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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 0108 加泰罗尼亚数字:C(n)=二项式(2n,n)/(n+1)=(2n)!(n)!(n+1)!也称为塞格纳数。
(前M1459 N057)
三千三百二十八
1, 1, 2、5, 14, 42、132, 429, 1430、4862, 16796, 58786、208012, 742900, 2674440、9694845, 35357670, 129644790、477638700, 1767263190, 6564120420、24466267020, 91482563640, 343059613650、1289904147324, 4861946401452, 18367353072152、69533550916004, 263747951750360, 1002242216651368、3814986502092304 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

薛定谔第一个问题的解大量的组合解释是已知的——参见参考文献,尤其是斯坦利,列举组合数学,第2卷。这可能是OEIS中最长的条目,也是正确的。

在N + 1个字母的单词中插入N对圆括号的方法。例如,对于n=2,有2种方式:((ab)c)或(a(bC));对于n=3,有5种方式:((ab)(cd))、((ab(c))d)、((a(bC))d)、(a((bC)d))、(a(b(cd)))。

考虑在方格纸上的所有二项式(2n,n)路径,(i)在(0, 0)开始,(ii)在每个步骤结束(2n,0)和(iii),或者做出(+ 1,+1)步骤或(+1,-1)步骤。然后,这些路径永远不会低于X轴(Dyk路径)的数目是C(n)。[ Chung Feller ]

n-集的非交叉划分数。例如,在4个集合的15个集合分区中,只有[{ 13 },{ 24 } ]是交叉的,所以4个元素有一个(4)=14个非交叉分区。-乔尔格阿尔恩特7月11日2011

A(n-1)是在对称群Syn中表示n个循环的方式的数目,作为n-1置换(u1,v1)*(u2,vy2)**(u{{n-1-},v{{n-1)}的乘积,其中uk k=uyj和vyk <=vjj为k<j;参见例子。如果条件被放弃,则获得A000 027. -乔尔格阿尔恩特Greg Stevenson,7月11日2011

A(n)是具有N个节点的有序根树的数目,不包括根。看看康威家伙的参考,这些根有序的树木被称为平面灌木。也请参阅贝格隆等。参考文献,实例4,第167页。-狼人郎,八月07日2007

如Beineke和PIPPART(1971)中所示,A(N-2)=D(n)是磁盘的标记剖分的数目,与r(n)=数有关。A000 1761(n-2)具有n个顶点并以给定的外部边缘为根的标记平面2-树,由公式d(n)=r(n)/(n-2)!-哈斯勒2月22日2012

当与自身卷积时移动一个位置。

对于n>=1,a(n)也是n个边上的亏格0的根双色单细胞映射的数目。- Ahmed Fares(AHMEMEFARES(AT)我的Deja.com),8月15日2001

在一个圆上连接2n个点以形成n个非相交弦的方法。(如果没有这样的限制,那么形成N和弦的方式是由(2n-1)给出的!!=(2n)!n!2 ^ n=A000 1147(n)

出现在舒伯特演算-见SOTTITE参考。

序列的逆欧拉变换A022553.

带插值零点的Motzkin数的逆二项变换A000 1006. -保罗·巴里7月18日2003

这个序列的Hankel变换或这个序列的第一个术语省略了A000 0 12= 1, 1, 1,1, 1, 1,…;例子:DET([ 1, 1, 2,5;1, 2, 5;14;2, 5, 14,42;5, 14, 42,132)]=1和DET([ 1, 2, 5,1, 2, 5;γ,γ;γ;γ,γ])=γ。-菲利普德勒姆04三月2004

A(n)等于三角形行n项的平方和A053121这是由加泰罗尼亚序列的连续自卷积形成的。-保罗·D·汉娜4月23日2005

曼德尔布罗特多项式m的系数也迭代了无穷次数。M(0)=0=0*C^ 0=[0 ],M(1)=C=C^ 1+0*C^ 0=[1 0 ],M(2)=C^ Soop+C=C^α+C^α+α*C^==[α],m(α)=(C^α+C)^ + +C=(α,α),…M(5)=[ 0,1,1,2,5,14,26,44,69,94,114,114,α,β,…- Donald D. Cross(CasyKiTy(AT)Hotmail .com),2月04日2005

素数p除以Cn n的多重性可以通过首先在基p中表示n+ 1来确定,对于p=2,多重数是1位数减去1。对于p奇数素数,计数大于(p+1)/ 2的所有数字;除最后一个之外,还计数等于(p+1)/2的计数数字;和计数数字等于(p-1)/2,如果不是最终的,则计数下一个数字。例如,n=62,n+ 1=223Ω5,因此Cy62不能被5整除。n=63,n+ 1=224.5,SO 5 ^ 3 C663。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯,08月2日2006

Koshy和Salmassi给出了一个初等证明,唯一的素Calalman数是A(2)=2和A(3)=5。是唯一的半素加泰罗尼亚数A(4)=14吗?-乔纳森沃斯邮报06三月2006

