A000120-OEIS公司

抵消

0,4

n的二进制权重也被称为n的汉明权重。[“汉明权重”一词是以美国数学家理查德·韦斯利·汉明（1915-1998）的名字命名的-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月16日]

a（n）也是最大的整数，2^a（n）除以二项式（2n，n）=A000984号（n） ●●●●。 -贝诺伊特·克洛伊特2002年3月27日

要构造序列，请从0开始，并使用规则：如果k>=0且a（0）、a（1）、。..，a（2^k-1）是前2^k个项，然后接下来的2^k项是a（0）+1，a（1）+1。..，a（2^k-1）+1。 -贝诺伊特·克洛伊特2003年1月30日

分形序列的示例。也就是说，如果省略序列中的其他每个数字，就会得到原始序列。当然，这是可以重复的。所以如果你形成序列a（0*2^n），a（1*2^n），a。..（对于任何整数n>0），都可以得到原始序列。-克里斯托弗。Hills（AT）sepura.co.uk，2003年5月14日

帕斯卡三角形的第n行有2^k个不同的奇数二项式系数，其中k=a（n）-1。 -Lekraj Beedassy公司2003年5月15日

从a（0）=0开始，同态0->01、1->12、2->23、3->34、4->45等的不动点。 -罗伯特·威尔逊v2006年1月24日

a（n）是神秘计算器序列中n出现的次数：A005408号,A042964号,A047566型,A115419号,A115420号,A115421号. -杰里米·加德纳2006年1月25日

a（n）是丢番图方程2^m*k+2^（m-1）+i=n的解的个数，其中m>=1，k>=0，0<=i<2^（m-1）；a（5）=2，因为只有（m，k，i）=（1，2，0）[2^1*2+2^0+0=5]和（m，k，i）=（3，0，1）[2^3*0+2^2+1=5]是解。 -Hieronymus Fischer公司2006年1月31日

k的第一次出现，k>=0，是在a（2^k-1）处。 -罗伯特·威尔逊v2006年7月27日

序列由T^（无穷大）（0）给出，其中T是转换任何单词w=w（1）w（2）的运算符。将…w（m）转化为T（w）=w（1）（w（1。..重量（米）。即T（0）=01，T（01）=0112，T（0112）=01121223。 -贝诺伊特·克洛伊特2009年3月4日

对于n>=2，a（k（2^n-1））不是n的倍数的最小k是2^n+3。 -弗拉基米尔·舍维列夫，2009年6月5日

三角形不等式：a（k+m）<=a（k）+a（m）。当且仅当C（k+m，m）为奇数时，等式成立。 -弗拉基米尔·舍维列夫2009年7月19日

a（k*m）<=a（k）*a（m）。 -罗伯特·伊斯雷尔2023年9月3日

序列的前2^n项中k值的出现次数等于二项式（n，k），也等于数组中k列的前n-k+1项之和A071919号例如，k=2，n=7：a（0）到a（2^7-1）中有21=二项式（7,2）=1+2+3+4+5+6 2。-Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日，简化为R.J.马塔尔2017年1月13日

设m是n的组成部分列表中按字典顺序列出的部分数，a（k）=n-长度（组成部分（k））表示所有k<2^n和所有n（参见示例）；A007895号给出了组成奇数部分的等价物。 -乔格·阿恩特2012年11月9日

发件人丹尼尔·福格斯2015年3月13日：（开始）

只需将第k行（二进制权重等于k）从0累加到2^n-1，即可得到二项式系数C（n，k）。（请参见A007318元.)

