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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A001399型 a(n)是n最多分成3部分的数目;也是n+3的最大部分是3的划分;也是具有3个节点和n个边的未标记多图的数目。
(原M0518 N0186)
136
1、1、2、3、4、5、7、8、10、12、14、16、19、21、24、27、30、33、37、40、44、48、52、56、61、65、70、75、80、85、91、96、102、108、114、120、127、133、140、147、154、161、169、176、184、192、200、208、217、225、234、243、252、261、271、280、290、300、310、320、331、341 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

还有n个顶点上的三脚架(树正好有3片叶子)。-埃里克·W·维斯坦2011年3月5日

n+3分为3个部分的划分数;n的最大部分小于或等于3的划分数;b+2c+3d的非负解的个数=n。

另外,a(n)给出了n+6划分为3个不同部分的数目,2n+9划分为3个不同和奇数部分的数目,例如,15=11+3+1=9+5+1=7+5+3。-乔恩·佩里2004年1月7日

还有n+3个珠子的手镯,其中3个是红色的(所以有2个可能是5个珠子)。

更一般地说,n最多分为k个部分的个数也是n+k分为k个正部分的个数,n+k的最大部分是k的个数,其中最大部分小于或等于k的n的分块数,给出了n+k(k+1)/2划分为k个不同正部的个数,b+2c+3d+非负解的个数。。。+kz=n和2c+3d+的非负解的个数。。。+kz<=n-亨利·巴特利2001年4月17日

当m趋于无穷大时,(m取3)的展开式中的q^n系数。-Y.Kelly Itakura(yitkr(AT)mta.ca),2002年8月21日

来自Winston C.Yang(Winston(AT)cs.wisc.edu),2002年4月30日:(开始)

写1,2,3,4,。。。在围绕0的六边形螺旋中,n>0的a(n)由折叠点(包括初始1)形成。螺旋开始:

.

85--84--83--82--81--80

                 /                     \

86 56--55--54--53--52 79

               /   /                 \   \

87 57 33--32--31--30 51 78

             /   /   /             \   \   \

88 58 34 16--15--14 29 50 77

           /   /   /   /         \   \   \   \

89 59 35 17 5---4 13 28 49 76

         /   /   /   /   /     \   \   \   \   \

90 60 36 18 6 0 3 12 27 48 75

       /   /   /   /   /   /   /   /   /   /   /

91 61 37 19 7 1---2 11 26 47 74

           \   \   \   \         /   /   /   /

62 38 20 8---9--10 25 46 73

             \   \   \             /   /   /

63 39 21--22--23--24 45 72

               \   \                 /   /

64 40--41--42--43--44 71

                 \                     /

65--66--67--68--69--70

.

a(p)是周长最多为2p+6的polyhex中的最大六边形数。(结束)

a(n-3)是n分成3个不同部分的数目,其中0可以作为一部分。E、 在n=9时,我们可以写出8+1+0,7+2+0,6+3+0,4+5+0,1+2+6,1+3+5和2+3+4,这就是a(6)=7。-乔恩·佩里2003年7月8日

a(n)给出n+6划分为<=3的部分的数目,其中每个部分至少使用一次(从n中减去6=1+2+3)。-乔恩·佩里2004年7月3日

这也是n+3划分为3个部分的数量(n+3的最大部分为3的分区数与n+3划分为三个部分的分区数之间存在1:1的对应关系)。-格雷姆·麦克雷2005年2月7日

将Riordan数组(1/(1-x^3),x)应用于地板((n+2)/2)。-保罗·巴里2005年4月16日

另外,可以用奇数周长3,5,7,9,11,。。。所有边都是整数。注意,周长为偶数的三角形可以通过每边增加1从奇数生成。E、 g,a(1)=1,因为周长3可以形成{1,1,1}1三角形。a(4)=3,因为周长9可以使{1,4,4}{2,3,4}{3,3,3}3个可能的三角形。-Bruce Love(Bruce嫒Love(AT)of s.edu.sg),2006年11月20日

也可以是丢番图方程x+2*y+3*z=n的非负解的个数,参见Pólya/Szegő参考文献。

弗拉基米尔·谢韦列夫2011年4月23日:(开始)

另外,a(n-3),n>=3,是由3个珠子组成的非等效项链的数量,每个珠子由n种颜色中的一种绘制。

序列{a(n-3),n>=3}解决了k=3时凸k-边角的所谓Reis问题(参见我们的评论A032279号).

