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距离


两点之间的距离是连接它们的路径的长度。在平面上,点之间的距离(x_1,y_1)(x_2,y_2)毕达哥拉斯语定理,

 d=平方((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1))^2)。
(1)

在欧几里德三空间中,点之间的距离(x_1,y_1,z_1)(x2,y2,z2)

 d=平方((x2-x_1)^2+(y_2-y_1)*2+(z_2-z_1)|2)。
(2)

通常,点之间的距离x个年在一个欧几里德空间 R^n(R ^n)由提供

 d=|x-y|=sqrt(总和(i=1)^n|x_i-y_i|^2)。
(3)

对于曲面或更复杂的曲面,所谓的米制的可用于通过积分计算两点之间的距离。当不合格时,“the”距离通常是指最短的两个之间的距离点。例如,上的两点之间有无限多条路径但是,一般来说,只有一条最短的路径。这个最短的两点之间的距离是所谓的测地线的在这些点之间。对于球体,测地线是大圆包含两个点。

γ(t)是一条平滑的曲线歧管 M(M)x个年具有γ(0)=xγ(1)=y.然后t中的伽马^'(t)(伽马(t)),其中T_x(T_x)切线空间属于M(M)x个. The曲线长度属于伽马射线关于黎曼结构由提供

 int_0^1|gamma^'(t)|_(gamma(t))dt,
(4)

和距离d(x,y)之间x个年是之间的最短距离x个年由提供

 d(x,y)=inf(γ:x到y)int |γ^'(t)|(γ(t))dt。
(5)

为了指定的相对距离n> 1个平面上的点,1+2(n-2)=2n-3需要坐标,因为第一个可以始终取(0,0),第二个取(x,0),它定义了x个-轴.剩下的n-2个每个点需要两个坐标。然而,距离的总数为

 (n;2)=1/2n(n-1),
(6)

哪里(n;k)是一个二项式系数.之间的距离n> 1个因此,积分受米关系,其中

米=1/2n(n-1)-(2n-3)
(7)
=1/2(n-2)(n-3)。
(8)

对于n=1, 2, ..., 这给出了0、0、0,1、3,6, 10, 15, 21, 28, ... (组织环境信息系统A000217号)关系,以及n个积分是三角形 T_(n-3).

虽然没有关系n=2n=3点,用于n=4(a)四边形的),有一个(Weinberg 1972):

0=d_(12)^4d_(34)^2+d_(13)^4d(24)^2+d_(14)^4d_(23)^2++d_(23)(41)^2+d_(23)^2d_(34)^2d(42)^2-d_(12)^2d_(23)^2-d_(23)^2d_(31)^2d(14)^2-d_。
(9)

这个方程可以通过写得出

 d(ij)=平方
(10)

并消除x _ iy_j(y_j)从方程式中d(12),d(13),d(14),d(23),d(24),d(34)。这将导致凯莱·门格尔行列式

 0=|0 1 1 1 1; 10d_(12)^2d_(13)^2d(14)^2;1 d_(21)^2 0 d_(23)^2 d_(24)^2;1d(31)^2d(32)^20d(34)^2;1d(41)^2d(42)^2d_(43)^20|,
(11)

正如Uspensky(1948年,第256页)所观察到的那样。


另请参阅

弧长,立方体点拾取,曲线长度,深度,欧几里得公制,欧几里得的空间,膨胀型,测地线,高度,长度,线路生产线拣选,公制,平面距离,点距离(Point Distances),点-线距离--二维,点-线距离--三维,点对点距离--二维,点对点距离--三维,点平面距离,球体,向量范数,宽度

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工具书类

Gray,A.“表面距离的直观概念”,第15.1节现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica,第二版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第341-345页,1997年。新泽西州斯隆。答:。顺序A000217号/M2535英寸“The On-Line整数序列百科全书。"J.V.乌斯彭斯基。理论等式的。纽约:McGraw-Hill,第256页,1948年。温伯格,美国。引力宇宙学:广义相对论的原理和应用。纽约:Wiley,第7页,1972年。

参考Wolfram | Alpha

距离

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“距离”数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Distance.html

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