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抵消

0, 2

请注意，当从a（n）^2开始时，第一个n+1和下一个n个连续正方形的序列之间保持相等：a（n。..+（a（n）+n）^2=（a（n）+n+1）^2+（a（m）+n+2）^2+。..+（a（n）+2*n）^2；例如，10^2+11^2+12^2=13^2+14^2。 -亨利·博托姆利2001年1月22日；拼写错误由修复扎克·塞多夫2015年9月10日

a（n）=第二组n个连续偶数之和-第一组n个相邻奇数之和：a（1）=4-1，a（3）=（8+10+12）-（1+3+5）=21。 -阿玛纳斯·穆尔西2002年11月7日

奇数3模4的部分和，即3，3+7，3+7+11。..请参阅A001107号. -乔恩·佩里2004年12月18日

如果Y是（2n+1）-集X的固定3-子集，则a（n）是与Y相交的X的（2n-1）-子集的数目-米兰Janjic2007年10月28日

更一般地说（见第一条注释），对于n>0，设b（n，k）=a（n）+k*（4*n+1）。然后是b（n，k）^2+（b（n、k）+1）^2+。..+（b（n，k）+n）^2=（b（n，k）+n+1+2*k）^2+。..+（b（n，k）+2*n+2*k）^2+k^2；例如，如果n=3和k=2，则b（n，k）=47和47^2+。.. + 50^2 = 55^2 + ... + 57^2 + 2^2. -查理·马里恩2011年1月1日

从0开始，沿0、10、方向读取行，找到序列。..，以及从3开始的直线，在方向3、21、。..，在顶点为三角形数的方形螺旋中A000217号. -奥马尔·波尔2011年11月9日

a（n）是以2n+1为基数的金字塔板中多米诺骨牌的位置数。 -塞萨尔·埃利乌德·洛扎达2012年9月26日

连续两行三角形行和的差异A120070号，即第一个差异A016061号. -J.M.贝戈，2013年6月14日[换句话说，此序列的部分和给出A016061号. -利奥·塔瓦雷斯2021年11月23日]

a（n）*Pi是旋转n次后半圆螺旋的总长度。请参阅链接中的插图。 -基瓦尔·Ngaokrajang2013年11月5日

有关Henry Bottomley第一次评论中的相应金额，请参见A059255号. -扎克·塞多夫2015年9月10日

a（n）还给出了简单李代数B_n（n>=2）和C_n（n>=3）的维数。 -沃尔夫迪特·朗2015年10月21日

当T_（i+1，i）=a（i+1）和下三角矩阵T零的所有其他元素时，T是无符号的无穷小生成器130757英镑，类似于132440英镑用于Pascal矩阵-汤姆·科普兰2015年12月13日

带交替符号的部分平方和，以偶数项结尾：a（n）=0^2-1^2+-。..+（2*n）^2，参见Berselli的示例和公式，2013年。 -M.F.哈斯勒2018年7月3日

另外，数字k具有以下性质：在sigma（k）的对称表示中，最小Dyck路径具有中心峰，最大Dyck道路具有中心谷，n>0。（参见。A237593型.) -奥马尔·波尔，2018年8月28日

a（n）是顶点位于（0,0）、（2*n+1，2*n）和（2*n+1）^2，4*n^2）的三角形的面积。 -阿特·贝克2018年12月12日

该序列是A000217号这样gcd（a（n），2*n）=a（nA033585号（a（n）是偶数）和A033567号（a（n）是奇数）。 -托拉赫·拉什2019年9月9日

以下是哈斯勒评论（2018年7月3日）的概述。设P（k，n）为第n个k次方数。然后，对于k>1，带有交替符号的{P（k，n）}的部分和，以偶数项结束，=n*（（k-2）*n+1）。 -查理·马里恩2021年3月2日

设M_n（H）中的U_n（H）={A：A*A^H=I_n}是四元数上n个Xn酉矩阵的群（A^H是A的共轭转置。注意，通过将A和A^H映射到（2n）X（2n作为实向量空间。基础由{（E）给出_{标准}-E_{ts}），i*（E_{st}+E_{ts}），j*（E_{st}+E_{ts{），k*（E__{st}+E_{ts}）：1<=s<t<=n}U{i*E_{tt}，j*E_{tt}，k*E_{tt}：t=1..n}，其中E_{st{是除（st）-项为1外所有项均为零的矩阵。 -宋嘉宁，2021年4月5日

参考文献

Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第77-78页。（在第77页的积分公式中，余弦参数缺少左括号。）

链接

莱因哈德·祖姆凯勒（Reinhard Zumkeller），n=0..10000时的n，a（n）表

Matthew Cho、Anton Dochtermann、Ryota Inagaki、Suho Oh、Dylan Snustad和Bailee Zacovic，有符号图的芯片触发和临界群，arXiv:2306.09315[math.CO]，2023。见第22页。

罗伯特·费雷奥，插图：偶数阶三角数

郭乃涵，标准拼图的枚举, 2011.[缓存副本]

郭乃涵，标准拼图的枚举，arXiv:2006.14070[math.CO]，2020年。

米兰·扬基克，两个枚举函数巴尼亚卢卡大学（波斯尼亚和黑塞哥维那，2017年）。

恩格拉·梅斯特雷和何塞·阿加皮托，由Riordan阵列序列生成的平方矩阵，J.国际顺序。，第22卷（2019年），第19.8.4条。

Kival Ngaokrajang，半圆螺旋图.

