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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A002378号 长圆形(或promic、pronic或hermocic):a(n)=n*(n+1)。
(原M1581 N0616)
647
0、2、6、12、20、30、42、56、72、90、110、132、156、182、210、240、272、306、342、380、420、462、506、552、600、650、702、756、812、870、930、992、1056、1122、1190、1260、1332、1406、1482、1560、1640、1722、1806、1892、1980、2070、2162、2256、2352、2450、2550 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,2个

评论

4*a(n)+1是奇数平方A016754号(n) 一。

“pronic”(狄克森用的)这个词是不正确的。-迈克尔·索莫斯

根据《韦伯斯特》第二版,正确的词是“promic”。-R、 K.盖伊

a(n)是根格上最小向量的个数(见Conway和Sloane,第109页)。

设Mün表示nxn矩阵M_n(i,j)=(i+j);则M_n的特征多项式为X^(n-2)*(X^2-a(n)*X-A002415(n) )。-贝诺伊特·克罗伊特2002年11月9日

当j<k<=n且n>1时,所有对(j,k)中的最大LCM。-罗伯特·G·威尔逊五世2004年6月19日

第一个差异是a(n+1)-a(n)=2*n+2=2,4,6。。。(而平方的第一个差为(n+1)^2-n^2=2*n+1=1,3,5,…)。-亚历山大瓦恩伯格2005年12月29日

25附加到这些数字对应于以5结尾的数字的平方(即A017329号). -克拉斯比耶2006年3月24日

长度为n+1的循环二进制字的个数,正好出现一次01。例如:a(2)=6,因为我们有001、010、011、100、101和110。第1列,共A119462年. -德国金刚砂2006年5月21日

迭代平方根序列sqrt(N+sqrt(N+…))对于N=1,2,。。。限制(1+sqrt(1+4*N))/2。对于N=a(N),该极限为N+1,N=1,2,。。。。对于所有其他数N,N>=1,此限制不是自然数。示例:n=1,a(1)=2:sqrt(2+sqrt(2+…)=1+1=2;n=2,a(2)=6:sqrt(6+sqrt(6+…)=1+2=3。-狼牙2006年5月5日

可被天花板整除的非正方形整数m(sqrt(m)),m=0除外。-马克斯·阿列克谢耶夫2006年11月27日

(n+1)X(n+1)矩阵的非对角元素的数目。-雅辛斯基2007年1月11日

a(n)等于函数f的个数:{1,2}->{1,2,…,n+1},因此对于{1,2}中的固定x和{1,2,…,n+1}中的固定y,我们有f(x)<>y.-Aleksandar M.Janjic和米兰-扬吉奇2007年3月13日

数m>=0,使四舍五入(sqrt(m+1))-圆数(sqrt(m))=1。-希罗尼穆斯·菲舍尔2007年8月6日

数字m>=0,使得天花板(2*sqrt(m+1))-1=1+地板(2*sqrt(m))。-希罗尼穆斯·菲舍尔2007年8月6日

数字m>=0,使得fract(sqrt(m+1))>1/2,fract(sqrt(m))<1/2,其中fract(x)是小数部分(fract(x)=x-地板(x),x>=0)。-希罗尼穆斯·菲舍尔2007年8月6日

方程解的X值4*X^3+X^2=Y^2。求Y值:b(n)=n(n+1)(2n+1)。-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日

非对称对角线邮编:A132792,无穷小的Lah矩阵,因此由a(n)组成的“广义阶乘”由Lah矩阵的无符号元素给出A111596号例如a(1)*a(2)*a(3)/3!= -A111596号(4,1)=24。-汤姆·科普兰2007年11月20日

如果Y是n集X的2个子集,那么对于n>=2,a(n-2)是X的2个子集和3个子集的数目,其中X与Y有一个相同的元素-米兰-扬吉奇2007年12月28日

a(n)与Redheffer矩阵中等宽抛物线的顶点重合,指向零。整数p是素数当且仅当对于所有整数k,当y=p时抛物线y=kx-x^2没有1<x<k的整数解;a(n)对应奇数k-列库库伦2008年11月30日