(n-3)(n>=3)是n阶(0,1)-循环中每行有三个1的不同值的个数的基本上不可微估计。(结束)

A001399型(n) 是具有{0,…,n}和w=2*x+3*y中所有项的3元组(w,x,y)的数目-克拉克·金伯利2012年6月4日

另外,对于n>=3,a(n-3)是n边形中不同三角形的数目,请参见Ngaokrajang链接。-Kival Ngaokrajang公司2013年3月16日

此外,a(n)是填充到硬币喷泉底部(n+3)的5曲线硬币图案(5C4S类型:5曲线覆盖全部4个硬币和对称)的总数。请参阅链接中的插图。-Kival Ngaokrajang公司2013年10月16日

另外,a(n)=长度为3的Zˉn的最小零序列数的一半[Ponomarenko]。-N、 斯隆2014年2月25日

八面体级数的旋转项(α)也线性地等于八面体级数的旋转项。-布拉德利·克莱2015年7月31日

有限Coxeter群D_3和A_3不变量的Molien级数。-N、 斯隆2016年1月10日

在x,y,z三个盒中n+6个相同球的不同分布数,其中0<x<y<z-欧洲经委会Uslu和Esin Becenen,2016年1月11日

a(n)也是2*n的分区数,其中<=n个部分且没有部分>=4。对无部分>=4的n的划分的双射是:1<->2,2<->1+3,3<->3+3(遵守这些规则的顺序)。<-方向对2*n的分区使用以下事实,其中<=n个部分且没有部分>=4:对于每个部分1,有一个第3部分,其余部分3的偶数(包括0)。-狼牙2019年5月21日

参考文献

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链接

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詹姆斯·坦顿,整数三角形,第11章“数学丰富(MAA,2012年)。

埃里克·韦斯坦的数学世界,三脚架.

常系数线性递归的索引项,签名(1,1,0,-1,-1,1)。

Molien系列的索引项

公式

G、 f.:1/((1-x)*(1-x^2)*(1-x^3))。

a(n)=圆形((n+3)^2/12)。请注意,这不能是(2*i+1)/2的形式,因此不会出现联系。

a(n)=A008284号(n+3,3),n>=0。

a(n)=1+a(n-2)+a(n-3)-a(n-5)表示Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2006年9月4日

a(n)=a(-6-n)表示Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2006年9月4日

a(6*n)=A003215(n) ,a(6*n+1)=A000567号(n+1),a(6*n+2)=A049450型(n+1),a(6*n+3)=A033428(n+1),a(6*n+4)=A049451号(n+1),a(6*n+5)=A094454电话(n+1)。

a(n)=a(n-1)+A008615型(n+2)=a(n-2)+A008620(n) =a(n-3)+A008619号(n)=A001840(不适用)=A002620(n+2)-A001840(n)=A000601号(n)-A000601号(n-1)。-亨利·巴特利2001年4月17日

P(n,3)=(1/72)*(6*n^2-7-9*pcr{1,-1}(2,n)+8*pcr{2,-1,-1}(3,n))(见附录)。[此处“pcr”代表“初级循环器”,其定义见Comtet第109页,而公式则出现在第110页。-彼得罗斯哈吉科斯塔斯2019年10月3日]

设m>0和-3<=p<=2由n=6*m+p-3定义;对于n>-3,a(n)=3*m^2+p*m;对于n=-3,a(n)=3*m^2+p*m+1。-范拉莫地板2001年7月23日

