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| A000010美元 |
| 欧拉指向函数phi（n）：计数<=n，素数为n。
（原名M0299 N0111）
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3852
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1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 28, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, 36, 18, 24, 16, 40, 12, 42, 20, 24, 22, 46, 16, 42, 20, 32, 24, 52, 18, 40, 24, 36, 28, 58, 16, 60, 30, 36, 32, 48, 20, 66, 32, 44
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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模数为n的约化残渣体系中元素的数量。
n阶循环群的不同生成元的数目。单位的本原n阶根的数目。（本原n次根x是这样的，当k=1，2，…，n-1，但x^n=1时，x^k不等于1。）-Lekraj Beedassy公司2005年3月31日
模n的复Dirichlet字符数；和{k=1..n}a（k）渐近于（3/Pi^2）*n^2-史蒂文·芬奇2006年2月16日
a（n）是不可约多项式除以1+x+x^2+…+的最高阶x^（n-1）=（x^n-1）/（x-1）-亚历山大·阿达姆楚克，2006年9月2日，2006年09月27日更正
素数p的a（p）=p-1。当n>2时，a（n）是偶数。对于n>2，a（n）/2=A023022号（n） =将n划分为2个有序相对素部分的数量-亚历山大·阿达姆楚克2007年1月25日
a（n+2）等于长度为n的斯图尔曼回文单词的数量，这些单词是“双特殊”的，是两个长度为n+1的斯图尔曼单词的前缀或后缀-弗雷德·伦农，2010年9月5日
假设a和n是互质正整数，那么根据欧拉的方向定理，n的任何因子都可以除以aφ（n）-1-雷舟（Lei Zhou）2012年2月28日
如果m有k个素因子（p_1，p_2，…，p_k），那么phi（m*n）=（Product_{i=1..k}phi（p_i*n））/phi（n）^（k-1）。例如，φ（42*n）=φ（2*n）*φ（3*n）*φ（7*n）/φ（n）^2-加里·德特利夫斯2012年4月21日
一个强可除序列，即所有正整数n和m的gcd（A（n），A（m））=A（gcd（n，m））-迈克尔·索莫斯2016年12月30日
a（n）等于Ramanujan和c_n（n）（三角形第n行的最后一项A054533号).
对于n>1，a（n）似乎等于n的半曲折解的数量，其中顶部拱门正好包含2个山脉和2个长度为1的拱门-罗杰·福特2017年10月11日
a（n）是能够通过切割和投影生成衍射图案具有n倍旋转对称性的准晶格的晶格的最小尺寸。在n=15的情况下，第一个n>1的简单定义失败了：“a（n）是n重旋转对称晶格的最小维数”-菲利克斯·弗利克2017年11月8日
第一行按升序排列的n阶循环拉丁方数-爱德华·瓦图丁2020年11月1日
a（n）是有理数p/q>=0的个数（最低项），使得p+q=n-雷米·西格里斯特2021年1月17日
涉及a（n）和某些序列h（n）的Dirichlet卷积的许多OEIS条目的公式可以使用以下公式（n>=1）导出：
求和{d|n}φ（d）*h（n/d）=求和{k=1..n}h（gcd（n，k））[参见P.h.van der Kamp链接]=求和}d|n{h（d）*φ（n/d）=加和{k=1。同样，
求和{d|n}φ（d）*h（d）=求和{k=1..n}h（n/gcd（n，k））=求并{k=1..n}h。
一般来说，
Sum_{d|n}h（d）=Sum_{k=1..n}h（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n，k））=Sum_{k=1..n}h（n/gcd（n，k））/phi（n/gcd（n，k））。
特别是，对于涉及莫比乌斯变换的序列：
求和mu（d）*h（n/d）=求和{k=1..n}h（gcd（n，k））*mu（n/gcd（n，k））/phi=A008683号.
