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提示
问候整数序列的在线百科全书!)
A000 0120 1’s计数序列:N的二元展开(或n的二进制权重)中的1个数。
(原M0105 N041)
一千一百四十二
0, 1, 1、2, 1, 2、2, 3, 1、2, 2, 3、2, 3, 3、4, 1, 2、2, 3, 2、3, 3, 4、2, 3, 3、4, 3, 4、4, 5, 1、2, 2, 3、4, 5, 1、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、4

评论

n的二进制权也称为n的汉明重量。

A(n)也是最大的整数,使得2 ^ A(n)除以二项式(2n,n)=A000 0984A(n)。-班诺特回旋曲3月27日2002

为了构造序列,从0开始并使用规则:如果k>=0和A(0),A(1),…,(2 ^ k-1)是2 ^ k第一项,那么下一个2 ^ k项是A(0)+1,A(1)+1,…,A(2 ^ k-1)+1。-班诺特回旋曲1月30日2003

分形序列的一个例子。也就是说,如果你省略了序列中的所有其他数字,你就得到了原来的序列。当然,这是可以重复的。因此,如果你形成序列A(0×2 ^ n),A(1×2 ^ n),A(2*2 ^ n),A(3×2 ^ n),…(对于任何整数n>0),你得到原始序列。-克里斯托弗,Hills(AT)SePur.C.U.,5月14日2003

Pascal三角形的第n行具有2 ^ k个奇数二项式系数,其中k=A(n)- 1。-莱克拉吉贝达西5月15日2003

0(01, 1)>12, 2>23, 3>34, 4>45等态射的不动点,从A(0)=0开始。-Robert G. Wilson五世1月24日2006

A(n)=n次出现在神秘计算器序列中:A000 5408A04964A0475 66A115419A115420A115421. -杰瑞米加德纳1月25日2006

A(n)=丢番图方程2×m*k+ 2 ^(m-1)+i= n的解,其中m>1,k>=0, 0<i<2 ^(m-1);a(5)=2,因为只有(m,k,i)=(1, 2, 0)[2 ^ 1*2+2 ^ + +=y]和(m,k,i)=(ω)[α^*++^ ^+==]是解。-菲舍尔1月31日2006

K、K>0的首次出现在A(2 ^ k-1)。-Robert G. Wilson五世7月27日2006

序列是由T^(无穷大)(0)给出的,其中T是将任何字W=W(1)W(2)…w(m)转化成T(W)=W(1)(W(1)+1)W(2)(W(2)+1)…W(m)(W(m)+1)的序列。即t(0)=01,t(01)=0112,t(0112)=01121223。-班诺特回旋曲04三月2009

对于n>=2,A(k(2 ^ n-1))不是n的倍数的最小k是2 ^ n+3。-弗拉迪米尔谢维列夫,军05 2009

三角不等式:A(k+m)<=a(k)+a(m)。相等,当且仅当C(k+m,m)为奇数时。-弗拉迪米尔谢维列夫7月19日2009

在序列的前2个^ n项中k值的出现数等于二项式(n,k),并且也等于阵列中k的第一个n+k+ 1项之和。A071919. K=2,n=7的例子:在A(0)到A(0 ^ 7-1)中有21=二项式(7,2)=1+2+3+4+5+6 2。- Brent Spillner(斯皮尔纳(AT)ACM.org),SEP 01 2010,简化了马塔尔1月13日2017

设m为n个组成部分列表中的一部分,作为字典顺序中的部分,a(k)=n长(成分(k)),用于所有k<2 ^ n和全部n(见例子);A000 7895给出了组成为奇数部分的等价项。-乔尔格阿尔恩特09月11日2012

丹尼尔骗局,3月13日2015:(开始)

只需将行k(二进制权重等于k)从0到2 ^ n - 1求出二项系数C(n,k)。(见A000 7318

0 1 3 3 7 15

0:O。. |

1:ωO。o。o。γ

2、γo O。o o。O。γ

3:γo O o O。γ

4、γo

由于其分形性质,序列是非常有趣的听。

(结束)

n的二进制权是N的数字和(基B)的一个特殊情况。丹尼尔骗局3月13日2015

第一n项的平均值小于[a(n+1),…,a(2n)]的平均值的1,这也是[a(n+1),…,a(2n+1)]的平均值。-基督教完美,APR 02 2015

A(n)也是具有Viabin数n的整数分区的最大部分。整数分区的Viabin数以如下方式定义。考虑整数分区的FelsS板的东南边界,并考虑通过将每个东步骤替换为1和每个北步骤,除了最后一个,得到0的二进制数。根据定义,相应的十进制形式是给定整数分区的Viabin数。Viabin是由“二进制”创造的。例如,考虑整数分区〔2, 2, 2,1〕。它的费雷斯板的东南边界产生10100,导致Viabin数20。-埃米里埃德奇7月20日2017

