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问候整数序列的在线百科全书!)
A039 599 由Chebyshev多项式uxn(x)组成的幂级数展开的偶数列的三角形。 一百三十二
1, 1, 1,2, 3, 1,5, 9, 5,1, 14, 28,20, 7, 1,42, 90, 75,35, 9, 1,132, 297, 275,154, 54, 11,1, 429, 1001,1001, 637, 273,77, 13, 1,77, 13, 1,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、4

评论

T(n,k)是从(0,0)到(n,n)的路径数,其中E=(1,0),n=(0,1),但不与线X-Y=K交叉,仅位于这条线之上;例如:T(3,2)=5,因为我们有Enne,EnEn,EeNeN,EnEn,NeeNn。-菲利普德勒姆5月23日2005

这个三角形的矩阵逆是三角矩阵T(n,k)=(- 1)^(n+k)*。A0854 78(n,k)。-菲利普德勒姆5月26日2005

本质上相同A050155除了领先的对角线A000 0108(加泰罗尼亚数字)1, 1, 2,5, 14, 42,132, 429,…-菲利普德勒姆5月31日2005

半长度n的大Dyk路径的数目,并且k向下返回到x轴。(半长n的大Dyk路径是半平面x>=0中的路径,开始于(0,0),结束于(2n,0),并且由步骤u=(1,1)和d=(1,-1)组成。例:T(3,2)=5,因为我们有U(D)UUD(D),UUD(D)U(D),U(D)U(D)DU,U(D)DUU(D)和DUU(D)U(D)(向下返回到X轴之间显示圆括号)。-埃米里埃德奇06五月2006

Riordan数组(C(x),x*c(x)^ 2),其中C(x)是G.F.A000 0108逆阵为(1/(1+x),x/(1+x)^ 2)。-菲利普德勒姆2月12日2007

三角形也可以由M^ n*[1,0,0,0,0,0,0,…]生成,其中M是在主对角线中的1和超对角和[1,2,2,2,2,2,……]中的无限三对角矩阵。-菲利普德勒姆2月26日2007

逆二项式矩阵A127333. 二项式矩阵应用于A089942. -菲利普德勒姆2月26日2007

形状(N+K,N-K)的标准表数。-菲利普德勒姆3月22日2007

菲利普德勒姆,3月30日2007:(开始)

这个三角形是由T(0,0)=1,T(n,k)=0定义的三角形族,如果k<0或k>n,t(n,0)=x*t(n-1,0)+t(n-1,1),t(n,k)=t(n-1,k-1)+y*t(n-1,k)+t(n-1,k+1),对于k>=1。其他三角形通过选择(x,y)不同的值而出现:

(0,0)->A053121;(0,1)->A089942(;0,2)->A126096(;0,3)->A126970

(1,0)->A061554(1,1)->A064 189(1,2)->A039 599(1,3)->A10897

(1,4)->A125676(2,0)->A126075(2,1)->A038 622(2,2)->A030598

(2,3)->A127333(2,4)->A1245(3,0)->A126953(3,1)->A126954

(3,2)->A111418;(3,3)->A091965(3,4)->A1245(4,3)->A1267

(4,4)->A052179(4,5)->A126331(5,5)->A125906. (结束)

表u(n,k)=SuMu{{j,0 <=j<n} t(n,j)*k^ j。A098447. -菲利普德勒姆3月29日2007

序列读取MOD 2给出A127872. -菲利普德勒姆4月12日2007

2n步数从(0,0)到(2n,2k),由步骤u=(1,1)和d=(1,- 1)组成,路径保持在非负象限中。例:T(3,0)=5,因为我们有UUDDD、UUDUD、UDUUD、UUUDD、UUDUDD、T(3 1)=9,因为我们有UuuUDU、UUDUU、UUDUU、UUDUU、UUDUU、UUDUU、UUUUD、UUDUU、T(3,2)=5,因为我们有Uuuuu D、Uuuuu、Uuuuu、Uuuuu、Uuuuu;t(3,3)=1,因为我们有Uuuuu。-菲利普德勒姆,4月16日2007,4月17日2007,4月18日2007

