A008517-OEIS公司

抵消

1,3

二阶欧拉数<<n，k>>=T（n，k+1）计算具有k个上升点的多集{1,1,2,2，…，n，n}的置换，限制条件是对于所有m，m的两个副本之间的所有整数都小于m。特别是，这两个1s总是相邻的。

当被视为具有递减指数的多项式系数时，计算值为A000311号（x=2）和A001662号（x=-1）。

行倒三角形为A112007号在这里可以找到关于无符号Stirling1三角形对角线的o.g.f.s的注释|A008275号|.

斯特林2（n，n-k）=和{m=0..k-1}T（k，m+1）*二项式（n+k-1+m，2*k），k>=1。参见Graham等人参考第271页等式（6.43）。

该三角形是斯特林2三角形第k对角线（k>=1）的o.g.f.中出现的分子多项式的系数三角形A048993号.

列k的o.g.f满足递推式g（k，x）=x*（2*x*（d/dx）g（k-1，x）+（2-k）*g（k-1，x））/（1-k*x），k>=2，其中g（1，x）=1/（1-x）。 -Wolfdieter Lang公司2005年10月14日

这个三角形在某种意义上是由微分方程y'=1-2/（1+x+y）生成的。（这是隐式定义为x+y=exp（x-y）的函数所满足的微分方程。)如果我们取y=a（0）+a（1）x+a（2）x^2+a（3）x^3+。..并且假设a（0）=c，那么所有的a可以用c形式计算，我们有a（1）=（c-1）/（c+1），并且对于n>1，a（n）=2^n/n！（1+c）^（1-2n）。..+（-1）^（n-1）T（n，n）c^n）。 -Moshe Shmuel Newman公司2007年8月8日

根据递推关系，生成函数F（x，y）：=1+Sum_{n>=1，1<=k<=n}[T（n，k）x^n/n！*y^k]满足偏微分方程F=（1/y-2x）Fx+（y-1）F_y，其中（非初等）解F（x、y）=（1-y）/（1-Phi（w）），其中w=y*exp（x（y-1。通过拉格朗日反演（见威尔夫的书《生成功能学》，第168页，例1），Phi（x）=Sum_{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！因此，Phi（x）也可以描述为n个顶点上有根标记树的示例fA000169号. -大卫·卡伦2008年7月25日

Klazar参考文献（见第207-208页）中描述了求解PDE的方法，如F（x，y）的上述方法。在这种情况下，辅助ODE dy/dx=b（x，y）/a（x，y）是精确的；在这种情况下，它并不精确，但有一个仅依赖于y的积分因子，即y-1。行总和的示例fA001147号是1/sqrt（1-2*x），F（x，1）=1/sqrt（1-2*x）的证明很有趣：l'Hopital规则对lim_{y->1}F（x、y）的两个应用产生F（x）=1/（1-2x）*1/F（x，l）。所以l’Hopital法则并没有直接产生F（x，1），而是一个F（x、1）的方程！. -大卫·卡伦2008年7月25日

发件人汤姆·科普兰2008年10月12日；2010年5月19日：（开始）

设P（0，t）=0，P（1，t）=1，P（2，t）=t，P（3，t）=2t+2t^2，P（4，t）=3t+8t^2+6t^3。..为当前数组的行多项式，则

exp（x*P（.，t））=（u+树（t*exp（u）））/（1-t）=WD（x*（1-t

其中u=x*（1-t）^2-t，Tree（x）是A000169号WD（x，t）是用于A134991号，通过简单变换将Ward多项式和2-欧拉多项式联系起来。

还应注意P（4，t）/（1-t）^3=Ward Poly（4，t/（1-tA093500型.

f（x，t）=exp（P（.，t）*x）关于x=0的成分逆是

g（x，t）=（x-（t/（1-t）^2）*（exp（x*（1-t

=x-t*x^2/2！-t*（1-t）*x^3/3！-t*（1-t）^2*x^4/4！-t*（1-t）^3*x^5/5！ - ... .

