A003319-OEIS公司

抵消

0,4

还有Aguiar和Sottile介绍的没有全局下降的排列数[推论6.3、6.4和备注6.5]。

还研究了Malvenuto-Reutenauer-Hopf置换代数的本原元空间的齐次分量的维数。阿奎尔和索蒂莱的著作【推论6.3】以及杜尚、希弗特和蒂本的著作【第3.3节】都以这种形式阐述了普瓦里埃和鲁特诺的这一结果【定理2.1】。

与秩为2的自由群中索引n-1的子群数有关（即任何2-生成元群中索引n-1的最大子群数）。参见斯坦利的枚举组合数学第二卷中的问题5.13（b）。

也是三角形的左边框A144107号，行总和=n-加里·亚当森2008年9月11日

汉克尔变换是A059332号.充气序列的Hankel变换为A137704号（n+1）-保罗·巴里2008年10月7日

对于每一个n，a（n+1）也是区间0..无穷大上概率密度函数rho（x）=exp（x）/（Ei（1，-x）*（Ei，1-x）+2*I*Pi）的n阶矩，Ei是指数积分函数-格鲁·罗兰2009年1月16日

此外（显然），a（n+1）是在任何属的表面上具有n个省道的根超映射的数量（参见Walsh 2012）-N.J.A.斯隆，2012年8月1日

也是重复序列A233824型（对于n>0）在Panaitopol的pi（x）公式中，素数<=x-乔纳森·桑多2013年12月19日

还有从每个内部顶点到该顶点后代的带有箭头的移动节点数（循环根树）-布拉德·琼斯，2014年9月12日

截至符号，A型碎片交点阶的Möbius数，参见阅读参考文献中的定理1.3-F.查波顿2015年4月29日

此外，a（n）是大小为n的完全非二义树的不同叶矩阵的数目-丹尼尔·陈2022年10月23日

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配方奶粉

G.f.：2-1/求和{k>=0}k*x ^k。

同时a（n）=n！-求和{k=1..n-1}k*a（n-k）[鲍文，1976年]。

还有发散级数展开对数Sum_{n>=0}n！中的系数*x^n=Sum_{n>=1}a（n+1）*x^n/n【Bowen，1976年】。

a（n）=（-1）^（n-1）*det{|1！2！…n！|1 1！…（n-1”）！|0 1 1！……（n-2）！|…|0…01 1！|}。

阶乘数的INVERTi变换，A000142号从n＝1开始-安蒂·卡图恩2003年5月30日

给出三角形[0，1，0，1，0,1，0，0，1,1，1…]的行和A084938号; 这个三角形A089949号. -菲利普·德尔汉姆2003年12月30日

a（n+1）=和{k=0..n}A089949号（n，k）-菲利普·德尔汉姆2006年10月16日

L.g.f.：求和{n>=1}a（n）*x^n/n=log（求和{n>=0}n！*x^n）-保罗·D·汉纳2007年9月19日

G.f.：1+x/（1-x/（1-2*x/（1-2*x/-保罗·巴里2008年10月7日

a（n）=-和{i=0..n}（-1）^i*A090238号（n，i）对于n>0-彼得·卢什尼2009年3月13日

发件人加里·亚当森2011年7月14日：（开始）

a（n）=M^（n-1）中的左上项，M=三角形A128175号作为一个无限平方乘积矩阵（删除第一个“1”）；如下：

1, 1, 0, 0, 0, 0, ...

2, 2, 1, 0, 0, 0, ...

4, 4, 3, 1, 0, 0, ...

8, 8, 7, 4, 1, 0, ...

16, 16, 15, 11, 5, 1, ...

…（结束）

O.g.f.满足：A（x）=x-x*A（x-保罗·D·汉纳2011年7月30日

发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基，2012年6月24日：（开始）

设A（x）为g.f。；然后

A（x）=1/Q（0），其中Q（k）=x+1+x*k-（k+2）*x/Q（k+1）。

A（x）=（1-1/U（0））/x，当U（k）=1+x*（2*k+1）/（1-2*x*（k+1）或（2*x*（k+1）+1/U（k+1。（结束）

发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月、6月、8月：（开始）

连续分数：

G.f.：1-G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/。

G.f.：（x/2）*G（0），其中G（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1/2）+1/G（k+1）））。

G.f.：x*G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（x-1/G（k+1））。

G.f.：1-1/G（0），其中G（k）=1-x*（k+1）/（x*（k+1）-1/（1-x*（k+1）/。

G.f.：x*W（0），其中W（k）=1-x*（k+1）/。

（结束）

a（n）=A233824型（n-1）如果n>0。（证明集b（n）=A233824型（n），因此b（n）=n*n！-求和{k=1..n-1}k*b（n-k）。要得到n>=0时的a（n+1）=b（n），请在n上进行归纳，使用（n+1）！=n*n！+n！，并将总和中的k替换为k+1。）-乔纳森·桑多2013年12月19日

a（n）~n！*（1-2/n-1/n^2-5/n^3-32/n^4-253/n^5-2381/n^6-25912/n^7-319339/n^8-4388949/n^9-66495386/n^10），系数见A260503型. -瓦茨拉夫·科特索维奇，2015年7月27日

对于n>0，a（n）=(A059439号（n）-A259472型（n））/2-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年8月3日

发件人彼得·巴拉2017年5月23日：（开始）

镀锌：1+x/（1+x-2*x/（1+2*x-3*x/。囊性纤维变性。A000698号.