三角矩阵,按行读取,等于三角形的矩阵求逆A129818. -菲利普德勒姆6月19日2007

让Suth{{n>=0 } a(n)*x^ n=(1+x)/(1-mx+x^ 2)=aym的O.G.f,然后SuMu{{k=0…n} t(n,k)*a(k)=(m+2)^ n。A09493A033 99A057078A057077A057079A000 5408A000 28 78A00 1834A030221A000A0338 90A057080A057081AA054 320A09783AA07716A1268 66A08230A161591,分别为M=3,- 2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15。-菲利普德勒姆11月16日2009

KN11、KN12、FI1和FI2三角形和将上面给出的三角形与三个序列连接起来;有关这些三角形和的定义,请参见A180662. -约翰内斯·梅杰4月20日2011

4 ^ n =(第n行项)点(第一n+1奇数整数项)。例:4 ^ 4=256=(14, 28, 20,7, 1)点(1, 3, 5,7, 9)=(14+84+100+49+9)=9。-加里·W·亚当森6月13日2011

n阶方程组由n行定义的线性方程组求解n=2n+1个边的正多边形对角线长度,常数c^ 0,c^ 1,c^ 2,…在右手侧,其中C=2+2*COS(2×PI/N)。示例:取与9Gon(Nangon)相关的前4行,n=2×4+1;C=2 +2*COS(2×PI/9)=3.5320888…方程(1,0,0,0)=1;(1,1,0,0)=C;(2,3,1 0)=C ^ 2;(5,9,5,1)=C ^ 3。解是1,2.53208,2.87938,…和1.87938…,四个不同的对角线长度为9Gon(非角),边=1。(参见A089942它使用类似的操作,但是C=1+2×COS(2×π/9)。加里·W·亚当森9月21日2011

又称为Andrew Lobb之后的Loopb数,是L(m,n)=(2m+1)*二项式(2n,m+n)/(m+n+1),其中n>=m>=0的加泰罗尼亚数的自然推广。对于m=0,我们得到了第n个加泰罗尼亚数。参见参考文献。-贾扬达·巴苏4月30日2013

狼人郎,9月20日2013:(开始)

t(n,k)=A053121(2×N,2×K)。T(n,k)出现在代数数Rho(n)=2×Cs(π/n)=r(n,2)的公式中,以单位圆内刻划的规则n- Gon(长度单位1)的奇数索引对角线/边长比R(n,2×k+1)=S(2*k,ρ(n))为单位。S(n,x)是Chebyshev的S多项式(参见A04310):

ρ(n)^(2×n)=SuMu{{K=0…n} t(n,k)*r(n,2*k+1),n>=0,n=1时相同。一个证据见9月21日2013评论A053121. 注意,这是未缩小的版本,如果r(n,j)具有j>delta(n),代数数ρ(n)的度数(参见A055034)出现。

对于ρ(n)的奇数幂A030598. (结束)

EQN多项式分子的无符号系数2.1的CkravavARTy和KoDaMa论文,定义了多项式A06311. -汤姆·科普兰5月26日2016

推荐信

M. Abramowitz和I. A. Stegun,EDS,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55, 1964(和各种改版),第796页。

T. Myers和L. Shapiro,序列1, 5, 22,93, 386,…的一些应用。对Dyk路径和有序树,国会数,204(2010),93-104。

链接

诺伊,行n=0…50的三角形,扁平化

M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十打印,1972 [替代扫描副本]。

Quang T. Bach,Jeffrey B. Remmel,生成避免连续模式集的置换生成函数,阿西夫:1510.04319(数学,Co),2015(见第25页)。