0 1 3 7 15

0:O|。 | . . | . . . . | . . . . . . . . |

1:|O|O。|操作。 . .|操作。 . . . . . . |

2:||O|O O。| O O。O。 . . |

3:|||O|O O O O。 |

4:||||O|

由于其分形性质，该序列非常有趣。

（结束）

n的二进制权重是n的数字和（基数b）的特殊情况-丹尼尔·福格斯2015年3月13日

前n项的平均值比[a（n+1），…，a（2n）]的平均值小1，这也是[a（n+2），……，a的平均值。 -基督教完美2015年4月2日

a（n）也是具有高架桥编号n的整数分区的最大部分。整数分区的高架桥编号定义如下。考虑整数分区的费雷尔斯板的东南边界，并考虑通过将每个东阶梯替换为1而每个北阶梯（最后一个除外）替换为0而获得的二进制数。根据定义，相应的十进制形式是给定整数分区的高架桥编号。“Viabin”是由“via binary”创造的。例如，考虑整数分区[2，2，2，1]。费雷尔板块的东南边界产量为10100辆，通往20号高架桥。 -Emeric Deutsch公司2017年7月20日

a（n）也称为n的二进制表示的人口数-柴华武2020年5月19日

参考文献

Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第119页。

Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4A卷，组合算法，第7.1.3节，问题41，第589页。 -N.J.A.斯隆2012年8月3日

曼弗雷德·施罗德，分形，混沌，幂律。W.H.Freeman，1991年，第383页。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

链接

N.J.A.斯隆，n=0..10000时的n，a（n）表

Franklin T.Adams-Waters和Frank Ruskey，数字和和及其他数字计数序列的生成函数，JIS，第12卷（2009年），第09.5.6条。

J.-P.Allouche，格雷厄姆1970年论文中的一个不等式，整数21A（2021），#A2。

Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，k-正则序列的环，理论计算机科学。第98卷（1992年），第163-197页。 (作者网页上的PS文件。)

Jean-Paul Allouche、Jeffrey Shallit和Jonathan Sondow，由数字块计数定义的级数求和，arXiv:math/0512399[math.NT]，2005-2006年。

Jean-Paul Allouche、Jeffrey Shallit和Jonathan Sondow，由数字块计数定义的序列求和《数论》，第123卷（2007年），第133-143页。

理查德·贝尔曼和哈罗德·夏皮罗，关于加法数论中的一个问题《数学年鉴》。第49卷第2期（1948年），第333-340页。 -N.J.A.斯隆2009年3月12日

C.科贝利和A.扎哈里斯库，带除数和指数绝对差的博弈《差分方程与应用杂志》，第20卷，第11期（2014），第1489-1501页，DOI:10.1080/10236198.2014.940337。也可作为arXiv:1411.1334[math.NT], 2014.请参见delta_n。

Jean Coquet，数字和的幂和《数论》，第22卷，第2期（1986年），第161-176页。

F.M.Dekking，基3/2中的Thue-Morse序列，J.国际顺序。，第26卷（2023年），第23.2.3条。

卡尔·迪尔彻和拉里·埃里克森，超二进制展开式与Stern多项式，Elec.J.Combin，第22卷（2015年），#P2.24。

约瑟夫·埃什格瓦勒（Josef Eschgfäller）和安德烈亚·斯卡潘特（Andrea Scarpante），二分法随机数发生器，arXiv:1603.08500[math.CO]，2016年。

埃马纽埃尔·费朗，泰勒公式的变形《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.7条。

史蒂文·芬奇（Steven R.Finch）、帕斯卡·塞巴（Pascal Sebah）和柴乔·白（Zai-Qiao Bai），帕斯卡三角中的奇数项，arXiv:0802.2654[math.NT]，2008年。

菲利普·弗拉乔莱特（Philippe Flajolet）、彼得·格拉布纳（Peter Grabner）、彼得·基申霍夫（Peter Kirschenhofer）、赫尔穆特·普罗丁格（Helmut Prodinger）和罗伯特·提希（Robert F.Tichy），梅林变换与渐近：数字和，理论。计算机科学。第123卷，第2期（1994年），第291-314页。

迈克尔·吉兰德，一些自相似整数序列.

