登录
OEIS由OEIS基金会的许多慷慨捐赠者.

 

标志
提示
(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000670号 福比尼数:n个标记元素的优先排列数;或n个标记元素的弱阶数;或[n]的有序分区数。
(原名M2952 N1191)
523
1, 1, 3, 13, 75, 541, 4683, 47293, 545835, 7087261, 102247563, 1622632573, 28091567595, 526858348381, 10641342970443, 230283190977853, 5315654681981355, 130370767029135901, 3385534663256845323, 92801587319328411133, 2677687796244384203115 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3

评论

n名选手在一场比赛中排名的方式,考虑到并列的可能性。

n点上的非对称广义弱阶数。

也称为订购的贝尔号码。

弱序是一种可传递且完全的关系。

Comtet称之为Fubini数:当切换多个和的求和顺序时,计算Fubini定理中的公式-奥利维尔·杰拉德2002年9月30日[以意大利数学家Guido Fubini(1879-1943)命名]-阿米拉姆·埃尔达尔,2021年6月17日]

如果这些点没有标记,那么答案是a(0)=1,a(n)=2^(n-1)(参见。A011782号).

对于n>0,a(n)是a_{n-1}型Coxeter复数中的元素数。B型的相应顺序为A080253号在那里,人们可以找到一个工作示例以及几何解释-蒂姆·霍尼威尔&保罗·博丁顿2003年2月10日

还有标记的(1+2)-自由偏序集的数量Detlef Pauly,2003年5月25日

此外,以空集开始并以n个不同对象的集合结束的子集链的数量-安德鲁·尼德迈尔2004年2月20日

发件人迈克尔·索莫斯,2004年3月4日:(开始)

斯特林变换A007680号(n) =[3,10,42216,…]表示[3,13,75541,…]。

a(n)=[1,3,13,75,…]的斯特林变换是A083355号(n) =[1,4,23175,…]。

斯特林变换A000142号(n) =[1,2,6,24120,…]是a(n)=[1,3,13,75,…]。

斯特林变换A005359号(n-1)=[1,0,2,0,24,0,…]是一个(n-l)=[1,1,3,13,75,…]。

斯特林变换A005212号(n-1)=[0,1,0,6,0120,0,…]是一个(n-1)=[0,1,3,13,75,…]。

(结束)

未约化分母收敛到log(2)=lim_{n->infinity}n*a(n-1)/a(n)。

对于n>=h,a(n)与a(n+(p-1)p^(h-1))(mod p^h)同余(参见Barsky)。

1/(1-x^2)的斯特林-伯努利变换-保罗·巴里2005年4月20日

这是一系列公平抛硬币过程中,在第一个头部之前,尾部数量的概率分布的矩序列。相同概率分布的累积量序列为A000629号该序列是删除该序列第一项的结果的两倍迈克尔·哈迪(Hardy(AT)math.umn.edu),2005年5月1日

其中p(n)=n的整数分区数,p(i)=n第i个分区的部分数,d(i)=n第i分区的不同部分数,p,一个有:a(n)=Sum{i=1..p(n)}(n!/(Product{j=1..p(i)}p(i,j)!)*(p(i)/(产品{j=1..d(i)}m(i,j)!))-托马斯·维德2005年5月18日

[n]的子集之间的链数。新公式中的总和项是2006年7月1日长度为k.-Micha Hofri(Hofri(AT)wpi.edu)的链的数量

在类幂和问题中,也作为矩阵求逆的第一列发生。考虑求方程Sum_{k=1..n}k^m=(k+1)^m的解的任意固定自然数m>2的问题。Erdős猜想n,m>2没有解。设D是D[m,n]的差矩阵:=Sum_{k=1..n}k^m-(k+1)^m。然后,该矩阵D的行的生成函数构成一组n中的多项式(沿列变化n)和定义第m行的第m个多项式。设GF_D是这组多项式的系数矩阵。然后,当前序列是GF_D^-1的第一列(无符号)-戈特弗里德·赫尔姆斯2007年4月1日

假设A=log(2),D是D/dx,f(x)=x/(exp(x)-1),我们得到了A(n)=(n!/2*A^(n+1))和{k=0..n}(A^k/k!)D^n f(-A),当n趋于无穷大时,它给出了Wilf的渐近值。等价地,D^n f(-a)=2*(a*a(n)-2*a(n-1))Martin Kochanski(mjk(AT)cardbox.com),2007年5月10日

列表分区转换(请参见A133314号)(1,-1,-1,-1,…)-汤姆·科普兰2007年10月24日

的第一列A154921号. -Mats Granvik公司2009年1月17日

对A(n)的一种更为透明的解释是,当n是n个不同素数的乘积时,n的“因子序列”的数量。长度为k的N的因子序列的形式为1=x(1),x(2)。。。,x(k)=N,其中{x(i)}是一个递增序列,使得x(i)除以x(i+1),i=1,2,。。。,k-1。例如,N=70具有13个因子序列{1,70}、{1,2,70},{1,5,70}和{1,7,70}、{1,10,70},{1,14.70}、}1,35,70}.、{1,2,10,70}.{1,2,14,70},{1,5,10,70}、[1,5,10,10},}.{1,35,70neneneep、{1,7,14,70}:-马丁·格里菲斯2009年3月25日

起始(1、3、13、75…)=三角形的行和A163204号. -加里·亚当森2009年7月23日

等于的二项式双逆变换A007047号: (1, 3, 11, 51, ...). -加里·亚当森2009年8月4日

如果f(x)=Sum_{n>=0}c(n)*x^n对每个x收敛,那么Sum_}n>=0}f(n*x)/2^(n+1)=Sum _{n>=0}c(n。示例:总和{n>=0}exp(n*x)/2^(n+1)=总和{n>=0}a(n)*x^n/n!=1/(2-exp(x))=例如-米克洛斯·克里斯托夫2009年11月2日

汉克尔变换是A091804号. -保罗·巴里2010年3月30日

在这个序列中,大于3的素数(13,541,47293,…)的形式似乎是4n+1-保罗·穆尔贾迪2011年1月28日

Fi1和Fi2三角形和A028246号由该序列的项给出。有关这些三角和的定义,请参见A180662号. -约翰内斯·梅耶尔2011年4月20日

修正生成函数A(x)=1/(2-exp(x))-1=x+3*x^2/2!+13*x^3/3!+。。。满足自治微分方程A'=1+3*A+2*A^2,初始条件A(0)=0。应用[Bergeron等人,定理1]可以对这个序列进行两种组合解释:(A)A(n)给出了n个顶点上平面增加的0-1-2树的数量,其中超度数1的顶点有3种颜色,超度数2的顶点有2种颜色。(B) a(n)给出了n个顶点上非平面增加的0-1-2树的数量,其中超度数1的顶点有3种颜色,超度数2的顶点有4种颜色。示例如下-彼得·巴拉2011年8月31日

