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| A002378号 |
| 长椭圆形（或短圆形、短圆形或短圆形）数字：a（n）=n*（n+1）。
（原名M1581 N0616）
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770
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0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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根据韦伯斯特第二版，正确的单词是“promic”-R.K.盖伊
a（n）是根晶格a_n中的最小向量数（见Conway和Sloane，第109页）。
对于j<k<=n，对于n>1，所有对（j，k）的最大LCM-罗伯特·威尔逊v2004年6月19日
第一个差异是a（n+1）-a（n）=2*n+2=2，4，6。。。（而平方的第一个差是（n+1）^2-n^2=2*n+1=1，3，5，…）-亚历山大·瓦恩伯格2005年12月29日
快速（心理）乘法/因式分解技术——Lekraj Beedassy评论的推广：对于所有基b>=2和正整数n，c，d，k，c+d=b^k，我们有（n*b^k+c）*（n*b ^k+d）=A（n）*b^（2*k）+c*d。因此乘积的最后2*k个基-b数字正好是c*d的数字，包括前导0（s）根据需要--前面的以b为基数的数字与a（n）的数字相同。示例：十进制中，113*117=13221（n=11，b=10=3+7，k=1，3*7=21，a（11）=132）；在八进制中，61×67=5207（52是八进制中的a（6））。特别是，对于偶数b=2*m（m>0）和c=d=m，这样的乘积就是这种类型的平方。十进制因子分解：5609立即可以看出是71*79。同样，120099=301*399（此处k=2）和99990000001996=9999002*9999998（k=3）-里克·L·谢泼德2021年7月24日
迭代平方根sqrt序列（N+sqrt（N+…））对于N=1,2。。。限制（1+sqrt（1+4*N））/2。对于N=a（N），该极限为N+1，N=1，2。。。。对于所有其他数字N，N>=1，此极限不是自然数。示例：n=1，a（1）=2:sqrt（2+sqrt…））=1+1=2；n=2，a（2）=6:sqrt（6+sqrt，6+…））=1+2=3-沃尔夫迪特·朗2006年5月5日
可被上限（sqrt（m））整除的非方形整数m，m=0除外-马克斯·阿列克塞耶夫2006年11月27日
（n+1）X（n+1”）矩阵的非对角元素数-阿图尔·贾辛斯基2007年1月11日
a（n）等于函数f:{1，2}->{1，2，…，n+1}的个数，因此对于{1，2]中的固定x和{1，2中，…，n+1}中的一个固定y，我们有f（x）<>y.-Aleksandar M.Janjic和米兰Janjic2007年3月13日
数字m>=0，使fract（sqrt（m+1））>1/2，fract（mqrt（m））<1/2，其中fract（x）是分数部分（fract（x）=x-floor（x），x>=0）-Hieronymus Fischer公司，2007年8月6日
方程4*X^3+X^2=Y^2的解的X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（2n+1）-穆罕默德·布哈米达2007年11月6日
如果Y是n个集合X的2个子集，那么对于n>=2，a（n-2）是X的2个子集和3个子集的数量，它们正好有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年12月28日
a（n）与Redheffer矩阵中均匀宽度抛物线的顶点重合，指向零。整数p是素数当且仅当对于所有整数k，抛物线y=kx-x^2在y=p时没有1<x<k的整数解；a（n）对应于奇数k-莱库·库隆2008年11月30日
超几何函数3F2的某些值的第三个差值导致长方形数的平方，即3F2（[1，n+1，n+1]，[n+2，n+2]，z=1）-3*3F2（[1，n+2，n+2]，[n+3，n+3]，z=1）+3*3F2（[1，n+3，n+3]，[n+4，n+4]，z=1）-3F2（[1，n+4，n+4]，[n+5，n+5]，z=1）=（对于n=-1，1/（（（n+2）*（n+3））^2，0、1、2。另请参见A162990型. -约翰内斯·梅耶尔2009年7月21日
对于n>1，a（n）是函数f:{1，2}->{1，…，n+2}的数目，其中f（1）>1和f（2）>2。注意，f（1）有n+1个可能值，f（2）有n个可能值。例如，a（3）=12，因为有12个函数f从{1,2}到{1,2,3,4,5}，其中f（1）>1和f（2）>2-丹尼斯·沃尔什2011年12月24日