P.J.Grabner、P.Kirschenhofer、H.Prodinger和R.F.Tichy，关于digits和函数的矩《斐波那契数的应用》，第5卷（圣安德鲁斯，1992年），克鲁沃学院。出版物。多德雷赫特，1993，263-271。

罗纳德·格雷厄姆，关于本原图和最优顶点分配，国际。混淆组合数学。（纽约，1970年），《纽约科学院年鉴》，第175卷，1970年，第170-186页。

Khodabakhsh Hessami Pilehrood和Tatiana Hessami-Pilehroud，广义欧拉常数函数及其导数值的Vacca型级数，《整数序列》，第13卷（2010年），第10.7.3条。

尼克·霍布森，此序列的Python程序.

Kathy Q.Ji和Herbert S.Wilf，极端回文，arXiv:math/0611465[math.CO]，2006年。

盖·卢查德和赫尔穆特·普罗丁格，整数与某些允许Shallit型恒等式组合中的最大缺失值，J.国际顺序。第16卷（2013年），第13.2.2条。

J.-L.Mauclaire和Leo Murata，关于q可加函数，程序。日本科学院。序列号。数学。科学。第59卷，第6期（1983年），第274-276页。

J.-L.Mauclaire和Leo Murata，关于q可加函数，程序。日本科学院。序列号。数学。科学。第59卷，第9期（1983年），第441-444页。

M.D.McIlroy，二进制整数中1的个数：边界和极值属性，SIAM J.计算。第3卷（1974年），第255-261页。

凯里·米切尔，整数序列的螺旋型图像, 2013.

萨姆·诺斯希尔德，斯特恩硅藻序列0,1,1,2,1,3,2,3,1,4，。..阿默尔。数学。月份。第117卷，第7期（2010年），第581-598页。

Theophanes E.Raptis，通过归纳组合层次的有限信息数，arXiv:1805.06301[physics.gen-ph]，2018年。

卡洛·桑纳，关于数字和不同的整数的算术级数，《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.8.1条。 -N.J.A.斯隆2012年12月29日

Nanci Smith，问题B-82，光纤。夸脱。第4卷第4期（1966年），第374-375页。

乔纳森·桑多，欧拉常数及其“交替”模拟ln 4/Pi的新Vacca型有理级数，arXiv：数学/0508042[math.NT]2005；《加法数理论》，D.和G.Chudnovsky主编，施普林格出版社，2010年，第331-340页。

拉尔夫·斯蒂芬，一些具有（相对）简单普通生成函数的分治序列, 2004.

拉尔夫·斯蒂芬，生成函数表.

拉尔夫·斯蒂芬，分而治之的生成函数。一、基本序列，arXiv:math/0307027[math.CO]，2003年。

Kenneth B.Stolarsky，与二项式系数奇偶校验相关的数字和的幂和和，SIAM J.应用。数学。第32卷（1977年），第717-730页。参见B（n）。 -N.J.A.斯隆2014年4月5日

J.R.Trollope，二进制数字和的显式表示，数学。Mag.，第41卷，第1期（1968年），第21-25页。

罗伯特·沃克，自相似懒惰Canon数序列.

埃里克·魏斯坦的数学世界，二元的,数字计数,斯托拉斯基-哈伯斯常数,数字和.

维基百科，汉明重量.

Wolfram研究公司，帕斯卡三角形中的数字.

配方奶粉

a（0）=0，a（2*n）=a（n），a（2*n+1）=a（n）+1。

a（0）=0，a（2^i）=1；否则，如果n=2^i+j且0<j<2^i，a（n）=a（j）+1。

G.f.：乘积{k>=0}（1+y*x^（2^k））=和{n>=0{y^a（n）*x^n-N.J.A.斯隆2009年6月4日

a（n）=a（n-1）+1-A007814号（n） =log_2(A001316号（n））=2n-A005187号（n）=A070939号（n）-A023416号（n） ●●●●。 -亨利·博托姆利2001年4月4日；已由更正拉尔夫·斯蒂芬2002年4月15日