从偏移量1开始=的特征序列A074909号(被斩首的帕斯卡三角形),以及三角形的行和A208744型. -加里·亚当森2012年3月5日

a(n)=正整数字母表中长度为n的单词数,单词中出现的字母构成正整数的初始段。示例:a(2)=3计数11、12、21。映射“包含i,1<=i<=n的块的记录位置”是从[n]上的集合列表到这些单词的双射。([2]上的集合列表为12、1/2、2/1。)-大卫·卡伦2013年6月24日

这个序列是数据库最早使用的主题之一。高德纳在1973年《手册》出版之前,他有一份数据库的计算机打印件,写信给N.J.A.斯隆1970年5月18日,他说:“我刚刚利用你的序列索引取得了第一次真正的‘成功’,发现了一个经过Cayley处理的序列,结果发现它与另一个与计算机排序有关的序列(先验非常不同)是相同的。”A000670号在1973年第3卷《计算机编程艺术》第5.3.1节的练习3中进行了讨论-N.J.A.斯隆2014年8月21日

Ramanujan给出了一种求方程1=x+a2*x^2+的解x的连分数的方法。。。并使用log(2)作为1=x+x^2/2+x^3/6+的解。。。作为例子,给出了简化收敛序列为0/1,1/1,2/3,9/13,52/75,375/541。。。分母的序列是这个序列,而A052882号是分子-迈克尔·索莫斯2015年6月19日

对于n>=1,a(n)是Dyck路径的数量(A000108号)具有(i)n+1个峰值(UD),(ii)无UUDD,以及(iii)在小于路径高度的每个非负高度处至少有一个谷顶点。例如,a(2)=3计算UDUDUD(高度为1,高度为0时有2个山谷顶点)、UDUUDUD、UUDUDD。在“手套”或“手风琴”双射下,这些路径对应于凯利在1859年参考文献中统计的有序树,在凯利的树中进行无害的“长枝成叶”修剪后。(凯利让读者从小n的例子中,或许从他的证明中推断出他所谈论的树。)-大卫·卡伦2015年6月23日

发件人大卫·L·哈登2017年4月9日:(开始)

固定一个集合X,并定义X上的两个距离函数d,d,当d(X_1,y_1)<=d(X_2,y_2)iff d(X_1,y_1。

现在假设我们将X的无序不同元素对中的函数f固定为{1,…,n}。然后选择正实数d_1<=…<=d_n使得d(x,y)=d_{f(x,y)};所有可能的di选择集使得这是X上距离函数的n参数族(当n是三角形数时,这种族最简单的例子是:当发生这种情况时,写n=(k2)。那么当|X|=k时,X上所有距离函数的集合就是这样一个族。)这种距离函数的数量,直到公制等价,是a(n)。

很容易看出,距离函数的等价类在{d_1,…,d_n}上产生了定义良好的弱阶。为了确保任何弱阶都是可实现的,请从整数集合{n-1,…,2n-2}中选择距离,以便自动满足三角形不等式。(结束)

a(n)是n个节点上避免模式213、312和321的根标记森林的数量-凯西·阿彻,2018年8月30日

发件人A.H.M.斯密茨2018年11月17日:(开始)

还有对n个变量(x_1,…,x_n)的语义不同赋值的数量,包括同时赋值。从Joerg Arndt(2014年3月18日)给出的示例中,可以通过替换

“{i}”由“x_i:=表达式_i(x_1,..,x_n)”,

“{i,j}”由“x_i,x_j:=表达式_i(x_1,..,x_n),表达式_j(x_1,..,x_n)”表示,即同时赋值给两个不同的变量(i<>j),

类似于对更多变量的同时赋值,以及

“<”by“;”,即顺序构造函数。这些例子与第一条评论中的“n个竞争者在竞争中排名的方式数量,考虑到并列的可能性”直接相关。

在此基础上,通过对n个初始值上的n个不同平均函数进行迭代,得到了不同平均定义的数量。示例:

AGM(x1,x2)=AGM(x2,x1)由{算术平均值,几何平均值}表示,即在任何迭代步骤中同时赋值;

阿基米德方案(对于Pi)由{几何平均}<{调和平均}表示,即在任何迭代步骤中进行顺序赋值;

两个值的几何平均值也可以用{算术平均值,调和平均值}来观察;

AGHM(定义见A319215型)由{算术平均值、几何平均值、调和平均值}表示,即同时赋值,但在AGHM方案中还有12种其他语义不同的赋值方式。

通过应用功率手段(也称为持有者手段),这可以扩展到n的任何值。(结束)

n阶置换面体中所有维度的总面数。例如,3阶置换面(六边形)有6个顶点+6条边+1个2面=13个面,4阶置换面的(截断八面体)有24个顶点+36条边+14个2面+1个3面=75个面。A001003号是关联面体的类似序列-诺姆·齐尔伯格2019年12月8日

奇数多项式系数N/(a_1!*a_2!*…*a_k!)。这里每个a_i都是正的,和{i}a_i=N(所以总共是2^{N-1}多项式系数),其中N是任何二元展开式为N 1的正整数-施瑞德,2022年4月5日(2022年10月19日编辑)

发件人彼得·巴拉,2022年7月8日:(开始)

猜想:设k为正整数。通过减少a(n)模k得到的序列最终是周期的,周期除以φ(k)=A000010号(k) ●●●●。例如,模16,我们得到序列[1,1,3,13,11,13,11,13,13,13,…],表观周期为2,从a(4)开始。囊性纤维变性。A354242型.

更一般地,我们推测对于具有g(exp(x)-1)形式的例如f.的整数序列也具有相同的性质,其中g(x)是整数幂级数。(结束)

参考文献

Mohammad K.Azarian,《几何系列》,第329题,《数学与计算机教育》,第30卷,第1期,1996年冬季,第101页。解决方案发表于1997年春季第31卷第2期,196-197页。

Norman Biggs、E.Keith Lloyd和Robin J.Wilson,图论1736-1936,牛津,1976年,第44页(p(x))。

Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,第183页(见R_n)。

肯尼思·布朗(Kenneth S.Brown),《建筑》(Buildings),斯普林格·弗拉格出版社,1988年。

Louis Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第228页。

Jean-Marie De Konink,《法定法西斯》,条目13,第4页,Ellipses,巴黎,2008年。

P.J.Freyd,《论海廷半晶格的尺寸》,预印本,2002年。

Ian P.Goulden和David M.Jackson,《组合计数》,John Wiley and Sons,纽约,1983年。

罗纳德·格雷厄姆(Ronald L.Graham)、唐纳德·科努特(Donald E.Knuth)和奥伦·帕塔什尼克(Oren Patashnik),《具体数学》(Concrete Mathematics)。Addison-Wesley,Reading,MA,第二版,1994,练习7.44(第378、571页)。

Silvia Heubach和Toufik Mansour,《成分和单词组合学》,CRC出版社,2010年。

Donald E.Knuth,《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley,Reading,MA,第3卷,1973年,第5.3.1节,问题3。

M.Muresan,广义Fubini数,Stud.Cerc。材料,第37卷,第1期(1985年),第70-76页。

Paul Peart,通过Stieltjes矩阵的Hankel行列式。《第三十一届东南组合数学、图论和计算国际会议论文集》(佛罗里达州博卡拉顿,2000年)。恭喜。数字。144 (2000), 153-159.