可以申请A134685号这些系数生成f（x，t）。（结束）

三角形163936英镑与上面给出的类似，只是有一个额外的右列[1,0,0,0，…]，并且它的行顺序颠倒了。 -约翰内斯·梅耶尔2009年10月16日

发件人汤姆·科普兰2011年9月4日：（开始）

设h（x，t）=1/（1-（t/（1-t））*（exp（x*（1-tA008292号，然后是表中t的第n行多项式A008517号由（h（x，t）*D_x）^（n+1））x给出，导数在x=0处求值。

此外，df（x，t）/dx=hA008517号即科普兰2008年评论中的exp（x*P（.，t））。（结束）

这些行是的h向量A134991号. -汤姆·科普兰2011年10月3日

前WDVV环的Hilbert级数，从而得到Whitehouse单形复数的h向量（参见Readdy，表1）。 -汤姆·科普兰2014年9月20日

出现在Buckholtz对exp（nz）序列中误差项的分析中。 -N.J.A.斯隆2016年7月5日

参考文献

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维基百科，第二类欧拉数

公式

如果n<k，T（1,1）=1，T（n，-1）=0，T（n，k）=k*T（n-1，k）+（2*n-k）*T（n-1，k-1），则T（n、k）=0。

a（n，m）=和{k=0..n-m}（-1）^（n+k）*二项式（2*n+1，k）*斯特林1（2*n-m-k+1，n-m-k/1）。 -约翰内斯·梅耶尔2009年10月16日

发件人彼得·巴拉2011年9月29日：（开始）

对于k=0,1,2，。..放G（k，x，t）：=x-（1+2^k*t）*x^2/2+（1+2 ^k*t+3^k*t1^2）*x ^3/3-。…然后G（k，x，t）关于x的级数倒转给出了当k=1时当前表和欧拉数的一个例子fA008292号当k=0时。

设v=-t*exp（（1-t）^2*x-t），设B（x，t）=-（1+1/t*LambertW（v））/（1+LambertWv））。从Copeland给出的例子f.中，我们发现B（x，t）=g（1，x，t）=Sum_{n>=1}R（n，t）*x^n/n！=x+（1+2*t）*x^2/2！+（1+8*t+6*t^2）*x^3/3！+.…函数B（x，t）满足微分方程dB/dx=（1+B）*（1+t*B）^2=1+（2*t+1）*B+t*（t+2）*B^2+t^2*B^3。

应用[Bergeron等人，定理1]对行生成多项式R（n，t）：R（n、t）计数平面递增树给出了组合解释，其中每个顶点的出度<=3，出度1的顶点为2*t+1颜色，出度2的顶点为t*（t+2）颜色，出级3的顶点为t ^2颜色。下面给出了一个示例。囊性纤维变性。A008292号应用[Dominici，定理4.1]给出了计算行多项式R（n，t）的以下方法：设f（x，t）=（1+x）*（1+t*x）^2，设D是算子f（x、t）*D/dx。然后R（n+1，t）=D^n（f（x，t）），在x=0时计算。（结束）

发件人汤姆·科普兰2011年10月3日：（开始）

a（n，k）=和{i=0..k}（-1）^（k-i）二项式（n-i，k-i）A134991号（n，i），偏移量0。

P（n+1，t）=（1-t）^（2n+1）Sum_{k>=1}k^（n+k）[t*exp（-t）]^k/k！对于n>0；因此，求和{k>=1}（-1）^k^（n+k）x^k/k！=[1+LW（x）]^（-（2n+1））P[n+1，-LW（x。（结束）

例如，f.A（x，t）=-v*{Sum_{j>=1}D（j-1，u）（-z）^j/j！}其中u=x*（1-t）^2-t，v=（1+u）/（1-tA042977号.dA（x，t）/dx=（1-t）/[1+u-（1-t）A（x，t）]=（1-t）/{1+LW[-t exp（u）]}，（Copeland在2008年的评论中举例）。 -汤姆·科普兰2011年10月6日

