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| A001622号 |
| 黄金比率φ（或τ）的十进制展开=（1+sqrt（5））/2。
（原名M4046 N1679）
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1672
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1, 6, 1, 8, 0, 3, 3, 9, 8, 8, 7, 4, 9, 8, 9, 4, 8, 4, 8, 2, 0, 4, 5, 8, 6, 8, 3, 4, 3, 6, 5, 6, 3, 8, 1, 1, 7, 7, 2, 0, 3, 0, 9, 1, 7, 9, 8, 0, 5, 7, 6, 2, 8, 6, 2, 1, 3, 5, 4, 4, 8, 6, 2, 2, 7, 0, 5, 2, 6, 0, 4, 6, 2, 8, 1, 8, 9, 0, 2, 4, 4, 9, 7, 0, 7, 2, 0, 7, 2, 0, 4, 1, 8, 9, 3, 9, 1, 1, 3, 7, 4, 8, 4, 7, 5
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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也是（x+1）^n-x^（2n）正根的十进制展开式。对于所有n>0，（x+1）^n-x^（2n）=0只有两个实根x1=-（sqrt（5）-1）/2和x2=（sqert（5）+1）/2-西诺·希利亚德2004年5月27日
黄金比例phi是无理数中最无理的；它的连续分式收敛F（n+1）/F（n）是接近其实际值的最慢的（I.Stewart，《自然数》，基础图书，1997年）-Lekraj Beedassy公司2005年1月21日
设t=黄金比率。较小的sqrt（5）-收缩矩形的形状为t-1，较大的sqrt（5）–收缩矩形的形式为t。有关形状和收缩矩形的定义，请参见A188739号. -克拉克·金伯利2011年4月16日
给定一个五边形ABCDE，1/（phi）^2<=（a*C^2+C*E^2+E*B^2+B*D^2+D*a^2）/（a*B^2+B*C^2+C*D^2+D*E^2+E*a^ 2）<=（φ）^2-基里卡米（Seiichi Kirikami）2011年8月18日
如果三角形的边的长度以1:r:r^2的比率形成几何级数，则三角形不等式条件要求r在1/phi<r<phi的范围内-弗兰克·杰克逊2011年10月12日
x-y=1和x*y=1的图在（tau，1/tau）处相遇-克拉克·金伯利2011年10月19日
此外，x^sqrt（x+1）的第一个根的十进制展开式=sqrt-米歇尔·拉格诺2011年12月2日
（1/x）^（1/sqrt（x+1））=-米歇尔·拉格诺2012年4月17日
这是（伽马（1/n）/伽马（3/n））*（伽马，（n-1）/n）/伽玛（（n-3）/n-布鲁诺·贝塞利2012年12月14日
也是唯一数字x>1的十进制展开式，即（x^x）^（x^x）=（x^（x^x））^x=x^-雅罗斯拉夫·克里泽克2014年2月1日
当n>=1时，取整（phi^prime（n））==1（mod prime（n）），当n>=3时，取取整（φ^prime，n）==1（mod 2*prime（n*））-弗拉基米尔·舍维列夫2014年3月21日
连续根sqrt（1+sqrt，1+squart（1+…））趋向于φ-乔瓦尼·泽达2019年6月22日
等于sqrt（2+sqrt，2+squart（2-…）））-迭戈·拉塔吉2021年4月17日
给定任何复数p，使得实数（p）>-1，phi是方程z^p+z^（p+1）=z^（p+2）的唯一实数解，也是复映射z->M（z，p）的唯一吸引子，其中M（z，p）=（z^p+z^（p+1））^（1/（p+2））从任何复平面点收敛-斯坦尼斯拉夫·西科拉2021年10月14日
唯一能使其小数部分、整数部分和数字本身（x-[x]、[x]和x）形成几何级数的正数是phi，分别为（phi-1、1、phi）和比率=phi。这是1975年加拿大第七届数学奥林匹克运动会第四题的答案（见IMO链接和Doob参考）-伯纳德·肖特2021年12月8日
黄金比率是唯一的数字x，即f（n*x）*c（n/x）-f（n/x）*c-克拉克·金伯利2022年1月4日
马丁·加德纳（Martin Gardner）在《第二本科学美国人的数学困惑与转移》（The Second Scientific American Book Of Mathematical Puzzles and Diversions）中写道，到1910年，马克·巴尔（1871-1950）将φ作为黄金比例的象征-伯纳德·肖特2022年5月1日
Phi是等腰三角形等边的长度，边c=Phi^2，内角（A，B）=36度，c=108度-加里·亚当森2022年6月20日
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参考文献
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迈克尔·杜布（Michael Doob），1969-1993年加拿大数学奥林匹克和加拿大数学奥林匹克协会，1975年第4期，第76-77页，1993年。
理查德·邓拉普（Richard A.Dunlap），《黄金比率和斐波那契数》（The Golden Ratio and Fibonacci Numbers），《世界科学》（World Scientific），新泽西州河边，1997年。
史蒂文·芬奇，《数学常数》，《数学及其应用百科全书》，第94卷，剑桥大学出版社，2003年，第1.2节。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《第二本科学美国人的数学困惑与转移》（The Second Scientific American Book Of Mathematical Puzzles and Diversions），《Phi:黄金比例》（Phi:The Golden Ratio），第8章，西蒙&舒斯特出版社，纽约，1961年。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《怪水与模糊逻辑：边缘观察者的更多笔记》，《黄金比例的崇拜》，普罗米修斯出版社，1996年，第9章，第90-97页。
