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阶乘


阶乘不!为定义正整数 n个作为

 不=n(n-1)。。。2·1.
(1)

例如,4!=4·3·2·1=24.年纪较大的记数法因为阶乘是写的工厂旧(梅林1909年;勒温1958年,第19页;杜德尼1970年;加德纳1978; Conway和Guy,1996年)。

特殊情况0!定义为具有值0!=1,与there存在的组合解释一致确切地排列零对象的方法(即,存在一个零值排列元素,即空集合 空套).

阶乘在Wolfram语言作为阶乘[n个]n个!.

这个三角形数 T_n=n+(n-1)++2+1可以被视为阶乘不=n·(n-1)。。。2·1.阶乘和三角数之间的另一个关系由恒等式给出

 (2n)=2^n产品_(k=1)^nT_(2k-1)
(2)

(K.MacMillan,pers.comm.,2008年1月21日)。

阶乘不!给出了以下几种方式n个对象可以被置换。例如,3!=6,因为{1,2,3}{1,2,3},{1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},{3,1,2},{3,2,1}。的前几个阶乘n=0, 1, 2, ... 是1、1、2、6、24、120。。。(组织环境信息系统A000142号).

中的位数(10^n)!对于n=0, 1, ... 是1、7、158、2568、35660、,456574, 5565709, 65657060, ... (组织环境信息系统A061010型).

阶乘的推广,如双阶乘 不!!多因素的 n_()_(k)可以定义。然而,请注意,这些是等于嵌套阶乘(n!)!,((n!)!,等。

的前几个值(n!)!对于n=1, 2, ... 分别为1、2、720620448401733239439360000,... (尤里卡1974; 组织环境信息系统A000197号). 这个中的位数(n!)!是1、1、3、24、199、1747。。。(组织环境信息系统A063979号).

作为n个变大,阶乘开始获得尾翼0.计算数字Z轴尾随的0对于不!,使用

 Z=sum_(k=1)^(k_(max))|_n/(5^k)_|,
(3)

哪里

 k(最大值)=| log_5n_|
(4)

|_x个_|地板功能(加德纳1978年,第63页;奥格维和安德森1988年,第112-114页)。对于n=1, 2, ..., 尾随零的数量是0、0、0和1、1、1和1、2、2和2、2、3和3。。。(组织环境信息系统A027868号).这是勒让德首次发现的一般结果的一个特殊应用1808年权力首要的 对分割不!

 epsilon_p(n)=总和(k=1)^(|_log_pn|)|_n/(p^k)_|
(5)

(Landau 1974,第75-76页;Honsberger 1976;Hardy and Wright 1979,第342页;Ribenboim 1989;Ingham 1990,第20页;Graham等。1994; 瓦尔迪1991年;哈代1999年,第18和21页;哈维尔2003年,第165页;Boros和Moll,2004年,第5页)。这可以在沃尔夫拉姆语言作为

最高功率[p_?PrimeQ,n_]:=总和[Floor[n/p^k],{k,Floor[Log[p,n]]}]

换一种说法,确切地说权力首要的 对哪一个分开了不!

 (n-sp(n))/(p-1),
(6)

哪里s_p(n)数字总和属于n个在底座中b(Boros和Moll,2004年,第6页)。这可以在沃尔夫拉姆语言作为

最高功率2[p_Integer?PrimeQ,n_]:=(n-总计[整数位数[n,p]])/(p-1)

因此,如Legendre所示,

 不=乘积_(p<=n)p^(ε_p(n))
(7)

(哈维尔2003年,第165页)。

a(n)成为最后的非零数字在里面不!,则前几个值为2、6、,4, 2, 2, 4, 2, 8, 8, 8, 6, 8, ... (组织环境信息系统A008904号).Kakutani(1967)对该序列进行了研究,他表明该序列是“5自动”的大致意思是存在一个有限自动机,当给定数字时属于n个在5号垒,将以输出映射指定的a(n)。数字的准确分布取决于此结果。

阶乘
因子ReImAbs
分钟 最大值
重新
伊姆河 由webMathematica提供支持

通过注意到

 不=伽马(n+1),
(8)

哪里伽马(n)伽马射线功能对于整数 n个,定义可以推广到复杂的

 z=伽马(z+1)=int_0^inftye^(-t)t^zdt。
(9)

这定义了z!为所有人复杂的的值z(z),除非n个是一个负整数,在这种情况下不!等于复无穷大.

而高斯(G1)引入了符号

 Pi(s)=伽马射线(s+1),
(10)

在勒让德引入伽马符号后,这种符号随后被放弃(爱德华兹2001年,第8页)。

使用身份伽玛函数,的值(1/2秒)!(半积分值)可以是显式编写

(-1/2)!=平方(pi)
(11)
(1/2)!=1/2平方(pi)
(12)
(n-1/2)!=(平方(π))/(2^n)(2n-1)!!
(13)
(n+1/2)!=(平方码(π))/(2^(n+1))(2n+1)!!,
(14)

哪里不!!是一个双重的阶乘的.