G.f.：1/（1-x/（1+x-x/（1-2*x/（1-2*x/）（1-3*x/。（结束）

猜想：a（n）=A370380型（n-2，0）=A370381飞机（n-2，0），对于n>1，a（0）=a（1）=1-米哈伊尔·库尔科夫2024年4月26日

例子

G.f.=1+x+x^2+3*x^3+13*x^4+71*x^5+461*x^6+3447*x^7+29093*x^8+。。。

发件人彼得·卢什尼，2022年8月3日：（开始）

如果在1..n-1中存在一个i，使得范围1..i中的所有j和范围i+1..n中的所有k都是p（j）<p（k），那么[n]中的置换p（其中n>=0）是可约的。（注意，范围a.b.包括a和b。）如果这样的i存在，我们说i在i处分裂排列。

示例：

*（）不可约，因为没有将（）分割的索引i。（=>a（0）=1）

*（1）是不可约的，因为没有分裂（1）的索引i。（=>a（1）=1）

*由于索引1将（1，2）拆分为p（1）<p（2），所以（1，2中）是可约的。

*（2，1）是不可约的，因为在唯一的势分裂点i=1处，我们有p（1）>p（2）。（=>a（2）=1）

*对于n=3，我们有（1，2，3），（1，3，2）和（2，1，3）是可约的，并且（2，3，1），（3，1，2）和（3，2，1）是不可约的。（结束）

MAPLE公司

反转（[seq（n！，n=1..20）]）；

A003319号：=proc（n）选项记忆；n！-添加（n-j）*A003319号（j），j=1..n-1）结束；

[顺序(A003319号（n），n=0..50）]#N.J.A.斯隆2011年12月28日

级数（2-1/超几何（[1,1]，[]，x），x=0，50）#马克·范·霍伊2013年4月18日

数学

a[n]：=a[n]=n！-求和[k！*a[n-k]，{k，1，n-1}]；表[a[n]，{n，0，20}](*Jean-François Alcover公司，2011年10月11日，在给定公式后*）

系数列表[假设[Element[x，Reals]，Series[2-E^（1/x）*x/ExpIntegralEi[1/x]，{x，0，20}]]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月7日*）

a[n]：=如果[n<2，1，a[n]=（n-2）a[n-1]+和[a[k]a[n-k]，{k，n-1}]]；(*迈克尔·索莫斯2015年2月23日*）

表[级数系数[1+x/（1+ContinuedFractionK[-楼层[（k+2）/2]*x，1，{k，1，n}]），{x，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2017年9月29日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=my（a）；如果（n<1，1，a=向量（n）；a[1]=1；对于（k=2，n，a[k]=（k-2）*a[k-1]+和（j=1，k-1，a[j]*a[k]）；a[n]）}/*迈克尔·索莫斯2011年7月24日*/

（PARI）{如果（n<1，1，a（n）=局部（a=x）；对于（i=1，n，a=x-x*a+a^2+x^2*a'+x*O（x^n））；波尔科夫（a，n））}/*保罗·D·汉纳2011年7月30日*/

（鼠尾草）

定义A003319号_列表（长度）：

R、 C=[1]，[1]+[0]*（长度-1）

对于范围（1，len）中的n：

对于范围（n，0，-1）中的k：

C[k]=C[k-1]*k

C[0]=-总和（范围（1，n+1）中k的C[k]）

R.append（-C[0]）

返回R

打印(A003319号_列表（21））#彼得·卢什尼2016年2月19日

交叉参考

请参见A167894号用于另一个版本。

平分法给出A272656型,A272657型.

的行总和A111184号和A089949号.

的前导对角线A059438号.对角线为A263484型.

囊性纤维变性。A051296号,A084938号,A074664号,A113869号,A144107号.

囊性纤维变性。A260503型,A259472型,2014年2月,A261239型,A261253型,A261254型.

囊性纤维变性。A090238号,A000698号,A356291型（可约排列）。

第k列=第0列，共列A370380型和A370381飞机（没有初始项对，偏移量不同）。

上下文中的序列：A167894号 A158882号 A233824型*A192239号 A192936号 A000261号

相邻序列：A003316型 A003317号 A003318号*A003320元 A003321号 A003322号

关键词

非n,容易的,美好的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

更多术语来自迈克尔·索莫斯2000年1月26日

Marcelo Aguiar（maguiar（AT）math.tamu.edu）的补充评论，2002年3月28日

添加了a（0）=0（一些公式现在可能需要调整）-N.J.A.斯隆2012年9月12日

编辑并设置（0）=1彼得·卢什尼2022年8月3日

状态

经核准的