1,3

二阶Eulerian数<n，k>＞t（n，k+ 1）计数k个上界的多集{1，1,2，2，…，n，n}的排列，对所有m的限制，m的两个拷贝之间的所有整数都小于m，特别是，两个1s总是彼此相邻。

当被看作多项式系数的下降指数，评价是在A000 0311（x＝2）和A000 1662（x= - 1）。

行反转三角形A112007. 在这里，我们可以找到关于无符号斯特林1三角形对角线的O.G.F.S的注释。A000 8255②

斯特林2（n，nk）＝SuMu{{m＝0…k-1 } t（k，m＋1）*二项式（n+k-1＋m，2＊k），k>＝1。见格雷厄姆等。参考文献271（6.43）。

这个三角形是在O.G.F中出现的多项式多项式的系数三角形，它是斯特林1三角形的k次对角线（k>＝1）。A04903.

列k的O.G.F.满足递归g（k，x）＝x*（2×x*（d/dx）g（k-1，x）+（2-k）* G（k-1，x））/（1-k*x），k>＝2，与g（1，x）＝1 /（1-x）。-狼人郎10月14日2005

这个三角形在某种意义上是由微分方程y’＝1—2／（1＋x+y）生成的。（这是由隐式定义的函数满足x+y＝EXP（X-Y）的微分方程），如果我们取y＝a（0）+a（1）x+a（2）x^ 2 +a（3）x^ 3 +…假设A（0）＝C，则所有的A都可以用C形式计算，并且我们有（1）＝（C-1）/（C+ 1），对于n＞1，A（n）＝2 ^ n/n！（1＋c）^（1-2n）（t（n，1）c- t（n，2）c^ 2＋t（n，3）c^ 3…+（- 1）^（n-1）t（n，n）c^ n）。-莫什舒穆尔纽曼，八月08日2007

从递推关系看，生成函数f（x，y）＝1＋SuMu{{n>＝1, 1 <＝k<＝n}[t（n，k）x^ n/n！* y^ k]满足偏微分方程f＝（1／y－2x）fyx+（y-1）fy y，具有（非初等）解f（x，y）＝（1-y）/（1- phi（w）），其中w＝y*EXP（x（y-1）^ 2-y）和Phi（x）由Phi（x）＝x*EXP（Phi（x）”定义。通过拉格朗日反演（参见Wilf的书《生成泛函》，第168页，示例1），Phi（x）= SuMu{{n>＝1 } n^（n-1）*x^ n/n！因此，Phi（x）可替代地描述为n个顶点上的有根标记树的E.F.A000 0169. -戴维卡兰7月25日2008

在KLAZAR参考文献中描述了一种用于求解PDEs的方法，例如F（x，y）中的一个（参见207—208页）。在他的情况下，辅助ODE D/DX= B（x，y）/a（x，y）是精确的；在这种情况下，它不是精确的，而是具有依赖于Y的积分因子，即Y-1。行和的E.F.A000 1147是1／平方RT（1-*x），f（x，1）＝1／平方乘（1-2-x）的证明是有趣的：L'HopTwitter规则对Limi{{Y-> 1 } f（x，y）的两个应用产生f（x，1）＝1（/1-2x）*1／f（x，1）。所以L'HopTi的规则不直接产生F（x，1），而是一个要求解的方程（f，x，1）！-戴维卡兰7月25日2008

从汤姆·科普兰，10月12日2008；5月19日2010：（开始）

设p（0，t）＝0，p（1，t）＝1，p（2，t）＝t，p（3，t）＝t+2 t^ 2，p（4，t）＝t+8 t^ 2＋6 t^ 3，…然后是当前数组的行多项式，然后

EXP（x*p（，t））=（u+树（t*Exp（u）））/（1-t）＝Wd（x*（1-t），t/（1-t））/（1-t）

其中u= x*（1-t）^ 2 -t，树（x）是E.F.A000 0169WD（x，t）是E.F.A13499通过简单变换将Ward和2欧拉多项式联系起来。

还注意到p（4，t）/（1-t）^ 3＝Ward Poly（4，t/（1-t））＝本质上是E.F.A093500.

