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A084938号 |
| 行读取的三角形:T(n,k)=Sum_{j>=0}j*T(n-j-1,k-1)对于n>=0,k>=0。 |
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635
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 6, 5, 3, 1, 0, 24, 16, 9, 4, 1, 0, 120, 64, 31, 14, 5, 1, 0, 720, 312, 126, 52, 20, 6, 1, 0, 5040, 1812, 606, 217, 80, 27, 7, 1, 0, 40320, 12288, 3428, 1040, 345, 116, 35, 8, 1, 0, 362880, 95616, 22572, 5768, 1661, 519, 161, 44, 9, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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三角形T(n,k)是[0,1,1,2,2,3,3,4,4,…]三角形[1,0,0,,0,0,…]=A110654号三角洲A000007号.
一般来说,三角形[r_0,r_1,r_2,r_3,…]DELTA[s_0,s_1,s_2,s_3,..]具有生成函数1/(1-(r_0*x+s_0*x*y)/(1-(r _1*x+s _1*x*y)/(1-[r_2*x+s2*x*y])/(1-(r_3*x+s_3*y/(1-…(连分数))。另请参阅下面的公式部分。
T(n,k)=[n]上的置换数,其中(i)仅包含作为4132模式的一部分的132模式,(ii)以n+1-k开头。例如,对于n>=1,T(n、1)=(n-1)!计数所有(n-1)![n]上以n开头的排列:要么全部避免132,要么在4132模式中,初始条目充当“4”,T(4,3)=3表示2134,2314,2341-大卫·卡伦2005年7月20日
T(n,k)是[n]上的排列数,这些排列(i)仅包含作为1342图案的一部分的(分散的)342图案,并且(ii)在位置k中包含1。例如,T(4,3)计数3214、4213、4312。(例如,2314不算在内,因为231构成了一个冒犯性的342模式。)-大卫·卡伦2005年7月20日
Riordan数组(1,x*g(x)),其中g(x)是阶乘(n!)的g.f-保罗·巴里2008年9月25日
T(n,k)是具有k个循环的{1,2,…,n}的排列的数目,使得排列的每个循环的元素形成一个区间-冉·潘2016年11月11日
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链接
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David Callan,合成特征序列的组合解释,arXiv:math/0507169[math.CO],2005年。
谢尔盖·基塔耶夫(Sergey Kitaev)和菲利普·张(Philip B.Zhang),短长网格图案的分布,arXiv:1811.07679[math.CO],2018年。
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配方奶粉
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算子DELTA取两个序列r=(r_0,r_1,…),s=(s_0,s_1,..),并生成三角形T(n,k),0<=k<=n,如下所示:
设q(k)=x*r_k+y*s_k,k>=0;设P(n,k)(n>=0,k>=-1)被P(0,k)=1递归定义为k>=0;当n>=1时,P(n,-1)=0;当n>=1,k>=0时,P(n,k)=P(n、k-1)+q(k)*P(n-1,k+1)。那么P(n,k)是x和y中n次的齐次多项式,T(n,k)=P(n、0)中x^(n-k)*y^k的系数。
T(n,n)=1。
T(m+n,m)=和{k=0..n}A090238号(n,k)*二项式(m,k)。
列k的G.f:求和{n>=0}T(k+n,k)*x^n=(求和{n>=0{n!*x^n)^k。
对于k>0,T(n+k,k)=Sum_{a_1+a_2+..+a_k=n}(a_1)*(a_2)!**(a_k)!;a_i>=0,n>=0。
T(n,k)=和{j>=0}A075834号(j) *T(n-1,k+j-1)。
和{k=0..n}(-1)^k*T(n,k)=[n=0]-A052186号(n-1)*[n>0]。(结束)
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例子
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三角形[0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,…]三角形[1,0,0,0,…]开始
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0、2、2、1;
0, 6, 5, 3, 1;
0, 24, 16, 9, 4, 1;
0, 120, 64, 31, 14, 5, 1;
