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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A161739号 RSEG2三角形。 12
1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 4, 1, 0, 0, 13, 10, 1, 0, -4, 30, 73, 20, 1, 0, 0, -14, 425, 273, 35, 1, 0, 120, -504, 1561, 3008, 798, 56, 1, 0, 0, 736, -2856, 25809, 14572, 1974, 84, 1, 0, -12096, 44640, -73520, 125580, 218769, 55060, 4326, 120, 1 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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EG2[2*m,n]矩阵系数被引入A008955号我们发现EG2[2m,n]=Sum_{k=1..n}(-1)^(k+n)*t1(n-1,k-1)*2*eta(2*m-2*n+2*k)/((n-1)!)^2,t1(n,m)为中心阶乘数A008955号eta(m)=(1-2^(1-m))*zeta(m),其中eta(米)是Dirichlet eta函数,zeta(米)则是Riemann zeta函数。
定义这些矩阵系数的另一种方法是EG2[2*m,n]=(1/m)*Sum_{k=0..m-1}ZETA(2*m-2*k,n-1)*EG2[2xk,n],其中ZETA(2*m,n-1。。。,并且n=1,2,3。
我们为p=-2,-1,0,1,…定义了EG2矩阵rs(2*m,p)=Sum{n>=1}(n^p)*EG2(2*m,n)的行和。。。且m>=p+2。我们发现rs(2*m,p=-2)=2*eta(2*m+2)=(1-2^(1-(2*m2)))*zeta(2*m+2)。此公式与其他rs(2*m,p)公式非常不同,请参见示例。
行生成器RGEG2(z,2*m)关于z=0的级数展开导致EG2[2*m,n]系数,而关于z=1的级数展开则导致ZG1[2*m-1,n]参数,请参见公式。
第一个Maple程序给出了三角形系数。将第二个程序添加到第一个程序中,可以获得有关行总和rs(2*m,p)的信息。
右侧列的a(n)公式与序列相关A036283号,另请参见A161740号A161741号.
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。,数学函数手册,国家标准局,应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年,第23章,第811-812页。
J.W.Meijer和N.H.G.Baken,指数积分分布《统计与概率快报》,第5卷,第3期,1987年4月。第209-211页。
配方奶粉
RGEG2(2*m,z)=和{n>=1}EG2[2*m,n]*z^(n-1)=积分{y=0..oo}(2*y)^(2*m)/(2*米)!)*当m>=0时,cosh(y)/(cosh(y)^2-z)^(3/2)。
EG2[2*m,n]=和{k=1..n}(-1)^(k+n)*A008955号(n-1,k-1)*2*eta(2*m-2*n+2*k)/((n-1)!)^2
ZG1[2*m-1,p+1]=和{j=0..p}(-1)^j*A008955号(p,j)*zeta(2*m-(2*p+1-2*j))/r(p),其中r(p)=p*(p+1)/2和p>=0。
rs(2*m,p)=和{k=0..p}A028246号(p+1,k+1)*ZG1[2*m-1,k+1]且p>=0;p<=m-2。
rs(2*m,p)=和{k=0..p+1}A161739号(p+1,k)*zeta(2*m+1-2*k)/q(p+1),其中q(p+1)=(p+1)/2,p>=-1;p<=m-2。
发件人彼得·巴拉,2022年3月19日:(开始)
似乎第k行多项式(索引从k=1开始)是由R(k,n^2)=(k-1)给出的*当n>=1时,求和{i=0..n}(-1)^(n-i)*(i^k)*二项式(n,i)*二项式(n+i,i)/(n+i)。