超几何函数3F2的某些值的第三个差导致长方形数的平方,即3F2([1,n+1,n+1],[n+2,n+2],z=1)-3*3F2([1,n+2,n+2],[n+3,n+3],z=1)+3*3F2([1,n+3,n+3],[n+4,n+4],z=1)-3F2([1,n+4,n+4],[n+5,n+5],z=1)=(1/((n+2)*(n+3)))^2代表n=-1,0,1,2。另请参见A162990年. -约翰内斯W.梅杰2009年7月21日

a(A007018号(n) )=A007018号(n+1),见顺序A007018号(1,2,6,42,1806,…),即。,A007018号(n+1)=A007018号(n) -长方形数字。-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年9月13日

广义阶乘]=a(n)*a(n-1)*…*a(0)=A010790号(n) ,其中a(0)=1与A001263. -汤姆·科普兰2011年9月21日

对于n>1,a(n)是函数f:{1,2}->{1,…,n+2},其中f(1)>1和f(2)>2。注(1)和(f)有可能值(n+2)。例如,a(3)=12,因为有12个函数f从{1,2}到{1,2,3,4,5},且f(1)>1和f(2)>2。-丹尼斯·沃尔什2011年12月24日

a(n)给出包含两个矩阵的(n+1)X(n+1)对称(0,1)矩阵的个数(见[Cameron])。-五十、 埃德森·杰弗瑞2012年2月18日

a(n)是多米诺骨牌在双腿为n+1的矩形三角形板上的位置数。-塞萨尔·埃利乌德·洛扎达2012年9月26日

a(n)是[n+2]x[n+2]中| x-y |>1的有序对(x,y)的数目。-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日

{1,n的{1,n)是内射函数的个数。-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日

a(n)是2n+2的划分部分的正差之和,正好分成两部分(见示例)。-韦斯利·伊万受伤了2013年6月2日

a(n)/a(n-1)渐近于e^(2/n)。-理查德·R·福伯格2013年6月22日

D{n+1}(n>2})型根系统中的正根数。-汤姆·埃德加2013年11月5日

A型根系统中的根数(n>0)。-汤姆·埃德加2013年11月5日

费利克斯·P·穆加二世2014年3月18日:(开始)

对于m>=1,a(m)是唯一的正整数值t,其中b(0)=0且b(1)=1的递归b(n)=b(n-1)+t*b(n-2)的Binet-de-Moivre公式具有平方根。证明(如狼牙,2014年3月26日):如果4t+1=(2m+1)^2,则特征方程的零点r1和r2中出现的sqrt(1+4t)是正整数t,即t=a(m),m>=1。因此,特征根是整数:r1=m+1和r2=-m。

设m>1为整数。如果b(n)=b(n-1)+a(m)*b(n-2),n>=2,b(0)=0,b(1)=1,则当n接近无穷大时,lim b(n+1)/b(n)=m+1。(结束)

囊性纤维变性。邮编:A130534对于与有色森林的关系,旗杆上旗子的配置,以及完全图的顶点(色多项式)的着色(这里简单地说是k2)。-汤姆·科普兰2014年4月5日

其中n+sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n+sqrt(n+…))。。。是一个整数。-莱斯利·科勒2014年4月11日

a(n-1)是最大的数k,因此(n*k)/(n+k)是整数。-德里克·奥尔2014年5月22日

把多米诺骨牌和单点放在n-2长度的长条上的方法有很多种。-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月9日

对于偏移量1,这似乎给出了n个半径相等的非中心圆之间的最大交叉数。-费利克斯·弗利希2014年7月14日

对于n>1,n值a(1)到a(n)的谐波平均值为n+1。累加调和平均值为整数的递增正整数的最小无穷序列。-伊恩·达夫2015年2月1日

a(n)是在[n+2]X[n+2]棋盘上,一种颜色的皇后可以共存而不攻击对手的一种颜色的皇后的最大数量。孤独女王可以被安置在棋盘周围的任何位置。-鲍勃塞尔科2015年2月7日

当a(0)=1时,a(n-1)是不在序列中的最小正数,使得和{i=1..n}1/a(i-1)的分母等于n-德里克·奥尔2015年6月17日

这个序列的正成员是所谓的1-幸福偶乘积的适当子序列A007969号. 参见W.Lang链接,公式(4),Y_0=1,末尾有一个表。-狼牙2015年9月19日

对于n>0,a(n)是区间[0,1]中x的y=x^(n-1)上方和y=x^n以下的面积的倒数。对所有这些区域求和直观地演示了下面的公式,给出了Sum{n>=1}1/a(n)=1。-瑞克·L·谢泼德2015年10月26日

