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| A000165号 |
| 偶数的双阶乘：（2n）！！=2^n*n！。
（原名M1878 N0742）
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224
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1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, 10321920, 185794560, 3715891200, 81749606400, 1961990553600, 51011754393600, 1428329123020800, 42849873690624000, 1371195958099968000, 46620662575398912000, 1678343852714360832000, 63777066403145711616000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.2个
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评论
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a（n）也是n维超立方体的图（边图）的自同构群的大小，也是超立方体形的几何自同构组的大小（这两个群是同构的）。该群是初等阿贝尔群（C_2）^n由S_n的推广。（C_2是具有两个元素的循环群，S_n是对称群。）-Avi Peretz（njk（AT）netvision.net.il），2001年2月21日
然后a（n）出现在幂级数中：sqrt（1+sin（y））=Sum_{n>=0}（-1）^floor（n/2）*y^（n）/a（n）和sqrt-贝诺伊特·克洛伊特2002年2月2日
条目为0，+-1的n×n单项式矩阵的个数。
a（n）=A001044号（n）/A000142号（n）*A000079号（n） =产品{i=0..n-1}（2*i+2）=2^n*Pochhammer（1，n）.-Daniel Dockery（peritus（AT）gmail.com），2003年6月13日
还有线性有符号订单的数量。
将“降级”定义为按降序排列排列p的项目的排列。本说明关注的是那些等于其双重降级的排列。具有此性质的2n阶排列的数目与2n+1阶排列的数相等。a（n）=2n阶和2n+1阶的双降级置换数尤金·麦克唐奈（eemcd（AT）mac.com），2003年10月27日
a（n）=（Integral_{x=0..Pi/2}cos（x）^（2*n+1）dx），其中分母是b（n）＝（2*n）/（n！*2^n）。-Al Hakanson（hawkuu（AT）excite.com），2004年3月2日
1+（1/2）x-（1/8）x ^2-（1/48）x ^3+（1/384）x ^4+…=sqrt（1+sin（x））。
a（n）*（-1）^n=arctan（x）的（n+1）-次导数的前项系数，见Hildebrand链接-莱因哈德·祖姆凯勒2006年1月14日
a（n）是斜对称2n X 2n矩阵的Pfaffian，其（i，j）项是i<j的j-大卫·卡伦2006年9月25日
a（n）是具有n+1个边的递增平面树的数目。（在平面树中，根的每个子树都是有序树，但根的子树可以循环旋转。）增加意味着顶点标记为0,1,2，。。。，n+1，每个子代的标签都比父代大。参见。A001147号对于增加有序树，A000142号增加无序树和A000111号增加0-1-2棵树-大卫·卡伦2006年12月22日
Hamed Hatami和Pooya Hatami证明了这是C_{2n+1}^n中任何最小支配集的基数的上界，C_{2n+1}^n是2n+1大小循环的n个副本的笛卡尔积，其中2n+1是素数-乔纳森·沃斯邮报2007年1月3日
a（n）=多集{1,1,2,2，…，n，n，n+1，n+1}的置换数，使得在i的两次出现之间，正好有一个条目>i，因为i=1,2，。。。，n.示例：a（2）=8计数121323、131232、213123、231213、232131、312132、321312、323121。证明：两个1s之间总是只有一个条目（当n>=1时）。给定a（n）中的一个置换p（以a（n）计），记录第一个1的位置i，然后删除这两个1s，并从每个条目中减去1，得到a（n-1）中的置换q。映射p->（i，q）是从a（n）到笛卡尔积[1,2n]X a（n-1）的双射-大卫·卡伦2007年11月29日
