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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 110 9 A(n)^ 2是三角形数:a(n)=6*a(n-1)-a(n-2),a(0)=0,a(1)=1。
(原M4217 N1760)
一百七十六
0, 1, 6、35, 204, 1189、6930, 40391, 235416、1372105, 7997214, 46611179、271669860, 1583407981, 9228778026、53789260175, 313506783024, 1827251437969、10650001844790, 62072759630771, 361786555939836、2108646576008245, 12290092900109634, 71631910824649559 列表图表参考文献历史文本内部格式
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0、3

评论

8*a(n)^ 2+1=8**A111110(n)+ 1=A055 792(n+1)是一个完美的正方形。-格雷戈瑞诉理查德森案,10月05日2002

对于n>=2,A000 110 8(n)给出正整数m,使得1,2,…,m具有完美的中值。相关的完美中间序列是本序列。让AA1,…,AYM是实数序列(A),然后,如果SUMU{{ J=1…K1} AJJ=SUMJ{{J= K+ 1…M } AJJ,一个术语AYK是一个完美的中值。参见MSRI使者的谜题1,2005。- Asher Auel(Auela(AT)数学,UPEN.EDU),1月12日2006

(a(n),b(n))其中b(n)=A08229(n)是方程2*二项(b,a)=二项式(b+2,a)的整数解。- Klaus Strassburger(斯特拉斯(AT)DDFI,UNI Dueleldof.de);修改后的评论米迦勒索摩斯,APR 07 2003

该序列给出了丢番图方程x^ 2~8y^ 2=1的解的y值。它也给出了XY(x,y)满足x^ 2~2y^ 2=+- 1的乘积Xy的值,即a(n)=(n)=1。A131333(n)*A000 0129(n)。A(n)还给出了具有长度为连续整数的腿的原始勾股三角形的内径R,其中相应的半周长S=A(n+1)={A000 1652(n)+A046090(n)+A000 1653(n)} / 2和面积Rs=A02454(n)=6**A024566(n)。-莱克拉吉贝达西4月23日2003乔恩·E·舍恩菲尔德,五月04日2014

n为8×N ^ 2=楼层(Sqt(8)*N*天花板(Sqt(8)*n))。-班诺特回旋曲5月10日2003

对于n>0,A(n+1)/a(n)的比值可以作为3 +qRT(8)的连续分式展开的收敛项:[6;-6 ]或[5;1, 4 ]的奇数收敛的连续收敛。-莱克拉吉贝达西,SEP 09 2003

A(n+1)+A053141(n)=A000 110 8(n+1)。生成花:-2'i+2'j+k+i'+k'+2'i'-'jj′-2'kk′+'ij'+' ik'+'ji++'jk′-2'kj′+2e(jes)系列克赖顿戴蒙12月16日2004

某些苯类化合物的Kekurl数(参见Cyvin Gutman参考文献)。-埃米里埃德奇6月19日2005

长度为n的所有Delouy路径中的y=x的d阶数(长度n的德拉尼路径是从(0,0)到(n,n)的路径,由步骤e=(1,0),n=(0,1)和d=(1,1)组成。例子:A(2)=6,因为在13(=)A000 1850(2)长度2的Delouy路径,即(DD)、(D)NE、(D)EN、NE(D)、NEN、NEN、NDE、NNE、EN(D)、ENE、ENN、EDN和EEN,我们在Y=x(括号之间示出)上共有六个D级。-埃米里埃德奇,朱尔07 2005

定义一个T圆为第一象限圆,它具有与x轴和y轴相切的积分半径。这样的圆具有与其半径相等的坐标。设C(0)为半径为1的T圆。然后,对于n>0,将C(n)定义为最小的T圆,它不与C(n-1)相交。C(n)具有半径A(n+1)。囊性纤维变性。A000 1653. -查利玛丽恩9月14日2005

数,其中有一个带有t(n+m)=2t(m)的m,其中t(n)是三角形数。A000 0217. 例如T(20)=2T(14)=210,所以序列中有6。-楼层货车拉莫恩10月13日2005

