0,4个

n的二元权重也称为n的Hamming权。[术语“汉明重量”是以美国数学家理查德·韦斯利·哈明（1915-1998）命名的-阿米拉姆埃尔达2021年6月16日]

a（n）也是2^a（n）除以二项式（2n，n）的最大整数=A000984号（n） 一-贝诺伊特·克罗伊特2002年3月27日

若要构造序列，请从0开始并使用规则：如果k>=0且a（0）、a（1）、…、a（2^k-1）是前2^k项，则接下来的2^k项是a（0）+1，a（1）+1，…，a（2^k-1）+1-贝诺伊特·克罗伊特2003年1月30日

分形序列的一个例子。也就是说，如果你省略了序列中的每一个数字，你就得到了原来的序列。当然这可以重复。所以如果你形成序列a（0*2^n），a（1*2^n），a（2*2^n），a（3*2^n）。。。（对于任何n>0的整数），都可以得到原始序列Christopher.Hills（AT）sepura.co.uk，2003年5月14日

帕斯卡三角形的第n行有2^k个不同的奇数二项式系数，其中k=a（n）-1-莱克莱·比达西2003年5月15日

态射的不动点0->01，1->12，2->23，3->34，4->45等，从a（0）=0开始-罗伯特·G·威尔逊五世2006年1月24日

a（n）是n在神秘计算器序列中出现的次数：A005408号,A042964号,A047566号,A115419号,A115420号,A115421号. -杰里米·加德纳2006年1月25日

a（n）是丢番图方程2^m*k+2^（m-1）+i=n的解的个数，其中m>=1，k>=0，0<=i<2^（m-1）；a（5）=2，因为只有（m，k，i）=（1，2，0）[2^1*2+2^0+0=5]和（m，k，i）=（3，0，1）[2^3*0+2^2+1=5]是解-希罗尼穆斯·菲舍尔2006年1月31日

k的第一次出现，k>=0，在a（2^k-1）处-罗伯特·G·威尔逊五世2006年7月27日

序列由T^（无穷）（0）给出，其中T是将任何单词w=w（1）w（2）…w（m）转换为T（w）=w（1）（w（1）+1）w（2）（w（2）+1）…w（m）（w（m）+1）的运算符。一、 即T（0）=01，T（01）=0112，T（0112）=011223-贝诺伊特·克罗伊特2009年3月4日

对于n>=2，a（k（2^n-1））不是n的倍数的最小k是2^n+3-弗拉基米尔·谢韦列夫2009年6月5日

三角不等式：a（k+m）<=a（k）+a（m）。当且仅当C（k+m，m）为奇数时，等式成立-弗拉基米尔·谢韦列夫2009年7月19日

值k在序列的前2^n项中的出现次数等于二项式（n，k），也等于数组中k列的前n-k+1项之和A071919号. 例如k=2，n=7：在a（0）到a（2^7-1）中有21=二项式（7,2）=1+2+3+4+5+6 2Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日，简化为R、 J.马萨2017年1月13日

设m是n的组成列表中的部分数，按字典顺序排列，a（k）=n-长度（组成（k）），对于所有k<2^n和所有n（参见示例）；A007895型给出了组成奇数部分的等价物-乔尔阿恩特2012年11月9日

从丹尼尔放弃了2015年3月13日：（开始）

只需将k行（二进制权重等于k）从0到2^n-1相加就可以得到二项式系数C（n，k）。（参见A007318型.)

0 1 3 7 15

0:O |。|。   . | .   .   .   . | .   .   .   .   .   .   .   . |

O年哦哦|

2:| | O | O|好的，好的|

3:| | | | O | O O|

4:| | | | O|

由于它的分形性质，这个序列听上去很有趣。

（结束）

n的二进制权重是n的数字和（以b为底）的一个特例-丹尼尔放弃了2015年3月13日

前n项的平均值比[a（n+1），…，a（2n）]的平均值小1，这也是[a（n+2），…，a（2n+1）]的平均值-完美的基督徒2015年4月2日

a（n）也是具有viabin数n的整数分区的最大部分。整数分区的viabin数定义如下。考虑整数分区的Ferrers板的东南边界，并考虑将每个东台阶替换为1并将每个北台阶（除了最后一个步骤）替换为0而得到的二进制数。根据定义，相应的十进制形式是给定整数分区的viabin数。“Viabin”是从“via binary”派生出来的。例如，考虑整数分区[2，2，2，1]。它的费雷斯板的东南边界产量为10100，导致维亚宾20号-德国金刚砂2017年7月20日

a（n）也被称为n的二进制表示的总体计数-柴华武2020年5月19日

《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第页。119

Donald E.Knuth，计算机编程艺术，第4A卷，组合算法，第7.1.3节，问题41，p。589年-N、 斯隆2012年8月3日

曼弗雷德R施罗德，分形，混沌，幂律。W、 H.弗里曼，1991年，p。383

N、 J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

N、 J.A.斯隆，n=0..10000时的n，a（n）表

Franklin T.Adams Watters和Frank Ruskey，数字和与其它数字计数序列的生成函数，JIS，第12卷（2009年），第09.5.6条。

Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，k-正则序列的环，理论计算机科学，第98卷（1992年），第163-197页。(作者网页上的PS文件。)

Jean-Paul Allouche，Jeffrey Shallit和Jonathan Sondow，由数字块计数定义的级数求和，arXiv:math/0512399[math.NT]，2005-2006年。

Jean-Paul Allouche，Jeffrey Shallit和Jonathan Sondow，由数字块计数定义的级数求和《数论》，第123卷（2007年），第133-143页。

理查德·贝尔曼和哈罗德·夏皮罗，关于可加数论中的一个问题《数学年鉴》，第49卷，第2期（1948年），第333-340页-N、 斯隆2009年3月12日

让·科奎特，数字和的幂和《数论》，第22卷，第2期（1986年），第161-176页。

卡尔·迪尔彻和拉里·埃里克森，双曲展开式与斯特恩多项式，Elec.J.Combin，第22卷（2015年），#第2.24页。

Josef Eschgfäller和Andrea Scarpante，二分随机数发生器，arXiv:1603.08500[math.CO]，2016年。

艾曼纽·费朗，泰勒公式的变形《整数序列杂志》，第10卷（2007年），第07.1.7条。

史蒂芬·R·芬奇，帕斯卡·塞巴和扎伊·乔拜，帕斯卡三项式三角形中的奇数项，arXiv:0802.2654[math.NT]，2008年。

Philippe Flajolet，Peter Grabbner，Peter Kirshenhofer，Helmut Prodinger和Robert F.Tichy，梅林变换与渐近：数字和，理论。《计算机科学》，第123卷，第2期（1994年），第291-314页。

迈克尔·吉兰，一些自相似整数序列.

P、 J.Grabber，P.Kirschenhofer，H.Prodinger和R.F.Tichy，关于数和函数的矩《应用程序》第5卷。杜德雷赫特出版社，1993年，263-271。

罗纳德·L·格雷厄姆，关于本原图与最优顶点配置，实习医生。组合形态。数学。（纽约，1970年），《纽约科学院年鉴》，第1751970卷，第170-186页。

Khodabakhsh Hessami Pilehrood和Tatiana Hessami Pilehrood，广义Euler常数函数及其导数值的Vacca型级数，J.整数序列，第13卷（2010年），第10.7.3条。

尼克·霍布森，这个序列的Python程序.

凯西·Q·吉和赫伯特·S·威尔夫，极端回文，arXiv:math/0611465[math.CO]，2006年。

盖伊·卢查德和赫尔穆特·普罗丁格，一个整数和一些非接触的Shallit类型标识组成的最大缺失值，J.Int.Seq.，第16卷（2013年），第13.2.2条。

J、 -L.Mauclaire和Leo Murata，关于q-加性函数，I，过程。日本Acad。爵士。数学。《科学》，第59卷，第6号（1983年），第274-276页。

J、 -L.Mauclaire和Leo Murata，关于q-加性函数，II，过程。日本Acad。爵士。数学。《科学》，第59卷，第9号（1983年），第441-444页。

M、 D.麦克罗伊，二元整数中1的个数：界与极值性质《暹罗计算机杂志》，第3卷（1974年），第255-261页。

克里·米切尔，整数序列的螺旋型图像2013年。

山姆·诺斯盾，斯特恩双原子序列0,1,1,2,1,3,2,3,1,4，。。。，艾默尔。数学。月，第117卷，第7期（2010年），第581-598页。

提奥芬尼·E·拉普蒂斯，归纳组合层次中的有限信息数，arXiv:1805.06301【物理学通用博士】，2018年。

卡洛·桑娜，具有不同位数和的整数的算术级数《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.8.1条-N、 斯隆2012年12月29日

南茜·史密斯，问题B-82，小谎。夸脱，第4卷，第4期（1966年），第374-375页。

乔纳森·桑多，Euler常数及其“交替”模拟ln4/Pi的Vacca型有理级数，arXiv:数学/0508042[math.NT]2005年；加性数论，D.和G.Chudnovsky，eds.，Springer，2010年，第331-340页。

拉尔夫·斯蒂芬，具有（相对）简单普通母函数的分治序列2004年。

拉尔夫·斯蒂芬，生成函数表.

