OEIS哀悼西蒙斯感谢西蒙斯基金会支持包括OEIS在内的许多科学分支的研究。
登录
OEIS由OEIS基金会的许多慷慨捐赠者.

 

标志
提示
(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000108号 加泰罗尼亚数字:C(n)=二项式(2n,n)/(n+1)=(2n)/(n!(n+1)!)。
(原M1459 N0577)
3975
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 18367353072152, 69533550916004, 263747951750360, 1002242216651368, 3814986502092304 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
这些以前被称为塞格纳数。
已知大量的组合解释——见参考文献,特别是R.P.Stanley,“加泰罗尼亚数字”,剑桥大学出版社,2015年。这可能是OEIS中最长的条目,也是正确的。
Schröder第一个问题的解决方案:在一个由n+1个字母组成的单词中插入n对括号的方法有很多。例如,对于n=2,有两种方法:(ab)c)或(a(bc));对于n=3,有5种方式:((ab)(cd)),(((ab)c)d),((a(bc))d),(a((bc)d),(a(b(cd)))。
考虑方格纸上的所有二项式(2n,n)路径,它们(i)从(0,0)开始,(ii)在(2n、0)结束,(iii)在每一步,要么进行(+1,+1)步,要么执行(+1,-1)步。那么永远不会低于x轴的路径数(Dyck路径)是C(n)。[钟-米勒]
n集的非交叉分区数。例如,在4个集合的15个集合分区中,只有[{13},{24}]是交叉的,因此有一个由4个元素组成的(4)=14个非交叉分区-乔格·阿恩特2011年7月11日
非交叉分区是0属的分区-罗伯特·科克雷2024年2月13日
a(n-1)是将对称群S_n中的n个循环表示为n-1个换位(u_1,v_1)*(u_2,v_2)**(u{n-1},v{n-1{)其中uk≤uj,vk≤vj;请参见示例。如果条件被删除,则获得A000272号. -乔格·阿恩特和格雷格·史蒂文森,2011年7月11日
a(n)是具有n个节点的有序根树的数量,不包括根。请参阅Conway-Guy参考,其中这些有根的有序树被称为平灌木。另见Bergeron等人的参考文献,例4,第167页-沃尔夫迪特·朗2007年8月7日
如Beineke和Pippert(1971)的论文所示,a(n-2)=D(n)是一个圆盘的标记解剖数,与数字R(n)有关=A001761号通过公式D(n)=R(n)/(n-2)!,对具有n个顶点且根位于给定外边缘的标记平面2-树的(n-2-M.F.哈斯勒2012年2月22日
与自身卷积时向左移动一个位置。
对于n>=1,a(n)也是n条边上0属的有根双色单细胞映射数Ahmed Fares(ahmedfares(AT)my deja.com),2001年8月15日
连接圆上2n个点以形成n个不相交和弦的方法的数目。(如果没有施加此类限制,则形成n和弦的方式数量由(2n-1)!!=(2n)/(n!*2^n)=A001147号(n) .)
舒伯特微积分中的出现-参见Sottile参考。
序列的逆欧拉变换为A022553号.
利用插值零点,Motzkin数的二项式逆变换A001006号. -保罗·巴里2003年7月18日
这个序列或这个序列的Hankel变换省略了第一项A000012号= 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...; 例如:Det([1,1,2,5,1,2,514,2,5,42,5,14,42,5)=1,Det([1,2,5,514,42;2,5,14,132;14,42,132,429])=1-菲利普·德尔汉姆2004年3月4日
a(n)等于三角形第n行项的平方和A053121号它是由加泰罗尼亚层序的连续自我演化形成的-保罗·D·汉娜2005年4月23日
此外,Mandelbrot多项式M的系数迭代了无限次。示例:M(0)=0=0*c^0=[0],M(1)=c=c^1+0*c^0=[10],M。。。M(5)=[0 1 1 2 5 14 26 44 69 94 114 116 94 60 28 8 1],…-唐纳德·克罗斯(cosinekitty(AT)hotmail.com),2005年2月4日
素数p除以C_n的多重性可以通过首先在基p中表示n+1来确定。对于p=2,多重性是1位数减去1。对于p是奇数素数,计算所有大于(p+1)/2的数字;也计算等于(p+1)/2的数字,除非是最终数字;如果不是最后一个数字,则计数等于(p-1)/2的数字,然后计算下一个数字。例如,n=62,n+1=223_5,所以C_62不能被5整除。n=63,n+1=224_5,所以5^3|C_63-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯,2006年2月8日
Koshy和Salmassi给出了一个初等证明,即唯一的素数是a(2)=2和a(3)=5。唯一的半素数加泰罗尼亚数a(4)=14吗-乔纳森·沃斯邮报2006年3月6日
答案是肯定的。使用公式C_n=二项式(2n,n)/(n+1),很明显C_n不能有大于2n的素因子。对于n>=7,C_n>(2n)^2,所以它不能是半素数。考虑到加泰罗尼亚数呈指数增长,上述考虑意味着C_n的素数除数(以重数计算)必须无限增长。不同素数的数量也必须无限增长,但这更为困难。任何介于n+1和2n(互斥)之间的素数都必须除以C_n。这类素数的数量无限增长是根据素数定理得出的-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年4月14日
将n个无法区分的球放入n个编号框B1,…,中的方法数,。。。,Bn,这样最多总共有k个球放置在盒子B1,。。。,对于k=1,。。。,n.例如,a(3)=5,因为有5种方法可以在3个盒子中分配3个球,这样(i)盒子1最多得到1个球,(ii)盒子1和盒子2一起最多得到2个球:(O)(O)-丹尼斯·沃尔什2006年12月4日
a(n)也是(n元链的)降阶和保序全变换半群的阶-现在称为加泰罗尼亚幺半群-阿卜杜拉希·奥马尔2008年8月25日