Pell数的二分之一(二分之一)A000 0129-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯,08月1日2006

Pell trapezoidsA084158对于n>0,a(n)=(A000 0129(n-1)+A000 0129(n+1)*A000 0129(n)/ 2;例如,204=(5+29)* 12/2。-查利玛丽恩,APR 01 2006

检验2<p<27:当且仅当2 ^ p-1(梅森数m(p))为素数时,m(p)除以A(2 ^(p-1))。-肯尼思·J·拉姆齐5月16日2006

如果2 ^ p- 1是素数,则m(p)除以A(2 ^(p-1)- 1)。-肯尼思·J·拉姆齐,军08 2006;评论修正罗伯特以色列3月18日2007

如果8n+ 5和8n+2是孪生素数,那么它们的乘积除以(4n+1)。-肯尼思·J·拉姆齐,军08 2006

如果p是奇数素数,则如果p==1或7(mod 8),则a((p-1)/2)=0(mod p)和a((p+1)/2)=1(mod p);如果p=3或5(mod 8),则a((p-1)/2)==2(mod p)和a((p+y)/y)==(mod p)。肯尼思·J·拉姆齐关于孪生素数的评论如下。-罗伯特以色列3月18日2007

a(n)*(a(n+b)-a(b-2))=(a(n+1)+1)*(a(n+b-1)-a(b-1))。这个恒等式也适用于任何系列A(0)=0 A(1)=1 A(n)=B*A(n-1)-A(n-2)。-肯尼思·J·拉姆齐10月17日2007

对于n<0,设A(n)=-a(-n)。然后(a(n+j)+a(k+j))*(a(n+b+k+j)-a(bj-2))=(a(n+j+1)+a(k+j+1))*(a(n+b+k+j-1)-A(B-J-1))。-查利玛丽恩04三月2011

A(n)除以5的其余部分是0, 1或4。A(n)除以7的其余部分是0, 1或6。-穆罕默德布哈米达8月26日2009

A(n)的单位数属于周期序列:0, 1, 6,5, 4, 9。A(n)除以5的其余部分属于周期序列:0, 1, 1,0, 4, 4。-穆罕默德布哈米达,SEP 01 2009

序列给出了丢番图方程的y值:0+1+2++x= y^ 2。如果(a,b)和(c,d)是丢番图方程的两个连续解:0+1+2++x= y^ 2,而a+b=C-d和((d+b)^ 2,d^ 2-b^ 2)也是一个解。如果(a,b),(c,d)和(e,f)是丢番图方程0+1+2++x= y^ 2的三个连续解,则为(<**d^ 2,d*(f b))也是一个解。-穆罕默德布哈米达8月29日2009

如果(p,q)和(r,s)是丢番图方程的两个连续解:0+1+2++x= y^ 2,p<r,则r=3p+4q+1,s= 2p+3q+1。-穆罕默德布哈米达,SEP 02 2009

A(n)/A000(n)收敛到COS^ 2(皮/ 8)=1/2+2 ^(1/2)/4。-加里德莱夫斯11月25日2009

二项式变换A086367. -约翰内斯·梅杰,八月01日2010

如果x= a(n),y=A055 997(n+1)和z=x ^ 2+y,然后x ^ 4+y ^ 3=z ^ 2。-布鲁诺·贝塞利8月24日2010

一般来说,如果B(0)=1,B(1)=k,对于n>1,b(n)=6*b(n-1)-b(n-2),则

对于n>0,b(n)=a(n)*k- a(n-1);

k=2,当B(n)=A038 725(n),2=1*2-0,11=6*2-1,64=35*2-6,373=204*2-35;

k=3,当B(n)=A000 1541(n),3=1×3-0,17=6*3-1;99=35*3-6;577=204*3-35;

k=4,当B(n)=A038 723(n),4=1×4-0,23=6×4-1;134=35×4-6;781=204×4-35;

k=5,当B(n)=A000 1653(n),5=1*5-0,29=6*5-1;169=35*5-6;985=204*5-35。

也见A000A054A038 761A054A054090.