F（x，t）＝EXP（p（，，t）*x）关于x＝0的成分逆是

g（x，t）＝（x-（t/（1-t）^ 2）*（Exp（x*（1-t））-x*（1-t）- 1））

= x-t*x^ 2/2！-t*（1-t）*x^ 3/3！-t*（1-t）^ 2×x ^ 4/4！-t*（1-t）^ 3×x ^ 5/5！-….

可以应用A134685对这些系数产生F（x，t）。（结束）

三角形A16936类似于上面给出的一个，除了一个额外的右手列[ 1, 0, 0，0，…并且它的行顺序颠倒了。-约翰内斯·梅杰10月16日2009

从汤姆·科普兰，SEP 04 2011：（开始）

设h（x，t）＝1（/ 1（t/（1-t））*（EXP（x*（1-t））- 1）），在t中的行多项式的x的E.F.A000 829，然后在表T中的第n行多项式。A000 85 17由（h（x，t）*dx x）^（n+1）x给出，在x＝0处求导。

此外，df（x，t）/dx= h（f（x，t），t），其中f（x，t）是t中的行多项式的x中的E.F.A000 85 17，即EXP（x*p（，t））在Copeland的2008评论中。（结束）

行是H向量。A13499. -汤姆·科普兰，10月03日2011

前WDVV环的希尔伯特级数，因此白房子单纯复形的H向量（参见Read，表1）。-汤姆·科普兰9月20日2014

出现在Buckholtz对EXP（NZ）系列中的误差项的分析中。-斯隆，朱尔05 2016

R. L. Graham，D. E. Knuth和O. Patashnik，具体数学，第二版，Addison Wesley，阅读，MA，1994，第270页。[偏移] [0，0]：参见A201637]

Vincenzo Librandi行n＝1…50，扁平化

P. Bala具有生成函数EXP（T*F（x））的三角形对角线。

费尔南多·巴贝罗G，Jes的萨拉斯，爱德华多J.S.Viasas-Nor，一类线性递归的二元生成函数一、总体结构，阿西夫：1307.2010（数学，Co），2013。

巴贝罗G，J. Salas和E.J S.Viasas-Nor，一类线性递归的二元生成函数二。应用，ARXIV预告ARXIV：1307.5624 [数学，CO]，2013。

费尔南多·巴贝罗G，Jes的萨拉斯，爱德华多J.S.Viasas-Nor，广义斯特灵置换与森林：高阶Eulerian和Ward数《组合数学》电子期刊22（3）（2015），第3页第37页。

F. Bergeron，Ph. Flajolet和B. Salvy，增树品种《计算机科学讲义》第581卷，J.C.C.拉乌特，斯普林格（1992），第24-48页。

J. D. Buckholtz关于Copson的一个近似，PROC。埃默。数学SOC，14（1963），564-568。

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L. Carlitz渐近展开中的系数，PROC。埃默。数学SOC。16（1965）248～252。

L. Carlitz与第一、第二类斯特灵数有关的几个数贝格格拉德大学。埃勒克特雷恩。FAKSer。地垫编号54～57（1976）：49－55。[注释扫描的副本。三角形是A000 85 17]

T. Copeland发电机、反演和矩阵、二项式和积分变换

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O. J. MunchOM潜力挪威语，英文摘要，Nordisk Matematisk Tidskrift，7（1959），5-19。

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Eric Weisstein的数学世界，二阶欧拉三角形

维基百科第二类欧拉数

t（n，k）＝0，如果n＜k，t（1，1）＝1，t（n，1）＝0，t（n，k）＝k*t（n-1，k）+（2×n- k）*t（n-1，k-1）。

A（n，m）＝SUMY{{K＝0…nM}（- 1）^（n+k）*二项式（2×n＋1，k）*斯特灵1（2×N-M k+1，N-M k+1）。-约翰内斯·梅杰10月16日2009