答案是肯定的。使用公式Cnn=二项式(2n,n)/(n+1),可以很快地看出,Cn n不能具有大于2n的素因子。对于n>=7,cnn>(2n)^ 2,因此它不能是半素数。考虑到加泰罗尼亚数呈指数增长,上述考虑意味着Cnn的素数的数目,以多重数计,必须无限制地增长。不同的素数除数也必须在没有限制的情况下增长,但这是比较困难的。n+1和2n之间的素数必须除以Cn n。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯4月14日2006

在N个编号的盒子B1,…,BN中放置N个不可区分的球的数量,使得最多k个球被放置在箱子B1,…,BK中,用于K=1,…,N,例如A(3)=5,因为在3个盒子中有5个分配3个球的方式,使得(i)盒子1最多得到1个球,并且(ii)盒子1和盒子2一起得到最多2球:(o)(o)(o),(o)(o),,((o))(o),(())(o)(o),(())(OOO)。-丹尼斯·P·沃尔什,十二月04日2006

A(n)也是阶次递减和保序完全变换(n元链)的半群的阶——现在称为加泰隆幺半群。-阿卜杜拉希奥马尔8月25日2008

A(n)是群SU(2)(a(1))的2n旋量(最小)表示的直接乘积中的平凡表示数。- Rutger Boels(波尔斯(AT)NBI,DK),8月26日2008

当对任意起始序列施加无穷多次时,逆变换会收敛到加泰罗尼亚数。-马格兰维克加里·W·亚当森罗杰·巴古拉,SEP 09 2008,9月12日2008

Limi{{N->无穷大} A(n)/A(n-1)=4。- Francesco Antoni(弗朗西斯科安东尼(AT)雅虎.com),11月24日2008

从偏移1开始=三角形的行和A1545 59. -加里·W·亚当森1月11日2009

C(n)是Grasman年G(1,n+1)的程度:(n+1)维射影空间中的一组线,或通过(n+2)维仿射空间中的原点的平面集合。Grasman年被认为是n维射影空间的一个子集,n=二项式(n+2,2)- 1。如果我们在投射(n+1)-空间中选择2n个一般(n-1)-平面,则有满足所有的C(n)线。- Benji Fisher(本吉(AT)Fisher Form,org),05年3月2009日

从偏移1开始A06875(1, 2, 4,10, 18, 84,…)用精细的数字卷积,A000 0957(1, 0, 1,2, 6, 18,…)。A(6)=132=(1, 2, 4,10, 28, 84)点(18, 6, 2,1, 0, 1)=(18+12+8+10+0+84)=132。-加里·W·亚当森01五月2009

卷积A032443(1, 3, 11,42, 163,…)= 4的幂,A000 0302(1, 4, 16,…)。-加里·W·亚当森5月15日2009

SuMu{{K>=1 } C(K-1)/2 ^(2K-1)=1。求和中的第k项是整数(在原点开始)的随机游走在精确(2k-1)步中将到达第一次(第一次)的概率。-杰弗里·克里茨9月12日2009

C(p+q)-c(p)*c(q)=SuMu{{i=0,p-1,j=0…q-1 } c(i)*c(j)*c(p+q-i-j-1)。-罗兰集团11月13日2009

莱昂哈德·欧拉用公式C(n)=乘积{{i=3…n}(4×i-10)/(i-1)在他的“BeCurtGung,AUF WieWielay-AtEn En GeeBeNes蓼DrCH-LangOnLeNIEN在三角洲ZrSnCHNITTEN Wordon K'Nne’中,用递归C(n+2)计算n=1…8。(柏林,1751年9月4日,在给哥德巴赫的信中)彼得卢斯尼3月13日2010

A17927= a(x)。然后由(x)/a(x ^ 2)满足C(x)。-加里·W·亚当森,朱尔07 2010

A(n)=A000 0680(n)/A000 64 72(n+1)。-马克多尔斯7月14日2010;更正哈斯勒08月11日2015

A(n)也是BYN型或CYN型突变类中的箭头数。基督教残肢02月11日2010

考虑一组A000 0217(n)n个颜色的球,其中,对于每一个整数k=1到n,正好在集合中出现一个颜色,总共k次。(每个球都有一种颜色,与其他颜色的球不可区分)a(n+1)等于选择0种或更多种颜色的球的数量,同时满足以下条件:1。没有两种颜色选择相同的正数次数。2。对于至少两次选择的两种颜色(C,D),选择颜色C比颜色D更多。

如果第二个要求被解除,可接受的方法的数量相等。A000 0110(n+1)。见相关评论A016098A085082A. -马修范德马斯特11月22日2010

Deutsh和萨根证明了Calaln数Cnn是奇数,当且仅当n=2 ^ A—1时,对于一些非负整数A,林证明了每奇数的Calaln数Cn n,我们有Cnn== 1(mod 4)。-乔纳森沃斯邮报,十二月09日2010

A(n)是函数f:{1,2,…,n}-> {1,2,…,n}的数目,使得f(1)=1,对于所有n>=1 f(n+1)<=f(n)+1。为了在这组函数和长度2n Dyk单词之间设置一个漂亮的双射,请参阅FXTBook的第333页(参见下面的链接)。

