A046521-OEIS公司

A046521号

数组T（i，j）=二项式（-1/2-i，j）*（-4）^j，i，j>=0，由向下的反对偶读取。

1, 2, 1, 6, 6, 1, 20, 30, 10, 1, 70, 140, 70, 14, 1, 252, 630, 420, 126, 18, 1, 924, 2772, 2310, 924, 198, 22, 1, 3432, 12012, 12012, 6006, 1716, 286, 26, 1, 12870, 51480, 60060, 36036, 12870, 2860, 390, 30, 1, 48620, 218790, 291720, 204204, 87516, 24310 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,2`
	评论	`或者，一个与A000984号（中心二项式）和A000302号（4的权力）。` `这是Riordan矩阵的一个例子。参见Shapiro等人在A053121号和注释1和2沃尔夫迪特·朗参考文献，第306页。` `作为数字三角形，这是Riordan数组（1/sqrt（1-4x），x/（1-4x））-保罗·巴里2005年5月30日` 这个Riordan矩阵的A序列和Z序列是（参见沃尔夫迪特·朗链接位于A006232号对于D.G.Rogers、D.Merlini等人和R.Sprugnoli关于Riordan A-和Z序列的参考文献，以及摘要）：A序列[1,4,0,0,0，…]和Z序列4+2A000108号（n）（-1）^（n+1）=[2，2，-4，10，-28，84，-264，858，-2860，9724，-33592，117572，-461024，1485800，-5348880，19389690，70715340，259289580，955277400，3534526380]，n>=0。Z序列的o.g.f.为4-2c（-x），加泰罗尼亚数字o.g.f c（x）-沃尔夫迪特·朗2007年6月1日 `作为三角形，T（2n，n）为A001448号。行总和为A046748号对角线和为A176280号. -保罗·巴里2010年4月14日` `发件人沃尔夫迪特·朗2017年8月10日：（开始）` `Riordan三角形R=（G（x），F（x））的行多项式R（n，x），其中F（x）=xFhat（x）属于Boas-Buck多项式类（参见参考文献）。因此，它们满足Boas-Buck恒等式（我们使用Rainville的符号，定理50，p.141）：` `（E_x-n1）R（n，x）=-和{k=0..n-1}（α（k）1+β（k）E_x）R。Boas-Buck序列由α（k）：=[x^k]（（d/dx）log（G（x）））和β（k）：=[x^k]（d/dx）log（Fhat（x））给出。` `这需要对Riordan三角形T的列m序列进行递归，n>m>=0:T（n，m）=（1/（n-m））Sum_{k=m.n.n-1}（α（n-1-k）+mbeta（n-1-k））T（k，m），输入T（m，m）。` `在本例中，行多项式的Boas-Buck恒等式为（E_x-n1）R（n，x）=-Sum_{k=0..n-1}2^（2k+1）（1+2E_x）R。关于三角形T的m列的后续重现性，请参见公式和示例部分。（完）` `发件人彼得·巴拉2018年3月4日：（开始）` `以下两条注释是形式为（f（x），x/（1-kx））的Riordan数组的更一般结果的特殊情况。` `1）设R（n，x）表示该三角形的第n行多项式。多项式R（n，4x）具有例如f.和{k=0..n}T（n，k）（4x）/k！。三角形第n对角线的e.g.f.（主对角线从n=0开始）等于exp（x）多项式R（n，4x）的e.g.f。例如，当n=3时，我们有exp（x）（20+30（4x）+10（4]x）^2/2！+（4x）^3/3！）=20+140x+420x^2/2！+924x^3/3！+1716x^4/4！+。。。。` `2）设P（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）x^（n-k）表示x的降次幂的第n行多项式。例如，对于n=4，我们有（1+4x）^（7/2）=70x^4+140x^3+70x^2+14x+1+O（x^5）。` `设C（x）=（1-sqrt（1-4x））/（2x）表示加泰罗尼亚数字的o.g.fA000108号C（x）的导数由恒等式（-1）^nx^n/n！决定（d/dx）^n（C（x））=1/（2x）（1-P（n，-x）/（1-4x）^（n-1/2）），n=0,1,2，。。。。参见Lang 2002。囊性纤维变性。A283150型和283151元.（结束）`
	参考文献	`Ralph P.Boas，jr.和R.Creighton Buck，《分析函数的多项式展开》，Springer，1958年，第17-21页（等式（6.11）中的最后一个符号应该是-）。` `Earl D.Rainville，《特殊功能》，麦克米伦公司，纽约，1960年，ch.8，sect。76, 140 - 146.`
	链接	`穆尼鲁·A·阿西鲁，反对角线n=0..50，平坦` `彼得·巴拉，嵌入式Riordan阵列的四参数系列` `彼得·巴拉，关于真Riordan阵列对角线的注记` `保罗·巴里，嵌入与Riordan阵列和矩矩阵相关的结构，arXiv预印本arXiv:1312.0583[math.CO]，2013。` `J.W.Bober，阶乘比、超几何级数和阶跃函数族，arXiv:0709.1977[math.NT]，2007；J.伦敦数学。Soc.（2）79 2009，422-444。` `沃尔夫迪特·朗，前10行。` `沃尔夫迪特·朗，关于加泰罗尼亚数生成函数导数的多项式，光纤。夸脱。40,4（2002）299-313；T（n，m）在那里称为B（n，m）。` `H.Prodinger，关于二项式变换的一些信息《斐波纳契季刊》，第32期，1994年，第412-415页。`