S.Ramanujan,塔塔基础研究所笔记本,孟买,1957年,第1卷,见第19页。

Ulrike Sattler,具有良好闭包性质的形式幂级数的可判定类,Diplorabeit im Fach Informatik,Erlangen-Nuernberg大学,1994年7月27日。

N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

理查德·斯坦利(Richard P.Stanley),《枚举组合数学》,沃兹沃斯(Wadsworth),第1卷,1986年;参见示例3.15.10,第146页。

杰克·范德·埃尔森(Jack van der Elsen),《黑人与白人的转变》(Black and White Transformations),莎士比亚出版社,马斯特里赫特,2005年,第18页。

链接

阿洛伊斯·海因茨,n=0..424的n,a(n)表(前101个术语来自N.J.A.Sloane)

康纳·阿尔巴赫(Connor Ahlbach)、杰里米·乌塞廷(Jeremy Usatine)和尼古拉斯·皮彭格(Nicholas Pippenger),禁止优惠安排,电子。J.组合。,第20卷第2期(2013年),第55页。

Jean-Christophe Aval、Valentin Féray、Jean-Chrestophe Novelli和Jean-Yves Thibon,拟对称函数作为Young图上的多项式函数,arXiv预印本arXiv:1312.2727[math.CO],2013。

Jean-Christophe Aval、Adrien Boussicault和Philippe Nadeau,树状Tableaux《组合数学电子杂志》,第20卷,第4期(2013年),第34页。

拉尔夫·W·贝利,有限集的弱序数《社会选择与福利》,第15卷(1998年),第559-562页。

保罗·巴里,指数Riordan阵列与置换计数,J.国际顺序。,第13卷(2010年),第10.9.1条,示例12。

保罗·巴里,通过指数Riordan阵列将欧拉多项式作为矩,J.国际顺序。,第14卷(2011年),第11.9.5条;arXiv预印本,arXiv:1105.3043[math.CO],2011年。

保罗·巴里,关于Riordan矩序列的一种变换,arXiv:1802.03443[math.CO],2018年。

保罗·巴里,广义欧拉三角和一些特殊的生产矩阵,arXiv:1803.10297[math.CO],2018年。

丹尼尔·巴斯基,分析p-adique et suites classiques de nombres,Sem.Loth公司。梳子。B05b(1981),第1-21页。

J.P.Barthelemy,有限集上总序数的渐近等价《离散数学》,第29卷,第3期(1980年),第311-313页。

贝塔·贝尼和何塞·拉米雷斯,S-限制集划分的一些应用,arXiv:1804.03949[math.CO],2018年。

弗朗索瓦·贝杰隆、菲利普·弗拉乔莱和布鲁诺·萨维,增加树木的种类,J.C.Raoult(编辑),CAAP’92,代数和编程中的树讨论会,CAAP 1992,计算机科学讲稿,第581卷,施普林格,柏林,海德堡,1992,第24-48页;备用链路.

南特尔·贝杰伦、劳拉·科尔梅纳雷霍、舒晓丽、约翰·马查切克、罗宾·苏尔兹格鲁伯、迈克·扎布罗基、阿德里亚诺·加西亚、马里诺·罗梅罗、唐奎和诺兰·沃拉赫,超调和与Delta猜想的表示理论模型,2019年1月24日公开问题会议摘要,表示理论与(q,t)-组合数学的联系(19w5131),加拿大不列颠哥伦比亚省班夫。

Sara C.Billey、M.Konvalinka、T.K.Petersen、W.Slofstra和B.E.Tenner,Coxeter群中的抛物双陪集《离散数学和理论计算机科学》,提交日期:2016年。

P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon,Dobinski型关系与对数正态分布,arXiv:quant-ph/0303032003年。

奥利维尔·博迪尼(Olivier Bodini)、安托万·杰尼特里尼(Antoine Genitrini)和梅迪·奈玛(Mehdi Naima),等级Schröder树,arXiv:1808.08376[cs.DS],2018年。

奥利维尔·博迪尼(Olivier Bodini)、安托万·杰尼特里尼(Antoine Genitrini)、塞西尔·梅勒(Cécile Mailler)和梅迪·奈马(Mehdi Naima),进化过程中产生的严格单调树:组合和概率研究,hal-02865198[math.CO]/[math.PR]/[cs.DS]/[c.DM],2020年。

Florian Bridoux、Caroline Gaze-Maillot、Kévin Perrot和Sylvain Sené,布尔网络中极限环问题的复杂性,arXiv:2001.07391[cs.DM],2020年。

A.凯利,关于树的分析形式理论IIPhil.Mag.,第18卷(1859年),第374-378页=数学。论文第4卷,第112-115页。

彼得·卡梅隆,由寡态置换群实现的序列,J.集成。序号。,第3卷(2000年),第00.1.5条。

J.L.Chandon、J.LeMaire和J.Pouget,集合定义上的拟阶数,数学。科学。Humaines,第62卷(1978年),第61-80页。

格雷戈里·查特尔、文森特·皮劳和薇薇安·彭斯,整数偏序集上的弱序,arXiv:1701.07995[math.CO],2017年。

陈朝平,与Somos二次递归常数相关的Sharp不等式和渐近级数《数论杂志》,第172卷(2017年3月),第145-159页。

William Y.C.Chen、Alvin Y.L.Dai和Robin D.P.Zhou,避免长度排列的有序分区3,arXiv预印本arXiv:1304.3187[math.CO],2013。

阿里·乔里亚(Ali Chouria)、弗拉德·弗洛林(Vlad-Florin)、奥盖医生(Drgoi)和珍妮·加布里埃尔·卢克(Jean-Gabriel Luque),递归定义的组合类和标记树,arXiv:2004.04203[math.CO],2020年。

