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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000120型 1s-计数序列:n的二进制展开(或n的二进制权重)中的1个数。
(原M0105 N0041)
1377
1、1、1、1、2、1、2、2、3、1、2、2、3、1、2、2、2、3、2、3、3、3、3、3、3、2、2、3、3、4、2、3、3、4、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3、4、3、3、4、4、4、4、5、5、3、5、2、2、2、2、3、3、3、3、3、4、4、5、4、4、4、4、4、4、4、4、4、4、5、5、5、6、1、2、2、2、2、2、3、2、3、2、3、3、3、3、3、3、3、3、3、3 4,3,4,4,5,2,3,3,4,5,3,4,4,5,6,2,3,3,4,4,4,4,5,5,6,2,3,3,4,3,4,5,3 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,4个

评论

n的二元权重也称为n的Hamming权。

a(n)也是2^a(n)除以二项式(2n,n)的最大整数=A000984号(n) 一。-贝诺伊特·克罗伊特2002年3月27日

若要构造序列,请从0开始并使用规则:如果k>=0且a(0)、a(1)、…、a(2^k-1)是2^k的第一个项,那么接下来的2^k项是a(0)+1,a(1)+1,…,a(2^k-1)+1。-贝诺伊特·克罗伊特2003年1月30日

分形序列的一个例子。也就是说,如果你省略了序列中的每一个数字,你就得到了原来的序列。当然这可以重复。所以如果你形成序列a(0*2^n),a(1*2^n),a(2*2^n),a(3*2^n)。。。(对于任何整数n>0),您将得到原始序列。-Christopher.Hills(AT)sepura.co.uk,2003年5月14日

帕斯卡三角形的第n行有2^k个不同的奇数二项式系数,其中k=a(n)-1。-莱克莱·比达西2003年5月15日

态射的不动点0->01,1->12,2->23,3->34,4->45等,从a(0)=0开始。-罗伯特·G·威尔逊五世2006年1月24日

a(n)=n在神秘计算器序列中出现的次数:A005408号,A042964号,A047566号,A115419号,A115420号,A115421号. -杰里米·加德纳2006年1月25日

a(n)=丢番图方程2^m*k+2^(m-1)+i=n,其中m>=1,k>=0,0<=i<2^(m-1);a(5)=2,因为只有(m,k,i)=(1,2,0)[2^1*2+2^0+0=5]和(m,k,i)=(3,0,1)[2^3*0+2^2+1=5]是解。-希罗尼穆斯·菲舍尔2006年1月31日

k的第一次出现,k>=0,在a(2^k-1)处。-罗伯特·G·威尔逊五世2006年7月27日

序列由T^(无穷)(0)给出,其中T是将任何单词w=w(1)w(2)…w(m)转换为T(w)=w(1)(w(1)+1)w(2)(w(2)+1)…w(m)(w(m)+1)的运算符。一、 即T(0)=01,T(01)=0112,T(0112)=011223。-贝诺伊特·克罗伊特2009年3月4日

对于n>=2,a(k(2^n-1))不是n的倍数的最小k是2^n+3。-弗拉基米尔·谢韦列夫2009年6月5日

三角不等式:a(k+m)<=a(k)+a(m)。当且仅当C(k+m,m)为奇数时,等式成立。-弗拉基米尔·谢韦列夫2009年7月19日

值k在序列的前2^n项中的出现次数等于二项式(n,k),也等于数组中k列的前n-k+1项之和A071919号. 以k=2,n=7为例:a(0)到a(2^7-1)中有21=二项式(7,2)=1+2+3+4+5+62。-Brent Spillner(Spillner(AT)acm.org),2010年9月1日,简化为R、 J.马萨2017年1月13日

设m是n的组成列表中的部分数,按字典顺序排列,a(k)=n-长度(组成(k)),对于所有k<2^n和所有n(参见示例);A007895型给出了组成奇数部分的等价物。-乔尔阿恩特2012年11月9日

丹尼尔放弃了2015年3月13日:(开始)

只需将k行(二进制权重等于k)从0到2^n-1相加就可以得到二项式系数C(n,k)。(参见A007318型.)

