1,2

（x+1）^ n~x（2n）的正根的小数展开。（x＋1）^ n- x^ 2n＝0对于n n> 0只有两个实根x1= -（qRT（5）-1）/2和x2=（qRT（5）+1）/2。-西诺希利亚德5月27日2004

黄金比例φ是无理数中最不合理的，它的连续连分数收敛F（n+1）/f（n）是最接近其实际值的（I. Stewart，在‘自然数’，基本图书1997）中。-莱克拉吉贝达西1月21日2005

设T＝黄金比率。较小的SqRT（5）-收缩矩形具有形状T-1，并且较大的SqRT（5）-收缩矩形具有形状T。A18839. -克拉克·金伯利4月16日2011

黄金比例（通常由PHI或tau表示）是黄金矩形的形状（即长度/宽度），它具有从一端移除正方形的特殊属性，它留下与原来矩形相同形状的矩形。类似地，某些等腰三角形的去除特征是侧黄金和角黄金三角形。在这些配置中的重复移除导致黄金矩形和三角形的无限分割成正方形或等腰三角形，以便匹配tau的连续分数[1,1,1,1,1，…]。对于分割成黄金矩形的矩形的特殊形状，以匹配连分数[tau，tau，tau，…]，参见A188635. 对于其他依赖于tau的矩形形状，请参见A18970，A19177，A17179，A180182. 对于依赖于tau的三角形形状，请参见A152149和A1885四面体，见A178988. -克拉克·金伯利06五月2011

给定五角大厦ABCDE，1 /（φ）^ 2＝（a*c^ 2 +c*e^ 2 +e*b^ 2 +b*d^ 2 +d*a^ 2）/（a*b^ 2 +b*c^ 2 +c*d^ 2 +d*e^ 2 +e*a^ 2）<＝（φ）^ 2。-基里卡米8月18日2011

如果三角形的边在1∶r:r^ 2的比值中形成几何级数，则三角不等式条件要求R在1／φ-弗兰克·杰克逊10月12日2011

X-Y＝1和X*Y＝1的图满足（τ，1／τ）。-克拉克·金伯利10月19日2011

X^ SqRT（X+ 1）＝SqRT（x+1）^ x的第一根的十进制展开。米歇尔拉格瑙，十二月02日2011

（1／x）^（1／qRT（x＋1））＝（1／qRT（x+1））^（1／x）的十进制展开。-米歇尔拉格瑙4月17日2012

这是n＝5（γ（1／n）/γ（3／n））*（γ（（n-1）/n）/γ（（n-3）/n））：（1 +qRT（5））/ 2＝（γ（1/5）/γ（3/5））*（γ（4/5）/γ（2/5））。-布鲁诺·贝塞利12月14日2012

也只有十进制数的x＝1（x^ x）^（x^ x）＝（x^（x^ x））^ x= x^（（x^ x）^ x）。-雅罗斯拉夫克利泽克，01月2日2014

对于n>＝1，圆（φ^素数（n））＝1（mod素数（n）），对于n>＝3，圆（φ^素数（n））＝1（mod 2＊素数（n））。-弗拉迪米尔谢维列夫3月21日2014

连续根SqRT（1 +SqRT）（1 +SqRT）（1 +…倾向于φ。-乔凡尼·泽达6月22日2019

Mohammad K. Azarian，问题123，密苏里数学科学杂志，第10卷，第3期，第1998期，第176页。解决方案发表在第12卷第1期，第2000期，第61-62页。

R. A. Dunlap，黄金比率和斐波那契数，世界科学，河流边缘NJ 1997。

S. R. Finch，数学常数，数学百科全书及其应用，第94卷，剑桥大学出版社，第1.2节。

M. Gardner，第二本科学美国数学拼图和改写的书，“φ：黄金比例”，第8章，西蒙和舒斯特纽约1961。

M. Gardner，怪诞的水和模糊逻辑：边缘观察者的更多笔记，“黄金比例的崇拜”，第9章，普罗米修斯书，1996页，90-97页。

H. E. Huntley，神圣比例，多佛尼1970。

J.L.B.W. Julle，级数的和，Dover（1961）。

M. Livio，黄金比例，百老汇图书，NY，2002。[参见G. Markowsky在链接字段中的评论]

S. Olsen，黄金分割，沃克和公司纽约2006。

S.N.J.A.斯隆，《整数序列手册》，学术出版社，1973（包括这个序列）。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995（包括这个序列）。

H. Walser，黄金分割，数学。爱默尔协会华盛顿DC 2001。

C. J. Willard，Le NoMr.Dor，Mangar巴黎1987。

Robert G. Wilson五世，n，a（n）n＝1…100000的表

John Baez本周的数学物理发现，第203周

John Baez兰金讲座2008，我最喜欢的数字：5. [视频]