推荐信

J.P.AououChe和J. Shallit,自动序列,剑桥大学出版社,2003,第119页。

D. E. Knuth,计算机程序设计,第4A卷,组合算法,第7.1.3节,问题41,第589页。-斯隆,八月03日2012

Manfred R. Schroeder,分形,混沌,幂律。W.H.弗里曼,1991,第383页。

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

链接

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Jean Coquet数字和的幂和J.数论22(1986),第2号,161-176。

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Josef Eschgf·福勒,Andrea Scarpante,Dichotomic随机数发生器,阿西夫:1603.08500(数学,Co),2016。

Emmanuel FerrandTaylor Formula变形《整数序列》,第10卷(2007),第07.1.7条。

Steven R. Finch,Pascal Sebah和宰乔百,Pascal三项三角的奇项,阿西夫:802.2654(数学,NT),2008。

菲利普弗拉霍莱特等,梅林变换与渐近性:数字和Theoret。计算机SCI。23(1994),211-314。

Michael Gilleland一些自相似整数序列

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M. D. McIlroy二元整数中的1个数:边界和极值性质,暹罗J.Copt,3(1974),255-261。

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C. Sanna具有不同和数的整数的算术级数《整数序列》杂志,第15卷(2012),第12册。-斯隆12月29日2012

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R. Stephan生成函数表

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K. B. Stolarsky与二项式系数奇偶有关的数字和的幂和指数和,暹罗J.APPL。数学,32(1977),717-730。见B(n)。-斯隆,APR 05 2014

J. R. Trollope二元数字和的显式表示数学。MG 41 1968 21-25。

Robert Walker自相似树懒Con数序列

Eric Weisstein的数学世界,二元的数字计数Storasky-HaBurth-常数数字和.

沃尔夫拉姆研究Pascal三角形中的数

“核心”序列的索引条目

与N的二进制展开相关的序列的索引条目

哥伦比亚或自号和相关序列的索引条目

映射的不动点序列的索引项

公式

a(0)=0,a(2×n)=a(n),a(2×n+1)=a(n)+1。

A(0)=0,A(2 ^ i)=1;否则,如果n=2 ^ I+J,具有0<J<2 ^ i,A(n)=A(j)+1。

G.f.:乘积{k>=0 }(1 +y*x^(2 ^ k))=SuMi{{n>=0 } y^ a(n)*x^ n。斯隆,军04 2009

a(n)=a(n-1)+1A000 7814(n)=Log2A131316(n)=2n-A000 5187(n)=A070939(n)A023 416(n)。-亨利贝托姆利,APR 04 2001;经修正拉尔夫斯蒂芬4月15日2002

A(n)=Log2A000 0984A(n)/A000 1790(n)。-班诺特回旋曲,10月02日2002

对于n>0,a(n)=n-和(k=1,n,A000 7814(k))。-班诺特回旋曲10月19日2002

a(n)=n-和(k>0,楼层(n/2 ^ k))=n-A011378(n)。-班诺特回旋曲12月19日2002

G.f.:1/(1-x)*和(k>=0,x^(2 ^ k)/(1 +x^(2 ^ k)))。-拉尔夫斯蒂芬4月19日2003

A(0)=0,A(n)=A(n - 2 ^ Log2(Lead(n)))+1。Examples: a(6) = a(6 - 2^2) + 1 = a(2) + 1 = a(2 - 2^1) + 1 + 1 = a(0) + 2 = 2; a(101) = a(101 - 2^6) + 1 = a(37) + 1 = a(37 - 2^5) + 2 = a(5 - 2^2) + 3 = a(1 - 2^0) + 4 = a(0) + 4 = 4; a(6275) = a(6275 - 2^12) + 1 = a(2179 - 2^11) + 2 = a(131 - 2^7) + 3 = a(3 - 2^1) + 4 = a(1 - 2^0) + 5 = 5; a(4129) = a(4129 - 2^12) + 1 = a(33 - 2^5) + 2 = a(1 - 2^0) + 3 = 3. -菲舍尔1月22日2006

映射的一个不动点0 ->01, 1>12, 2>23, 3>34, 4>45,…F(i)=楼层(n/2 ^ i),A(n)为序列F(0)、F(1)、F(2)、F(3)、F(4)、F(5)、…-菲利普德勒姆,04月1日2004

当读取MOD 2给出Morse Thue序列时A010060.

