0,4

n的二进制重量也称为n的汉明重量[术语“汉明重量”是以美国数学家理查德·卫斯利·汉明（1915-1998）的名字命名的-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月16日]

a（n）也是最大的整数，2^a（n）除以二项式（2n，n）=A000984号（n） ●●●●-贝诺伊特·克洛伊特2002年3月27日

要构造序列，请从0开始并使用规则：如果k>=0和a（0），a（1）。。。，a（2^k-1）是第一个2^k项，然后下一个2^k项是a（0）+1，a（1）+1。。。，a（2^k-1）+1-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月30日

分形序列的示例。也就是说，如果省略序列中的其他每个数字，就会得到原始序列。当然，这可以重复。所以如果你形成序列a（0*2^n），a（1*2^n），a。。。（对于任何整数n>0），您可以得到原始序列克里斯托弗·希尔斯（AT）sepura.co.uk，2003年5月14日

帕斯卡三角形的第n行有2^k个不同的奇数二项式系数，其中k=a（n）-1-Lekraj Beedassy公司2003年5月15日

从a（0）=0开始，同态0->01、1->12、2->23、3->34、4->45等的不动点-罗伯特·威尔逊v2006年1月24日

a（n）是神秘计算器序列中n出现的次数：A005408号,A042964号,A047566型,A115419号,A115420号,A115421号. -杰里米·加德纳2006年1月25日

a（n）是丢番图方程2^m*k+2^（m-1）+i=n的解的个数，其中m>=1，k>=0，0<=i<2^（m-1）；a（5）=2，因为只有（m，k，i）=（1，2，0）[2^1*2+2^0+0=5]和（m，k，i）=（3，0，1）[2^3*0+2^2+1=5]是解-Hieronymus Fischer公司2006年1月31日

k的第一次出现，k>=0，是在a（2^k-1）处-罗伯特·威尔逊v2006年7月27日

序列由T^（无穷大）（0）给出，其中T是转换任何单词w=w（1）w（2）的运算符。。。w（m）转化为T（w）=w（1）（w（1。。。w（m）（w（m）+1）。即T（0）=01，T（01）=0112，T（0112）=01121223-贝诺伊特·克洛伊特2009年3月4日

对于n>=2，a（k（2^n-1））不是n的倍数的最小k是2^n+3-弗拉基米尔·舍维列夫，2009年6月5日

三角不等式：a（k+m）<=a（k）+a（m）。当且仅当C（k+m，m）为奇数时，等式成立-弗拉基米尔·舍维列夫2009年7月19日

序列的前2^n项中k值的出现次数等于二项式（n，k），也等于数组中k列的前n-k+1项之和A071919号例如，k=2，n=7：a（0）到a（2^7-1）中有21=二项式（7,2）=1+2+3+4+5+6 2Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日，简化为R.J.马塔尔2017年1月13日

设m是n的组成部分列表中按字典顺序列出的部分数，a（k）=n-长度（组成部分（k））表示所有k<2^n和所有n（参见示例）；A007895号给出了组成奇数部分的等价物-乔格·阿恩特2012年11月9日

发件人丹尼尔·福格斯2015年3月13日：（开始）

只需将第k行（二进制权重等于k）从0累加到2^n-1，即可得到二项式系数C（n，k）。（请参见A007318号.)

0 1 3 7 15

0:O|.|..|….||

1:|O|O.|O…|（O…|）O|

2:||O|O操作。|O O O。哦|

3:|||O|O O O O|

4:||||O|

由于其分形性质，该序列非常有趣。

（结束）

n的二进制权重是n的数字和（基数b）的特殊情况-丹尼尔·福格斯2015年3月13日

前n项的平均值比[a（n+1），…，a（2n）]的平均值小1，这也是[a（n+2），……，a的平均值-基督教完美2015年4月2日

a（n）也是具有高架桥编号n的整数分区的最大部分。整数分区的高架桥编号定义如下。考虑整数分区的费雷尔斯板的东南边界，并考虑通过将每个东阶梯替换为1而每个北阶梯（最后一个除外）替换为0而获得的二进制数。根据定义，相应的十进制形式是给定整数分区的高架桥编号。“Viabin”是由“via binary”创造的。例如，考虑整数分区[2,2,2,1]。费雷尔板块的东南边界产量为10100，通往20号高架桥-Emeric Deutsch公司2017年7月20日

a（n）也称为n的二进制表示的人口数-柴华武2020年5月19日

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维基百科，汉明重量.