米尔恰·西尔努,广义算术几何级数和的行列式《马特马蒂卡·维内佐拉纳协会》,第十八卷,第1期(2011年),第13页。

安德斯·克莱森和T.凯尔·彼得森,康威的餐巾问题阿默尔。数学。《月刊》,第114卷,第3期(2007年),第217-231页。

Tyler Clark和Tom Richmond,有限全序集上凸拓扑的个数2013年,出现在Involve中;

Pietro Codara、Ottavio M.D'Antona和Vincenzo Marra,哥德尔逻辑中Ruspini分区的最佳逼近,《不确定性推理的符号和定量方法》,《计算机科学讲义》,第4724卷(2007年),第161-172页。

Pierluigi Contucci、Emanuele Panizzi、Federico Ricci-Tersenghi和Alina Sîrbu,民主的新维度:等级聚合问题中的平均主义,arXiv:140.6.7642[物理学.soc-ph],2014年。

H.B.咖喱,逻辑替代分析《美国数学杂志》,第51卷,第3期(1929年),第363-84页;见第369页。

N.G.de Bruijn,关于结构的枚举组合结构,Nieuw Archief。voor Wisk.公司。,第11卷(1963年),第142-161页;见第150页。

Ayhan Dil和Veli Kurt,用Euler-Seidel矩阵研究几何多项式和指数多项式,J.国际顺序。,第14卷(2011年),第11.4.6条。

Ayhan Dil和Veli Kurt,与调和数有关的多项式与调和数系列I的计算,INTEGERS,第12卷(2012年),#A38。

Diego Dominici,嵌套导数:一种计算反函数级数展开式的简单方法。arXiv:math/0501052v2[math.CA],2005年。

福雷德里克·福韦(Frédéric Favet)、洛伊克·福西(Loíc Foissy)和多米尼克·曼雄(Dominique Manchon),有限拓扑的Hopf代数与模具组合,arXiv预印arXiv:1503.03822015

瓦伦丁·弗雷,循环包含-排除,arXiv预印本arXiv:1410.1772[math.CO],2014。

菲利普·弗拉乔莱特(Philippe Flajolet)、斯特凡·格霍尔德(Stefan Gerhold)和布鲁诺·萨维(Bruno Salvy),关于对数、幂和n阶素函数的非完整性,arXiv:math/0501379[math.CO],2005年。

菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克,分析组合数学, 2009; 见第109页。

Aviezri S.Fraenkel和Moshe Mor,大型字典的组合压缩和分区《计算机杂志》,第26卷(1983年),第336-343页。见表4和表5。

哈维·弗里德曼,具体数学不完备性:基本仿真理论希拉里·普特南(Hilary Putnam),《逻辑与数学》,《对逻辑的杰出贡献》,第9卷,施普林格,查姆,2018年,第179-234页。

弗洛伦特·福柯(Florent Foucaud)、拉尔夫·克拉斯(Ralf Klasing)和彼得·斯莱特(Peter J.Slater),图中的质心基,arXiv预印本arXiv:140.6.7490[math.CO],2014。

沃尔夫冈·盖特鲍尔(Wolfgang Gatterbauer)和丹·苏西乌(Dan Suciu),概率数据库的近似提升推理,arXiv预印本arXiv:1412.1069[cs.DB],2014。

沃尔夫冈·盖特鲍尔(Wolfgang Gatterbauer)和丹·苏西乌(Dan Suciu),标准关系数据库管理系统中近似提升推理的分离和传播《VLDB杂志》,第26卷,第1期(2017年2月),第5-30页;DOI 10.1007/s00778-016-0434-5。

乔尔·盖伊和文森特·皮劳,Weyl偏序集的弱序,arXiv:1804.06572[math.CO],2018年。

克里斯蒂安·盖斯特和乌尔·恩德里斯,社会选择理论中不可能性定理的自动搜索:对象的排序集,arXiv:1401.3866[cs.AI],2014;J.阿蒂夫。智力。研究(JAIR),第40卷(2011年),第143-174页。

奥利维尔·杰拉德,回复:赛马拼图.

Seyoum Getu、Louis W.Shapiro、Wen-jin Woan和Leon C.Woodson,如何猜测生成函数,SIAM J.离散数学。,第5卷,第4期(1992年),第497-499页。

罗伯特·吉尔,广义分划半格中的元素数《离散数学》,第186卷,第1-3期(1998年),第125-134页。参见示例1。

萨缪尔·吉拉乌多,幺半群的组合运算,arXiv预印本arXiv:1306.6938[math.CO],2013。

曼弗雷德·哥贝尔,关于特殊置换不变轨道和项的个数,《工程应用代数》。,通信和通信。(AAECC 8),第8卷,第6期(1997年),第505-509页。

W.Steven Gray和Makhin Thitsa,系统互连与组合整数序列,in:系统理论(SSST),2013年第45届东南研讨会,会议日期:2013年3月11日至11日。

马丁·格里菲斯和伊斯特万·梅兹,第二类Stirling数的特殊多集推广,JIS,第13卷(2010年),第10.2.5条。

O.A.总量,优惠安排阿默尔。数学。《月刊》,第69卷,第1期(1962年),第4-8页。

戈特弗里德·赫尔姆斯,关于相似幂的求和问题的讨论, 2007.

迈克尔·霍夫曼,上下分类:生成函数和通用封面,arXiv预印本arXiv:1207.1705[math.CO],2012。

INRIA算法项目,组合结构百科全书41.

Marsden Jacques和Dennis Wong,弱序的贪婪泛环构造《算法和离散应用数学会议》(CALDAM 2020):算法和离散实用数学,第363-370页。

雅克、马斯登、丹尼斯·王和昆加·吴。恒定摊销时间内弱订单的格雷码生成,离散数学,弗吉尼亚州。343,第10号(2020),111992。

斯万特·詹森,Euler-Robenius数和四舍五入,arXiv预印本arXiv:1305.3512[math.PR],2013。

马雷克·雅罗钦斯基和巴托斯·马奇·科维亚克,“Granger-Causal-Priority and Choice of Variable in Vector Autoregressions”的在线附录, 2013.

维特·杰利内克(Vít Jelínek)、艾达·坎特(Ida Kantor)、扬·肯切尔(Jan Kynčl)和马丁·坦瑟(Martin Tancer),关于排列的Möbius函数的增长,arXiv:1809.05774[math.CO],2018年。

Niraj Khare、Rudolph Lorentz和Catherine Huafei Yan,二元Gončarov多项式与整数序列《科学中国数学》第57卷第1期(2014),第1561-1578页;备用链路.

Dongseok Kim、Young Soo Kwon和Jaeun Lee,与有限图相关的有限拓扑的枚举,arXiv预印本arXiv:1206.0550[math.CO],2012。见第4.3条发件人N.J.A.斯隆2012年11月9日

Donald E.Knuth、John Riordan和N.J.A.Sloane,通信,1970年.