M. Barnabei,F. Bonetti和M. Silimbani,中心二项系数列举的两类置换类,ARXIV预告ARXIV:1301.1790 [数学,CO],2013和J. Int. Seq。16(2013)×133.8

Paul Barry整数序列上的Calalon变换及相关变换《整数序列》杂志,第8卷(2005),第05.4.5条。

P. Barry,A. Hennessy,Euler-Seel矩阵、Hankel矩阵和矩序列J. Int. Seq。13(2010)×10.2,例15。

Paul Barry关于序列的Hurwitz变换《整数序列》杂志,第15卷(2012),第128页。

P. Barry由连分式展开定义的广义矩的两个矩阵的比较,ARXIV预告ARXIV:1311.7161 [数学,CO],2013和J. Int. Seq。17(2014)×145.1.

Jonathan E. Beagley,Paul Drube,表反转的组合论电子。J.Coubin,22(2015),p2.44。

S. Chakravarty和Y.KoDaMa,KadottSv Ptoviasvigii方程n孤子解的一个生成函数,ARXIV预打印ARXIV:0802.0524v2[nLI.si],2008。

Wun Seng Chou,田晓,彼得·J·S·休伊,关于广义Casalon数的素性J. Int. Seqs,第21卷(2018),第18.2.1页。

Johann Cigler关于纳拉亚纳多项式及其相关问题的初步观察,阿西夫:1611.05252(数学,Co),2016。见第11页。

Paul Drube倒置半标准年表和广义选票数的生成函数,阿西夫:1606.04869(数学,Co),2016。

T.X.他,L. W. Shapiro,Riordan群的Fuas-Calalon矩阵、加权和和稳定子群林,阿尔格。应用程序。532(2017)25-41,例P 32。

Aoife HennessyRiordon阵列的研究及其在连分式、正交多项式和格形路径中的应用Ph. D.论文,沃特福德理工学院,10月2011。

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A. Papoulis拉普拉斯变换反演的一种新方法夸脱。APPL数学14(1957),405-414。[选定页面的注释扫描]

Athanasios Papoulis拉普拉斯变换反演的一种新方法夸脱。APPL数学14405-414(1957):124。[NB:有打字]

J. Riordan弦上2n点对弦的交点分布数学。COMP29(129)(1975)215~222

易东隼和Fei Ma与加泰罗尼亚三角形有关的新二项和《组合数学电子杂志》21(1)(2014),(P1.33)

易东隼和Fei Ma加泰罗尼亚三角上的四次变换,ARXIV预告ARXIV:1305.2017 [数学,CO],2013。

太阳,Yidong;马,Luping一类与加权部分Motzkin路径有关的Riordan阵列的未成年人. 欧元梳子。39,157~169(2014),表2.2。

维基百科洛布数.

W.J.WON,L. Shapiro和G·罗杰斯,Calalon数、勒贝格积分和4 ^ {N-2}阿梅尔。数学月,104(1997),926-931。

盛亮洋,闫妮东和田晓赫,着色MoxKin路径上的矩阵恒等式,离散数学340.12(2017):30813091。

公式

t(n,k)=C(2×n-1,n- k)-c(2×n-1,n-k-2),n>=1,t(0,0)=1。

埃米里埃德奇,五月06日2006:(开始)

t(n,k)=(2×k+ 1)*二项式(2×n,nk)/(n+k+1)。

G.f.:G(t,z)=1(/ 1(1+t)*Z*C),其中C=(1-qRT(1-4*z))/(2×z)是加泰罗尼亚函数。(结束)

下列公式由菲利普德勒姆在2003到2009之间:(开始)

由行读取的三角形t(n,k);由A000 0 12三角洲A000 0 07其中Delta是DeleHAM算子定义的A084938.