对于整数 秒n个具有s<n,

 ((s-n)!)/((2s-2n)!)=((-1)^(n-s)(2n-2s)!)/((n-s)!)。
(15)

这个对数属于z!经常遇到

英制(z!)=1/2ln[(piz)/(sin(piz
(16)
=1/2ln[(piz)/(sin(piz
(17)
=sum_(n=1)^(infty)(z^n)/(n!)psi_(n-1)(1)
(18)
=-gammaz+sum_(n=2)^(infty)(-1)^n(z^n)/nzeta(n)
(19)
=-ln(1+z)+z(1-gamma)+sum(n=2)^(infty)(-1)^n[泽塔(n)-1](z^n)/n,
(20)

哪里伽马射线尤勒·马切罗尼常数,泽塔(z)黎曼-泽塔函数、和psi_n(z)多囊蜂功能.

它也由极限给出

英制(z!)=ln[lim(n->infty)(zn!)/(z)(n+1))n^z]
(21)
=ln[lim_(n->infty)(n!)/((z+1)n)n^z]
(22)
=ln[lim_(n->infty)(n!)/((z+1)(z+2)…(z+n))n^z]
(23)
=lim_(n->infty)[ln(n!)+zlnn-ln(z+1)-ln(z+2)-…-ln(z+n)],
(24)

哪里(z) n个波赫哈默尔符号.

哪里伽马射线Euler-Mascheroni常数,泽塔(z)黎曼zeta函数、和psi_n(z)多囊膜功能.阶乘可以展开成一系列

 z=平方(2pi)z^(z+1/2)e^(-z)
(25)

(组织环境信息系统A001163号A001164号).斯特林级数给出了序列扩展对于英制(z!),

英制(z!)=1/2ln(2pi)+(z+1/2)lnz-z+(B_2)/(2z)++(B_(2n))/(2n(2n-1)z^(2n-1))+。。。
(26)
=1/2ln(2pi)+(z+1/2)lnz-z+1/(12)z^(-1)-1/(360)z^-(-3)+1/(1260)z^/(-5)-。。。
(27)

(组织环境信息系统A046968号A046969号),其中B_n(B_n)是一个伯努利数.

通常,发电序列(Mudge 1997)由下式给出S_k^+/-(n)=(n!)^k+/-1。的前几个术语S_2^+(n)是2、5、37、577、14401、518401。。。(组织环境信息系统A020549号),S_2^+(n)首要的对于n=1,2,3,4,5,9,10,11,13,24,65,76, ... (组织环境信息系统A046029号). 前几个术语属于S_2 ^-(n)是0、3、35、575、14399、518399、,…(OEIS)A046032号),但是S_2 ^-(n)首要的仅用于n=2自从S_2^-(n)=(n!)^2-1=(n)+1)(n!-1)对于n> 2个。的前几个术语S_3^-(n)是0、7、215、13823、1727999。。。(组织环境信息系统A046033号),以及S_3^+(n)是2、9、217、13825、1728001。。。(组织环境信息系统A019514号).

前几个数字n个使其数字的阶乘之和等于首要的计数功能 π(n)是6500、6501、6510、6511、6521、12066、50372。。。(组织环境信息系统A049529号).这个序列是有限的,最大的项是a_(23)=11071599.

数字n个这样的话

 (n-1)+1=0(型号n^2),
(28)

被称为威尔逊素数.

棕色数字是成对的(m,n)属于整数满足的条件Brocard的问题,即:

 不+1=平方米。
(29)

只有三对已知:(5,4),(11,5),(71,7)。Erdős推测,这是仅有的三对这样的组合(Guy 1994,p.193)。


另请参见

Alladi-Grinstead常数,交替阶乘,Brocard的问题,棕色数字,中央阶乘,双因子,阶乘Prime(主要),工厂产品,阶乘总和,保理,坠落阶乘,Fibonorial公司,伽马射线功能,超阶乘的,军团数字,利维坦数,多因素,Pochhammer符号,初级,上升因子,古罗马的阶乘,斯特林系列,次级阶乘,超阶乘,威尔逊Prime(主要) 探索这个数学世界课堂上的主题