72*a(n)=17+6*(n+1)*(n+5)+9*(-1)^n-8*A061347号(n) 一。-贝诺伊特·克罗伊特2003年2月9日

乔恩·佩里2003年6月17日:(开始)

a(n)=6*t(楼层(n/6))+(n%6)*(楼层(n/6)+1)+(n mod 6==0?1: 0),其中t(n)=n*(n+1)/2。

上限=1*n/2=1*n/a?1: 0)。

[此处“n%6”表示“n mod 6”,而“(n mod 6==0?1: 0)“表示“如果n mod 6==0,则为1,否则为0”(如C中所示)。]

(结束)

a(n)=和{i=0..floor(n/3)}1+楼层((n-3*i)/2)。-乔恩·佩里2003年6月27日

a(n)=和{k=0..n}楼层((k+2)/2)*(cos(2*Pi*(n-k)/3+Pi/3)/3+sqrt(3)*sin(2*Pi*(n-k)/3+Pi/3)/3+1/3)。-保罗·巴里2005年4月16日

(m选3)_q=(q^m-1)*(q^(m-1)-1)*(q^(m-2)-1)/((q^3-1)*(q^2-1)*(q-1))。

a(n)=和{k=0..floor(n/2)}层((3+n-2*k)/3)。-保罗·巴里2003年11月11日

A117220号(n) =一个(A003586号(n) )。-莱因哈德·祖姆凯勒2006年3月4日

a(n)=3*和{i=2..n+1}层(i/2)-层(i/3)。-托马斯·威德2007年2月11日

与{I,J}整数网格边界上的点数相同,由三条直线I=0,I-J=0和I+2J=n为界。Norris给出了索引'n'的单位偏移量,floor((n+3)^2+4))/12,与上面已经发布的floor((n+3)^2+3))/12相同。-乔纳森·沃斯·波斯特2007年7月3日

a(n)=A026820型(n,3)对于n>2。-莱因哈德·祖姆凯勒2010年1月21日

长度3序列的欧拉变换[1,1,1]。-迈克尔·索莫斯2012年2月25日

a(n)=A005044号(2*n+3)=A005044号(2*n+6)。-迈克尔·索莫斯2012年2月25日

a(n)=A000212型(n+3)-A002620(n+3)。-理查德·福伯2013年12月8日

a(n)=a(n-1)+a(n-2)-a(n-4)-a(n-5)+a(n-6)。-大卫·尼尔·麦克格拉斯2015年2月14日

楼层(2+2)/n=。-贾科莫·古列里2019年4月2日

迪凡什·辛格2020年5月28日:(开始)

设p(n,3)是每个部分大于0的3部分整数分区的数目。

对于n>=3,p(n,3)等于:

(n^2-1)/12当n为奇数且3不除n时。

(n^2+3)/12当n为奇数且3除以n时。

(n^2-4)/12当n为偶数且3不除n时。

(n^2)/12当n为偶数且3除以n时。

对于n>=3,p(n,3)=a(n-3)。(结束)

例子

G、 f.=1+x+2*x^2+3*x^3+4*x^4+5*x^5+7*x^6+8*x^7+10*x^8+12*x^9+。。。

回想一下项链中相邻的珠子有不同的颜色。假设我们有n个颜色,标签为1,…,n。如果相邻颜色标签之间距离模n的循环序列具有相同的周期,则珠子的两种颜色是等价的。如果n=4,则所有颜色相等。E、 g.对于着色{1,2,3}和{1,2,4}我们有距离模4的相同周期{1,1,2}。所以,a(n-3)=a(1)=1。{2,5,如果1,5有两个1,5的模。因此a(2)=2。-弗拉基米尔·谢韦列夫2011年4月23日

a(0)=1,即{1,2,3}个相同的球分布到3个盒中,如x,y和z,其中0<x<y<z-USECE LU公司,Esin Becenen,2016年1月11日

a(3)=3,即{1,2,6},{1,3,5},{2,3,4}在x,y和z中0<x<y<z的3个盒子中的不同分布的{1,2,6},{1,3,5},{2,3,4}个数-欧洲经委会Uslu,Esin Becenen,2016年1月11日

格斯·怀斯曼2019年4月15日:(开始)

n的a(0)=1到a(8)=10个整数分区(最多有三个部分)如下所示。这些分区的Heinz数由A037144.

