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| 153641英镑 |
| 用于计算欧拉数、正切数和伯努利数（按行读取三角形）的瑞士刀多项式的非零系数。 |
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53
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1, 1, 1, -1, 1, -3, 1, -6, 5, 1, -10, 25, 1, -15, 75, -61, 1, -21, 175, -427, 1, -28, 350, -1708, 1385, 1, -36, 630, -5124, 12465, 1, -45, 1050, -12810, 62325, -50521, 1, -55, 1650, -28182, 228525, -555731, 1, -66, 2475, -56364, 685575, -3334386, 2702765, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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在下面的表达式中，如果n是奇数，则表达式[nodd]为1，否则为0。
（+）W_n（1/2）2^{n}是有符号广义Euler（Springer）数，参见A001586号.
瑞士刀多项式W_n（x）可以用伯努利多项式B（n，x）表示为
…W_n（x）=4^（n+1）/（2*n+2）*[B（n+1，（x+3）/4）-B（n/1，（x+1）/4。
除了乘数外，瑞士刀多项式是广义伯努利多项式的例子。
设X是由X（4*n+1）=1，X（4*n+3）=-1和X（2*n）=0定义的狄利克雷特征模4。广义Bernoulli多项式B（X；n，X），n=1,2，。。。，与字符X相关的是通过生成函数定义的
…t*exp（x*t）*（exp（t）-exp（3*t））/（exp）-1）=和{n=1..inf}B（x；n，x）*t^n/n！。
前几个值是B（X；1，X）=-1/2，B（X，2，X）=-X，B（X，3，X）=3/2*（X^2-1）和B（X；4，X）=2*（X*3-3*X）。
一般来说，W_n（x）=-2/（n+1）*B（x；n+1，x）。
关于与周期算术函数相关的广义伯努利多项式的理论，请参见[科恩，第9.4节]。
广义伯努利多项式可用于计算k次幂的扭曲和。对于本例，结果是
和{n=0..4*n-1}X（n）*n^k=1^k-3^k+5^k-7^k+…-（4*N-1）^k
=[B（X；k+1,4*N）-B（X；k+1,0）]/（k+1）=[W_k（0）-W_k。
证明适用[Cohen，推论9.4.17，m=4和x=0]。
广义伯努利多项式和瑞士刀多项式也通过其傅里叶级数与无穷次幂和相关-请参阅下面的公式部分。有关附加到Dirichlet特征模8的广义Bernoulli多项式的系数表，请参见A151751号.
（结束）
无头瑞士刀多项式非零系数的最大公约数是exp（Lambda（n）），其中Lambda是奇数素数的von Mangoldt函数，象征性地：
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参考文献
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H.Cohen，《数论-第二卷：分析和现代工具》，数学研究生教材。斯普林格·弗拉格。【摘自Peter Bala，2009年6月10日】
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链接
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莱昂哈德·尤勒（1735），倒置丝虫《奥姆尼亚歌剧院I.14》，E 41，73-86；关于倒数级数的和，arXiv:math/0506415v2（math.HO），2005-2008。
A.Hodges和C.V.Sukumar，伯努利、欧拉、置换和量子代数，程序。R.Soc.A，2007年10月，第463卷，编号463 2086 2401-2414。【由Tom Copeland于2015年8月31日添加】
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公式
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W_n（x）=和{k=0..n}{v=0..k}（-1）^v二项式（k，v）*c_k*（x+v+1）^n其中c_k=frac（（-1）。
例如：2*exp（x*t）*（exp（t）-exp（3*t））/（1-exp（4*t）（x^3-3*x）*t^3/3！+。。。。
W_n（x）=1/（2*n+2）*Sum_{k=0..n+1}1/（k+1）*Summ_{i=0..k}（-1）^i*二项式（k，i）*（（x+4*i+3）^（n+1）-（x+4*1）^（n+1”））。
广义伯努利多项式的傅里叶级数展开：
B（X；2*n，X）=（-1）^n*（2/Pi）^（2*n）*（2*n）！*{sin（Pi*x/2）/1^（2*n）-sin（3*Pi*x/3）/3^（2*n）+sin（5*Pi*x2）/5^（2%n）-…}，当n>=1时，对0<=x<=1有效。
