登录
OEIS由支持OEIS基金会的许多慷慨捐赠者.

 

标志
提示
(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000120号 1的计数序列:n的二进制展开中的1的个数(或n的二进制权重)。
(原M0105 N0041)
1900
0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
n的二进制重量也称为n的汉明重量[术语“汉明重量”是以美国数学家理查德·卫斯利·汉明(1915-1998)的名字命名的-阿米拉姆·埃尔达尔,2021年6月16日]
a(n)也是最大整数,因此2^a(n)除以二项式(2n,n)=A000984号(n) ●●●●-贝诺伊特·克洛伊特2002年3月27日
要构造序列,请从0开始并使用规则:如果k>=0和a(0),a(1)。。。,a(2^k-1)是第一个2^k项,然后下一个2^k项是a(0)+1,a(1)+1。。。,a(2^k-1)+1-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月30日
分形序列的示例。也就是说,如果省略序列中的其他每个数字,就会得到原始序列。当然,这可以重复。所以如果你形成序列a(0*2^n),a(1*2^n),a。。。(对于任何整数n>0),您可以得到原始序列克里斯托弗。Hills(AT)sepura.co.uk,2003年5月14日
帕斯卡三角形的第n行有2^k个不同的奇数二项式系数,其中k=a(n)-1-Lekraj Beedassy公司2003年5月15日
从a(0)=0开始,同态0->01、1->12、2->23、3->34、4->45等的不动点-罗伯特·威尔逊v2006年1月24日
a(n)是神秘计算器序列中n出现的次数:A005408号,A042964号,A047566型,A115419号,A115420年,A115421号. -杰里米·加德纳2006年1月25日
a(n)是丢番图方程2^m*k+2^(m-1)+i=n的解的个数,其中m>=1,k>=0,0<=i<2^(m-1);a(5)=2,因为只有(m,k,i)=(1,2,0)[2^1*2+2^0+0=5]和(m,k,i)=(3,0,1)[2^3*0+2^2+1=5]是解-Hieronymus Fischer公司2006年1月31日
k的第一次出现,k>=0,是在a(2^k-1)处-罗伯特·威尔逊v2006年7月27日
序列由T^(无穷大)(0)给出,其中T是转换任何单词w=w(1)w(2)的运算符。。。w(m)转化为T(w)=w(1)(w(1。。。w(m)(w(m)+1)。即T(0)=01,T(01)=0112,T(0112)=01121223-贝诺伊特·克洛伊特2009年3月4日
对于n>=2,a(k(2^n-1))不是n的倍数的最小k是2^n+3-弗拉基米尔·舍维列夫,2009年6月5日
三角不等式:a(k+m)<=a(k)+a(m)。当且仅当C(k+m,m)为奇数时,等式成立-弗拉基米尔·舍维列夫2009年7月19日
a(k*m)<=a(k)*a(m)-罗伯特·伊斯雷尔2023年9月3日
序列的前2^n项中k值的出现次数等于二项式(n,k),也等于数组中k列的前n-k+1项之和A071919号例如,k=2,n=7:a(0)到a(2^7-1)中有21=二项式(7,2)=1+2+3+4+5+6 2Brent Spillner(Spillner(AT)acm.org),2010年9月1日,简化为R.J.马塔尔2017年1月13日
设m是n的组成部分列表中按字典顺序列出的部分数,a(k)=n-长度(组成部分(k))表示所有k<2^n和所有n(参见示例);A007895号给出了组成奇数部分的等价物-乔格·阿恩特2012年11月9日
发件人丹尼尔·福格斯2015年3月13日:(开始)
只需将第k行(二进制权重等于k)从0累加到2^n-1,即可得到二项式系数C(n,k)。(请参见A007318号.)