使用gcd（n，k）*lcm（n，k）=n*k和phi（gcd（n，k））*phi（lcm（n，k））=phi（n）*phi（k）提供了进一步的变化。（结束）
产品_｛d|n｝f（n/d）^phi（d）=产品_｛k=1..n｝f（gcd（n，k））=产品_｛d|n｝f（d）^phi（n/d）=产品_｛k=1..n｝f（n/gcd（n，k））^（phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n，k））），
产品{d|n}f（d）^phi（d）=产品{k=1..n}f，
产品{d|n}f（d）=产品{k=1..n}f，
产品{d|n}f（n/d）^mu（d）=产品{k=1..n}f=A008683号.（结束）
a（n+1）是具有正好n个不同子序列的二进制字的数量（当n>0时）-拉多斯瓦夫·扎克2021年11月29日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第840页。
T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第24页。
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L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第193页。
代表理论先驱柯蒂斯。。。，阿默尔。数学。Soc.，1999年；见第3页。
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罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）和奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik），《混凝土数学》。，2n-d版。；Addison-Wesley，1994年，第137页。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第60、62、63、288、323、328、330页。
彼得·希尔顿（Peter Hilton）和让·佩德森（Jean Pedersen），《数学挂毯》（A Mathematical Tapestry），《展示数学的美丽统一》（Demonstrating the Beautiful Unity of Mathematics），剑桥大学出版社，第261-264页，教练定理。
Jean-Marie Monier，《分析》，《演习更正》，2ème anneée MP，Dunod，1997年，演习3.2.21，第281-294页。
P.Ribenboim，《素数记录新书》。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Chris K.Caldwell，主要词汇表，欧拉φ函数
Paul Erdős、Andrew Granville、Carl Pomerance和Claudia Spiro，关于某些算术函数迭代的正规性《解析数论》，伯赫用户波士顿，1990年，第165-204页。
Paul Erdős、Andrew Granville、Carl Pomerance和Claudia Spiro，关于某些算术函数迭代的正规性《解析数论》，伯赫用户波士顿，1990年，第165-204页。[带A编号的注释副本]
凯文·福特，φ（x）的解数=m，arXiv:math/9907204[math.NT]，1999年。
Derrick N.Lehmer，迪克森数字理论史述评，公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》，26（1919），125-132。
J.Barkley Rosser和Lowell Schoenfeld，一些素数函数的近似公式伊利诺伊州J.数学。6（1962年），第1期，64-94。
K.Schneider，欧拉函数，PlanetMath.org。
Pinthira Tangsupphathawat、Takao Komatsu和Vichian Laohakosol，代数余弦值的极小多项式II，J.国际顺序。，第21卷（2018年），第18.9.5条。
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配方奶粉
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φ（n）=n*Product_{不同素数p除以n}（1-1/p）。
和{d除以n}φ（d）=n。
phi（n）=Sum{d除以n}mu（d）*n/d，即自然数的Moebius变换；mu（）=Moebius函数A008683号().
Dirichlet生成函数Sum_{n>=1}phi（n）/n^s=zeta（s-1）/zeta（s）。同时求和{n>=1}φ（n）*x^n/（1-x^n）=x/（1-x）^2。
与a（p^e）相乘=（p-1）*p^（e-1）-大卫·W·威尔逊2001年8月1日
求和{n>=1}（φ（n）*log（1-x^n）/n）=-x/（1-x）for-1<x<1（cf。A002088号) -亨利·博托姆利2001年11月16日
a（n）=二项式（n+1，2）-和{i=1..n-1}a（i）*楼层（n/i）（参见A000217号用于反转）-乔恩·佩里2004年3月2日
这是一个经典的结果（Landau，1909），lim-inf n/phi（n）=1（取n为素数），lim sup n/（phi（n。例如，见Ribenboim，第319-320页彼得·莫雷，2004年9月10日
a（n）=Sum_{i=1..n}|k（n，i）|其中k（n，i）是克罗内克符号。同时a（n）=n-#{1<=i<=n:k（n，i）=0}-贝诺伊特·克洛伊特，2004年8月6日[修订人宋嘉宁2018年9月25日]
猜想：和{i>=2}（-1）^i/（i*phi（i））存在，约为0.558(A335319飞机). - Orges Leka（奥列卡（AT）学生，uni-mainz.de），2004年12月23日
a（n）=总和{i=1..n}层（sigma_k（i*n）/sigma_k（i）*sigma_ k（n）），其中sigma_2是A001157号.
a（n）=和{i=1..n}层（tau_k（i*n）/tau_k（i）*tau_k（n）），其中tau_3为A007425号.