0 1 3 7 15

0:O |。| .   . | .   .   .   . | .   .   .   .   .   .   .   . |

1:| O | O。|哦。|哦。|

2:| | O | O。|好的,好的。|

3:| | | | O | O O。|

4:| | | | O|

由于它的分形性质,这个序列听上去很有趣。

(结束)

n的二进制权重是n的数字和(以b为底)的一个特例-丹尼尔放弃了2015年3月13日

前n项的平均值比[a(n+1),…,a(2n)]的平均值小1,这也是[a(n+2),…,a(2n+1)]的平均值。-完美的基督徒2015年4月2日

a(n)也是整数分区的最大部分,整数分区的viabin数按以下方式定义。考虑整数分区的Ferrers板的东南边界,并考虑将每个东台阶替换为1并将每个北台阶(除了最后一个步骤)替换为0而得到的二进制数。根据定义,相应的十进制形式是给定整数分区的viabin数。”“Viabin”是由“via binary”产生的。例如,考虑整数分区[2,2,2,1]。它的费雷斯板的东南边界产量为10100,导致维亚宾20号。-德国金刚砂2017年7月20日

a(n)也被称为n的二进制表示的总体计数-柴华武2020年5月19日

参考文献

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链接

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埃里克·韦斯坦的数学世界,二元的,数字计数,斯托拉斯基哈伯斯常数,数字和.

维基百科,汉明重量

Wolfram研究所,帕斯卡三角形中的数

“核心”序列的索引项

与n的二进制展开有关的序列的索引项

哥伦比亚或自编号和相关序列的索引条目

作为映射不动点的序列的索引项

公式

a(0)=0,a(2*n)=a(n),a(2*n+1)=a(n)+1。

a(0)=0,a(2^i)=1;否则,如果n=2^i+j且0<j<2^i,a(n)=a(j)+1。

G、 f.:乘积{k>=0}(1+y*x^(2^k))=和{n>=0}y^a(n)*x^n-N、 斯隆2009年6月4日

a(n)=a(n-1)+1-A007814号(n) =对数2(A001316型(n) )=2n-A005187号(牛)=A070939号(n)-A023416号(n) 一。-亨利·巴特利,2001年4月4日;更正人斯蒂芬拉兰2002年4月15日

a(n)=对数2(A000984号(n)/A001790号(n) )。-贝诺伊特·克罗伊特2002年10月2日

对于n>0,a(n)=n-和{k=1..n}A007814号(k) 一。-贝诺伊特·克罗伊特2002年10月19日

a(n)=n-和{k>=1}层(n/2^k)=n-A011371型(n) 一。-贝诺伊特·克罗伊特2002年12月19日

G、 f.:(1/(1-x))*和{k>=0}x^(2^k)/(1+x^(2^k))。-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月19日

a(0)=0,a(n)=a(n-2^log_2(楼层(n)))+1。例如:a(6)=a(6)=a(6-2^2)+1=a(2(2)+1=a(2-2^1)+1+1=a(0)+2=2=2;a(101)=a(101-2^6)+1=a(37)+1=a(37-2 2^5)+2=a(5-2^2)+3=3=a(1-2^0)+4=a(a(0)+4=4=4;a(6275)=a(6275-2^12)+1(6275-2^12)+1=a(21779-2^11)+2=a(2^11)+2=a(131-2^7)+3=a(3=a(3(3-3-2-2^0)+5=5;a(4129)=a(4129-2^12)+1=a(33-2^5)+2=a(1-2^0)+3=3。-希罗尼穆斯·菲舍尔2006年1月22日

映射0->01,1->12,2->23,3->34,4->45。。。当f(i)=floor(n/2^i),a(n)是序列f(0)、f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、f(5)中的奇数。。。-菲利普·德莱厄姆2004年1月4日

当read mod 2给出Morse-Thue序列时A010060型.

让floor_pow4(n)表示n四舍五入到四的下一次幂,floor_pow4(n)=4^ floor(log4 n)。则a(0)=0,a(1)=1,a(2)=1,a(3)=2,a(n)=a(地板(n/地板功率4(n))+a(n%地板功率4(n))。-Stephen K.Touser(Stephen(AT)touser.org),2007年4月4日

a(n)=n-和{k=2..n}和{j | n,j>=2}(floor(log_2(j))—地板(log_2(j-1)))。-希罗尼穆斯·菲舍尔2007年6月18日

a(n)=邮编:A138530(n,2)对于n>1。-莱因哈德·祖姆凯勒2008年3月26日

a(A077436号(n) )=邮编:A159918(A077436号(n) );a(A000290型(n) )=邮编:A159918(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2009年4月25日

a(n)=A063787号(n)-A007814号(n) 一。-加里·W·亚当森2009年6月4日

a(n)=A007814号(C(2n,n))=1+A007814号(C(2n-1,n))。-弗拉基米尔·谢韦列夫2009年7月20日

对于奇数m>=1,a((4^m-1)/3)=a((2^m+1)/3)+(m-1)/2(mod 2)。-弗拉基米尔·谢韦列夫2010年9月3日

a(n)-a(n-1)={1-a(n-1)当且仅当A007814号(n) =a(n-1),1当且仅当A007814号(n) =0,-1表示所有其他A007814号(n) }。-2010年9月1日(2010年9月1日),Spillner组织