M. BergPhi，黄金比率（小数位数为4599）和斐波那契数FIB。夸脱，4（1961），157—162。

T. Eveilleau勒诺布鲁尔（法语）

Gutenberg Project黄金比例到20000位

图标项目，黄金比例到50000位

富兰克林·H·肯特披皮是一件好事：高斯斯和Knuth问题的解决方案，阿西夫：1712.04856 [数学，嗬]，2017。

Ron Knott斐波那契数与黄金分割

S. Litsyn和V. Shevelev满足小费马定理的非理性因素《国际数论杂志》，第1卷，第4期（2005），49—512页。

G. Markowsky关于黄金比例的误解《大学数学》杂志，23∶1（1992年1月），2-19。

G. Markowsky书评：黄金比例AMS的通知，52-3（2005年3月），34—34 7。

J. C. Michel勒诺布鲁尔

J·J·J·J·J·奥康纳和罗伯森黄金比例

Simon Plouffe，普劳夫的逆变器，黄金比例为1000万位数

Simon Plouffe黄金比例：（1 +SqRT（5））/ 2至20000位

F. Richman，Fibonacci序列与多精度Java，连续斐波那契数比率的φ逐次逼近

Herman P. RobinsonCSR函数流行计算（卡拉巴萨斯，CA），第4卷（第35期，第2期1976页），PC35-3页到PC35-4页。注释和扫描副本。

E. F. Schubert斐波那契数列

V. ShevelevN-BoNaCi常数的一个性质Seqfan（3月23日2014）

J. Sondow关于Fibonacci和卢卡斯数的Tajya代数无穷乘积的评价丢番图分析及相关领域2011—AIP会议论文集，第1385卷，第97－100页。

M. R. Watkins数论中的“中庸”

Eric Weisstein的数学世界，黄金比例

Eric Weisstein的数学世界，银比

Eric Weisstein的数学世界，斐波那契n阶数

维基百科黄金比例

维基百科Kronecker Weber定理

维基百科金属平均值

Alexander J. YeeY-CRUNCHER——多线程PI程序

Hugo Pfoertnerφ100万位。使用A. J. Yee的Y-CRUNCHER计算。

等于超几何2F1（〔1/5，4/5〕，〔1/2〕，3/4〕＝2×COS（（3/5）*ARCISN（SqRT（3/4）））。-阿图尔贾辛斯基10月26日2008

从菲舍尔，02月2009日：（开始）

φ^ n的小数部分等于φ^（-n），如果n奇数的话。对于偶数n，φ^ n的小数部分等于1-φ^（-n）。

通式：假设x＞1满足X-X^（-1）＝Lead（x），其中x＝φ这个序列，则：

对于奇n:x^ n x^（-n）＝Lead（x^ n），因此FrACT（x^ n）＝x^（-n），

对于n:x^ n+x^（-n）=上限（x^ n），因此FrACT（x^ n）＝1-x^（-n），

对于所有n＞0：x^ n+（-x）^（-n）＝圆（x^ n）。

X＝φ是X-X ^（- 1）＝Lead（x）的最小解（在这种情况下，Lead（x）＝1）。

满足X-x^（- 1）＝Load（x）关系的常数x的其他例子包括A014176（银比：地板（x）＝2）；A098316（青铜）比：地板（x）＝3。（结束）

等于2×CoS（π* 1/5）＝e^（i*pi＊1/5）+e^（-i*pi＊1/5）。-埃里克·德斯鲍克斯3月19日2010

X-X ^（1）＝Lead（x）的解由x＝1/2＊（m+qrt（m^ 2＋4））、m>＝1、x=φ为m＝1。在连分数上，解可以用x= [m；m，m，…]来描述，其中x＝φm＝1，对于银比m＝2。A014176，青铜比m＝3A098316. -菲舍尔10月20日2010

SuMu{{N>＝1 } x^ n/n^ 2＝π^ 2/10（log（2）*SiN（π/10））^ 2，其中x＝2×SiN（π/10）＝此常数。[ Jolley，情商360D]

φ＝1＋SuMu{{K>＝1 }（- 1）^（k-1）/（f（k）*f（k+1）），其中f（n）是第n个斐波那契数（A000 00 45）证明。通过加泰罗尼亚的恒等式，f^ 2（n）-f（n-1）*f（n+1）＝（- 1）^（n-1）。因此，（- 1）^（n-1）/（f（n）*f（n+1））＝f（n）/f（n+1）-f（n-1）/f（n）。因此Suthi{{＝1…n}（- 1）^（k-1）/（f（k）*f（k+ 1））＝f（n）/f（n+1）。如果n趋于无穷大，则趋于1 /φ＝φ1。-弗拉迪米尔谢维列夫2月22日2013

φ^ n＝A000 0 32（n）+A000 00 45（n）*SqRT（5））/ 2。-托马斯奥多夫斯基，军09 2013

设p（q）＝乘积{{k>＝1 }（1＋q^（2×k-1））（gf）。A000 0700）A000 1622＝EXP（π/6）*p（EXP（- 5×皮））/p（EXP（-皮））。-史蒂芬比萨德，10月06日2013