0, 720, 312, 126, 52, 20, 6, 1;
0, 5040, 1812, 606, 217, 80, 27, 7, 1;
0, 40320, 12288, 3428, 1040, 345, 116, 35, 8, 1;
0, 362880, 95616, 22572, 5768, 1661, 519, 161, 44, 9, 1. (结束)
生产矩阵为
0, 1;
0, 1, 1;
0, 1, 1, 1;
0, 2, 1, 1, 1;
0, 7, 2, 1, 1, 1;
0, 34, 7, 2, 1, 1, 1;
0, 206, 34, 7, 2, 1, 1, 1;
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MAPLE公司
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DELTA:=过程(r,s,n)局部T,x,y,q,P,i,j,k,t1;T:=数组(0..n,0..n);
对于从0到n的i,做q[i]:=x*r[i+1]+y*s[i+1];od:对于从0到n的k do P[0,k]:=1;od:对于从0到n的i,P[i,-1]:=0;日期:
对于i从1到n do,对于k从0到n doP[i,k]:=排序(展开(P[i,k-1]+q[k]*P[i-1,k+1));日期:日期:
对于i从0到n做t1:=P[i,0];对于从0到i的j,T[i,j]:=系数(系数(t1,x,i-j),y,j);od:lprint(序列(T[i,j],j=0..i));od:结束;
#要生成当前三角形:s3:=n->floor((n+1)/2);s4:=n->如果n=0,则为1,否则为0;fi;r:=[序列(s3(i),i=0..40)];s:=[序列(s4(i),i=0..40)];三角洲(r,s,20);
PMatrix(10,n->阶乘(n-1))#彼得·卢什尼2022年10月9日
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数学
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a[0,0]=1;a[n_,k_]:=a[n,k]=和[j!a[n-j-1,k-1],{j,0,n-1}];压扁[表[a[i,j],{i,0,10},{j,0,i}]](*T.D.诺伊2012年2月22日*)
DELTA[r_,s_,m_]:=模[{p,q,t,x,y},q[k_]:=x*r[[k+1]]+y*s[[k+1]];p[0,_]=1;p[_,-1]=0;p[n_/;n>=1,k_/;k>=0]:=p[n,k]=p[n,k-1]+q[k]*p[n-1,k+1]//展开;t[n_,k_]:=系数[p[n,0],x^(n-k)*y^k];t[0,0]=p[0,0];表[t[n,k],{n,0,m},{k,0,n}]];DELTA[Floor[范围[10]/2],前置[Table[0,{10}],1],10](*Jean-François Alcover公司,2013年9月12日,之后菲利普·德尔汉姆*)
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黄体脂酮素
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(鼠尾草)
定义delehamdelta(R,S):
L=最小值(长度(R),长度(S))+1
环=多项式环(ZZ,'x')
x=环.gen()
A=[Rk+x*Sk代表Rk,Sk代表拉链(R,S)]
C=[环(0)]+[环(1),i在范围(L)内]
对于(1..L)中的k:
对于范围(k-1,0,-1)中的n:
C[n]=C[n-1]+C[n+1]*A[n-1]
产量清单(C[1])
对于delehamdelta中的行([(i+1)//2表示(0..n)]中的i,[0^i表示(0..n)中的i):
打印(行)
(岩浆)
如果k lt 0或k gt n,则返回0;
elif n eq 0或k eq n,然后返回1;
elif k eq 0,然后返回0;
else返回(&+[阶乘(j)*T(n-j-1,k-1):[0..n-1]]中的j);
结束条件:;返回T;
端函数;
[T(n,k):[0..n]中的k,[0..12]]中的n//G.C.格鲁贝尔,2022年11月10日
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交叉参考
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关键词
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作者
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菲利普·德尔汉姆2003年7月16日;更正2008年12月17日、2008年12日20日、2009年2月5日
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扩展
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状态
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已批准
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