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A008517号
二阶欧拉三角形T(n,k),1<=k<=n。
63
1, 1, 2, 1, 8, 6, 1, 22, 58, 24, 1, 52, 328, 444, 120, 1, 114, 1452, 4400, 3708, 720, 1, 240, 5610, 32120, 58140, 33984, 5040, 1, 494, 19950, 195800, 644020, 785304, 341136, 40320, 1, 1004, 67260, 1062500, 5765500, 12440064, 11026296, 3733920, 362880
抵消
1,3
评论
二阶欧拉数<<n,k>>=T(n,k+1)计算具有k个上升点的多集{1,1,2,2,…,n,n}的置换,限制条件是对于所有m,m的两个副本之间的所有整数都小于m。特别是,这两个1s总是相邻的。
当被视为具有递减指数的多项式系数时,计算值为A000311号(x=2)和A001662号(x=-1)。
行倒三角形为A112007号在这里可以找到关于无符号Stirling1三角形对角线的o.g.f.s的注释|A008275号|.
斯特林2(n,n-k)=和{m=0..k-1}T(k,m+1)*二项式(n+k-1+m,2*k),k>=1。参见Graham等人参考第271页等式(6.43)。
该三角形是斯特林2三角形第k对角线(k>=1)的o.g.f.中出现的分子多项式的系数三角形A048993号.
列k的o.g.f满足递推式g(k,x)=x*(2*x*(d/dx)g(k-1,x)+(2-k)*g(k-1,x))/(1-k*x),k>=2,其中g(1,x)=1/(1-x)。 -Wolfdieter Lang公司2005年10月14日
这个三角形在某种意义上是由微分方程y'=1-2/(1+x+y)生成的。(这是隐式定义为x+y=exp(x-y)的函数所满足的微分方程。)如果我们取y=a(0)+a(1)x+a(2)x^2+a(3)x^3+。..并且假设a(0)=c,那么所有的a可以用c形式计算,我们有a(1)=(c-1)/(c+1),并且对于n>1,a(n)=2^n/n!(1+c)^(1-2n)。..+(-1)^(n-1)T(n,n)c^n)。 -Moshe Shmuel Newman公司2007年8月8日
根据递推关系,生成函数F(x,y):=1+Sum_{n>=1,1<=k<=n}[T(n,k)x^n/n!*y^k]满足偏微分方程F=(1/y-2x)Fx+(y-1)F_y,其中(非初等)解F(x、y)=(1-y)/(1-Phi(w)),其中w=y*exp(x(y-1。通过拉格朗日反演(见威尔夫的书《生成功能学》,第168页,例1),Phi(x)=Sum_{n>=1}n^(n-1)*x^n/n!因此,Phi(x)也可以描述为n个顶点上有根标记树的示例fA000169号. -大卫·卡伦2008年7月25日
Klazar参考文献(见第207-208页)中描述了求解PDE的方法,如F(x,y)的上述方法。在这种情况下,辅助ODE dy/dx=b(x,y)/a(x,y)是精确的;在这种情况下,它并不精确,但有一个仅依赖于y的积分因子,即y-1。行总和的示例fA001147号是1/sqrt(1-2*x),F(x,1)=1/sqrt(1-2*x)的证明很有趣:l'Hopital规则对lim_{y->1}F(x、y)的两个应用产生F(x)=1/(1-2x)*1/F(x,l)。所以l’Hopital法则并没有直接产生F(x,1),而是一个F(x、1)的方程!. -大卫·卡伦2008年7月25日
发件人汤姆·科普兰2008年10月12日;2010年5月19日:(开始)
设P(0,t)=0,P(1,t)=1,P(2,t)=t,P(3,t)=2t+2t^2,P(4,t)=3t+8t^2+6t^3。..为当前数组的行多项式,则
exp(x*P(.,t))=(u+树(t*exp(u)))/(1-t)=WD(x*(1-t
其中u=x*(1-t)^2-t,Tree(x)是A000169号WD(x,t)是用于A134991号,通过简单变换将Ward多项式和2-欧拉多项式联系起来。
还应注意P(4,t)/(1-t)^3=Ward Poly(4,t/(1-tA093500型.
f(x,t)=exp(P(.,t)*x)关于x=0的成分逆是
g(x,t)=(x-(t/(1-t)^2)*(exp(x*(1-t
=x-t*x^2/2!-t*(1-t)*x^3/3!-t*(1-t)^2*x^4/4!-t*(1-t)^3*x^5/5! - ... .
