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| A000120号 |
| 1’s计数序列：n的二进制展开式中的1’s数（或n的二进制权重）。
（原名M0105 N0041）
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1817
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0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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n的二进制重量也称为n的汉明重量[术语“汉明重量”是以美国数学家理查德·卫斯利·汉明（1915-1998）的名字命名的-阿米拉姆·埃尔达尔，2021年6月16日]
要构造序列，请从0开始并使用规则：如果k>=0和a（0），a（1）。。。，a（2^k-1）是第一个2^k项，然后下一个2^k项是a（0）+1，a（1）+1。。。，a（2^k-1）+1-贝诺伊特·克洛伊特2003年1月30日
分形序列的示例。也就是说，如果省略序列中的其他每个数字，就会得到原始序列。当然，这可以重复。所以如果你形成序列a（0*2^n），a（1*2^n），a。。。（对于任何整数n>0），您将获得原始序列。-克里斯托弗。Hills（AT）sepura.co.uk，2003年5月14日
从a（0）=0开始，同态0->01、1->12、2->23、3->34、4->45等的不动点-罗伯特·威尔逊v2006年1月24日
a（n）是丢番图方程2^m*k+2^（m-1）+i=n的解的个数，其中m>=1，k>=0，0<=i<2^（m-1）；a（5）=2，因为只有（m，k，i）=（1，2，0）[2^1*2+2^0+0=5]和（m，k，i）=（3，0，1）[2^3*0+2^2+1=5]是解-Hieronymus Fischer公司2006年1月31日
k的第一次出现，k>=0，是在a（2^k-1）处-罗伯特·威尔逊v2006年7月27日
序列由T^（无穷大）（0）给出，其中T是转换任何单词w=w（1）w（2）的运算符。。。w（m）转化为T（w）=w（1）（w（1。。。w（m）（w（m）+1）。即T（0）=01，T（01）=0112，T（0112）=01121223-贝诺伊特·克洛伊特2009年3月4日
对于n>=2，a（k（2^n-1））不是n的倍数的最小k是2^n+3-弗拉基米尔·舍维列夫，2009年6月5日
三角不等式：a（k+m）<=a（k）+a（m）。当且仅当C（k+m，m）为奇数时，等式成立-弗拉基米尔·舍维列夫2009年7月19日
序列的前2^n项中k值的出现次数等于二项式（n，k），也等于数组中k列的前n-k+1项之和A071919号例如，k=2，n=7：a（0）到a（2^7-1）中有21=二项式（7,2）=1+2+3+4+5+6 2Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日，简化为R.J.马塔尔2017年1月13日
设m是n的组成部分列表中按字典顺序列出的部分数，a（k）=n-长度（组成部分（k））表示所有k<2^n和所有n（参见示例）；A007895号给出了组成奇数部分的等价物-乔格·阿恩特2012年11月9日
只需将第k行（二进制权重等于k）从0累加到2^n-1，即可得到二项式系数C（n，k）。（请参见A007318号.)
0 1 3 7 15
0:O|.|..|….||
1:|O|O.|O…|（O…|）O|
2:||O|O操作。|O O O。哦|
3:|||O|O O O O|
4:||||O|
由于其分形性质，该序列非常有趣。
（结束）
n的二进制权重是n的数字和（基数b）的特殊情况-丹尼尔·福格斯2015年3月13日
前n项的平均值比[a（n+1），…，a（2n）]的平均值小1，[a（n+2），…，a（2n+1）]的平均值也是[a（n+2），…，a（2n+1）]的平均值-基督教完美2015年4月2日
a（n）也是具有高架桥编号n的整数分区的最大部分。整数分区的高架桥编号定义如下。考虑整数分区的费雷尔斯板的东南边界，并考虑通过将每个东阶梯替换为1而每个北阶梯（最后一个除外）替换为0而获得的二进制数。根据定义，相应的十进制形式是给定整数分区的高架桥编号。“Viabin”是由“via binary”创造的。例如，考虑整数分区[2,2,2,1]。费雷尔板块的东南边界产量为10100辆，通往20号高架桥-Emeric Deutsch公司2017年7月20日
a（n）也称为n的二进制表示的人口数-柴华武2020年5月19日
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参考文献
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Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第119页。
Donald E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第4A卷，组合算法，第7.1.3节，问题41，第589页-N.J.A.斯隆2012年8月3日
曼弗雷德·施罗德，分形，混沌，幂律。W.H.Freeman，1991年，第383页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Jean-Paul Allouche、Jeffrey Shallit和Jonathan Sondow，由数字块计数定义的序列求和《数论》，第123卷（2007年），第133-143页。
Jean Coquet，数字和的幂和《数论》，第22卷，第2期（1986年），第161-176页。
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伊曼纽尔·费兰德，泰勒公式的变形《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.7条。
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菲利普·弗拉乔莱特（Philippe Flajolet）、彼得·格拉布纳（Peter Grabner）、彼得·基申霍夫（Peter Kirschenhofer）、赫尔穆特·普罗丁格（Helmut Prodinger）和罗伯特·提希（Robert F.Tichy），梅林变换与渐近：数字和，理论。计算机科学。，第123卷，第2期（1994年），第291-314页。