a(n)是群SU(2)(a(1))的2n旋量(最小)表示的直积中的平凡表示数罗格斯-波尔斯(Boels(AT)nbi.dk),2008年8月26日
当对任何起始序列无限多次应用时,反转变换似乎收敛到加泰罗尼亚数字-Mats Granvik公司,加里·W·亚当森罗杰·巴古拉,2008年9月9日,2008年09月12日
极限{n->oo}a(n)/a(n-1)=4弗朗西斯科·安东尼(Francesco_Antoni(AT)yahoo.com),2008年11月24日
从偏移量1开始=三角形的行和54559英镑. -加里·亚当森2009年1月11日
C(n)是格拉斯曼G(1,n+1)的度:(n+1)维射影空间中的直线集,或(n+2)维仿射空间中通过原点的平面集。Grassmannian被认为是N维射影空间的子集,N=二项式(N+2,2)-1。如果我们在射影(n+1)-空间中选择2n个一般(n-1)-平面,那么有C(n)条线与它们全部相交Benji Fisher(Benji(AT)FisherFam.org),2009年3月5日
从偏移1开始=A068875号:(1,2,4,10,18,84,…)与精细数卷积,A000957号: (1, 0, 1, 2, 6, 18, ...). a(6)=132=(1,2,4,10,28,84)点(18,6,2,1,0,1)=(18+12+8+10+0+84)=132-加里·亚当森2009年5月1日
卷曲了A032443号:(1,3,11,42,163,…)=4的幂,A000302号: (1, 4, 16, ...). -加里·亚当森2009年5月15日
和{k>=1}C(k-1)/2^(2k-1)=1。求和中的第k项是整数(从原点开始)上的随机游走以精确(2k-1)步到达正整数(第一次)的概率-杰弗里·克雷策2009年9月12日
C(p+q)-C(p)*C(q)=Sum_{i=0..p-1,j=0..q-1}C(i)*C(j)*C(p+q-i-j-1)-格鲁·罗兰2009年11月13日
Leonhard Euler在他的《Betrachtungen,auf wie vielerley Arten ein gegebenes polygonum durch Diagonallinien in triangula zerschnitten werden könne》中使用了公式C(n)=Product_{i=3..n}(4*i-10)/(i-1),并通过递归C(n+2)计算n=1..8。(柏林,1751年9月4日,在给哥德巴赫的信中。)-彼得·卢什尼2010年3月13日
A179277号=A(x)。然后C(x)由A(x)/A(x^2)满足-加里·亚当森,2010年7月7日
a(n)也是B_n型或C_n型突变类中的颤动数-克里斯蒂安·斯塔姆2010年11月2日
发件人马修·范德马斯特2010年11月22日:(开始)
考虑一组A000217号(n) n种颜色的球,其中,对于每个整数k=1到n,只有一种颜色出现在集合中,总共k次。(每个球只有一种颜色,无法与其他颜色相同的球区分。)a(n+1)等于在满足以下条件的情况下选择0个或多个每种颜色的球的方法数:1。没有两种颜色的选择次数相同。2.对于至少选择一次的任何两种颜色(c,d),如果颜色c在原始集中出现的次数多于颜色d,则选择颜色c的次数多于选择颜色d的次数。
如果解除第二个要求,可接受的方式数量等于A000110号(n+1)。参见相关评论A016098型,A085082号.(结束)
Deutsch和Sagan证明了某个非负整数a的加泰罗尼亚数C_n是奇的当且仅当n=2^a-1时-乔纳森·沃斯邮报2010年12月9日
a(n)是函数f的数量:{1,2,…,n}->{1,2,…,n}使得f(1)=1,并且对于所有n>=1f(n+1)<=f(n)+1。关于这组函数和长度为2n的Dyck单词之间的漂亮双射,请参阅Fxtbook的第333页(请参阅下面的链接)-杰弗里·克雷策2010年12月16日
Postnikov(2005)定义了与建筑物相关的“广义加泰罗尼亚语数”(例如,B型加泰罗尼亚语数,见A000984号). -N.J.A.斯隆2011年12月10日
S(n)中长度等于深度的排列数-布里奇特·坦纳2012年2月22日
a(n)也是形状(n,n)的标准Young表的数量-Thotsaporn Thanatipanonda公司2012年2月25日
a(n)是长度为2n+1的二进制序列的数量,其中1的数量在条目2n+1处首先超过0的数量。请参阅下面示例部分中的示例-丹尼斯·沃尔什2012年4月11日
长度为2*n+1且包含n个1(或对称为0)的二进制项链的数量。所有这些都是Lyndon单词,它们的代表(作为循环极大值)是二进制Dyck单词-乔格·阿恩特2012年11月12日
由n个“x”字母和n个“y”字母组成的序列数,这样(从左侧开始计数)“x”计数>=“y”计数。例如,对于n=3,我们有xxxyy、xxxxyy、xxxyyy、xyxxxy和xyxyxy-乔恩·佩里2012年11月16日
a(n)是长度为n-1的Motzkin路径数,其中(1,0)-步骤有2种颜色。例如:a(4)=14,因为表示U=(1,1)、H=(1,0)和D=(1,-1),我们有8条HHH形状路径、2条UHD形状路径、两条UDH形状路径和2条HUD形状路径-何塞·路易斯·拉米雷斯2013年1月16日
如果p是奇数素数,则(-1)^((p-1)/2)*a((p-l)/2)mod p=2-加里·德特利夫斯2013年2月20日
猜想:对于任意正整数n,多项式和{k=0..n}a(k)*x^k在有理数域上是不可约的-孙志伟2013年3月23日
a(n)是Jones monoid在2n点上的大小(参见。A225798型). -詹姆斯米切尔2013年7月28日
对于0<p<1,定义f(p)=Sum_{n>=0}a(n)*(p*(1-p))^n,然后f(p)=min{1/p,1/(1-p)},因此f(p)在p=0.5时达到其最大值2,并且p*f(p)对于0.5<=p<1是常数1-鲍勃·塞尔科,2013年11月16日[更正人宋嘉宁2021年5月21日]
没有a(n)具有m>1和x>1的形式x^m-孙志伟2013年12月2日
发件人亚历山大·阿达姆楚克,2013年12月27日:(开始)
素数p除以p>3的a((p+1)/2)。请参阅A120303型(n) =加泰罗尼亚数的最大素因子。
倒数加泰罗尼亚常数C=1+4*sqrt(3)*Pi/27=1.80613=A121839号.