可以申请A134685号这些系数生成f(x,t)。(结束)
三角形163936英镑与上面给出的类似,只是有一个额外的右列[1,0,0,0,…],并且它的行顺序颠倒了。 -约翰内斯·梅耶尔2009年10月16日
发件人汤姆·科普兰2011年9月4日:(开始)
设h(x,t)=1/(1-(t/(1-t))*(exp(x*(1-tA008292号,然后是表中t的第n行多项式A008517号由(h(x,t)*D_x)^(n+1))x给出,导数在x=0处求值。
此外,df(x,t)/dx=hA008517号即科普兰2008年评论中的exp(x*P(.,t))。(结束)
这些行是的h向量A134991号. -汤姆·科普兰2011年10月3日
前WDVV环的Hilbert级数,从而得到Whitehouse单形复数的h向量(参见Readdy,表1)。 -汤姆·科普兰2014年9月20日
出现在Buckholtz对exp(nz)序列中误差项的分析中。 -N.J.A.斯隆2016年7月5日
参考文献
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik,《混凝土数学》,第二版,Addison-Wesley,Reading,MA,1994年,第270页。[偏移[0,0]:参见A201637号]
链接
文森佐·利班迪,行n=1..50,扁平
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor,一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构,arXiv:1307.2010[math.CO],2013年。
J.F.Barbero G.、J.Salas和E.J.S.Villaseñor,一类线性递归的二元生成函数。二、。应用,arXiv预印本arXiv:1307.5624[math.CO],2013。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor,广义斯特林排列与森林:高阶欧拉数和沃德数,《组合学电子期刊》22(3)(2015),第P3.37页。
F.Bergeron,Ph.Flajolet和B.Salvy,增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷,J.-C.Raoult编辑,Springer(1992),第24-48页。
J.D.Buckholtz,关于Copson的近似,程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》,14(1963),564-568。
Naiomi T.Cameron和Kendra Killpatrick,线性弦图统计,arXiv:1902.09021[math.CO],2019年。
L.Carlitz,渐近展开式中的系数,程序。阿默尔。数学。《社会分类》第16卷(1965年)第248-252页。
L.Carlitz,与第一类和第二类斯特林数有关的一些数贝尔格莱德大学出版社。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。,编号544-576(1976):49-55。[带注释的扫描副本。三角形为A008517号.]
R.M.Corless、G.H.Gonnet、D.E.G.Hare、D.J.Jeffrey和D.E.Knuth,关于Lambert W函数《计算数学进展》,第5卷(1996年),第329-359页,公式(3.6),备用链路.
丁明健和蒋增,利用树函数证明Ramanujan笔记本中一个级数的显式公式,arXiv:2307.00566[math.CO],2023年。
D.多米尼克,嵌套导数:一种计算反函数级数展开式的简单方法。arXiv:math/0501052v2[math.CA],2005年。
Sen-Peng Eu、Dong-Shan Fu和Yeh-Jong Pan,simsun置换的改进符号平衡,欧洲药典。 36 (2014) 97-109
W.Gautschi,指数积分。..对于较大的n值,小。Rsch的。国家标准局,第62卷,第3号,1959年3月,Rsch。第2941号文件。 -汤姆·科普兰2016年1月2日
I.Gessel和R.P.Stanley,斯特林多项式,J.Combin.理论,A 24(1978),24-33。
J.金斯堡,关于斯特林数的注记阿默尔。数学。《月刊》第35期(1928年),第2期,第77-80页。 -大卫·卡伦2009年8月27日
Jim Haglund和Mirko Visontai,稳定多元欧拉多项式与广义斯特林置换《欧洲组合数学杂志》,第33卷,第4期,2012年5月,第477-487页。
M.Klazar,有根的梧桐树的12个计数《欧洲组合数学杂志》18(1997),195-210;附录,18(1997),739-740。
德米特里·克鲁奇宁和弗拉基米尔·克鲁奇宁,第二类欧拉数的生成函数及其应用,arXiv:1802.09003[math.CO],2018年。
