%I M1581 N0616#728 2024年4月14日03:46:30

%S 0,2,6,12,20,30,42,56,72,90110132156182210240272306342380，

%电话：4204625065526006507027568128709309921056112211901260，

%电话：13321406148215601640172218061892119802070216222523524502550

%N Oblong（或promic、pronic或heteromecic）数字：a（N）=N*（N+1）。

%C4*a（n）+1是奇数平方A016754（n）。

%C“发音”一词（迪克森使用）不正确_迈克尔·索莫斯_

%根据韦伯斯特第二版，正确的单词是“promic”_R.K.盖伊_

%C a（n）是根晶格a_n中的最小向量数（见Conway和Sloane，第109页）。

%C设M_n表示n×n矩阵M_n（i，j）=（i+j）；那么M_n的特征多项式是x^（n-2）*（x^2-a（n）*x-A002415（n））_Benoit Cloitre_，2002年11月9日

%C对于n>1，j<k<=n，所有对（j，k）的最大LCM。-_Robert G.Wilson v_，2004年6月19日

%C第一个差异是a（n+1）-a（n）=2*n+2=2，4，6。。。（而平方的第一个差是（n+1）^2-n^2=2*n+1=1，3，5，…）_Alexandre Wajnberg_，2005年12月29日

%附加在这些数字后面的C 25对应于以5结尾的数字的平方（即A017329的平方）_Lekraj Beedassy，2006年3月24日

%C一种快速（心理）乘法/因式分解技术——Lekraj Beedassy评论的推广：对于所有基b>=2和正整数n，C，d，k与C+d=b^k，我们有（n*b^k+C）*（n*b ^k+d）=A（n）*b^（2*k）+C*d。因此乘积的最后2*k个基-b数字正好是C*d的数字，包括前导0（s）根据需要--前面的以b为基数的数字与a（n）的数字相同。示例：十进制中，113*117=13221（n=11，b=10=3+7，k=1，3*7=21，a（11）=132）；在八进制中，61×67=5207（52是八进制中的a（6））。特别是，对于偶数b=2*m（m>0）和c=d=m，这样的乘积就是这种类型的平方。小数因式分解：5609立即被视为71*79。同样，120099=301*399（此处k=2）和99990000001996=9999002*9999998（k=3）_Rick L.Shepherd_，2021年7月24日

%C长度为n+1的循环二进制字的数量，只出现一次01。例如：a（2）=6，因为我们有001、010、011、100、101和110。A119462第1列。-_Emeric Deutsch，2006年5月21日

%C迭代平方根sqrt序列（N+sqrt（N+…））对于N=1，2。。。限制（1+sqrt（1+4*N））/2。对于N=a（N），该极限为N+1，N=1，2。。。。对于所有其他数字N，N>=1，此极限不是自然数。示例：n=1，a（1）=2:sqrt（2+sqrt…））=1+1=2；n=2，a（2）=6:sqrt（6+sqrt，6+…））=1+2=3.-_Wolfdieter Lang，2006年5月5日

%C可被上限整除的非平方整数m（sqrt（m）），m=0.-_Max Alekseyev_，2006年11月27日

%C（n+1）X（n+1”）矩阵的非对角元素数。-Artur Jasinski，2007年1月11日

%C a（n）等于函数f:{1，2}->{1，2，…，n+1}的个数，因此对于{1，2]中的固定x和{1，2中，…，n+1}中的一个固定y，我们有f（x）<>y.-Aleksandar M.Janjic和_Milan Janjic_，2007年3月13日

%C数m>=0，使得round（sqrt（m+1））-round（sqrt（m））=1。-_Hieronymus Fischer，2007年8月6日

%C数量m>=0，这样天花板（2*sqrt（m+1））-1=1+地板（2*m2（m））_Hieronymus Fischer，2007年8月6日

%C数字m>=0，使得fract（sqrt（m+1））>1/2，fract（mqrt（m））<1/2，其中fract（x）是分数部分（fract（x）=x-楼层（x），x>=0）_Hieronymus Fischer，2007年8月6日

