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| A003319号 |
| [1..n]的连接排列数（对于0<j<n，不固定[1..j]的排列数）。也称为不可分解置换或不可约置换。
（原名M2948）
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112
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1, 1, 1, 3, 13, 71, 461, 3447, 29093, 273343, 2829325, 31998903, 392743957, 5201061455, 73943424413, 1123596277863, 18176728317413, 311951144828863, 5661698774848621, 108355864447215063, 2181096921557783605, 46066653228356851631, 1018705098450570562877
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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还有Aguiar和Sottile介绍的没有全局下降的排列数[推论6.3、6.4和备注6.5]。
还研究了Malvenuto-Reutenauer-Hopf置换代数的本原元空间的齐次分量的维数。由于Poirier和Reutenauer【定理2.1】，这一结果在Aguiar和Sottile【推论6.3】的工作中以及在Duchamp、Hivert和Thibon【第3.3节】的工作中以这种形式陈述。
与秩为2的自由群中索引n-1的子群数有关（即任何2-生成元群中索引n-1的最大子群数）。参见斯坦利的枚举组合数学第二卷中的问题5.13（b）。
对于每一个n，a（n+1）也是区间0..无穷大上概率密度函数rho（x）=exp（x）/（Ei（1，-x）*（Ei，1-x）+2*I*Pi）的n阶矩，Ei是指数积分函数-格鲁·罗兰2009年1月16日
此外（显然），a（n+1）是在任何属的表面上具有n个省道的根超映射的数量（参见Walsh 2012）-N.J.A.斯隆2012年8月1日
还有从每个内部顶点到该顶点后代的带有箭头的移动节点数（循环根树）-布拉德·琼斯2014年9月12日
截至符号，A型碎片交点阶的Möbius数，参见阅读参考文献中的定理1.3-F.查波顿2015年4月29日
此外，a（n）是大小为n的完全非二义树的不同叶矩阵的数目-丹尼尔·陈2022年10月23日
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参考文献
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R.P.Stanley，枚举组合数学，剑桥，第1卷，第1章，例128；1999年第2卷，见问题5.13（b）。
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链接
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Joerg Arndt，生成随机排列，博士论文，澳大利亚国立大学，堪培拉，澳大利亚，（2010年）。
罗兰·巴赫（Roland Bacher）和克里斯托夫·鲁特纳（Christophe Reutenauer），右理想的个数与不可分解置换的q类比，arXiv预印本arXiv:11511.00426[math.CO]，2015。
Julien Berestycki、Eric Brunet和Zhan Shi，有多少进化史只会增加体质？，arXiv预印本arXiv:1304.0246[math.PR]，2013。
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彼得·卡梅隆的博客，对称群，11，发布日期：2011年4月9日。
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I.M.Gessel和R.P.Stanley代数枚举（生成函数请参见第7-8页。）
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配方奶粉
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G.f.：2-1/求和{k>=0}k*x ^k。
同时a（n）=n！-求和{k=1..n-1}k*a（n-k）[鲍文，1976年]。
还有发散级数展开对数Sum_{n>=0}n！中的系数*x^n=Sum_{n>=1}a（n+1）*x^n/n【Bowen，1976年】。
a（n）=（-1）^（n-1）*det{|1！2！…n！|1 1！…（n-1”）！|0 1 1！……（n-2）！|…|0…01 1！|}。
L.g.f.：求和{n>=1}a（n）*x^n/n=log（求和{n>=0}n！*x^n）-保罗·D·汉纳2007年9月19日
G.f.：1+x/（1-x/（1-2*x/（1-2*x/（1-3*x/（1-3*x/（1-4*x/（1-4*x/（1-…）））））））（续分数）-保罗·巴里2008年10月7日
a（n）=M^（n-1）中的左上项，M=三角形A128175号作为无穷平方生产矩阵（删除第一个“1”）；如下：
1, 1, 0, 0, 0, 0, ...
2, 2, 1, 0, 0, 0, ...
4, 4, 3, 1, 0, 0, ...
8、8、7、4、1、0、。。。
16, 16, 15, 11, 5, 1, ...