Martin J.Kochanski,有多少订单?.

Ali Sinan Koksal、Yewen Pu、Saurabh Srivastava、Rastislav Bodik、Jasmin Fisher和Nir Piterman,由突变实验合成生物模型《第40届ACM SIGPLAN-SIGACT编程语言原则研讨会论文集》,2013年,第469-482页。

小松高雄(Takao Komatsu)和拉米雷斯(JoséL.Ramírez),不完全Fubini数的若干行列式,arXiv:1802.06188[math.NT],2018年。

Germain Kreweras,联合使用dans les problèmes组合《数学与科学》(Mathématiques et Sciences Humaines)第3期(1963年):第31-41页。

Alex Kumjian、David Pask、Aidan Sims和Michael F.Whittaker,与高秩图相关的拓扑空间,arXiv预打印arXiv:1310.6100[math.OA],2013。

Hans Maassen和Thom Bezembinder,随机弱订单的生成与Condorcet胜利者的概率《社会选择与福利》,第19卷,第3期(2002年),第517-532页。

P.A.MacMahon,与称为“树”的分析形式有关的轭链和多组分组成,程序。伦敦数学。Soc.,第22卷(1891年),第330-346页;在Coll.重印。论文一,第600-616页。

维克多·米利,Motzkin给N.J.A.Sloane的信中的论文“圆柱体的编号排序……”中给出的几个序列的比较。

埃利奥特·门德尔森,平局比赛,数学。Mag.,第55卷,第3期(1982年),第170-175页。

伊斯特万·梅兹,某些组合序列的最后几位的周期性,J.国际顺序。,第17卷(2014年),第14.1.1条;arXiv预印本,arXiv:1308.1637[math.CO],2013年。

伊斯特万·梅兹和阿尔帕德·巴里茨,关于Lambert W函数的推广及其在理论物理中的应用,arXiv预印本arXiv:1408.3999[math.CA],2014。

Moshe Mor和Aviezri S.Fraenkel,凯利排列,离散数学。,第48卷,第1期(1984年),第101-112页。

T.S.Motzkin,气缸和其他分类号的分类号,《组合数学》。交响乐团。纯数学。19,AMS,1971年,第167-176页。[带注释的扫描副本]

托德·马伦,关于扩散变量Dalhousie大学(哈利法克斯,加拿大南部,2020年)。

中岛北弘(Norihiro Nakashima)和筑平(Shuhei Tsujie),具有物种的扩展加泰罗尼亚和Shi排列平面的计数,arXiv:1904.09748[math.CO],2019年。

罗杰·尼尔森(Roger B.Nelsen)和哈维·施密特(Harvey Schmidt,Jr.)。,发电机组中的链条,数学。Mag.,第64卷,第1期(1991年),第23-31页。

S.Nkonkobe和V.Murali,关于禁止优先安排的几个恒等式,arXiv预印本arXiv:153.06173[math.CO],2015。

S.Nkonkobe和V.Murali。Nelsen-Schmidt型生成函数族的研究及限制限制优先安排的一些恒等式《离散数学》,第340卷(2017年),第1122-1128页。

马蒂尔德·努尔和西尔万·塞纳,布尔自动机网络建模理论——I。理论和观察,arXiv预印本arXiv:11111.2077[cs.DM],2011。

J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,一些三代数的多项式实现,程序。形式幂级数与代数组合数学2006(San-Diego,2006);arXiv:math/0605061[math.CO],2006年。

J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,m-置换、(m+1)元树和m-停车函数的Hopf代数,arXiv预印本arXiv:1403.5962[math.CO],2014。

J.-C.Novelli、J.-Y.Thibon、L.K.Williams、,组合Hopf代数、非交换Hall-Littlewood函数和置换表高级数学。,第224卷,第4期(2010年),第1311-1348页

阿瑟·南奇,分段置换上的欧拉多项式,arXiv:1805.01797[math.CO],2018年。

OEIS Wiki,排序数字.

卡罗琳娜·奥克拉萨(Karolina Okrasa)和帕韦·鲁兹·沃斯基(Pawe Rz ewski),超图的相交边判别着色,arXiv:1804.10470[cs.DM],2018年。

K.A.Penson、P.Blasiak、G.Duchamp、A.Horzela和A.I.Solomon,基于替换的层次Dobinski型关系与矩问题,arXiv:quant-ph/03122022003年。

蒂尔曼·皮耶斯克,concertina立方体中的弱序树。a(3)=13的图解,经许可使用。另请参见这个数字的原件在Wikimedia Commons上。

文森特·皮劳和维维安·彭斯,Permutrees树木,arXiv预印arXiv:1606.09643[math.CO],2016-2017。

克劳迪奥·德·皮特·鲁伊斯五世。,与Pascal和Lucas三角形有关的一些数字数组,J.国际顺序。,第16卷(2013年),第13.5.7条。

Robert A.Proctor,让我们扩展Rota计算分区的十二倍方法!,arXiv:math/0606404[math.CO],2006-2007年。

赫尔穆特·普罗丁格,有序斐波那契分区、加拿大。数学。牛市。26(1983),第3期,312--316。MR0703402(84米:05012)。[见第312页F_n。

亚什·普里和托马斯·沃德,周期轨道的算法和增长,J.整数序列。,第4卷(2001年),第01.2.1条。

S.Ramanujan,笔记本条目.

Joe Sawada和Dennis Wong,一种有效的弱阶泛环构造,圭尔夫大学计算机科学学院(2019年),在夏威夷大学马诺分校第30届海岸组合数学会议上发表。

Joe Sawada和Dennis Wong。弱阶的有效泛环构造,《离散数学》343.10(2020):112022。[请注意,这与链接中提到的标题类似的内容不同。一个是论文,另一个是演讲。]

N.J.A.Sloane和Thomas Wieder,层次排序的数量,arXiv:math/0307064[math.CO],2003;订单,第21卷(2004年),第83-89页。

雅各布·斯普里图拉,作为第二类奇偶Stirling数加权和的有序Bell数,arXiv:2109.12705[math.CO],2021。

Daniel J.Velleman和Gregory S.Call,排列和密码锁,数学。Mag.,第68卷,第4期(1995年),第243-253页。

卡尔·瓦格纳,广义弱阶的枚举《预印本》,1980年。[带注释的扫描副本]架构(architecture)。数学。,第39卷(1982年),第147-152页.

Carl G.Wagner和N.J.A.Sloane,通信,1980年.

F.V.Weinstein,关于斐波那契分区的注记,arXiv:math/0307150[math.NT],2003-2015(见第9页)。

埃里克·魏斯坦的数学世界,组合锁.

维基百科,订购的贝尔号码.