%方程4*X^3+X^2=Y^2的解的C X值。要查找Y值：b（n）=n（n+1）（2n+1）。-_Mohamed Bouhamida，2007年11月6日

%C无穷小Lah矩阵A132792的非零对角，因此由a（n）组成的“广义阶乘”是由Lah矩阵无符号A111596的元素给出的，例如a（1）*a（2）*a（3）/3！=-A111596（4,1）=24.-_汤姆·科普兰，2007年11月20日

%C如果Y是n-集X的2-子集，则对于n>=2，a（n-2）是X的2-子集和3-子集的数量，与Y.-Milan Janjic_，2007年12月28日正好有一个元素相同

%C a（n）与雷德海弗矩阵中偶数宽度的抛物线的顶点重合，指向零。整数p是素数当且仅当对于所有整数k，抛物线y=kx-x^2在y=p时没有1<x<k的整数解；a（n）对应于奇数k.-Reikku Kulon，2008年11月30日

%C超几何函数3F2的某些值的第三个差导致长圆数的平方，即3F2（[1，n+1，n+1），[n+2，n+2]，z=1）-3*3F2（1/（（n+2）*（n+3））))^n=-1，0，1，2，…时为2。另见A162990_Johannes W.Meijer，2009年7月21日

%C a（A007018（n））=A007018-（n+1），参见序列A007018/（1，2，6，42，1806，…），即A007018=A007018-1（n）-第个长方形数_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年9月13日

%C广义阶乘，[a.（n！）]=a（n）*a（n-1）**a（0）=A010790（n），a（0”=1与A001263相关_汤姆·科普兰，2011年9月21日

%C对于n>1，a（n）是函数f:{1，2}->{1，…，n+2}的个数，其中f（1）>1，f（2）>2。注意，f（1）有n+1个可能值，f（2）有n个可能值。例如，a（3）=12，因为有12个函数f从{1,2}到{1,2,3,4,5}，其中f（1）>1和f（2）>2_Dennis P.Walsh，2011年12月24日

%C a（n）给出了包含两个1的对称（0，1）-矩阵的（n+1）X（n+1）个数（参见[Cameron]）_L.Edson Jeffery，2012年2月18日

%C a（n）是多米诺骨牌在两条腿都等于n+1的矩形三角形板中的位置数_塞萨尔·埃利乌德·洛扎达，2012年9月26日

%C a（n）是[n+2]x[n+2]中|x-y|>1的有序对（x，y）的数量_Dennis P.Walsh，2012年11月27日

%C a（n）是从{1，2}到{1，2，…，n+1}的内射函数数_Dennis P.Walsh，2012年11月27日

%C a（n）是2n+2的分区部分的正差之和，正好分为两部分（参见示例）_Wesley Ivan Hurt_，2013年6月2日

%C a（n）/a（n-1）对e^（2/n）是渐近的_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2013年6月22日

%C D_{n+1}型根系中的正根数（对于n>2）_Tom Edgar，2013年11月5日

%C A_n型根系统中的根数（对于n>0）。-_Tom Edgar，2013年11月5日

%C From _Felix P.Muga II_，2014年3月18日：（开始）

%对于m>=1，C a（m）是唯一的正整数值t，对于该正整数值，b（0）=0且b（1）=1的递归b（n）=b（n-1）+t*b（n-2）的Binet-de-Moivre公式具有平方根。证据（如沃尔夫迪特·朗格（_Wolfdieter Lang）所建议，2014年3月26日）：如果4t+1=（2m+1）^2，即t=a（m），m>=1，则出现在特征方程r1和r2的零点中的sqrt（1+4t）是正整数t的（正）整数。因此，特征根是整数：r1=m+1和r2=-m。

%C设m>1为整数。如果b（n）=b（n-1）+a（m）*b（n-2），n>=2，b（0）=0，b（1）=1，那么当n接近无穷大时，lim b（n+1）/b（n）=m+1。（结束）