a（n）=总和{i=1..n}楼层（rad（i*n）/rad（i）*rad（n）），其中rad为A007947号.（结束）
φ（p*n）=φ（n）*（floor（（n+p-1）mod p）/（p-1））+p-1，对于素数p-加里·德特利夫斯2012年4月21日
猜想：当n>1时，a（n）=Sum_{a=1..n}Sum__{b=1..n{Sum_}c=1..n*1。总和大于a，b，c，因此n*c-a*b=1-本尼迪克特·欧文2017年4月3日
a（n）=求和{j=1..n}gcd（j，n）cos（2*Pi*j/n）=求和{j=1..n}gcd（j，n）exp（2*Pi*i*j/n），其中i是虚单位。注意，Ramanujan的和c_n（k）：=sum_{j=1..n，gcd（j，n）=1}exp（2*Pi*i*j*k/n）给出了a（n）=sum_{k|n}k*c_（n/k）（1）=sum{k|n}k*mu（n/k）-迈克尔·索莫斯2018年5月13日
G.f.:x*d/dx（x*d/dx（log（Product_{k>=1}（1-x^k）^（-mu（k）/k^2））），其中mu（n）=A008683号（n） ●●●●-马穆卡·吉卜拉泽2018年9月20日
G.f.A（x）满足：A（x）=x/（1-x）^2-Sum_{k>=2}A（x^k）-伊利亚·古特科夫斯基2019年9月6日
a（n）>n/（exp（gamma）*log（log（n）））+5/（2*log-雨果·普福尔特纳2020年6月2日
和{n>=1}1/a（n）^k是收敛的，如果k>1。
a（2n）=a（n）iffn是奇数，a（2n）>a（n。（结束）[实际上，对于偶数n，a（2n）=2*a（n）-宋佳宁2022年9月18日]
对于n>1，Sum_{k=1..n}phi^{（-1）}（n/gcd（n，k））*a（gcd（n，k））/a（n/gcd（n，k））=0，其中phi^{（-1）}=A023900号.
当n>1时，求和{k=1..n}a（gcd（n，k））*mu（rad（n（k）））*rad（gcd。
对于n>1，求和{k=1..n}a（gcd（n，k））*mu（rad（n/gcd（n，k）。
求和{k=1..n}a（gcd（n，k））/a（n/gcd（n，k））=n（结束）
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示例
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G.f.=x+x ^2+2*x ^3+2*x ^4+4*x ^5+2*x^6+6*x ^7+4*x^8+6*x^9+4*x ^10+。。。
a（8）=4，{1,3,5,7}单位模为8。a（10）＝4，其中{1，3，7，9}个单元取10的模-迈克尔·索莫斯2013年8月27日
第一行按升序排列的a（5）=4循环拉丁方为：
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
1 2 3 4 0 2 3 4 0 1 3 4 0 1 2 4 0 1 2 3
2 3 4 0 1 4 0 1 2 3 1 2 3 4 0 3 4 0 1 2
3 4 0 1 2 1 2 3 4 0 4 0 1 2 3 2 3 4 0 1
4 0 1 2 3 3 4 0 1 2 2 3 4 0 1 1 2 3 4 0
（结束）
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：A000010号：=φ；[seq（φ（n），n=1..100）]；#版本1
其中（numtheory）：phi：=proc（n）局部i，t1，t2；t1:=系数（n）[2]；t2：=n*mul（（1-1/t1[i][1]），i=1..nops（t1））；结束；#版本2
#无库功能的替代方案：
A000010列表：=proc（N）local i，j，phi；
φ：=数组（[seq（i，i=1..N+1）]）；
对于i从2到N+1 do
如果φ[i]=i，则
对于j，从i乘i到N+1 do
φ[j]：=φ[j]-iquo（phi[j]，i）od
光纤；
返回φ结束：
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数学
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数组[EulerPhi，70]
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黄体脂酮素
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（Axiom）[eulerPhi（n）表示1..100]中的n
（岩浆）[EulerPhi（n）：n in[1..100]]；//谢尔盖·哈勒（Sergei（AT）Sergei-Haller.de），2006年12月21日
（PARI）{a（n）=如果（n==0，0，eulerphi（n））}/*迈克尔·索莫斯2011年2月5日*/
（鼠尾草）
#euler_phi是Sage中的标准函数。
定义A000010号_list（n）：return[euler_phi（i）for i in range（1，n+1）]
（PARI）{表示（n=1100000，写（“b000010.txt”，n，“”，eulerphi（n））；}\\哈里·史密斯2009年4月26日
（Sage）[euler_phi（n）用于范围（1，70）内的n]#零入侵拉霍斯，2009年6月6日
（Maxima）标记列表（totiten（n），n，0，1000）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月26日*/
（Haskell）a n=长度（过滤器（==1）（映射（gcd n）[1..n]））--艾伦·C·韦克斯勒2014年12月29日
（Python）
从理论意义到实践意义
（Julia）#计算序列的前N项。
函数A0000010列表（N）
φ=[i代表1中的i：N+1]
对于2中的i：N+1
如果φ[i]==i
对于i:i:N+1中的j
φ[j]-=div（φ[j]，i）
端-端-端
返回φ端
println（A000010列表（68））#彼得·卢什尼2023年9月3日
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交叉参考
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经核准的
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