A133314号应用于A（x，t）的导数意味着（A.+b.）^n=0^n，对于（b_n）=P（n+1，t）和（A_0）=1，（A_1）=-t，以及（A_n）=-P（n，t），否则。例如，本影，（a.+b.）^2=a_2*b_0+2a_1*b_1+a_0*b_2=0。 -汤姆·科普兰2011年10月8日

y=y（t；x）=（x-t*（exp（x）-1））的组成逆（相对于x）是1/（1-t）*y+t/（1-t^3*y^2/2！+（t+2*t^2）/（1-t）^5*y^3/3！+（t+8*t^2+6*t^3）/（1-t）^7*y^4/4！ + .…t中有理函数的分子多项式是该三角形的行多项式。如评论部分所述，t中的有理函数是第二类斯特林数三角形对角线的生成函数(A048993号).请参阅Bala链接以获取证据。囊性纤维变性。A112007号和A134991号. -彼得·巴拉2011年12月4日

第n行的O.g.f:（1-x）^（2*n+1）*Sum_{k>=0}k^（n+k）*exp（-k*x）*x^k/k！. -保罗·D·汉纳2012年10月31日

T（n，k）=n！*[x^n][t^k]（egf），其中egf=（1-t）/（1+LambertW（-exp（t^2*x-2*t*x-t+x）*t）），并且展开后W（-eexp（-t）t）被（-t）代替。 -沙米尔·沙基洛夫2025年2月17日

例子

三角形开始：

1;

1, 2;

1, 8, 6;

1, 22, 58, 24;

1, 52, 328, 444, 120; ...

第3行：在3个顶点上有三个增加0-1-2-3树的平面。颜色的数量显示在顶点的右侧。

.

1 o（2*t+1）1 o t*（t+2）1 o t*（t＋2）

| / \ / \

2o（2*t+1）2o3o3o2o

|

3个

.

树木总数为（2*t+1）^2+t*（t+2）+t*（t+2）=1+8*t+6*t^2。

MAPLE公司

使用（组合）：A008517号：=进程（n，m）局部k：加法（（-1）^（n+k）*二项式（2*n+1，k）*stirling1（2*n-m-k+1，n-m-k/1），k=0..n-m）结束：seq（seq(A008517号（n，m），m=1..n），n=1..8）；

#约翰内斯·梅耶尔，2009年10月16日，2012年11月22日修订

A008517号：=proc（n，k）选项记忆；`if`（n=1，`if`）（k=0，1，0），A008517号（n-1，k）*（k+1）+A008517号（n-1，k-1）*（2*n-k-1））结束：seq（打印（seq(A008517号（n，k），k=0..n-1），n=1..9）；

#彼得·卢什尼2011年4月20日

数学

a[n_，m_]=和[（-1）^（n+k）*二项式[2n+1，k]*StirlingS1[2n-m-k+1，n-m-k+1]，{k，0，n-m}]；扁平[表[a[n，m]，{n，1，9}，{m，1，n}][[1；；44]](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日之后约翰内斯·梅耶尔*)

黄体脂酮素

（PARI）{T（n，k）=my（z）；如果（n<1，0，z=1+O（x）；对于（k=1，n，z=1+整数（z^2*（z+y-1））；n！*polcoeff（z，n），k））}； /*迈克尔·索莫斯2002年10月13日*/

（PARI）{T（n，k）=polceoff（（1-x）^（2*n+1）*和（j=0，2*n+1,j^（n+j）*x^j/j！*exp（-j*x+x*O（x^k））），k）}\\保罗·D·汉纳，2012年10月31日

对于（n=1,10，对于（k=1，n，print1（T（n，k），“，”））；打印（“”）

（PARI）T（n，m）=总和（k=0，n-m，（-1）^（n+k）*二项式（2*n+1，k）*斯特林（2*n-m-k+1，n-m-k+1,1））； \\米歇尔·马库斯2021年12月7日

（鼠尾草）

@缓存函数

定义A008517号（n，k）：

如果n==1：如果k==0，则返回1，否则为0

返回2008年5月17日（n-1，k）*（k+1）+A008517号（n-1，k-1）*（2*n-k-1）

对于（1..9）中的n：[A008517号（n，k）对于k in（0..n-1）]#彼得·卢什尼2012年10月31日

交叉参考