让LoopRyPo4(n)表示n向下舍入到下一个四的幂,LoopRyPo4(n)=4层(Log4 n)。然后A(0)=0,A(1)=1,A(2)=1,A(3)=2,A(n)=A(地板(N/LooprOWPO4(n)))+A(n % SuroRoWPO4(n))。- Stephen K. Touset(史蒂芬(AT)TouSET.org),APR 04 2007

A(n)=n - SuMu{{K=2…n} SuMu{{j },j>=2 }(楼层(Log2(j))-楼层(Log2(J-1)))。-菲舍尔6月18日2007

A(n)=A1385(n,2)n>1。-莱因哈德祖姆勒3月26日2008

A(A07736(n)=A15918A07736(n)a;A000 0290(n)=A15918(n)。-莱因哈德祖姆勒4月25日2009

A(n)=A0637(n)A000 7814(n)。-加里·W·亚当森,军04 2009

A(n)=A000 7814(C(2n,n))=1A000 7814(C(2n-1,n))。-弗拉迪米尔谢维列夫7月20日2009

对于奇数m>1,A((4 ^ M-1)/ 3)=A((2 ^ M+1)/3)+(M-1)/2(mod 2)。-弗拉迪米尔谢维列夫,SEP 03 2010

a(n)-a(n-1)={1—a(n-1)当且仅当A000 7814(n)=a(n-1),1当且仅当A000 7814(n)=0,-1为所有其他A000 7814(n)}。- Brent Spillner(斯皮尔纳(AT)ACM.org),SEP 01 2010

A(A131317(n)=2 ^ A(n)。-弗拉迪米尔谢维列夫10月25日2010

A(n)=A139351(n)+A139352(n)= SUMIK K{A030308(n,k)}。-菲利普德勒姆10月14日2011

菲舍尔,6月10日2012:(开始)

A(n)=SuMu{{j=1…m+1 }(楼层(n/2 ^ j+1/2))-楼层(n/2 ^ j),其中m=楼层(Logy2(n))。

n的基p表示中的位数>d的一般公式,其中1<d<p:a(n)=SuMu{{=1…m+1 }(楼层(n/p^ j+(p d)/p)-楼层(n/p^ j)),其中m=楼层(Logp p(n));gf:g(x)=(1/(1-x))*SuMy{{j>=0 }(x^(d*p^ j)-x^(p*p^ j))/(1-x^(p*p^ j))。(结束)

A(n)=A213629(n,1)n>0。-莱因哈德祖姆勒,朱尔04 2012

A(n)=A24085(n,n)。-莱因哈德祖姆勒4月14日2014

A(n)=Log2(C(2×N,N)-(C(2×N,N)和C(2×N,N)-1))。-加里德莱夫斯7月10日2014

SuMu{n>=1 } A(n)/2n(2n+1)=(Gamma + log(4/PI))/2,其中γ为欧拉常数。A000 1620看索道2005, 2010和Shallit,索道2007。-乔纳森·索道3月21日2015

对于任何整数基B>=2,N的展开基B的数字Seb(n)是这个递归关系的解:Snb(n)=0,如果n=0,Syb(n)=s^ b(底(n/b))+(n mod b)。因此,A(n)满足:(n)=0,如果n=0,a(n)=a(楼层(n/2))+(n mod 2)。这很容易产生一个(n)=SUMU{{i=0 ..楼层(Log2(n))}(楼层(n/2 ^ i)mod 2)。从这个可以计算一个(n)=n - SuMu{{i=1…Loice(Log2(n))}楼层(n/2 ^ i)。-马立克·A·苏切内克3月31日2016

例子

A(4)=A(0)+A(0)=0

A(8)=A(2)+A(0)=1

A(13)=A(3)+A(1)=2+1=3

A(23)=A(1)+A(7)=1+A(1)+A(3)=1+1+2=4。

加里·W·亚当森指出(Jun 03 2009),这可以写成三角形:

0,

1,

1,2,

1,2,2,3

1,2,2,3,2,3,3,4

1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,

1,2、2、2、3、3、3、4、2、3、3、4、3、4、4、5、2、3、3、4、3、4、4、5、3、4、4、5、4、5、5、6

1,2,2,3,2,3,…

其中行收敛到A0637.

奥玛尔·E·波尔,军07 2009:(开始)

三角形开始了:

0;

1,1;

2,1,2;2;

3,1,2,2,3,2,3,3;

4、1、2、2、3、2、3、3、4、2、3、3、4、3、4、4;

5、1、2、2、2、3、3、3、4、2、3、3、4、3、4、4、5、2、3、3、4、3、4、4、5、3、4、4、5、4、5、5;

6、1,2、2、3、2、3、3、4、2、3、3、4、3、4、4、5、2、3、3、4、3、4、4、5、3、4、4、5、4、5、5、6、2、3、3、4…

(结束)

乔尔格阿尔恩特,11月09日2012:(开始)

作为部件列表连接N的组成(见注释):