%C参考A130534，用于与彩色森林、旗杆上旗帜的布置以及完整图（这里简称为K_2）的顶点（彩色多项式）的着色的关系。-_汤姆·科普兰，2014年4月5日

%C整数n的集合，其中n+sqrt（n+sqrt（n+sqlt（n+…）。。。是一个整数_Leslie Koller，2014年4月11日

%C a（n-1）是最大的数字k，因此（n*k）/（n+k）是一个整数_德里克·奥尔，2014年5月22日

%C在长度为n-2的条带上放置domino和singleton的方法的数量_Ralf Stephan，2014年6月9日

%C在偏移量为1的情况下，这似乎给出了n个半径相等的非同心圆之间的最大交叉数_Felix Fröhlich，2014年7月14日

%C对于n>1，n值a（1）到a（n）的调和平均值为n+1。递增正整数的最低无穷序列，其累积调和平均值为整数_伊恩·达夫（Ian Duff），2015年2月1日

%C a（n）是在[n+2]X[n+2]棋盘上，一种颜色的皇后可以共存而不攻击对手颜色的一个皇后的最大数量。唯一的女王可以被放置在棋盘周边的任何位置_Bob Selcoe，2015年2月7日

%C当a（0）=1时，a（n-1）是序列中最小的正数，因此Sum_{i=1..n}1/a（i-1）的分母等于n.-Derek Orr_1，2015年6月17日

%C该序列的正成员是所谓的1-幸福夫妇产品A007969的适当子序列。参见W.Lang链接，等式（4），Y_0=1，末尾有一个表格_Wolfdieter Lang，2015年9月19日

%C对于n>0，a（n）是区间[0，1]中x的上边界为y=x^（n-1），下边界为y=x^n的面积的倒数。对所有这些面积求和直观地演示了下面的公式，即求和{n>=1}1/a（n）=1_Rick L.Shepherd_，2015年10月26日

%看起来，除了a（0）=0之外，这是一组正整数n，因此x*floor（x）=n没有解。（例如，要得到3，取x=-3/2。）-Melvin Peralta_，2016年4月14日

%C如果两个独立的实随机变量x和y按照相同的指数分布分布：pdf（x）=lambda*exp（-lambda*x），lambda>0，则n-1<=x/y<n的概率由1/a（n）给出_Andres Cicuttin，2016年12月3日

%C a（n）等于n对不同的连续奇数之间所有可能差异的总和（参见示例）_Miquel Cerda，2016年12月4日

%C a（n+1）是平面向量场空间的维数，多项式系数高达n阶。-Martin Licht，2016年12月4日

%C似乎a（n）+3是一个正方形中可能最大池塘的面积（A268311）_Craig Knecht_，2017年5月4日

%C也是（n+3）-三角形蜂窝锐角骑士图中的3个圈数。-_Eric W.Weisstein_，2017年7月27日

%C也是（n+2）轮图的维纳指数_Eric W.Weisstein_，2017年9月8日

%C由偶数组成的弗洛伊德三角形的左边缘：0；2、4；6, 8, 10; 12, 14, 16, 18; 20, 22, 24, 26, 28; ... 给出0、2、6、12、20。。。右边缘生成A028552_Waldemar Puszkarz，2018年2月2日

%C a（n+1）是偏序集上的行运动顺序，通过将唯一的最小（或最大）元素与至少两个n个元素链的不相交并集相连而获得_Nick Mayers，2018年6月1日

%C来自Juhani Heino，2019年2月5日：（开始）

%C对于n>0，1/a（n）=n/（n+1）-（n-1）/n。

%C例如，1/6=2/3-1/2；1/12=3/4-2/3。

%C由此推论：

%C服用1/2粒。

%C第二天，服用1/6粒。1/2+1/6=2/3，所以你的日平均值是1/3。

%C第二天，服用1/12粒。2/3+1/12=3/4，所以你的日平均值是1/4。

%C等等。（结束）

%C来自伯纳德·肖特，2020年5月22日：（开始）

%C对于一个长方形数m>=6，存在一个欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d是几何级数，按此顺序，具有公共整数比b。对于b>=2和q>=1，欧几里得除法为m=qb*（qb+1）=qb^2*q+qb，其中（q，qb，qb^2）是几何级数。