补足A092459A010058(a(n))=1。-莱因哈德祖姆勒3月29日2011

Postnikov(2005)定义了与建筑物相关的“广义加泰罗尼亚数”(例如,B类型的加泰罗尼亚数字),参见A000 0984A-斯隆12月10日2011

A076050(a(n))=n+1,n>0。-莱因哈德祖姆勒2月17日2012

长度等于深度的s(n)中排列的数目。-布丽姬·特纳2月22日2012

A(n)也是形状(n,n)的标准年轻表的数目。-毒扁桃碱2月25日2012

A(n)是长度2n+2的二进制序列的数目,其中第一个数超过入口2n+ 1的零点个数。请参见下面示例示例中的示例。-丹尼斯·P·沃尔什4月11日2012

A(n+1)=A21492(2×n+1,n)=A21492(2×n+2,n)。-莱因哈德祖姆勒7月12日2012

长度为2×N+1的二进制项链的数目,包含N 1的(或,对称的,0的)。所有这些都是林顿的话和他们的代表(作为循环极大值)是二进制戴克语。-乔尔格阿尔恩特11月12日2012

由n′x′字母和n′y字母组成的序列的数目,例如(从左边计数)x′计数>=y′计数。例如,对于n=3,我们有XXYY YY、XXYXY、XXYYXY、XYXYY和XYXY。-乔恩佩里11月16日2012

A(n)是长度为n-1的MoTZKIN路径的数目,其中(1,0)阶有2种颜色。例如:A(4)=14,因为表示u=(1,1),H=(1,0),D=(1,-1),我们有8个形状的形状HHH,2个形状的UHD,2个形状的UDH路径,2个形状的HUD路径。-路易斯·拉姆雷兹1月16日2013

如果p是奇数素数,则(- 1)^((p-1)/ 2)*a((p-1)/2)mod p=2。-加里德莱夫斯2月20日2013

猜想:对于任何正整数n,多项式SUMU{{K=0…n} A(k)*x^ k是有理数域上的不可约的。-孙志伟3月23日2013

A(n)是2n点上的琼斯幺半群的大小(参见)。A225798-詹姆斯米切尔7月28日2013

给定概率(p):SuMu{{N>=0 } A(n)*(1-p)^ n*p^(n+1)=SuMu{{n>=1 } p^ n=p/(1-p)。例如,在p=0.4:0.4+0.6×0.4 ^ 2+2×0.6 ^ 2×0.4 ^ 3+5 * 0.6 ^ 0.6 ^×^ ^+* * * * ^ ^ ^ ^ ^ ^ +…=0.4+0.096+0.04608+0.027648+0.018579456…= 2/3。由于p/(1-p)本身是一个概率,因此当p>=0.5时,它的最大值为1。-鲍勃塞尔科11月16日2013

没有a(n)具有m>1和x>1的形式x^ m。-孙志伟,十二月02日2013

亚力山大亚当丘克,12月27日2013:(开始)

素数p(p(1)/ 2)除以p>3。A12303(n)=加泰罗尼亚数的最大素数因子。

交互Calalon常数C=1+4×SqRT(3)*PI/27=1.80613。=A121839.

log(φ)=(125×C - 55)/(24×SqRT(5)),其中C=SuMu{{K>=1 }(-1)^(k+1)*1/A(k)。A000=黄金对数的自然对数的小数展开。

加泰罗尼亚数字的三维模拟:(3n)!(n)!(n+1)!(n+2)!=A16158(n)=A000 64 80(n)/((n+1)^ 2*(n+1)),其中A000 64 80(n)=(3n)!/(n)!3 de Bruijn s(3,n)。(结束)

对于无粘Burgers方程,或Hopf方程,参见A000 1764. -汤姆·科普兰2月15日2014

林风,五月01日2014:(开始)

一类广义Calaln数可以由G.F. A(x)=(1-qRT(1-q* 4×x*(1(q-1)*x)))/(2×q*x)具有非零参数q。递归:(n+1)*(n+2)-***q*(2×n+3)* a(n+1)+4 *q*(q-1)*n*a(n)=0,具有(0)=1,a(α)=α。

q>=1的渐近逼近:A(n)~(2×q+2×qRT(q))^ n*qRT(2×q*(1 +qRT(q)))/qRT(4×q^ 2×p*n^ 3)。

对于q<=1,G.F.定义了具有渐近逼近的有符号序列:A(n)~RE(qRT(2×q*(1 +qRT(q)))*(2×q+2×qrt(q))^ n)/qRT(q^ 2×p*n^ 3),其中重表示实部。由于斯托克斯现象,渐近近似的精度在/接近n的某些值时恶化。

特殊情况是A000 0108(q=1)A068 764A068 72(q=2至10);A240880(q=- 3)。

(结束)

序列S [(0),S(1),…,S(n)]与S(n)=0,SuMu{{=0…n} s(j)=n,和SuMu{{j=0…k}(j)-1>0为k<n-1(并且必然是SuMu{{=0…n-1 } s(j)-1=0)。这些是具有N个非根节点的(有序)树的分支序列,参见示例。-乔尔格阿尔恩特6月30日2014

