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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000165号 偶数双阶乘:(2n)!!=2^n*n!。
(原M1878 N0742)
207
1、2、8、48、384、3840、46080、645120、10321920、185794560、3715891200、81749606400、1961990553600、51011754393600、1428329123020800、4284987369062400、1371195958099968000、466206275398912000、1678343852714360832000、63777066403145711616000 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,2个

评论

a(n)也是n维超立方体的图(边图)的自同构群的大小,也是超立方体的几何自同构群的大小。这个群是S u n对初等交换群(Cˉ2)^n的扩展(Cˉ2是两个元素的循环群,Sˉn是对称群).Avi Peretz(njk(AT)netvision.net.il),2001年2月21日

然后a(n)出现在幂级数中:sqrt(1+sin(y))=Sum{n>=0}(-1)^ floor(n/2)*y^(n)/a(n)和sqrt((1+cos(y))/2)=Sum{n>=0}(-1)^n*y^(2n)/a(2n)。-贝诺伊特·克罗伊特2002年2月2日

似乎是A001907型. 看到了吗A075271号. -约翰·W·外行2002年9月28日

项为0,+-1的n×n单项式矩阵的个数。

a(n)=A001044型(n)/A000142号(n)*A000079号(n) =乘积{i=0..n-1}(2*i+2)=2^n*Pochhammer(1,n)。-Daniel Dockery(pertius(AT)gmail.com),2003年6月13日

还有线性有符号阶数。

将“降级”定义为排列d,它将置换p中的项按降序排列。此注释涉及的是等于其双重降级的排列。具有此性质的2n阶置换数与2n+1阶置换数相等。a(n)=2n阶和2n+1阶双降级置换数。-尤金·麦克唐纳(eemcd(AT)mac.com),2003年10月27日

a(n)=(整数{x=0..Pi/2}cos(x)^(2*n+1)dx),其中分母是b(n)=(2*n)!/(n!*2^n)。-Al Hakanson(hawkuu(AT)excite.com),2004年3月2日

1+(1/2)x-(1/8)x^2-(1/48)x^3+(1/384)x ^4+。。。=sqrt(1+sin(x))。

a(n)*(-1)^n=arctan(x)的(n+1)阶导数的导项系数,见Hildebrand link。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年1月14日

a(n)是斜对称2nx2n矩阵的pfaffan,其(i,j)项是j,因为i<j-大卫·凯伦2006年9月25日

a(n)是具有n+1条边的递增平面树的数目。(在平面树中,根的每个子树都是有序树,但根的子树可以循环旋转。)增加意味着顶点被标记为0,1,2,…,n+1,并且每个子节点的标签比其父节点大。囊性纤维变性。A001147号为了增加有序树,A000142号增加无序树木和A000111号增加0-1-2棵树。-大卫·凯伦2006年12月22日

Hamed-Hatami和Pooya-Hatami证明了这是C{2n+1}^n中任何极小控制集的基数的上界,它是大小为2n+1的循环的n个副本的笛卡尔积,其中2n+1是素数。-乔纳森·沃斯·波斯特2007年1月3日

此序列和(1,-2,0,0,0,…)在列表分区转换和中描述的相关操作下形成一对倒数对A133314号. -汤姆·科普兰2007年10月29日

a(n)=多集{1,1,2,2,…,n,n,n+1,n+1}的置换数,使得在i的两次出现之间,只有一个条目>i,对于i=1,2,…,n。例如:a(2)=8计数121323,131232,213123,231213,232131,312132,323121。证明:两个1之间总是只有一个条目(当n>=1时)。给定a(n)中的置换p(以a(n)计),记录第一个1的位置i,然后删除两个1并从每个条目中减去1,得到a(n-1)中的置换q。映射p->(i,q)是从a(n)到笛卡尔积[1,2n]xa(n-1)的双射。-大卫·凯伦2007年11月29日