%C一些具有不同比率和商的示例：

%C 6 | 4 30 | 25 42 | 18

%C---------------

%c2|1，5|1，6|2，

%C以及：

%C 42 | 12 420 | 100

%C----------

%C 6|3，20|4。

%C一些长方形数也满足欧几里德除法m=d*q+r，其中q<r<d按此顺序进行几何级数，但公共非整数比b>1（参见A335064）。（结束）

%C对于n>=1，sqrt（a（n））的连分式展开式是[n；{2，2n}]。对于n=1，它折叠为[1；{2}]_Magus K.Chu，2022年9月9日

%C a（n-2）是具有n个顶点的所有树上的最大不规则度。极值图是恒星。（图的不规则性是图所有边上度数之差的总和。）-阿兰·比克，2023年5月29日

%C对于n>0，规则2*（n+1）-边中不平行于任何边的对角线数（参见A367204）_Paolo Xausa_，2024年3月30日

%C a（n-1）是具有n个顶点的所有树的最大萨格勒布指数。极值图是恒星。（图的萨格勒布指数是图的所有顶点上度数的平方和。）-阿兰·比克，2024年4月11日

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%财务报表：2*x/（1-x）^3.-_西蒙·普劳夫在1992年的论文中写道。

%F a（n）=a（n-1）+2*n，a（0）=0。

%F和{n>=1}a（n）=n*（n+1）*（n+2）/3（参见A007290，部分和）。

%F和{n>=1}1/a（n）=1。（参考蒂德曼）

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=log（4）-1=A016627-1[焦利方程（235）]。

%F 1=1/2+和{n>=1}1/[2*a（n）]=1/2+1/4+1/12+1/24+1/40+1/60+。。。部分和：1/2，3/4，5/6，7/8，9/10，11/12，13/14，…-_Gary W.Adamson_，2003年6月16日

%F a（n）*a（n+1）=a（n*（n+2））；例如a（3）*a（4）=12*20=240=a（3*5）。-_Charlie Marion，2003年12月29日

%F和{k=1..n}1/a（k）=n/（n+1）.-_Robert G.Wilson v_，2005年2月4日

%F a（n）=A046092（n）/2.-_Zerinvary Lajos，2006年1月8日

%F对数2=和{n>=0}1/a（2n+1）=1/2+1/12+1/30+1/56+1/90+…=(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + (1/7 - 1/8) + ... = 和{n>=0}（-1）^n/（n+1）=A002162.-_Gary W.Adamson_，2003年6月22日

%F a（n）=A110660（2*n）_N.J.A.Sloane，2005年9月21日

%F a（n-1）=n^2-n=A000290（n）-A000027（n），对于n>=1。a（n）是A000194（n）的逆（频率分布）序列_Mohammad K.Azarian，2007年7月26日

%F（2，6，12，20，30，…）=（2，4，2）的二项式变换_加里·亚当森，2007年11月28日

%F a（n）=2*总和{i=0..n}i=2*A000217（n）.-_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2007年1月9日，奥马尔·波尔（Oimar E.Pol），2008年5月14日

%F a（n）=A006503（n）-A000292（n）.-_Reinhard Zumkeller，2008年9月24日

%F a（n）=A061037（4*n）=（n+1/2）^2-1/4=（2n+1）^2-1）/4=（A005408（n）^2-1）/4.-_Paul Curtz（2008年10月3日）和Klaus Purath（2022年1月13日）

%F a（0）=0，a（n）=a（n-1）+1+楼层（x），其中x是分形的最小正解（sqrt（a（n-1）+1+x））=1/2.-_Hieronymus Fischer，2008年12月31日

%F例如：（x+2）*x*exp（x）.-_杰弗里·克里策尔，2009年2月6日

%F乘积{i>=2}（1-1/a（i））=-2*sin（Pi*A001622）/Pi=-2*正弦（A094886）/A000796=2*A146481.-_R.J.Mathar，2009年3月12日，2009年5月15日