t(n,k)=c(2×n,nk)*(2×k+ 1)/(n+k+1)。和(k>=0;t(n,k)*t(m,k)=A000 0108(n+m);A000 0108加泰罗尼亚人的数量。

t(n,0)=A000 0108(n);如果k>n,t(n,k)=0;对于k>0,t(n,k)=SuMu{{j=1…n)t(nj,k-1)*A000 0108(J)。

t(n,k)=A000 97 66(n+k,n- k)=A033 184(n+k+ 1,2k+ 1)。

G.F.对于列k:SuMu{{N>=0 } t(n,k)*x^ n=x^ k*c(x)^(2×k+ 1),其中c(x)=SuMu{{n>=0 }。A000 0108(n)*x^ n是加泰罗尼亚数的G.F.A000 0108.

t(0, 0)=1,t(n,k)=0,如果n<0或n=1,t(n,k)=t(n-1,k-1)+2*t(n-1,k)+t(n-1,k+1)。

a(n)+a(n+1)=1+A000 0108(m+1),如果n=m*(m+1)/ 2;a(n)+a(n+1)=2A030598(n)否则。

t(n,k)=A050165(n,n- k)。

SUMU{{J>=0 } T(N-K,J)*A030598(k,j)=A026364(n,k)。

三角T(n,k)=(- 1)^(n+k)*二项式(n+k,2*k)=(- 1)^(n+k)*的矩阵求逆A0854 78(n,k)。

SuMu{{=0…n} t(n,k)*x^ k=A000 0108(n)A000 0984A(n)A000 7854(n)A076035(n)A076036(n)x=0, 1, 2,3, 4。

SuMu{{K=0…n}(2×k+ 1)*t(n,k)=4 ^ n。

T(n,k)*(- 2)^(N-K)=A114193(n,k)。

SuMu{{K>=H } T(n,k)=二项式(2n,n- h)。

SuMu{{=0…n} t(n,k)* 5 ^ k=A127628(n)。

SuMu{{=0…n} t(n,k)* 7 ^ k=A115970(n)。

t(n,k)=SuMu{{j=0…n-k}A106566(n+k,2×k+j)。

SuMu{{=0…n} t(n,k)* 6 ^ k=A1266(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A000 0108(k)=A000 7852(n+1)。

Suthi{{=0…地板(n/2)} t(nk,k)=A000 0958(n+1)。

SuMu{{=0…n} t(n,k)*(- 1)^ k=A000 0 07(n)。

SuMu{{=0…n} t(n,k)*(- 2)^ k=(- 1)^ n*A064 310(n)。

t(2×n,n)=A12696(n)。

SuMu{{K=0…n} t(n,k)*(-x)^ k=A000 0 07(n)A126983A(n)A126984A(n)A126982A(n)A126986A(n)A1269897(n)A127017(n)A127016(n)A126985(n)A127053(n)分别为x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。

SuMu{{j>=0 } t(n,j)*二项式(j,k)=A116395(n,k)。

t(n,k)=SuMu{{j>=0 }A106566(n,j)*二项式(j,k)。

t(n,k)=SuMu{{j>=0 }A1275(n,j)*A038 207(j,k}。

Suthi{{=0 ..楼层(n/2)}t(nk,k)*A000 0108(k)=A101490(n+1)。

t(n,k)=A053121(2×N,2×K)。

SuMu{{K=0…n} t(n,k)*Sin((2×k+ 1)*x)=正弦(x)*(2×CoS(x))^(2×n)。

t(n,nk)=SuMu{{j>=0 }(-1)^(n- j)*A09438(n,j)*二项式(j,k)。

SUMU{{J>=0 }A10506(n,j)*二项式(j,k)=SUMU{{J>=0 }A10510(n,j)*A038 207(j,k)=t(n,k)* 2 ^(n- k)。

SUMU{{J>=0 }A10518(n,j)*A07465(j,k)=SUMY{{J>=0 }A10519(n,j)*A038 207(j,k)=t(n,k)* 3 ^(n- k)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A000 1045(k)=A049027(n),n>=1。

SuMu{{K=0…n} t(n,k)*a(k)=(m+2)^ n,如果SuMu{{K>=0 } A(k)*x^ k=(1 +x)/(x^ 2-m*x+1)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A04000(k)=A000 1700(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A122553(k)=A051924(n+1)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A12932(k)=A051944(n)。