	配方奶粉	`T（n，m）=二项式（2n，n）二项式。` `柱m的总长度：（x/（1-4x））^m）/sqrt（1-4）。` `上述A序列的递归：A（n，m）=A（n-1，m-1）+4A（n-l，m），对于n>=m>=1。` `上述Z序列的递归：a（n，0）=Sum_{j=0..n-1}Z（j）a（n-1，j），n>=1；a（0,0）=1。` `作为数字三角形，T（n，k）=C（2n，n）C（n，k）/C（2k，k）=C（n-1/2，n-k）4^（n-k）-保罗·巴里2010年4月14日` `发件人彼得·巴拉2012年4月11日：（开始）：` `高度为1的整数阶乘比序列的三个无穷族之一（参见Bober定理1.2）。其他两个是A007318元和A068555号.` `三角形数组等于exp（S），其中无穷小生成器S在主次对角上有[2,6,10,14,18，…]，在其他地方有零。` `方阵的递推方程：T（n+1，k）=（k+1）/（4n+2）T（n，k+1）。（完）` `T（n，k）=4^（n-k）A006882号（2n-1）/(A006882号（2n-2k）A006882号（2k-1））=4^（n-k）（2n-1）/（2n-2k）（2k-1）！！）-彼得·巴拉2016年11月7日` `列m，m>n>=0的Boas-Buck递推：T（n，m）=（2（2m+1）/（n-m））Sum_{k=m.n.n-1}4^（n-1-k）T（k，m），输入T（n、n）=1。请参阅上面的评论-沃尔夫迪特·朗2017年8月10日` `发件人彼得·巴拉，2021年8月13日：（开始）` `与二项式变换类似，我们有以下序列变换公式：g（n）=Sum_{k=0..n}T（n，k）b^。见普罗丁格，第413页底部，将b替换为4b，c=1和d=1/2。` `等价地，如果F（x）=和{n>=0}F（n）x^n和G（x）=和{n>=0}G（n）x^n是一对形式幂级数，那么` `当F（x）=1/sqrt（1+4bx）G（x/（1-4bx））。` `此数组的m次幂包含条目m^（n-k）*T（n，k）。（完）`
	例子	`数组开始：` `1, 2, 6, 20, 70, ...` `1, 6, 30, 140, 630, ...` `1, 10, 70, 420, 2310, ...` `1、14、126、924、6006、。。。` `A序列的复发率：140=A（4,1）=20+430。` `Z序列的递归：252=a（5,0）=270+2140-470+1014-281。` `发件人保罗·巴里2010年4月14日：（开始）` `作为数字三角形，T（n，m）开始于：` `n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。` `0: 1` `1: 2 1` `2: 6 6 1` `3: 20 30 10 1` `4: 70 140 70 14 1` `5: 252 630 420 126 18 1` `6: 924 2772 2310 924 198 22 1` `7: 3432 12012 12012 6006 1716 286 26 1` `8: 12870 51480 60060 36036 12870 2860 390 30 1` `9:48620 218790 291720 204204 87516 24310 4420 510 34 1` `10: 184756 923780 1385670 1108536 554268 184756 41990 6460 646 38 1` `…[由重新格式化和扩展沃尔夫迪特·朗2017年8月10日]` `生产矩阵开始` `2, 1,` `2, 4, 1,` `-4, 0, 4, 1,` `10, 0, 0, 4, 1,` `-28，0，0，0，4，1，` `84, 0, 0, 0, 0, 4, 1,` `-264, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 1,` `858, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 1,` `-2860,0,0,0，0,0,1（结束）` `列m=2和n=4:T（4，2）=（2（22+1）/2）Sum_{k=2..3}4^（3-k）T（k，2）=5（41+110）=70的Boas-Buck递推-沃尔夫迪特·朗2017年8月10日` `发件人彼得·巴拉2018年2月15日：（开始）` `C（x）=（1-sqrt（1-4x））/（2x），` `-x^3/3！（d/dx）^3（C（x））=1/（2x）（1-（1-10x+30x^2-20x^3）/（1-4x）^（5/2））。` `x^4/4！（d/dx）^4（C（x））=1/（2x）（1-（1-14x+70x^2-140x^3+70x^4）/（1-4*x）^（7/2））。（完）`
	数学	`t[i_，j_]：=如果[i<0\|\|j<0，0，（2i+2j）！i！/（2i）！/（i+j）！/j！]；压扁[反面/@表格[t[n，k-n]，{k，0，9}，{n，k，0-1}][[1；；51]](Jean-François Alcover公司，2011年6月1日，PARI项目后）`
	黄体脂酮素	`（PARI）T（i，j）=如果（i＜0 \| \| j＜0，0，（2i+2j）我/（2i）/（i+j）/j！）` `（GAP）平面（列表（[0..9]，n->列表（[0..n]，m->二项式（2n，n）二项式#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年7月19日`
	交叉参考	`m=0..10的列为A000984号,A002457号,A002802号,A020918号-A020932号（仅偶数）。行总和：A046748美元.参见。A007318元,A068555号.` `囊性纤维变性。A001147号,A006882号,A283150型,A283151型,A111959号.` `上下文中的序列：A269646型 A269336型 A300700型A104684号 A060538型 A260848型` `相邻序列：A046518 A046519号 A046520号A046522号 A046523号 A046524号`
	关键词	`非n,表,容易的`
	作者	`沃尔夫迪特·朗`
	状态	`经核准的`