1，2

（x+1）^n-x^（2n）正根的十进制展开式。（x+1）^n-x^（2n）=0只有两个实根x1=—（sqrt（5）-1）/2和x2=（sqrt（5）+1）/2（n>0）-奇诺·希利亚德2004年5月27日

黄金比率phi是无理数中最不合理的；它的连续分式收敛函数F（n+1）/F（n）是最慢接近其实际值的（I.Stewart，在“自然的数字”，基础书籍，1997年）-莱克莱·比达西2005年1月21日

设t=黄金比率。较小的sqrt（5）收缩矩形的形状为t-1，而较大的sqrt（5）收缩矩形的形状为t。有关形状和收缩矩形的定义，请参见邮编：A188739. -克拉克·金伯利2011年4月16日

黄金比例（通常用phi或tau表示）是黄金矩形的形状（即长度/宽度），它的特殊性质是从一端去掉一个正方形，就会得到与原始矩形形状相同的矩形。类似地，删除某些等腰三角形的特征是边黄金三角形和角黄金三角形。在这些构型中重复的删除会导致黄金矩形和三角形无限分割为正方形或等腰三角形，以便匹配连分式[1,1,1,1，…]陶的。为了匹配连分式[τ，τ，τ，…]的特殊形状的矩形划分成黄金矩形，看见邮编：A188635。对于依赖于tau的其他矩形形状，请参见A189970年,A190177号,A190179号,A180182号。对于依赖于tau的三角形形状，请参见邮编：A152149和邮编：A188594; 对于四面体，请参见邮编：178988. -克拉克·金伯利2011年5月6日

给定一个五边形ABCDE，1/（phi）^2<=（a*C^2+C*E^2+E*B^2+B*D^2+D*a^2）/（a*B^2+B*C^2+C*D^2+D*E^2+E*a^2）<=（phi）^2-千里香精一2011年8月18日

如果一个三角形的边的长度形成1:r:r^2的几何级数，那么三角形不等式条件要求r在1/phi<r<phi的范围内-弗兰克M杰克逊2011年10月12日

x-y=1和x*y=1的图在（tau，1/tau）处相遇-克拉克·金伯利2011年10月19日

还有x^sqrt（x+1）=sqrt（x+1）^x的第一个根的十进制展开-米歇尔·拉格诺2011年12月2日

（1/x）^（1/sqrt（x+1））=（1/sqrt（x+1））^（1/x）根的十进制展开-米歇尔·拉格诺2012年4月17日

这是（Gamma（1/n）/Gamma（3/n））*（Gamma（（n-1）/n）/Gamma（（n-3）/n））：（1+sqrt（5））/2=（Gamma（1/5）/Gamma（3/5））*（Gamma（4/5）/Gamma（2/5））-布鲁诺·贝尔塞利2012年12月14日

也是唯一数x>1的十进制展开式，使得（x^x）^（x^x）=（x^（x^x））^x=x^（（x^x）^x）-雅罗斯拉夫·克里泽克2014年2月1日

对于n>=1，四舍五入（phi^prime（n））==1（mod prime（n））=1（mod prime（n））==1（mod 2*素数（n））-弗拉基米尔·谢韦列夫2014年3月21日

连续根sqrt（1+sqrt（1+sqrt（1+…））倾向于phi-乔瓦尼·泽达2019年6月22日

等于sqrt（2+sqrt（2-sqrt（2+sqrt（2-…）））-迭戈·拉塔吉2021年4月17日

给定实（p）>-1的复p，phi是方程z^p+z^（p+1）=z^（p+2）的唯一实解，也是复映射z->M（z，p）的唯一吸引子，其中M（z，p）=（z^p+z^（p+1））^（1/（p+2）），从任何复平面点收敛-斯坦尼斯拉夫·西科拉2021年10月14日

唯一能使小数部分、整数部分和数字本身（x-[x]，[x]和x）形成几何级数的正数是phi，分别是（phi-1，1，phi）和比率=phi。这是1975年第七届加拿大数学奥林匹克竞赛第四题的答案（见IMO链接和Doob参考）-伯纳德·肖特2021年12月8日