α[a]:(n)成分

〔0〕〔0〕1、1、1、1、1

〔1〕〔1〕1、1、1、2

〔2〕〔1〕1、1、2、1

〔3〕〔2〕1、1、3

〔4〕〔1〕1、2、1、1

〔5〕〔2〕1、2、2

〔6〕〔2〕1、3、1

〔7〕〔3〕1-4

〔8〕〔1〕2、1、1、1

〔9〕〔2〕2、1、2

〔10〕〔2〕2、2、1

〔11〕〔3〕2-3

〔12〕〔2〕3、1、1

〔13〕〔3〕3-2

〔14〕〔3〕4-1

〔15〕:〔4〕5

(结束)

枫树

A000 0120= PoC(n)局部W,m,i;w:=0;m=n;而m>0 i:=m mod 2;w:=W+i;m=(m i)/2;OD;w;结尾:Wt: =:A000 0120

A000 0120= N->加法(i,i=皈依(n,基,2)):彼得卢斯尼,03月2日2011

与(位):P:=N-> ILOG2(n和(n,n-1)):SEQ(p(二项式(2×n,n)),n=0…200)加里德莱夫斯1月27日2019

Mathematica

表[数字计数[ n,2, 1 ],{n,0, 105 }]

鸟巢[扁平]α->{α,α+ 1 }},{ 0 },7(*)Robert G. Wilson五世9月27日2011*)

表[加@ @整数数字[ n,2 ],{n,0, 104 }]

嵌套[联接],[*,α+ + 1 ],{ 0 },7IWABUCHI Yu(U)Ki7月19日2012*)

log [ 2,嵌套[联接],2,2,{ },14 },14 ] ](*给出2 ^ 14项,卡洛斯·阿尔维斯3月30日2014*)

黄体脂酮素

(PARI){A(n)=IF(n<0, 0, 2×n -赋值)((2×n)!,2)};

(PARI){A(n)=IF(n<0, 0,SUST(Pol(二进制(n)),x,1))};

(PARI){A(n)=IF(n<1, 0,A(n 2)+n% 2)};/*米迦勒索摩斯,06年3月2004日

(PARI)a(n)=i(v=二进制(n));和(i=1,αv,v[i])查尔斯6月24日2011

(帕里)A000 0120(n)=正规2(二进制(n))哈斯勒,10月09日2012

(PARI)a(n)=汉明重(n)米歇尔马库斯10月19日2013

(公共LISP)(DeFun地板到电源(N POW)(声明(FixNm POW))(EXT POW(Load NPW))(DeFun启用位(n)(IF(n n 4))(n个n(列表0 1×1))(+(启用位(Lead(/n(Load to Port N 4))))(启用位(MOD N(楼层到电源N 4×××××);Stephen K. Touset(史蒂芬(AT)TouSET.org),APR 04 2007)

参见链接A139351FORTRAN程序。

(哈斯克尔)

导入数据.BIT(比特,POPUNT)

A000 0120:(整T,位T)=t->int

A000 0120=波普数

A000 0120列列表=0:C(1)其中C(x:xs)=x:c(xs++[x,x+1)]

——莱因哈德祖姆勒,8月26日2013,2月19日2012,6月16日2011,MAR 07 2011

(哈斯克尔)

A000 0120=CONTAT R

其中r=0:(map .map)(+ 1)(SncL1(++)R)

——卢克帕默2月16日2014

(圣人)

DEFA000 0120(n):

如果n<=1:返回整数(n)

退货A000 0120(n// 2)+n% 2

[A000 0120(n)在范围(105)中的n彼得卢斯尼11月19日2012

(贤人)A000 0120(n):返回和(n位数(2))埃里克·M·施密特4月26日2013

(蟒蛇)

DEFA000 0120(n):

…返回箱(n)吴才华,SEP 03 2014

(Scala)(0到127)。阿隆索-德尔阿尔特05三月2019

交叉裁判

关于n的二元展开的基本序列是这一个,A000 0788A000 000A000 1969A023 416A059015A000 7088.

部分和参见A000 0788. 运行长度见A131534. 也见A000 1792A010062.

n中的0个数:A023 416A8080791.

a(n)=n-A011378(n)。

在基2-16中写的n的和的数字:这个序列,A0537 35A0537 37A0538A0538 27A0538A0538A0538A000 7953A0538A0538 32A0538 33A0538 34A0538 35A0538.

囊性纤维变性。A000 1620A000 7814.

这是Guy Steele的序列GS(3, 4)(参见A135616

囊性纤维变性。A055 640A055A10269-A102685A117804A12840A12841A1600A1600A196563A196564(对于基座10)。

囊性纤维变性。A230952(BouthpHeDon变换)

语境中的顺序:A105056 A105061 A105164*A105062 A10687 A105102

相邻序列:A000 0117 A000 0118 A000 0119*A000 0121 A000 0122 A000 0123

关键词

诺恩容易核心美好的听到基地

作者

斯隆

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