对数(Phi)=(125*C-55)/(24*sqrt(5)),其中C=Sum_{k>=1}(-1)^(k+1)*1/a(k)。请参阅A002390号=黄金比率自然对数的十进制展开式。
加泰罗尼亚数字的三维模拟:(3n)/(n!(n+1)!(n+2)!)=A161581号(n)=A006480号(n) /((n+1)^2*(n+2)),其中A006480号(n) =(3n)/(n!)^3德布鲁因的s(3,n)。(结束)
有关无粘汉堡方程或霍普夫方程的关系,请参见A001764号. -汤姆·科普兰,2014年2月15日
发件人林风2014年5月1日:(开始)
一类广义加泰罗尼亚数可由具有非零参数q的g.f.A(x)=(1-sqrt(1-q*4*x*(1-(q-1)*x)))/(2*q*x)定义。递归:(n+3)*A(n+2)-2*q*(2*n+3。
q>=1:a(n)~(2*q+2*sqrt(q))^n*sqrt/(4*q^2*Pi*n^3)的渐近逼近。
对于q<=-1,g.f.定义了带渐近逼近的符号序列:a(n)~Re(sqrt(2*q*(1+sqrt)))*(2*q+2*sqrt(q))^n)/sqrt(q^2*Pi*n^3),其中Re表示实部。由于斯托克斯现象,在n的某些值附近,渐近近似的准确性会下降。
特殊情况是A000108号(q=1),A068764号A068772号(q=2至10),A240880型(q=-3)。
(结束)
s(n)=0,和{j=0..n}s(j)=n,和{j=0..k}s(j)-1>=0的序列[s(0),s(1),…,s(n。这些是具有n个非根节点的(有序)树的分支序列,请参见示例-乔格·阿恩特2014年6月30日
[n]的堆叠可排序排列数,这些是231个无效排列;请参阅Bousquet-Mélou参考-乔格·阿恩特2014年7月1日
a(n)是具有避免132个节点的2n-1个节点的递增严格二叉树的数目。有关使用关联置换增加严格二叉树的更多信息,请参阅A245894型. -曼达·里尔,2014年8月7日
在具有弹性散射的一维介质中(曲折行走),2n+1散射事件后的首次重现概率为C(n)/2^(2n+1)-约阿希姆·伍特克2014年9月11日
对于加泰罗尼亚数字,o.g.f.C(x)=(1-sqrt(1-4x))/2,带有补偿。逆Cinv(x)=x*(1-x)和函数P(x)=x/(1+t*x)及其逆Pinv(x,t)=-P(-x,t)=x/(1-t*x,A005043号),斐波那契(A000045号)、和罚款(A000957号)数字与多项式(A030528型)、枚举Motzkin、Dyck和Łukasiewicz格路径的数组以及不同类型的树和非交叉分区(A091867号与精确的Narayana数之和有关A134264号). -汤姆·科普兰2014年11月4日
猜想:所有有理数和{i=j.k}1/a(i)的0<min{2,k}<=j<=k都有成对不同的分数部分-孙志伟2015年9月24日
加泰罗尼亚数字系列A000108号(n+3),偏移量n=0,给出Hankel变换,揭示了从5开始的平方金字塔数,A000330号(n+2),偏移量n=0(经验观察)-托尼·福斯特三世2016年9月5日
省略前2、4和5项的加泰罗尼亚语数字的Hankel变换给出A001477号,A006858号、和A091962号在所有情况下,分别没有前两个术语。更一般地,省略了前k项的加泰罗尼亚语数的Hankel变换是H_k(n)=Product_{j=1..k-1}Product_{i=1..j}(2*n+j+i)/(j+i)[参见Cigler(2011),方程(1.14)和其中的参考文献];它们一起构成阵列A078920型/A123352号/A368025型. -安德烈·扎博洛茨基2016年10月13日
虽然Hürlimann(2009)的结果并没有明确说明这一点,但这可能满足本福德定律。见S.J.Miller编辑,2015年,第5页-N.J.A.斯隆2017年2月9日
与岩浆和树状操作代数相关的生成级数的系数。参见Loday等人论文的第422和435页-汤姆·科普兰2018年7月8日
设M_n是n×n矩阵,M_n(i,j)=二项式(i+j-1,2j-2);则det(M_n)=a(n)-托尼·福斯特三世,2018年8月30日
加泰罗尼亚树木或种植的梧桐树的数量(Bona,2015年,第299页,定理4.6.3)-N.J.A.斯隆2018年12月25日
毛虫物种树和具有n+1叶的匹配毛虫基因树的合并历史数(Rosenberg 2007,推论3.5)-诺亚·A·罗森博格2019年1月28日
求eps small的eps*x^2+x-1=0的解,即写x=Sum_{n>=0}x_{n}*eps^n并展开,得到x=1-eps+2*eps*2-5*eps|3+14*eps_3-42*eps_4+。。。x_{n}=(-1)^n*C(n)。此外,让x=1/y并将y扩大到约0以找到大根,即y=Sum_{n>=1}y_{n}*eps^n,则可以找到y=0-eps+eps^2-2*epss^3+5*eps|3-。。。y_{n}=(-1)^n*C(n-1)-德里克·奥尔2019年3月15日
长度为n的置换,产生n阶的二分置换图[参见Knuth(1973)、Busch(2006)、Golumbic和Trenk(2004)]-伊丽莎·安德森,R.M.阿格斯,凯特林·欧文斯,泰萨·史蒂文斯2019年6月27日
对于n>0,从n对不同的不可区分对象中随机选择n+1个对象(根据鸽子洞原理确保一对的最小数量),只包含一对,概率为2^(n-1)/a(n)=b(n-1)/A098597号(n) ,其中b是0偏移序列,其项为A120777号重复(1,1,4,4,8,8,64,64128128,…)。例如,从5双黑色、蓝色、棕色、绿色和白色袜子中随机选择6双,结果只有一双颜色相同,概率为2^(5-1)/a(5)=16/42=8/21=b(4)/A098597号(5). -里克·L·谢泼德2019年9月2日
参见Haran&Tabachnikov链接,获取关于Conway-Coxeter饰带的视频。具有n个非平凡行的Conway-Coxeter饰带是由规则n个三角剖分中每个顶点的三角形数生成的,其中有一个(n)-查尔斯·格里特豪斯四世2019年9月28日
有关节点理论和费曼图中散射振幅的联系,请参见Broadhurst和Kreimer以及Todorov。等式。Bessis等人第130页的6.12在缩放后变成-12g*r_0(-y/(12g))=(1-sqrt(1-4y))/2,即下文科普兰(2011年9月30日)公式中加泰罗尼亚数字的o.g.f.(在12gx中的公式7.22中表示为泰勒级数)。(另见米泽拉第34页,巴尔杜夫第79-80页,凯特尔和巴托什。)-汤姆·科普兰2019年11月17日
弱阶主序理想是模格的S_n中置换的个数-布里吉特·坦纳2020年1月16日
弱序主序理想是分配格的S_n中置换的个数-布里奇特·坦纳2020年1月16日
勒让德给出了计算模2μm平方根的以下公式:
sqrt(1+8*a)mod 2^m=(1+4*a*Sum_{i=0..m-4}C(i)*(-2*a)^i)mod 2 ^m
如L.D.Dickson所引用,《数字理论史》,第1卷,207-208年-彼得·肖恩,2020年2月11日
a(n)是长度n排列的数量,通过连续的132-避免堆栈和经典的21-避免堆栈排序为恒等式-郑凯2020年8月28日
具有n个大小为2的块的2*n集合的非交叉分区数。还有一个2*n集的非交叉分区数,其中n+1块的大小最多为3,并且没有循环邻接。这两个分区可以通过旋转Kreweras双射进行映射-宇春记,2021年1月18日