φ＝i ^（2/5）+i^（- 2/5）＝（（i ^（4/5））+1）/（i ^（2/5））＝2＊（i ^（2/5）-（正弦（π/5））i）＝2＊（i ^（-2/5）+（正弦（π/5））i）。-雅罗斯拉夫克利泽克，03月2日2014

φ＝SqRT（2／（3 -SqRT（5）））。这是由于（（1 +Sqt（5））^ 2）*（3 -SqRT（5））＝8，因此（（1 +SqRT（5））/2）^ 2＝2 /（3 -QRT（5））。-杰弗里卡维尼4月19日2014

EXP（ARCS）（COS（PI/2-LOG（φ）*i））＝EXP（ARSINH（Sin（log（φ）*i）））＝（SqRT（3）+i）/ 2。-杰弗里卡维尼4月23日2014

EXP（ARCS）（COS（PI／3））＝φ。-杰弗里卡维尼4月23日2014

COS（PI／3）+SqRT（1±COS（PI／3）^ 2）。-杰弗里卡维尼4月23日2014

2＊φ＝Z^ 0＋Z^ 1 -Z^ 2 -Z^ 3 +Z^ 4，其中Z＝EXP（2×PI*I/5）。参见维基百科Krimeker-We伯定理链接。-乔纳森·索道4月24日2014

φ＝1/2＋SqRT（1＋（1/2）^ 2）。-杰弗里卡维尼4月25日2014

φ是X-> SqRT（1＋x）迭代初值A>＝1的极限值。-查伊姆洛文8月30日2015

A（n）＝-10＊地板（（SRT（5）+1）/ 2×10 ^（-2 +N））+地板（（SRT（5）+1）/2×10 ^（-1＋n））。-马里乌斯伊万纽克4月28日2017

从艾萨克·萨福德，2月28日2018：（开始）

1 =所有非负整数n的SuMu{{＝0…n}二项式（n，k）/φ^（n+k）。

1＝SuMu{{N>＝1 } 1／φ^（2n-1）。

1＝SuMu{{N>＝2 } 1／φ^ n。

φ＝SuMi{{N>＝1 } 1 /φ^ n（结束）

从克里斯蒂安凯特曼，3月19日2018：（开始）

φ＝SuMi{{N>＝0 }（15×（2×N）！+ 8×N！^ 2）/（2×N！^ 2×3 ^（2×n＋2）。

φ＝1/2＋SuMu{{N>＝0 } 5 *（2×N）！/（2×N！^ 2×3 ^（2×n＋1）。（结束）

1.618033、949、98948、48、2045、868、36365638、177203091798057、6628、621…

位数：＝1000；EVALF（（1 +SqRT（5））/2）；卫斯理伊凡受伤01月11日2013

RealDigi[ [（1 +SqRT（5）] / 2, 10, 130 ]（*）斯特凡·斯坦纳伯格，APR 02 2006＊）

RealDige[Exp[ARCHINH〔1/2〕，10, 111〕[〔1〕]Robert G. Wilson五世，MAR 01 2008＊）

RealDigie[黄金比率，10, 120 ] [〔1〕]哈维·P·戴尔10月28日2015＊）

（PARI）{Debug（RealDe精度，20080）；X=（1 +SqRT（5））/2；（n＝1, 20000，D＝Lead（x）；x=（X-D）* 10；写（B00 1622.txt），n，“d”）；}哈里史密斯4月19日2009

（帕里）

以数字方式写入：以0.5±SqRT（1.25）开始，以百分位数*开始。

r＝11；x＝400；打印（1）；打印（6）；

对于（挖掘＝1, 110，{d＝0；而（20×r+d）*d<＝x，d++）；

d-；/*同时循环重置正确的数字*/

打印（D）；x＝100＊（x-（20×r+d）*d）；r＝10＊r+d}

\\米迦勒·B·波特10月24日2009

囊性纤维变性。A000 0 12，A000 0 32，A000 00 45，A000 64 97，A0800 39，A104567，A188635，A192222，A192223，A14599，A13933，197762，A000 2163，A094074，A13497.

囊性纤维变性。A102208，A1027，A131595.

囊性纤维变性。A3029，A303096，A304022.

语境中的顺序：A143019 A156921 A094214*A186099 A021622 A07328

相邻序列：A161619 A000 1620 A000 1621*A000 1623 A000 1624 A000 1625

诺恩，欺骗，好，容易

斯隆

附加链接由莱克拉吉贝达西12月23日2003

Gabriel Cunningham（Gasey（AT）MIT EDU）的更多术语，10月24日2004

更多条款斯特凡·斯坦纳伯格，APR 02 2006

古腾堡项目被替换的URL格奥尔菲舍尔，03月1日2009

被编辑哈斯勒2月24日2014

经核准的