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A000 827 第一类斯特灵三角形,S(n,n+k+ 1),n>=1, 1<k<=n,三角t(n,k)在n的展开中给出系数;* X的幂的二项式(x,n)/x。 三十五
1, 1,-1, 1,-3, 2, 1,-6, 11,-6, 1,-10, 35,-50, 24, 1,-15, 85,-225, 274,-120, 1,-21, 175,-735, 1624,-735, 1624,--,--,--,--,--,--,--,--,--,--,-- 列表图表参考文献历史文本内部格式
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1,5

评论

n(n-1)x(n-1)矩阵的三角形的第n行=(1,2,3,…)在对角线和其余零点。-加里·W·亚当森3月19日2009

丹尼尔骗局,1月16日2016:(开始)

对于n>=1,(或已签名或绝对值)的行和是

SuMu{{K=1…n} t(n,k)=0 ^(n-1),

SuMu{{=1…n} t(n,k)=t(n+1,1)=n!(结束)

概率密度函数p(x,m=q,n=1,亩=q)=q^ q*x^(q-1)*e(x,q,1)/(q-1)的矩生成函数,q>=1,为m(a,m=q,n=1,亩=q)=SUMU{{K=0…q}(A000 0312(Q)A000 0142(q-1)*A000 827(q,k)*PultLoad(k,a)/a^ q,参见A16331A74181. -约翰内斯·梅杰6月17日2016

多项式X(X-1)(X-2)…(X-N+1)的系数三角形,也称为下降阶乘(x)n,扩展为x的递减幂。拉尔夫斯蒂芬12月11日2016

推荐信

M. Abramowitz和I. A. Stegun,EDS,数学函数手册,国家标准局应用数学。系列55, 1964(和各种改版),第833页。

F. N. David,M. G. Kendall和D. E. Barton,对称函数和联合表,剑桥,1966,第226页。

R. L. Graham,D. E. Knuth和O. Patashnik,具体数学,第二版(Addison Wesley,1994),第257页。

链接

诺伊,行n=0…100的三角形,扁平化

M. Abramowitz和I. A. Stegun,编辑,数学函数手册,国家标准局,应用数学。系列55,第十打印,1972 [替代扫描副本]。

T. Copeland发电机、反演和矩阵、二项式和积分变换

Bill Gosper斯特灵第一类三角形的彩色插图2, 3, 4,5, 6, 7

Eric Weisstein的数学世界,斯特灵第一类数

维基百科斯特灵数与指数母函数

奥伊斯维基,阶乘多项式

公式

n!*二项式(x,n)=SuMu{{k=1…n-1 } t(n,k)*x^(n- k)。

γA000 827(n,k)=t(n-1,k-1),其中t(n,k)是三角形,由行读取,由[1, 0, 1,0, 1, 0,1, 0, 1,…]δ[1, 1, 2,2, 3, 3,4, 4, 5,5,…]给出;A000 827(n,k)=t(n-1,k-1),其中t(n,k)是三角形,由行读取,由[1, 0, 1,0, 1, 0,1, 0, 1,…]δ[-1,-1,-2,-2,-3,-3,-4,-4,-5,-5,……]给出。这里δ是定义在A084938. -菲利普德勒姆12月30日2003

t(n,k)=SuMu{{m=0…n}A000 85 17(k,m+1)*二项式(n+m,2*(k-1)),n>=k>=1。A000 85 17是二阶欧拉三角形。见格雷厄姆等。参考文献257,等式(6.44)。

A094638无符号t(n,k)的公式。

t(n,k)=SuMu{{m=0…min(K-1,N-K)}A112866(k-1,m)*二项式(n-1,k-1+m),如果n>=k>=1,则为0。-狼人郎9月12日2005见A112866.

t(n,k)=(f(n-1,k-1)/(2*(k-1)))*SuMi{{M=0…min(K-1,N-K)}A112866(k-1,m)*f(2*(k-1),k-1 m)*f(nk,m),如果n>=k>=1,否则为0,其中f(n,k)代表下降阶乘n*(n-1)**(n-(k-1))和f(n,0):=1。-狼人郎9月12日2005见A112866.

P(n,t)=SUMY{{K=0…n-1 } t(n,k+ 1)*t^ k=(1-t)*(1-*t)**(1 -(n-1)t)和p(0,t)=1,EXP(p(,,t)*x)=(1 +t*x)^(1/t)。对比A094638. t(n,k+ 1)=(1/k!)(dyt)^ k(dxx)^ n((1+t*x)^(1/t)- 1)在t= x=0时进行了评价。-汤姆·科普兰,十二月09日2007

乘积{i=1…n}(X-I)=SUMU{{K=0…n} t(n,k)*x^ k。莱因哈德祖姆勒12月29日2007

E.g.f.:SuMu{{N>=0 }(SuMu{{=0…n} t(n,nk)*t^ k)/n!= SUMi{{N>=0 }(x)*n*t^ k/n!=EXP(x*log(1+t)),(x)n n次阶乘多项式。-拉尔夫斯蒂芬12月11日2016

Sum{{j=0…m} t(m,m j)*s2(j+k+ 1,m)=m^ k,其中s2(j,m)是第二类的斯特灵数。-托尼福斯特三世7月25日2019

例子

三!*二项式(x,3)=x*(x-1)*(x-2)=x ^ 3×3×x ^ 2+2×x。

三角开始

1;

1,1;

1,3, 2;

1,-6, 11,-6;

1,-10, 35,-50, 24;

1,-15, 85,-225, 274,-120;

枫树

SEQ(SEQ(COFEF)(展开(n)!*二项式(x,n),x,j),j=n,1,- 1),n=1…15);罗伯特以色列1月24日2016

A000 827= PROC(n,k):组合[斯特林1](n,n+k+ 1)结束:SEQ(SEQ)A000 827(n,k),k=1…n,n=1…9);约翰内斯·梅杰6月17日2016

Mathematica

Le=47;m=天花板[SqRT[ 2*Le] ];t [ n],ky]=斯特林s1 [ n,nk=1 ];平坦[表[t[n,k],{n,1,m },{k,1,n}[] ] [[1;;LeN] ](*)让弗兰5月31日2011*)

黄体脂酮素

(PARI)t(n,k)=(n<1, 0,n)!*PoCOFEFF(二项式(x,n),n+k+ 1)

(PARI)t(n,k)=(n<1, 0,n)!*PoCOFEFF(PyCOFEF(y*(1+y*x+x*o(x^ n))^(1/y),n),k)

(哈斯克尔)

A00 827 6 N K= A000 827 6Tabl!!(N-1)!(K-1)

A000 827 6L行N = A00 827 66Tabl!(N-1)

AA08266OTabl =图init $AA056654

——莱因哈德祖姆勒3月18日2014

(SAGE)DEF T(n,k):返回FraveIn因子(x,n). Expand().系数(x,n+k+ 1)拉尔夫斯蒂芬12月11日2016

交叉裁判

A000 8255A049099这是这个数字三角形的主要入口。

A000 827第二类斯特灵数的三角形,S2(n,k)。

囊性纤维变性。A054A054 655A084938A145324A094216A000 322A000 0166A000 0110A000 0204A000 00 45A000 0108.

语境中的顺序:A156367 A19353 A181853*A094638 A196844 A196843

相邻序列:A000 827 A000 827 A000 8255*A000 827 A000 827 A000 827

关键词

标志塔布改变

作者

斯隆

地位

经核准的

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最后修改8月25日18:08 EDT 2019。包含326324个序列。(在OEIS4上运行)