[N]的堆栈可排序排列的数目,这是231个避免排列;参见BouQueT-May娄参考。-乔尔格阿尔恩特,朱尔01 2014

A(n)是具有2n-1个节点的增长的严格二叉树的数目,避免132。有关增加具有相关排列的严格二叉树的更多信息,请参见A245894. -曼达里尔,八月07日2014

在具有弹性散射的一维介质(Zig-ZAG行走)中,2n+ 1散射事件后的第一次重复具有概率C(n)/ 2 ^(2n+1)。-约阿希姆·伍特克9月11日2014

O.G.F.C(x)=[1 -SqRT(1-4x)] / 2,对于加泰罗尼亚数,具有COMP。逆Cinv(x)=x*(1-x)和函数p(x)=x/(1+t*x)及其逆Pinv(x,t)=-p(-x,t)=x/(1 -t*x)构成一组在许多经典阵列中生成或插入的组合,如Motzkin(Riordan);A000 5043斐波那契)A000 00 45)以及罚款A000 0957)数与多项式A030528)并枚举Motzkin、Dyk和ukaseWiCz点阵路径和不同类型的树和非交叉分区的数组(A091867,与精化Narayana数的和A134264-汤姆·科普兰04月11日2014

猜想:所有有理数SUM{{I= J.K} 1/A(I),0<min { 2,K} -孙志伟9月24日2015

加泰罗尼亚数列A000 0108(n+3),偏移n=0,给出Hankel变换,揭示从5开始的平方金字塔数,A000 0330(n+2),偏移n=0(经验观察)。-托尼福斯特三世,SEP 05 2016

Calaln数的Hankel变换与前2, 4和5项省略A000 1477A000 68 58A091962,在所有情况下,没有第一个2项。更一般地,省略了第一K项的加泰罗尼亚数的Hankel变换是Hyk(n)=乘积{{j=1…k-1 }乘积{i=1…j}(2×n+j+i)/(j+i)[见Cigler(2011),等式(1.14)和其中的参考文献];它们一起构成阵列。A078920/A123352. -安德烈-齐布洛茨基10月13日2016

这可能满足BunFothe定律,尽管H·RimLangn(2009)中的结果并没有说明这一点。见S. J. Miller,ED,2015,第5页。-斯隆,09月2日2017

与岩浆和树形算子代数相关的生成级数的系数。参见第422页和第435页。论文-汤姆·科普兰,朱尔08 2018

设Myn为具有Myn(i,j)=二项式(i+j-1,2j-2)的nxn矩阵;然后是DET(Myn)=a(n)。-托尼福斯特三世8月30日2018

也有加泰罗尼亚树的数量,或种植的平面树(BoNA,2015,第299页,定理4.63.)。-斯隆12月25日2018

一个卡特彼勒物种树和一个匹配的卡特彼勒基因树的N+ 1叶的聚合历史(罗森伯格2007,推论3.5)。-挪亚罗森伯格1月28日2019

发现EPS*x ^ 2+x-1=0的EPS小的解,即写入x= Suth{{n}=0 } x{{n}* EPS^ n和展开,发现x=1 -EPS+2*EPS^ 2 -5*EPS^ 3 + 14×*EPS^ 3 -42*EPS^ 4 +…用x{{n}=(- 1)^ {n}*c(n)。此外,让x=1/y和扩展y约0来找到大的根,即y=SuMu{{n>=1 } y{{n}**EPS^ n,发现y=0 -EPS+EPS^ 2 -2*EPS^ 3 + 5×EPS^ 3…Yy{n}=(- 1)^ n*c(n-1)。-德里克奥尔3月15日2019

长度n的排列,生成n阶的二部置换图〔见Kuuth-(1973),BuCH(2006),Golumbic和Trek(2004)〕。-艾丽丝安德森R. M.阿古斯凯特林欧文斯特莎史蒂文斯6月27日2019

推荐信

大量的参考文献和链接表明了加泰罗尼亚数字的普遍性。

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“核心”序列的索引条目

与项链相关的序列的索引条目

与括号相关的序列的索引条目

与有根树相关的序列的索引条目

与本福德定律相关的序列的索引条目

公式

A(n)=A000 0984A(n)/(n+1)=二项式(2×n,n)/(n+1)=(2×n)!(n)!*(n + 1)!.

A(n)=二项式(2×n,n)-二项(2×n,n-1)。

A(n)=SuMu{{K=0…n-1 } A(k)a(n1-k)。

A(n)=乘积{{K=2…n}(1+n/k),如果n>1。

G.f.:A(x)=(1 -qRT(1~4×x))/(2×x)。G.f. A(x)满足a=1+x*a^ 2。

A(n+1)=SuMu{{I}二项式(n,2 *i)* 2 ^(n-2*i)*a(i)。-塔查德

2*(2×n-1)*a(n-1)=(n+1)*a(n)。

已知a(n)是奇数当且仅当n=2 ^ k-1,k=0, 1, 2,3,…-埃米里埃德奇,八月04日2002,由哈斯勒08月11日2015

使用斯特灵近似A000 0142我们得到了渐近展开A(n)~4 ^ n/(qRT(p*n)*(n+1))。- Dan Fux(丹)福克斯(AT)OpenGAIA.com或丹福克斯(AT)OpenGaia.com,4月13日2001