0 1 3 7 15
0:O|.|..|….||
1:|O|O。|O…|(O…|)O|
2:||O|O操作。|O O O。哦|
3:|||O|O O O O|
4:||||O|
由于其分形性质,该序列非常有趣。
(结束)
n的二进制权重是n的数字和(以b为基数)的一种特殊情况-丹尼尔·福格斯2015年3月13日
前n项的平均值比[a(n+1),…,a(2n)]的平均值小1,这也是[a(n+2),……,a的平均值-基督教完美2015年4月2日
a(n)也是具有通孔数n的整数分区的最大部分。整数分区的通孔数以以下方式定义。考虑整数分区的费雷尔斯板的东南边界,并考虑通过将每个东阶梯替换为1而每个北阶梯(最后一个除外)替换为0而获得的二进制数。根据定义,相应的十进制形式是给定整数分区的高架桥编号。“Viabin”是由“via binary”创造的。例如,考虑整数分区[2,2,2,1]。费雷尔板块的东南边界产量为10100,通往20号高架桥-Emeric Deutsch公司2017年7月20日
a(n)也称为n的二进制表示的人口数-柴华武2020年5月19日
参考文献
Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit,《自动序列》,剑桥大学出版社,2003年,第119页。
Donald E.Knuth,《计算机编程的艺术》,第4A卷,组合算法,第7.1.3节,问题41,第589页-N.J.A.斯隆2012年8月3日
曼弗雷德·施罗德,分形,混沌,幂律。W.H.Freeman,1991年,第383页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
Franklin T.Adams-Waters和Frank Ruskey,数字和和及其他数字计数序列的生成函数,JIS,第12卷(2009年),第09.5.6条。
J.-P.Allouche,格雷厄姆1970年论文中的一个不等式,整数21A(2021),#A2。
Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit,k-正则序列的环,理论计算机科学。,第98卷(1992年),第163-197页。(作者网页上的PS文件。)
Jean-Paul Allouche、Jeffrey Shallit和Jonathan Sondow,由数字块计数定义的级数求和,arXiv:math/0512399[math.NT],2005-2006年。
Jean-Paul Allouche、Jeffrey Shallit和Jonathan Sondow,由数字块计数定义的序列求和《数论》,第123卷(2007年),第133-143页。
理查德·贝尔曼和哈罗德·夏皮罗,关于加法数论中的一个问题《数学年鉴》。,第49卷,第2期(1948年),第333-340页-N.J.A.斯隆,2009年3月12日
C.科贝利和A.扎哈里斯库,带除数和指数绝对差的博弈《差分方程与应用杂志》,第20卷,第11期(2014),第1489-1501页,DOI:10.1080/10236198.2014.940337。也可作为arXiv:1411.1334[math.NT], 2014. 请参见delta_n。
Jean Coquet,数字和的幂和《数论》,第22卷,第2期(1986年),第161-176页。
F.M.Dekking,基3/2中的Thue-Morse序列,J.国际顺序。,第26卷(2023年),第23.2.3条。
卡尔·迪尔彻和拉里·埃里克森,超二进制展开式与Stern多项式,Elec.J.Combin,第22卷(2015年),#P2.24。
约瑟夫·埃什格瓦勒(Josef Eschgfäller)和安德烈亚·斯卡潘特(Andrea Scarpante),二分法随机数发生器,arXiv:1603.08500[math.CO],2016年。
伊曼纽尔·费兰德,泰勒公式的变形《整数序列杂志》,第10卷(2007年),第07.1.7条。
史蒂文·芬奇(Steven R.Finch)、帕斯卡·塞巴(Pascal Sebah)和柴乔·白(Zai-Qiao Bai),帕斯卡三角中的奇数项,arXiv:0802.2654[math.NT],2008年。
菲利普·弗拉乔莱特(Philippe Flajolet)、彼得·格拉布纳(Peter Grabner)、彼得·基申霍夫(Peter Kirschenhofer)、赫尔穆特·普罗丁格(Helmut Prodinger)和罗伯特·提希(Robert F.Tichy),梅林变换与渐近:数字和,理论。计算机科学。,第123卷,第2期(1994年),第291-314页。
迈克尔·吉兰德,一些自相似整数序列.
P.J.Grabner、P.Kirschenhofer、H.Prodinger和R.F.Tichy,关于digits和函数的矩《斐波那契数的应用》,第5卷(圣安德鲁斯,1992年),克鲁沃学院。出版物。,多德雷赫特,1993年,263-271。
罗纳德·格雷厄姆,关于本原图和最优顶点分配,国际。混淆组合数学。(纽约,1970年),《纽约科学院年鉴》,第175卷,1970年,第170-186页。
Khodabakhsh Hessami Pilehrood和Tatiana Hessami Pilehrood,广义欧拉常数函数及其导数值的Vacca型级数《整数序列》,第13卷(2010年),第10.7.3条。
尼克·霍布森,此序列的Python程序.
Kathy Q.Ji和Herbert S.Wilf,极端回文,arXiv:math/0611465[math.CO],2006年。
盖·卢查德和赫尔穆特·普罗丁格,整数与某些允许Shallit型恒等式组合中的最大缺失值,J.国际顺序。,第16卷(2013年),第13.2.2条。
J.-L.Mauclaire和Leo Murata,关于q可加函数,程序。日本科学院。序列号。数学。科学。,第59卷,第6期(1983年),第274-276页。
J.-L.Mauclaire和Leo Murata,关于q可加函数,程序。日本科学院。序列号。数学。科学。,第59卷,第9期(1983年),第441-444页。
M.D.McIlroy,二进制整数中1的个数:边界和极值属性,SIAM J.计算。,第3卷(1974年),第255-261页。
凯里·米切尔,整数序列的螺旋型图像, 2013.