…（结束）
O.g.f.满足：A（x）=x-x*A（x-保罗·D·汉纳2011年7月30日
设A（x）为g.f。；然后
A（x）=1/Q（0），其中Q（k）=x+1+x*k-（k+2）*x/Q（k+1）。
A（x）=（1-1/U（0））/x，当U（k）=1+x*（2*k+1）/（1-2*x*（k+1）或（2*x*（k+1）+1/U（k+1。（结束）
连续分数：
G.f.：1-G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/。
G.f.：（x/2）*G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1/2）+1/G（k+1）））。
G.f.：x*G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（x-1/G（k+1））。
G.f.：1-1/G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+1）-1/（1-x*（k+1）/。
G.f.：x*W（0），其中W（k）=1-x*（k+1）/。
（结束）
a（n）=A233824型（n-1）如果n>0。（证明集b（n）=A233824型（n） ，因此b（n）=n*n！-求和{k=1..n-1}k*b（n-k）。要得到n>=0时的a（n+1）=b（n），请在n上进行归纳，使用（n+1）！=n个！+n！，并将总和中的k替换为k+1。）-乔纳森·桑多2013年12月19日
a（n）~n！*（1-2/n-1/n^2-5/n^3-32/n^4-253/n^5-2381/n^6-25912/n^7-319339/n^8-4388949/n^9-66495386/n^10），系数见A260503型. -瓦茨拉夫·科特索维奇2015年7月27日
镀锌：1+x/（1+x-2*x/（1+2*x-3*x/。囊性纤维变性。A000698号。
G.f.：1/（1-x/（1+x-x/（1-2*x/（1-2*x/）（1-3*x/。（结束）
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例子
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G.f.=1+x+x^2+3*x^3+13*x^4+71*x^5+461*x^6+3447*x^7+29093*x^8+。。。
如果在1..n-1中存在一个i，使得范围1..i中的所有j和范围i+1..n中的所有k都是p（j）<p（k），那么[n]中的置换p（其中n>=0）是可约的。（注意，范围a.b.包括a和b。）如果这样的i存在，我们说i在i处分裂排列。
示例：
*（）不可约，因为没有将（）分割的索引i。（=>a（0）=1）
*（1）是不可约的，因为没有分裂（1）的索引i。（=>a（1）=1）
*由于索引1将（1，2）拆分为p（1）<p（2），所以（1，2中）是可约的。
*（2，1）是不可约的，因为在唯一的势分裂点i=1处，我们有p（1）>p（2）。（=>a（2）=1）
*对于n=3，我们有（1，2，3），（1，3，2），和（2，1，3）是可约的，（2，3，1），（3，1，2）和（3，2，1）是不可约的。（结束）
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MAPLE公司
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反转（[seq（n！，n=1..20）]）；
级数（2-1/超几何（[1,1]，[]，x），x=0，50）#马克·范·霍伊2013年4月18日
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数学
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系数列表[假设[Element[x，Reals]，Series[2-E^（1/x）*x/ExpIntegralEi[1/x]，{x，0，20}]]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月7日*）
a[n]：=如果[n<2，1，a[n]=（n-2）a[n-1]+和[a[k]a[n-k]，{k，n-1}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年2月23日*）
表[级数系数[1+x/（1+ContinuedFractionK[-楼层[（k+2）/2]*x，1，{k，1，n}]），{x，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<1，1，a=向量（n）；a[1]=1；对于（k=2，n，a[k]=（k-2）*a[k-1]+和（j=1，k-1，a[j]*a[k]）；a[n]）}/*迈克尔·索莫斯2011年7月24日*/
（PARI）{如果（n<1，1，a（n）=局部（a=x）；对于（i=1，n，a=x-x*a+a^2+x^2*a'+x*O（x^n））；波尔科夫（a，n））}/*保罗·D·汉纳2011年7月30日*/
（圣人）
R、 C=[1]，[1]+[0]*（长度-1）
对于范围（1，len）中的n：
对于范围（n，0，-1）中的k：
C[k]=C[k-1]*k
C[0]=-总和（范围（1，n+1）中k的C[k]）
R.append（-C[0]）
返回R
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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扩展
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Marcelo Aguiar（maguiar（AT）math.tamu.edu）的补充评论，2002年3月28日
添加了a（0）=0（一些公式现在可能需要调整）-N.J.A.斯隆2012年9月12日
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状态
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经核准的
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