看来,除了a(0)=0,这是正整数n的集合,因此x*floor(x)=n没有解。(例如,为了得到3,取x=-3/2。)-梅尔文·佩拉尔塔2016年4月14日

如果两个独立的实随机变量x和y按相同的指数分布:pdf(x)=lambda*exp(-lambda*x),lambda>0,则n-1<=x/y<n的概率由1/a(n)给出。-安德烈·西克廷2016年12月3日

a(n)等于n对不同的连续奇数对之间所有可能的差异之和(见示例)。-米克尔·塞尔达2016年12月4日

a(n+1)是多项式系数达n阶的平面向量场空间的维数-马丁·利希特2016年12月4日

似乎a(n)+3是正方形中最大的池塘面积(A268311). -克雷格·克内赫特2017年5月4日

同时给出了(n+3)-三角形蜂巢急性骑士图中的3-圈数。-埃里克·W·维斯坦2017年7月27日

也是(n+2)-轮图的Wiener指数。-埃里克·W·维斯坦2017年9月8日

由偶数组成的弗洛伊德三角形的左边缘:0;2,4;6,8,10;12,14,16,18;20,22,24,26,28。。。给出0,2,6,12,20。。。右边缘生成A028552型. -瓦尔德马尔·普什卡兹2018年2月2日

(n+1)是偏序集上的行运动顺序,通过将一个唯一的最小(或最大)元素邻接到至少两个n个元素链的不相交并得到。-尼克·梅耶斯2018年6月1日

朱哈尼·海诺2019年2月5日:(开始)

n>0时,1/a(n)=n/(n+1)-(n-1)/n。

例如,1/6=2/3-1/2;1/12=3/4-2/3。

其必然结果是:

吃1/2片药。

第二天,吃1/6片。1/2+1/6=2/3,所以你的日平均值是1/3。

第二天,服用1/12片。2/3+1/12=3/4,所以你的日平均值是1/4。

等等。(结束)

伯纳德·肖特2020年5月22日:(开始)

对于一个长方形数m>=6,存在一个欧几里德除法m=d*q+r,q<r<d是几何级数,按这个顺序,有一个公共整数比b。对于b>=2和q>=1,欧几里德除法是m=qb*(qb+1)=qb^2*q+qb,其中(q,qb,qb^2)是几何级数。

一些具有不同比率和商的示例:

1244平方英尺

----- ----- -----

2 | 1,5 | 1,6 | 2,

还有:

42 | 12 420 | 100

----- -----

6 | 3,20 | 4。

一些长方形数也满足欧几里德除法m=d*q+r,q<r<d按此顺序按几何级数排列,但普通非整数比b>1(见A335064型). (结束)

参考文献

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链接

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埃里克·韦斯坦的数学世界,树冠图

埃里克·韦斯坦的数学世界,图形循环

埃里克·韦斯坦的数学世界,Pronic数

埃里克·韦斯坦的数学世界,莱布尼兹调和三角

埃里克·韦斯坦的数学世界,车轮曲线图

埃里克·韦斯坦的数学世界,维纳指数

Wolfram研究所,超几何函数3F2,Wolfram功能站点。

“核心”序列的索引项

常系数线性递归的索引项,签名(3,-3,1)。

克雷格·克内赫特,面积最大的池塘。

公式

G、 f.:2*x/(1-x)^3。-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。

a(n)=a(n-1)+2*n,a(0)=0。

和{n>=1}a(n)=n*(n+1)*(n+2)/3(cf。A007290,部分和)。

和{n>=1}1/a(n)=1。(参见Tijdeman)

和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=log(4)-1=A016627号-1[乔利式(235)]。

1=1/2+和{n>=1}1/[2*a(n)]=1/2+1/4+1/12+1/24+1/40+1/60。。。部分和:1/2,3/4,5/6,7/8,9/10,11/12,13/14。。。-加里·W·亚当森2003年6月16日

a(n)*a(n+1)=a(n*(n+2));例如a(3)*a(4)=12*20=240=a(3*5)。-查理·马里恩2003年12月29日

和{k=1..n}1/a(k)=n/(n+1)。-罗伯特·G·威尔逊五世2005年2月4日

a(n)=A046092型(n) /2。-泽伦瓦拉乔斯2006年1月8日

对数2=Sum{n>=0}1/a(2n+1)=1/2+1/12+1/30+1/56+1/90+。。。=(1-1/2)+(1/3-1/4)+(1/5-1/6)+(1/7-1/8)+。。。=和{n>=0}(-1)^n/(n+1)=A002162. -加里·W·亚当森2003年6月22日