以法国和比利时数学家尤金·查尔斯·加泰罗尼亚(1814-1894)(见Pak,2014)的名字命名,由Riordan(1968年,以及《数学评论》(Mathematical Reviews)中的更早版本,1948年和1964年)-阿米拉姆·埃尔达尔2021年4月15日
对于n>=1,a(n-1)是x的解释数。例如,对于n=4,有一个(3)=5的解释:x(x(xx)),x((xx”x),(xx“xx”),(x(xx)),(xx)x。有关详细信息,请参阅I.M.H.Etherington的链接“非关联幂和函数方程”和Eric Weisstein的数学世界中的“非关联积”页面。另请参见A001190型对于乘法是可交换的情况-宋嘉宁2022年4月29日
完整图K_N上与拉普拉斯系统相关的过渡图中的状态数,对应于有序初始条件x_1<x_2<…<x否-安德里亚·阿莱特·埃斯帕尼亚2022年11月6日
a(n)是大小为n+1的132-避免稳定无间隔置换的数目-胡安·吉尔2023年6月22日
由n个带Schläfli符号{3,oo}的双曲线规则瓷砖三角形单元组成的有根多胞体的数量。一个有根的polyomino有一个被识别的外边缘,手性对被计算为两个。可以通过Christensson链接获得彭卡盘上{3,oo}平铺的赤平投影-罗伯特·拉塞尔2024年1月27日
a(n)是n阶极幸运Stirling置换的个数;即n阶Stirling置换中正好有n辆幸运车的数量。(见Colmenarejo等人参考)-布里奇特·坦纳2024年4月16日
参考文献
大量的参考文献和链接证明了加泰罗尼亚数字的普遍性。
R.Alter,关于加泰罗尼亚数的一些评论和结果,第109-132页,《路易斯安那州组合数学、图论和计算机科学会议论文集》。第2卷,编辑R.C.Mullin等人,1971年。
Miklos Bona,编辑,《枚举组合数学手册》,CRC出版社,2015年,许多参考文献。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第53页。
J.H.Conway和R.K.Guy,《数字之书》,纽约:Springer-Verlag出版社,1995年,第4章,第96-106页。
S.J.Cyvin和I.Gutman,《苯系烃中的Kekulé结构》,《化学讲义》,第46期,施普林格,纽约,1988年(见第183、196页等)。
Michael Dairyko、Samantha Tyner、Lara Pudwell和Casey Wynn,二叉树中的非相似模式避免。电子。J.Combin.19(2012),第3期,论文22,21 pp.MR2967227。
E.Deutsch,Dyck路径枚举,离散数学。,204, 167-202, 1999.
E.Deutsch和L.Shapiro,《十七个加泰罗尼亚恒等式》,《组合数学及其应用研究所公报》,2001年第31期,第31-38期。
L.E.Dickson,《数字理论史》。卡内基公共研究所。256,华盛顿特区,第1卷,1919年;第2卷,1920年;1923年第3卷,见207-208年第1卷。
Tomislav Doslic和Darko Veljan,一些组合序列的对数行为。离散数学。308(2008),第11期,2182-2212。MR2404544(2009j:05019)
S.Dulucq和J.-G.Penaud,Cordes,arbres et permutations。离散数学。117(1993),第1-3期,第89-105页。
A.Errera,梅莫尔学院分析现场-无问题报告。布鲁塞尔,科学分类,塞里2,第十一卷,法西斯。6,第1421(1931)号,26页。
安德烈·埃伦菲赫特(Andrzej Ehrenfeucht);杰弗里·海默;大卫·豪斯勒。拟单调序列:理论、算法和应用。SIAM J.代数离散方法8(1987),第3期,410-429。MR0897739(88小时:06026)
I.M.H.Etherington,非关联幂和函数方程。《数学公报》,21(1937):36-39;补遗21(1937),153。
I.M.H.Etherington,关于非联想组合,Proc。爱丁堡皇家学会,59(第二部分,1938-1939),153-162。
I.M.H.Etherington,非结合组合的一些问题(I),爱丁堡数学。注释,32(1940年),第i-vi.页。第二部分由A.Erdelyi和i.M.H.Etherington撰写,位于同一版本的第vii-xiv页。
范凯,海克代数商的结构,J.Amer。数学。《社会学杂志》,10(1997),139-167。
Susanna Fishel,Myrto Kallipoliti和Eleni Tzanaki,广义簇复合体的面和A型扩展加泰罗尼亚排列中的区域,组合学电子期刊20(4)(2013),#P7。
D.Foata和D.Zeilberger,非常经典序列重复性的经典证明,J.Comb Thy A 80 380-384 1997。
H.G.Forder,组合学中的一些问题,数学。《公报》,第45卷,1961年,199-201年。
Fürlinger,J。;Hofbauer,J.,q-Catalan数字。J.组合理论系列。A 40(1985),第2期,248-264。MR0814413(87e:05017)
M.Gardner,《时间旅行和其他数学困惑》,第20章,第253-266页,W.H.Freeman NY,1988年。
詹姆斯·格莱克(James Gleick),《Faster》,《Vintage Books》,纽约,2000年(见第259-261页)。
M.C.Golumbic和A.N.Trenk,《公差图》,第89卷,剑桥大学出版社,2004年,第32页。
S Goodenough,C Lavault,海森堡-韦尔代数和Riordan子群子集概述,组合数学电子杂志,22(4)(2015),#P4.16,
H.W.Gould,《两种特殊数字序列的研究书目》,Mathematica Monongaliae,第12卷,1971年。
D.Gouyou-Beauchamps,《Chemins sous-diagonaux et tableau de Young》,《Combinatoire Enumerative(蒙特利尔,1985年)》,第112-125页。数学笔记。1234, 1986.
M.Griffiths,《帕斯卡三角的主干》,英国数学信托基金会(2008),53-63和85-93。
J.L.Gross和J.Yellen编辑,《图论手册》,CRC出版社,2004年;第530页。
N.S.S.Gu,N.Y.Li和T.Mansour,《二叉树:双投影和相关问题》,Disc。数学。,308 (2008), 1209-1221.
R.K.Guy,《将多边形剖分为三角形》,研究论文#9,数学。卡尔加里大学系,1967年。
R.K.Guy和J.L.Selfridge,阶梯状圆括号的筑巢和栖息习惯。阿默尔。数学。月刊80(1973),868-876。
Peter Hajnal和Gabor V.Nagy,《夏皮罗加泰罗尼亚卷积的直观证明》,选。J.Combina.,21(2014),#P2.42。
F.Harary和E.M.Palmer,《图形计数》,纽约学术出版社,1973年,第67页,(3.3.23)。
F.Harary、G.Prins和W.T.Tutte,梧桐树的数量。印度。数学。26, 319-327, 1964.
J.Harris,《代数几何:第一门课程》(GTM 133),Springer-Verlag出版社,1992年,第245-247页。
S.Heubach,N.Y.Li和T.Mansour,阶梯tilings和k-加泰罗尼亚结构,离散数学。,308 (2008), 5954-5964.
