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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 000 欧拉函数φ(n):计数数<=n,素数n。
(原M029 9 N0111)
二千七百六十五
1, 1, 2,2, 4, 2,6, 4, 6,4, 10, 4,12, 6, 8,8, 16, 6,18, 8, 12,10, 22, 8,20, 12, 18,12, 28, 8,30, 16, 20,16, 24, 12,16, 24, 12,γ,y,γ,y,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,3

评论

一个简化的剩余系统中元素的模n。

n次割圆多项式的度(CF.)A013595-班诺特回旋曲10月12日2002

n阶n阶根数n的循环群的不同生成器的个数(一个原始的第n根x是这样的,对于k=1, 2,…,n- 1,但x^ n=1,x^ k不等于1)莱克拉吉贝达西3月31日2005

此外,模n的复Dirichlet特征数;SuMu{{=1…n} A(k)是渐近的(3/π2)*n ^ 2。-史提芬芬奇2月16日2006

A(n)是不可约多项式的最高度除以1 +x+x^ 2+…+x^(n-1)=(x^ n-1)/(x-1)。-亚力山大亚当丘克,SEP 02 2006,修正了9月27日2006

A p(p)=p 1为p p(n)为n>2。对于n>2,A(n)/ 2=A023022(n)=n个划分为2个有序相对素数部分的数目。-亚力山大亚当丘克1月25日2007

n阶循环群的自同构数班诺特巨宾,八月09日2008

A(n+2)等于长度n的回文Sturmia词的数目,它是“双音节”、前缀或后缀的两个Sturmia词的长度n+1。-弗莱德伦农,SEP 05 2010

假设A和N是互质正整数,然后利用欧拉的全向定理,n的任何因子除以^φ(n)- 1。-雷周2月28日2012

A(n)=A096966(n)+A096397(n)。-莱因哈德祖姆勒3月24日2012

如果m具有k素因子,(p1,p2,…,pYk),那么φ(m*n)=(乘积{i=1…k}φ(pI i*n))/φ(n)^(k-1)。例如,φ(42×n)=φ(2×n)*φ(3×n)*φ(7×n)/φ(n)^ 2。-加里德莱夫斯4月21日2012

SUMU{{N>=1 } A(n)/n!= 1.954085 3578600 66213144…这个总和在普劳夫的逆变器中被引用。-亚力山大·R·波洛夫茨基,02月2日2013

单位乘法群的模n。米迦勒索摩斯8月27日2013

一个强可除序列,即GCD(a(n),a(m))=a(gCD(n,m)),用于所有正整数n和m。米迦勒索摩斯12月30日2016

埃里克·德斯鲍克斯,01月2017日:(开始)

A(n)等于RAMANUJANG和CN n(n)(第n行三角形的最后一个项)A0545 33

A(n)等于约旦函数JY1(n)(参见)。A000 734A059366A05937,分别是约旦函数JY2、JY3、JY4。(结束)

对于n>1,A(n)似乎等于n的半弯曲解的数目,其中顶拱正好包含2个山脉和2个长度为1的拱。-罗杰·福特10月11日2017

A(n)是一个格的最小尺寸,能够通过切割和投影产生衍射图,其特征为N倍旋转对称。n=15是第一n>1,其中下面的简单定义失败:“A(n)是具有n倍旋转对称的格的最小维数”。-费利克斯闪烁08月11日2017

推荐信

M. Abramowitz和I. A. Stegun,EDS,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55, 1964(和各种改版),第840页。

T. M. Apostol,解析数论导论,Springer Verlag,1976,第24页。

M. Baake与美国格林,非周期性第1卷:数学邀请,数学百科全书及其应用149,剑桥大学出版社,2013:见表3.1和表3.2

L. Comtet,高级组合数学,雷德尔,1974,第193页。

C. W. Curtis,代表理论的先驱……,阿梅尔。数学SOC,1999;参见第3页。

L. E. Dickson,数字理论的历史。卡耐基公共研究所。256,华盛顿特区,第1, 1919卷;第2, 1920卷;第3, 1923卷,参见第1卷,Chapter V.。

S. R. Finch,数学常数,剑桥,2003,pp.115~119。

Carl Friedrich Gauss,《数学难题》,耶鲁大学出版社,1965;见第21页。

Ronald L. Graham,Donald E. Knuth和Oren Patashnik,具体数学,2N-D E.;Addison Wesley,1994,第137页。