拉尔夫·斯蒂芬，分而治之生成函数。一、 初等序列，arXiv:math/0307027[math.CO]，2003年。

肯尼斯·B·斯托拉斯基，与二项式系数奇偶性相关的数字和的幂和与指数和，暹罗应用。数学，第32卷（1977年），第717-730页。见B（n）-N、 斯隆2014年4月5日

J、 特罗洛普，二进制数字和的显式表达式数学。杂志，第41卷，第1期（1968年），第21-25页。

罗伯特·沃克，自相似数序列.

埃里克·韦斯坦的数学世界，二元的,数字计数,斯托拉斯基哈伯斯常数,数字和.

维基百科，汉明重量.

Wolfram研究所，帕斯卡三角形中的数.

“核心”序列的索引项

与n的二进制展开有关的序列的索引项

哥伦比亚或自编号和相关序列的索引条目

作为映射不动点的序列的索引项

a（0）=0，a（2*n）=a（n），a（2*n+1）=a（n）+1。

a（0）=0，a（2^i）=1；否则，如果n=2^i+j且0<j<2^i，a（n）=a（j）+1。

G、 f.：乘积{k>=0}（1+y*x^（2^k））=和{n>=0}y^a（n）*x^n-N、 斯隆2009年6月4日

a（n）=a（n-1）+1-A007814号（n） =对数2(A001316型（n） ）=2n-A005187号（n）=A070939号（n）-A023416号（n） 一-亨利·巴特利2001年4月4日；更正人拉尔夫·斯蒂芬2002年4月15日

a（n）=对数2(A000984号（n）/A001790号（n） ）-贝诺伊特·克罗伊特2002年10月2日

对于n>0，a（n）=n-和{k=1..n}A007814号（k） 一-贝诺伊特·克罗伊特2002年10月19日

a（n）=n-和{k>=1}层（n/2^k）=n-A011371型（n） 一-贝诺伊特·克罗伊特2002年12月19日

G、 f.：（1/（1-x））*和{k>=0}x^（2^k）/（1+x^（2^k））-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月19日

a（0）=0，a（n）=a（n-2^楼层（log2（n）））+1。例：a（6）=a（6-2^2）+1=a（2-2^1）+1+1=a（0）+2=2；a（101）=a（101-2^6）+1=a（37）+1=a（37-2^5）+2=a（5-2^2）+3=a（1-2^0）+4=a（0）+4=4；a（6275）=a（6275-2^12）+1=a（2179-2^11）+2=a（131-2^7）+3=a（3-2^1）+4=a（1-2^0）+5=5；a（4129）=a（4129-2^12）+1=a（33-2^5）+2=a（1-2^0）+3=3-希罗尼穆斯·菲舍尔2006年1月22日

映射0->01，1->12，2->23，3->34，4->45。。。当f（i）=floor（n/2^i），a（n）是序列f（0）、f（1）、f（2）、f（3）、f（4）、f（5）中的奇数-菲利普·德莱厄姆2004年1月4日

当read mod 2给出Morse-Thue序列时A010060型.

让floor_pow4（n）表示n四舍五入到四的下一次幂，floor_pow4（n）=4^ floor（log4 n）。则a（0）=0，a（1）=1，a（2）=1，a（3）=2，a（n）=a（地板（n/地板功率4（n））+a（n%地板功率4（n））。-Stephen（2007年4月），图斯克出版社

a（n）=n-和{k=2..n}和{j | n，j>=2}（floor（log_2（j））—地板（log_2（j-1）））-希罗尼穆斯·菲舍尔2007年6月18日

a（n）=邮编：A138530（n，2）对于n>1-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月26日

a(A077436号（n） ）=邮编：A159918(A077436号（n） ）；a(A000290型（n） ）=邮编：A159918（n） 一-莱因哈德·祖姆凯勒2009年4月25日

a（n）=A063787号（n）-A007814号（n） 一-加里·W·亚当森2009年6月4日

a（n）=A007814号（C（2n，n））=1+A007814号（C（2n-1，n））-弗拉基米尔·谢韦列夫2009年7月20日

对于奇数m>=1，a（（4^m-1）/3）=a（（2^m+1）/3）+（m-1）/2（mod 2）-弗拉基米尔·谢韦列夫2010年9月3日

a（n）-a（n-1）={1-a（n-1）当且仅当A007814号（n） =a（n-1），1当且仅当A007814号（n） =0，-1表示所有其他A007814号（n） }.-Brent Spillner（Spillner（AT）acm.org），2010年9月1日