Silvia Heubach和Toufik Mansour,《成分和单词组合学》,CRC出版社,2010年。
Higgins,Peter M.序保映射半群的组合结果。数学。程序。外倾角。Phil.Soc.(1993),113:281-296。
B.D.Hughes,《随机漫步与随机环境》,牛津,1995年,第1卷,第513页,等式(7.282)。
F.Hurtado,M.Noy,《三角测量耳朵和加泰罗尼亚数字》,《离散数学》,第149卷,第1-3期,1996年2月22日,第319-324页。
M.Janjic,行列式和递归序列,整数序列杂志,2012年,第12.3.5条。
R.H.Jeurissen,Raney和Catalan,离散数学。,308 (2008), 6298-6307.
M.Kauers和P.Paule,《混凝土四面体》,施普林格出版社2011年,第36页。
Kim,Ki Hang;Douglas G.罗杰斯。;Fred W.Roush,相似关系和半序。《第十届东南组合数学、图论和计算会议论文集》(佛罗里达大西洋大学,佛罗里达州博卡拉顿,1979年),第577-594页,国会。数字。,XXIII-XIV,实用数学。,温尼伯,曼彻斯特,1979年。MR0561081(81i:05013)
Klarner,D.A.树集之间的通信。印度。数学。31, 292-296, 1969.
M.Klazar,关于Davenport-Schinzel序列的数量,Disc。数学。,185 (1998), 77-87.
D.E.Knuth,《计算机编程的艺术》,第2版,第1卷,Addison-Wesley,1973年,第238页。
D.E.Knuth,《计算机编程的艺术》,第4A卷,组合算法,第7.2.1.6节(第450页)。
托马斯·科西(Thomas Koshy)和穆罕默德·萨尔马西(Mohammad Salmassi),“加泰罗尼亚数字的奇偶性和素数”,《大学数学杂志》,第37卷,第1期(2006年1月),第52-53页。
M.Kosters,《六屈肌理论》,Nieuw Archief Wisk。,17 (1999), 349-362.
E.Krasko,A.Omelchenko,Brown定理及其在剖切和平面树计数中的应用,组合数学电子期刊,22(2015),#P1.17。
C.Krishnamachary和M.Bheemasena Rao,元素为欧拉的行列式,编制了伯努利和其他数字,J.印度数学。《社会学杂志》,14(1922),55-62,122-138和143-146。
P.Lafar和C.T.Long,组合问题,Amer。数学。Mnthly,69(1962),876-883。
Laradji,A.和Umar,A.关于某些降阶变换的有限半群I,《半群论坛》69(2004),184-200。
P.J.Larcombe,《论加泰罗尼亚之前的加泰罗尼亚语数字:Kotelnikow(1766)》,《今日数学》,35(1999),第25页。
P.J.Larcombe,《加泰罗尼亚数字的历史:中国的首次记录》,《今日数学》,35(1999),第89页。
拉科姆,《18世纪中国人对加泰罗尼亚语数字的发现》,《数学》。《光谱》,32(1999/2000),5-7。
P.J.Larcombe和P.D.C.Wilson,《加泰罗尼亚序列的轨迹》,《今日数学》,34(1998),114-117。
P.J.Larcombe和P.D.C.Wilson,《加泰罗尼亚序列的生成功能:历史视角》,国会。数字。,149 (2001), 97-108.
G.S.Lueker,《解决复发的一些技术》,《计算调查》,12(1980),419-436。
罗建杰,安图明,世界上第一位加泰罗尼亚数字的发明者(中文),内蒙古大学学报,19(1998),239-245。
C.L.Mallows,R.J.Vanderbei,《哪个年轻表可以代表一个外和?》?,整数序列杂志,第18卷,2015年,#15.9.1。
图菲克·曼苏尔(Toufik Mansour)、马蒂亚斯·肖克(Matthias Schork)和马克·沙塔克(Mark Shattuck),加泰罗尼亚数字和模式限制集分区。离散数学。312(2012),第20期,2979-2991。2956089英镑
Toufik Mansour和Simone Severini,(k,2)-非交叉分区的枚举,离散数学。,308 (2008), 4570-4577.
M.E.Mays和Jerzy Wojciechowski,加泰罗尼亚数的行列式性质。离散数学。211,编号1-3,125-133(2000)。Zbl 0945.05037号
D.Merlini、R.Sprugnoli和M.C.Verri,网球问题,J.Combin.理论,A 99(2002),307-344。
A.Milicevic和N.Trinajsic,“化学中的组合枚举”,《化学》。型号1。,第4卷,(2006年),第405-469页。
Steven J.Miller主编,《Benford定律:理论与应用》。普林斯顿大学出版社,2015年。
大卫·莫尔纳(David Molnar),“摇摆游戏和伯恩赛德引理”,第8章,各种娱乐学科的数学:第3卷(2019年),詹妮弗·贝内克(Jennifer Beineke)和杰森·罗森豪斯(Jason Rosenhouse)编辑,普林斯顿大学出版社,普林斯顿和牛津,第102页。
C.O.Oakley和R.J.Wisner,美国Flexagons。数学。月刊,64(1957),143-154。
A.Panholzer和H.Prodinger,三元树和非交叉树的双投影,离散数学。,250(2002),181-195(见公式4)。
阿萨纳西奥斯·帕普利斯。“拉普拉斯变换反演的新方法”,夸特。申请。数学14.405-414(1957):124。
S.G.Penrice,堆栈,括号和CG-排列,数学。Mag.,72(1999),321-324。
C.A.Pickover,《数字的奇迹》,第71章,牛津大学出版社,纽约2000年。
Clifford A.Pickover,《数学的激情》,威利出版社,2005年;见第71页。
G.Pólya,关于某些晶格多边形的数量。J.组合理论6 1969 102-105。MR0236031(38#4329)
C.Pomerance,中间二项式系数的除数,Amer。数学。月刊,112(2015),636-644。
Jocelyn Quaintance和Harris Kwong,《加泰罗尼亚和贝尔数字差异表的组合解释》,《整数》,13(2013),#A29。
罗纳德·里德(Ronald C.Read),“数数的图论家——以及他们数数的东西”,《数学加德纳》(The Mathematical Gardner),D·A·克拉纳(D.A.Klarner),编辑,第331-334页,Wadsworth CA 1989。
J.Riordan,《组合恒等式》,威利出版社,1968年,第101页。
J.Riordan,连接圆上2n个点对的和弦交叉点的分布,数学。公司。,29 (1975), 215-222.
T.Santiago Costa Oliveira,“加泰罗尼亚交通”和格拉斯曼线路积分,Disc。数学。,308 (2007), 148-152.
A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras,《Dyck路径中的字符串计数》,离散数学。,307(2007),2909-2924。
E.Schröder,Vier组合问题,Z.f.数学。物理。,15 (1870), 361-376.