a(A001317型(n) )=2^a(n)。-弗拉基米尔·谢韦列夫2010年10月25日

a(n)=A139351号(n)+邮编:A139352(n) =总和{A030308号(n,k)}。-菲利普·德莱厄姆2011年10月14日

希罗尼穆斯·菲舍尔2012年6月10日:(开始)

a(n)=和{j=1..m+1}(楼层(n/2^j+1/2))-楼层(n/2^j)),其中m=楼层(log2(n))。

n的基p表示中位数>=d的一般公式,其中1<=d<p:a(n)=Sum{j=1..m+1}(floor(n/p^j+(p-d)/p)-floor(n/p^j)),其中m=floor(log_p(n));g.f.:g(x)=(1/(1-x))*Sum{j>=0}(x^(d*p^j)-x^(p*p^j))/(1-x^(p*p^j))。(结束)

a(n)=A213629号(n,1)对于n>0。-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月4日

a(n)=A240857号(n,n)。-莱因哈德·祖姆凯勒2014年4月14日

a(n)=对数2(C(2*n,n)-(C(2*n,n)和C(2*n,n)-1))。-加里·德特勒夫斯2014年7月10日

和{n>=1}a(n)/2n(2n+1)=(gamma+log(4/Pi))/2,其中gamma是欧拉常数A001620型;见Sondow 2005、2010和Allouche,Shallit,Sondow 2007。-乔纳森·桑多2015年3月21日

对于任何整数基b>=2,n的展开基b的位数s_b(n)就是这个递推关系的解:如果n=0,s_b(n)=0,s_b(n)=s_b(floor(n/b))+(n mod b)。因此(n/a)=0(n/a)=0(n/2)。这很容易得到一个(n)=和{i=0..floor(log2(n))}(floor(n/2^i)mod 2)。由此可以计算出(n)=n-Sum{i=1..floor(log2(n))}floor(n/2^i)。-马雷克·A·苏切内克2016年3月31日

和{k>=1}a(k)/2^k=2*和{k>=0}1/(2^(2^k)+1)=2*A051158. -阿米拉姆2020年5月15日

和{k>=1}a(k)/(k*(k+1))=A016627号=对数(4)。-伯纳德·肖特2020年9月16日

例子

a(4)=a(0)+a(0)=0

a(8)=a(2)+a(0)=1

a(13)=a(3)+a(1)=2+1=3

a(23)=a(1)+a(7)=1+a(1)+a(3)=1+1+2=4

加里·W·亚当森指出(2009年6月3日)这可以写成三角形:

0,

1个,

1,2,

1,2,2,3,

1,2,2,3,2,3,4,

1,2,2,3,2,3,4,2,3,3,4,3,4,3,4,5,

1,2,2,3,2,3,4,2,3,3,4,3,4,3,4,5,2,3,3,4,4,5,3,4,4,5,4,5,4,5,5,6,

1,2,2,3,2,3,。。。

一排排人聚集的地方A063787号.

奥马尔·E·波尔2009年6月7日:(开始)

同样,三角形开始于:

0;

1,1;

2,1,2,2;

3,1,2,2,3,2,3,3;

4,1,2,2,3,2,3,4,2,3,3,4,1,2,3,3,4;

5,1,2,2,3,2,3,4,2,3,3,4,3,4,3,4,5,2,3,3,4,5,3,4,5,3,4,4,5,4,5,5,5;

6,1,2,2,3,2,3,4,2,3,3,4,3,4,3,4,5,2,3,3,4,5,3,4,4,5,5,4,5,6,2,3,4,。。。

(结束)

乔尔阿恩特2012年11月9日:(开始)

以零件清单形式连接到n的组成部分(见注释):

[#]:a(n)成分

[0]:[0]1 1 1 1 1 1

[1]:[1]1 1 1 2

[2]:[1]1 1 2 1

[3]:[2]1 1 3

[4]:[1]1 2 1 1

[5]:[2]1 2 2

[6]:[2]1 3 1

【7】:【3】14

[8]:[1]2 1 1 1 1

[9]:[2]2 1 2

[10] :[2]2 2 2 1

[11] :[3]2 3

[12] :[2]3 1 1

[13] :[3]3 2

[14] :[3]4 1

[15] :[4]5号

(结束)