a(n)=A110660号(2*n)。-N、 斯隆2005年9月21日

(不适用)=A000290型(n)-A000027号(n) 对于n>=1。a(n)是A000194号(n) 一。-穆罕默德阿扎里安2007年7月26日

(2,6,12,20,30,…)(2,4,2)的二项式变换。-加里·W·亚当森2007年11月28日

a(n)=2*和{i=0..n}i=2*A000217(n) 一。-雅辛斯基2007年1月9日,以及奥马尔·E·波尔2008年5月14日

a(n)=A006503号(n)-A000292号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2008年9月24日

a(n)=A061037型(4*n)=(n+1/2)^2-1/4=((2n+1)^2-1)/4。-保罗·柯茨2008年10月3日

a(0)=0,a(n)=a(n-1)+1+floor(x),其中x是分形的最小正解(sqrt(a(n-1)+1+x))=1/2。-希罗尼穆斯·菲舍尔2008年12月31日

E、 g.f.:(x+2)*x*扩展(x)。-杰弗里·克里特2009年2月6日

积{i>=2}(1-1/a(i))=-2*sin(Pi)*A001622号)/π=-2*sin(A094886号)/A000796号=2个*邮编:A146481. -R、 J.马萨,2009年3月12日,2009年3月15日

E、 g.f.:(-x+1)*log(-x+1)+x)/x^2也可以是int((-x+1)*log(-x+1)+x^2,x=0..1)=Zeta(2)-1。-斯蒂芬克劳利2009年7月11日

a(n)=楼层((n+1/2)^2)。a(n)=A035608型(牛)+A004526号(n+1)。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月27日

a(n)=2*(2)*A006578号(n)-A035608型(n) )。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月7日

a(n)=楼层(n^5/(n^3+n^2+1)),偏移量为1…a(1)=0。-加里·德特勒夫斯2010年2月11日

对于n>1:a(n)=A173333号(n+1,n-1)。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年2月19日

a(n)=A004202号(A000217(n) )。-莱因哈德·祖姆凯勒2011年2月12日

a(n)=邮编:A188652(2*n+1)+1。-莱因哈德·祖姆凯勒2011年4月13日

对于n>0a(n)=1/(积分{x=0..Pi/2}2*(sin(x))^(2*n-1)*(cos(x))^3)。-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日

a(n)=A002061号(n+1)-1。-奥马尔·E·波尔2011年10月3日

a(0)=0,a(n)=A005408号(A034856号(n) )-A005408号(n-1)。-伊万·N·伊纳基耶夫2012年12月6日

a(n)=A005408号(A000096号(n) )-A005408号(n) 一。-伊万·N·伊纳基耶夫2012年12月7日

a(n)=A001318型(n)+A085787号(n) 一。-奥马尔·E·波尔2013年1月11日

和{n>=1}1/(a(n))^(2s)=和{t=1..2*s}二项式(4*s-t-1,2*s-1)*((1+(-1)^t)*zeta(t)-1)。见Arxiv:1301.6293。-R、 J.马萨2013年2月3日

a(n)^2+a(n+1)^2=2*a((n+1)^2),n>0。-伊万·N·伊纳基耶夫2013年4月8日

a(n)=楼层(n^2*e^(1/n)),a(n-1)=楼层(n^2/e^(1/n))。-理查德·R·福伯格2013年6月22日

a(n)=2*C(n+1,2),对于n>=0。-费利克斯·P·穆加二世2014年3月11日

A005369号(a(n))=1。-莱因哈德·祖姆凯勒2014年7月5日

a(n)==2模(n+2)。-乔恩·佩里2014年8月7日

[0,2,2,0,0,0…]的二项式变换。-海因茨2015年3月10日

a(2n)=A002943号(n) 对于n>=0,a(2n-1)=A002939号(n) 对于n>=1。-M、 哈斯勒2015年10月11日

对于n>0,a(n)=1/(整数{x=0..1}(x^(n-1)-x^n)dx)。-瑞克·L·谢泼德2015年10月26日

a(n)=A005902号(n)-A007588号(n) 一。-彼得·M·切玛2016年1月9日

当n>0时,a(n)=Lim{m->infinity}(1/m)*1/(和{i,m*n..m*(n+1)}1/i^2),误差为~1/m-理查德·R·福伯格2016年7月27日

伊利亚·古特科夫斯基2016年7月28日:(开始)

迪里克莱特g.f.:泽塔(s-2)+泽塔(s-1)。

非负整数的卷积(A001477号)和常数序列(A007395号).