积分表示:A(n)=(1/(2×皮))*积分{{x=0,4 } x^ n*SqRT((4-x)/x)。-卡罗尔·彭森4月12日2001

E.g.f.:EXP(2×x)*(Iy0(2×x)-Iy1(2×x)),其中Iyn是贝塞尔函数。-卡罗尔·彭森,10月07日2001

A(n)=多边形(n,6)/多边形(n,3)。- Daniel Dockery(Press(AT)Gmail),6月24日2003

G.f. A(x)满足((a(x)+a(-x))/ 2)^ 2=a(4×x ^ 2)。-米迦勒索摩斯2003年6月27日

G.f. A(x)满足Suthi{{K>=1 } K(a(x)- 1)^ k=SuMu{{n>=1 } {^ {n-1 }*x^ n -夏皮罗,WON,Getu

a(n+m)=SuMu{{K}A039 599(n,k)*A039 599(m,k)。-菲利普德勒姆12月22日2003

a(n+1)=(1 /(n+1))*SUMY{{K=0…n}(N-K)*二项式(2k+1,k+1)。-菲利普德勒姆1月24日2004

A(n)=SuMu{{K>=0 }A000 8313(n,k)^ 2。-菲利普德勒姆2月14日2004

A(m+n+1)=SuMu{{K>=0 }A030598(m,k)*A030598(n,k)。-菲利普德勒姆2月15日2004

C(n-1)=二项式(2×n-2,n-1)/n=(1/n!)(二项式(n-2,1)+二项式(n-2,2))(2 *二项式(n3,1)+7*二项式(n,3,2)+ 8 *二项式(n3,3)+3*二项式(n-3,4))*n^(n-3)+(6 *二项式(n-4,1)+38 *二项式(n-4,2)+93 *二项式(n-4,3)+111 *二项式(n-4,4)+65 *二项式(n-4,5)+15*二项式(n-4,6))*n^(n-4)+…*[n^(n-1)]]-安德鲁·拉博西亚雷,11月10日2004,由哈斯勒11月10日2015

A(n)=SUMY{{K=0…n}(-1)^ k* 2 ^(n- k)*二项式(n,k)*二项式(k,Lead(k/2))。- Paul Barry,1月27日2005

SuMu{{N>=0 } 1/A(n)=2+4*π/3 ^(5/2)=f(1,2;1/2;1/4)=2.806133050770763…(见L'Unver de PI链接)。-杰拉尔德麦加维班诺特回旋曲2月13日2005

A(n)=SUMY{{K=0…楼(n/2)}((n-2*k+ 1)*二项式(n,nk)/(n+k+1))^ 2,相当于:A(n)=SUMU{{K=0…n}。A053121(n,k)^ 2,对于n>=0。-保罗·D·汉娜4月23日2005

A((m+n)/ 2)=SuMu{{K>=0 }A053121(m,k)*A053121(n,k),如果M+n是偶数。-菲利普德勒姆5月26日2005

Suf{{n>=0 } A(n)*x^(2×n)/(2×n)!=贝塞利(1, 2×x)/X.米迦勒索摩斯6月22日2005

给定G.F a(x),则B(x)=x*a(x^ 3)满足0=f(x,b(x)),其中f(u,v)=u-v+(u*v)^ 2或b(x)=x+(x*b(x))^ 2,这意味着b(-b(x))=-x,并且(1 +b^ 3)/b^ 2=(1 -x^ 3)/x^ 2。-米迦勒索摩斯6月27日2005

a(n)=a(n-1)*(4-6/(n+1))。a(n)=2a(n-1)*(8a(n-2)+a(n-1))/(10a(n-2)-a(n-1))。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯,08月2日2006

SuMu{{K>=1 } A(k)/4 ^ k=1。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯6月28日2006

A(n)=A047 96(2×n+1,n)。-菲利普德勒姆7月25日2006

二项式变换A000 5043. -菲利普德勒姆10月20日2006

A(n)=SuMu{{K=0…n}(-1)^ k*A116395(n,k)。-菲利普德勒姆07月11日2006

A(n)=(1/(S-n))* SuMy{{K=0…n}(-1)^ k(k+S-n)*二项式(S-n,k)*二项式(S+N-K,S)与S非负自由整数[ H. W. Gould ]。

A(k)=SuMu{{i=1…k}A000 827(i,k)**(k-1)^(k i)/k!-安德鲁·拉博西亚雷5月29日2007

A(n)=SuMu{{K=0…n}A129818(n,k)*A000 7852(k+1)。-菲利普德勒姆6月20日2007

A(n)=SuMu{{K=0…n}A109466(n,k)*A127632(k)。-菲利普德勒姆6月20日2007

三角形的行和A1249. -加里·W·亚当森10月22日2007

Limi{{N->无穷大}(1 + SuMu{{K=0…n} A(k)/A000 4171(k)=4/π。-莱因哈德祖姆勒8月26日2008

A(n)=SuMu{{K=0…n}A120 730(n,k)^ 2和a(k+ 1)=SuMu{{n>=k}A120 730(n,k)。-菲利普德勒姆10月18日2008

