,Z- 1,…)
在哪里?ZI是从ZGSiJSJ为了所有J.

由此,对于U序列的E.F.G·WH可以从ZH以取代fGXI- 1SI为了所有I(何处)fG是U序列的O.G.F.G

特别地,我们看到对于每个寡形置换群。H有一个操作符(也表示为H关于序列,具有映射U-序列的性质G到那个G·WH对于任何寡形群G. 在所有这些算子下,闭型群的所有u-序列的集合都是封闭的。算子S,和C是算子欧拉使转化CIK分别为。〔4〕详情请参阅。

这些产品有各种形式的标识:例如,

现在我们可以解释为什么这个序列是fN*G)是一个L-序列,事实上,它是群的L序列。SW WRG. SG集上作用XY分别如此SW WRG行动X倍Y. 然后有一个函数来自N-不同元素的元组X倍Y随心所欲N-元组Y将每个有序对映射到它的第二个元素。显然,这种映射保留轨道。此外,自X是无限的,任何N元素的元组Y在于映射的图像。所以

fN*G=fNSW WRG

事实上,这个例子显示了L序列G WR S是吗?斯特灵的变换G代换规则给出了众所周知的公式。

fSW WRGX=fG(e)X- 1)。

U和L序列水渍险A000 000 41(分区)和A000 0110(贝尔数)。

如果SK表示度的有限对称群K然后SKWR水渍险K具有相同的U-序列,因为分区的最大数量是最大的部分。K等于至多分区的数目。K零件然而,它们的L序列不同。K=2,它们是A000 00 85(自逆排列)A000 0 79(两个幂,向右移动一个位置)。另一个有趣的例子是S WR A,其U序列是A000 00 45(斐波那契数)。

另外两个特例值得注意。e表示具有两个元素的集合上的平凡群。然后

花圈的另一个动作就是所谓的花环产品。产品行动关于函数集YX. 除非顶部群是有限的,否则这不是寡形的。

4.3。稳定器

置换群的另一个运算是取一个点的稳定器。G可传递的X,让H表示由元素组成的子群G固定点X属于X作用于不同的点X. 修正后的循环指数H通过将其区分为G关于S. 如果G不是传递函数,则这个导数等于轨道代表集的修改后的循环指数的和。

取导数的运算对应于种属导数物种(见)〔1〕

如果(或很容易直接证明)G为传递函数,得到了点稳定器的L序列。G通过移位序列一个位置左(删除初始1)。这是接线员。.

稳定器的U序列不是由G.

总结:L序列的E.F.S的集合在乘法、置换、(如果第一个项为1)、微分(或左移位)下被封闭。U序列的O.G.F.S的集合在乘法下和在与任何寡形群相关联的序列运算符下被封闭(特别是欧拉使转化运算符)。

4.4。其他结构

这并不意味着耗尽可能的结构,尽管在其他情况下,如何计算L和U序列是不知道的。

如果G是寡形的X然后,由G关于它的任何轨道N-集,N-元组等N是寡形的。对于一个具体的例子,让G=S,无限对称群,在2-集上的作用。任何一组N2-集可以看作图的边,其顶点集是图的并集。N对(使得图没有孤立顶点)。N当且仅当图是同构的时,集合位于同一轨道上。SO序列A000 0664图的计数N边缘和没有孤立的顶点,是U序列。

5。群与枚举

现在我们提出最灵活的构造寡形群的方法,即FRA-Syes定理。

5.1。均匀结构

群是某些结构的自同构群,我们可以这样做。关系结构那就是地面上各种各样的关系集合X. 诸如图和偏序的结构可以用一个二元关系来描述,但一般来说,我们不限制关系的性质,也允许无限数量的关系。诱导子结构关于子集上的关系结构Y它的域是通过限制所有关系来获得的。Y.

一种结构域上X同种类的如果它具有以下性质:有限诱导子结构之间的任何同构可推广到α的自同构.

这个年龄关系结构的是所有可嵌入的有限关系结构的类吗?作为诱导子结构(即同构)到诱导子结构

现在重点观察如下:

是一个同构的关系结构,G它的自同构群。然后是U序列和L序列G在年龄上分别列举未标记和标记的结构。.
也就是说,fNG)未标记的个数N嵌入的元素结构我们把结构归为同构。fNG)是标记的个数。N嵌入的元素结构这是结构域{ 1, 2,…N}是可嵌入的.

这个应用解释了术语“U序列”和“L序列”。

5.2。弗拉-西塞定理

现在重要的是知道:哪些枚举问题出现在这种方式?也就是说,我们如何认识同质关系结构的时代?这个问题是由弗拉-西塞定理
定理。一个班K有限关系结构是一个可数的齐次关系结构的年龄,当且仅当它满足以下四个条件时:如果这些条件成立,那么可数同构结构的年龄是K是唯一的同构。
班级K融合特性如果下列情况成立:
无论何时结构是否在KfI是嵌入的进入之内II=1, 2,则存在结构C进入K和嵌入GI属于I进入CI= 1, 2这样Gf=Gf.
实际上,这意味着两个具有共同子结构的结构可以沿着公共子结构粘合在一起。

在大多数情况下,前三个条件是自动的。事实上,在寡形群的情况下,我们将有更强的条件:N元素结构(到同构)是有限的N.