SuMu{{K=0…n} t(n,k)*k^ 2=A000 0531(n),n>=1。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A000 0217(k)=A000 2457(n-1),n>=1。

求和{{j>=0 }二项式(n,j)*t(j,k)=A127333(n,k)。

SuMu{{=0…n} t(n,k)*x^(n- k)=A000 0 12(n)A000 0984A(n)A089022(n)A035610(n)A13097(n)A13097(n)A13097(n)A13097(n)A130980(n)A131521(n)分别为x=0, 1, 2、3, 4, 5、6, 7, 8、9。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A000 5043(k)=A127632(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A132262(k)=A089022(n)。

t(n,k)+t(n,k+1)=A030598(n,k)。

t(n,k)=A128899(n,k)+A128899(n,k+ 1)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A015518(k)=A076025(n),n>=1。SuMu{{=0…n} t(n,k)*A015521(k)=A076026(n),n>=1。

SuMu{{=0…n} t(n,k)*(- 1)^ k*x^(n- k)=A033 99(n)A000 0 07(n)A064062(n)A10520(n)A13863(n)A13864(n)A13865(n)A13866(n)A13867(n)A1328(n)A13897(n)分别为x=0, 1, 2、3, 4, 5、6, 7, 8、9, 10。

SuMu{{=0…n} t(n,k)*(- 1)^(k+1)*A000 00 45(k)=A109262(n)A000 00 45=斐波那契数。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A000 0 35(k)*A016116(k)=A14364(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A016116(k)=A101850(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A01068(k)=A100320(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A000 00 34(k)=A029 651(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A010366(k)=A144706(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A000 6130(K-1)=A143646(n)A000 6130(- 1)=0。

t(n,2×k)+t(n,2×k+ 1)=A118919(n,k)。

SuMu{{K=0…j}t(n,k)=A050157(n,j)。

SuMu{{K=0…2 } t(n,k)=A026012(n);SUMU{{K=0…3 } t(n,k)=A026029(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A000 00 45(k+2)=A02667(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A000 00 45(k+1)=A026726(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A057078(k)=A000 0 12(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A108411(k)=A155084A(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A057077(k)=2 ^ n=A000 0 79(n)。

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A057079(k)=3 ^ n=A000 0244(n)。

SuMu{{=0…n} t(n,k)*(- 1)^ k*A011782A(k)=A000 0957(n+1)。

(结束)

t(n,k)=Suthi{{j=0…k}二项式(k+j,2j)*(-1)^(k- j)*A000 0108(n+j)。-保罗·巴里2月17日2011

SuMi{{K=0…n} t(n,k)*A071679(k+1)=A02667(n+1)。-菲利普德勒姆,01月2日2014

SuMu{{K=0…n} t(n,k)*(2×k+ 1)^=2(4×n+1)*二项式(2×n,n)。-沃纳舒尔特7月22日2015

SuMu{{=0…n} t(n,k)*(2×k+ 1)^=3(6×n+1)*4 ^ n-沃纳舒尔特7月22日2015

Suthi{{= 0…n}(-1)^ k*t(n,k)*(2×k+1)^(2×m)=0,对于0 A160562-沃纳舒尔特,十二月03日2015

T(n,k)=GeGeNbAuErC(N-K,-N+ 1,-1)- GegenbauerC(N-K-1,-N+ 1,-1)。-彼得卢斯尼5月13日2016

t(n,n-2)=A014107(n)。-马塔尔1月30日2019

T(n,n-3)=n*(2×n-1)*(2×n-5)/3。-马塔尔1月30日2019

t(n,n-4)=n*(n-1)*(2×n-1)*(2×n-7)/6。-马塔尔1月30日2019

t(n,n-5)=n*(n-1)*(2×n-1)*(2×n-3)*(2×n-9)/30。-马塔尔1月30日2019

例子

三角T(n,k)开始:

n k 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

0:1

1:1、1

2:2、3、1

3:5、9、5、1

4:14 28、20、1、1

5:42 90、75、35、9、1

6:132、297、275、154、54、11、1

7:429、1001、1001、637、273、77、13 1

8:1430、3432、3640、2548、1260、440、104 15 1

9:4862、11934、13260、9996、5508、2244、663、135 17 1

重新格式化狼人郎12月21日2015

保罗·巴里,2月17日2011:(开始)