给定整数t>=1和初始值u=[a00,aa1,…,a{{1- }],我们可以通过设置Ayn=A{{N}1+Ay0*A{{N-1}+Ay1*A{{N}}+,来定义无穷序列Phi(U)…+ A{{N-2 } AA1为n>=T。例如,本序列为φ([1)](也φ([1,1]))。-加里·W·亚当森10月27日2008

{Ly2=0…n}…SuMu{{Li i=0…ni}…SUMU{{Lnn=0…1 }δ(La1,Ly2,…,Li i,…,Lyn)其中δ(La1,Ly2,…,Li i,…,Lyn)=0,如果有任何Li i<Li(i+1)和Li(i+1)<>0为i=1…n-1和δ(Ly1,Ly2,…,Li i,…,Lyn)=1。A(n)=SUMY{{LY1=0…n+1 }-托马斯维德2月25日2009

设A(x)为G.F,然后B(x)=x*a(x)满足微分方程B′(x)- 2*b′(x)*b(x)- 1=0。-弗拉迪米尔克鲁钦宁1月18日2011

G.f.:1 /(1-x/(1-x/(1-x/(…))))(连续分数)。-乔尔格阿尔恩特3月18日2011

用F(x)=(1-2*X-SqRT(1-4*x))/(2×x)的O.G.F.在Calalon级数的x中,G(x)=x/(1+x)^ 2是F(零n=0项)的成分逆。-汤姆·科普兰,SEP 04 2011

用H(x)=1(dg(x)/dx)=(1+x)^ 3/(1-x),n(1/n)给出了第n个加泰罗尼亚数。*((H(x)*d/dx)^ n)x在x=0,即f(x)=EXP(x*h(u)*d/dU)u,在U=0处被评估。此外,df(x)/dx= h(f(x))和h(x)是O.G.F.A11529. -汤姆·科普兰,SEP 04 2011

用F(x)={1-SrRT[1-4*X] } / 2,在加泰罗尼亚级数的x中O.G.F. G(x)=x*(1-x)是成分逆,这将加泰罗尼亚数与行和数相关。A125181. -汤姆·科普兰9月30日2011

H(x)=1(dg(x)/dx)=1(1-2x),第n次加泰罗尼亚数(偏移1)由(1/n!)给出。*((H(x)*d/dx)^ n)x在x=0,即f(x)=EXP(x*h(u)*d/dU)u,在U=0处被评估。此外,df(x)/dx= h(f(x))。-汤姆·科普兰9月30日2011

G.f.:(1-SqRT(1-4*x))/(2×x)=G(0),其中G(k)=1+(4×k+1)*x/(k+1-2 *x*(k+1)*(4×k+3)/(2×x*(4*k+3)+(2*k+3)/g(k+i)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克11月30日2011

E.g.f.:EXP(2×x)*(贝塞利(0,2*x)- BesselI(1,2*x))=G(0),其中G(k)=1+(4×k+1)*x/((k+1)*(2×k+1)-x*(k+1)*(2*k+1)*(4*k+4)/(x*(ωk+a)+(k+y)*(α*k+a)/g(k+x)));(连续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克11月30日2011

E.g.f.:超几何(〔1/2〕,〔2〕,4*x),与上面给出的E.F.一致,也由卡罗尔·彭森更进一步。-狼人郎1月13日2012

A(n)=A208355(2×n-1)=A208355(2×n)为n>0。-莱因哈德祖姆勒04三月2012

G.f.:1+2×x/(u(0)-2×x),其中u(k)=k*(4×x+1)+2×x+2×x(2×k+3)*(2*k+4)/u(k+1);(连续分数,欧拉类,1步)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克9月20日2012

G.f.:超几何([1,2,1],[ 2 ],4×x)。-乔尔格阿尔恩特,APR 06 2013

雅可比多项式的特殊值,在Maple符号中:A(n)=4 ^ n*JACOBIP(n,1,-1/2-n,-1)/(n+1)。-卡罗尔·彭森7月28日2013

n> 0:a(n)=三角形中行n的和A000 1263. -莱因哈德祖姆勒10月10日2013

A(n)=二项式(2n,n-1)/n和a(n)mod n=二项式(2n,n)mod n=nA059228(n)。-乔纳森·索道12月14日2013

a(n-1)=t1+ 2×*t2+…+n*tn= n}(-1)^(1 +t1+t2+…+tn)*多项式(t1+t2+…+tn,t1,t2,…,tn)*a(1)^ t1*a(2)^ t2*.*a(n)^ tn-米尔卡梅尔卡2月27日2014