黄金比率是唯一的数字x，因此f（n*x）*c（n/x）-f（n/x）*c（n*x）=n，其中f=地板，c=天花板-克拉克·金伯利2022年1月4日

在第二本科学美国人的数学难题和消遣书中，马丁·加德纳写道，到1910年，马克·巴尔（1871-1950）将phi作为黄金比例的象征-伯纳德·肖特2022年5月1日

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等于和{n>=2}1/A064170型（n） =1/1+1/2+1/（2*5）+1/（5*13）+1/（13*34）+-加里·W·亚当森2007年12月15日

等于超几何2f1（[1/5，4/5]，[1/2]，3/4）=2*cos（（3/5）*反正弦（sqrt（3/4）））-雅辛斯基2008年10月26日

从希罗尼穆斯·菲舍尔2009年1月2日：（开始）

如果n为奇数，phi^n的小数部分等于phi^（-n）。对于偶数n，phi^n的小数部分等于1-phi^（-n）。

通式：假设x>1满足x-x^（-1）=楼层（x），其中x=该序列的phi，则：

对于奇数n:x^n-x^（-n）=楼层（x^n），因此分形（x^n）=x^（-n），

对于偶数n:x^n+x^（-n）=天花板（x^n），因此fract（x^n）=1-x^（-n），

对于所有n>0:x^n+（-x）^（-n）=圆形（x^n）。

x=phi是x-x^（-1）=floor（x）（本例中floor（x）=1）的最小解。

满足x-x^（-1）=floor（x）关系的常数x的其他示例包括A014176号（银比率：其中floor（x）=2）和A098316型（“青铜”比率：其中地板（x）=3）。（结束）

等于2*cos（Pi*1/5）=e^（i*Pi*1/5）+e^（-i*Pi*1/5）-埃里克·德斯比厄2010年3月19日

x-x^（-1）=楼层（x）的解由x=（1/2）*（m+sqrt（m^2+4）），m>=1确定；对于m=1，x=phi。对于连分式，溶液可以用x=[m；m，m，m，…]来描述，式中，对于x=φ，m=1；对于银比率，m=2A014176号，对于青铜比，m=3A098316型. -希罗尼穆斯·菲舍尔2010年10月20日

和{n>=1}x^n/n^2=Pi^2/10-（log（2）*sin（Pi/10））^2，其中x=2*sin（Pi/10）=此常数。[乔利，情商360d]

phi=1+和{k>=1}（-1）^（k-1）/（F（k）*F（k+1）），其中F（n）是第n个斐波纳契数(A000045型).证据。根据加泰罗尼亚的恒等式，F^2（n）-F（n-1）*F（n+1）=（-1）^（n-1）。因此，（-1）^（n-1）/（F（n）*F（n+1））=F（n）/F（n+1）-F（n-1）/F（n）。因此和{k=1..n}（-1）^（k-1）/（F（k）*F（k+1））=F（n）/F（n+1）。如果n趋于无穷大，则趋向于1/phi=phi-1-弗拉基米尔·谢韦列夫2013年2月22日

φn=(A000032号（n）+A000045型（n） *平方英尺（5））/2-托马斯奥多夫斯基2013年6月9日

设P（q）=积{k>=1}（1+q^（2*k-1））（g.fA000700美元)，那么A001622号=exp（π/6）*P（经验值（-5*Pi））/P（经验值（-Pi））-斯蒂芬·比查德2013年10月6日

φ=i^（2/5）+i^（-2/5）=（（i^（4/5））+1）/（i^（2/5））=2*（i^（2/5）-（sin（Pi/5））=2*（i^（-2/5）+（sin（Pi/5））i）-雅罗斯拉夫·克里泽克2014年2月3日

φ=sqrt（2/（3-sqrt（5）））。这是因为（（1+sqrt（5））^2）*（3-sqrt（5））=8，因此（（1+sqrt（5））/2）^2=2/（3-sqrt（5））-杰弗里·卡维尼2014年4月19日

exp（arcsinh（cos（Pi/2-log（phi）*i））=exp（arcsinh（sin（log（phi）*i））=（sqrt（3）+i）/2-杰弗里·卡维尼2014年4月23日