G. H. Hardy和E. M. Wright,《数论导论》,第五版,牛津大学出版社,1979,第四版。60, 62, 63、288, 323, 328、330。

Peter Hilton和Jean Pedersen,数学挂毯,展示了美丽的数学统一,剑桥大学出版社,(第261-264页,教练定理)

P. Ribenboim,《黄金数记》新书。

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

链接

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M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册国家标准局应用数学。系列55,第十印刷,1972。

D. Alpern用椭圆曲线法(SigaMy0,SigaMy1和φ函数)进行因式分解

Joerg Arndt事项计算(FXTBook),第39.7节,第77页至第77页

F. Bayart指示人德勒

A. Bogomolny欧拉函数与定理

C. K. Caldwell,主要词汇,欧拉φ函数

R. D. Carmichael对应于φ(m)的给定值的m值表阿梅尔。J.Ma.,30(1908),34-400。[注释扫描的副本]

保罗·埃德斯,Andrew Granville,Carl Pomerance和Claudia Spiro,关于某些算术函数迭代的正规性,解析数论,Bikh Sub用户,波士顿,1990,pp.165-204。

Paul Erdos,Andrew Granville,Carl Pomerance和Claudia Spiro,关于某些算术函数迭代的正规性,解析数论,Bikh Sub用户,波士顿,1990,pp.165-204。[带A数的注释副本]

K. Fordφ(x)=m的解的个数,阿西夫:数学/ 9907204 [数学,NT ],1999。

Kevin Ford,Florian Luca和Pieter Moree,Euler-Pi函数不可由给定奇数整除的值及割圆场的Euler Kronecker常数的分布,阿西夫:1108.3805(数学,NT),2011。

H. Fripertinger欧拉-斐函数

Daniele A. Gewurz和Francesca Merola多形置换群的PARK-向量实现序列J.整数SEQS,第6, 2003卷。

埃雷雷斯-埃雷罗,全能狂欢节迷幻几何斑点

M. Lal和P. Gillard欧拉φ函数表,n<10 ^ 5数学。COMP,23(1969),68—68。

D. N. LehmerDickson数论史述评公牛。埃默。数学SOC,26(1919),125-132。

Peter Luschny与Euler函数相关的序列

Mathforum证明φ(m)是偶数

K. Matthews分解n和计算φ(n)、ω(n)、d(n)、σ(n)和μ(n)

Graeme McRae欧拉函数

Matthew Parker前500万项(7压缩文件压缩)

Carl Pomerance和Hee Sung Yang厄尔多斯关于有理因子函数和的一个定理的变式数学。COMP,出现(2014)。

普里曼用除数列表的n=1到500的欧拉函数值

Marko Riedel组合数学与数论页面。

K. Schneider,PrimeMatth.Org,欧拉-斐函数

西尔皮斯基欧拉的全函数与欧拉定理

U. Sondermann欧拉函数

W. A. Steinφ是一个乘法函数

Pinthira Tangsupphathawat,高雄小松,Vichian Laohakosol,代数余弦值的极小多项式,II,J. Int. Seq,第21卷(2018),第18.9页。

G. Villemin全能德勒

A. de Vries整数的素因子(Eulerφ和Carmichaelλ函数)

K. W. Wegnerφ(x)=n的值从2到1978,手稿,没有日期[注释扫描副本]

Eric W. Weisstein模群:模乘群

Eric W. WeissteinMathWork:莫比乌斯变换

Eric W. WeissteinMathWork:Tothe Tunt函数

维基百科欧拉函数

维基百科整数模n乘法群

维基百科拉马努扬氏和

沃尔夫拉姆研究φ(n)的前50个值

G. Xiao,数值计算器,在“Eulelphi(n)”上显示φ(n)

“核心”序列的索引条目

可分性序列索引

公式

φ(n)=n*乘积{{不同的素数p除以n}(1 - 1 / p)。

SuMu{d除以n}φ(d)=n。

φ(n)=SuMix{d除以n}亩(d)*n/d,即自然数的莫比乌斯变换;Mo()=莫比乌斯函数A000 868()