Wolfram研究公司，帕斯卡三角形中的数字.

“核心”序列的索引项

与n的二进制展开相关的序列的索引项

哥伦比亚或自身编号和相关序列的索引条目

映射不动点序列的索引项

a（0）=0，a（2*n）=a（n），a（2*n+1）=a（n）+1。

a（0）=0，a（2^i）=1；否则，如果n=2^i+j且0<j<2^i，a（n）=a（j）+1。

G.f.：乘积{k>=0}（1+y*x^（2^k））=和{n>=0{y^a（n）*x^n-N.J.A.斯隆2009年6月4日

a（n）=a（n-1）+1-A007814号（n） =log_2(A001316号（n） ）=2n-A005187号（n）=A070939号（n）-A023416号（n） ●●●●-亨利·博托姆利2001年4月4日；已由更正拉尔夫·斯蒂芬2002年4月15日

a（n）=log_2(A000984号（n）/A001790号（n） ）-贝诺伊特·克洛伊特2002年10月2日

对于n>0，a（n）=n-和{k=1..n}A007814号（k） ●●●●-贝诺伊特·克洛伊特2002年10月19日

a（n）=n-和{k>=1}层（n/2^k）=n-A011371号（n） ●●●●-贝诺伊特·克洛伊特2002年12月19日

通用公式：（1/（1-x））*和{k>=0}x^（2^k）/（1+x^-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月19日

a（0）=0，a（n）=a（n-2^层（log2（n）））+1。示例：a（6）=a（6-2^2）+1=a（2）+1=a（2-2^1）+1=1=a（0）+2=2；a（101）=a（101-2^6）+1=a（37）+1=a（37-2^5）+2=a（5-2^2）+3=a（1-2^0）+4=a（0）+4=4；a（6275）=a（6275-2^12）+1=a（2179-2^11）+2=a（131-2^7）+3=a（3-2^1）+4=a（1-2^0）+5=5；a（4129）=a（4129-2^12）+1=a（33-2^5）+2=a（1-2^0）+3=3-Hieronymus Fischer公司2006年1月22日

映射0->01，1->12，2->23，3->34，4->45。。。当f（i）=楼层（n/2^i）时，a（n）是序列f（0）、f（1）、f-菲利普·德尔汉姆2004年1月4日

当读取mod 2时，给出Morse-Thue序列A010060型.

让floor_pow4（n）表示n四舍五入到四的下一次幂，floor_pow（n）=4^floor（log4n）。则a（0）=0，a（1）=1，a（2）=1、a（3）=2，a（n）=a（楼层（n/floor_pow4（n）））+a（n%floor_pow4[n）]Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日

a（n）=n-总和{k=2..n}总和{j|n，j>=2}（楼层（log_2（j））-楼层（log_2-（j-1）））-Hieronymus Fischer公司2007年6月18日

a（n）=A138530号（n，2）对于n>1-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月26日

一个(A077436号（n） ）=A159918号(A077436号（n） ）；一个(A000290型（n） ）=A159918号（n） ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2009年4月25日

a（n）=A063787号（n）-A007814号（n） ●●●●-加里·亚当森2009年6月4日

a（n）=A007814号（C（2n，n））=1+A007814号（C（2n-1，n））-弗拉基米尔·舍维列夫2009年7月20日

对于奇数m>=1，a（（4^m-1）/3）=a（（2^m+1）/3）+（m-1）/2（mod 2）-弗拉基米尔·舍维列夫2010年9月3日

a（n）-a（n-1）={1-a（n-1A007814号（n） =a（n-1），1当且仅当A007814号（n） =0，-1代表所有其他A007814号（n） }.-Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日