exp（arcsinh（cos（Pi/3））=φ-杰弗里·卡维尼2014年4月23日

cos（π/3）+sqrt（1+cos（Pi/3）^2）-杰弗里·卡维尼2014年4月23日

2*phi=z^0+z^1-z^2-z^3+z^4，其中z=exp（2*Pi*i/5）。请参阅维基百科克罗内克-韦伯定理链接-乔纳森·桑多2014年4月24日

φ=1/2+sqrt（1+（1/2）^2）-杰弗里·卡维尼2014年4月25日

Phi是初始值a>=-1时x->sqrt（1+x）迭代的极限值-查伊姆·洛文2015年8月30日

a（n）=-10*楼层（（sqrt（5）+1）/2*10^（-2+n））+楼层（（sqrt（5）+1）/2*10^（-1+n）），n>0-马里乌斯·伊瓦尼乌克2017年4月28日

从艾萨克藏红2018年2月28日：（开始）

1=和{k=0..n}二项式（n，k）/phi^（n+k），用于所有非负整数n。

1=和{n>=1}1/phi^（2n-1）。

1=和{n>=2}1/φ^n。

φ=和{n>=1}1/phi^n（结束）

从克里斯蒂安·卡茨曼2018年3月19日：（开始）

φ=和{n>=0}（15*（2*n）！+8*n^2） /（2*n！^2*3^（2*n+2））。

φ=1/2+和{n>=0}5*（2*n）/（2*n！^2*3^（2*n+1））。（结束）

φ=乘积{n>0}（1+2/（-1+2^n*（sqrt（4+（1-2/2^n）^2）+sqrt（4+（1-1/2^n）^2）））-戈洛斯科夫2021年7月14日

等于乘积{k>=1}（Fibonacci（3*k）^2+（-1）^（k+1））/（Fibonacci（3*k）^2+（-1）^k）（Melham和Shannon，1995）-阿米拉姆埃尔达2022年1月15日

1.6180339887498482045868343656381177203091798057628621。。。

位数：=1000；评估（（1+sqrt（5））/2）#韦斯利·伊万受伤了2013年11月1日

实数位数[（1+Sqrt[5]）/2，10，130](*斯特凡·斯坦伯格2006年4月2日*）

实数位数[Exp[arcinh[1/2]]，10111][[1]](*罗伯特·G·威尔逊五世2008年3月1日*）

实数位数[GoldenRatio，10120][[1]](*哈维·P·戴尔2015年10月28日*）

（PARI）{默认值（realprecision，20080）；x=（1+sqrt（5））/2；for（n=120000，d=floor（x）；x=（x-d）*10；write（“b001622.txt”，n，“，d））；}\\哈里J.史密斯2009年4月19日

（平价）

/*逐位数法：写为0.5+sqrt（1.25），从百位开始*/

r=11；x=400；打印（1）；印刷品（6）；

对于（dig=1，110，{d=0；而（（20*r+d）*d<=x，d++）；

d--；/*当循环超过正确的数字时*/

打印（d）；x=100*（x-（20*r+d）*d）；r=10*r+d}）

\\迈克尔·B·波特2009年10月24日

（蟒蛇）

来自sympy import S

def alst（n）：#截断多余的最后一位以避免舍入

返回列表（map（int，str（S.GoldenRatio.n（n+1））。替换（“.”），“）））[：-1]

印刷品（alst（105））#迈克尔·S·布兰尼基2021年1月6日

囊性纤维变性。A000012号,A000032号,A000045型,A006497号,A080039号,A104457号,邮编：A188635,邮编：A192222,邮编：A192223,A145996年,邮编：A139339,邮编：A197762,A002163,A094874号,甲134973.

囊性纤维变性。A102208号,A102769号,A131595号.

囊性纤维变性。A302973型,A303069型,A304022型.

上下文顺序：A337369型 邮编：A156921 A094214*A186099号 A021622型 A073228

相邻序列：A001619型 A001620型 A001621型*A001623号 A001624号 A001625号

不,欺骗,美好的,容易的

N、 斯隆

其他链接由莱克莱·比达西2003年12月23日

更多来自麻省理工学院的加布里埃尔·坎宁安。2004年10月24日

更多条款来自斯特凡·斯坦伯格2006年4月2日

断开的Gutenberg项目URL替换为乔治费舍尔2009年1月3日

编辑M、 哈斯勒2014年2月24日

经核准的