生产矩阵开始

1, 1,

1, 2, 1,

0, 1, 2,1,

0, 0, 1,2, 1,

0, 0, 0,1, 2, 1,

0, 0, 0,0, 1, 2,1,

0, 0, 0、0, 0, 1、2, 1(结束)

狼人郎,9月20日2013:(开始)

Rho(n)=2×CoS(π/N)功率的例子:

n=2:ρ(n)^ 4=2*r(n,1)+3×r(n,3)+1×r(n,5)=

2+3×S(2,ρ(n))+1×S(4,ρ(n)),n>=1。对于n=4(仅具有一个不同对角线的正方形),度δ(4)=2,因此R(4, 3)和R(4, 5)可以减小,即分别为R(4, 1)=1和R(4, 5)=-R(4,1)=-1。因此,ρ(4)^ 4=(2×CoS(π/4))^ 4=2+3—1=4。(结束)

枫树

t=:(n,k)->(2×k+ 1)*二项式(2×n,nk)/(n+k+1):对于n从0到12,做Seq(t(n,k),k=0…n);埃米里埃德奇06五月2006

Mathematica

表[ABS] [表[二项式[ 2,n,n+i ],{i,0,n+2}[] ],{n,0, 7 } / /平坦(*)杰弗里·克里茨12月18日2011*)

连接[{ 1 },平坦[表] [二项式[2n-1,n- k] -二项式[2n-1,n- k- 2],{n,10 },{k,0,n}[] ](*)哈维·P·戴尔12月18日2011*)

平面[二项[ 2×n,m+n] *(2×m+1)/(m+n+1),{n,0, 9 },{m,0,n}〕(*)贾扬达·巴苏4月30日2013*)

黄体脂酮素

L.SEIDEL(SAGE)算法(1877)

打印出三角形的第一行

DEFA039 599三角(n):

D=〔0〕*(n+2);d〔1〕=1

B=真;H=1

对于i在范围内(2×n-1):

如果B:

对于k的值域(h,0,-1):d[k]+=d[k-1 ]

H+=1

其他:

对于k的范围(1,h,1):d[k]+=d[k+2]

如果B:打印[D[Z]为Z(1…H-1)]

B=非B

A039 599三角(10)α彼得卢斯尼01五月2012

(岩浆)/*为三角形*/[ [二项式(2×N,k+n)*(2×k+ 1)/(k+n+1):k在[0…n] ]:n在[0…15)];文森佐·利布兰迪10月16日2015

(PARI)a(n,k)=(2×n+1)/(n+k+ 1)*二项式(2*k,n+k)

三角(n)=(x=0,n-1,为(y=0,x,Prrt1(a(y,x),),));

三角架(10)费利克斯弗罗伊希6月24日2016

交叉裁判

栏目给出:A000 0108 A000 0245 A000 034 A000 0588 A131392 A000 0599 A000 0590A000 0 12 A000 5408 A014107(n>1)

行和:A000 0984A

囊性纤维变性。A000 8313 A030598 A084938 A000 0 07

三角形和(见注释):A000 0958(KN11)A151558(KN12)A08218(FI1,FI2)。

囊性纤维变性。A06311.

语境中的顺序:A055 905 A147703 A14777*A154380 A155083A A011357

相邻序列:A039 596 A039 597 A030598*A09600 A030601 A030602

关键词

诺恩塔布容易

作者

斯隆

扩展

修正的菲利普德勒姆,11月26日2009,12月14日2009

地位

经核准的

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