Shapiro、Louis W.Catalan数字和“总信息”数字。《第六届东南组合数学、图论和计算会议论文集》(佛罗里达大西洋大学,佛罗里达州博卡拉顿,1975年),第531-539页。国会数学家,第十四号,实用数学。,温尼伯,马尼拉,1975年。MR0398853(53#2704)。
L·W·夏皮罗(L.W.Shapiro),《塔查德关于加泰罗尼亚数字恒等式的简短证明》,《组合理论》,A 20(1976),375-376。
L.W.Shapiro和C.J.Wang,通过2 X 2矩阵生成恒等式,《数值国会》,205(2010),33-46。
L.W.Shapiro、W.-J.Woan和S.Getu,通过世界系列的加泰罗尼亚数字,数学。Mag.,66(1993),20-22。
D.M.Silberger,整数的出现次数(2n-2)/不!(n-1)!,Roczniki Polskiego Towarzystwa数学。13 (1969): 91-96.
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
S.Snover和S.Troyer,多维加泰罗尼亚数,文摘848-05-94和848-05.95,第848次会议,美国。数学。Soc.,伍斯特马萨诸塞州,1989年3月15日至16日。
所罗门,A.加泰罗尼亚幺半群,局部自同态的幺半群及其表示。半群论坛53(1996),351-368。
R.P.Stanley,《枚举组合数学》,沃兹沃思,第1卷,1986年,第2卷,1999年;特别参见第6章。
R.P.Stanley,代数组合数学的最新进展,Bull。阿默尔。数学。《社会学杂志》,40(2003),55-68。
理查德·斯坦利(Richard P.Stanley),《加泰罗尼亚数字》,剑桥大学出版社,2015年。
J.J.Sylvester,《关于可还原的旋风》,Coll。数学。论文,第2卷,特别是第670页,其中出现了加泰罗尼亚数字。
马尔科·泰尔。“加泰罗尼亚物体的一种新的循环筛选现象。”离散数学340.3(2017):426-429。
I.Vun和P.Belcher,加泰罗尼亚数字,《数学谱》,30(1997/1998),3-5。
D.威尔斯,《企鹅奇趣数字词典》,条目42第121页,企鹅图书,1987年。
D.B.West,组合数学,剑桥,2021年,第41页。
J.Wuttke,真实半边线上和晶格模型中散射和吸收的之字形行走,J.Phys。A 47(2014),215203,1-9。
链接
Robert G.Wilson v,n=0..1000时的n,a(n)表(前200项来自N.J.A.Sloane,前351项来自K.D.Bajpai)
詹姆斯·阿贝洛,S_Sigma、一致集和Catalan数的弱Bruhat阶,SIAM J.离散数学。4 (1991), 1-16.
马可·阿布拉特、斯特凡诺·巴贝罗、翁贝托·塞鲁蒂和纳迪尔·穆鲁,彩色构图、反转操作符和带有“黑色领带”的优雅构图《离散数学》,335(2014),1-7。
M.Aigner,通过选票编号枚举《离散数学》,第308卷,第12期(2008),2544-2563。
R.Alter和K.K.Kubota,加泰罗尼亚数的素数和素数幂可除性《组合理论杂志》,A辑,第15卷,第3期(1973年),243-256。
M.J.H.Al-Kaabi、D.Manchon和F.Patras,第2章自由李代数的单项基和预李结构,arXiv:1708.08312[math.RA],2017年,见第3页。
P.C.Allaart和K.Kawamura,高木职能:调查《真实分析交换》,37(2011/12),1-54;arXiv:1110.1691[数学.CA]。见第3.2节。
N.Alon、Y.Caro和I.Krasikov,树和序列的二分,离散数学。,114 (1993), 3-7. (参见引理2.1。)
G.Alvarez、J.E.Bergner和R.Lopez,动作图和加泰罗尼亚数字,arXiv预印本arXiv:1503.00044[math.CO],2015。
乔治·E·安德鲁斯,加泰罗尼亚数、q-Catalan数和超几何级数《组合理论杂志》,A辑,第44卷,第2期(1987年),267-273。
费德里科·阿迪拉,加泰罗尼亚数字, 2016.
Drew Armstrong,广义非交叉分划与Coxeter群组合学,Mem。阿默尔。数学。Soc.202(2009),编号949,x+159。2561274先生16;见表2.8。同样是arXiv:数学/0611106, 2006-2007.
Joerg Arndt,计算事项(Fxtbook)第333页和第337页。
Yu Hin(Gary)Au、Fatemeh Bagherzadeh、Murray R.Bremner、,超立方体矩形分区的计数和渐近公式,arXiv:1903.00813[math.CO],2019年。
余欣凹,加权小Schröder数的一些性质及其组合含义,arXiv:1912.00555[math.CO],2019年。
Jean-Christophe Aval,多元Fuss-Catalan数,arXiv:0711.0906v1,离散数学。,308 (2008), 4660-4669.
M.Azaola和F.Santos,循环多面体C(n,n-4)的三角剖分数,离散计算。地理。,27 (2002), 29-48. (C(n)=循环多面体C(n,2)的三角形数。)
R.Bacher和C.Kratethaler,三角剖分和Fuss-Catalan复合体的色度统计《组合数学电子杂志》,第18卷,第1期(2011年),第152页。
D.F.贝利,1和-1的计数安排《数学杂志》69(2)128-131 1996。
I.Bajunaid等人。,函数级数、加泰罗尼亚数和树上的随机游动《美国数学月刊》,第112卷,第9期(2005年),765-785。
P.Balduf,一个相互作用场论的传播子和微分同胚,硕士论文,提交给柏林洪堡大学数学物理研究所,2018年。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps,生成树的生成函数《离散数学》246(1-3),2002年3月,第29-55页。
C.Banderier、M.Bousquet-Mélou、A.Denise、P.Flajolet、D.Gardy和D.Gouyou-Beauchamps,INRIA报告3661,FPSAC 99预打印,生成树的生成函数《离散数学》246(1-3),2002年3月,第29-55页。
C.Banderier、C.Kreattehaler、A.Krinik、D.Kruchinin、V.Kruchini、D.Nguyen和M.Wallner,格路径枚举的显式公式:basketball和核方法,arXiv预印本arXiv:1609.06473[math.CO],2016。
穆罕默德·巴拉卡特(Mohamed Barakat)、雷默·贝伦兹(Reimer Behrends)、克里斯托弗·杰斐逊(Christopher Jefferson)、卢卡斯·库恩(Lukas Kühne)和马丁·勒纳(Martin Leuner),秩3简单拟阵的生成及其在Terao自由度猜想中的应用,arXiv:1907.01073[math.CO],2019年。
S.Barbero、U.Cerruti和N.Murru,二项式插值算子的推广及其对线性递归序列的作用,J.国际顺序。13(2010)第10.9.7条,定理17。
E.Barcucci、A.Del Lungo、E.Pergola和R.Pinzani,避免长度增加的禁止子序列数量增加的排列《离散数学与理论计算机科学》4,2000,31-44。
E.Barccci、A.Del Lungo、E.Pergola和R.Pinzani,具有禁止子序列的置换及其反转数,《离散数学》,第234卷,第1-3期(2001年),1-15。
E.Barccci、A.Frosini和S.Rinaldi,关于矩形中的直凸多面体《离散数学》,第298卷,第1-3期(2005年),第62-78页。
Jean-Luc Baril,用避免虚线图案的排列重访经典序列,《组合学电子期刊》,第18期(2011年),第178页。
Jean-Luc Baril,避免不可约排列中的模式《离散数学与理论计算机科学》,第17卷,第3期(2016年)。
Jean-Luc Baril、David Bevan和Sergey Kirgizov,定向动物、多集合和Grand-Dyck路径之间的分支,arXiv:1906.11870[math.CO],2019年。
Jean-Luc Baril、C.Khalil和V.Vajnovszki,可按两个限制堆栈排序的加泰罗尼亚排列和薛定谔排列,arXiv:2004.01812[cs.DM],2020年。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Armen Petrossian,具有受限第一返回分解的Motzkin路径《整数》(2019)第19卷,A46。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、JoséL.Ramírez和Diego Villamizar,Motzkin Polyminoes的组合学,arXiv:2401.06228[math.CO],2024。参见第1页。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki,加泰罗尼亚语单词的下降分布避免了长度最多为三的模式,arXiv:1803.06706[math.CO],2018年。
Jean-Luc Baril、T.Mansour和A.Petrossian,置换模例外的等价类, 2014.