行和A028338号. -保罗·巴里2009年2月7日

a(n)是让n对已婚夫妇坐成一排的方法数,这样每个人都挨着他们的配偶。比较A007060号. -杰弗里·克里特2009年3月29日

加里·W·亚当森2009年4月21日开始

等于(-1)^n*(1,1,2,8,48,…)点(1,-3,5,-7,9,…)。

例如:a(4)=384=(1,1,2,8,48)点(1,-3,5,-7,9)=(1,-3,10,-56,432)。(结束)

exp(x/2)=和(n>=0,x^n/a(n))。-詹姆·奥利弗·拉丰2009年9月7日

假设n从0开始,a(n)似乎是n位上的格雷码数。它当然是n比特上与正则码同构的Gray码的个数。证明:每个代码有2^n个不同的起始位置。而且,每一个代码都有一个翻转的位位置的特定模式(例如,n=3的1 2 1 3 1 2 1),这些位位置模式可以在n中排列!方式。-D.J.Schreffler(ds1404(AT)txstate.edu),2010年7月18日

E、 0,1,2,8,。。。是x/(1-2x/(2-2x/(3-8x/(4-8x/(5-18x/(6-18x/(7-)。。。(续分数)。-保罗·巴里2011年1月17日

每边可选择两种颜色的增加的2色树的数量。一般来说,如果我们用k代替2,我们就得到了k色树的数目。例如,对于k=3,我们得到三重阶乘数。-文津沃恩2011年5月31日

a(n)=三角形的行和A193229号. -加里·W·亚当森2011年7月18日

也是2n(或2n+1)的置换数,它们等于它们的逆补数。(见Egge参考资料)注意,前面的注释(McDonnell)中描述的双重降级等同于反向补码。-贾斯汀·M·特罗伊卡2011年8月11日

e.g.f.可用于形成发电机,[1/(1-2x)]d/dx,用于A000108号,所以a(n)可以应用于A145271生成加泰罗尼亚数字。-汤姆·科普兰2011年10月1日

1/a(n)的e.g.f.为贝塞利(0,sqrt(2*x))。参见Abramowitz Stegun(参考和链接A008277号),第375页,9.6.10。-狼牙2012年1月9日

a(n)=具有n个无效系统的2n次最大非正定群的阶(见[Miller],第203页)。-五十、 埃德森·杰弗瑞2012年2月5日

三角形行和A208057号. -加里·W·亚当森2012年2月22日

a(n)是在每个n-置换中指定元素子集的方法数。a(n)=A000142号(n)+A001563号(n)+A001804型(n)+A001805型(n)+A001806型(n)+A001807型(n)+A035038型(n) *n!。-杰弗里·克里特2012年11月8日

对于n>1,a(n)是B型和C型Coxeter群(也称为Weyl群)的顺序-汤姆·埃德加2013年11月5日

对于m>0,k*a(m-1)是k个自由度的卡方概率分布的第m个累积量。-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月27日

带0的a(n)是A120765号. -弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年10月28日

指数自卷积A001147号. -弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2016年10月8日

给出了n阶阶梯图的自同构群的阶数。-埃里克·W·维斯坦2017年7月22日

参考文献

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链接

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M、 斯皮维和斯泰尔,k-二项式变换与Hankel变换,J.积分。顺序。2006年第1卷。

埃里克·韦斯坦的数学世界,双因子

埃里克·韦斯坦的数学世界,自同构

埃里克·韦斯坦的数学世界,阶梯横档图

可除序列索引

与阶乘数相关的序列的索引项

公式

E、 g.f.:1/(1-2*x)。

D-有限,递归a(n)=2*n*a(n-1),n>0,a(0)=1。-保罗·巴里2004年8月26日

这是A001907型. 见Spivey和Steil(2006年)。-迈克尔Z.斯皮维(mspivey(AT)ups.edu),2006年2月26日

a(n)=积分{x>=0}x^n*exp(-x/2)/2 dx。-保罗·巴里2008年1月28日

G、 f.:1/(1-2x/(1-2x/(1-4x/(1-4x/(1-6x/(1-6x/(1-…)。。。。(续分数)。-保罗·巴里2009年2月7日

a(n)=A006882号(2*n)。-R、 J.马萨2009年10月20日

加里·W·亚当森2011年7月18日:(开始)

a(n)=M^n中的左上项,M=乘积矩阵(两倍帕斯卡三角形删除第一个“2”,其余为零;cf。A028326号):

2,2,0,0,0,0。。。

2,4,2,0,0,0。。。

2,6,6,2,0,0。。。

2,8,12,8,2,0。。。

2,10,20,20,10,2。。。

  ... (结束)

谢尔盖·格拉德科夫斯基,2013年4月11日,2013年5月1日,2013年5月24日,2013年9月30日,2013年10月27日:(开始)