一个(A001317号（n） ）=2 ^a（n）-弗拉基米尔·舍维列夫2010年10月25日

a（n）=A139351号（n）+A139352号（n） =总和（_k）{A030308号（n，k）}-菲利普·德尔汉姆2011年10月14日

发件人Hieronymus Fischer公司，2012年6月10日：（开始）

a（n）=总和{j=1..m+1}（楼层（n/2^j+1/2））-楼层（n/2 ^j）），其中m=楼层（log_2（n））。

n的p进制表示中位数>=d的一般公式，其中1<=d<p:a（n）=Sum_{j=1..m+1}（floor（n/p^j+（p-d）/p）-floor（n/p^j）），其中m=floor（log_p（n））；g.f.：g（x）=（1/（1-x））*和{j>=0}（x^（d*p^j）-x^。（结束）

a（n）=A213629号（n，1）对于n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月4日

a（n）=A240857型（n，n）-莱因哈德·祖姆凯勒2014年4月14日

a（n）=log_2（C（2*n，n）--加里·德特利夫斯2014年7月10日

和{n>=1}a（n）/2n（2n+1）=（伽马+对数（4/Pi））/2=A344716飞机，其中gamma是Euler常数A001620号; 参见Sondow 2005、2010和Allouche，Shallit，Sondow 2007-乔纳森·桑多2015年3月21日

对于任意整数基数b>=2，n的展开基数b的位数s_b（n）之和就是这个递推关系的解：如果n=0，则s_（n）=s_（b（n/b））+（n mod b）。因此，a（n）满足：如果n=0，a（n=0）=a（地板（n/2））+（n mod 2）。这很容易产生a（n）=Sum_{i=0..floor（log_2（n））}（floor（n/2^i）mod 2）。由此可以计算a（n）=n-和{i=1..floor（log_2（n））}floor（n/2^i）-马雷克·苏切内克2016年3月31日

求和{k>=1}a（k）/2^k=2*Sum_{k>=0}1/（2^（2*k）+1）=2*A051158号. -阿米拉姆·埃尔达尔2020年5月15日

和{k>=1}a（k）/（k*（k+1））=A016627号=对数（4）-伯纳德·肖特2020年9月16日

a（m*（2^n-1））>=n。当2^n-1>时，等式成立=A000265号（m） ，但在其他一些情况下，例如a（11*（2^2-1））=2和a（19*（2*3-1））=3-蓬图斯·冯·布罗姆森2020年12月13日

使用公式a（n）=a（floor（n/floor_pow4（n）））+a（n mod floor_pow5（n）

a（4）=a（1）+a（0）=1，

a（8）=a（2）+a（0）=1，

a（13）=a（3）+a（1）=2+1=3，

a（23）=a（1）+a（7）=1+a（1”+a（3）=1+1+2=4。

加里·亚当森指出（2009年6月3日）这可以写成三角形：

0,

1,

1,2,

1,2,2,3,

1,2,2,3,2,3,3,4,

1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,

1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,

1,2,2,3,2,3,...

行聚合到的位置A063787号.

发件人乔格·阿恩特2012年11月9日：（开始）

以零件列表形式连接n的组成（见注释）：

[#]：a（n）成分

[ 0]: [0] 1 1 1 1 1

[ 1]: [1] 1 1 1 2

[ 2]: [1] 1 1 2 1

[ 3]: [2] 1 1 3

[ 4]: [1] 1 2 1 1

[ 5]: [2] 1 2 2

[ 6]: [2] 1 3 1

[ 7]: [3] 1 4

[ 8]: [1] 2 1 1 1

[ 9]: [2] 2 1 2

[10]: [2] 2 2 1

[11]: [3] 2 3

[12]: [2] 3 1 1

[13]: [3] 3 2

[14]: [3] 4 1

[15]: [4] 5

（结束）

A000120号：=proc（n）局部w，m，i；w:=0；m：=n；当m>0时，i：=m mod 2；w：=w+i；m：=（m-i）/2；od；w；末端：重量：=A000120号;

A000120号：=n->添加（i，i=转换（n，基数，2））：#彼得·卢什尼2011年2月3日

带（位）：p:=n->ilog2（n-And（n，n-1））：seq（p（二项式（2*n，n）），n=0..200）#加里·德特利夫斯2019年1月27日

表[DigitCount[n，2，1]，{n，0，105}]