P.J.Grabner、P.Kirschenhofer、H.Prodinger和R.F.Tichy，关于digits和函数的矩《斐波那契数的应用》，第5卷（圣安德鲁斯，1992年），克鲁沃学院。出版物。，多德雷赫特，1993年，263-271。
罗纳德·格雷厄姆，关于本原图和最优顶点分配，国际。混淆组合数学。（纽约，1970年），《纽约科学院年鉴》，第175卷，1970年，第170-186页。
Kathy Q.Ji和Herbert S.Wilf，极端回文，arXiv:math/0611465[math.CO]，2006年。
J.-L.Mauclaire和Leo Murata，关于q可加函数，程序。日本科学院。序列号。数学。科学。，第59卷，第6期（1983年），第274-276页。
J.-L.Mouclaire和Leo Murata，关于q可加函数，程序。日本科学院。序列号。数学。科学。，第59卷，第9期（1983年），第441-444页。
Theophanes E.Raptis，通过归纳组合层次的有限信息数，arXiv:1805.06301[physics.gen-ph]，2018年。
Nanci Smith，问题B-82，光纤。夸脱。，第4卷，第4期（1966年），第374-375页。
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配方奶粉
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a（0）=0，a（2*n）=a（n），a（2*n+1）=a（n）+1。
a（0）=0，a（2^i）=1；否则，如果n=2^i+j且0<j<2^i，a（n）=a（j）+1。
G.f.：乘积{k>=0}（1+y*x^（2^k））=和{n>=0{y^a（n）*x^n-N.J.A.斯隆2009年6月4日
通用公式：（1/（1-x））*和{k>=0}x^（2^k）/（1+x^-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月19日
a（0）=0，a（n）=a（n-2^层（log2（n）））+1。示例：a（6）=a（6-2^2）+1=a（2）+1=a（2-2^1）+1=1=a（0）+2=2；a（101）=a（101-2^6）+1=a（37）+1=a（37-2^5）+2=a（5-2^2）+3=a（1-2^0）+4=a（0）+4=4；a（6275）=a（6275-2^12）+1=a（2179-2^11）+2=a（131-2^7）+3=a（3-2^1）+4=a（1-2^0）+5=5；a（4129）=a（4129-2^12）+1=a（33-2^5）+2=a（1-2^0）+3=3-Hieronymus Fischer公司2006年1月22日
映射0->01，1->12，2->23，3->34，4->45。。。当f（i）=楼层（n/2^i）时，a（n）是序列f（0）、f（1）、f-菲利普·德尔汉姆2004年1月4日
让floor_pow4（n）表示n四舍五入到四的下一次幂，floor_pow（n）=4^floor（log4n）。则a（0）=0，a（1）=1，a（2）=1、a（3）=2，a（n）=a（楼层（n/floor_pow4（n）））+a（n%floor_pow4[n）]Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日
对于奇数m>=1，a（（4^m-1）/3）=a（（2^m+1）/3）+（m-1）/2（mod 2）-弗拉基米尔·舍维列夫2010年9月3日
a（n）-a（n-1）={1-a（n-1A007814号（n） =a（n-1），1当且仅当A007814号（n） =0，-1代表所有其他A007814号（n） }.-Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日
a（n）=总和{j=1..m+1}（楼层（n/2^j+1/2）-楼层（n/2 ^j）），其中m=楼层（log_2（n））。
n的p进制表示中位数>=d的一般公式，其中1<=d<p:a（n）=Sum_{j=1..m+1}（floor（n/p^j+（p-d）/p）-floor（n/p^j）），其中m=floor（log_p（n））；g.f.：g（x）=（1/（1-x））*和{j>=0}（x^（d*p^j）-x^。（结束）
和{n>=1}a（n）/2n（2n+1）=（伽马+对数（4/Pi））/2=A344716飞机，其中gamma是Euler常数A001620号; 参见Sondow 2005、2010和Allouche，Shallit，Sondow 2007-乔纳森·松多2015年3月21日
对于任意整数基数b>=2，n的展开基数b的位数s_b（n）之和就是这个递推关系的解：如果n=0，则s_（n）=s_（b（n/b））+（n mod b）。因此，a（n）满足：如果n=0，a（n=0）=a（地板（n/2））+（n mod 2）。这很容易产生a（n）=Sum_{i=0..floor（log_2（n））}（floor（n/2^i）mod 2）。由此可以计算a（n）=n-和{i=1..floor（log_2（n））}floor（n/2^i）-马雷克·苏切内克2016年3月31日
a（m*（2^n-1））>=n。当2^n-1>时，等式成立=A000265号（m） ，但也在一些其他情况下，例如a（11*（2^2-1））=2和a（19*（2^3-1））=3-蓬图斯·冯·布罗姆森2020年12月13日
G.f.:A（x）满足A（x）=（1+x）*A（x^2）+x/（1-x^2-阿克沙特·库马尔2023年11月4日
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例子
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使用公式a（n）=a（floor（n/floor_pow4（n）））+a（n mod floor_pow5（n）
a（4）=a（1）+a（0）=1，
a（8）=a（2）+a（0）=1，
a（13）=a（3）+a（1）=2+1=3，
a（23）=a（1）+a（7）=1+a（1”+a（3）=1+1+2=4。
0,
1,
1,2,
1,2,2,3,
1,2,2,3,2,3,3,4,
1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,
1,2,2,3,2,3,3,4,2,3,3,4,3,4,4,5,2,3,3,4,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,5,6,
1,2,2,3,2,3,...