A(n)=SuMu{{K=1…n}二项式(n+k-1,n)/n,如果n>0。亚力山大亚当丘克3月25日2014

a(n)=- 2 ^(2×n+1)*二项式(n-1/2,-3/2)。-彼得卢斯尼06五月2014

A(n)=(4)A000 0984A(n)A000 0984A(n+1))/ 2。-斯坦尼斯拉夫西科拉,八月09日2014

A(n)=A24645(n)*A24666(n)。-汤姆埃德加,SEP 02 2014

A(n)=(2×n)!*[x^(2×n)]超几何([],[2),x^ 2)。-彼得卢斯尼1月31日2015

A(n)=4 ^(n-1)*超几何(〔3/2,1-n],〔3〕,1)。-彼得卢斯尼,03月2日2015

A(2n)=2**A000 0150(2n);a(2n+1)=2A000 0150(2n+1)+a(n)。-约翰博登6月24日2015

A(n)=SuMu{{=1…n+1 } n^(t-1)*ABS(STRILIG1(n+1,t))/SUMU{{t=1…n+1 } ABS(STRILIG1(n+1,T)),对于n>0,参见Cereceda链接(10)。-米歇尔马库斯,10月06日2015

(n)~~(4)^(n-2)*(128+160/n^ 2+84/n^ 4+715/n^ 6~10180/n^ 8)/(n^(3/2)*π^(1/2)),其中n=**n+*。-彼得卢斯尼10月14日2015

A(n)=SuMu{{=1…层((n+1)/2)}(-1)^(k-1)*二项式(n+1-k,k)*a(n- k),如果n>0;a(0)=1。-戴维帕西诺6月29日2016

SUMU{{N>=0 }(-1)^ n/a(n)=14/25~24*ARCCSCH(2)/(25×SqRT(5))=14/25~24***A000/(25×SqRT(5))=0.35340370833678061333…-伊利亚古图科夫基6月30日2016

C(n)=(1/n)*SuMi{{I+J+K= n-1 } C(i)*c(j)*c(k)*(k+ 1),n>=1。-于春姬2月21日2016

C(n)=1+SuMi{{I+J+K< n-1 } C(i)*c(j)*c(k)。-于春姬,SEP 01 2016

A(n)=A000 1700(n)A162551(n)=二项式(2×n+1,n+1)。- 2*二项(2×N,n-1)。-塔拉斯鹅,八月09日2018

G.f.:a(x)=(1 -qRT(1×4×x))/(2×x)=2f1(1/2,1;2;4×x)。G.f. A(x)满足a=1+x*a^ 2。-马塔尔11月17日2018

C(n)=1+SuMu{{i=0…n-1 }A000 0245(i)。-于春姬1月10日2019

例子

G.F.=1+x+2×x ^ 2+5×x ^ 3+14×x ^ 4+42×x ^ 5+132×x ^ 6+429×x ^+++…

乔尔格阿尔恩特和Greg Stevenson,7月11日2011:(开始)

以下3个转位产物在Sy4中导致4个周期:

(1,2)*(1,3)*(1,4);

(1,2)*(1,4)*(3,4);

(1,3)*(1,4)*(2,3);

(1,4)*(2,3)*(2,4);

(1,4)*(2,4)*(3,4)。(结束)

对于n=3,A(3)=5,因为正好有5个长度为7的二进制序列,其中第一个数超过了入口7的零点数,即0001111, 0010111、0011011, 0100111和0101011。-丹尼斯·P·沃尔什4月11日2012

乔尔格阿尔恩特,6月30日2014:(开始)

(4)非根节点的(有序)树的A(4)=14分支序列是(点表示零):

01:[ 1,1,1,1 ]。]

02:〔1 1 1〕。]

03:〔1〕2。1。]

04:〔1 2 2〕。]

05:〔1〕3。]

06:(2)。1 1。]

07:(2)。2。]

08:〔2〕1。1。]

09:〔2 1 1〕。]

10:〔2〕2。]

11:(3)。1。]

12:(3)。1。]

13:〔3〕1。]

14:(4)。]

(结束)

枫树

A000 0108= n->二项式(2×n,n)/(n+1);g000 0108:=(1 -qRT(1 -4×x))/(2×x);

规格:=[a,{a=PROD(z,序列(a))},未标记]:[SEQ(COMPREST [计数](规格,大小=N+ 1),n=0…42)];

用(COMPREST):BI:= {B=联盟(Z,PRD(B,B)}}:SEQ(计数(B,bin,未标记),大小=n),n=1…25);零度拉霍斯,十二月05日2007

Z(0):=0:对于K到42,Z[k]:=简化(1 /(1-Z*Z[K-1])OD:G:=和((Z[J] -Z[J-1)],j=1…42):GSE:=级数(g,z=0, 42):SEQ(COEFF(GSER,Z,N),n=0…41);零度拉霍斯5月21日2008

SEQ((2×N)!*COEFF(级数(HygEOM([],[2),X^ 2),x,2 *n+2),x,2 *n),n=0…30);彼得卢斯尼1月31日2015

Mathematica

(*Trm函数*)

加泰罗尼亚数

(Tym函数定义*)

A000 0108[n]:=(2 N)!n!/(n+1)!

(Tym函数定义*)

A000 0108[n]:=超几何2F1〔1 -N,-N,2, 1〕(* Richard L. Ollerton,9月13日2006 *)

(*TrimList*)

表[加泰罗尼亚数] n,{n,0, 24 }(*)Robert G. Wilson五世2月15日2011*)

(*TrimList*)

系数列表[nViSeSure[级数[x/求和[x^ n,{n,0, 31 }] ],{x,0, 31 } ] /x,x](*)马格兰维克11月24日2013*)

(* Tym ListByIdx函数*)

函数[n,CalalNoth/@范围[0,n]

系数列表[[(1 - Sqrt〔1 - 4×x〕)/(2×x),{x,0, 50 },x](*)(*)斯蒂法诺斯皮齐亚8月31日2018*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=二项式(2×n,n)/(n+1)哈斯勒8月25日2012

(PARI)a(n)=(2×n)!n!/(n+1)!