萨姆·诺斯希尔德,斯特恩双原子序列0,1,1,2,1,3,2,3,1,4,。。。阿默尔。数学。月份。,第117卷,第7期(2010年),第581-598页。
Theophanes E.Raptis,通过归纳组合层次的有限信息数,arXiv:1805.06301[physics.gen-ph],2018年。
卡洛·桑纳,关于数字和不同的整数的算术级数,《整数序列杂志》,第15卷(2012年),第12.8.1条-N.J.A.斯隆2012年12月29日
Nanci Smith,问题B-82,光纤。夸脱。,第4卷,第4期(1966年),第374-375页。
乔纳森·桑多,欧拉常数及其“交替”模拟ln 4/Pi的新Vacca型有理级数,arXiv:数学/0508042[math.NT]2005;《加法数理论》,D.和G.Chudnovsky主编,施普林格出版社,2010年,第331-340页。
拉尔夫·斯蒂芬,生成函数表.
拉尔夫·斯蒂芬,分而治之的生成函数。一、基本序列,arXiv:math/0307027[math.CO],2003年。
Kenneth B.Stolarsky,与二项式系数奇偶校验相关的数字和的幂和和,SIAM J.应用。数学。,第32卷(1977年),第717-730页。参见B(n)-N.J.A.斯隆2014年4月5日
J.R.Trollope,二进制数字和的显式表示,数学。Mag.,第41卷,第1期(1968年),第21-25页。
罗伯特·沃克,自相似懒惰Canon数序列.
埃里克·魏斯坦的数学世界,二元的,数字计数,斯托拉斯基-哈伯斯常数,数字和.
维基百科,汉明重量.
Wolfram研究公司,帕斯卡三角形中的数字.
配方奶粉
a(0)=0,a(2*n)=a(n),a(2*n+1)=a(n)+1。
a(0)=0,a(2^i)=1;否则,如果n=2^i+j且0<j<2^i,a(n)=a(j)+1。
G.f.:乘积{k>=0}(1+y*x^(2^k))=和{n>=0{y^a(n)*x^n-N.J.A.斯隆2009年6月4日
a(n)=a(n-1)+1-A007814号(n) =log_2(A001316号(n) )=2n-A005187号(n)=A070939号(n)-A023416号(n) ●●●●-亨利·博托姆利2001年4月4日;已由更正拉尔夫·斯蒂芬2002年4月15日
a(n)=log_2(A000984号(n)/A001790号(n) )-贝诺伊特·克洛伊特2002年10月2日
对于n>0,a(n)=n-和{k=1..n}A007814号(k) ●●●●-贝诺伊特·克洛伊特2002年10月19日
a(n)=n-和{k>=1}层(n/2^k)=n-A011371号(n) ●●●●-贝诺伊特·克洛伊特2002年12月19日
通用公式:(1/(1-x))*和{k>=0}x^(2^k)/(1+x^-拉尔夫·斯蒂芬,2003年4月19日
a(0)=0,a(n)=a(n-2^层(log2(n)))+1。示例:a(6)=a(6-2^2)+1=a(2)+1=a(2-2^1)+1=1=a(0)+2=2;a(101)=a(101-2^6)+1=a(37)+1=a(37-2^5)+2=a(5-2^2)+3=a(1-2^0)+4=a(0)+4=4;a(6275)=a(6275-2^12)+1=a(2179-2^11)+2=a(131-2^7)+3=a(3-2^1)+4=a(1-2^0)+5=5;a(4129)=a(4129-2^12)+1=a(33-2^5)+2=a(1-2^0)+3=3-Hieronymus Fischer公司2006年1月22日
映射0->01,1->12,2->23,3->34,4->45。。。当f(i)=floor(n/2^i)时,a(n)是序列f(0)、f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)…中奇数的个数-菲利普·德尔汉姆2004年1月4日
当读取mod 2时,给出Morse-Thue序列A010060型.