a（n）给出了包含两个1的对称（0，1）-矩阵（n+1）X（n+1）的个数（参见[Cameron]）-L.埃德森·杰弗里2012年2月18日
a（n）是[n+2]x[n+2]中具有x-y>1的有序对（x，y）的数量-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是从{1，2}到{1，2，…，n+1}的内射函数数-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是2n+2的分区部分的正差之和，正好分成两部分（参见示例）-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
a（n）/a（n-1）对e^（2/n）是渐近的-理查德·福伯格2013年6月22日
D_{n+1}型根系中的正根数（对于n>2）-汤姆·埃德加2013年11月5日
在类型A_n的根系中的根的数量（对于n>0）-汤姆·埃德加2013年11月5日
对于m>=1，a（m）是唯一的正整数值t，对于该正整数值，b（0）=0且b（1）=1的递归b（n）=b（n-1）+t*b（n-2）的Binet-de-Moivre公式具有平方根。证明（如建议沃尔夫迪特·朗，2014年3月26日）：如果4t+1=（2m+1）^2，即t=a（m），m>=1，则特征方程的零r1和r2中出现的sqrt（1+4t）是正整数t的（正）整数。因此，特征根是整数：r1=m+1和r2=-m。
设m>1为整数。如果b（n）=b（n-1）+a（m）*b（n-2），n>=2，b（0）=0，b（1）=1，那么当n接近无穷大时，lim b（n+1）/b（n）=m+1。（结束）
囊性纤维变性。A130534型对于与着色森林的关系，旗杆上旗帜的配置，以及完整图（这里简称K_2）顶点的着色（色多项式）-汤姆·科普兰2014年4月5日
整数n的集合，其中n+sqrt（n+squart（n+sqrt）（n+sqlt（n+…）。。。是一个整数-莱斯利·科勒2014年4月11日
a（n-1）是最大的数字k，使得（n*k）/（n+k）是整数-德里克·奥尔2014年5月22日
将domino和singleton放置在长度为n-2的条带上的方法的数量-拉尔夫·斯蒂芬2014年6月9日
对于n>1，n值a（1）到a（n）的调和平均值为n+1。累加调和平均数为整数的递增正整数的最小无限序列-伊恩·达夫2015年2月1日
a（n）是在[n+2]X[n+2]棋盘上，一种颜色的皇后可以共存而不攻击对手颜色的皇后的最大数量。唯一的王后可以放置在棋盘周边的任何位置-鲍勃·塞尔科2015年2月7日
当a（0）=1时，a（n-1）是序列中最小的正数，使得和{i=1..n}1/a（i-1）的分母等于n-德里克·奥尔2015年6月17日
这个序列的正成员是所谓的1-幸福夫妇产品的适当子序列A007969号参见W.Lang链接，等式（4），Y_0=1，末尾有一个表格-沃尔夫迪特·朗2015年9月19日
对于n>0，a（n）是区间[0，1]中x的上边界为y=x^（n-1），下边界为y=x^n的面积的倒数。对所有这些面积求和直观地演示了下面的公式，即求和{n>=1}1/a（n）=1-里克·L·谢泼德2015年10月26日
看起来，除了a（0）=0之外，这是正整数n的集合，使得x*floor（x）=n没有解。（例如，要得到3，取x=-3/2。）-梅尔文·佩拉尔塔，2016年4月14日
如果两个独立的实随机变量x和y按照相同的指数分布：pdf（x）=λ*exp（-λ*x），λ>0，则n-1<=x/y<n的概率由1/a（n）给出-安德烈斯·西卡廷2016年12月3日
a（n）等于n对不同的连续奇数之间所有可能的差异之和（参见示例）-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
a（n+1）是平面上多项式系数高达n阶的向量场空间的维数-马丁·利希特2016年12月4日
此外，（n+3）-三角形蜂窝状锐角骑士图中的3个圈数-埃里克·韦斯特因2017年7月27日
由偶数组成的弗洛伊德三角形的左边缘：0；2, 4; 6, 8, 10; 12, 14, 16, 18; 20, 22, 24, 26, 28; ... 给出0、2、6、12、20。。。右边缘生成A028552号. -Waldemar Puszkarz公司2018年2月2日
a（n+1）是偏序集上的行运动顺序，该偏序集通过将唯一的最小（或最大）元素与至少两个n个元素链的不相交并邻接而获得-尼克·迈尔斯，2018年6月1日
对于n>0，1/a（n）=n/（n+1）-（n-1）/n。
例如，1/6=2/3-1/2；1/12 = 3/4 - 2/3.