%例如：（-x+1）*log（-x+1+x）/x^2也积分_{x=0..1}_Stephen Crowley，2009年7月11日

%F a（n）=楼层（（n+1/2）^2）。a（n）=A035608（n）+A004526（n+1）_Reinhard Zumkeller_，2010年1月27日

%F a（n）=2*（2*A006578（n）-A035608（n））_Reinhard Zumkeller，2010年2月7日

%F a（n-1）=楼层（n^5/（n^3+n^2+1））_Gary Detlefs，2010年2月11日

%F对于n>1:a（n）=A173333（n+1，n-1）。-_Reinhard Zumkeller，2010年2月19日

%F a（n）=A004202（A000217（n））_Reinhard Zumkeller，2011年2月12日

%F a（n）=A188652（2*n+1）+1.-_Reinhard Zumkeller_2011年4月13日

%F对于n>0 a（n）=1/（积分_{x=0..Pi/2}2*（sin（x））^（2*n-1）*（cos（x）_弗朗西斯科·达迪（Francesco Daddi），2011年8月2日

%F a（n）=A002061（n+1）-1.-_Omar E.Pol，2011年10月3日

%如果a（0）=0，a（n）=A005408（A034856（n））-A005408（n-1）_Ivan N.Ianakiev，2012年12月6日

%F a（n）=A005408（A000096（n））-A005408（n）_Ivan N.Ianakiev_，2012年12月7日

%F a（n）=A001318（n）+A085787（n）.-_Omar E.Pol_，2013年1月11日

%F和{n>=1}1/（a（n））^（2s）=和{t=1..2*s}二项式（4*s-t-1，2*s-1）*（（1+（-1）^t）*zeta（t）-1）。参见Arxiv:1301.6293_R.J.Mathar，2013年2月3日

%F a（n）^2+a（n+1）^2=2*a（（n+1_Ivan N.Ianakiev，2013年4月8日

%F a（n）=楼层（n^2*e^（1/n））和a（n-1）=楼层_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2013年6月22日

%F a（n）=2*C（n+1，2），当n>=0.-_Felix P.Muga II，2014年3月11日

%F A005369（a（n））=1.-_Reinhard Zumkeller_，2014年7月5日

%F[0,2,2,0,0,0，…]的二项式变换_阿洛伊斯·海因茨（Alois P.Heinz），2015年3月10日

%对于n>=0，F a（2n）=A002943（n），a（2n-1）=A002 939（n）对于n>=1.-_M.F.Hasler，2015年10月11日

%对于n>0，a（n）=1/（积分_{x=0..1}（x^（n-1）-x^n）dx）_Rick L.Shepherd_，2015年10月26日

%F a（n）=A005902（n）-A007588（n）.-_Peter M.Chema，2016年1月9日

%F对于n>0，a（n）=Lim_{m->infinity}（1/m）*1/（Sum_{i，m*n..m*（n+1）}1/i^2），误差约为1/m.-Richard R.Forberg_，2016年7月27日

%F From _Ilya Gutkovskiy_，2016年7月28日：（开始）

%F Dirichlet g.F.：zeta（s-2）+zeta（s-1）。

%F非负整数（A001477）和常数序列（A007395）的卷积。

%F和{n>=0}a（n）/n！=3*经验（1）。（结束）

%F From _Charlie Marion，2020年3月6日：（开始）

%F a（n）*a（n+2k-1）+（n+k）^2=（（2n+1）*k+n^2）^2。

%F a（n）*a（n+2k）+k^2=（（2n+1）*k+a（n））^2。（结束）

%F乘积{n>=1}（1+1/a（n））=cosh（sqrt（3）*Pi/2）/Pi.-_Amiram Eldar，2021年1月20日

%F 2003年12月29日公式A（n）*A（n+1）=A（n*（n+2））的推广如下。a（n）*a（n+k）=a（n*（n+k+1））+（k-1）*n*（n+k+1）_Charlie Marion，2023年1月2日

%e a（3）=12，因为2（3）+2=8有4个分区，正好有两部分：（7,1），（6,2），（5,3），（4,4）。将每个分区中各部分的正差异相加，得到：6+4+2+0=12_Wesley Ivan Hurt_，2013年6月2日

