登录
这个网站是通过捐款来支持的。OEIS基金会.

 

标志


提示
问候整数序列的在线百科全书!)
A000 85 17 二阶欧拉三角形T(n,k),1 <=k<=n。 五十八
1, 1, 2、1, 8, 6、1, 22, 58、24, 1, 52、328, 444, 120、1, 114, 1452、4400, 3708, 720、1, 240, 5610、32120, 58140, 33984、5040, 1, 494、19950, 195800, 644020、785304, 341136, 40320、785304, 341136, 40320、γ、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,3

评论

二阶Eulerian数<n,k>>t(n,k+ 1)计数k个上界的多集{1,1,2,2,…,n,n}的排列,对所有m的限制,m的两个拷贝之间的所有整数都小于m,特别是,两个1s总是彼此相邻。

当被看作多项式系数的下降指数,评价是在A000 0311(x=2)和A000 1662(x= - 1)。

行反转三角形A112007. 在这里,我们可以找到关于无符号斯特林1三角形对角线的O.G.F.S的注释。A000 8255

斯特林2(n,nk)=SuMu{{m=0…k-1 } t(k,m+1)*二项式(n+k-1+m,2*k),k>=1。见格雷厄姆等。参考文献271(6.43)。

这个三角形是在O.G.F中出现的多项式多项式的系数三角形,它是斯特林1三角形的k次对角线(k>=1)。A04903.

列k的O.G.F.满足递归g(k,x)=x*(2×x*(d/dx)g(k-1,x)+(2-k)* G(k-1,x))/(1-k*x),k>=2,与g(1,x)=1 /(1-x)。-狼人郎10月14日2005

这个三角形在某种意义上是由微分方程y’=1—2/(1+x+y)生成的。(这是由隐式定义的函数满足x+y=EXP(X-Y)的微分方程),如果我们取y=a(0)+a(1)x+a(2)x^ 2 +a(3)x^ 3 +…假设A(0)=C,则所有的A都可以用C形式计算,并且我们有(1)=(C-1)/(C+ 1),对于n>1,A(n)=2 ^ n/n!(1+c)^(1-2n)(t(n,1)c- t(n,2)c^ 2+t(n,3)c^ 3…+(- 1)^(n-1)t(n,n)c^ n)。-莫什舒穆尔纽曼,八月08日2007

从递推关系看,生成函数f(x,y)=1+SuMu{{n>=1, 1 <=k<=n}[t(n,k)x^ n/n!* y^ k]满足偏微分方程f=(1/y-2x)fyx+(y-1)fy y,具有(非初等)解f(x,y)=(1-y)/(1- phi(w)),其中w=y*EXP(x(y-1)^ 2-y)和Phi(x)由Phi(x)=x*EXP(Phi(x)”定义。通过拉格朗日反演(参见Wilf的书《生成泛函》,第168页,示例1),Phi(x)= SuMu{{n>=1 } n^(n-1)*x^ n/n!因此,Phi(x)可替代地描述为n个顶点上的有根标记树的E.F.A000 0169. -戴维卡兰7月25日2008

在KLAZAR参考文献中描述了一种用于求解PDEs的方法,例如F(x,y)中的一个(参见207—208页)。在他的情况下,辅助ODE D/DX= B(x,y)/a(x,y)是精确的;在这种情况下,它不是精确的,而是具有依赖于Y的积分因子,即Y-1。行和的E.F.A000 1147是1/平方RT(1-*x),f(x,1)=1/平方乘(1-2-x)的证明是有趣的:L'HopTwitter规则对Limi{{Y-> 1 } f(x,y)的两个应用产生f(x,1)=1(/1-2x)*1/f(x,1)。所以L'HopTi的规则不直接产生F(x,1),而是一个要求解的方程(f,x,1)!-戴维卡兰7月25日2008

汤姆·科普兰,10月12日2008;5月19日2010:(开始)

设p(0,t)=0,p(1,t)=1,p(2,t)=t,p(3,t)=t+2 t^ 2,p(4,t)=t+8 t^ 2+6 t^ 3,…然后是当前数组的行多项式,然后

EXP(x*p(,t))=(u+树(t*Exp(u)))/(1-t)=Wd(x*(1-t),t/(1-t))/(1-t)

其中u= x*(1-t)^ 2 -t,树(x)是E.F.A000 0169WD(x,t)是E.F.A13499通过简单变换将Ward和2欧拉多项式联系起来。

还注意到p(4,t)/(1-t)^ 3=Ward Poly(4,t/(1-t))=本质上是E.F.A093500.