()(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

(十一)(21)(22)(32)(33)(43)(44)

(111)(31)(41)(42)(52)(53)

(211)(221)(51)(61)(62)

(311)(222)(322)(71)

(321)(331)(332)

(411)(421)(422)

(511)(431)

(521个)

(611)

n+3的最大部分为3的a(0)=1到a(7)=8整数分区如下。这些分区的Heinz数由A080193号.

(三)(31)(32)(33)(322)(332)(333)(3322)

(311)(321)(331)(3221)(3222)(3331)

(3111)(3211)(3311)(3321)(32221)

(31111)(32111)(32211)(33211)

(311111)(33111)(322111)

(321111)(33111)

(311111)(3211111)

(31111111)

具有3个顶点和n条边的a(0)=1到a(5)=5的非同构表示如下。

{}{12}{12,12}{12,12,12}{12,12,12}{12,12,12,12}{12,12,12,12}

{13,23}{12,13,23}{12,13,23,23}{12,13,13,23,23}

{13,23,23}{13,13,23,23}{12,13,23,23,23}

{13,23,23,23}{13,13,23,23,23}

{13,23,23,23,23}

n-6的a(0)=1到a(8)=10的三部分严格整数分区如下(a=10,B=11)。这些分区的Heinz数由A007304型.

(321)(421)(431)(432)(532)(542)(543)(643)(653)

(521)(531)(541)(632)(642)(652)(743)

(621)(631)(641)(651)(742)(752)

(721)(731)(732)(751)(761)

(821)(741)(832)(842)

(831)(841)(851)

(921)(931)(932)

(A21)(941)

(A31)

(B21)

n+3的a(0)=1到a(8)=10个整数分区,由三部分组成。这些分区的Heinz数由A014612号.

(111)(211)(221)(222)(322)(332)(333)(433)(443)

(311)(321)(331)(422)(432)(442)(533)

(411)(421)(431)(441)(532)(542)

(五百五十一)(五百一十一)

(611)(531)(622)(632)

(621)(631)(641)

(711)(721)(722)

(811)(731)

(821)

(911)

n的最大部分<=3的a(0)=1到a(8)=10个整数分区如下。这些分区的Heinz数由A051037号.

()(1)(2)(3)(22)(32)(33)(322)(332)

(十一)(21)(31)(221)(222)(331)(2222)

(111)(211)(311)(321)(2221)(3221)

(1111)(2111)(2211)(3211)(3311)

(11111)(3111)(22111)(22111)

(21111)(31111)(32111)

(1112211年)

(11111)(311111)

(211111)

(11111111)

a(0)=1到a(6)=7个2n+9的严格整数分区,有3个部分,它们都是奇数,如下所示。这些分区的Heinz数由A307534飞机.

(5,3,1)(7,3,1)(7,5,1)(7,5,3)(9,5,3)(9,7,3)(9,7,5)

(9,3,1)(9,5,1)(9,7,1)(11,5,3)(11,7,3)

(11,3,1)(11,5,1)(11,7,1)(11,9,1)

(13,3,1)(13,5,1)(13,5,3)

(15,3,1)(13,7,1)

(15,5,1)

(17,3,1)

a(0)=1到a(8)=10 n+3的严格整数分区,其中允许0作为一部分(a=10):

(210)(310)(320)(420)(430)(530)(540)(640)(650)

(410)(510)(520)(620)(630)(730)(740)

(321)(610)(710)(720)(820)(830)

电话:(421)(431)(810)(910)(920)

(521)(432)(532)(A10)

(531)(541)(542)

(621)(631)(632)

(721)(641)

(731)

(821)

n+6的a(0)=1到a(7)=7整数分区,其不同部分是1、2和3,如下所示。这些分区的Heinz数由A143207.