Dirichlet生成函数SuMu{{N>=1 }φ(n)/n^ s=ζ(s-1)/zeta(s)。SuMu{{N>=1 }φ(n)*x^ n/(1 -x^ n)=x/(1 -x)^ 2。

乘积与(p^ e)=(p 1)*p^(E-1)。-戴维·W·威尔逊,八月01日2001

SUMU{{N>=1 }(φ(n)*log(1 -x^ n)/n)=-x/(1 -x)为-1<x<1(参见A00 2088-亨利·伯顿利11月16日2001

A(n)=二项式(n+1)- SuMu{{i=1…n-1 } A(i)*楼层(n/i)(参见)A000 0217求逆)。-乔恩佩里02三月2004

这是一个经典的结果(对于Landau,1909是已知的),Lin-inf n/phi(n)=1(取n为素数),Lim-Supn/(φ(n)*log(log(n))=e^γ,用Γ=Euler常数(n为从2开始的连续素数乘积,并应用默滕斯定理)。参见RiBoimIM,pp.319-320。- Pieter Moree,9月10日2004

A(n)=SuMu{{i=1…n} k(n,i),其中k(n,i)是KRONECKER符号。A(n)=n-α{{ 1 }=i<n:k(n,i)=0 }。-班诺特回旋曲,八月06日2004宋建宁9月25日2018

猜想:极限SuMu{{I>=2 }(-1)^ i/(I*φ(i))存在,约为0.558。- Orges Leka(OLLKA(AT)学生,UNI美因兹,DE),12月23日2004

恩里克·P·雷兹·埃雷罗,SEP 07 2010:(开始)

A(n)=SuMu{{i=1…n}楼层(SigMaulk(i*n)/SigMaulk(i)*SigMaulk(n)),其中SigaMy2是A000 1157.

A(n)=SuMu{{i=1…n}楼层(Tuuk(i*n)/Tuuik(i)*Tuuik(n)),其中Taue3是A000 725.

A(n)=SuMu{{i=1…n}楼层(rad(i*n)/rad(i)*rad(n)),其中RAD是A000 7947. (结束)

A(n)=A173557(n)*A353557(n)。-马塔尔3月30日2011

φ(p*n)=φ(n)*(底(((n+p 1)mod p)/(p 1))+p - 1),对于素数p。加里德莱夫斯4月21日2012

对于奇n,A(n)=2 *A135303((n-1)/ 2)*A353558((n-1)/ 2)或φ(n)=2*c*k;佩德森等人的教练定理。囊性纤维变性。A135303. -加里·W·亚当森8月15日2012

G.f.:SuMu{{N>=1 }μ(n)*x^ n/(1 -x^ n)^ 2,其中MU(n)=A000 868(n)。-穆穆夸,APR 05 2015

a(n)=n-系数(n)=n-A051953(n)。-奥玛尔·E·波尔5月14日2016

A(n)=Limi{{S->1 } n*zeta(s)*(SuMu{{d)除以n}A000 868(d)/(E^(1/d))^(S-1),n>1。-马格兰维克1月26日2017

猜想:a(n)=SuMu{{a=1…n} SuMu{{b=1…n} SuMu{{C=1…n} 1,n>1。总和在A、B、C之上,使得N*C-A*B=1。-本尼迪克W·J·欧文,APR 03 2017

A(n)=SuMu{{=1…n} GCD(j,n)COS(2×π*J/n)=SUMU{{ j=1…n} GCD(j,n)EXP(2*PI*i*j/n),其中i是虚数单位。注意,RAMANUJANG的总和Cyn(k):= SUMY{{=1…n,GCD(j,n)=1 } EXP(2×PI*i*J*k/n)给出了(n)=SuMu{{K}n} k*Cyn(n/k)(1)=SuMu{{kn} k*Mu(n/k)。-米迦勒索摩斯5月13日2018

