阶乘为定义正整数 作为
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例如,.年长的符号因为阶乘是写的(梅林1909年;勒温1958年,第19页;杜德尼1970年;加德纳1978; Conway和Guy,1996年)。
特殊情况定义为具有值,与there存在的组合解释一致确切地一排列零对象的方法(即,存在一个零值排列元素,即空集合 ).
阶乘在Wolfram语言作为阶乘[n个]或n个!.
这个三角形数 可以被视为阶乘.阶乘和三角数之间的另一个关系由恒等式给出
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(K.MacMillan,pers.comm.,2008年1月21日)。
阶乘给出了对象可以被置换。例如,,因为是,,,,,。的前几个阶乘,1,2。。。是1、1、2、6、24、120。。。(组织环境信息系统A000142号).
中的位数对于, 1, ... 是1、7、158、2568、35660、,456574, 5565709, 65657060, ... (组织环境信息系统A061010型).
阶乘的推广,如双阶乘 和多因素的 可以定义。然而,请注意,这些是不等于嵌套阶乘,,等。
的前几个值对于, 2, ... 是1、2、720、620448401733239436000,... (尤里卡1974; 组织环境信息系统A000197号). 这个中的位数是1、1、3、24、199、1747。。。(组织环境信息系统A063979号).
作为变大,阶乘开始获得尾翼0.计算数字尾随的0对于,使用
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哪里
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和是地板功能(加德纳1978年,第63页;奥格维和安德森1988年,第112-114页)。对于, 2, ..., 尾随零的数量是0、0、0和1、1、1和1、2、2和2、2、3和3。。。(组织环境信息系统A027868号).这是Legendre首次发现的一般结果的特殊应用1808年权力的首要的 划分是
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(Landau 1974,第75-76页;Honsberger 1976;Hardy and Wright 1979,第342页;Ribenboim 1989;Ingham 1990,第20页;Graham等。1994年;瓦尔迪1991年;哈代1999年,第18和21页;哈维尔2003年,第165页;Boros和Moll,2004年,第5页)。这可以在沃尔夫拉姆语言作为
最高功率[p_?PrimeQ,n_]:=总和[Floor[n/p^k],{k,Floor[Log[p,n]]}]
换一种说法,确切地说权力的首要的 哪一个分开了是
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哪里是数字总和属于在基地(Boros和Moll,2004年,第6页)。这可以在沃尔夫拉姆语言作为
最高功率2[p_Integer?PrimeQ,n_]:=(n-总计[整数位数[n,p]])/(p-1)
因此,如Legendre所示,
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(哈维尔2003年,第165页)。
让成为最后的非零数字在里面,则前几个值为2、6、,4, 2, 2, 4, 2, 8, 8, 8, 6, 8, ... (组织环境信息系统A008904号).Kakutani(1967)对该序列进行了研究,他表明该序列是“5自动”的大致意思是存在一个有限自动机,当给定数字时属于在5号垒,将以输出映射指定的。数字的准确分布取决于此结果。
通过注意到
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哪里是伽马射线功能对于整数 ,定义可以推广到复杂的值
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这定义了为所有人复杂的的值,除非是一个负整数,在这种情况下等于复无穷大.
而高斯(G1)引入了符号
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在勒让德引入伽马符号后,这种符号随后被放弃(爱德华兹2001年,第8页)。
使用身份伽马函数,的值(半积分值)可以是显式编写
哪里是一个双重的阶乘的.
对于整数 和具有,
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这个对数属于经常遇到
哪里是尤勒·马切罗尼常数,是黎曼-泽塔函数、和是多囊蜂功能.
它也由极限给出
哪里是波赫哈默尔符号.
哪里是Euler-Mascheroni常数,是黎曼zeta函数、和是多囊膜功能.阶乘可以展开成一系列
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(组织环境信息系统A001163号和A001164号).斯特林级数给出了序列扩展对于,
(组织环境信息系统A046968号和A046969号),其中是一个伯努利数.
通常,发电序列(Mudge 1997)由下式给出。的前几个术语是2、5、37、577、14401、518401。。。(组织环境信息系统A020549美元),和是首要的对于,2,3,4,5,9,10,11,13,24,65,76, ... (组织环境信息系统A046029号). 前几个术语属于分别为0、3、35775、14399、518399,…(OEIS)A046032号),但是是首要的仅用于自从对于。的前几个术语是0、7、215、13823、1727999。。。(组织环境信息系统A046033号),以及是2、9、217、13825、1728001。。。(组织环境信息系统A019514号).
前几个数字使其数字的阶乘之和等于首要的计数功能 是6500、6501、6510、6511、6521、12066、50372。。。(组织环境信息系统A049529号).这个序列是有限的,最大的项是.
数字这样的话
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被称为Wilson素数.
棕色数字是成对的属于整数满足的条件Brocard的问题,即:
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只有三对已知:(5,4),(11,5),(71,7)。Erdős推测,这是仅有的三对这样的组合(Guy 1994,p.193)。