和{n>=0}a(n)/n!=3*经验值(1)。(结束)

查理·马里恩2020年3月6日:(开始)

a(n)*a(n+2k-1)+(n+k)^2=((2n+1)*k+n^2)^2。

(^2NA+2k)*(n+2)。(结束)

例子

a(3)=12,因为2(3)+2=8有4个分区,正好有两个部分:(7,1)、(6,2)、(5,3)、(4,4)。取各分区各部分的正差,相加得到:6+4+2+0=12。-韦斯利·伊万受伤了2013年6月2日

G、 f.=2*x+6*x^2+12*x^3+20*x^4+30*x^5+42*x^6+56*x^7+。。。

a(1)=2,因为45-43=2

a(2)=6,因为47-45=2和47-43=4,那么2+4=6

a(3)=12,因为49-47=2,49-45=4,49-43=6,那么2+4+6=12。-米克尔·塞尔达2016年12月4日

枫木

A002378号:=过程(n)

n*(n+1);

结束过程:

顺序(A002378号(n) ,n=0..100);

数学

表[n(n+1),{n,0,50}](*罗伯特·G·威尔逊五世2004年6月19日*)

oblongQ[n_q]:=IntegerQ@Sqrt[4 n+1];选择[Range[0,2600],oblongQ](*罗伯特·G·威尔逊五世2011年9月29日*)

2累计[范围[0,50]](*哈维·P·戴尔2011年11月11日*)

LinearRecurrence[{3,-3,1},{2,6,12},{0,20}](*埃里克·W·维斯坦2017年7月27日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=n*(n+1)};

(平价)concat(0,Vec(2*x/(1-x)^3+O(x^100)))\\阿尔图阿尔坎2015年10月26日

(PARI)为(n)=my(m=平方(n));m*(m+1)==n\\查尔斯R格雷特豪斯四世2018年11月1日

(哈斯克尔)

a002378 n=n*(n+1)

a002378_list=zipWith(*)[0..][1..]

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年8月27日,2011年10月12日

[n..n]:岩浆[1]//韦斯利·伊万受伤了2015年10月26日

(Scala)(2到100乘2).scanLeft(0)(\u+\//阿隆索·德尔阿尔特2019年9月12日

交叉引用

部分和A005843号(偶数)。两倍三角形数(A000217).

1/β(n,2)英寸A061928号.

囊性纤维变性。A035106号,A087811号,A119462年,邮编:A127235,A049598号,A124080型,A033996年,A028896号,A046092型,A000217,A005563号,A046092型,A001082型,A059300型,A0597年,A059298号,邮编:A166373,A002943号(平分),A002939号(平分),A078358号(补充)。

A036689号是一个子序列。参见表n*(n*k-k+4))/2的编号A226488号. -布鲁诺·贝尔塞利2013年6月10日

第n行=第2行邮编:A185651.

囊性纤维变性。A007745号,邮编:A169810,A213541号,A005369号.

囊性纤维变性。A281026型. -布鲁诺·贝尔塞利2017年1月16日

囊性纤维变性。A045943号(三角形蜂巢锐角骑士图中的4个圈),A028896号(5个循环),邮编:A152773(6个循环)。

方形缓和曲线四个轴上的序列:从0开始:A001107型,A033991号,A007742号,A033954号;从1开始:A054552号,A054556号,A054567号,A033951号.

正方形螺旋线四条对角线上的序列:从0开始:A002939号=2个*A000384号,A016742号=4个*A000290型,A002943号=2个*A014105号,A033996年=8个*A000217;从1开始:A054554号,A053755号,A054569号,A016754号.

通过读取X轴和Y轴上的交替项以及方形螺旋线的两条主对角线获得的序列:从0开始:A035608型,邮编:A156859,A002378号=2个*A000217,邮编:A137932=4*A002620;从1开始:A317186型,甲267682,A002061号,A080335号.

A335064型是一个子序列。

上下文顺序:邮编:A160929 A103505型 A279019号*A005991号 甲266194 A194110号

相邻序列:A002375型 A002376号 A002377号*A002379号 A002380 A002381号

关键字

,容易的,核心,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

其他评论来自迈克尔·索莫斯

注释和交叉引用由添加克里斯托弗·亨特·格里布尔2009年10月13日

状态

经核准的

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