从彼得巴拉，9月29日2011：（开始）

对于k= 0，1，2，…设G（k，x，t）＝x-（1＋2 ^ k*t）*x^ 2/2 +（1＋2 ^ k*t+3 ^ k*t^ 2）*x^ 3/3 -（1＋2 ^ k*t+3 ^ k*t^ 2＋τ^ k*t^）**^ ^ +…然后，G（k，x，t）相对于x的级数回归给出了当k＝1和Eulerian数时本表的E.G.F.A000 829当k＝0时。

设V＝-t*EXP（（1-T）^ 2×X-T），并让B（x，t）＝-（1＋1／t* LambertW（v））/（1＋λw（v））。从Copeland给出的E.F.我们发现B（x，t）＝x，g（1，x，t）＝SuMu{{n>＝1 } r（n，t）*x^ n/n的成分逆。= x+（1＋2×t）*x^ 2/2！+（1 + 8×t+6×t^ 2）*x^ 3/3！+…函数B（x，t）满足微分方程dB／dx＝（1＋b）*（1＋t*b）^ 2＝1＋（2＊t+1）*b+t*（t+2）*b^ 2 +t^ 2 *b^ 3。

应用[BelGron等人，定理1 ]给出了行生成多项式R（n，t）：R（n，t）计数平面增加树，其中每个顶点具有出度＜3，出度1的顶点为2×t+1颜色，出度2的顶点为t*（t+2）颜色，出度3的顶点为t^ 2色。下面给出一个例子。囊性纤维变性。A000 829. 应用[多米尼克，定理4.1 ]给出了计算行多项式r（n，t）的方法：设F（x，t）＝（1＋x）*（1＋t*x）^ 2，设D为算子f（x，t）*d/dx。然后在x＝0时评价R（n＋1，t）＝d^ n（f（x，t））。（结束）

从汤姆·科普兰，OCT 03 2011：（开始）

A（n，k）＝SuMu{{i＝0…k}（- 1）^（k- i）二项式（n-Ⅰ，k-Ⅰ）A13499（n，i），偏移0。

p（n＋1，t）＝（1-t）^（2n+1）SuMu{{K>＝1 } k^（n+k）[t*EXP（-t）] ^ k/k！对于n＞0；因此，和（k>＝1 }（-1）^ k k^（n+k）x^ k/k！=〔1＋LW（x）〕^（-（2n+1））p[n+1，-Lw（x）]，其中LW（x）是Labwit-W-函数，p（n，t），对于n＞0，是在科普兰2008评论中给出的行多项式。（结束）

E.F.A（x，t）＝-v*{SuMu{{j>＝1 } D（j-1，u）（-z）^ j/j！} u＝x*（1-t）^ 2-t，v＝（1＋u）/（1-t），z＝（t+u）/[（1＋u）^ 2 ]和d（j-1，u）是多项式。A042477. DA（x，t）/dx＝（1-t）/[ 1 +u-（1-t）a（x，t）]＝（1-t）/{ 1 +LW[-T-EXP（u）] }，（Copeland的E.F.在2008注释中）。-汤姆·科普兰，10月06日2011

A13314应用于A（x，t）的导数意味着（a+b）^ n＝0 ^ n，对于（Byn）＝p（n＋1，t）和（a0）＝1，（aa1）=-t，和（aa－n）=-p（n，t）。例如，（A+B）^ 2＝AY2*BY0+ 2 AY1*BY1+AY0*BY2＝0。-汤姆·科普兰，10月08日2011