α-查利玛丽恩,十二月08日2010

见A狼人郎评论A000 1653关于PythaGrange-三元组(x,y,z)的一个序列(x,y,z),x=ωu^ 2-v^ 2,y=2*u*v,z=u ^ 2+v^ 2,u u奇数和v偶,由(u(0)=1,v(0)=2)生成的三(3,4,5),由那里给出的代换规则。现在A(n)出现在B(n)。相应的生成三角形具有一个长度单位不同的CATHETI。-狼人郎06三月2012

a(n)*a(n+2k)+a(k)^ 2和a(n)*a(n+2k+1)+a(k)*a(k+1)是三角形数。概括序列的描述。-查利玛丽恩,十二月03日2012

a(n)*a(n+2k)+a(k)^ 2是三角形正方形。A111110(n+k)。a(n)*a(n+2k+ 1)+a(k)*a(k+ 1)为三角形长方形。A02454(n+k)。-查利玛丽恩,十二月05日2012

A(n)的平方是将三角算法应用于正方形的结果。A131333作为“指南”,关于整数的平方,如下:

A(2n)^ 2=A131333(2n)^ 2**(A131333(2n)^ 2~1)/2;

a(2n+1)^ 2=1A131333(2n+1)^ 2*(1)A131333(2n+1)^ 2+1)/2。-李察·R·福尔伯格8月30日2013

对于n>=1,a(n)等于字母{0,1,…,5 }上的长度为n-1的01个避免词的数目。-米兰扬吉克1月25日2015

熊猫和RUT称这些“平衡数”,并注意到当P=13, 31, 1546463时,模P的序列的周期与模P^ 2的周期相同。但这些恰恰是A35836p^ 2除法A000 0129(p(2/p)),其中(2/p)是雅可比符号。根据以上观察富兰克林·T·亚当斯·沃特斯该序列是Pell数的二分之一,即A(n)=2。A000 0129(2n)/ 2,紧接着模为固定素数p或其任何幂,a(n)的周期为A000 0129(n)。-约翰布莱斯多布森06三月2015

三角数=平方数恒等式Tri((t(n,3)- 1)/2)=S(n-1,6)^ 2,与Tri,t,s给出A000 0217A053120A04310是K族恒等式的特殊情况K=1((t(n,2×k+1)- 1)/2)=三(k)*s(n-1,2 *(2×k+1))2,k>=0,n>=0,用s(-1,x)=0。K=2见A10871(n)s(n-1,10)^ 2。这个恒等式归结为恒等式S(n-1,2×x)^ 2=(t(2×n,x)- 1)/(2×(x^ 2-1))和α2*t(n,x)^ 2 - 1=t(2×n,x),x=2*k+1。-狼人郎,01月2日2016

A(2)=6是完美的。对于n=2*k,k>0,k不等于1,a(n)是a(2)的倍数,因为完全数的每一个数(超过1)都是充裕的,则A(n)是充裕的。σ(a(4))=504>408=2*a(4)。对于n=2×k+ 1,k>0,a(n)mod 10=A000 0 12(n),所以A(n)是奇数。如果A(n)是素数,则它是亏的,否则A(n)有一个或两个不同的素数因子,因此又出现亏格。因此对于n=2K+1,K>0,A(n)是不足的。σ(a(5))=1260<2378=2*a(5)。-阿尼鲁4月14日2016

BeHea&熊猫称这些平衡数字,以及A000 1541是平衡器。-米歇尔马库斯07月11日2017

推荐信

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Eric Weisstein的数学世界,平方三角数.

Eric Weisstein的数学世界,三角数.