F(x,t)=EXP(p(,,t)*x)关于x=0的成分逆是

g(x,t)=(x-(t/(1-t)^ 2)*(Exp(x*(1-t))-x*(1-t)- 1))

= x-t*x^ 2/2!-t*(1-t)*x^ 3/3!-t*(1-t)^ 2×x ^ 4/4!-t*(1-t)^ 3×x ^ 5/5!-….

可以应用A134685对这些系数产生F(x,t)。(结束)

三角形A16936类似于上面给出的一个,除了一个额外的右手列[ 1, 0, 0,0,…并且它的行顺序颠倒了。-约翰内斯·梅杰10月16日2009

汤姆·科普兰,SEP 04 2011:(开始)

设h(x,t)=1(/ 1(t/(1-t))*(EXP(x*(1-t))- 1)),在t中的行多项式的x的E.F.A000 829,然后在表T中的第n行多项式。A000 85 17由(h(x,t)*dx x)^(n+1)x给出,在x=0处求导。

此外,df(x,t)/dx= h(f(x,t),t),其中f(x,t)是t中的行多项式的x中的E.F.A000 85 17,即EXP(x*p(,t))在Copeland的2008评论中。(结束)

行是H向量。A13499. -汤姆·科普兰,10月03日2011

前WDVV环的希尔伯特级数,因此白房子单纯复形的H向量(参见Read,表1)。-汤姆·科普兰9月20日2014

出现在Buckholtz对EXP(NZ)系列中的误差项的分析中。-斯隆,朱尔05 2016

推荐信

R. L. Graham,D. E. Knuth和O. Patashnik,具体数学,第二版,Addison Wesley,阅读,MA,1994,第270页。[偏移] [0,0]:参见A201637]

链接

Vincenzo Librandi行n=1…50,扁平化

P. Bala具有生成函数EXP(T*F(x))的三角形对角线。

费尔南多·巴贝罗G,Jes的萨拉斯,爱德华多J.S.Viasas-Nor,一类线性递归的二元生成函数一、总体结构,阿西夫:1307.2010(数学,Co),2013。

巴贝罗G,J. Salas和E.J S.Viasas-Nor,一类线性递归的二元生成函数二。应用,ARXIV预告ARXIV:1307.5624 [数学,CO],2013。

费尔南多·巴贝罗G,Jes的萨拉斯,爱德华多J.S.Viasas-Nor,广义斯特灵置换与森林:高阶Eulerian和Ward数《组合数学》电子期刊22(3)(2015),第3页第37页。

F. Bergeron,Ph. Flajolet和B. Salvy,增树品种《计算机科学讲义》第581卷,J.C.C.拉乌特,斯普林格(1992),第24-48页。

J. D. Buckholtz关于Copson的一个近似,PROC。埃默。数学SOC,14(1963),564-568。

Naiomi T. Cameron,Kendra Killpatrick,线性弦图的统计,阿西夫:1902.09021(数学,Co),2019。

L. Carlitz渐近展开中的系数,PROC。埃默。数学SOC。16(1965)248~252。

L. Carlitz与第一、第二类斯特灵数有关的几个数贝格格拉德大学。埃勒克特雷恩。FAKSer。地垫编号54~57(1976):49-55。[注释扫描的副本。三角形是A000 85 17]

T. Copeland发电机、反演和矩阵、二项式和积分变换

D. Dominici嵌套导数:计算逆函数级数展开的一种简单方法。ARXIV:数学/0501052V2[数学.C],2005。

W. Gautschi指数积分…对于n的大值Jrn。RSCH的国家标准局,第62卷,第3期,1959年3月,Rsch。论文2941。-汤姆·科普兰,02月1日2016

我和R. P. Stanley斯特灵多项式J. Combin。理论,24(1978),24-33。

J. Ginsburg关于斯特灵数字的注记阿梅尔。数学月35(1928),第2号,77—80。-戴维卡兰8月27日2009

Jim Haglund和Mirko Visontai稳定的多元欧拉多项式与广义斯特灵置换《欧洲组合数学杂志》,第33卷,第4期,2012年5月,pp.47—47。

M. Klazar十二棵有根平面树的计数欧洲组合数学杂志18(1997),195-210;附录,18(1997),739-740。

Dmitry V. Kruchinin,Vladimir V. Kruchinin,第二类欧拉数的生成函数及其应用,阿西夫:1802.09003(数学,Co),2018。