让floor_pow4(n)表示n四舍五入到四的下一次幂,floor_pow(n)=4^floor(log4n)。则a(0)=0,a(1)=1,a(2)=1、a(3)=2,a(n)=a(楼层(n/floor_pow4(n)))+a(n%floor_pow4[n)]Stephen K.Touset(Stephen(AT)Touset.org),2007年4月4日
a(n)=n-总和{k=2..n}总和{j|n,j>=2}(楼层(log_2(j))-楼层(log_2-(j-1)))-Hieronymus Fischer公司2007年6月18日
a(n)=A138530号(n,2)对于n>1-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月26日
一个(A077436号(n) )=A159918号(A077436号(n) );一个(A000290型(n) )=A159918号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2009年4月25日
a(n)=A063787号(n)-A007814号(n) ●●●●-加里·亚当森2009年6月4日
a(n)=A007814号(C(2n,n))=1+A007814号(C(2n-1,n))-弗拉基米尔·舍维列夫2009年7月20日
对于奇数m>=1,a((4^m-1)/3)=a((2^m+1)/3)+(m-1)/2(mod 2)-弗拉基米尔·舍维列夫2010年9月3日
a(n)-a(n-1)={1-a(n-1A007814号(n) =a(n-1),1当且仅当A007814号(n) =0,-1代表所有其他A007814号(n) }.-Brent Spillner(Spillner(AT)acm.org),2010年9月1日
一个(A001317号(n) )=2 ^a(n)-弗拉基米尔·舍维列夫2010年10月25日
a(n)=A139351号(n)+A139352号(n) =总和(_k){A030308号(n,k)}-菲利普·德尔汉姆2011年10月14日
发件人Hieronymus Fischer公司,2012年6月10日:(开始)
a(n)=总和{j=1..m+1}(楼层(n/2^j+1/2)-楼层(n/2 ^j)),其中m=楼层(log_2(n))。
n的p进制表示中位数>=d的一般公式,其中1<=d<p:a(n)=Sum_{j=1..m+1}(floor(n/p^j+(p-d)/p)-floor(n/p^j)),其中m=floor(log_p(n));g.f.:g(x)=(1/(1-x))*和{j>=0}(x^(d*p^j)-x^。(结束)
a(n)=A213629号(n,1)对于n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月4日
a(n)=A240857型(n,n)-莱因哈德·祖姆凯勒2014年4月14日
a(n)=log_2(C(2*n,n)--加里·德特利夫斯2014年7月10日
Sum_{n>=1}a(n)/2n(2n+1)=(伽玛+对数(4/Pi))/2=A344716飞机,其中gamma是Euler常数A001620号; 见Sondow 2005、2010和Allouche,Shallit,Sondow 2007-乔纳森·桑多2015年3月21日
对于任意整数基数b>=2,n的展开基数b的位数s_b(n)之和就是这个递推关系的解:如果n=0,则s_(n)=s_(b(n/b))+(n mod b)。因此,a(n)满足:如果n=0,a(n=0)=a(地板(n/2))+(n mod 2)。这很容易产生a(n)=Sum_{i=0..floor(log_2(n))}(floor(n/2^i)mod 2)。由此可以计算a(n)=n-和{i=1..floor(log_2(n))}floor(n/2^i)-马雷克·苏切内克2016年3月31日
求和{k>=1}a(k)/2^k=2*Sum_{k>=0}1/(2^(2*k)+1)=2*A051158号. -阿米拉姆·埃尔达尔2020年5月15日
和{k>=1}a(k)/(k*(k+1))=A016627号=对数(4)-伯纳德·肖特2020年9月16日
a(m*(2^n-1))>=n。当2^n-1>时,等式成立=A000265号(m) ,但在其他一些情况下,例如a(11*(2^2-1))=2和a(19*(2*3-1))=3-蓬图斯·冯·布罗姆森2020年12月13日
G.f.:A(x)满足A(x)=(1+x)*A(x^2)+x/(1-x^2-阿克沙特·库马尔2023年11月4日
例子
使用公式a(n)=a(floor(n/floor_pow4(n)))+a(n mod floor_pow5(n)
a(4)=a(1)+a(0)=1,
a(8)=a(2)+a(0)=1,
a(13)=a(3)+a(1)=2+1=3,
a(23)=a(1)+a(7)=1+a(1”+a(3)=1+1+2=4。
加里·亚当森指出(2009年6月3日)这可以写成三角形:
0,
1,
1,2,
1,2,2,3,
1,2,2,3,2,3,3,4,
1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,
1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,
1,2,2,3,2,3,...
行聚合到的位置A063787美元.