例如,对于k=6,Maple的SumTools:-求和过程给出5*求和{i=0..n}(-1)^(n-i)*(i^6)*二项式(n,i)*二项式(n+i,i)/(n+i)=-4*n^2+30*n^4+73*n^6+20*n ^8+n^10=R(6,n^2)。(结束)
例子
ZG1[2*m-1,p+1]系数的前几个表达式是:
ZG1[2*m-1,1]=(zeta(2*m-1))/(1/2)
ZG1[2*m-1,2]=(zeta(2*m-3)-zeta(2%m-1))/1
ZG1[2*m-1,3]=(zeta(2*m-5)-5*zeta(2%m-3)+4*zeta
ZG1[2*m-1,4]=(zeta(2*m-7)-14*zeta(2%m-5)+49*zeta
前几个rs(2*m,p)是(m>=p+2)
rs(2*m,p=0)=ZG1[2*m-1,1]
rs(2*m,p=1)=ZG1[2*m-1,1]+ZG1[2*m-1,2]
rs(2*m,p=2)=ZG1[2*m-1,1]+3*ZG1[2*.m-1,2]+2*ZG1[2*m-1,3]
rs(2*m,p=3)=ZG1[2*m-1,1]+7*ZG1[2*.m-1,2]+12*ZG1[2*m-1,3]+6*ZG1[2]
前几个rs(2*m,p)是(m>=p+2)
rs(2*m,p=-1)=zeta(2*m+1)/(1/2)
rs(2*m,p=0)=ζ(2*m-1)/(1/2)
rs(2*m,p=1)=(zeta(2*m-1)+zeta(2%m-3))/1
rs(2*m,p=2)=(zeta(2*m-1)+4*zeta(2%m-3)+zeta(2-m-5))/3
rs(2*m,p=3)=(0*zeta(2*m-1)+13*zeta
RSEG2三角形的前几行是:
[1]
[0, 1]
[0, 1, 1]
[0, 1, 4, 1]
[0, 0, 13, 10, 1]
[0, -4, 30, 73, 20, 1]
MAPLE公司
nmax:=10;对于从0到nmax的n doA008955号(n,0):=1结束do:对于从0到nmax do的nA008955号(n,n):=(n!)^2结束do:对于n从1到nmax,do对于m从1到n-1 doA008955号(n,m):=A008955号(n-1,m-1)*n^2+A008955号(n-1,m)end do:end do:n从1到nmax doA028246号(n,1):=1 od:对于从1到nmax do的nA028246号(n,n):=(n-1)!od:对于n从3到nmax do对于m从2到n-1 doA028246号(n,m):=m*A028246号(n-1,m)+(m-1)*A028246号(n-1,m-1)od:od:对于从0到nmax-2的i,dos(i):=(i+1)/2) *总额(A028246号(i+1,k1+1)*(总和((-1)^(j)*A008955号(k1,j)*2*x^(2*nmax-(2*k1+1-2*j)),j=0..k1)/(k1!*(k1+1)!)),k1=0..i)od:a(0,0):=1:对于n从1到nmax-1,do对于m从0到n,do a(n,m):=系数(s(n-1),x,2*nmax-1-2*m+2)od:od:seq(seq(a(n),m=0..n),n=0..nmax-1);对于从0到nmax-1的n,做seq(a(n,m),m=0..n)od;
m: =7:行:=2*m;rs(2*m,-2):=2*eta(2*m+2);对于从-1到m-2的p,做q(p+1):=(p+1/2od:对于p从-1到m-2dors(2*m,p):=总和(a(p+1,k)*zeta(2*m+1-2*k),k=0..p+1)/q(p+1)od;
交叉参考
A000007号,A129825号,A161742号A161743号是前四个左手列。
A010790号等于2*r(n)和A054977号等于denom(r(n))。
A001710号等于数字(q(n))和A141044号等于denom(q(n))。
A000142号等于行总和。
A008955号是一个中心阶乘数三角形。
A028246号是Worpitzky的三角形。
关键词
容易的,签名,
作者
约翰内斯·梅耶尔&尼科·巴肯(n.h.g.Baken(AT)tudelft.nl),2009年6月18日
扩展
小错误已更正并由编辑约翰内斯·梅耶尔2012年9月22日
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月28日12:26。包含371254个序列。(在oeis4上运行。)