维基百科三角平方数

Rick Young拉马努詹传记相关引文

与切比雪夫多项式相关的序列的索引条目。

双向无穷序列索引条目

常系数线性递归的索引项,签名(6,-1)。

公式

A(n)=S(n-1,6)=u(n-1,3)与第二类u(n,x)切比雪夫多项式。S(- 1,X):=0。三角A04310对于S(n,x)。

A(n)=SqRT(A111110(n)。

A(n)=A000 1542(n)/ 2。

A(n)=SqRT()A000 1541(n)^ 2-1)/(8)(参见理查德森评论)。

a(n)=3*a(n-1)+qRT(8×a(n-1)^ 2+1)。-马塔尔,10月09日2000

A(n)=A000 0129(n)*A131333(n)=A000 0129(n)*A000 0129(n)+A000 0129(N-1)=天花板A000 110 8(n)/Sqt(2)。-亨利·伯顿利4月19日2000

A(n)~(1/8)*SqRT(2)*(Sqt(2)+1)^(2×n)。- Joe Keane(JGK(AT)JGK.org),5月15日2002

Limi{{N-> INF}A(n)/A(n-1)=3+2×SqRT(2)。-格雷戈瑞诉理查德森案,10月05日2002

a(n)=((3+2×qRT(2))^ -(3 - 2×qRT(2))^ n)/(4×qRT(2))。-格雷戈瑞诉理查德森案,10月13日2002。校正偏移0,并重写。-狼人郎2月10日2015

a(2n)=a(n)*A000 399(n)。4*a(n)=A000 5319(n)。- Mario Catalani(马里奥·卡塔拉尼(AT)Unit),3月21日2003

A(n)=楼层((3+2×qRT(2))^ /(4×SqRT(2)))。-莱克拉吉贝达西4月23日2003

米迦勒索摩斯,APR 07 2003:(开始)

G.f.:x/(1 - 6×x+x^ 2)。

a(-n)=-a(n)。(结束)

对于n>=1,A(n)=SuMu{{k=0…n-1 }。A000 1653(k)。-查利玛丽恩,朱尔01 2003

对于n>0, 4*a(2n)=A000 1653(n)^ 2A000 1653(n-1)^ 2。-查利玛丽恩7月16日2003

对于n>0,A(n)=SuMu{{K=0…n-1 }((2k+1)*)*A000 1652(N-1-K)+A000 0217(n)。-查利玛丽恩7月18日2003

a(2n+1)=a(n+1)^ 2—a(n)^ 2。-查利玛丽恩1月12日2004

a(k)*a(2n+k)=a(n+k)^ 2 -(n)^ 2;例如,204×7997214=40391 ^ 2~35 ^ 2。-查利玛丽恩1月15日2004

对于j<n+1,a(k+j)*a(2n+kj)- SuMu{{i=0…J-1 } A(2n-(2i+1))=a(n+k)^ 2 -a(n)^ 2。-查利玛丽恩1月18日2004

保罗·巴里,FEB 06 2004:(开始)

A(n)=A000 0129(2n)/ 2;

a(n)=((1 +qRT(2))^(2n)-(1qRT(2))^(2n))qRT(2)/8;

A(n)=SuMu{{i=0…n} SuMu{{j=0…n}A000 0129(i+j)*n!(我)J!(N-i-J)!2。(结束)

E.g.f.:EXP(3X)SUNH(2×SqRT(2)*X)/(2×SqRT(2))。-保罗·巴里4月21日2004

A053141(n+1)+A055 997(n+1)=A000 1541(n+1)+a(n+1)。-克赖顿戴蒙9月16日2004

A(n)=SuMu{{K=0…n}二项式(2n,2k+ 1)2 ^(k-1)。-保罗·巴里,10月01日2004

A(n)=A000 1653(n+1)-A038 723(n);(a(n))=CuSuq[j](‘ii’+’jj’+5’kk’+’ij’-‘ji'+2.5e’,除初始项外。-克赖顿戴蒙11月19日2004修改达维德科拉辛加里6月24日2016

A(n+1)=SUMY{{K=0…n}A000 1850(k)*A000 1850(N-K),中心Delangy数的自卷积。-班诺特回旋曲9月28日2005

A(n)=7(A(N-1)-A(N-2))+A(n-3),A(1)=0,A(2)=1,A(3)=6,n> 3。又(a)=((1 +qRT(2))^(2n)-(1 -qRT(2))^(2n))/(4×qRT(2))。-安东尼奥阿尔伯托奥利维亚雷斯10月23日2003

a(n)=5 *(a(n-1)+a(n-2))-a(n-3)。-穆罕默德布哈米达9月20日2006

定义f(x,s)=s x+qrt((s^ 2-1)x^ 2+1);f(0,s)=0。A(n)=f(a(n-1),3),参见第二公式。- Marcos Carreira,12月27日2006

