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| A000384号 |
| 六边形数：a（n）=n*（2*n-1）。
（原名M4108 N1705）
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430
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0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560
(列表;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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熵函数H（x）=（1+x）log（1+x）+（1-x）log（1-x）的幂级数展开式具有1/a_i作为x^（2i）的系数（奇数项为零）托马索·托福利（tt（AT）bu.edu），2002年5月6日
更一般地说，如果p1和p2是两个任意选择的不同素数，那么a（n）是（p1^2*p2）^（n-1）的除数，或者是A054753号^（n-1）-蚂蚁王，2011年8月29日
众所周知，对于n>0，A014105号（n） [0,3,10,21，…]是2n+1个连续整数中的第一个，使得第一个n+1个这样的整数的平方和等于最后一个n的平方和；例如，10^2+11^2+12^2=13^2+14^2。
鲜为人知的是，对于n>1，a（n）[0,1,6,15,28，…]是2n个连续整数中的第一个，因此前n个此类整数的平方和等于最后n-1的平方和加上n^2；例如，15^2+16^2+17^2=19^2+20^2+3^2-查理·马里恩，2006年12月16日
从0开始，沿0、6、……方向读取行，找到序列。。。和从1开始的直线，在方向1，15。。。，在顶点为广义六边形数的方形螺旋中A000217号. -奥马尔·波尔2009年1月9日
设Hex（n）=六角形数，T（n）=三角形数，则Hex（n）=T（n”）+3*T（n-1）-文森佐·利班迪2010年11月10日
对于n>=1，1/a（n）=和{k=0..2*n-1}（（-1）^（k+1）*二项式（2*n-1，k）*二项式（2xn-1+k，k）*H（k）/（k+1。
从划分为象限的正方形的n种颜色中选择任意2种颜色的可能不同颜色的数目-保罗·克利里2010年12月21日
对于n>0，a（n-1）是三元组（w，x，y）的数目，所有项都在{0，…，n}中，max（|w-x|，|x-y|）=|w-y|-克拉克·金伯利2012年6月12日
设一个三角形有T（0,0）=0和T（r，c）=|r^2-c^2|。第（n）行和第（n-1）行中的术语之差之和为a（n）-J.M.贝戈2013年6月17日
a（n）是正好有两个1的长度为2n的二元序列的数目。a（2）=6，因为我们有：{0,0,1,1}，{0,1,0}，}，1,0,1,1}，2,0,1}。带插值零点的普通生成函数是：（x^2+3*x^4）/（1-x^2）^3-杰弗里·克雷策2014年1月2日
对于n>0，a（n）是最大整数k，使得k^2+n^2是k+n的倍数。更一般地，对于m>0和n>0，使得k^（2*m）+n^（2*m）是k+n的倍数的最大整数k由k=2*n^（2*m）-n给出-德里克·奥尔2014年9月4日
（0,1,4,0,0,0，…）的二项式变换和（0,1，4,4,…）的第二部分和-加里·亚当森2015年10月5日
a（n）还给出了当n>=4时单李代数D_n的维数-沃尔夫迪特·朗，2015年10月21日
对于n>0，a（n）等于n+11的n部分组成的数量，避开第2、3、4部分-米兰Janjic2016年1月7日
同时给出了n-鸡尾酒会图中最小控制集和最大无冗余集的个数-埃里克·韦斯特因2017年6月29日和8月17日
正如Beedassy的公式所示，这个六角数列是三角形数列的奇数平分。这两个序列都是比喻数字序列。对于A000384号，a（n）可以通过将其三角形数乘以其六边形数得到。例如，让我们使用数字153。153据说是第17个三角形数，但也被认为是第9个六边形数。三角形（17）六边形（9）。17*9=153. 因为六边形数列是三角形数列的子集，所以六边形的数列总是既有三角形数又有六边形数。n*（2*n-1），因为（2*n-1）呈现三角形编号-布鲁斯·尼克尔森2017年11月5日
另外，数字k具有以下性质：在sigma（k）的对称表示中，最小的Dyck路径具有中心谷，最大的Dycl路径具有中心峰，n>=1。因此，所有大于0的六边形数都有中间除数。（参见。A237593型.) -奥马尔·波尔，2018年8月28日
素数n和k=2..n-1的k^a（n-1）modn=1-约瑟夫·舒尼亚2019年2月10日
似乎这些是数字k，其性质是sigma（k）对称表示中的最小子部分为1-奥马尔·波尔2021年8月28日
第n个六角形数等于从2*n-1开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和；例如，1、2+4、3+5+7、4+6+8+10等。通常，第n个2k-角数是从（k-2）*n-（k-3）开始具有相同奇偶校验的n个连续整数的和。当k=1和2时，此结果生成正整数，A000027号和方块，A000290型分别是-查理·马里恩2022年3月2日
猜想：对于n>0，min{k，存在{0,1,2，…，A（n）}的子集A，B，使得|A|=|B|=k和A+B={0,12,2，……，2*A（n-迈克尔·朱2022年3月9日
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参考文献
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阿尔伯特·贝勒，《数字理论中的再现》，纽约州多佛市，1964年，第189页。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第77-78页。（在第77页的积分公式中，余弦参数缺少左括号。）
E.Deza和M.M.Deza，《数字》，世界科学出版社（2012年），第6页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；1920年第2卷；1923年第3卷，见第2卷，第2页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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C.K.Cook和M.R.Bacon，一些多边形数求和公式，纤维。问，52（2014），336-343。