a(A001317型（n） ）=2^a（n）-弗拉基米尔·谢韦列夫2010年10月25日

a（n）=A139351号（n）+邮编：A139352（n） =总和{A030308号（n，k）}-菲利普·德莱厄姆2011年10月14日

从希罗尼穆斯·菲舍尔2012年6月10日：（开始）

a（n）=和{j=1..m+1}（楼层（n/2^j+1/2））-楼层（n/2^j）），其中m=楼层（log2（n））。

n的基p表示中>=d位数的一般公式，其中1<=d<p:a（n）=Sum{j=1..m+1}（floor（n/p^j+（p-d）/p）-floor（n/p^j）），其中m=floor（log_p（n））；g、 f.：g（x）=（1/（1-x））*和{j>=0}（x^（d*p^j）-x^（p*p^j））/（1-x^（p*p^j））。（结束）

a（n）=A213629号（n，1）对于n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月4日

a（n）=A240857号（n，n）-莱因哈德·祖姆凯勒2014年4月14日

a（n）=对数2（C（2*n，n）-（C（2*n，n）和C（2*n，n）-1））-加里·德特勒夫斯2014年7月10日

和{n>=1}a（n）/2n（2n+1）=（伽马+对数（4/Pi））/2=A344716飞机，其中gamma是欧拉常数A001620型; 见Sondow 2005、2010和Allouche，Shallit，Sondow 2007-乔纳森·桑多2015年3月21日

对于任何整数基b>=2，n的展开基b的位数s_b（n）就是这个递推关系的解：如果n=0，s_b（n）=0，s_b（n）=s_b（floor（n/b））+（n mod b）。因此，a（n）满足：如果n=0且a（n）=a（楼层（n/2））+（n mod 2），则a（n）=0。这很容易得到一个（n）=和{i=0..floor（log2（n））}（floor（n/2^i）mod 2）。由此可以计算出（n）=n-Sum{i=1..floor（log2（n））}floor（n/2^i）-马雷克·A·苏切内克2016年3月31日

和{k>=1}a（k）/2^k=2*和{k>=0}1/（2^（2^k）+1）=2*A051158. -阿米拉姆埃尔达2020年5月15日

和{k>=1}a（k）/（k*（k+1））=A016627号=对数（4）-伯纳德·肖特2020年9月16日

a（m*（2^n-1））>=n。当2^n-1>=A000265型（m） ，但在其他一些情况下，例如a（11*（2^2-1））=2和a（19*（2^3-1））=3-博姆森2020年12月13日

使用公式a（n）=a（地板（n/地板功率4（n））+a（n%地板功率4（n））：

a（4）=a（1）+a（0）=1

a（8）=a（2）+a（0）=1

a（13）=a（3）+a（1）=2+1=3

a（23）=a（1）+a（7）=1+a（1）+a（3）=1+1+2=4

加里·W·亚当森指出（2009年6月3日）这可以写成三角形：

0，

1个，

1，2，

1,2,2,3，

1,2,2,3,2,3,4，

1,2,2,3,2,3,4,2,3,3,4,3,4,3,4,5，

1,2,2,3,2,3,4,2,3,3,4,3,4,3,4,5,2,3,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,4,5,5,6，

1,2,2,3,2,3，。。。

一排排人聚集的地方A063787号.

从奥马尔·E·波尔2009年6月7日：（开始）

同样，三角形开始于：

0；

1,1；

2,1,2,2；

3,1,2,2,3,2,3,3；

4,1,2,2,3,2,3,4,2,3,3,4,1,2,3,3,4；

5,1,2,2,3,2,3,4,2,3,3,4,3,4,3,4,5,2,3,3,4,5,3,4,5,3,4,4,5,4,5,5,5；

6,1,2,2,3,2,3,4,2,3,3,4,3,4,3,4,5,2,3,3,4,5,3,4,4,5,5,4,5,6,2,3,4，。。。

（结束）

从乔尔阿恩特2012年11月9日：（开始）

以零件清单形式连接到n的组成部分（见注释）：

[#]：a（n）成分

[1]0号文件：

[1]：[1]1 1 1 2

[2]：[1]1 1 2 1

[3]：[2]1 1 3

[4]：[1]1 2 1 1

[5]：[2]1 2 2

[6]：[2]1 3 1

【7】：【3】14

[8]：[1]2 1 1 1 1

[9]：[2]2 1 2

[10] ：[2]2 2 2 1

[11] ：[3]2 3

[12] ：[2]3 1 1

[13] ：[3]3 2

[14] ：[3]4 1

[15] ：[4]5号

（结束）

A000120型：=过程（n）局部w，m，i；w:=0；m:=n；当m>0时，do i：=m mod 2；w:=w+i；m：=（m-i）/2；外径；w；结束：重量：=A000120型;