a（n）=log_2(A000984号（n）/A001790号（n））。 -贝诺伊特·克洛伊特2002年10月2日

对于n>0，a（n）=n-和{k=1..n}A007814号（k） ●●●●。 -贝诺伊特·克洛伊特2002年10月19日

a（n）=n-和{k>=1}层（n/2^k）=n-A011371号（n） ●●●●。 -贝诺伊特·克洛伊特2002年12月19日

通用公式：（1/（1-x））*和{k>=0}x^（2^k）/（1+x^。 -拉尔夫·斯蒂芬2003年4月19日

a（0）=0，a（n）=a（n-2^层（log2（n）））+1。示例：a（6）=a（6-2^2）+1=a（2）+1=a（2-2^1）+1+1=a（0）+2=2；a（101）=a（101-2^6）+1=a（37）+1=a（37-2^5）+2=a（5-2^2）+3=a（1-2^0）+4=a（0）+4=4；a（6275）=a（6275-2^12）+1=a（2179-2^11）+2=a（131-2^7）+3=a（3-2^1）+4=a（1-2^0）+5=5；a（4129）=a（4129-2^12）+1=a（33-2^5）+2=a（1-2^0）+3=3。 -Hieronymus Fischer公司2006年1月22日

映射0->01，1->12，2->23，3->34，4->45，的一个不动点。..当f（i）=floor（n/2^i）时，a（n）是序列f（0）、f（1）、f。.. -菲利普·德尔汉姆2004年1月4日

当读取mod 2时，给出Morse-Thue序列A010060型.

设floor_pow4（n）表示n向下取整到四的下一次幂，floor_pow4（n）=4^floor（log4n）。则a（0）=0，a（1）=1，a（2）=1、a（3）=2，a（n）=a（楼层（n/floor_pow4（n）））+a（n%floor_pow4n））。-Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日

a（n）=n-总和{k=2..n}总和{j|n，j>=2}（楼层（log_2（j））-楼层（log_2-（j-1）））。 -Hieronymus Fischer公司2007年6月18日

a（n）=A138530号（n，2）对于n>1。 -莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月26日

一个(A077436号（n））=A159918号(A077436号（n））；一个(A000290型（n））=A159918号（n） ●●●●。 -莱因哈德·祖姆凯勒2009年4月25日

a（n）=A063787号（n）-A007814号（n） ●●●●。 -加里·亚当森，2009年6月4日

a（n）=A007814号（C（2n，n））=1+A007814号（C（2n-1，n））。 -弗拉基米尔·舍维列夫2009年7月20日

对于奇数m>=1，a（（4^m-1）/3）=a（（2^m+1）/3）+（m-1）/2（mod 2）。 -弗拉基米尔·舍维列夫2010年9月3日

a（n）-a（n-1）={1-a（n-1A007814号（n） =a（n-1），1当且仅当A007814号（n） =0，-1代表所有其他A007814号（n） }。-Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日

一个(A001317号（n））=2 ^a（n）。 -弗拉基米尔·舍维列夫2010年10月25日

a（n）=A139351号（n）+A139352号（n） =总和（_k）{A030308号（n，k）}。 -菲利普·德尔汉姆2011年10月14日

发件人Hieronymus Fischer公司，2012年6月10日：（开始）

a（n）=总和{j=1..m+1}（楼层（n/2^j+1/2）-楼层（n/2 ^j）），其中m=楼层（log_2（n））。

n的基p表示中>=d位数的一般公式，其中1<=d<p:a（n）=Sum_{j=1..m+1}（floor（n/p^j+（p-d）/p）-floor（n/p^j）），其中m=floor（log_p（n））；g.f.：g（x）=（1/（1-x））*和{j>=0}（x^（d*p^j）-x^。（结束）

a（n）=A213629号（n，1）对于n>0。 -莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月4日

a（n）=A240857型（n，n）。 -莱因哈德·祖姆凯勒2014年4月14日

a（n）=log_2（C（2*n，n）-。 -加里·德特利夫斯2014年7月10日

Sum_{n>=1}a（n）/2n（2n+1）=（伽玛+对数（4/Pi））/2=A344716飞机，其中gamma是Euler常数A001620号参见Sondow 2005年、2010年和Allouche，Shallit，Sondow 2007年。 -乔纳森·桑多2015年3月21日