%e.G.f.=2*x+6*x^2+12*x^3+20*x^4+30*x^5+42*x^6+56*x^7+。。。

%e a（1）=2，因为45-43=2

%e a（2）=6，因为47-45=2和47-43=4，那么2+4=6

%e a（3）=12，因为49-47=2，49-45=4，49-43=6，然后2+4+6=12_Miquel Cerda，2016年12月4日

%p A002378:=程序（n）

%pn*（n+1）；

%p端程序：

%p序列（A002378（n），n=0..100）；

%t表[n（n+1），{n，0，50}]（*_Robert G.Wilson v_，2004年6月19日*）

%t长方形Q[n_]：=整数Q@Sqrt[4 n+1]；选择[范围[02600]，长方形Q]（*_Robert G.Wilson v_，2011年9月29日*）

%t 2累加[范围[0，50]]（*Harvey P.Dale_，2011年11月11日*）

%t线性递归[{3，-3，1}，{2，6，12}，}，[0，20}]（*_Eric W.Weisstein_，2017年7月27日*）

%o（PARI）{a（n）=n*（n+1）}；

%o（PARI）concat（0，Vec（2*x/（1-x）^3+o（x^100）））\\阿尔图格Alkan，2015年10月26日

%o（PARI）是（n）=我的（m=平方（n））；m*（m+1）==2018年11月1日

%o（PARI）is（n）=发行量（4*n+1）\\查尔斯·格里特豪斯四世，2022年3月16日

%o（哈斯克尔）

%o a002378 n=n*（n+1）

%o a002378_list=zipWith（*）[0..][1..]

%o——Reinhard Zumkeller，2012年8月27日，2011年10月12日

%o（岩浆）[n*（n+1）：n in[0..100]]；//_Wesley Ivan Hurt_，2015年10月26日

%o（Scala）（2到100乘2）.scanLeft（0）（_+_）//_Alonso del Arte_，2019年9月12日

%o（Python）

%o定义a（n）：返回n*（n+1）

%o打印（[a（n）代表范围（51）内的n）]#_Michael S.Branicky_，2022年1月13日

%Y A005843的部分和（偶数）。两个三角形数字（A000217）。

%A061928中的Y 1/β（n，2）。

%Y参见A035106、A087811、A119462、A127235、A049598、A124080、A033996、A028896、A046092、A000217、A005563、A046091、A001082、A059300、A059297、A05929.8、A166373、A002943（二等分）、A002939（二等份）、A078358（补码）。

%Y A036689是一个子序列。参考A226488中列出的形式n*（n*k-k+4）/2的编号_Bruno Berselli，2013年6月10日

%Y行n=2，共A185651行。

%Y参见A007745、A169810、A213541、A005369。

%Y参考A281026.-_Bruno Berselli，2017年1月16日

%Y参考A045943（三角蜂窝锐角骑士图中的4个循环）、A028896（5个循环）和A152773（6个循环）。

%方形螺旋四轴上的Y序列：从0:A001107、A033991、A007742、A033954开始；从1:A054552、A054556、A054567、A033951开始。

%方形螺旋四条对角线上的Y序列：从0:A002939=2*A000384、A016742=4*A000290、A002943=2*A014105、A033996=8*A000217开始；从1:A054554、A053755、A054569、A016754开始。

%通过读取X轴和Y轴上的交替项以及方形螺旋线的两条主对角线获得的Y序列：从0:A035608、A156859、A002378=2*A000217、A137932=4*A002620开始；从1:A317186、A267682、A002061、A080335开始。

%Y A335064是一个子序列。

%Y A003506的第二列。

%Y参见A002378，A046092，A028896（最大k-退化图的不规则性）。

%Y参考A347213（s=4时的Dgf）。

%Y参考A002378，A152811，A371912（最大k-退化图的萨格勒布指数）。

%K nonn，easy，core，nice，changed

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E迈克尔·索莫斯的其他评论_

%C克里斯托弗·亨特·格里布勒于2009年10月13日添加的E注释和交叉引用