赫伯特·S·威尔夫,生成函数学,第2版。,纽约学术出版社,1994年,第175页,等式5.2.6、5.2.7。

安德鲁·威尔逊,环面链同调与nabla算子《组合理论杂志》,A辑,第154卷(2018),第129-144页;arXiv预印本,arXiv:1606.00764[math.CO],2016年。

徐爱民、岑忠弟,指数函数和斯特林数的一些恒等式及其应用,J.计算。申请。数学。,第260卷(2014年),第201-207页。

张彦,分次偏序集的四种变分,arXiv预印本arXiv:1508.00318[math.CO],2015。

Yi Zhu和Evgueni T.Filipov,一种有效的折纸组合接触数值模拟方法,程序。R.Soc.A,第475卷(2019年),20190366。

“核心”序列的索引项

相关分区计数序列的索引项

配方奶粉

a(n)=和{k=0..n}k!*StirlingS2(n,k)(而Bell数A000110号(n) =总和{k=0..n}箍筋S2(n,k))。

例如:1/(2-exp(x))。

a(n)=和{k=1..n}二项式(n,k)*a(n-k),a(0)=1。

例如f.y(x)满足y'=2*y^2-y。

a(n)=A052856号(n) -1,如果n>0。

a(n)=A052882号(n) /n,如果n>0。

a(n)=A076726号(n) /2。

a(n)渐近于(1/2)*n*log_2(e)^(n+1),其中log_2(e)=1.442695…[Barthelemy80,Wilf90]。

对于n>=1,a(n)=(n!/2)*(log(2)+2 Pi ik)^(-n-1)的和{k=-无穷大..无穷大}-迪安·希克森

a(n)=((x*d/dx)^n)(1/(2-x))在x=1时计算-卡罗尔·彭森2001年9月24日

对于n>=1,a(n)=Sum_{k>=1}(k-1)^n/2^k=A000629号(n) /2-贝诺伊特·克洛伊特2002年9月8日

第n个欧拉多项式的值(参见。A008292号)x=2时-弗拉德塔·乔沃维奇2003年9月26日

2的幂的第一次欧拉变换[A000079号]. 请参见A000142号FET的定义-罗斯·拉海耶2005年2月14日

a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*k*箍筋2(n+1,k+1)*(1+(-1)^k)/2-保罗·巴里2005年4月20日

a(n)+a(n+1)=2*A005649号(n) ●●●●-菲利普·德尔汉姆2005年5月16日-托马斯·维德2005年5月18日

等于的二项式逆变换A000629号. -加里·亚当森2005年5月30日

a(n)=和{k=0..n}k*(箍筋2(n+2,k+2)-箍筋2Micha Hofri(Hofri(AT)wpi.edu),2006年7月1日

递归:2*a(n)=(a+1)^n,其中上标在二项式展开后转换为下标-让人想起伯努利数“B_n=(B+1)^n.-Martin Kochanski(mjk(AT)cardbox.com),2007年5月10日

a(n)=(-1)^n*n!*拉盖尔(n,P((.),2)),本影,其中P(j,t)是A131758号. -汤姆·科普兰2007年9月27日

超几何函数的公式,用Maple符号表示:a(n)=超几何([2,2…2],[1,1…1],1/2)/4,n=1,2…,其中超几何函数中有n个上参数都等于2,n-1个下参数都等于1,自变量等于1/2。例如:a(4)=evalf(hypergeom([2,2,2,2],[1,1,1],1/2)/4)=75-卡罗尔·彭森2007年10月4日

a(n)=和{k=0..n}A131689型(n,k)-菲利普·德尔汉姆2008年11月3日

发件人彼得·巴拉,2009年7月1日:(开始)

伯努利数的类比。

我们进一步阐述了M.Kochanski的上述评论。

伯努利多项式B_n(x),n=0,1,。。。,由公式给出

(1)... B_n(x):=和{k=0..n}二项式(n,k)*B(k)*x^(n-k),

其中B(n)表示伯努利数B(0)=1的序列,

B(1)=-1/2,B(2)=1/6,B(3)=0。。。。

通过类比,我们将多项式{P_n(x)}n>=0的Appell序列与当前序列相关联,该序列由

(2)... P_n(x):=和{k=0..n}二项式(n,k)*a(k)*x^(n-k)。

这些多项式具有与伯努利多项式类似的性质。

前几个值是P_0(x)=1,P_1(x,

P_2(x)=x^2+2*x+3,P_3(x)=x^3+3*x^2+9*x+13和

P_4(x)=x^4+4*x^3+18*x^2+52*x+75。请参见A154921号对于这些多项式的系数三角形。

此多项式序列的示例f.为

(3)... exp(x*t)/(2-exp(t))=1+(x+1)*t+(x^2+2*x+3)*t^2/2!+。。。。

多项式满足差分方程

(4)... 2*P_n(x-1)-P_n(x)=(x-1”^n,

因此可以用来计算整数的加权幂和

(1/2)*1^m+(1/2)^2*2^m+(1/2)^(n-1)*n-1)^米

通过公式

(5)... 和{k=1..n-1}(1/2)^k*k^m=2*P_m(0)-(1/2),

类似于求和1^m+2^m+…+(n-1)^m表示伯努利多项式。

最后一个结果可以推广到

(6)... 求和{k=1..n-1}(1/2)^k*(k+x)^m=2*P_m(x)-(1/2)。

有关多项式P_n(x)的更多属性,请参阅A154921号.

有关整数加权幂和和相关多项式序列的更多信息,请参见A162312号.

当前序列也发生在计算另一个整数幂和时。定义

(7)... S_m(n):=和{k=1..n-1}(1/2)^k*((n-k)*k)^m,m=1,2,。。。。

然后

(8)... S_m(n)=(-1)^m*[2*Q_m(-n)-(1/2)^(n-1)*Q_m(n)],

其中Q_m(x)是x中的多项式,由

(9)... Q_m(x)=和{k=0..m}a(m+k)*二项式(m,k)*x^(m-k)。

前几个值是Q_1(x)=x+3,Q_2(x)=3*x^2+26*x+75

Q_3(x)=13*x^3+225*x^2+1623*x+4683。

例如,m=2表示

(10)... S_2(n):=和{k=1..n-1}(1/2)^k*((n-k)*k)^2

=2*(3*n^2-26*n+75)-(1/2)^(n-1)*(3*n^2+26*n+75)。

(结束)

G.f.:1/(1-x/(1-2*x/(1-2*x/;连分式系数按楼层((n+2)/2)*(3-(-1)^n)/2给出(A029578号(n+2))-保罗·巴里2010年3月30日