由此推论：
服用1/2粒。
第二天，服用六分之一的药丸。1/2+1/6=2/3，所以你的日平均值是1/3。
第二天，服用1/12粒。2/3+1/12=3/4，所以你的日均值是1/4。
等等。（完）
对于一个长方形数m>=6，存在一个欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序以公共整数比b进行几何级数。对于b>=2和q>=1，欧几里得除法为m=qb*（qb+1）=qb^2*q+qb，其中（q，qb，qb^2）是几何级数。
具有不同比率和商的一些示例：
6 | 4 30 | 25 42 | 18
----- ----- -----
2 | 1 , 5 | 1 , 6 | 2 ,
以及：
42 | 12 420 | 100
----- -----
6 | 3 , 20 | 4 .
一些长方形数也满足欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序进行几何级数，但具有共同的非整数比b>1（参见A335064型). （结束）
a（n-2）是所有n个顶点树的最大不规则度。极值图是恒星。（图形的不规则性是图形所有边上度数差的总和。）-艾伦·比克2023年5月29日
a（n-1）是具有n个顶点的所有树的最大萨格勒布指数。极值图是恒星。（图的萨格勒布指数是图的所有顶点上度数的平方和。）-艾伦·比克2024年4月11日
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参考文献
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杰拉萨的尼科马科斯，《算术导论》，马丁·路德·多吉译，安娜堡，密歇根大学出版社，1938年，第254页。
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
F.J.Swetz，《从五指到无限》，公开法庭，1994年，第219页。
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链接
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L.B.W.Jolley，级数求和1961年，多佛
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路易斯·曼努埃尔·里维拉，整数序列与k-交换置换，arXiv预印本arXiv:1406.3081[math.CO]，2014-2015。
J.Striker和N.Williams，促销和Rowmotion，arXiv预印本arXiv:1108.1172[math.CO]，2011-2012。
D.Suprijanto和Rusliansyah，关于四除整数幂和的观察《应用数学科学》，第8卷，2014年，第45期，2219-2226页。
R.Tijdeman，丢番图逼近的一些应用《数论调查》（Urbana，2000年5月21日）第261-284页，M.A.Bennett等人编辑，Peters，2003年。
Wolfram研究公司，超几何函数3F2，Wolfram Functions网站。
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配方奶粉
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总尺寸：2*x/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中。
a（n）＝a（n-1）+2*n、a（0）＝0。
和{n>=1}a（n）=n*（n+1）*（n+2）/3（比较。A007290号，部分总和）。
和{n>=1}1/a（n）=1。（参考蒂德曼）
和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=log（4）-1=A016627号-1[乔利方程（235）]。
1=1/2+和{n>=1}1/[2*a（n）]=1/2+1/4+1/12+1/24+1/40+1/60+。。。部分和：1/2、3/4、5/6、7/8、9/10、11/12、13/14-加里·亚当森2003年6月16日
a（n）*a（n+1）=a（n*（n+2））；例如，a（3）*a（4）=12*20=240=a（3*5）-查理·马里恩2003年12月29日
和{k=1..n}1/a（k）=n/（n+1）-罗伯特·威尔逊v2005年2月4日
对数2=和{n>=0}1/a（2n+1）=1/2+1/12+1/30+1/56+1/90+…=(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + (1/7 - 1/8) + ... = 和{n>=0}（-1）^n/（n+1）=A002162号. -加里·亚当森2003年6月22日
（2，6，12，20，30，…）=（2，4，2）的二项式变换-加里·亚当森2007年11月28日
a（n-1）=楼层（n^5/（n^3+n^2+1））-加里·德特利夫斯2010年2月11日
对于n>0，a（n）=1/（积分{x=0..Pi/2}2*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x），^3）-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
求和{n>=1}1/（a（n））^（2s）=求和{t=1..2*s}二项式（4*s-t-1，2*s-1）*（（1+（-1）^t）*zeta（t）-1）。参见Arxiv:1301.6293-R.J.马塔尔2013年2月3日