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Boros,G.和Moll,V。不可抗拒的积分:积分评价中的符号学、分析和实验。英国剑桥:剑桥大学出版社,2004年。考德威尔,C.K。“前二十名:Primial和Factorial Primes。”http://www.utm.edu/research/primes/lists/top20/PrimorialFactorial.html.康威,J.H。和盖伊·R·K。《阶乘数》这个《数字书》。纽约:Springer-Verlag,第65-66页,1996年。杜德尼,H.E.公司。娱乐数学方面。纽约:多佛,第96页,1970年。爱德华兹,H.M。1.3中的§“阶乘函数”黎曼氏Zeta函数。纽约:多佛,第7-9页,2001年。加德纳,M.“因子奇数”,第4章数学魔术表演:更多的谜题、游戏、娱乐、幻觉和其他数学思考来自《科学美国人》。纽约:《复古》,第50-65页,1978年。高斯,成本加运费。“大约系列Infinitam将军研究所[(αβ)/(1·γ)]x+[(α(α+1)β(β+1))/(1.2·γ(γ+1))]x ^2 +[(α(α+1)(α+2)β(β+1)(β+2))/(1·2·3·γ(γ+1)(γ+2)+等,优先分析。"哥廷人地区科学学会评论Recentiores,第二卷。1812.重印于Gesammelte Werke,Bd.3公司,第123-163页和第207-229页,1866年。Glynn,J.和Gray,T。这个数学入门指南,第4版。英国剑桥:剑桥大学出版社,2000年。格雷厄姆·R·L。;Knuth,D.E。;和Patashnik,O.“因子”。第4.4节混凝土数学:计算机科学基础,第二版。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,第111-115页,1994年。盖伊,R.K。“因子的等积”“交替阶乘和”和“包含阶乘的方程”n个“§B23、B43和D25英寸未解决数论问题,第二版。纽约:Springer-Verlag出版社,第80页,100和193-1941994。G.H.哈代。拉马努扬:关于他的生活和工作所建议主题的十二讲,第三版。纽约:切尔西,1999年。G.H.哈代。和Wright,E.M。数字理论导论,第5版。英国牛津:克拉伦登出版社,1979年。哈维尔,J。伽马射线:探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿:普林斯顿大学出版社,2003年。霍伊,D.“Re:01方块。”math-fun@cs.arizona.edu5月19日发布,1997R.洪斯伯格。数学宝石II。华盛顿特区:数学。美国协会。,第2页,1976年。英格姆,答:E。这个素数的分布。英国剑桥:剑桥大学出版社,1990Jeffreys,H.和Jeffrey,B.S。方法数学物理第三版。英国剑桥:剑桥大学出版社,第462-463页,1988年。Kakutani,S.“遍历转移理论转型。“输入程序。第五届伯克利数理统计研讨会和《概率》,第2卷。加州伯克利:加利福尼亚大学出版社,第405-414页,1967兰道,E。汉布赫der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,第三版。纽约:切尔西,1974年。勒温,L。二对数和相关功能。伦敦:麦克唐纳,1958年。莱兰德,P。http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/factoris/factorial+.txt文件.利兰,第页。http://www.leyland.vispa.com/numth/factory/factory/factory/factory-.txt.马达奇,J.S.公司。马达西的数学重建。纽约:多佛,第174页,1979年。梅林,H.“Abrißeiner einheitlichen伽马和超几何理论富克提翁。"数学。安。 68, 305-337, 1909.穆奇,M.“不是数字而是数字!”个人电脑世界,279-280中,1997C.S.奥美。和J.T.安德森。短途旅行在数论中。纽约:多佛,1988年。佩特科夫舍克,M。;Wilf,H.S。;和D.泽尔伯格。A=B。马萨诸塞州韦尔斯利:A K Peters,第86页,1996年。http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.按,W.H。;弗兰纳里,B.P。;Teukolsky,S.A。;和韦特林。“伽马函数、β函数、因子、二项式系数”§6.1在里面数字的FORTRAN:科学计算的艺术,第二版。英国剑桥:剑桥大学出版社,第206-209页,1992年。里宾博伊姆,P。这个素数记录新书。纽约:Springer-Verlag,第22-24页,1989新泽西州斯隆。答:。序列A000142号/M1675,A000197号/M2187,A001163号/M5400,A001164号/M4878,A008904号,A019514号,A020549号,A027868号,A046029号,A046032号,A046033号,A046968号,A046969号,A049529号,A061010型,A063979号在线百科全书整数序列的。"Spanier,J.和Oldham,K.B。阶乘函数不!及其相互作用。“通道2英寸功能地图集。华盛顿特区:《半球》,第19-331987页。特洛特,M。这个编程数学指南。纽约:Springer-Verlag出版社,第81页,2004http://www.mathematicaguidebooks.org/.瓦尔迪,一、。计算型数学娱乐。马萨诸塞州雷丁:Addison-Wesley,第67页,1991年。呕吐,C.和Brown,M.“问题驱动”尤里卡 37, 11, 1974.

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阶乘

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“阶乘”来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Factorial.html

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