完美的中值M(n)可用Pelp数p()表示。A000 0129(n)m(n)=p(n+2)*(p(n+1)+(p(n+1)))n>=0。- Winston A. Richards(UGU(AT)PSU,EDU),6月11日2007

对于k=0…n,A(2N-K)-A(k)=2*A(N-K)*A000 1541(n)。此外,a(2n+1-k)-a(k)=A000(N-K)*A000 1653(n)。-查利玛丽恩7月18日2007

[A000 1653(n),a(n)]=[1,4;1,5] ^ n*[1,0]。-加里·W·亚当森3月21日2008

A(n)=SuMu{{K=0…n-1 } 4 ^ k*二项式(n+k,2k+1)。-保罗·巴里4月20日2009

(n+1)^ 2—6*a(n+1)*a(n)+a(n)^ 2=1。-查利玛丽恩12月14日2010

A(n)=A000(m)*A011900(N-M-1)+A000 1653(m)*A000 1652(nm-1)-a(m)=A000(m)*A053141(N-M-1)+A000 1653(m)*A046090(nm-1)+a(m)具有m<n;否则A(n)=A000(m)*A053141(m n)A000 1653(m)*A011900(m n)+a(m)=A000(m)*A053141(m n)A000 1653(m)*A046090(m n)-a(m)=(A000(n)A000 1653(n))/ 2。-肯尼思·J·拉姆齐10月12日2011

16*a(n)^ 2+1=A05671(n)。-杰姆斯,十二月09日2011

A010054A000 0290(a(n))=1。-莱因哈德祖姆勒12月17日2011

一般而言,a(n+k)^ 2A000 399(k)*a(n+k)*a(n)+a(n)^ 2=a(k)^ 2。-查利玛丽恩1月11日2012

A(n+1)=SUMY{{K=0…n}A101950(n,k)* 5 ^ k。菲利普德勒姆2月10日2012

a(n+1)的pSm变换A053142. A(n+1)的pSUMUG符号变换A084158. A(n+1)的二项变换A1645 91. 二项式变换A086367是(n+1)。二项式变换A057077(n-1)。-米迦勒索摩斯5月11日2012

a(n+k)=A000 1541(k)*a(n)+qRT(A132592(k)*a(n)^ 2+a(k)^ 2。推广公式OCT 09月2000日。-查利玛丽恩11月27日2012

a(n)+a(n+2k)=A000 399(k)*a(n+k);a(n)+a(n+2k+1)=1A000 1653(k+1)*A000(n+k)。-查利玛丽恩11月29日2012

乘积{n>=1 }(1+1/a(n))=1+平方rt(2)。-彼得巴拉12月23日2012

乘积{n>=2 }(1-1/a(n))=(1/3)*(1+qRT(2))。-彼得巴拉12月23日2012

G.f.:G(0)*x/(2-6*x),其中G(k)=1+1 /(1×x(8×K-9)/(x*(8×k-1)-3/g(k+1)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克8月12日2013

G.f.:H(0)*x/2,其中h(k)=1+1/(1×x(6x)/(x*(6x)+1/h(k+1)));(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克2月18日2014

a(n)=(a(n-1)^ 2(a,n)^ 2)/a(n-2)+a(n-4),n>3。-帕特里克·J·麦克纳布7月24日2015

a(nk)*a(n+k)+a(k)^ 2=a(n)^ 2,a(n+k)+a(nk)=A000 399(k)*a(n),对于n>=k>=0。-亚力山大-萨莫克鲁托夫9月30日2015

Dirichlet G.F:(多对数(S,3+2×SqRT(2))- PolyLog(S,3-2*SqRT(2))/(4×SqRT(2))。-伊利亚古图科夫基6月27日2016