嵌套[扁平[#/.#->{#，#+1}]&，{0}，7](*罗伯特·威尔逊v2011年9月27日*）

表[Plus@@IntegerDigits[n，2]，{n，0，104}]

嵌套[Join[#，#+1]&，{0}，7](*IWABUCHI Yu（u）ki先生2012年7月19日*）

Log[2，Nest[Join[#，2#]&，{1}，14]]（*给出2^14项，卡洛斯·阿尔维斯2014年3月30日*）

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，2*n-赋值（（2*n）！，2））}；

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，subst（Pol（binary（n），x，1））}；

（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，a（n \ 2）+n%2）}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/

（PARI）a（n）=我的（v=二进制（n））；总和（i=1，#v，v[i]）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月24日

（PARI）a（n）=normal2（二进制（n））\\更好地使用{A000120号=hammingweight}-M.F.哈斯勒2012年10月9日，2020年2月27日编辑

（PARI）a（n）=重量（n）\\米歇尔·马库斯2013年10月19日

（通用LISP）（defon地板到电源（n pow）（declare（fixnum pow））（expt pow（floor（log n pow；Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日

请参阅中的链接A139351号Fortran程序。

（哈斯克尔）

导入Data.Bits（Bits，popCount）

a000120：：（整数t，位t）=>t->Int

a000120=popCount

a000120_list=0:c[1]其中c（x:xs）=x:c（xs++[x，x+1]）

--莱因哈德·祖姆凯勒，2013年8月26日，2012年2月19日，2011年6月16日，2010年3月7日

（哈斯克尔）

a000120=连接

其中r=[0]：（map.map）（+1）（scanl1（++）r）

--卢克·帕尔默2014年2月16日

（鼠尾草）

定义A000120号（n） ：

如果n<=1：返回整数（n）

返回A000120号（n//2）+n%2

[A000120号（n） 对于范围（105）内的n#彼得·卢什尼2012年11月19日

（鼠尾草）定义A000120号（n） ：返回总和（n位数（2））#埃里克·施密特2013年4月26日

（Python）定义A000120号（n） ：返回箱（n）.计数（'1'）#柴华武2014年9月3日

（Python）

将numpy导入为np

A000120号=np.array（[0]，dtype=“uint8”）

对于范围（25）中的位范围：A000120号=np.附录(A000120号，新增(A000120号, 1))

打印([A000120号[n] 对于范围（0，105）中的n）#卡尔·海因茨·霍夫曼2022年11月7日

（Python）定义A000120号（n） ：return n.bit_count（）#需要Python 3.10或更高版本-蓬图斯·冯·布罗姆森2022年11月8日

（Python）另请参阅链接。

（Scala）（0到127）.map（Integer.bitCount（_））//阿隆索·德尔·阿特2019年3月5日

（岩浆）[多重性（Intseq（n，2），1）：n in[0..104]]//马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日

（岩浆）[&+Intseq（n，2）：[0..104]]中的n//马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日

关于n的二进制展开式的基本序列是这个，A000788号,A000069号,A001969号,A023416号,A059015型,A007088号.

部分金额参见A000788号。有关运行长度，请参见A131534号。另请参阅A001792号,A010062型.

n中0的数量：A023416号和A080791号.

a（n）=n-A011371号（n） ●●●●。

以2-16为基数的n位数之和：此序列，A053735号,A053737号,A053824号,A053827号,A053828号,A053829号,A053830号,A007953号,A053831号,A053832号,A053833号,A053834号,A053835号,A053836号.

囊性纤维变性。A001620号,A344716飞机,A007814号,A063787号.

这是盖·斯蒂尔的序列GS（3，4）（参见A135416号).

囊性纤维变性。A055640号,A055641号,A102669号-A102685号,A117804号,A122840型,A122841号,A160093型,A160094型,A196563号,A196564号（用于底座10）。

囊性纤维变性。A230952型（boutrophedon变换）。

囊性纤维变性。A070939号（n的二进制表示长度）。

上下文中的序列：A105056号 A105061号 A105164号*A105062号 A106487号 A105102号

相邻序列：A000117号 A000118号 A000119号*A000121号 A000122号 A000123号

非n,容易的,核心,美好的,听到,看,基础

N.J.A.斯隆

经核准的