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图形周期


一个循环图表 G公司,也称为电路如果第一个顶点未指定,是边缘集属于G公司形成一个路径使得路径的第一个节点对应于最后一个节点。最大边不相交集给定图的圈克可以使用提取周期[]在中Wolfram语言包装组合数学`.

使用每个图形顶点图表只有一次称为哈密顿循环.

不包含长度为3的圈的图称为无三角图,不包含长度为4的圈的图称为正方形自由图表.

不包含任何长度的圈的图称为非循环图,而包含至少一个循环的图形称为循环的,循环的图表.具有一个(无向,简单)循环的图称为单圈图。连接的非循环图是称为,以及一个可能断开的非循环图被称为森林.

给定图形中最短图形周期(如果有)的长度称为周长,最长循环的长度称为图形周长.

图的任何循环都可以表示为基本的周期图的集合(古尔德1959年,巴顿1969年)。

Björner和Wachs(1982)和(Stanley 1999)考虑了将循环随机循环嵌入到其标准配置中的顶点之间的最小交换次数。

非循环图二分的、和循环图二分的 若(iff)其所有旋回均为偶数长度(Skiena 1990年,第213页)。

闭合(无向)的数量k个-在图中邻接矩阵 A类由给定Tr(A^k),哪里Tr(A)表示矩阵追踪为了计算数字c_k(k)属于k个-循环,全部关闭k个-步行非循环必须减去。人们会认为,通过与匹配生成多项式,独立多项式等,a周期多项式的其系数是长度的循环数k个将被定义。虽然没有这样的多项式似乎没有已在文献中定义(通常改为“循环多项式”指对应于循环指数属于置换群),它们在中定义这项工作。

的数量k个-循环c_k(k)与路径计数矩阵有关确认(_k)通过

 c_k=1/(2k)Tr(P_(k-1)A),
(1)

哪里Tr公司表示矩阵跟踪A类邻接矩阵(佩雷佩奇科和沃罗帕耶夫)。

长度闭游走对应的图k个被称为k个-循环的,循环的,或“确认(_k)-图形”简而言之。的数量确认(_k)-图形对于k=3, 4, ... 是1、3、3、10、12、35、58、,160, 341, 958, 2444, 7242, 21190, 67217, 217335, ... (组织环境信息系统A081809年;流动问题)。

Harary和Manvel(1972)给出了以下小型的封闭形式k个:

6立方厘米=Tr(A^3)
(2)
8c_4号=Tr(A^4)-2m-2sum_(i!=j)A_(ij)^((2))
(3)
=总和(i)a(ii)^(4)+总和
(4)
=Tr(A^4)+Tr(A ^2)-2Tr(诊断(A ^ 2)^2)
(5)
=Tr(A^4)-2m-2sum_(i)d_i(d_i-1)
(6)
=Tr(A^4)+Tr(A ^2)-2sum_(i)d_i^2
(7)
10c_5=Tr(A^5)-5Tr(A^3)-5sum_(i=1)(sum_(j)A_(ij)-2)A_(ii)^((3))
(8)

(带有碳四Perepechko和Voropaev的变体),其中米是图形的边数,a_(ij)^(k))表示i、 j个的元素A^k公司,诊断(A)是由以下对角元素构成的矩阵A类、和di=a(ii)^((2))我第个顶点度。阿龙等。(1997)扩展了这些结果最多k=7,尽管有明确的公式k=5。的精确公式碳六碳七由提供

 12c_6=总和(i)a_(ii)^(6)-3sum_(n=1)^n(a_(Ⅱ)^(i)总和(j)a(ij)^(3)-12总和(i)di^2+4总和(ii)di14c_7=Tr(A^7)-7sum_(i)A_(ii)^(4)A_ i)总和_(j)(A_(ij)^((2)))^2a_(i)+7sum_(i,
(9)

哪里di=a(ii)^((2))我第个顶点度(Perepechko和Voropaev;S.Perepechsko,pers.comm.,1月4日,2014).