H.E.Huntley，《神圣比例》，纽约州多佛市，1970年。
马里奥·利维奥（Mario Livio），《黄金比例》（The Golden Ratio），百老汇图书公司，纽约，2002年。[参见G.Markowsky在链接字段中的评论]
加里·梅斯纳（Gary B.Meisner），《黄金比例：数学的神圣之美》（The Golden Ratio:The Divine Beauty of Mathematics），赛点出版社（The Quarto Group），2018年。德语翻译：Der Goldene Schnitt，Librero，2023年。
斯科特·奥尔森（Scott Olsen），《黄金地段》，沃克公司，纽约，2006年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
汉斯·瓦尔泽，黄金分割，数学。美国协会。华盛顿特区，2001年。
大卫·威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社，纽约，1986年，1987年修订版。见第36-40页。
克劳德·雅克·威拉德（Claude-Jacques Willard），《巴黎马格纳德》（Le nombre d'or），1987年。
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链接
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国际海事组织简编，问题4，1975年第七届加拿大数学奥林匹克竞赛。
L.B.W.Jolley，级数求和1961年，多佛
Simon Litsyn和Vladimir Shevelev，满足小费马定理的非理性因素，《国际数论杂志》，第1卷，第4期（2005年），第499-512页。
乔治·马科斯基，关于黄金比例的误解《大学数学杂志》，23:1（1992年1月），2-19。
乔治·马科斯基，书评：黄金比例，AMS通知，52:3（2005年3月），344-347。
J.J.O’Connor和E.F.Robertson，黄金比例.
雨果·普福尔特纳，100万位φ，使用A.J.Yee的y-cruncher进行计算。
赫尔曼·P·罗宾逊，CSR功能《大众计算》（加州卡拉巴萨），第4卷，第35期（1976年2月），第PC35-3至PC35-4页。带注释和扫描的副本。
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配方奶粉
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等于超几何2F1（[1/5，4/5]，[1/2]，3/4）=2*cos（（3/5）*arcsin（sqrt（3/4）））-阿图尔·贾辛斯基2008年10月26日
如果n是奇数，则φ^n的小数部分等于φ^（-n）。对于偶数n，phi^n的小数部分等于1-phi^（-n）。
一般公式：如果x>1满足x-x^（-1）=floor（x），其中x=该序列的phi，则：
对于奇数n:x^n-x^（-n）=楼层（x^n），因此fract（x^n）=x^，
对于偶数n:x^n+x^（-n）=上限（x^n），因此fract（x^n）=1-x^，
对于所有n>0:x^n+（-x）^（-n）=圆形（x^n）。
x=phi是x-x^（-1）=floor（x）的最小解（在这种情况下，floor（x）=1）。
常数x满足关系x-x^（-1）=楼层（x）的其他示例包括A014176号（银比率：其中底线（x）=2）和A098316型（“青铜”比率：其中地板（x）=3）。（完）
等于2*cos（Pi/5）=e^（i*Pi/5-埃里克·德斯比亚2010年3月19日
求和{n>=1}x^n/n^2=Pi^2/10-（log（2）*sin（Pi/10））^2，其中x=2*sin。[乔利，等式360d]
φ=1+Sum_{k>=1}（-1）^（k-1）/（F（k）*F（k+1）），其中F（n）是第n个斐波那契数(A000045号). 证明。根据加泰罗尼亚语的恒等式，F^2（n）-F（n-1）*F（n+1）=（-1）^（n-1）。因此，（-1）^（n-1）/（F（n）*F（n+1））=F（n。因此Sum_{k=1..n}（-1）^（k-1）/（F（k）*F（k+1））=F（n）/F（n+1）。如果n趋于无穷大，则趋向于1/φ=φ-1-弗拉基米尔·舍维列夫2013年2月22日
φ=平方（2/（3-平方（5）））=平方（2）/A094883号这是因为（（1+sqrt（5））^2）*（3-sqrt-杰弗里·卡文尼2014年4月19日
exp（arcsinh（cos（Pi/2-log（phi）*i））=exp-杰弗里·卡文尼2014年4月23日
exp（电弧（cos（Pi/3））=φ-杰弗里·卡文尼2014年4月23日
cos（Pi/3）+sqrt（1+cos（Pi/3）^2）-杰弗里·卡文尼2014年4月23日
2*phi=z^0+z^1-z^2-z^3+z^4，其中z=exp（2*Pi*i/5）。请参阅Wikipedia Kronecker-Weber定理链接-乔纳森·桑多2014年4月24日
φ=1/2+平方（1+（1/2）^2）-杰弗里·卡文尼2014年4月25日
Phi是x->sqrt（1+x）在初始值a>=-1上迭代的极限值-查伊姆·洛文2015年8月30日
1=所有非负整数n的和{k=0..n}二项式（n，k）/phi^（n+k）。
1=Sum_{n>=1}1/phi^（2n-1）。
1=总和{n>=2}1/phi^n。
phi=Sum_｛n>=1｝1/phi^n（结束）
φ=和{n>=0}（15*（2*n）！+8*n^2） /（2*n！^2*3^（2*n+2））。
φ=1/2+和{n>=0}5*（2*n）/（2*n！^2*3^（2*n+1））。（完）
phi=产品{k>=1}（1+2/（-1+2^k*（sqrt（4+（1-2/2^k）^2）+sqrt-格列布·科洛斯科夫2021年7月14日
