等于和{n>=2}1/A064170型(n) =1/1+1/2+1/(2*5)+1/(5*13)+1/(13*34)+-加里·W·亚当森2007年12月15日
等于超几何2f1([1/5,4/5],[1/2],3/4)=2*cos((3/5)*反正弦(sqrt(3/4)))-雅辛斯基2008年10月26日
从希罗尼穆斯·菲舍尔2009年1月2日:(开始)
如果n为奇数,phi^n的小数部分等于phi^(-n)。对于偶数n,phi^n的小数部分等于1-phi^(-n)。
通式:假设x>1满足x-x^(-1)=楼层(x),其中x=该序列的phi,则:
对于奇数n:x^n-x^(-n)=楼层(x^n),因此分形(x^n)=x^(-n),
对于偶数n:x^n+x^(-n)=天花板(x^n),因此fract(x^n)=1-x^(-n),
对于所有n>0:x^n+(-x)^(-n)=圆形(x^n)。
x=phi是x-x^(-1)=floor(x)(本例中floor(x)=1)的最小解。
满足x-x^(-1)=floor(x)关系的常数x的其他示例包括A014176号(银比率:其中floor(x)=2)和A098316型(“青铜”比率:其中地板(x)=3)。(结束)
等于2*cos(Pi*1/5)=e^(i*Pi*1/5)+e^(-i*Pi*1/5)-埃里克·德斯比厄2010年3月19日
x-x^(-1)=楼层(x)的解由x=(1/2)*(m+sqrt(m^2+4)),m>=1确定;对于m=1,x=phi。对于连分式,溶液可以用x=[m;m,m,m,…]来描述,式中,对于x=φ,m=1;对于银比率,m=2A014176号,对于青铜比,m=3A098316型. -希罗尼穆斯·菲舍尔2010年10月20日
和{n>=1}x^n/n^2=Pi^2/10-(log(2)*sin(Pi/10))^2,其中x=2*sin(Pi/10)=此常数。[乔利,情商360d]
phi=1+和{k>=1}(-1)^(k-1)/(F(k)*F(k+1)),其中F(n)是第n个斐波纳契数(A000045型).证据。根据加泰罗尼亚的恒等式,F^2(n)-F(n-1)*F(n+1)=(-1)^(n-1)。因此,(-1)^(n-1)/(F(n)*F(n+1))=F(n)/F(n+1)-F(n-1)/F(n)。因此和{k=1..n}(-1)^(k-1)/(F(k)*F(k+1))=F(n)/F(n+1)。如果n趋于无穷大,则趋向于1/phi=phi-1-弗拉基米尔·谢韦列夫2013年2月22日
φn=(A000032号(n)+A000045型(n) *平方英尺(5))/2-托马斯奥多夫斯基2013年6月9日
设P(q)=积{k>=1}(1+q^(2*k-1))(g.fA000700美元),那么A001622号=exp(π/6)*P(经验值(-5*Pi))/P(经验值(-Pi))-斯蒂芬·比查德2013年10月6日
φ=i^(2/5)+i^(-2/5)=((i^(4/5))+1)/(i^(2/5))=2*(i^(2/5)-(sin(Pi/5))=2*(i^(-2/5)+(sin(Pi/5))i)-雅罗斯拉夫·克里泽克2014年2月3日
φ=sqrt(2/(3-sqrt(5)))。这是因为((1+sqrt(5))^2)*(3-sqrt(5))=8,因此((1+sqrt(5))/2)^2=2/(3-sqrt(5))-杰弗里·卡维尼2014年4月19日
exp(arcsinh(cos(Pi/2-log(phi)*i))=exp(arcsinh(sin(log(phi)*i))=(sqrt(3)+i)/2-杰弗里·卡维尼2014年4月23日
exp(arcsinh(cos(Pi/3))=φ-杰弗里·卡维尼2014年4月23日
cos(π/3)+sqrt(1+cos(Pi/3)^2)-杰弗里·卡维尼2014年4月23日
2*phi=z^0+z^1-z^2-z^3+z^4,其中z=exp(2*Pi*i/5)。请参阅维基百科克罗内克-韦伯定理链接-乔纳森·桑多2014年4月24日
φ=1/2+sqrt(1+(1/2)^2)-杰弗里·卡维尼2014年4月25日
Phi是初始值a>=-1时x->sqrt(1+x)迭代的极限值-查伊姆·洛文2015年8月30日
a(n)=-10*楼层((sqrt(5)+1)/2*10^(-2+n))+楼层((sqrt(5)+1)/2*10^(-1+n)),n>0-马里乌斯·伊瓦尼乌克2017年4月28日
从艾萨克藏红2018年2月28日:(开始)
1=和{k=0..n}二项式(n,k)/phi^(n+k),用于所有非负整数n。
1=和{n>=1}1/phi^(2n-1)。
1=和{n>=2}1/φ^n。
φ=和{n>=1}1/phi^n(结束)
从克里斯蒂安·卡茨曼2018年3月19日:(开始)
φ=和{n>=0}(15*(2*n)!+8*n^2) /(2*n!^2*3^(2*n+2))。
φ=1/2+和{n>=0}5*(2*n)/(2*n!^2*3^(2*n+1))。(结束)
φ=乘积{n>0}(1+2/(-1+2^n*(sqrt(4+(1-2/2^n)^2)+sqrt(4+(1-1/2^n)^2)))-戈洛斯科夫2021年7月14日
等于乘积{k>=1}(Fibonacci(3*k)^2+(-1)^(k+1))/(Fibonacci(3*k)^2+(-1)^k)(Melham和Shannon,1995)-阿米拉姆埃尔达2022年1月15日
|