保罗·莱万德,Fishburn数及其精化生成函数的两种新解释,arXiv:1006.3013[math.CO],2010年。
刘飞虎、辛国策、张晨,阶多项式的埃尔哈特多项式:OEIS上组合序列的解释,arXiv:2412.18744[math.CO],2024。见第29页。
彼得·卢什尼,二阶欧拉数,是的伴侣A340556型2021年2月。
马仕美,与上下文无关文法相关的一些组合序列,arXiv:1208.3104v2[math.CO],2012年。-来自N.J.A.斯隆2012年8月21日
S.-M.Ma、T.Mansour和M.Schork。正规排序问题与Stirling文法的推广,arXiv预印本arXiv:1308.0169[math.CO],2013。
S.-M.Ma、T.Mansour、,1/k-Euler多项式与k-Stirling置换,arXiv预印本arXiv:1409.6525[math.CO],2014。
O.J.Munch,Om potensproduktsummer公司[挪威文,英文摘要],Nordisk Matematisk Tidskrift,7(1959),5-19。[带注释的扫描副本]
O.J.Munch,Om potensproduktsummer公司[挪威文,英文摘要],Nordisk Matematisk Tidskrift,7(1959),5-19。
Andrew Elvey Price和Alan D.Sokal,Ward多项式的系统发生树、增广完美匹配和Thron型连分数(T分数),arXiv:2001.01468[math.CO],2020年。
Readdy硕士,预WDVV物理环及其拓扑2002年预印本,《拉马努贾期刊》,2005年10月,第10卷,第2期,第269-281页。
Grzegorz Rzadkowski和M Urlinska,欧拉数的推广,arXiv预印arXiv:1612.066352016
C.D.Savage和G.Viswanathan,1/k欧拉多项式库姆电气J。,第19卷,第1期,第9页(2012)。-来自N.J.A.斯隆2013年2月6日
M.D.Schmidt,广义j因子函数、多项式及应用,J.国际顺序。13(2010),10.6.7,第5.1节。
L.M.Smiley,Carlitz有理函数序列的完备化,arXiv:0006106[math.CO],2000年。
M.Z.斯皮维,关于一般组合递归的解,J.国际顺序。 14 (2011) # 11.9.7.
埃里克·魏斯坦的数学世界,二阶欧拉三角形
维基百科,第二类欧拉数
公式
如果n<k,T(1,1)=1,T(n,-1)=0,T(n,k)=k*T(n-1,k)+(2*n-k)*T(n-1,k-1),则T(n、k)=0。
a(n,m)=和{k=0..n-m}(-1)^(n+k)*二项式(2*n+1,k)*斯特林1(2*n-m-k+1,n-m-k/1)。 -约翰内斯·梅耶尔2009年10月16日
发件人彼得·巴拉2011年9月29日:(开始)
对于k=0,1,2,。..放G(k,x,t):=x-(1+2^k*t)*x^2/2+(1+2 ^k*t+3^k*t1^2)*x ^3/3-。…然后G(k,x,t)关于x的级数倒转给出了当k=1时当前表和欧拉数的一个例子fA008292号当k=0时。
设v=-t*exp((1-t)^2*x-t),设B(x,t)=-(1+1/t*LambertW(v))/(1+LambertWv))。从Copeland给出的例子f.中,我们发现B(x,t)=g(1,x,t)=Sum_{n>=1}R(n,t)*x^n/n!=x+(1+2*t)*x^2/2!+(1+8*t+6*t^2)*x^3/3!+.…函数B(x,t)满足微分方程dB/dx=(1+B)*(1+t*B)^2=1+(2*t+1)*B+t*(t+2)*B^2+t^2*B^3。
应用[Bergeron等人,定理1]对行生成多项式R(n,t):R(n、t)计数平面递增树给出了组合解释,其中每个顶点的出度<=3,出度1的顶点为2*t+1颜色,出度2的顶点为t*(t+2)颜色,出级3的顶点为t ^2颜色。下面给出了一个示例。囊性纤维变性。A008292号应用[Dominici,定理4.1]给出了计算行多项式R(n,t)的以下方法:设f(x,t)=(1+x)*(1+t*x)^2,设D是算子f(x、t)*D/dx。然后R(n+1,t)=D^n(f(x,t)),在x=0时计算。(结束)
发件人汤姆·科普兰2011年10月3日:(开始)
a(n,k)=和{i=0..k}(-1)^(k-i)二项式(n-i,k-i)A134991号(n,i),偏移量0。
P(n+1,t)=(1-t)^(2n+1)Sum_{k>=1}k^(n+k)[t*exp(-t)]^k/k!对于n>0;因此,求和{k>=1}(-1)^k^(n+k)x^k/k!=[1+LW(x)]^(-(2n+1))P[n+1,-LW(x。(结束)