马库斯·谢尔，表明这一点；奇异和产生三角形数，数学堆栈交换。

阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），梅森、费马、库伦、伍达尔等数的群胚及其整数序列表示意大利都灵理工大学（2019年）。

阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚（Amelia Carolina Sparavigna），三角数的广群及相关整数序列的生成意大利都灵理工大学（2019年）。

利奥·塔瓦雷斯，插图：方形六边形.

双向无限序列的索引项

常系数线性递归的索引项，签名（3，-3,1）。

配方奶粉

a（n）=3*Sum_{k=1..n}tan^2（k*Pi/（2*（n+1）））。 -伊格纳西奥·拉罗萨·卡涅斯特罗2001年4月17日

a（n）^2=n*（a（n。..+a（n）+2*n）；例如，10^2=2*（11+12+13+14）。 -查理·马里恩2003年6月15日

发件人N.J.A.斯隆2003年9月13日：（开始）

通用格式：x*（3+x）/（1-x）^3。

例如：exp（x）*（3*x+2*x^2）。

a（n）=A000217号（2*n）=A000384号（-n）。（完）

a（n）=A084849美元（n） -1；A100035号（a（n）+1）=1。 -莱因哈德·祖姆凯勒2004年10月31日

a（n）=A126890型（n，k）+A126890型（n，n-k），0≤k≤n-莱因哈德·祖姆凯勒2006年12月30日

a（2*n）=A033585号（n）；a（3*n）=A144314号（n） ●●●●。 -莱因哈德·祖姆凯勒2008年9月17日

a（n）=a（n-1）+4*n-1（a（0）=0）。 -文森佐·利班迪2010年12月24日

a（n）=和{k=0.2*n}（-1）^k*k^2。 -布鲁诺·贝塞利2013年8月29日

a（n）=A242342号（2*n+1）。 -莱因哈德·祖姆凯勒2014年5月11日

a（n）=和{k=0..2}C（n-2+k，n-2）*C（n+2-k，n），对于n>1。 -J.M.贝戈2014年6月14日

a（n）=楼层（总和{j=（n^2+1）..（（n+1）^2-1）}平方（j））。每个和的分数部分收敛到1/6，即n->无穷大。请参见A247112型对于j^（3/2）上的类似求和序列以及对其他这样的序列的引用。 -理查德·福伯格2014年12月2日

当n>=3时，a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），其中a（0）=0，a（1）=3，a（2）=10。 -哈维·P·戴尔2015年2月10日

Sum_｛n>=1｝1/a（n）=2*（1-对数（2））=0.61370563888010938(A188859号). -瓦茨拉夫·科特索维奇2016年4月27日

发件人沃尔夫迪特·朗2018年4月27日：（开始）

a（n）=三项式（2*n，2）=三项式（2*n，2*（2*n-1）），对于n>=1，带有三项式不规则三角形A027907号；即三项式（n，k）=A027907号（n，k）。

a（n）=（1/Pi）*Integral_{x=0..2}（1/sqrt（4-x^2））*（x^2-1）^（2*n）*R（4*（n-1），x），对于n>=0，R多项式系数在127672英镑，且R（-m，x）=R（m，x）。[见Comtet，第77页，q=3，n->2*n，k=2的积分公式，用x=2*cos（phi）重写。]（结束）

a（n）=A002943号（n） /2。 -拉尔夫·斯坦纳2019年7月23日

a（n）=A000290型（n）+A002378号（n） ●●●●。 -托拉赫·拉什2020年11月2日

a（n）=A003215号（n）-A000290型（n+1）。请参见方形六边形图示。利奥·塔瓦雷斯2021年11月23日

和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/2+log（2）-2。 -阿米拉姆·埃尔达尔2021年11月28日

例子

对于n=6，a（6）=0^2-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2+6^2-7^2+8^2-9^2+10^2-11^2+12^2=78。 -布鲁诺·贝塞利2013年8月29日

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seq（二项式（2*n+1，2），n=0..46）； #零入侵拉霍斯2007年1月21日

数学

表[n*（2*n+1），{n，0，100}](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2008年11月16日*）

线性递归[{3，-3，1}，{0，3，10}，50](*哈维·P·戴尔2015年2月10日*）

系数列表[系列[x*（3+x）/（1-x）^3，｛x，0，50｝]，x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月2日*）