B（X；2*n+1，X）=（-1）^（n+1）*（2/Pi）^{cos（Pi*x/2）/1^（2*n+1）-cos。
（结束）
例如：exp（x*t）*sech（t）-彼得·卢什尼2009年7月7日
O.g.f.作为J分数：z/（1-x*z+z^2/（1-xx*z+4*z^2/（1-xz+9*z^2/（1-x*z+…））=z+x*z^2+（x^2-1）*z^3+（x^3-3*x）*z*4+-彼得·巴拉2012年3月11日
推测o.g.f.：和{n>=0}1/2^（n-1）/2）*cos（（n+1）*Pi/4）*（和{k=0..n}（-1）^k*二项式（n，k）/（1-（k+x）*t））=1+x*t+（x^2-1）*t^2+（x^3-3*x）*t*3+。。。（检查到O（t^13）），得出W_n（x）=和{k=0..n}1/2^（（k-1）/2）*cos（（k+1）*Pi/4）*（和{j=0..k}（-1）^j*二项式（k，j）*（j+x）^n）-彼得·巴拉2016年10月3日
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例子
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1
x个
x ^2-1
x ^3-3倍
x^4-6x^2+5
x^5-10x^3+25x
x ^6-15 x ^4+75 x ^2-61
x ^7-21 x ^5+175 x ^3-427 x
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MAPLE公司
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w:=程序（n，x）局部v，k，pow，chen；pow:=（a，b）->如果a=0和b=0，则1其他a^b-fi；chen:=proc（m），如果irem（m+1，4）=0，则返回（0）fi；1/（（-1）^iquo（m+1，4）*2^iquo（m，2））结束；加法（add（（-1）^v*二项式（k，v）*pow（v+x+1，n）*chen（k），v=0..k），k=0..n）结束：
#带零的系数：
seq（打印（seq（系数（i！*）*系数（系列（exp（x*t）*秒（t），t，16），t，i），x，i-n），n=0..i）），i=0..8）；
#递归
W:=proc（n，z）选项记忆；局部k，p；
如果n=0，则1其他p:=irem（n+1，2）；
z^n-p+加法（`if`（irem（k，2）=1,0，
W（k，0）*二项式（n，k）*（幂（z，n-k）-p），k=2..n-1）f端：
#彼得·卢什尼，编辑和增补，2009年7月7日，2010年5月13日，2011年10月24日
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数学
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最大值=9；rows=（Reverse[CoefficientList[#，x]]&）/@系数列表[Series[Exp[x*t]*Sech[t]，{t，0，max}]，t]*范围[0，max]！；par[coefs_]：=（p=分区[coefs，2][[All，1]]；如果[EvenQ[Length[coefs]]，p，Append[p，Last[coefs]]]）；压扁[par/@行](*Jean-François Alcover公司2011年10月3日，在g.f.*之后）
sk[n_，x_]：=和[二项式[n，k]*EulerE[k]*x^（n-k），{k，0，n}]；表[系数列表[sk[n，x]，x]//反向//选择[#，#=！=0&]&，{n，0，13}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年5月21日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
如果k%4==0：
返回0
返回（-1）**（k//4）
返回展开（添加（2**（-（k//2）））*A046978号（k+1）*对k in（0..n））添加（（-1）**v*二项式（k，v）*（v+x+1）**n
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交叉参考
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W_n（k），k=0.1，。。。
W_4:5，0，-3，32，165，480。。。。。。。。
W_n（k），n=0,1，。。。
k=4:1、4、15、52、165、484。。。。。。。。[彼得·卢什尼2009年7月7日]
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关键字
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容易的,签名,标签
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作者
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状态
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经核准的
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