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| A094638号 |
| 按行读取的三角形：T（n，k）=|s（n，n+1-k）|，其中s（n、k）是第一类有符号的斯特林数A008276号（1<=k<=n；换句话说，第一类无符号斯特林数的顺序相反）。 |
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61
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 6, 11, 6, 1, 10, 35, 50, 24, 1, 15, 85, 225, 274, 120, 1, 21, 175, 735, 1624, 1764, 720, 1, 28, 322, 1960, 6769, 13132, 13068, 5040, 1, 36, 546, 4536, 22449, 67284, 118124, 109584, 40320, 1, 45, 870, 9450, 63273, 269325, 723680, 1172700, 1026576, 362880
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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多项式系数三角形（x+1）（x+2）。。。（x+n），按x的递减幂展开-T.D.诺伊2008年2月22日
T（n，k）是高度为n且具有k列的装饰多柱体的数量。装饰多面体是一种定向柱-凸多面体，其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得。例如：T（2,1）=1和T（2,2）=1，因为高度为2的装饰性多面体是垂直和水平多米诺骨牌，分别有1根和2根柱子-Emeric Deutsch公司2006年8月14日
设三角形U（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0，…]DELTA[1,1,2,3,3,4,5,6，…]给出，其中DELTA是在A084938号; 则T（n，k）=U（n-1，k-1）-菲利普·德尔汉姆2007年1月6日
考虑c（t）=列向量（1，t，t^2，t^3，t^4，t^5，…）。
从1开始，对右侧的每个整数进行采样，我们得到（1,2,3,4,5，…）。并且T*c（1）=（1，1*2，1*2*3，1*2*3*4，…），给出n！对于n>0。将此序列称为右阶乘（n+）！。
从1开始，对左边的每个整数进行采样，我们得到（1,0，-1，-2，-3，-4，-5，…）。T*c（-1）=（1，1*0，1*0*-1，1*0-1*-2，…）=（1,0,0,0，…），左阶乘（n-）！。
每隔一个整数向右取样，我们得到（1,3,5,7,9，…）。T*c（2）=（1，1*3，1*3*5，…）=（1,3,15105945，…），给出A001147号对于n>0，右双阶乘，（n+）！！。
每隔一个整数向左取样，我们得到（1，-1，-3，-5，-7，…）。T*c（-2）=（1,1*-1，1*-1*-3，1*-1-3*-5，…）=（1，-1,3，-15105，-945，…）A001147号，左双阶乘，（n-）！！。
向右每3步取样，我们得到（1,4,7,10，…）。T*c（3）=（1，1*4，1*4*7，…）=（1,4,28280，…），给出A007559号对于n>0，右三阶乘，（n+）！！！。
向左每3步取样，我们得到（1，-2，-5，-8，-11，…），给出T*c（-3）=（1，1*-2，1*-2*-5，1*-2-5*-8A008544号，左三重阶乘，（n-）！！！。
列表分区转换2013年3月14日对于[1，T*c（T）]，给出[1，T*c（-T）]，所有奇数项取反；例如，LPT[1，T*c（2）]=（1，-1，-1，-3，-15，-105，-945，…）=（1-A001147号). 例如，对于[1，T*c（T）]=（1-xt）^（-1/T）。
上述结果适用于任何实数或复数。（结束）
设R_n（x）是Product_{k=0..n}（x+I*k）的实部，I_n（x）是虚部。然后，对于n=1,2，。。。，我们有R_n（x）=Sum_{k=0.floor（（n+1）/2）}（-1）^k*Stirling1（n+1，n+1-2*k）*x^（n+1-2*k），I_n（x）=Sum_{k=0.floor（n/2）}（-1）^（k+1）*Stirling1（n+1，n-2*k）*x^（n-2*k）-米兰Janjic2008年5月11日
T（n，k）也是具有“反射长度”k的n的置换数（即，通过k从12..n获得的置换数不一定是相邻的置换数）。例如，当n=3时，132、213、321是通过一次转置获得的，而231和312需要两次转置-凯尔·彼得森2008年10月15日
[x^（y+1）D]^n=x^。
例如，[x^（y+1）D]^4=x^。
（xD）^m可以根据第二类斯特林数和形式为x^j D^j的算符进一步展开。（End）
偏移量为0时，0<=k<=n:T[n，k）是{1,2，…，n}的每个大小k子集的乘积之和。例如，T（3,2）=11，因为有三个大小为2的子集：{1,2}，{1,3}，}2,3}.1*2+1*3+2*3=11-杰弗里·克雷策2011年2月4日
T（n+1，k+1）是初等对称函数a_k（1,2，…，n），n>=0，k>=0（a_0（0）：=1）。请参阅T.D.诺伊和杰弗里·克雷策上述意见。有关证明，请参阅斯坦利参考，第19页，第二证明-沃尔夫迪特·朗2011年10月24日
设g（t）=1/d（log（P（j+1，-t））/dt（见汤姆·科普兰的2007年公式）。t*Dirac[g（t）]的梅林变换（t到s）给出了求和{n=1..j}n^（-s），当j趋于无穷大时，给出了Re（s）>1的黎曼zeta函数。Dirac（x）是Dirac delta函数。沿着以z=1为中心的半径为1的圆的复轮廓积分给出了相同的结果-汤姆·科普兰2011年12月2日
行是Pochhammer符号的多项式展开式的系数，或上升阶乘，Pch（n，x）=（x+n-1）/（x-1）！。多项式中Pch（n，xD）=Pch（n，Bell（.，：xD:））的展开式，其项为：xD:^k=x^k*D^k，给出了Lah数A008297号Bell（n，x）是无符号Bell多项式或第二类Stirling多项式A008277号. -汤姆·科普兰2014年3月1日
纯辫群上同调的Betti数或维数。见海德和拉加里亚斯链接第12和13页。
行多项式及其乘积出现在R.Stanley的Jack对称函数的表示中。请参阅Witt差动发电机上的Copeland链接。
（结束）
科普兰在公式部分给出的e.g.f.出现在Thm中叶芝量子场论的组合Dyson-Schwinger方程中。第62页的第2页与根树的Hopf代数有关。另见第70页的格林函数。
根据以上注释，此数组包含上升阶乘Pch（n，xD）=（xD+n-1）的Euler多项式展开式或状态数运算符xD中的系数/（xD-1）！=x[：Dx:^n/n！]x^{-1}=L_n^{-1{（-：xD:），其中：Dx:^n=D^n x^n和：xD:^n=x^n D^n。多项式L_n^}是-1阶拉盖尔多项式，即正规化Lah多项式。
Witt微分算子L_n=x^（n+1）D和行例如f.s出现在Foissy提出的Hopf和对偶Hopf代数关系中。对于对偶Hopf代数，Witt算子满足L_nL_k-L_kL_n=（k-n）L_（n+k）。（结束）