等于（-1）^n*（1，1，2，8，48，…）点（1，-3，5，-7，9，…）。
例如：a（4）=384=（1，1，2，8，48）点（1，-3，5，-7，9）=（1、-3，10，-56，432）。（结束）
exp（x/2）=总和（n>=0，x^n/a（n））-杰姆·奥利弗·拉丰2009年9月7日
假设n从0开始，a（n）似乎是n位上的格雷码数。它当然是n个比特上的格雷码的数量同构于规范的格雷码。证明：每个代码有2^n个不同的起始位置。此外，每个代码都有一个被翻转的位位置的特定模式（例如，1 2 1 3 1 2 1表示n=3），这些位位置模式可以用n！方式。-D.J.Schreffler（ds1404（AT）txstate.edu），2010年7月18日
例如，0,1,2,8，。。。是x/（1-2x/（2-2x/（3-8x/（4-8x/-保罗·巴里2011年1月17日
为每条边选择两种颜色的增加的双色树的数量。一般来说，如果我们用k替换2，我们会得到增加的k色树的数量。例如，对于k=3，我们得到了三阶阶乘数-文锦Woan2011年5月31日
另外，2n（或2n+1）的置换数等于它们的反向补足数。（参见Egge参考。）请注意，上述评论（McDonnell）中描述的双重降级等同于反向补足-贾斯汀·特洛伊卡2011年8月11日
1/a（n）的示例f.是BesselI（0，sqrt（2*x））。参见Abramowitz-Stegun（参考和链接A008277号)第375页，9.6.10-沃尔夫迪特·朗，2012年1月9日
a（n）=具有n个不纯正系统的最大不纯正组的阶数2n（见[Miller]，第203页）-L.埃德森·杰弗里2012年2月5日
对于n>1，a（n）是B_n和C_n型Coxeter群（也称为Weyl群）的阶-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于m>0，k*a（m-1）是k个自由度的卡方概率分布的第m个累积量-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月27日
a（n）是群O_n（Z）={a在M_n（Z）中的阶：a*a^T=I_n}，整数上的nXn正交矩阵的群-宋嘉宁2021年3月29日
a（n）是使用左石和两种骨头瓦解a（3n，3n）-苯或a（3n+1,3n+2）-苯的方法数；参见下文Defant等人-詹姆斯·普罗普2023年7月22日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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伊莎贝尔·卡桑、赫尔穆斯·马洛内克、玛丽亚·艾琳·法尔坎奥和格拉萨·托马兹，多维多项式序列的组合恒等式，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.7.4条。
R.Coquereaux和J.-B.Zuber，地图、沉浸和排列，arXiv预印本arXiv:1507.03163[math.CO]，2015。
Colin Defant、Rupert Li、James Propp和Benjamin Young，通过算盘双射对苯进行分片，arXiv预印本，arXiv:2209.05717[math.CO]，2022。
Eric S.Egge，受限对称置换《Ann.Combin》，第11期（2007年），第405-434页。
乔尔·盖伊和文森特·皮劳，Weyl偏序集的弱序，arXiv:1804.06572[math.CO]，2018年。
Hamed Hatami和Pooya Hatami，素循环笛卡尔积中的完美支配集，arXiv:math/0701018[math.CO]，2006-2009年。
L.C.Larson，本质上不同的非攻击车安排数量，J.重建。数学。，7（1974年第3期），约180-181页。[仅第180和181页的注释扫描]
尤金·麦克唐纳，幻方和排列，APL Quote Quad 7.3（1976年秋季）。
B.E.Meserve，双因子《美国数学月刊》，第55期（1948年），第425-426页。
G.A.米勒，由特殊矩阵构成的群，公牛。阿默尔。数学。《社会学》第24卷（1918年），203-206年。
R.Ondrejka，双阶乘表，数学。公司。，24 (1970), 231.
路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:14063081[math.CO]，2014。
罗宾逊，主教的计数安排，组合数学IV（阿德莱德，1975年），Lect，198-214页。数学笔记。，560 (1976).