例如,f.A(x,t)=-v*{Sum_{j>=1}D(j-1,u)(-z)^j/j!}其中u=x*(1-t)^2-t,v=(1+u)/(1-tA042977号.dA(x,t)/dx=(1-t)/[1+u-(1-t)A(x,t)]=(1-t)/{1+LW[-t exp(u)]},(Copeland在2008年的评论中举例)。 -汤姆·科普兰2011年10月6日
A133314号应用于A(x,t)的导数意味着(A.+b.)^n=0^n,对于(b_n)=P(n+1,t)和(A_0)=1,(A_1)=-t,以及(A_n)=-P(n,t),否则。例如,本影,(a.+b.)^2=a_2*b_0+2a_1*b_1+a_0*b_2=0。 -汤姆·科普兰2011年10月8日
y=y(t;x)=(x-t*(exp(x)-1))的组成逆(相对于x)是1/(1-t)*y+t/(1-t^3*y^2/2!+(t+2*t^2)/(1-t)^5*y^3/3!+(t+8*t^2+6*t^3)/(1-t)^7*y^4/4! + .…t中有理函数的分子多项式是该三角形的行多项式。如评论部分所述,t中的有理函数是第二类斯特林数三角形对角线的生成函数(A048993号).请参阅Bala链接以获取证据。囊性纤维变性。A112007号A134991号. -彼得·巴拉2011年12月4日
第n行的O.g.f:(1-x)^(2*n+1)*Sum_{k>=0}k^(n+k)*exp(-k*x)*x^k/k!. -保罗·D·汉纳2012年10月31日
T(n,k)=n!*[x^n][t^k](egf),其中egf=(1-t)/(1+LambertW(-exp(t^2*x-2*t*x-t+x)*t)),并且展开后W(-eexp(-t)t)被(-t)代替。 -沙米尔·沙基洛夫2025年2月17日
例子
三角形开始:
1;
1, 2;
1, 8, 6;
1, 22, 58, 24;
1, 52, 328, 444, 120; ...
第3行:在3个顶点上有三个增加0-1-2-3树的平面。颜色的数量显示在顶点的右侧。
.
1 o(2*t+1)1 o t*(t+2)1 o t*(t+2)
| / \ / \
| / \ / \
2o(2*t+1)2o3o3o2o
|
|
3个
.
树木总数为(2*t+1)^2+t*(t+2)+t*(t+2)=1+8*t+6*t^2。
MAPLE公司
使用(组合):A008517号:=进程(n,m)局部k:加法((-1)^(n+k)*二项式(2*n+1,k)*stirling1(2*n-m-k+1,n-m-k/1),k=0..n-m)结束:seq(seq(A008517号(n,m),m=1..n),n=1..8);
#约翰内斯·梅耶尔,2009年10月16日,2012年11月22日修订
A008517号:=proc(n,k)选项记忆;`if`(n=1,`if`)(k=0,1,0),A008517号(n-1,k)*(k+1)+A008517号(n-1,k-1)*(2*n-k-1))结束:seq(打印(seq(A008517号(n,k),k=0..n-1),n=1..9);
#彼得·卢什尼2011年4月20日
数学
a[n_,m_]=和[(-1)^(n+k)*二项式[2n+1,k]*StirlingS1[2n-m-k+1,n-m-k+1],{k,0,n-m}];扁平[表[a[n,m],{n,1,9},{m,1,n}][[1;;44]](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日之后约翰内斯·梅耶尔*)
黄体脂酮素
(PARI){T(n,k)=my(z);如果(n<1,0,z=1+O(x);对于(k=1,n,z=1+整数(z^2*(z+y-1));n!*polcoeff(z,n),k))}; /*迈克尔·索莫斯2002年10月13日*/
(PARI){T(n,k)=polceoff((1-x)^(2*n+1)*和(j=0,2*n+1,j^(n+j)*x^j/j!*exp(-j*x+x*O(x^k))),k)}\\保罗·D·汉纳,2012年10月31日
对于(n=1,10,对于(k=1,n,print1(T(n,k),“,”));打印(“”)
(PARI)T(n,m)=总和(k=0,n-m,(-1)^(n+k)*二项式(2*n+1,k)*斯特林(2*n-m-k+1,n-m-k+1,1)); \\米歇尔·马库斯2021年12月7日
(鼠尾草)
@缓存函数
定义A008517号(n,k):
如果n==1:如果k==0,则返回1,否则为0
返回2008年5月17日(n-1,k)*(k+1)+A008517号(n-1,k-1)*(2*n-k-1)
对于(1..9)中的n:[A008517号(n,k)对于k in(0..n-1)]#彼得·卢什尼2012年10月31日
交叉参考
行总和为A001147号.
有关“混凝土数学”和Maple使用的基于(0,0)的版本,请参见A201637号。有关将此三角形作为子三角形的基于(0,0)的版本,请参见A340556型.
关键词
非n,,美好的,容易的
作者
状态
经核准的