通用公式:1/(1-x-2*x^2/(1-4*x-8*x^2/(1-7*x-18*x^ 2/(1-10*x-32*x^/(1../(1-(3*n+1)*x-2*(n+1)^2*x*2/(1-…(连分数))-保罗·巴里2010年6月17日

通用公式:A(x)=和{n>=0}n*x^n/产品{k=1..n}(1-k*x)-保罗·D·汉纳2011年7月20日

a(n)=A074206号(q_1*q_2*…*q_n),其中{q_i}是不同的素数-弗拉基米尔·舍维列夫2011年8月5日

调整后的例如f.A(x):=1/(2-exp(x))-1具有反函数A(x)^-1=Integral_{t=0..x}1/((1+t)*(1+2*t))。应用[Dominici,定理4.1]来反演积分,得到a(n)的公式:设f(x)=(1+x)*(1+2*x)。设D是算子f(x)*D/dx。然后a(n)=D^(n-1)(f(x))在x=0时计算。与进行比较A050351号. -彼得·巴拉2011年8月31日

通用公式:1+x/(1-x+2*x*(x-1)/(1+3*x*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年10月30日

a(n)=D^n*(1/(1-x))在x=0时计算,其中D是运算符(1+x)*D/dx。囊性纤维变性。A052801号. -彼得·巴拉2011年11月25日

例如:1+x/(g(0)-2*x),其中g(k)=x+k+1-x*(k+1)/g(k+1;(连分数,欧拉第一类,1步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年7月11日

例如,(2-2*x)*(1-2*x^3/(8*x^2-4*x+(x^2-4*x+2)*g(0))/(x^2-4*x+2),其中g(k)=k^2+k*(x+4)+2*x+3-x*(k+1)*(k+3)^2/g(k+1;(连分数,欧拉第一类,1步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月1日

G.f.:1+x/G(0),其中G(k)=1-3*x*(k+1)-2*x^2*(k+1*)*(k+2)/G(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年1月11日

G.f.:1/G(0),其中G(k)=1-x*(k+1)/(1-2*x*(k+1)/G(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月23日

a(n)总是奇数。对于奇素数p和n>=1,a((p-1)*n)=0(mod p)-彼得·巴拉2013年9月18日

G.f.:1+x/Q(0),其中Q(k)=1-3*x*(2*k+1)-2*x^2*(2xk+1)*(2k+2)/(1-3*xx(2*k+2)-2*x ^2*;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年9月23日

G.f.:T(0)/(1-x),其中T(k)=1-2*x^2*(k+1)^2/(2*x*2*(k+1)^2-(1-x-3*x*k)*(1-4*x-3*x*k)/T(k+1));(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年10月14日

a(n)=log(2)*Integral_{x>=0}楼层(x)^n*2^(-x)dx-彼得·巴拉2015年2月6日

当n>0时,a(n)=Re(多蜂(n,i*log(2)/(2*Pi))/(2*Pi*i)^(n+1))-n/(2*log(2)^(n+1))-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2015年10月15日

a(n)=和{k=1..n}(k*b2(k-1)*(k)*Stirling2(n,k)),n>0,a(0)=1,其中b2(n)是第二类的第n个伯努利数-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年11月21日

a(n)=和{k=0..2^(n-1)-1}A284005型(k) ,n>0,a(0)=1-米哈伊尔·库尔科夫2018年7月8日

a(n)=A074206号(k) 对于无平方k和n个素因子。特别是a(n)=A074206号(A002110号(n) )-阿米拉姆·埃尔达尔2019年5月13日

对于n>0,a(n)=-(-1)^n/2*PHI(2,-n,0),其中PHI(z,s,a)是Lerch zeta函数-费德里科·普罗夫维迪2020年9月5日

a(n)=s_n}乘积{i=1..n}二项式(i,s(i)-1)中的和{s,其中s的范围在[n]的置换集s_n上-何塞·A·罗德里格斯2021年2月2日

和{n>=0}1/a(n)=2.425674839121428857970063350004993937066410932870188408577170864211946122664... -瓦茨拉夫·科特索维奇2021年6月17日

发件人雅各布·斯普里图拉,2021年10月5日:(开始)

以下恒等式适用于具有偶数或奇数第二参数的第二类Stirling数的和:

a(n)=2*Sum_{k=0..floor(n/2)}(2k)!*箍筋2(n,2*k))-(-1)^n=2*A052841号-(-1)^n

a(n)=2*Sum_{k=0..floor(n/2)}((2k+1)!*箍筋2(n,2*k+1))+(-1)^n=2*A089677号+(-1)^n

a(n)=和{k=1..层((n+1)/2)}((2k-1)!*箍筋2(n+1,2*k)

a(n)=和{k=0..层((n+1)/2)}(2k)!*箍筋2(n+1,2*k+1))。(结束)

例子

将点标记为1、2、3,。。。

a(2)=3:1<2,2<1,1=2。

a(3)=13来自13个排列:1<2<3,1<3<2,2<1<3,2<3<1,3<1<2,3<2<1,1=2<3 1=3<2,2=3<1,1<2=3,2<1=3,3<1=2,1=2=3。

三名选手可以以13种方式完成比赛:1、2、3;1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,1,2; 3,2,1; 1,1,3; 2,2,1; 1,3,1; 2,1,2; 3,1,1; 1,2,2; 1,1,1.

a(3)=13。3个顶点上的13个平面增加的0-1-2树,其中出度1的顶点有3种颜色,出度2的顶点有2种颜色,如下所示:

........................................................

…….1(x3色)。。。。。1(x2色)。。。。1(x2色)。。

........|................/.\............./.\............

…….2(x3色)。。。2...3...........3...2...........

........|...............................................

........3...............................................

......====..............====............====............

总计9……+……….2….+…….2..=..13。。。。

........................................................

a(4)=75。4个顶点上75个非平面增加的0-1-2树,其中伸出度1的顶点有3种颜色,伸出度2的顶点有4种颜色,如下所示:

...............................................................

…..1(x3)。。。。。1(x4)。。。。。。。1(x4)。。。。。1(x4)。。。。。。。。1(x3)。。。。。。。

.....|........./.\........./.\......./.\...........|...........

…..2(x3)。。。2…3.(x3)..3…2(x3。。。。。。。

.....|.............\...........\.........\......../.\..........

…..3.(x3)…………4………..4……..3………3……4。。。。。。。。。

.....|.........................................................

.....4.........................................................

....====......=====........====......====.........====.........