Elena Deza和Michel Deza，数字：书的呈现2011年10月7日至9日，第三届蒙特利尔多伦多数字理论研讨会。
阿尼修斯·曼利乌斯·塞韦里努斯·博伊修斯，去机构算术，第2册，第15节。
乔纳森·博文（Jonathan M.Borwein）、德克·努延斯（Dirk Nuyens）、阿明·斯特劳布（Armin Straub）和詹姆斯·万（James Wan），随机游动积分《拉马努扬日报》，2011年10月，26:109。DOI:10.1007/s11139-011-9325-y。
Jose Manuel Garcia Calcines、Luis Javier Hernandez Paricio和Maria Teresa Rivas Rodriguez，圆柱体和细分的半简单组合，arXiv:2307.13749[math.CO]，2023年。见第32页。
Pakawut Jiradilok和Elchanan Mossel，网格上的高斯广播，arXiv:240.2.11990[cs.IT]，2024。见第27页。
萨米恩·艾哈迈德·汗，多边形数倒数的幂和《国际申请杂志》。数学。（2020）第33卷，第2期，265-282。
克拉克·金伯利，互补方程《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.4条。
Hyun Kwang Kim，关于正则多面体数，程序。阿默尔。数学。《社会学杂志》，131（2002），65-75。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
米歇尔·沃尔德施米特，连续分数2015年5月18日至29日：Oujda（Maroc）。
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公式
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例如：exp（x）*（x+2x^2）-保罗·巴里2003年6月9日
通用格式：x*（1+3*x）/（1-x）^3-西蒙·普劳夫在他1992年的论文中，去掉了最初的零
a（n）=M^n*[1,0,0]的右项，其中M=3X3矩阵[1,0,1,0；1,1,0；1,4,1]。例如：a（5）=45，因为M^5*[1,0,0]=[1,5,45]-加里·亚当森2006年12月24日
从偏移量1开始，=[1,5,4,0,0,0，…]的二项式变换。也，A004736号* [1, 4, 4, 4, ...]. -加里·亚当森，2007年10月25日
（n）^2+（a（n）+1）^2+…+（a（n）+n-1）^2=（a（n）+n+1）^2+…+（a（n）+2n-1）^2+n^2；例如，6^2+7^2=9^2+2^2；28^2 + 29^2 + 30^2 + 31^2 = 33^2 + 34^2 + 35^2 + 4^2. -查理·马里恩2007年11月10日
a（n）=二项式（n+1,2）+3*二项式。
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n2）+a（n-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=6-杰姆·奥利弗·拉丰2008年12月2日
a（n）=a（n-1）+4*n-3（a（0）=0）-文森佐·利班迪2010年11月20日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）+4-蚂蚁王2011年8月26日
a（4*a（n）+7*n+1）=a（4*1（n）+7*n）+a（4xn+1）-弗拉基米尔·舍维列夫2014年1月24日
和{n>=1}（-1）^n/a（n）=log（2）-Pi/2-瓦茨拉夫·科特索维奇2018年4月20日
a（n+1）=三项式（2*n+1，2）=三项式（2xn+1，4*n），对于n>=0，带有三项式不规则三角形A027907号.a（n+1）=（n+1”）*（2*n+1）=（1/Pi）*Integral_{x=0..2}（1/sqrt（4-x^2））*（x^2-1）^（2*n+1）*R（4*n-2，x），其中R多项式系数在A127672号[Comtet，p.77，q=3，n->2*n+1，k=2的积分公式，用x=2*cos（phi）重写]-沃尔夫迪特·朗2018年4月19日
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MAPLE公司
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数学
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线性递归[{3，-3，1}，{0，1，6}，50](*哈维·P·戴尔2015年9月10日*）
连接[{0}，累加[Range[1，312，4]]](*哈维·P·戴尔2016年3月26日*）
（*对于Mathematica 10.4+*）表[PolygonalNumber[RegularPolygon[6]，n]，{n，0，48}](*阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2016年8月27日*）
系数列表[级数[x*（1+3*x）/（1-x）^3，{x，0，100}]，x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年9月2日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=n*（2*n-1）
（PARI）a（n）=二项式（2*n，2）\\阿尔图·阿尔坎2015年10月6日
（哈斯克尔）
a000384 n=n*（2*n-1）
a000384_list=扫描（+）0 a016813_list
（Python）#用于计算序列的初始段，而不是孤立项。
定义aList（）：
x、 y=1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y=x+y+4，y+4
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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