发件人乔格·阿恩特2012年11月9日:(开始)
以零件列表形式连接n的组成(见注释):
[#]:a(n)成分
[ 0]: [0] 1 1 1 1 1
[ 1]: [1] 1 1 1 2
[ 2]: [1] 1 1 2 1
[ 3]: [2] 1 1 3
[ 4]: [1] 1 2 1 1
[ 5]: [2] 1 2 2
[ 6]: [2] 1 3 1
[ 7]: [3] 1 4
[ 8]: [1] 2 1 1 1
[ 9]: [2] 2 1 2
[10]: [2] 2 2 1
[11]: [3] 2 3
[12]: [2] 3 1 1
[13]: [3] 3 2
[14]: [3] 4 1
[15]: [4] 5
(结束)
MAPLE公司
A000120号:=proc(n)局部w,m,i;w:=0;m:=n;当m>0时,i:=m mod 2;w:=w+i;m:=(m-i)/2;od;w;末端:重量:=A000120号;
A000120号:=n->添加(i,i=转换(n,基数,2)):#彼得·卢什尼2011年2月3日
带(位):p:=n->ilog2(n-And(n,n-1)):seq(p(二项式(2*n,n)),n=0..200)#加里·德特利夫斯2019年1月27日
数学
表[DigitCount[n,2,1],{n,0,105}]
嵌套[扁平[#/.#->{#,#+1}]&,{0},7](*罗伯特·威尔逊v2011年9月27日*)
表[Plus@@IntegerDigits[n,2],{n,0,104}]
嵌套[Join[#,#+1]&,{0},7](*IWABUCHI Yu(u)ki先生2012年7月19日*)
Log[2,Nest[Join[#,2#]&,{1},14]](*给出2^14项,卡洛斯·阿尔维斯2014年3月30日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,2*n-赋值((2*n)!,2))};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,subst(Pol(binary(n),x,1))};
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,a(n \ 2)+n%2)}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/
(PARI)a(n)=我的(v=二进制(n));总和(i=1,#v,v[i])\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月24日
(PARI)a(n)=normal2(二进制(n))\\更好地使用{A000120号=hammingweight}-M.F.哈斯勒2012年10月9日,2020年2月27日编辑
(PARI)a(n)=重量(n)\\米歇尔·马库斯2013年10月19日
(通用Lisp)(deven floor-to-power(n pow)(declare(fixnum pow))(expt pow(floor(log n pow;Stephen K.Touset(Stephen(AT)Touset.org),2007年4月4日
(Fortran)c请参阅中的链接A139351号Fortran程序。
(哈斯克尔)
导入数据。位(位,popCount)
a000120::(积分t,位t)=>t->Int
a000120=popCount
a000120_list=0:c[1]其中c(x:xs)=x:c(xs++[x,x+1])
--莱因哈德·祖姆凯勒,2013年8月26日,2012年2月19日,2011年6月16日,2010年3月7日
(哈斯克尔)
a000120=连接
其中r=[0]:(map.map)(+1)(scanl1(++)r)
--卢克·帕尔默2014年2月16日
(SageMath)
定义A000120号(n) :
如果n<=1:返回整数(n)
返回A000120号(n//2)+n%2
[A000120号(n) 对于范围(105)内的n#彼得·卢什尼2012年11月19日
(SageMath)定义A000120号(n) :返回总和(n位数(2))#埃里克·施密特2013年4月26日
(Python)定义A000120号(n) :返回箱(n).计数('1')#柴华武2014年9月3日
(Python)
将numpy导入为np
A000120号=np.array([0],dtype=“uint8”)
对于范围(25)中的位范围:A000120号=np.附录(A000120号,新增(A000120号, 1))
打印([A000120号[n] 对于范围(0,105)中的n)#卡尔·海因茨·霍夫曼2022年11月7日
(Python)定义A000120号(n) :return n.bit_count()#需要Python 3.10或更高版本-蓬图斯·冯·布罗姆森2022年11月8日
(Python)#另请参阅链接。
(Scala)(0到127).map(Integer.bitCount(_))//阿隆索·德尔·阿特2019年3月5日
(岩浆)[多重性(Intseq(n,2),1):n in[0..104]]//马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日
(岩浆)[&+Intseq(n,2):[0..104]]中的n//马吕斯·A·伯蒂,2020年1月22日
交叉参考
关于n的二进制展开式的基本序列是这个,A000788号,A000069号,A001969号,A023416号,A059015型,A007088号.
部分金额参见A000788号。有关运行长度,请参见A131534号。另请参阅A001792号,A010062型.
n中的0个数:A023416号A080791号.
a(n)=n-A011371号(n) ●●●●。
这是盖·斯蒂尔的序列GS(3,4)(参见A135416年).
囊性纤维变性。2009年2月(boutrophedon变换)。
囊性纤维变性。A070939号(n的二进制表示长度)。
关键词
非n,容易的,核心,美好的,听到,,基础
作者
状态
经核准的

查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新的seq。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。

许可协议、使用条款、隐私政策。.

上次修改时间:2024年7月23日19:18 EDT。包含374553个序列。(在oeis4上运行。)