满足Fray-See定理的一类有限结构称为弗拉西塞斯班. 因此,在任意FrasysSe类中列举未标记和标记的结构的序列分别为U和L序列。相反,它可以被显示比任何U或L序列计数结构在一些FrasysSS类。

小组S由有限集合的FRA yiSSe类生成,没有结构,从有限线性序集的类。

对于一个不太简单的例子,有限图类是一个FrasysSS类,相应的齐次结构是所谓的。可数随机图(见〔6〕. 对应的u-和L-序列是A000 00 88A000 6125分别。还有更多的例子。

如果传递群G与Fra IysSS类相关K然后点稳定器G与“根”类相关联。K-结构”(即:K-结构的区别点,计数的非区别点的数量)。

5.3。循环指数

如果G是一个同构结构的自同构群,它具有一个FRAK然后,修正的循环指数G与…有关K如下:这种枚举方法与乔亚尔有关。〔7〕也见〔1〕.

5.4。强融合

在合并属性中,我们允许当我们将两种结构粘合在一起时,重叠大于预期。我们说那个班级K强融合性质如果有可能进行合并,以使没有额外的点被粘在一起。形式上,就我们而言陈述关于合并属性,我们要求如下:
如果G=G),对于一些元素属于然后,存在一个元素进入这样f=f=.

现在假设我们有两个FrasiSess类KL两者具有较强的融合性。K和L表示包含两个A的有限集类。K-结构与ANL-结构(独立)。然后K和L也具有较强的融合性。

注意标号的个数N元素结构K和L是数字中的乘积KL因此,如果强合并性质成立,则L序列可以逐项相乘。由于自同构的可能存在,U-序列的位置并不是那么简单。

从这个构造中,我们得到如下结果.

G是一个与FRA MysSS类相关的寡形群K具有较强的融合性。然后有一个寡形群G*其U序列是L序列的G.
我们采取G*成为与Fra IysSe类相关的群K和L在哪里L是线性阶的类。

这表明许多L序列也是U序列。

对强融合性质进行了群论检验。如果G与FRA IsSe类相关K然后K当且仅当稳定器在G任何有限数目的点都没有额外的不动点。

6。逆欧拉变换

这个欧拉变换,以及与群相关S做几个其他的工作。其中的一个问题是分次代数。如果在一个齐次代数族中是一个次多项式代数(只有每个度的有限多个),然后给出了齐次分量的维数的序列。欧拉序列计数发生器的逐级变换。

每一个寡形置换群G我们可以把一个分次代数联系起来。G,具有其维的性质N均质组分fNG(详见〔3〕〔5〕在某些情况下,G可以证明是一个多项式代数。G与一个具有“连通性好概念”的ωFRA yaysSS类(如图)相关,多项式发生器对应于连接结构。

这里是多项式问题的一些积极结果的总结。

这个过程可以颠倒过来。如果逆欧拉变换欧拉里fNGN)是一个“熟悉”的序列(一个在百科全书中列出),我们可能会怀疑G是一个多项式代数,并试图通过将发生器与由Y计数的对象相联系来证明这一点。N

线性有序集N它的颜色是红色和蓝色,可以用一个单词来识别。N超过2字母的字母表。任何这样的词都可以被唯一地写为林顿词的乘积(那些在词典编纂顺序上小于其循环移位的词),表明欧拉里2次幂序列的变换是序列计数林顿词。这个序列是A000 1037,它还计算具有两个颜色珠的项链,它们没有旋转对称性,或者GF(2)上的不可约多项式。这是众所周知的(见)〔5〕至少有一组G它的u-序列是幂2的序列,代数G是多项式。

以同样的方式,序列A000 00 45(斐波那契数)计数词无重复如果我们把这个序列右移一个地方,我们可以假设这个词并没有结束。. 这样一个词本身的林顿因素没有两个重复。S,因此对应于项链没有连续两个红色珠(不包括项链只有一个红色珠),这是按顺序计数的。A000 6206.

这里有三个相关的问题G不知道是一个多项式代数。

7。实例列表

示例列表将保存在单独文件并将定期更新。

8。致谢

我非常感谢Christian G. Bower的许多有益的评论(和一些额外的例子)。

9。推荐信

  1. F. Bergeron,G. Labelle和P. Leroux, 组合树种与树状结构数学百科全书及其应用六十七,剑桥大学出版社,剑桥,1998。
  2. M. Bernstein和N.J.A.斯隆,一些典型的整数序列,线性代数及其应用 226/228(1995),57.72后记PDF]
  3. P. J. Cameron 寡形置换群伦敦数学学会演讲笔记一百五十二,剑桥大学出版社,剑桥,1990。
  4. P. J. Cameron群的序列算子,线性代数及其应用 226/228(1995),109—113。
  5. P. J. Cameron关于群体和序列的故事,设计、代码、密码学 (1996),109~134。
  6. P. J. Cameron随机图,pp.33~351Paul Erd·奥斯的数学(R. L. Graham和J. Nesetril),Springer,柏林,1997。
  7. A. Joyal统一的形式,数学. 四十二(1981),1-82.
  8. H. D. Macpherson无穷置换群在集的无序子集上的作用PROC伦敦数学。SOC。(3)四十六(1983),71-48。
  9. C. L. Mallows和N.J.A.斯隆,两个图,交换类和Euler图在数量上是相等的,暹罗J.APPL数学 二十八(1975),86-880。
  10. F. Merola毕业论文,巴勒莫大学,1999。


1999年9月2日收到;2000年1月4日修订版。


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