阶乘
为定义正整数
作为
![不=n(n-1)。。。2·1.](/images/equations/Factorial/NumberedEquation1.svg) |
(1)
|
例如,
.年纪较大的符号因为阶乘是写的
(梅林1909年;勒温1958年,第19页;杜德尼1970年;加德纳1978; Conway和Guy,1996年)。
特殊情况
定义为具有值
,与there存在的组合解释一致确切地一排列零对象的方法(即,存在一个零值排列元素,即空集合
).
阶乘在Wolfram语言作为阶乘[n个]或n个!.
这个三角形数
可以被视为阶乘
.阶乘和三角数之间的另一个关系由恒等式给出
![(2n)=2^产品_(k=1)^nT_(2k-1)](/images/equations/Factorial/NumberedEquation2.svg) |
(2)
|
(K.MacMillan,pers.comm.,2008年1月21日)。
阶乘
给出了以下几种方式
对象可以被置换。例如,
,因为
是
,
,
,
,
,
。的前几个阶乘
, 1, 2, ... 是1、1、2、6、24、120。。。(组织环境信息系统A000142号).
中的位数
对于
, 1, ... 是1、7、158、2568、35660、,456574, 5565709, 65657060, ... (组织环境信息系统A061010型).
阶乘的推广,如双阶乘
和多因素的
可以定义。然而,请注意,这些是不等于嵌套阶乘
,
,等。
的前几个值
对于
, 2, ... 是1、2、720、620448401733239436000,... (尤里卡1974; 组织环境信息系统A000197号). 这个中的位数
是1、1、3、24、199、1747。。。(组织环境信息系统A063979号).
作为
变大,阶乘开始获得尾翼0.计算数字
尾随的0对于
,使用
![Z=sum_(k=1)^(k_(max))|_n/(5^k)_|,](/images/equations/Factorial/NumberedEquation3.svg) |
(3)
|
哪里
![k(最大值)=| log_5n_|](/images/equations/Factorial/NumberedEquation4.svg) |
(4)
|
和
是地板功能(加德纳1978年,第63页;奥格维和安德森1988年,第112-114页)。对于
, 2, ..., 尾随零的数量分别为0、0、0、1、1、1、1、2、2、2、2、3、3。。。(组织环境信息系统A027868号).这是勒让德首次发现的一般结果的一个特殊应用1808年权力的首要的
划分
是
![epsilon_p(n)=总和(k=1)^(|_log_pn|)|_n/(p^k)_|](/images/equations/Factorial/NumberedEquation5.svg) |
(5)
|
(Landau 1974,第75-76页;Honsberger 1976;Hardy and Wright 1979,第342页;Ribenboim 1989;Ingham 1990,第20页;Graham等。1994; 瓦尔迪1991年;哈代1999年,第18和21页;哈维尔2003年,第165页;Boros和Moll,2004年,第5页)。这可以在沃尔夫拉姆语言作为
最高功率[p_?PrimeQ,n_]:=总和[Floor[n/p^k],{k,Floor[Log[p,n]]}]
换一种说法,确切地说权力的首要的
哪一个分开了
是
![(n-sp(n))/(p-1),](/images/equations/Factorial/NumberedEquation6.svg) |
(6)
|
哪里
是数字总和属于
在底座中
(Boros和Moll,2004年,第6页)。这可以在沃尔夫拉姆语言作为
最高功率2[p_Integer?PrimeQ,n_]:=(n-总计[整数位数[n,p]])/(p-1)
因此如Legendre所示,
![不=产品_(p<=n)p^(epsilon_p(n))](/images/equations/Factorial/NumberedEquation7.svg) |
(7)
|
(哈维尔2003年,第165页)。
让
成为最后的非零数字在里面
,则前几个值为2、6、,4, 2, 2, 4, 2, 8, 8, 8, 6, 8, ... (组织环境信息系统A008904号).Kakutani(1967)对该序列进行了研究,他表明该序列是“5自动”的大致意思是存在一个有限自动机,当给定数字时属于
在5号垒,将以输出映射指定的
。数字的准确分布取决于此结果。
通过注意到
![不=伽玛(n+1),](/images/equations/Factorial/NumberedEquation8.svg) |
(8)
|
哪里
是伽马射线功能对于整数
,定义可以推广到复杂的值
![z=伽马(z+1)=int_0^inftye^(-t)t^zdt。](/images/equations/Factorial/NumberedEquation9.svg) |
(9)
|
这定义了
为所有人复杂的的值
,除非
是一个负整数,在这种情况下
等于复无穷大.
而高斯(G1)引入了符号
![Pi(s)=伽马射线(s+1),](/images/equations/Factorial/NumberedEquation10.svg) |
(10)
|
在勒让德引入伽马符号后,这种符号随后被放弃(爱德华兹2001年,第8页)。
使用身份伽马函数,的值
(半积分值)可以是显式编写
哪里
是一个双重的阶乘的.
对于整数
和
具有
,
![((s-n)!)/((2s-2n)!)=((-1)^(n-s)(2n-2s)!)/((n-s)!)。](/images/equations/Factorial/NumberedEquation11.svg) |
(15)
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这个对数属于
经常遇到
哪里
是尤勒·马切罗尼常数,
是黎曼-泽塔函数、和
是多囊蜂功能.
它也由极限给出
哪里
是波赫哈默尔符号.
哪里
是Euler-Mascheroni常数,
是黎曼zeta函数、和
是多囊膜功能.阶乘可以展开成一系列
![z=平方(2pi)z^(z+1/2)e^(-z)](/images/equations/Factorial/NumberedEquation12.svg) |
(25)
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(组织环境信息系统A001163号和A001164号).斯特林级数给出了序列扩展对于
,
(组织环境信息系统A046968号和A046969号),其中
是一个伯努利数.
通常,发电序列(Mudge 1997)由下式给出
。的前几个术语
是2、5、37、577、14401、518401。。。(组织环境信息系统A020549号),和
是首要的对于
, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 13, 24, 65,76, ... (组织环境信息系统A046029号). 前几个术语属于
是0、3、35、575、14399、518399、,…(OEIS)A046032号),但是
是首要的仅用于
自从
对于
。的前几个术语
是0、7、215、13823、1727999。。。(组织环境信息系统A046033号),以及
是2、9、217、13825、1728001。。。(组织环境信息系统A019514号).
前几个数字
使其数字的阶乘之和等于首要的计数功能
是6500、6501、6510、6511、6521、12066、50372。。。(组织环境信息系统A049529号).这个序列是有限的,最大的项是
.
数字
这样的话
![(n-1)+1=0(型号n^2),](/images/equations/Factorial/NumberedEquation13.svg) |
(28)
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被称为威尔逊素数.
棕色数字是成对的
属于整数满足的条件Brocard的问题,即,使得
![不+1=平方米。](/images/equations/Factorial/NumberedEquation14.svg) |
(29)
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只有三对已知:(5,4),(11,5),(71,7)。Erdős推测,这是仅有的三对这样的组合(Guy 1994,p.193)。