Paul LevandeFisher燃烧数及其精细生成函数的两个新解释,阿西夫:1006.3013(数学,Co),2010。

石美玛与上下文无关文法相关的若干组合序列,ARXIV:1283104V2[数学.CO],2012。-来自斯隆8月21日2012

麻省理工学院,T. Mansour,M. Schork。正规序问题与斯特灵文法的推广,ARXIV预告ARXIV:1308.0169 [数学,CO],2013。

马英九,T. Mansour,1/k欧拉多项式与K-斯特林置换,ARXIV预告ARXIV:1409.6525 [数学,CO],2014。

O. J. MunchOM潜力挪威语,英文摘要,Nordisk Matematisk Tidskrift,7(1959),5-19。[注释扫描的副本]

O. J. MunchOM潜力挪威语,英文摘要,Nordisk Matematisk Tidskrift,7(1959),5-19。

M. A. Readdy物理学的前WDVV环及其拓扑,预印本2002,RAMANUJAN期刊,2005年10月,第10卷,第2期,第269页至第28页。

Grzegorz Rzadkowski,M Urlinska,欧拉数的一个推广,ARXIV预告ARXIV:1612.06635,2016

C. D. Savage,G. Viswanathan,1/k-欧拉多项式《梳子的Elec. J.》,第19卷,第1期,第2012页(第9页)。-来自斯隆,06月2日2013

M. D. Schmidt广义J -因子函数、多项式及其应用J. Int. Seq。13(2010),5.1。

L. M. SmileyCaliz有理函数序列的完备化,阿西夫:0006106(数学,Co),2000。

M. Z. Spivey关于一般组合递归的解J. Int. Seq。14(2011)×11 .9。

Eric Weisstein的数学世界,二阶欧拉三角形

维基百科第二类欧拉数

公式

t(n,k)=0,如果n<k,t(1,1)=1,t(n,1)=0,t(n,k)=k*t(n-1,k)+(2×n- k)*t(n-1,k-1)。

A(n,m)=SUMY{{K=0…nM}(- 1)^(n+k)*二项式(2×n+1,k)*斯特灵1(2×N-M k+1,N-M k+1)。-约翰内斯·梅杰10月16日2009

彼得巴拉,9月29日2011:(开始)

对于k= 0,1,2,…设G(k,x,t)=x-(1+2 ^ k*t)*x^ 2/2 +(1+2 ^ k*t+3 ^ k*t^ 2)*x^ 3/3 -(1+2 ^ k*t+3 ^ k*t^ 2+τ^ k*t^)**^ ^ +…然后,G(k,x,t)相对于x的级数回归给出了当k=1和Eulerian数时本表的E.G.F.A000 829当k=0时。

设V=-t*EXP((1-T)^ 2×X-T),并让B(x,t)=-(1+1/t* LambertW(v))/(1+λw(v))。从Copeland给出的E.F.我们发现B(x,t)=x,g(1,x,t)=SuMu{{n>=1 } r(n,t)*x^ n/n的成分逆。= x+(1+2×t)*x^ 2/2!+(1 + 8×t+6×t^ 2)*x^ 3/3!+…函数B(x,t)满足微分方程dB/dx=(1+b)*(1+t*b)^ 2=1+(2*t+1)*b+t*(t+2)*b^ 2 +t^ 2 *b^ 3。

应用[BelGron等人,定理1 ]给出了行生成多项式R(n,t):R(n,t)计数平面增加树,其中每个顶点具有出度<3,出度1的顶点为2×t+1颜色,出度2的顶点为t*(t+2)颜色,出度3的顶点为t^ 2色。下面给出一个例子。囊性纤维变性。A000 829. 应用[多米尼克,定理4.1 ]给出了计算行多项式r(n,t)的方法:设F(x,t)=(1+x)*(1+t*x)^ 2,设D为算子f(x,t)*d/dx。然后在x=0时评价R(n+1,t)=d^ n(f(x,t))。(结束)

汤姆·科普兰,OCT 03 2011:(开始)

A(n,k)=SuMu{{i=0…k}(- 1)^(k- i)二项式(n-Ⅰ,k-Ⅰ)A13499(n,i),偏移0。

p(n+1,t)=(1-t)^(2n+1)SuMu{{K>=1 } k^(n+k)[t*EXP(-t)] ^ k/k!对于n>0;因此,和(k>=1 }(-1)^ k k^(n+k)x^ k/k!=〔1+LW(x)〕^(-(2n+1))p[n+1,-Lw(x)],其中LW(x)是Labwit-W-函数,p(n,t),对于n>0,是在科普兰2008评论中给出的行多项式。(结束)

E.F.A(x,t)=-v*{SuMu{{j>=1 } D(j-1,u)(-z)^ j/j!} u=x*(1-t)^ 2-t,v=(1+u)/(1-t),z=(t+u)/[(1+u)^ 2 ]和d(j-1,u)是多项式。A042477. DA(x,t)/dx=(1-t)/[ 1 +u-(1-t)a(x,t)]=(1-t)/{ 1 +LW[-T-EXP(u)] },(Copeland的E.F.在2008注释中)。-汤姆·科普兰,10月06日2011