对于任意整数基数b>=2，n的展开基数b的位数s_b（n）之和就是这个递推关系的解：如果n=0，则s_（n）=s_（b（n/b））+（n mod b）。因此，a（n）满足：如果n=0，a（n=0）=a（地板（n/2））+（n mod 2）。这很容易产生a（n）=Sum_{i=0..floor（log_2（n））}（floor（n/2^i）mod 2）。由此可以计算a（n）=n-和{i=1..floor（log_2（n））}floor（n/2^i）。 -马雷克·苏切内克2016年3月31日

求和{k>=1}a（k）/2^k=2*Sum_{k>=0}1/（2^（2*k）+1）=2*A051158号. -阿米拉姆·埃尔达尔2020年5月15日

和{k>=1}a（k）/（k*（k+1））=A016627号=对数（4）。 -伯纳德·肖特2020年9月16日

a（m*（2^n-1））>=n。当2^n-1>时，等式成立=A000265号（m），但在其他一些情况下，例如a（11*（2^2-1））=2和a（19*（2*3-1））=3。 -蓬图斯·冯·布罗姆森2020年12月13日

G.f.:A（x）满足A（x）=（1+x）*A（x^2）+x/（1-x^2。 -阿克沙特·库马尔2023年11月4日

例子

使用公式a（n）=a（floor（n/floor_pow4（n）））+a（n mod floor_pow5（n）

a（4）=a（1）+a（0）=1，

a（8）=a（2）+a（0）=1，

a（13）=a（3）+a（1）=2+1=3，

a（23）=a（1）+a（7）=1+a（1”+a（3）=1+1+2=4。

加里·亚当森指出（2009年6月3日）这可以写成三角形：

0,

1,

1,2,

1,2,2,3,

1,2,2,3,2,3,3,4,

1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,

1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,

1,2,2,3,2,3,...

行聚合到的位置A063787号.

发件人乔格·阿恩特2012年11月9日：（开始）

以零件列表形式连接n的组成（见注释）：

[#]：a（n）成分

[ 0]: [0] 1 1 1 1 1

[ 1]: [1] 1 1 1 2

[ 2]: [1] 1 1 2 1

[ 3]: [2] 1 1 3

[ 4]: [1] 1 2 1 1

[ 5]: [2] 1 2 2

[ 6]: [2] 1 3 1

[ 7]: [3] 1 4

[ 8]: [1] 2 1 1 1

[ 9]: [2] 2 1 2

[10]: [2] 2 2 1

[11]: [3] 2 3

[12]: [2] 3 1 1

[13]: [3] 3 2

[14]: [3] 4 1

[15]: [4] 5

（结束）

MAPLE公司

A000120号：=proc（n）局部w，m，i；w:=0；m：=n；当m>0时，i：=m mod 2；w：=w+i；m：=（m-i）/2；od；w；末端：重量：=A000120号;

A000120号：=n->add（i，i=convert（n，base，2））：#彼得·卢什尼2011年2月3日

带（位）：p:=n->ilog2（n-And（n，n-1））：seq（p（二项式（2*n，n）），n=0..200）#加里·德特利夫斯2019年1月27日

数学

表[DigitCount[n，2，1]，{n，0，105}]

嵌套[扁平[#/.#->{#，#+1}]&，{0}，7](*罗伯特·威尔逊v2011年9月27日*）

表[Plus@@IntegerDigits[n，2]，{n，0，104}]