以零件列表形式连接n的组成（见注释）：
[#]：a（n）成分
[ 0]: [0] 1 1 1 1 1
[ 1]: [1] 1 1 1 2
[ 2]: [1] 1 1 2 1
[ 3]: [2] 1 1 3
[ 4]: [1] 1 2 1 1
[ 5]: [2] 1 2 2
[ 6]: [2] 1 3 1
[ 7]: [3] 1 4
[ 8]: [1] 2 1 1 1
[ 9]: [2] 2 1 2
[10]: [2] 2 2 1
[11]: [3] 2 3
[12]: [2] 3 1 1
[13] ：[3]3 2
[14]: [3] 4 1
[15]: [4] 5
（结束）
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MAPLE公司
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A000120号：=proc（n）局部w，m，i；w:=0；m：=n；当m>0时，i：=m mod 2；w:=w+i；m:=（m-i）/2；od；w；末端：重量：=A000120号;
带（位）：p:=n->ilog2（n-And（n，n-1））：seq（p（二项式（2*n，n）），n=0..200）#加里·德特利夫斯，2019年1月27日
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数学
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表[DigitCount[n，2，1]，{n，0，105}]
嵌套[扁平[#/.#->{#，#+1}]&，{0}，7](*罗伯特·威尔逊v2011年9月27日*）
表[Plus@@IntegerDigits[n，2]，｛n，0，104｝]
Log[2，Nest[Join[#，2#]&，{1}，14]]（*给出2^14项，卡洛斯·阿尔维斯2014年3月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，2*n-赋值（（2*n）！，2））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，subst（Pol（binary（n），x，1））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，a（n \ 2）+n%2）}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/
（PARI）a（n）=我的（v=二进制（n））；总和（i=1，#v，v[i]）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月24日
（PARI）a（n）=normal2（二进制（n））\\更好地使用{A000120号=hammingweight}-M.F.哈斯勒2012年10月9日，2020年2月27日编辑
（PARI）a（n）=重量（n）\\米歇尔·马库斯2013年10月19日
（通用Lisp）（deven floor-to-power（n pow）（declare（fixnum pow））（expt pow（floor（log n pow；Stephen K.Touset（Stephen（AT）Touset.org），2007年4月4日
（哈斯克尔）
导入数据。位（位，popCount）
a000120：：（整数t，位t）=>t->Int
a000120=popCount
a000120_list=0:c[1]其中c（x:xs）=x:c（xs++[x，x+1]）
--莱因哈德·祖姆凯勒，2013年8月26日，2012年2月19日，2011年6月16日，2010年3月7日
（哈斯克尔）
a000120=连接
其中r=[0]：（map.map）（+1）（scanl1（++）r）
（SageMath）
如果n<=1：返回整数（n）
（Python）
将numpy导入为np
（Python）#另请参阅链接。
（Scala）（0到127）.map（Integer.bitCount（_））//阿隆索·德尔·阿特2019年3月5日
（岩浆）[多重性（Intseq（n，2），1）：n in[0..104]]//马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日
（岩浆）[&+Intseq（n，2）：[0..104]]中的n//马吕斯·A·伯蒂2020年1月22日
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交叉参考
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以2-16为基数的n位数之和：此序列，A053735号,A053737号,A053824号,A053827号,A053828号,A053829号,A053830号,A007953号,A053831美元,A053832号,A053833号,A053834美元,A053835号,A053836号.
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关键字
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作者
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经核准的
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