当n>0时，a（n）^2+a（n+1）^2=2*a（n+1^2）-伊万·伊纳基耶夫2013年4月8日
a（n）=楼层（n^2*e^（1/n））和a（n-1）=楼层-理查德·福伯格2013年6月22日
[0,2,2,0,0,0，…]的二项式变换-阿洛伊斯·海因茨2015年3月10日
对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..1}（x^（n-1）-x^n）dx）-里克·L·谢泼德2015年10月26日
对于n>0，a（n）=Lim_{m->infinity}（1/m）*1/（Sum_{i，m*n..m*（n+1）}1/i^2），误差约为1/m-理查德·福伯格2016年7月27日
狄利克雷g.f.：ζ（s-2）+ζ（s-1）。
和{n>=0}a（n）/n！=3*经验（1）。（结束）
a（n）*a（n+2k-1）+（n+k）^2=（（2n+1）*k+n^2）^2。
a（n）*a（n+2k）+k^2=（（2n+1）*k+a（n））^2。（结束）
产品{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi-阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月20日
2003年12月29日公式A（n）*A（n+1）=A（n*（n+2））的推广如下。a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k+1））+（k-1）*n*（n+k+1）-查理·马里恩2023年1月2日
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例子
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a（3）=12，因为2（3）+2=8有4个分区，正好有两部分：（7,1），（6,2），（5,3），（4,4）。将每个分区中各部分的正差异相加，得到：6+4+2+0=12-韦斯利·伊万·赫特2013年6月2日
G.f.=2*x+6*x^2+12*x^3+20*x^4+30*x^5+42*x^6+56*x^7+。。。
a（1）=2，因为45-43=2
a（2）=6，因为47-45=2和47-43=4，那么2+4=6
a（3）=12，因为49-47=2，49-45=4，49-43=6，然后2+4+6=12-米奎尔·塞尔达2016年12月4日
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MAPLE公司
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n*（n+1）；
结束进程：
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数学
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表[n（n+1），{n，0，50}](*罗伯特·威尔逊v2004年6月19日*）
长方形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[4 n+1]；选择[范围[0，2600]，长方形Q](*罗伯特·威尔逊v2011年9月29日*）
2累计[范围[0，50]](*哈维·P·戴尔2011年11月11日*）
线性递归[{3，-3，1}，{2，6，12}，｛0，20}](*埃里克·韦斯特因2017年7月27日*）
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程序
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（PARI）{a（n）=n*（n+1）}；
（PARI）concat（0，Vec（2*x/（1-x）^3+O（x^100））\\阿尔图·阿尔坎2015年10月26日
（PARI）是（n）=我的（m=平方（n））；m*（m+1）==n\\查尔斯·格里特豪斯四世，2018年11月1日
（哈斯克尔）
a002378 n=n*（n+1）
a002378_list=zip带（*）[0..][1..]
（岩浆）[0..100]]中的[n*（n+1）:n//韦斯利·伊万·赫特2015年10月26日
（标量）（2到100乘2）.scanLeft（0）（_+_）//阿隆索·德尔·阿特2019年9月12日
（Python）
定义a（n）：返回n*（n+1）
打印（[a（n）代表范围（51）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2022年1月13日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A035106型,A087811号,A119462年,127235英镑,A049598号,A124080型,A033996号,A028896号,A046092号,A000217号,A005563号,A046092号,A001082号,A059300型,A059297号,A059298号,A166373号,A002943号（平分），A002939号（二等分），A078358号（补语）。
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的,改变
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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