Jean-Luc Baril和J.-M.Pallo,Tamari格中的Motzkin子网和Motzkin测地线, 2013.
Jean-Luc Baril和Armen Petrossian,Dyck路径模某些统计量的等价类《离散数学》,第338卷,第4期(2015),655-660。
玛丽莲娜·巴纳贝、弗拉维奥·博内蒂和尼科洛·卡斯特罗诺沃,莫茨金和加泰罗尼亚隧道多项式,J.国际顺序。,第21卷(2018年),第18.8.8条。
保罗·巴里,整数序列上的加泰罗尼亚变换及相关变换《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.4.5条。
保罗·巴里,基于整数序列的广义Pascal三角构造《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.2.4条。
保罗·巴里,广义加泰罗尼亚数、Hankel变换和Somos-4序列,J.国际顺序。13 (2010) #10.7.2.
保罗·巴里,序列转换管道上的三个角度,arXiv:1803.06408[math.CO],2018年。
保罗·巴里,广义欧拉三角和一些特殊的生产矩阵,arXiv:1803.10297[math.CO],2018年。
保罗·巴里,Riordan数组、广义Narayana三角形和级数反转《线性代数及其应用》,491(2016),343-385。
保罗·巴里,Riordan阵列定义的类Pascal三角形的Gamma-Vectors,arXiv:1804.05027[math.CO],2018年。
保罗·巴里和A.轩尼诗,欧拉-赛德尔矩阵、汉克尔矩阵和矩序列,J.国际顺序。13 (2010) # 10.8.2
保罗·巴里,不变数三角形、特征三角形和Somos-4序列,arXiv:1107.5490[math.CO],2011年。
保罗·巴里,Riordan伪卷积、连分式和Somos 4序列,arXiv:1807.05794[math.CO],2018年。
保罗·巴里,类帕斯卡三角形族的中心系数和着色格路,J.国际顺序。,第22卷(2019年),第19.1.3条。
保罗·巴里,与类帕斯卡三角形族相关的广义加泰罗尼亚数,国际期刊。,第22卷(2019年),第19.5.8条。
保罗·巴里,广义加泰罗尼亚递归、Riordan数组、椭圆曲线和正交多项式,arXiv:1910.00875[math.CO],2019年。
保罗·巴里,关于具有加泰罗尼亚Halves的Riordan阵列的一个注记,arXiv:1912.01124[math.CO],2019年。
保罗·巴里,Riordan阵列、A矩阵和Somos 4序列,arXiv:1912.01126[math.CO],2019年。
保罗·巴里,切比雪夫矩和Riordan对合,arXiv:1912.11845[math.CO],2019年。
保罗·巴里,Borel三角形和Borel多项式的特征,arXiv:2001.08799[math.CO],2020年。
A.M.Baxter和L.K.Pudwell,避免成对图案的递增序列, 2014.
玛格丽特·拜尔和基斯·勃兰特,Pill问题、格路和Catalan数,预印本,《数学杂志》,第87卷,第5期(2014年12月),第388-394页。
Christian Bean、A.Claesson和H.Ulfarsson,同时避免长度为3的脉络膜和脉络膜模式,arXiv预印本arXiv:1512.03226[math.CO],2015。
尼古拉斯·比顿(Nicholas R.Beaton)、马蒂尔德·鲍维尔(Mathilde Bouvel)、维罗妮卡·格雷尼(Veronica Guerrini)和西蒙·里纳尔迪(Simone Rinaldi),列举五类无模式反转序列;并引入加泰罗尼亚数字,arXiv:1808.04114[math.CO],2018年。
L.W.Beineke和R.E.Pippert,枚举标记的k维树和球剖分,第二届教堂山组合数学及其应用会议论文集,北卡罗来纳大学教堂山分校,1970年,第12-26页。重印于数学。Annalen安纳伦191(1971),87-98.