总计27….+….12….+..12….+.12。

发件人乔格·阿恩特2014年3月18日:(开始)

字母表{1,2,3}上的a(3)=13个字符串包含所有出现最大值的字母,相应的有序集分区为:

01: [ 1 1 1 ] { 1, 2, 3 }

02: [ 1 1 2 ] { 1, 2 } < { 3 }

03: [ 1 2 1 ] { 1, 3 } < { 2 }

04: [ 2 1 1 ] { 2, 3 } < { 1 }

05: [ 1 2 2 ] { 1 } < { 2, 3 }

06: [ 2 1 2 ] { 2 } < { 1, 3 }

07: [ 2 2 1 ] { 3 } < { 1, 2 }

08: [ 1 2 3 ] { 1 } < { 2 } < { 3 }

09: [ 1 3 2 ] { 1 } < { 3 } < { 2 }

00: [ 2 1 3 ] { 2 } < { 1 } < { 3 }

11: [ 2 3 1 ] { 3 } < { 1 } < { 2 }

12: [ 3 1 2 ] { 2 } < { 3 } < { 1 }

13: [ 3 2 1 ] { 3 } < { 2 } < { 1 }

(结束)

MAPLE公司

A000670号:=proc(n)选项记忆;局部k;如果n<=1,则另加1(二项式(n,k)*A000670号(n-k),k=1..n);fi;结束;

带(combstruct);SeqSetL:=[S,{S=序列(U),U=集合(Z,卡>=1)},标记];seq(计数(SeqSetL,大小=j),j=1..12);

与(组合):a:=n->add(加法((-1)^(k-i)*二项式(k,i)*i^n,i=0..n),k=0..n):seq(a(n),n=0..18)#零入侵拉霍斯2007年6月3日

a:=n->加(组合:-eulerian1(n,k)*2^k,k=0..n):#彼得·卢什尼2015年1月2日

a:=n->(polylog(-n,1/2)+`如果`(n=0,1,0))/2:seq(round(evalf(a(n),32)),n=0..20)#彼得·卢什尼2015年11月3日

#下一个Maple计划:

b: =proc(n,k)选项记忆;

`如果`(n=0,k!,k*b(n-1,k)+b(n-l,k+1))

结束时间:

a: =n->b(n,0):

seq(a(n),n=0..20)#阿洛伊斯·海因茨2021年8月4日

数学

表[(PolyLog[-z,1/2]+KroneckerDelta[z])/2,{z,0,20}](*沃特·梅森*)

a[0]=1;a[n]:=a[n]=和[二项式[n,k]*a[n-k],{k,1,n}];表[a[n],{n,0,30}](*罗杰·巴古拉加里·亚当森2008年9月13日*)

t=30;范围[0,t]!系数列表[级数[1/(2-经验[x]),{x,0,t}],x](*文森佐·利班迪2014年3月16日*)

a[n_]:=如果[n<0,0,n!级数系数[1/(2-实验@x),{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯2015年6月19日*)

表[总和[k^n/2^(k+1),{k,0,无限}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年6月26日*)

表[HurwitzLerchPhi[1/2,-n,0]/2,{n,0,20}](*Jean-François Alcover公司2016年1月31日*)

Fubini[n_,r_]:=总和[k!*总和[(-1)^(i+k+r)*((i+r)^[n-r)/(i!*(k-i-r)!)),{i,0,k-r}],{k,r,n}];福比尼[0,1]=1;表[Fubini[n,1],{n,0,20}](*Jean-François Alcover公司2016年3月31日*)

欧拉1[0,0]=1;欧拉数1[n_,k_]:=和[(-1)^j(k-j+1)^n二项式[n+1,j],{j,0,k+1}];表[Sum[Eulerian1[n,k]2^k,{k,0,n}],{n,0,20}](*Jean-François Alcover公司2019年7月13日,之后彼得·卢什尼*)

前缀[表[-(-1)^k HurwitzLerchPhi[2,-k,0]/2,{k,1,50}],1](*费德里科·普罗夫维迪2020年9月5日*)

表[Sum[k!*StirlingS2[n,k],{k,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2020年11月22日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!*polceoff(subst(1/(1-y),y,exp(x+x*O(x^n))-1),n))}/*迈克尔·索莫斯2004年3月4日*/

(PARI)Vec(塞拉普拉斯(1/(2-exp('x+O('x^66))))/*乔格·阿恩特2011年7月10日*/

(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,m!*x^m/prod(k=1,m,1-k*x+x*O(x^n)),n)}/*保罗·D·汉纳2011年7月20日*/

(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,和(k=1,n,二项式(n,k)*a(n-k))}/*迈克尔·索莫斯2017年7月16日*/

(Maxima)makelist(总和(stirling2(n,k)*k!,k、 0,n),n,0,12)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年7月7日*/

(极大值)a[0]:1$a[n]:=和(二项式(n,k)*a[n-k],k,1,n)$A000670号(n) :=一个[n]$makelist(A000670号(n) ,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年11月5日*/

(鼠尾草)

@缓存函数

定义A000670号(n) :如果n==0,则返回1,否则相加(A000670号(k) *范围(n)中k的二项式(n,k)

[A000670号(n) 对于(0..20)中的n#彼得·卢什尼2012年7月14日

(哈斯克尔)

a000670 n=a000670_列表!!n个

a000670_list=1:f[1](映射尾部$tail a007318_tabl),其中

f xs(bs:bss)=y:f(y:xs)bss其中y=总和$zipWith(*)xs bs

--莱因哈德·祖姆凯勒2014年7月26日

(Python)

从数学导入阶乘

从sympy.functions.combinatial.numbers导入stirling

定义A000670号(n) :返回和(阶乘(k)*范围(n+1)中k的斯特林(n,k))#柴华武2022年11月8日

交叉参考

请参见A240763型获取实际优惠安排的列表。

A000629号,这个序列,A002050型,A032109号,A052856号,A076726号都是或多或少相同的序列-N.J.A.斯隆2012年7月4日

的二项式变换A052841号.二项式逆变换A000629号.

渐近线到A034172号.

囊性纤维变性。A002144号,A002869号,A004121号,A004122号,A007047号,A007318号,A048144号,A053525号,A080253号,A080254号,A011782号,A154921号,A162312号,A163204号,A242280型,A261959型,A290376型,A074206号.

第r行=第1行,共行A094416号中数组的第0行A226513型.第n行=第1行,共行A262809型.

主对角线:A135313号,A261781型,A276890型,A327245型,A327583型,A327584型.

三角形的行和A019538年,A131689型,A208744型A276891型.

A217389号A239914型给出部分和。

第k列=第1列,共列A326322型.

上下文中的序列:A276900型 A276930型 A034172号*A032036号 A305535型 A300793型

相邻序列:A000667号 A000668号 A000669号*A000671号 A000672号 A000673号

关键词

非n,核心,美好的,容易的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的

查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。

许可协议、使用条款、隐私政策。.

上次修改时间:2023年3月20日15:54 EDT。包含361384个序列。(在oeis4上运行。)