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参考文献
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M.Miyata和J.W.Son，《关于置换的复杂性和双射的度量空间》，Tensor，60（1998），第1期，109-116（MR1768839）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，第1卷，剑桥大学出版社，1997年。
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链接
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F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。添加日期：2014年3月1日
F.Bergeron、Philippe Flajolet和Bruno Salvy，增加树木的种类2014年3月1日增补
F.Hivert、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon，二叉搜索树代数，理论计算机科学，339（2005），129-165。
K.Yeats，量子场论的组合观，《斯普林格数学物理简报》，2017年第15卷。
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配方奶粉
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P（n，t）=Sum_{k=0..n-1}t（n，k+1）*t^k=1*（1+t）*（1+2t）。。。（1+（n-1）*t）和P（0，t）=1，exp[P（.，t）*x]=（1-tx）^（-1/t）。T（n，k+1）=（1/k！）（D_T）^k（D_x）^n[（1-tx）^（-1/T）-1]在T=x=0时计算。（1-tx）^（-1/t）-1是当t=m-1时平面多叉树的例子。参见Bergeron等人在“增加树木的种类”中的文章-汤姆·科普兰2007年12月9日
上面的第一条注释和公式被重新表述为行n:Product_{i=0…n}（1+i*x）的o.g.f-杰弗里·克雷策2011年2月4日
带交替符号的第n行多项式是（n-1）x（n-1”矩阵的特征多项式，其中1在超对角线中，（1,2,3，…）在主对角线，其余为零。例如，[1,1,0；0,2,1；0,0,3]的特征多项式是x^3-6*x^2+11*x-6-加里·亚当森，2011年6月28日
例如：A（x，y）=x*y/（1-x*y）^（1+1/y）=Sum_{n>=1，k=1..n}T（n，k）*x^n*y^k/（n-1）-保罗·D·汉娜2011年7月21日
如果F（x，t）=（1-t*x）^（-1/t）-1，例如，对于A094638号当P（0，t）=0时，G（x，t）=[1-（1+x）^（-t）]/t是补偿。因此，H（x，t）=1/（dG（x，t）/dx）=（1+x）^（t+1），
P（n，t）=[（H（x，t）*d/dx）^n]x在x=0时计算；即。，
F（x，t）=exp[x*P（.，t）]=exp[x*H（u，t）*d/du]u，在u=0时计算。
此外，dF（x，t）/dx=H（F（x、t），t）-汤姆·科普兰2011年9月20日
该条目的行多项式是A143491号乘以（1+x）。例如，（1+x）（1+5x+6x^2）=（1+6x+11x^2+6x^3）-汤姆·科普兰2016年12月11日
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例子
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三角形起点：
1；
1, 1;
1, 3, 2;
1, 6, 11, 6;
1, 10, 35, 50, 24;
...
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->abs（斯特林1（n，n+1-k））：对于从1到10的n，do seq（T（n，k），k=1..n）od；#生成三角形形式的序列#Emeric Deutsch公司2006年8月14日
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数学
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表[系数列表[系列[产品[1+i x，{i，n}]，{x，0，20}]，x]，{n，0，6}](*杰弗里·克雷策2011年2月4日*）
表[斯特林S1时的绝对值[n，n-k+1]，{n，10}，{k，n}]//扁平(*迈克尔·德弗利格2015年8月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（n<1||k>n，0，（n-1）！*polceoff（polceof（x*y/（1-x*y+x*O（x^n））^（1+1/y），n，x），k，y））}/*保罗·D·汉娜2011年7月21日*/
（最大值）create_list（abs（stirling1（n+1，n-k+1）），n，0，10，k，0，n）；/*伊曼纽尔·穆纳里尼2012年6月1日*/
（哈斯克尔）
a094638 n k=a094638_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a094638_row n=a094638 _ tabl！！（n-1）
a094638_tabl=地图背面a130534_tabl
（岩浆）[（-1）^（k+1）*StirlingFirst（n，n-k+1）：k in[1..n]，n in[1..10]]//G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
（Sage）[[stirling_number1（n，n-k+1）for k in（1..n）]for n in（1..10）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
（GAP）平面（列表（[1..10]，n->List（[1..n]，k->Stirling1（n，n-k+1）））#G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000108号,A014137号,A001246号,A033536号,A000984号,A094639号,A006134号,A082894号,A002897号,A079727号,A000217号（第2列），A000914年（第3列），A001303号（第4列），A000915号（第5列），A053567号（第6列），A000142号（行总和）。
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关键词
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作者
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扩展
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经核准的
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