(321)(3211)(3221)(3221)(3321)(32221)(33221)(33321)

(32111)(32211)(33211)(322211)(322221)

(321111)(322111)(332111)(332211)

(3211111)(322111)(32221111)

(32111111)(3321111)

(32211111)

(321111111)

(结束)

包含<=n个部分且无部分>=4的2*n的分区:a(3)=3(从(2^3),(1,2,3),(3^2)映射到(1^3),(1,2),(3),3的无部分>=4的分区。-狼牙2019年5月21日

枫木

[顺序(1+楼层((n^2+6*n)/12),n=0..60)];

A001399型:=-1/(z+1)/(z**2+z+1)/(z-1)**3#西蒙·普劳夫在他1992年的论文中

对于n从1到20,do结果:=0:对于i从2到n+1,do结果:=result+(floor(i/2)-floor(i/3));od;result;od#托马斯·威德2007年2月11日

带(combstruct):ZL4:=[S,{S=Set(循环(Z,card<4))},未标记]:seq(count(ZL4,size=n),n=0..61)#泽伦瓦拉乔斯2007年9月24日

B: =[S,{S=Set(序列(Z,1<=卡片),卡片<=3)},未标记]:seq(combstruct[count](B,size=n),n=0..61)#泽伦瓦拉乔斯2009年3月21日

数学

系数列表[系列[1/((1-x)*(1-x^2)*(1-x^3)),{x,0,65}],x]

表[Length[IntegerPartitions[n,3]],{n,0,61}](*更正人让·弗朗索瓦·阿尔科弗2012年8月8日*)

k=3;表[(应用[Plus,Map[EulerPhi[#]二项式[n/#,k/#]&,除数[GCD[n,k]]]]/n+二项式[If[OddQ[n],n-1,n-If[OddQ[k],2,0]]/2,If[OddQ[k],k-1,k]/2])/2,{n,k,50}](*罗伯特A.罗素2004年9月27日*)

LinearRecurrence[{1,1,0,-1,-1,1},{1,1,2,3,4,5},70](*哈维·P·戴尔2012年6月21日*)

a[n_9]:=带[{m=Abs[n+3]-3},长度[整数部分[m,3]]](*迈克尔·索莫斯2014年12月25日)

k=3(*手镯问题中的红色珠子数量*);系数列表[系列[(1/k加@@(EulerPhi[#](1-x^#)^(((k/#))&/@除数[k])+(1+x)/(1-x^2)^楼层[(k+2)/2])/2,{x,0,50}],x](*赫伯特·科西姆巴2016年11月4日*)

表格[Length[Select[IntegerPartitions[n,{3}],UnsameQ@@@@@&]],{n,0,30}](*格斯·怀斯曼2019年4月15日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=圆形((n+3)^2/12)}/*迈克尔·索莫斯2006年9月4日*/

(哈斯克尔)

a001399=p[1,2,3]式中

p?0=1

p[]\u=0

p ks'@(k:ks)m=如果m<k,则0其他p ks'(m-k)+p ks m

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年2月28日

(岩浆)I:=[1,1,2,3,4,5];[n le 6选择I[n]其他自我(n-1)+自我(n-2)-自我(n-4)-自我(n-5)+自我(n-6):n in[1..80]]//文迪恩佐图书馆2015年2月14日

(岩浆)[受限制的分区(n,{1,2,3}):n in[0..62]]//马吕斯·A·伯提亚2019年1月6日

(岩浆)[圆形((n+3)^2/12):n in[0..70]]//马吕斯·A·伯提亚2019年1月6日

交叉引用

囊性纤维变性。A008724号,A003082型,A117485号,A026810,A026811号,A026812号,A026813号,A026814号,A026815号,A026816号,A000228号,A036496号,A008619号,A001400,A001401号,A128012型,A069905号,A008615型,第3行,共邮编:A192517.

有限Coxeter群D_3到D_12的Molien级数是A001399型,A051263,甲266744-A266751号.

囊性纤维变性。A007304型,A014612号,A037144,A051037号,A080193号,A143207,A307534飞机.

上下文顺序:A242678号 A034092号 A211540型*A069905号 A008761号 A008760

相邻序列:A001396 A001397型 A001398*A001400 A001401号 A001402

关键字

,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

名称编辑人格斯·怀斯曼2019年4月15日

状态

经核准的

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