4*a(n)^ 2 - 1=A78310(n)n>0。-布鲁诺·贝塞利11月24日2016

克劳斯普拉斯,1月18日2020:(开始)

a(n)=(a(n-3)+a(n+3))/ 198。

A(n)=SuMu{{i=1…n}A000 1653(i),n>=1。

(结束)

例子

G.F.=x+6×x ^ 2+35×x ^ 3+204×x ^ 4+1189×x ^ 5+6930×x ^ 6+40391×x ^ 7+…

6是在序列中,因为6 ^ 2=36是三角形数:36=1+2+3+4+5+6+7+7。-米迦勒·B·波特,朱尔02 2016

枫树

A〔0〕:=1:A〔1〕:=6:对于n从2到26做a[n]:=6*a[n-1 ] -a[n-2 ] OD:SEQ(a[n],n=0…26);埃米里埃德奇

A000 110 9=1(/ Z**2-6*Z+ 1);西蒙·普劳夫在他的1992篇论文中

(组合):SEQ(Fibonacci(2×N,2)/ 2,n=0…20);零度拉霍斯4月20日2008

Mathematica

转置[NestList[FLATTEN[{REST [Y],List相关[{-1, 6 },y[}] }],{ 0, 1 },30 ] ] [[1 ] ]哈维·P·戴尔3月23日2011*)

系数列表[X](x/(1-6x+x^ 2),{x,0, 30 },x]α*(*)哈维·P·戴尔3月23日2011*)

线性递归[ { 6,- 1 },{ 0, 1 },50〕(*)弗拉迪米尔-约瑟夫斯蒂芬奥尔洛夫斯基2月12日2012*)

a[n]:=切比雪夫[n-1,3 ];(*)米迦勒索摩斯,SEP 02 2012*)

表[斐波那契[ 2n,2 ] / 2,{n,0, 20 }](*)弗拉迪米尔·雷斯捷尼科夫9月16日2016*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=imAG((3+四元(32))^ n)};/*米迦勒索摩斯,APR 07 2003*

(PARI){A(n)=SUST(PotCheBi(ABS(n+1))- 3×PrtCheBi(ABS(n)),x,3)/8 };/*米迦勒索摩斯,APR 07 2003*

(PARI){A(n)=波尔切比雪夫(n-1,2, 3)};米迦勒索摩斯,SEP 02 2012*

(PARI)IS(n)=等多边形(n ^ 2, 3)查尔斯03月11日2016

(SAGE)[LuasasuNoMulb1(n,6, 1)n(范围)27)]零度拉霍斯6月25日2008

(SAGE)[切比雪夫U(n-1,3)n(0…20)]格鲁贝尔12月23日2019

(哈斯克尔)

A000 110 n=A00 110 99列表!整数:整数

AA01109LIST=0:1:ZIPOP(-)

(x(图6)$尾A000 110 9列表)A00

——莱因哈德祖姆勒12月17日2011

(岩浆)〔n〕2选择n-1-6×6(n-1)-自(n-2):n〔1〕30〕;文森佐·利布兰迪7月25日2015

(GAP)A:=(0, 1);对于n在[3…25 ]中做[n]:=6*a[n-1 ] -a[n-2 ];OD;a;阿尼鲁12月18日2018

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 110 8A000 1542A000 1653A000 1850A000A78310.

Chebyshev序列u(n,m):A000 00 27(m=1),A131353(m=2),此序列(m=3),A000 1090(m=4),A000 4189(m=5),A000 4191(m=6),A000 7655(m=7),A072412(m=8),A049660(m=9),A075 843(m=10),A077221(m=11),A07723(m=12),A097 309(m=13),A09311(m=14),A09313(m=15),A029(m=16),A02454(m=17),A144128(m=18),A078977(m=19),A07316(m=33)。

囊性纤维变性。A323 182.

语境中的顺序:A161727 A121838 A242629*A1800 A260770 A2627

相邻序列:γA00 A000 110 7 A000 110 8*A111110 A111111 A111112

关键词

诺恩容易改变

作者

斯隆

扩展

附加评论狼人郎2月10日2000

删除公式的重复狼人郎2月10日2015

地位

经核准的

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