Y= y（t，x）＝（X-t*（Exp（x）- 1））的成分逆（x）为1（/ 1-t）*y+t/（1-t）^ 3＊y^ 2/2；+（t+2×t^ 2）/（1-t）^ 5＊y^ 3/3！+（t+8×t^ 2＋6×t^ 3）/（1-t）^ 7＊y^ 4/4！+…T中有理函数的分子多项式是这个三角形的行多项式。如注释部分所述，T中的有理函数是第二类斯特灵数的三角形对角线的生成函数。A04903）见Bala链接的证据。囊性纤维变性。A112007和A13499. -彼得巴拉，十二月04日2011

行n的O.g.f.：（1-x）^（2×n+ 1）*SuMu{{K>＝0 } k^（n+k）*EXP（-k*x）*x^ k/k！-保罗·D·汉娜10月31日2012

三角形开始：

1；

1, 2；

1, 8, 6；

1, 22, 58、24；

1, 52, 328，444, 120；

第3行：在3个顶点上有三个平面增加0~1-2-3棵树。颜色的数量显示在顶点的右边。

.

1O（2×t+1）1ot*（t+1）1ot*（t+2）

“/ \ \”

“/ \ \”

2O（2×T+1）2O 3O 3O 2O

γ

γ

3O

.

总树数为（2×T+1）^ 2＋t*（t＋2）+t*（t＋2）＝1＋8＊t+6×t^ 2。

用（组合）：A000 85 17= PoC（n，m）局部k:Ad（（1）^（n+k）*二项式（2×n＋1，k）*斯特林1（2×n－m k+1，n－m k+1），k＝0…n- m）端：SEQ（SEQ）A000 85 17（n，m），m＝1…n，n＝1…8）；

γ约翰内斯·梅杰10月16日2009修订11月22日2012

A000 85 17= PROC（n，k）选项记住；“如果”（n＝1，‘If’（k＝0, 1, 0））；A000 85 17（n-1，k）*（k+ 1）+A000 85 17（N-1，K-1）*（2×N-K-1）结束：SEQ（SEQ）（SEQ）A000 85 17（n，k），k＝0…n-1），n＝1…9；

γ彼得卢斯尼4月20日2011

[n]，My]＝和[（- 1）^（n+k）*-二项式[ 2 n+1，k] *斯特林s1[2n－m k+1，n－m k+1 ]，{k，0，n-m }；平坦[表[a[n，m ]，{n，1, 9 }，{m，1，n}] ] [[1；；44 ] ] *让弗兰5月18日2011后约翰内斯·梅杰*）

（PARI）{t（n，k）＝i（z）；如果（n＜1, 0，z＝1＋o（x））；（k＝1，n，z＝1＋正形（z ^ 2 *（z +y-1）））；n！＊POLCOFEF（PoCo（z，n），k））；米迦勒索摩斯10月13日2002＊

（PARI）{t（n，k）＝PoCoFeF（（1-x）^ ^（2×n+1）*和）（j＝0, 2×n+1，j^（n+j）*x^ j/j！*EXP（-j*x+x*o（x^ k））、k）}保罗·D·汉娜10月31日2012

对于（n＝1, 10，（k＝1，n，Prrt1（t（n，k），），））；打印（“”）

（圣人）

@ CaseDead函数

DEFA000 85 17（n，k）：

如果n＝1：如果k＝0，否则返回1，否则为0

退货A000 85 17（n-1，k）*（k+ 1）+A000 85 17（N-1，K-1）*（2×N-K-1）

n为（1…9）：A000 85 17（n，k）k（0…n-1）]彼得卢斯尼10月31日2012

列包括A000 5803，A000 4301，A000 6260. 右手列包括A000 0142，A00 2538，A000 2539. 行和是A000 1147.

对于一个（0，0）版本的“具体数学”和Maple见A201637.

语境中的顺序：A16064 A011244 A18966*A1423 A19335 A114193

相邻序列：A000 85 14 A000 85 15 A000 85 16*A000 85 18 A000 85 A000 820

诺恩，塔布，好，容易

斯隆

经核准的