因子分解

阶乘为定义正整数 作为

例如，.年纪较大的符号因为阶乘是写的（梅林1909年；勒温1958年，第19页；杜德尼1970年；加德纳1978;Conway和Guy，1996年）。

特殊情况定义为具有值,与there存在的组合解释一致确切地一排列零对象的方法（即，存在一个零值排列元素，即空集合 ).

阶乘在Wolfram语言作为阶乘[n个]或n个!.

这个三角形数 可以被视为阶乘.阶乘和三角数之间的另一个关系由恒等式给出

（K.MacMillan，《大众通讯》，2008年1月21日）。

阶乘给出了以下几种方式对象可以被置换。例如，，因为是,,,,,。的前几个阶乘, 1, 2, .…是1、1、2、6、24、120。..（OEIS）A000142号).

中的位数对于, 1, ...是1、7、158、2568、35660、，456574, 5565709, 65657060, ...（OEIS）A061010型).

阶乘的推广，如双阶乘 和多因素的 可以定义。然而，请注意，这些是不等于嵌套阶乘,,等。

的前几个值对于, 2, ...是1、2、720、620448401733239436000，... (尤里卡1974;组织环境信息系统A000197号).这个中的位数是1、1、3、24、199、1747、。..（OEIS）A063979号).

作为变大，阶乘开始获得尾翼0.计算数字尾随的0对于，使用

哪里

和是地板功能（加德纳1978年，第63页；奥格维和安德森1988年，第112-114页）。对于, 2, ...，尾随零的数量分别为0、0、0、1、1、1、1、2、2、2、2、3、。..（OEIS）A027868号).这是勒让德首次发现的一般结果的一个特殊应用1808年权力的首要的 划分是

（Landau 1974，第75-76页；Honsberger 1976；Hardy and Wright 1979，第342页；Ribenboim 1989；Ingham 1990，第20页；Graham等。1994;瓦尔迪1991年；哈代1999年，第18和21页；哈维尔2003年，第165页；Boros和Moll，2004年，第5页）。这可以在沃尔夫拉姆语言作为

最高功率[p_？PrimeQ，n_]：=总和[Floor[n/p^k]，{k，Floor[Log[p，n]]}]

换一种说法，确切地说权力的首要的 哪一个分开了是

哪里是数字总和属于在底座中（Boros和Moll，2004年，第6页）。这可以在沃尔夫拉姆语言作为

最高功率2[p_Integer？PrimeQ，n_]：=（n-总计[整数位数[n，p]]）/（p-1）

因此，如Legendre所示，

（哈维尔2003年，第165页）。

让成为最后的非零数字在里面，则前几个值为2、6、，4, 2, 2, 4, 2, 8, 8, 8, 6, 8, ...（OEIS）A008904号).Kakutani（1967）对该序列进行了研究，他表明该序列是“5自动”的大致意思是存在一个有限自动机，当给定数字时属于在5号垒，将以输出映射指定的。数字的准确分布取决于此结果。

通过注意到

哪里是伽马射线功能对于整数 ，定义可以概括为复杂的值

这定义了为所有人复杂的的值，除非是一个负整数,在这种情况下等于复无穷大.

而高斯（G1）引入了符号

在勒让德引入伽马符号后，这种符号随后被放弃（爱德华兹2001年，第8页）。

使用身份伽马函数，的值（半积分值）可以是显式编写

哪里是一个双重的阶乘的.

对于整数 和具有,

这个对数属于经常遇到

哪里是尤勒·马切罗尼常数,是黎曼-泽塔函数、和是多囊蜂功能.

它也由极限给出

哪里是波赫哈默尔符号.

哪里是Euler-Mascheroni常数,是黎曼zeta函数、和是多囊膜功能.阶乘可以展开成一系列

（组织环境信息系统A001163号和A001164号).斯特林级数给出了序列扩展对于,

（组织环境信息系统A046968号和A046969号)，其中是一个伯努利数.

通常，发电序列（Mudge 1997）由下式给出。的前几个术语是2、5、37、577、14401、518401、。..（OEIS）A020549号),和是首要的对于, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 13, 24, 65,76, ...（OEIS）A046029号).前几个术语属于是0、3、35、575、14399、518399、，…（OEIS）A046032号)，但是是首要的仅用于自从对于。的前几个术语是0、7、215、13823、1727999。..（OEIS）A046033号),以及是2、9、217、13825、1728001、。..（OEIS）2014年0月).

前几个数字使其数字的阶乘之和等于首要的计数功能 是6500、6501、6510、6511、6521、12066、50372、。..（OEIS）A049529号).这个序列是有限的，最大的项是.

数字这样的话

被称为Wilson素数.

棕色数字是成对的属于整数满足的条件Brocard的问题，即：

只有三对已知：（5，4），（11，5），（71，7）。埃尔德斯推测这是仅有的三对（Guy 1994，p.193）。