枫木

A000120型:=过程(n)局部w,m,i;w:=0;m:=n;当m>0 do i时:=m mod 2;w:=w+i;m:=(m-i)/2;od;w;结束:wt:=A000120型;

A000120型:=n->add(i,i=convert(n,base,2)):#彼得·卢什尼2011年2月3日

有(位):p:=n->ilog2(n-和(n,n-1)):seq(p(二项式(2*n,n)),n=0..200)#加里·德特勒夫斯2019年1月27日

数学

表[DigitCount[n,2,1],{n,0,105}]

嵌套[展平[#/。#->{0},7](*罗伯特·G·威尔逊五世2011年9月27日*)

表[Plus@@整数位数[n,2],{n,0,104}]

Nest[Join[#,#+1]&,{0},7](*岩本裕基2012年7月19日*)

Log[2,Nest[Join[#,2#]&,{1},14]](*给出2^14项,卡洛斯·阿尔维斯2014年3月30日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,2*n-赋值((2*n)!,2))};

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,subst(Pol(二进制(n)),x,1))};

(PARI){a(n)=如果(n<1,0,a(n\2)+n%2)}/*迈克尔·索莫斯2004年3月6日*/

总和(i=v)\\查尔斯R格雷特豪斯四世2011年6月24日

(PARI)a(n)=norml2(二进制(n))\\更好地使用{A000120型=hammingweight}。-M、 哈斯勒2012年10月9日,2020年2月27日编辑

(PARI)a(n)=汉明重量(n)\\米歇尔·马库斯2013年10月19日

(Common LISP)(defun floor to power(n pow)(declare(fixnum pow))(expt pow(floor(log n pow))))(defun启用位(n)(if(<n 4)(n-th n(list 0 1 1 1 2))(+(启用位(floor(/n(floor to power n 4))))(enabled bits(mod n(floor to power n 4)))));Stephen K.touser(Stephen(AT)touser.org),2007年4月4日

请参阅中的链接A139351号Fortran程序。

(哈斯克尔)

导入数据。位(Bits,popCount)

a000120::(整数t,位t)=>t->Int

a000120=人口数

a000120_list=0:c[1],其中c(x:xs)=x:c(xs++[x,x+1])

--莱因哈德·祖姆凯勒,2013年8月26日,2012年2月19日,2011年6月16日,2011年3月7日

(哈斯克尔)

a000120=混凝土r

其中r=[0]:(map.map)(+1)(扫描1(++)r)

--卢克·帕默2014年2月16日

(圣人)

定义A000120型(n) 公司名称:

如果n<=1:返回整数(n)

返回A000120型(n//2)+n%2

[A000120型(n) 对于范围内的n(105)]#彼得·卢什尼2012年11月19日

(鼠尾草)定义A000120型(n) :返回和(n位数字(2))#埃里克施密特2013年4月26日

(Python)定义A000120型(n) :返回bin(n).count('1')#吴柴华2014年9月3日

(Scala)(0到127).map(整数。位计数()//阿隆索·德尔阿尔特2019年3月5日

(岩浆)[多重性(Intseq(n,2),1):n in[0..104]]//马吕斯·A·伯提亚2020年1月22日

(岩浆)[&+Intseq(n,2):n in[0..104]]//马吕斯·A·伯提亚2020年1月22日

交叉引用

关于n的二元展开的基本序列是这个,A000788号,A000069号,A001969号,A023416号,A059015型,A007088号.

部分和见A000788号. 有关行程长度,请参见A131534号. 另请参见A001792号,A010062型.

n中的0数:A023416号A080791号.

a(n)=n-A011371型(n) 一。

以2-16为基数的n的位数和:这个序列,A053735号,A053737型,A053824号,A053827型,A053828号,A053829号,A053830,A007953号,A053831号,A053832号,A053833号,A053834号,A053835号,A053836号.

囊性纤维变性。A001620型,A007814号.

这是盖伊·斯蒂尔的序列GS(3,4)(参见邮编:A135416).

囊性纤维变性。A055640,A055641号,A102669号-A102685号,A117804年,A122840号,A122841号,A160093号,邮编:A160094,邮编:A196563,邮编:A196564(以10为基数)。

囊性纤维变性。A230952号(布氏变换)。

囊性纤维变性。A070939号(n的二进制表示长度)。

上下文顺序:A10506号 A105061号 A105164*A105062号 A106487号 A105102号

相邻序列:A000117号 A000118号 A000119号*A000121号 A000122号 A000123号

关键字

,容易的,核心,美好的,听到,,基础,改变

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年9月26日23:32。包含337378个序列。(运行在oeis4上。)