等于乘积_｛k>=1｝（斐波那契（3*k）^2+（-1）^（k+1））/（斐波那契（3*k）^2+（-1）^ k）（Melham和Shannon，1995）-阿米拉姆·埃尔达尔2022年1月15日
等于2*e^（i*Pi/5）的实部。
等于-2*sin（37*Pi/10）。
等于1+1/（1+1/。
等于（2+3*（2+3*（2+3*…）^（1/4））^。
等于（1+2*（1+2*（1+2*…）^（1/3））^。
等于（1+φ+（1+phi+（1+phi+…）^（1/3））^。
等于13/8+Sum_{k=0..oo}（-1）^（k+1）*（2*k+1）/（（k+2）*k*4^（2*k+3））。
（完）
前面的公式适用于整数n，其中F（-n）=（-1）^（n+1）*F（n），对于n>=0，其中F=A000045号（n） ，对于n>=0。φ^n是二次数域Q中的整数（sqrt（5））-沃尔夫迪特·朗2023年9月16日
等于乘积{k>=0}（（5*k+2）*（5*k+3））/（（5*k+1）*（5*k+4））-安东尼奥·格拉西亚·洛伦特，2024年2月24日
等于乘积{k>=0}（（5^（k+1）+1）*（5^（k-1/2）+1））/（5^k+1）*。
等于乘积{k>=1}1-（4*（-1）^k）/（10*k-5+（-1）mk）=Product_{k>=1}A047221号（k）/A047209号（k） ●●●●。
等于乘积{k>=0}（（5*k+7）*（5*k+1+（-1）^k））/（（5*k+1）*（5*k+7+（-1。
等于乘积_｛k>=0｝（（10*k+3）*（10*k+5）*（10*k+8）^2）/（（10*k+2）*（10*k+4）*（10*k+9）^2）。
等于乘积{k>=5}1+1/（斐波那契（k）-（-1）^k）。
等于乘积{k>=2}1+1/Fibonacci（2*k）。
等于乘积{k>=2}（卢卡斯（k）^2+（-1）^k）/（卢卡斯（k）*2-4*（-1）*k）。（完）
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例子
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1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621...
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MAPLE公司
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数字：=1000；evalf（（1+sqrt（5））/2）#韦斯利·伊凡·赫特2013年11月1日
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数学
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实数字[（1+Sqrt[5]）/2，10，130](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月2日*）
实际数字[Exp[ArcSinh[1/2]]，10，111][[1](*罗伯特·威尔逊v2008年3月1日*）
真数字[GoldenRatio，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2015年10月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=（1+平方（5））/2；对于（n=120000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b001622.txt”，n，“”，d））\\哈里·史密斯2009年4月19日
（PARI）
/*数字-数字法：写为0.5+sqrt（1.25），从百分位开始*/
r=11；x=400；印刷品（1）；打印（6）；
对于（dig=1110，{d=0；while（20*r+d）*d<=x，d++）；
d--；/*当循环超出正确的数字时*/
打印（d）；x=100*（x-（20*r+d）*d）；r=10*r+d}）
（PARI）
a（n）=楼层（10^（n-1）*（quadgen（5））%10）；
alist（len）=数字（楼层（quadgen（5）*10^（len-1）））\\奇塔兰詹·帕尔德希2022年6月22日
（Python）
从sympy导入S
def-alst（n）：#截断多余的最后一位以避免舍入
返回列表（map（int，str（S.GoldenRation.n（n+1））.replace（“.”，“”））[：-1]
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000012号（连续分数系数），A000032号,A000045号,A006497号,A080039号,A104457号,A188635号,A192222号,A192223号,A145996型,A139339号,A197762号,A002163号,A094874号,A134973号.
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关键词
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作者
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扩展
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更多来自Gabriel Cunningham（gcasey（AT）mit.edu）的术语，2004年10月24日
Gutenberg项目的断开URL替换为乔治·菲舍尔2009年1月3日
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状态
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经核准的
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