连分数:

G、 f.:1+x*(Q(0)-1)/(x+1),其中Q(k)=1+(2*k+2)/(1-x/(x+1/Q(k+1)))。

G、 f.:1/Q(0),其中Q(k)=1+2*k*x-2*x*(k+1)/Q(k+1)。

G、 f.:G(0)/2,其中G(k)=1+1/(1-x*(2*k+2)/(x*(2*k+2)+1/G(k+1)))。

G、 f.:1/Q(0),其中Q(k)=1-x*(4*k+2)-4*x^2*(k+1)^2/Q(k+1)。

G、 f.:R(0),其中R(k)=1-x*(2*k+2)/(x*(2*k+2)-1/(1-x*(2*k+2)/(x*(2*k+2)-1/R(k+1)))。(结束)

(n-1),n-2(n-1),n-2)。-伊万·N·伊纳基耶夫2013年8月6日

彼得·巴拉2015年2月18日:(开始)

递推方程:a(n)=(3*n-1)*a(n-1)-2*(n-1)^2*a(n-2),其中a(1)=2,a(2)=8。

序列b(n)=A068102号(n) 也满足二阶递归。由此得到广义连分式展开式lim{n->inf}b(n)/a(n)=log(2)=1/(2-2/(5-8/(8-18/(11-)。。。-2*(n-1)^2/((3*n-1)……))))。(结束)

阿米拉姆埃尔达2020年6月25日:(开始)

{0(单位:平方米)(A019774号).

和{n>=0)(-1)^n/a(n)=1/sqrt(e)(A092605型). (结束)

例子

以下排列及其倒数都是具有双重降级性质的5阶置换:

0 1 2 3 4

0 3 2 1 4

1 0 2 4 3

1 4 2 0 3

G、 f.=1+2*x+8*x^2+48*x^3+384*x^4+3840*x^5+46080*x^6+645120*x^7+。。。

枫木

A000165号:=proc(n)选项记住;如果n<=1,则1否则n*A000165号(n-2);fi;结束;

ZL:=[S,{a=Atom,b=Atom,S=Prod(X,Sequence(Prod(X,b))),X=序列(b,card>=0)},labeled]:seq(combstruct[count](ZL,size=n),n=0..17)#泽伦瓦拉乔斯2008年3月26日

从x到[1]:n*0(f):x=1(f):差(n=0)#泽伦瓦拉乔斯2009年4月3日

A000165号:=过程(n)双阶乘(2*n);结束过程;序列(A000165号(n) ,n=0..10)#R、 J.马萨2009年10月20日

数学

表[(2 n)!!,{n,20}](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基,2008年12月13日*)

(2范围[0,20])!!(*哈维·P·戴尔2015年1月23日*)

循环表[{a[n]==2n*a[n-1],a[0]==1},a,{n,0,19}](*雷·钱德勒2015年7月30日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=n!<<n\\查尔斯R格雷特豪斯四世2011年2月11日

(PARI){a(n)=生产(k=1,n,2*k)}/*迈克尔·索莫斯2013年1月4日*/

(岩浆)[2^n*阶乘(n):n in[0..105]]//文琴佐·利班迪2011年4月22日

(岩浆)I:=[2,8];[1]类别[n le 2选择I[n]其他(3*n-1)*自我(n-1)-2*(n-1)^2*自我(n-2):n in[1..25]]//文琴佐·利班迪2015年2月19日

(哈斯克尔)

a000165 n=产品[2,4。。2*n]--莱因哈德·祖姆凯勒2015年3月28日

交叉引用

囊性纤维变性。A006882号,A000142号(n!),A001147号((2n-1)!!),A010050型,A0024年,68A0393号,A008544号,A001813号,A047055型,A047657号,A084947号,A084948号,A084949号,A028326号,A193229号,A208057号,A032184号(2^n*(n-1)!),A019774号,A092605型.

此序列给出行和A060187号,和(-1)^n*a(n)交替行和A039757号. 也将总和放入A028338号.

第k列=第2列A329070型.

上下文顺序:A124453号 A211827号 A322339型*A241122型 A109664号 A009812号

相邻序列:A000162号 A000163号 A000164号*A000166号 A000167号 A000168号

关键字

,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年9月28日22:26。包含337420个序列。(运行在oeis4上。)