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A060351型 |
| 如果n的二进制展开式有k位,则设S是[k-1]的子集,如果n的第i位是1(第一位是最低有效位),则i位于S中;a(n)是[k]与下降集S的排列数。 |
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21
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 5, 3, 3, 5, 3, 1, 1, 4, 9, 6, 9, 16, 11, 4, 4, 11, 16, 9, 6, 9, 4, 1, 1, 5, 14, 10, 19, 35, 26, 10, 14, 40, 61, 35, 26, 40, 19, 5, 5, 19, 40, 26, 35, 61, 40, 14, 10, 26, 35, 19, 10, 14, 5, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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a(n)是对称群S_k中的置换数,其中n=2^(k-1)+2^(i-1)之和,其中i是置换的下降,k=n的二进制展开中的位数。
如果n=4m,则a(n)-a(n+1)+a(n+2)-a。这是根据我的论文arXiv:0801.0072v1中的定理10得出的。例如,a(20)-a(21)+a(22)-a(23)=9-16+11-4=0-弗拉基米尔·舍维列夫2008年1月7日
用{n,k}表示{0,1,…n}的置换数,这样k的n-1位二进制展开(展开允许以0开头)表示“上”(1)点和“下”(0)点的固定分布。数字{n,k}被称为置换的“上下系数”,因为它们具有许多与二项式系数C(n,k)类似的属性(参见Shevelev等人的参考文献)。序列将行号{n,k}列为行读取的三角形(参见示例)-弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月13日
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参考文献
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I.Niven,有限序列的组合问题,Nieuw Arch。威斯克。(3) 16 (1968), 116-123.
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链接
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N.G.de Bruijn,放弃起伏的排列,Nieuw Arch。18 (1970), 61-65.
V.Shevelev和J.Spilker,排列的上下系数,元素。数学。68 (2013), 115-127.
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配方奶粉
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{n+1,2*k}+{n+1.2*k+1)=(n+1)*{n,k},
{n+2,4*k}+{n+2.4*k+2}={n+2,4*k+1}+{n+2,4*k+1}+{n+2,4*k+3}=(n+2)*(n+1)/2*{n,k}等。
求和{i=0..2^r-1}{n,i}=n*(n-1)**(n-r+1)。
对于n>=1,0<=k<2^(n-1),{n,k}<={n,rn},其中rn=(2^n-2)/3,如果n是奇数,rn=。
等式保持当k=r_n或2^(n-1)-r_n-1时,这对应于交替排列的情况。De Bruijn提到Niven知道后一个结果,但他从未发表过这一声明。可以在Shevelev和Spilker参考文献中找到证据(第5节)。
在Shevelev和Shevelev-Spillker的参考文献中可以找到许多其他的等式、递归和不等式-弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月13日
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例子
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解释为三角形:
1;
1;
1, 1;
1, 2, 2, 1;
1、3、5、3、3、5、3、1;
1, 4, 9, 6, 9, 16, 11, 4, 4, 11, 16, 9, 6, 9, 4, 1;
1, 5, 14, 10, 19, 35, 26, 10, 14, 40, 61, 35, 26, 40, 19, 5, 5, 19, 40, 26, 35, 61, 40, 14, 10, 26, 35, 19, 10, 14, 5, 1;
...
考虑{4,2}(见注释)。k=010(4-1位二进制数字)。
所以{4,2}是{1,2,3,4}的向下向上排列的数目。我们有5个这样的排列(2,1,4,3),(3,1,4,2),(3,2,4,1),(4,1,3,2)和(4,2,3,1)。因此{4,2}=5。
在行上,序列的形式为:
{0,0}
{1,0}
{2,0} {2,1}
{3,0} {3,1} {3,2} {3,3}
{4,0} {4,1} {4,2} {4,3} {4,4} {4,5} {4,6} {4,7}
...
使得第i行包含具有行和i!的上限(2^(i-1))个条目!,i> =0。
(结束)
n=11的二进制展开式为1011,其中k=4位。在第一个k-1=3位中,从右边的最低有效位开始,第一个和第二个是1,所以S={1,2}。下降集S={1,2}的[k]={1,2,3,4}的a(11)=3置换为{3,2,1,4}、{4,2,1,3}和{4,3,1,2}-丹尼·罗拉博2015年4月2日
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MAPLE公司
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ct:=proc(k)选项记忆;局部i,out,n;如果k=0,则返回(1);fi;n:=楼层(evalf(log[2](k)))+1;如果k=2^n或k=2^(n+1)-1,则返回(1);fi;输出:=0;对于从1到n的i,如果irem(iquo(k,2^(i-1)),2)=1并且irem(2*k,2qu(i-l)),2中)=0那么输出:=输出+(n-1)/(i-1)/(n-i)!*ct(地板(irem(k,2^(i-1))+2^(i-2)))*ct(iquo(k,2 ^i));fi;od;退出;结束:seq(ct(i),i=0..64);
#第二个Maple项目:
b: =proc(u,o,t)选项记忆;展开(`if`(u+o=0,1,
加(b(u-j,o+j-1,t+1)*x^楼层(2^(t-1)),j=1..u)+
加(b(u+j-1,o-j,t+1),j=1..o))
结束时间:
T: =n->(p->seq(系数(p,x,i),i=0..度(p))(b(n,0$2)):
#第三个Maple项目:
b: =proc(u,o,t)选项记忆`如果`(u+o=0,`如果`(t=0,1,0),
`如果`(irem(t,2)=0,加上(b(u-j,o+j-1,iquo(t,2中)),j=1..u),
加(b(u+j-1,o-j,iquo(t,2),j=1..o))
结束时间:
T: =(n,k)->b(n,0,2*k):
seq(seq(T(n,k),k=0..ceil(2^(n-1))-1),n=0..7)#阿洛伊斯·海因茨2020年9月12日
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数学
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<<离散数学`Combinatorica`;binDescents[perm_List]:=FromDigits[Sign[Rest[perm]-Drop[perm,-1]]/2+1/2,2];表[系数列表[Apply[Plus,((Length[#1]*x^#1&)[Flatten[Outer[binDescents[TableauxToPermutation[#1,#2]]&,{FirstLexicographicTableau[#1]},Tableaux[#1],1]]&)/@分区[w],{0,1}],x],{w,2,7}](*沃特·梅森2012年1月30日*)
upDown[n_,k_]:=upDown[n,k]=模块[{t,m},t=平坦[Reverse[Position[Reverse[IntegerDigits[k,2]],1]];m=长度[t];(-1)^m+总和[upDown[t[j]],k-2^(t[[j]]-1)]*二项式[n,t[[j]]],{j,1,m}]];表[upDown[n,k],{n,1,7},{k,0,2^(n-1)-1}]//扁平(*Jean-François Alcover公司,2017年7月16日,之后弗拉基米尔·舍维列夫*)
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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朱利安·吉尔贝修正的定义,2007年7月26日
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状态
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经核准的
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