Khomenko和Golovko(1972)给出了一个公式,给出了任意长度的循环数,但其计算需要计算和执行涉及以下内容的矩阵运算大小不超过的所有子集n-2个,使得它在计算上昂贵。Khomenko的简化和改进版本Golovko公式如下所示

 c_k=1/(2k)总和_(i=2)^k(-1)^(k-i)(n-i;n-k)总和=(|S|=n-i)Tr(A_S^k)
(10)

对于k=3, 4, ...,n个,其中答^kk个邻接矩阵的子矩阵的次矩阵幂A类使用子集S公司删除了行和列中的行和列(Perepechko和Voropaev)。这个案例k=n因此给出了哈密顿的循环.

吉斯卡尔等。(2016)给出了无向数的公式k个-图中的圈G公司作为

 c_k=((-1)^k)/(2k)总和_(H≺_(conn)G)(|N(H)|;k-|H|)(-1)^(|H|”)Tr(A_H^k),
(11)

其中和是过连通诱导子图H(H)属于G公司,N(高)表示的邻居数量H(H)在里面G公司(即顶点v(v)属于G公司不在中的H(H)并且至少有一条边v(v)到的顶点H(H)),Tr(A)表示矩阵跟踪、和A_H^k(A _ H ^k)k个图的邻接矩阵的次方阵幂H(H).

努表示无向的总数图中的循环和亩这个电路等级.然后

 μ<=nu<=2^mu-1
(12)

(基尔霍夫1847年,阿伦斯1897年,科尼1936年,沃克曼1996年)。所有简单阶图的无向圈总数n=1, 2, ... 是0、0、1、13、143、1994、39688。。。(组织环境信息系统A234601型).

 μ(G)=nu(G)
(13)

如果任何两个周期没有共同的优势(Volkmann 1996)。因此,在连通图中,等式适用于(且仅适用于)仙人掌Mateti和Deo(1976)证明,只有四个图nu=2^mu-1:这个完全图 K_3公司K_4型,的完全二部图表 K_(3,3),K_4-e公司(沃尔克曼,1996年)。

无向循环的总数也满足

 nu>=n(1/2增量-1)+1
(14)

 nu>=1/2增量(增量-1),
(15)

哪里n个是顶点数三角洲最小顶点(沃尔克曼,1996年)。

下表给出了各类图的无向图循环数。

图表组织环境信息系统序列
Andrásfai图A234602型0,1, 29, 1014, 72273, 9842527, ...
反棱镜图表A077263号十、 X、63、179、523、1619、5239、17379。。。
主教图A234636型十、 0、3、106、17367、,24601058、638520866656、。。。
(n,n)-黑主教图邮编:234603X、,十、 X,53,12424,12300529。。。
鸡尾酒聚会图 K_(n×2)A167987号0,1, 63, 2766, 194650, 21086055, 3257119761, ...
完全二部图 K_(n,n)A070968美元0、1、15、204、3940、113865、4662231。。。
完全三部图 K_(n,n,n)A234616型1, 63, 6705, 1960804, 1271288295, 1541975757831, ...
完全图 K_n(未知)A002807号1, 7, 37, 197, 1172, 8018, ...
2个-交叉的棱镜图A234617型28, 107, 380, 1345, 4878, 18219, ...
树冠图A234618型1, 28, 586, 16676, 674171, 36729512, ...
立方连通圈图A000000元十、 X,2664。。。
循环图 C_n(_n)A000012号1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
折叠立方体图A234619型0, 0, 7, 204, 322248, ...
栅格图 P_n方形P_nA140517号十、 1、13、213、9349、122236、487150371。。。
栅格图 P_n平方P_n方形P_nA234620型十、 283426491。。。
减半立方体图形A234621型0, 0, 7, 2766, 4678134804, ...
河内图A000000元1, 11, 1761, ...
超立方体图表 问题(_n)A085408号0,1, 28, 14704, 51109385408, ...
(n,n)-主图A234622型X、 7、348、136597,545217435, 21964731190911, ...
(n,n)-骑士图A234623型十、 0、1、222、128769、,959427728, ...
n个-梯形图A000217号0, 1, 3, 6, 10, 15,21, 28, 36, 45, ...
莫比乌斯梯子 M_n(_n)A020873号X、,十、 15、29、53、95、171、313、585。。。
迈基尔斯基图表A234625型0, 0, 1, 337, 445228418, ...
奇数图A301558型0, 1, 57, 872137842, ...
置换星形图A000000元0, 0, 1, 5442, ...
棱镜图表 Y_n(年_月)A077265号14,28, 52, 94, 170, ...
(n,n)-女王图A234626型0, 7, 8215, 2080941496,269529670654115055, ...
欺骗图表 K_n正方形K_nA234624型0,1, 312, 3228524, 6198979538330, ...
希尔皮恩斯基垫圈图A234634型1, 11, 1033, ...
太阳图表A234627型十、 X、11、44、198、1036、6346、45019、364039。。。
日出图 C_n圆圈K_1A000000元十、 X,1,1,1,1,1,1。。。
三角表A234629型0, 1, 63, 15703, 58520309, ...
网络图A077265号14, 28, 52, 94, 170, 312, 584, 1114, ...
车轮图表 W_n(n)A002061号7, 13, 21, 31, 43, 57, ...
(n,n)-白色主教图A234630型十、 X,X,53,4943,12300529。。。