A000120型：=n->add（i，i=convert（n，base，2））：#彼得·卢什尼2011年2月3日

有（位）：p:=n->ilog2（n-和（n，n-1））：seq（p（二项式（2*n，n）），n=0..200）#加里·德特勒夫斯2019年1月27日

表[DigitCount[n，2，1]，{n，0，105}]

嵌套[Flatten[#/.#->{(*罗伯特·G·威尔逊五世2011年9月27日*）

表[Plus@@整数位数[n，2]，{n，0，104}]

Nest[Join[#，#+1]&，{0}，7](*岩本裕基2012年7月19日*）

Log[2，Nest[Join[#，2#]&，{1}，14]]（*给出2^14项，卡洛斯·阿尔维斯2014年3月30日*）

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，2*n-赋值（（2*n）！，2））}；

（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，subst（Pol（二进制（n）），x，1））}；

（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，a（n\2）+n%2）}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/

（PARI）a（n）=my（v=二进制（n））；总和（i=1，v，v[i]）\\查尔斯R格雷特豪斯四世2011年6月24日

（PARI）a（n）=norml2（二进制（n））\\更好地使用{A000120型=hammingweight}-M、 哈斯勒2012年10月9日，2020年2月27日编辑

（PARI）a（n）=汉明重量（n）\\米歇尔·马库斯2013年10月19日

（Common LISP）（defun floor to power（n pow）（declare（fixnum pow））（expt pow（floor（log n pow））））（defun启用位（if（<n 4）（n-th n（list 0 1 1 2））（+（启用位（floor（/n（floor to power n 4）））（启用位（mod n（floor to power n 4））））））；Stephen K.Touser（Stephen（AT）touser.org），2007年4月4日

请参阅中的链接A139351号Fortran程序。

（哈斯克尔）

导入数据。位（Bits，popCount）

a000120:：（整数t，位t）=>t->Int

a000120=人口数

a000120_list=0:c[1]，其中c（x:xs）=x:c（xs++[x，x+1]）

--莱因哈德·祖姆凯勒，2013年8月26日，2012年2月19日，2011年6月16日，2011年3月7日

（哈斯克尔）

a000120=混凝土r

其中r=[0]：（map.map）（+1）（扫描1（++）r）

--卢克·帕尔默2014年2月16日

（圣人）

定义A000120型（n） 公司名称：

如果n<=1：返回整数（n）

返回A000120型（n//2）+n%2

[A000120型（n） 对于范围内的n（105）]#彼得·卢什尼2012年11月19日

（鼠尾草）定义A000120型（n） ：返回和（n位数字（2））#埃里克施密特2013年4月26日

（Python）定义A000120型（n） ：返回bin（n）.count（'1'）#柴华武2014年9月3日

（Scala）（0到127）.map（整数。位计数（）//阿隆索·德尔阿尔特2019年3月5日

（岩浆）[多重性（Intseq（n，2），1）：n in[0..104]]//马吕斯·A·伯提亚2020年1月22日

（岩浆）[&+Intseq（n，2）：n in[0..104]]//马吕斯·A·伯提亚2020年1月22日

关于n的二元展开的基本序列是这个，A000788号,A000069号,A001969号,A023416号,A059015型,A007088号.

部分和见A000788号. 有关行程长度，请参见A131534号. 另请参见A001792号,A010062型.

n中的0数：A023416号和A080791号.

a（n）=n-A011371型（n） 一。

以2-16为基数的n的位数和：这个序列，A053735号,A053737型,A053824号,A053827型,A053828号,A053829号,A053830,A007953号,A053831号,A053832号,A0833年,A053834号,A053835号,A053836号.

囊性纤维变性。A001620型,A344716飞机,A007814号.

这是盖伊·斯蒂尔的序列GS（3，4）（参见邮编：A135416).

囊性纤维变性。A055640,A055641号,A102669号-A102685号,A117804年,A122840号,A122841号,A160093号,邮编：A160094,邮编：A196563,邮编：A196564（以10为基数）。

囊性纤维变性。A230952号（布氏变换）。

囊性纤维变性。A070939号（n的二进制表示长度）。

上下文顺序：A10506号 A105061号 A105164*A105062号 A106487号 A105102号

相邻序列：A000117号 A000118号 A000119号*A000121号 A000122号 A000123号

不,容易的,核心,美好的,听到,看,基础

N、 斯隆

经核准的