图形周期

一个循环图表 ，也称为电路如果第一个顶点未指定，是边缘集属于形成一个路径使得路径的第一个节点对应于最后一个节点。最大边不相交集给定图的圈可以通过以下方式获得提取循环[克]在中Wolfram语言包裹组合数学`.

使用每个图形顶点的图表只有一次称为哈密顿循环.

不包含长度为3的圈的图称为无三角形图，不包含长度为4的圈的图称为无平方的图表.

不包含任何长度的圈的图称为非循环图，而包含至少一个循环的图形称为循环的，循环的图表.具有一个（无向，简单）循环的图称为单圈图。连接的非循环图是称为树，以及一个可能断开的非循环图被称为森林.

给定图形中最短图形周期（如果有）的长度称为周长，最长循环的长度称为图形周长.

图的任何循环都可以表示为基本的周期图的集合（古尔德1959年，巴顿1969年）。

Björner和Wachs（1982）和（Stanley 1999）考虑了将循环随机循环嵌入到其标准配置中的顶点之间的最小交换次数。

安非循环图是二分的、和循环图是二分的 若（iff）其所有旋回均为偶数长度（Skiena 1990年，第213页）。

闭合（无向）的数量-走在图中邻接矩阵 由提供,哪里表示矩阵追踪为了计算数字属于-循环，全部关闭-步行非循环必须减去。人们会认为，通过与匹配生成多项式,独立多项式等，a周期多项式的其系数是长度的循环数将被定义。虽然没有这样的多项式似乎没有已在文献中定义（通常改为“循环多项式”指对应于循环指数属于置换群)，在中定义这项工作。

数量-循环与路径计数矩阵有关通过

哪里表示矩阵跟踪和是邻接矩阵（佩雷佩奇科和沃罗帕耶夫）。

长度闭游走对应的图被称为k个-循环的，循环的图，或“-图表”简而言之。的数量-图形对于, 4, ... 是1、3、3、10、12、35、58、，160, 341, 958, 2444, 7242, 21190, 67217, 217335, ... （组织环境信息系统A081809号;流动问题）。

Harary and Manvel（1972）为小型:

（带有Perepechko和Voropaev的变体），其中是图形的边数，表示的元素,是由以下对角元素构成的矩阵、和是第个顶点度。阿龙等。（1997）扩展了这些结果最多,尽管有明确的公式。的精确公式和由提供

哪里是第个顶点度（Perepechko和Voropaev；S.Perepechsko，pers.comm.，1月4日，2014年）。

Khomenko和Golovko（1972）给出了一个公式，给出了任意长度的循环数，但其计算需要计算和执行涉及以下内容的矩阵运算大小不超过的所有子集,使其计算成本高昂。简化和改进版的KhomenkoGolovko公式如下所示

对于, 4, ...,，其中是邻接矩阵的子矩阵的次矩阵幂使用子集删除的行和列（Perepechko和Voropaev）。这个案例因此给出了哈密顿量循环.

吉斯卡尔等。（2016）给出了无向数的公式-图中的圈作为

其中和是过连通诱导子图属于,表示的邻居数量在里面（即顶点属于不在中的并且至少有一条边到的顶点),表示矩阵轨迹、和是图的邻接矩阵的次方阵幂.

让表示无向的总数图中的循环和这个电路等级。那么

（基尔霍夫1847年，阿伦斯1897年，科尼1936年，沃克曼1996年）。所有简单阶图的无向圈总数, 2, ... 分别为0、0、1、13、143、1994、39688。。。（组织环境信息系统A234601型).

如果任何两个周期没有共同的优势（Volkmann 1996）。因此，在连通图中，等式适用于（且仅适用于）仙人掌图Mateti和Deo（1976）证明，只有四个图:这个完全图 和，的完全二部图表 ,和（沃尔克曼，1996年）。

无向循环的总数也满足

和

哪里是顶点数是最小顶点度（沃尔克曼，1996年）。

下表给出了各类图的无向图循环数。

下表总结了某些此类图的闭合形式。