下表总结了某些此类图的闭合形式。


另请参见

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Ahrens,W.“Über das Gleichungssystem einer Kirchhoffschen galvannischen Stromverzweigung”数学。安。 49, 311-324, 1897.阿龙,编号。;尤斯特,R。;和Zwick,U。“给定长度循环的发现和计数”算法 17, 209-223, 1997.Björner,A.和Wachs,M.“Coxeter群的Bruhat阶与壳性”高级数学。 43,1982年第87至100页。流动问题。"确认(_k)-图表。"http://flowproblem.ru/cycles/explicit-formulae/ck-graphs.吉斯卡尔,P.-L。;Kriege,N。;和Wilson,R.C。“通用计数算法任意长度的简单循环和简单路径。“2016年12月16日。https://arxiv.org/pdf/1612.05531.pdf.古尔德,R.“图论在接触网综合中的应用”程序。国际交响乐团。关于切换理论,第一部分,4月2日至5日,1957.年哈佛大学计算实验室年鉴,年鉴29号。马萨诸塞州剑桥:哈佛大学出版社,第244-292页,1959年。哈拉里,F.和Manvel,B.“关于图中的循环数”Mat.Co asopis公司斯洛文尼亚语。阿卡德。维德 21, 55-63, 1971.卡拉瓦耶夫,A.M。“流量问题:简单周期统计。"http://flowproblem.ru/paths/statistics-of-simple-cycles(http://flowproblem.ru/paths/statistics-of-simple-cycles).科门科,N.P.(不适用)。和L.D.Golovko。“识别图形和计算它们的数量。"乌克兰。数学。J。 24, 313-321,1972基尔霍夫,G.“Auflösung der Gleichungen,我们将在Ströme的Verteilung镀锌线下工作盖夫·赫特·维德。"Ann.d.物理。化学。 72, 497-508, 1847.科尼,D.终层与非终层石墨理论。德国莱比锡:Akademische Verlagsgesellschaft,1936Mateti,P.和Deo,N.“关于枚举全部的算法”图的回路。"SIAM J.计算。 5, 90-99, 1976.巴顿,K.“求图的基本圈的算法”通信ACM 12,514-518, 1969.佩雷佩奇科,S.N。和Voropaev,A.N。无向图中的固定长度循环数。在以下情况下的显式公式小长度。"Skiena,S.“图中的圈”§5.3在里面实施离散数学:组合数学和图论与数学。阅读,马萨诸塞州:Addison-Wesley,第188-202页,1990年。新泽西州斯隆。答:。序列A000012号/M0003,A002061号/M2638,A002807号/M4420中,A077263号,A077265号,A081809年,A234601型在线百科全书整数序列的。"斯坦利,R.P。枚举组合数学,第1卷。英国剑桥:剑桥大学出版社,1999图中循环数的估计每。数学。匈牙利。 33, 153-161, 1996.D.B.韦斯特。介绍图论,第二版。新泽西州恩格尔伍德克利夫斯:普伦蒂斯·霍尔,第5页和2000年20月。

参考Wolfram | Alpha

图形周期

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“图形周期”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GraphCycle.html

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