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公式
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例如：1/（1-2*x）。
递归的D-有限a（n）=2*n*a（n-1），n>0，a（0）=1-保罗·巴里2004年8月26日
这是的二项式平均变换A001907号参见Spivey和Steil（2006）Michael Z.Spivey（mspivey（AT）ups.edu），2006年2月26日
a（n）=积分{x>=0}x^n*exp（-x/2）/2 dx-保罗·巴里2008年1月28日
G.f.：1/（1-2x/（1-2x/（1-4x/（2-4x/）1-6x/（1-….（续分数））-保罗·巴里2009年2月7日
a（n）=M^n中的左上项，M=生产矩阵（两倍帕斯卡三角形删除第一个“2”，其余为零；cf。A028326号):
2, 2, 0, 0, 0, 0, ...
2, 4, 2, 0, 0, 0, ...
2, 6, 6, 2, 0, 0, ...
2, 8, 12, 8, 2, 0, ...
2, 10, 20, 20, 10, 2, ...
…（结束）
连续分数：
通用系数：1+x*（Q（0）-1）/（x+1），其中Q（k）=1+（2*k+2）/（1-x/（x+1/Q（k+1））。
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1+2*k*x-2*x*（k+1）/Q（k+1）。
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/（x*（2%k+2，+1/G（k+1）））。
G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1-x*（4*k+2）-4*x^2*（k+1）^2/Q（k+1。
G.f.：R（0），其中R（k）=1-x*（2*k+2）/（x*（2*k+2）-1/（1-x*（2*k+2）/（x*（2*k+2）-1/R（k+1）））。（结束）
a（n）=（2n-2）*a（n-2）+（2n-1）*a-伊万·伊纳基耶夫2013年8月6日
递归方程：a（n）=（3*n-1）*a（n-1）-2*（n-1。
序列b（n）=A068102号（n） 也满足这个二阶递推。这导致广义连分式展开极限{n->infinity}b（n）/a（n）=log（2）=1/（2-2/（5-8/（8-18/（11-…-2*（n-1）^2/（（3*n-1）-…））））。（结束）
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=1/sqrt（e）(A092605型). （结束）
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例子
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以下排列及其反转都是具有双重降级性质的5阶排列：
0 1 2 3 4
0 3 2 1 4
1 0 2 4 3
1 4 2 0 3
G.f.=1+2*x+8*x^2+48*x^3+384*x^4+3840*x^5+46080*x^6+645120*x^7+。。。
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MAPLE公司
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ZL:=[S，{a=原子，b=原子，S=Prod（X，序列（Prod（X，b））），X=序列（b，卡>=0）}，标记]：seq（组合结构[计数]（ZL，大小=n），n=0..17）#零入侵拉霍斯2008年3月26日
G（x）：=（1-2*x）^（-1）：f[0]：=G（x）：对于从1到29的n，做f[n]：=diff（f[n-1]，x）od:x:=0:seq（f[n]，n=0..17）#零入侵拉霍斯2009年4月3日
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数学
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递归表[{a[n]==2n*a[n-1]，a[0]==1}，a，{n，0，19}](*雷·钱德勒，2015年7月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=prod（k=1，n，2*k）}/*迈克尔·索莫斯2013年1月4日*/
（岩浆）[2^n*阶乘（n）：[0..105]]中的n//文森佐·利班迪2011年4月22日
（岩浆）I:=[2,8]；[1] cat[n le 2 select I[n]else（3*n-1）*Self（n-1）-2*（n-1）^2*Self（n-2）:n in[1..25]]//文森佐·利班迪2015年2月19日
（哈斯克尔）
（Python）
从数学导入阶乘
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交叉参考
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参见。A006882号,A000142号（n！），A001147号（（2n-1）！！），A010050型,A002454号,A039683号,A008544号,2018年1月13日,A047053号,A047055型,A047058型,A047657美元,A084947号,A084948美元,A084949号,A028326号,A193229号,A208057号,A032184美元（2^n*（n-1）！），A019774号,A092605型.
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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