嵌套[Join[#，#+1]&，{0}，7](*IWABUCHI Yu（u）ki先生2012年7月19日*）

Log[2，Nest[Join[#，2#]&，{1}，14]]（*给出2^14项，卡洛斯·阿尔维斯2014年3月30日*）

黄体脂酮素

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，2*n-赋值（（2*n）！，2））}；

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，subst（Pol（binary（n），x，1））}；

（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，a（n \ 2）+n%2）}； /*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/

（PARI）a（n）=我的（v=二进制（n））；总和（i=1，#v，v[i]）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月24日

（PARI）a（n）=normal2（二进制（n））\\更好地使用{A000120号=hammingweight}。 -M.F.哈斯勒2012年10月9日，2020年2月27日编辑

（PARI）a（n）=锤击重量（n）\\米歇尔·马库斯2013年10月19日

（通用Lisp）（deven floor-to-power（n pow）（declare（fixnum pow））（expt pow（floor（log n pow；Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日

（Fortran）c请参阅中的链接A139351号

（哈斯克尔）

导入数据。位（位，popCount）

a000120：：（整数t，位t）=>t->Int

a000120=popCount

a000120_list=0:c[1]其中c（x:xs）=x:c（xs++[x，x+1]）

--莱因哈德·祖姆凯勒，2013年8月26日，2012年2月19日，2011年6月16日，2010年3月7日

（哈斯克尔）

a000120=连接

其中r=[0]：（map.map）（+1）（scanl1（++）r）

--卢克·帕尔默2014年2月16日

（SageMath）

定义A000120号（n）：

如果n<=1：返回整数（n）

返回A000120号（n//2）+n%2

[A000120号（n）对于范围（105）内的n#彼得·卢什尼2012年11月19日

（SageMath）定义A000120号（n）：返回总和（n位数（2））#埃里克·M·施密特2013年4月26日

（Python）定义A000120号（n）：返回箱（n）.计数（'1'）#柴华武2014年9月3日

（Python）

将numpy导入为np

A000120号=np.array（[0]，dtype=“uint8”）

对于范围（25）中的位范围：A000120号=np.附录(A000120号，新增(A000120号, 1))

打印([A000120号[n] 对于范围（0，105）中的n）#卡尔·海因茨·霍夫曼2022年11月7日

（Python）定义A000120号（n）：return n.bit_count（）#需要Python 3.10或更高版本。 -蓬图斯·冯·布罗姆森2022年11月8日

（Python）#另请参阅链接。

（Scala）（0到127）.map（Integer.bitCount（_））//阿隆索·德尔·阿特2019年3月5日

（岩浆）[多重性（Intseq（n，2），1）：n in[0..104]]； //马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日

（岩浆）[&+Intseq（n，2）：[0..104]]中的n； //马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日

交叉参考

关于n的二进制展开式的基本序列是这个，A000788号,A000069号,A001969号,A023416号,A059015型,A007088号.

部分金额参见A000788号。有关运行长度，请参见A131534号。另请参阅A001792号,A010062型.

n中0的数量：A023416号和A080791号.

a（n）=n-A011371号（n） ●●●●。

以2-16为基数的n位数之和：此序列，A053735号,A053737号,A053824号,A053827美元,A053828号,A053829号,A053830号,A007953号,A053831号,A053832号,A053833号,A053834号,A053835号,A053836号.

囊性纤维变性。A001620号,A344716飞机,A007814号,A063787号.

这是盖·斯蒂尔的序列GS（3，4）（参见A135416号).

囊性纤维变性。A055640号,A055641号,A102669号-A102685号,A117804号,A122840型,A122841号,A160093型,A160094型,A196563号,A196564号（用于底座10）。

囊性纤维变性。A230952型（boutrophedon变换）。

囊性纤维变性。A070939号（n的二进制表示长度）。

上下文中的序列：A105056号 A105061号 A105164号*A105062号 A106487号 A105102号

相邻序列：A000117号 A000118号 A000119号*A000121号 A000122号 A000123号

关键词

非n,容易的,核心,美好的,听到,看,基础

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的