(PARI)a(n)=i(a,m);如果(n<0, 0,m=1;a=1+x+o(x^ 2));(m=n,m*=2;a=qRT(SuST(a,x,4×x^ 2));a+=(a- 1)/(2×x*a));

(PARI){A(n)=IF(n<1,n=0,PoCOFEF(Serx(x/(1 +x)^ 2 +x*O(x^ n)),n))};/*米迦勒索摩斯*/

(PARI)(ReCurr(a,b)=If(b <=2,(a==2)+(a==b)+)(a)!= b)*(1 +A/2),(1 +A/B)*(A,B-1));A(n)=复发(n,n);卡诺11月22日2012

(PARI)x=’x+O(’x^ 40);Vec((1-qRT(1-4*x))/(2×x))阿图格-阿兰10月13日2015

(MUAD)组合::DykWord::计数(n)n=0…38 / /零度拉霍斯4月14日2007

(岩浆)C:= FUNC<n二项(2×N,N)/(n+1)>;〔C(n):n〕〔0〕60〕;

(岩浆)[Calaln(n):n在[0…40 ] ]中;文森佐·利布兰迪,APR 02 2011

(哈斯克尔)

导入数据列表(通用索引)

A000 0108 n=GuangiChansA000 0108In列表n

A000 0108-列表=1:加泰罗尼亚[ 1 ]

CalalaCs=C:加泰罗尼亚(C:CS)

C=和$ ZIPFIX(*)CS $反向CS

——莱因哈德祖姆勒11月12日2011

A000 0108=地图最后$迭代(SCALL1(+))。(++〔0〕)〔1〕

——戴维间谍8月23日2015

(SAGE)〔i(i)在范围(27)〕中的Calalnnl数(I)零度拉霍斯6月26日2008

(SAGE)[在XrA射界(0, 25)]中的I的二项式(2×I,I)-二项式(2×I,I-1)零度拉霍斯5月17日2009

L.SEIDEL的(SAGE)α广义算法

DEFA000 0108列表(n):

D=〔0〕*(n+1);d〔1〕=1

B=真;H=1;r= []

对于i在范围内(2×n-1):

如果B:

对于k的值域(h,0,-1):d[k]+=d[k-1 ]

H+=1;R.append(D〔1〕)

其他:

对于k的范围(1,h,1):d[k]+=d[k+2]

B=非B

返回R

A000 0108清单(31)彼得卢斯尼,军02 2012

(极大值)A000 0108(n):=二项式(2×n,n)/(n+1)$MalkList.A000 0108(n),n,0, 30);马丁埃特尔10月24日2012*

(蟒蛇)

从GMPY2导入

A000 0108=〔1, 1〕

对于n的范围(1, 10 ** 3):

A000 0108追加(DIVITION)A000 0108〔1〕*(4×n+2),(n+2)()吴才华8月31日2014

(GAP)A000 0108=列表([0,30),n->二项式(2×n,n)/(n+1));阿尼鲁2月17日2018

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0142A000 0245A000 034A000 0588A000 0957A000 0984AA131392A000 1453A000 1791A00 2057A000 2420A000 3046A353517A353518A353519A000 64 80A000 827A000 854A014137A014138A014140A022553A024492A032657A032443A039 599A08990A059228A06875A069640A086117A094216A094638A094639A09897A09731A11982A120 304A1249A129663A137697A1545 59A16158A167892A167893A17927A211611.

一排A060854.

A000 1003A000 1190A000 1699A000 000用于计算圆括号的其他方法。

枚举被编码的对象A01486A6.

任何基本等价阵列的对角线A000 97 66A03023A033 184A059365A099039A106566A1300A047072.

囊性纤维变性。A05168(方阵的对角线)。

囊性纤维变性。A033552A176137(分割成加泰罗尼亚数字)。

囊性纤维变性。A000 0753A000 0736(BouthpHeDon变换)

囊性纤维变性。A12303(加泰罗尼亚数最大的素因子)。

囊性纤维变性。A121839(互惠的加泰罗尼亚常数)。

囊性纤维变性。A038 0 3A119661A11908A1274A2255(奇数加泰罗尼亚数)。

囊性纤维变性。A000(黄金比例的自然对数小数展开)。

G.F.的平方根系数A000 1795/A046161.

对于(n)mod 6,参见A259667.

对于A(n)在基2中,参见A264663.

囊性纤维变性。A000 68 58A091962A078920A123352(汉克尔变换省略第一项)。

语境中的顺序:A115140 A12588 A168491*A0571313 A126567 A125501

相邻序列:A000 0105 A000 0106 A000 0107*A000 0109 A000 0110 A000 0111

关键词

核心诺恩容易本征改变

作者

斯隆

地位

经核准的

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