G.f.:x*d/dx(x*d/dx(log)(乘积{{k>=1 }(1 -x^ k)^(-Mu(k)/k^ 2))),其中μ(n)=A000 868(n)。-穆穆夸9月20日2018

A(n)=SuMu{{d}n}A000 731(d)。-史提芬福斯特克拉克5月29日2019

例子

gf= x+x^ 2+2×x ^ 3+2×x ^ 4+4×x ^ 5+2×x ^ 6+6×x ^ 7+4×x ^ ^+××^++×*^++…

A(8)=4,{ 1, 3, 5,7 }单元模8。A(10)=4,{ 1, 3, 7,9 }单元模10。-米迦勒索摩斯8月27日2013

枫树

用(纽曼理论):A000 000=φ;[SEQ(φ(n),n=1…100)];

(NUM):φ=PROC(n)局部I,T1,T2;T1:=IFANSTER(n)〔2〕;T2:=N*MUL((1-1/T1[i]〔1〕),i=1…NOPS(T1));结束;α版本2

Mathematica

数组〔Eulelphi,70〕

黄体脂酮素

(公理)[Eulelphi(n)n为1…100 ]

(岩浆)〔Eulelphi(n):n〔1〕100〕;// Sergei Haller(谢尔盖(AT)谢尔盖Halel.de),12月21日2006

(PARI){A(n)= IF(n=0, 0,Eulelphi(n))};/*米迦勒索摩斯,FEB 05 2011*

(圣人)

εEuler-Sphi是SAGE中的标准函数。

DEFA000 000(n):返回Euler-Piphi(n)

DEFA000 000列表(n):返回[Euler-PixPi(i)i在范围(1,n+1)]

JAAP间谍,07月1日2007

{ for(n=1, 100000),写(“b00 00 10.txt”,n,“”,Eulelphi(n));}哈里史密斯4月26日2009

(SAGE)[XrA射界(1, 70)]中的n的Euler-Pi(n)零度拉霍斯,军06 2009

(最大值)马克莱斯特(ToTunt(n),n,0, 1000);/*伊曼纽勒穆纳里尼3月26日2011*

(Haskell)n=长度(滤波器(=1)(MAP(GCD N)〔1…N〕))艾伦·C·韦克斯勒12月29日2014

(蟒蛇)

从理论到理论

在xLead(1, 101)中打印[ i(i)i ]英德拉尼尔-豪什3月17日2017

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 868A000 34 34(达到1的步骤)A000 775A049 108A00 2202(值)。

囊性纤维变性。A000 527(非整数)。反求A000 2181A000 611A05827.

约旦函数JYK(n)是一个泛化-参见A059399A059380(JYK(n))的值的三角形,这个序列(JY1),A000 734(JY2)A059366(JY3)A05937(JY4)A05937(JY5)。

囊性纤维变性。A0545A023022A0545A1345.

三角形的行和A1345A12748A143249A143353A143266.

等于三角形的左右边界A15937. -加里·W·亚当森4月26日2009

素数幂的值p^ e:A000 6063(e=1)A03668(e=2)A135177(e=3)A138403(e=4)A138407(e=5)A138412(e=6)。

完全幂的值n^ e:A00 2618(e=2)A053191(e=3)A18933(e=4)A23 85 33(e=5)A24942A2(e=7)A24944(e=9)。

囊性纤维变性。A353558A135303.

囊性纤维变性。A152455A080737.

语境中的顺序:A080737 A152455 A29 348*A000 39 78 A122645 A122646

相邻序列:A000 0 07 A000 000 08 A000 00 09*A000 0 11 A000 0 12 A000 0 13

关键词

容易核心诺恩穆尔特听到改变

作者

斯隆

地位

经核准的

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最后修改7月22日20:20 EDT 2019。包含325226个序列。(在OEIS4上运行)