A13314应用于A(x,t)的导数意味着(a+b)^ n=0 ^ n,对于(Byn)=p(n+1,t)和(a0)=1,(aa1)=-t,和(aa-n)=-p(n,t)。例如,(A+B)^ 2=AY2*BY0+ 2 AY1*BY1+AY0*BY2=0。-汤姆·科普兰,10月08日2011

Y= y(t,x)=(X-t*(Exp(x)- 1))的成分逆(x)为1(/ 1-t)*y+t/(1-t)^ 3*y^ 2/2;+(t+2×t^ 2)/(1-t)^ 5*y^ 3/3!+(t+8×t^ 2+6×t^ 3)/(1-t)^ 7*y^ 4/4!+…T中有理函数的分子多项式是这个三角形的行多项式。如注释部分所述,T中的有理函数是第二类斯特灵数的三角形对角线的生成函数。A04903见Bala链接的证据。囊性纤维变性。A112007A13499. -彼得巴拉,十二月04日2011

行n的O.g.f.:(1-x)^(2×n+ 1)*SuMu{{K>=0 } k^(n+k)*EXP(-k*x)*x^ k/k!-保罗·D·汉娜10月31日2012

例子

三角形开始:

1;

1, 2;

1, 8, 6;

1, 22, 58、24;

1, 52, 328,444, 120;

第3行:在3个顶点上有三个平面增加0~1-2-3棵树。颜色的数量显示在顶点的右边。

.

1O(2×t+1)1ot*(t+1)1ot*(t+2)

“/ \ \”

“/ \ \”

2O(2×T+1)2O 3O 3O 2O

γ

γ

3O

.

总树数为(2×T+1)^ 2+t*(t+2)+t*(t+2)=1+8*t+6×t^ 2。

枫树

用(组合):A000 85 17= PoC(n,m)局部k:Ad((1)^(n+k)*二项式(2×n+1,k)*斯特林1(2×n-m k+1,n-m k+1),k=0…n- m)端:SEQ(SEQ)A000 85 17(n,m),m=1…n,n=1…8);

γ约翰内斯·梅杰10月16日2009修订11月22日2012

A000 85 17= PROC(n,k)选项记住;“如果”(n=1,‘If’(k=0, 1, 0));A000 85 17(n-1,k)*(k+ 1)+A000 85 17(N-1,K-1)*(2×N-K-1)结束:SEQ(SEQ)(SEQ)A000 85 17(n,k),k=0…n-1),n=1…9;

γ彼得卢斯尼4月20日2011

Mathematica

[n],My]=和[(- 1)^(n+k)*-二项式[ 2 n+1,k] *斯特林s1[2n-m k+1,n-m k+1 ],{k,0,n-m };平坦[表[a[n,m ],{n,1, 9 },{m,1,n}] ] [[1;;44 ] ] *让弗兰5月18日2011后约翰内斯·梅杰*)

黄体脂酮素

(PARI){t(n,k)=i(z);如果(n<1, 0,z=1+o(x));(k=1,n,z=1+正形(z ^ 2 *(z +y-1)));n!*POLCOFEF(PoCo(z,n),k));米迦勒索摩斯10月13日2002*

(PARI){t(n,k)=PoCoFeF((1-x)^ ^(2×n+1)*和)(j=0, 2×n+1,j^(n+j)*x^ j/j!*EXP(-j*x+x*o(x^ k))、k)}保罗·D·汉娜10月31日2012

对于(n=1, 10,(k=1,n,Prrt1(t(n,k),),));打印(“”)

(圣人)

@ CaseDead函数

DEFA000 85 17(n,k):

如果n=1:如果k=0,否则返回1,否则为0

退货A000 85 17(n-1,k)*(k+ 1)+A000 85 17(N-1,K-1)*(2×N-K-1)

n为(1…9):A000 85 17(n,k)k(0…n-1)]彼得卢斯尼10月31日2012

交叉裁判

列包括A000 5803A000 4301A000 6260. 右手列包括A000 0142A00 2538A000 2539. 行和是A000 1147.

对于一个(0,0)版本的“具体数学”和Maple见A201637.

语境中的顺序:A16064 A011244 A18966*A1423 A19335 A114193

相邻序列:A000 85 14 A000 85 15 A000 85 16*A000 85 18 A000 85 A000 820

关键词

诺恩塔布容易

作者

斯隆

地位

经核准的

查找γ欢迎γ维基γ注册γ音乐γ情节2γ演示γ指数γ浏览γ更多γ网络摄像机
贡献新的SEQ。或评论γ格式γ样式表γ变换γ超级导引头γ最近
OEIS社区通过保持OEIS基金会

许可协议、使用条款、隐私政策。.

最后修改9月18日16:37 EDT 2019。包含327177个序列。(在OEIS4上运行)