E.T.Bell,迭代指数整数《数学年鉴》,第39卷,第3期(1938年),539-557。
马西耶·本德考斯基(Maciej Bendkowski)和皮埃尔·莱斯坎(Pierre Lescane),显式替换的组合数学,arXiv:1804.03862[cs.LO],2018年。
Matthew Bennett、Vyjayanthi Chari、R.J.Dolbin和Nathan Manning,方形分区和加泰罗尼亚数字,arXiv:0912.4983[math.RT],2009年。
F.Bergeron、G.Labele和P.Leroux,组合种与树状结构,《数学及其应用百科全书》67(1997),见第163、167、168、252、256、291页。
朱莉娅·伯格纳(Julia E.Bergner)、塞德里克·哈珀(Cedric Harper)、瑞安·凯勒(Ryan Keller)和马蒂尔德·罗西·马歇尔(Mathilde Rosi-Marshall),动作图、平面根森林和加泰罗尼亚数字的自我进化,arXiv:1807.03005[math.CO],2018年。
E.E.Bernard和P.D.A.Mole,连续分离过程的生成策略《计算机杂志》,第2卷(1959年),第87-89页。[带注释的扫描件]
E.E.Bernard和P.D.A.Mole,连续分离过程的生成策略《计算机杂志》,第2卷,第2期(1959年),第87-89页。
F.R.伯恩哈特,加泰罗尼亚、莫茨金和里奥丹数字《离散数学》,第204卷,第1-3期(1999年),第73-112页。
A.Bernini、F.Disanto、R.Pinzani和S.Rinaldi,定义凸置换的置换《整数序列杂志》10(2007),第07.9.7条。
M.Bernstein和N.J.A.Sloane,整数的一些正则序列,线性算法。应用,226-228(1995),57-72;勘误表320(2000),210。[链接到arXiv版本]
M.Bernstein和N.J.A.Sloane,整数的一些正则序列,线性算法。应用,226-228(1995),57-72;勘误表320(2000),210。[链接到Lin.Alg.Applic.version以及省略的数字]。
D.Bessis、C.Itzykson和J.B.Zuber,图形枚举中的量子场论技术应用数学高级。,第一卷,第3期,1980年6月,第109-157页。
D.Birmajer、J.B.Gil、J.O.Tirrell和M.D.Weiner,避免模式的稳定无间隔排列,arXiv:2306.03155[math.CO],2023年。
奥布里·布莱彻、夏洛特·布伦南和阿诺德·克诺普马赫,堤道的水容量《应用数学进展》(2019)第112卷,第101945页。
Natasha Blitvić和Einar Steingriímsson,排列、力矩、测量,arXiv:2001.00280[math.CO],2020年。
米克洛斯·博纳,用加泰罗尼亚语计数的物体中令人惊讶的对称性《电子杂志》,第19页(2012年),第62页。
M.Bona和B.E.Sagan,关于素数对Narayana数的可除性《整数序列杂志》8(2005),第05.2.4条。
T.布尔根,蒙塔格纳德和多边形[死链接]
米歇尔·布斯克特和塞德里克·拉马特,关于二阶对称结构《离散数学与理论计算机科学》,第10卷,第2期(2008),153-176。
米雷尔·布斯克·梅洛,排序和/或可排序排列《离散数学》,第225卷,第1-3期,第25-50页,(2000)。
M.Bousquet-Mélou和Gilles Schaeffer,在狭缝平面上行走《概率论及相关领域》,第124卷,第3期(2002年),305-344。
M.Bouvel、V.Guerrini和S.Rinaldi,平行四边形多边形的切片,或巴克斯特和施罗德如何调和,arXiv预印本arXiv:1511.04864[math.CO],2015。
G.Bowlin和M.G.Brin,在协面体中通过有色路径对平面图着色,arXiv预印本arXiv:1301.3984[math.CO],2013。
道格拉斯·鲍曼和阿隆·雷格夫,凸正多边形剖分对称类的计数,arXiv预印本arXiv:1209.6270[math.CO],2012。
理查德·布拉克,加泰罗尼亚结构的一个普遍双截,arXiv:1808.09078[math.CO],2018年。
D.Broadhurst和D.Kreimer,φ4理论中的结和数到7圈及以上,arXiv:9504352[hep-ph],1995年。
K.S.Brown在数学论坛上的数学页,加泰罗尼亚数字的含义
W.G.Brown,关于一个递归组合问题的历史注释《美国数学月刊》,第72卷,第9期(1965年),973-977。
W.G.Brown,关于一个循环组合问题的历史注释阿默尔。数学。《月刊》,72(1965),973-977。[带注释的扫描副本]
Kevin Buchin、Man-Kwon Chiu、Stefan Felsner、Günter Rote和AndréSchulz,给定高度和宽度的凸多边形数,arXiv:1903.01095[math.CO],2019年。
B.Bukh,PlanetMath.org,加泰罗尼亚数字
Alexander Burstein、Sergi Elizalde和Toufik Mansour,受限Dumont置换、Dyck路径和非交叉分区,arXiv:math/0610234[math.CO],2006年。
A.H.Busch,无三角公差图的一个特征《离散应用数学》154,第3期,2006年,第471页。
W.Butler、A.Kalotay和N.J.A.Sloane,通信,1974年
W.Butler和N.J.A.Sloane,通信,1974年
Libor Caha和Daniel Nagaj,对翻转模型:一个非常纠缠的平移不变自旋链,arXiv:1805.07168[定量/小时],2018。
蔡方芳、侯庆虎、孙一东和杨亚瑟,递归矩阵2X2子矩阵的组合恒等式,arXiv:1808.05736[math.CO],2018年。
David Callan,一个超Catalan递归的组合解释,《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.1.8条。
D.Callan,加泰罗尼亚数恒等式的组合解释《数学杂志》,第72卷,第4期(1999年),295-298。
David Callan,合成特征序列的组合解释《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.1.4条。
D.卡兰,Touchard的加泰罗尼亚数字标识的变体,arXiv预印arXiv:1204.5704[math.CO],2012。
D.Callan,“扁平”分区中的模式避免《离散数学》,第309卷,第12期(2009年),4187-4191。
D.Callan,除法的最大关联度:11091《美国数学月刊》,第113卷,第5期(2006),462-463。
David Callan和Emeric Deutsch,跑步转换,离散数学。312(2012),第19期,2927-2937,arXiv:1112.3639[math.CO],2011年。
H.Cambazard和N.Catusse,平面上直线Steiner树和直线旅行商问题的固定参数算法,arXiv预印arXiv:1512.066492015
Naiomi T.Cameron和Asamoah Nkwanta,关于Riordan群中的一些(伪)对合《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.3.7条。
彼得·卡梅隆,一些树状物体《数学季刊》,第38卷,第2期(1987年),155-183。见第155、162页。
P.J.Cameron,由寡态置换群实现的序列,J.集成。序号。第3卷(2000年),第00.1.5号。
A.凯利,关于多边形的分区,程序。伦敦数学。Soc.,22(1891),237-262=数学论文集。卷。1-13,剑桥大学出版社,伦敦,1889-1897年,第13卷,第93页及其后。
F.Cazals,非交叉构型的组合数学《自动组合数学研究》,第二卷(1997年)。
Giulio Cerbai、Anders Claesson、Luca Ferrari和Einar Steingrímsson,使用避免图案的堆栈进行排序:132-机器,arXiv:2006.05692[math.CO],2020年。
何塞·路易斯·塞雷塞达,整数幂和的另一个递推公式,arXiv:1510.00731[math.CO],2015年。
G.Chatel和V.Pilaud,寒武纪和巴克斯特-寒武纪Hopf代数,arXiv预印本arXiv:1411.3704[math.CO],2014。
塞德里克·乔夫(Cedric Chauve)、延恩·蓬蒂(Yann Ponty)和迈克尔·沃纳(Michael Wallner),重复缺失和重复缺失转移模型中基因家族进化史的计数和采样,arXiv:1905.04971[math.CO],2019年。
陈永明,重提钟-费勒定理《离散数学》,第308卷,第7期(2008),1328-1329。
Peter Cholak和Ludovic Patey,薄集定理与锥回避,arXiv:1812.00188[math.LO],2018年。
周文森、何天修和施恩施,关于广义Fuss-Catalan数的素性《整数序列杂志》,第21卷(2018年),第18.2.1条。
马林·克里斯坦森,对图像进行双曲线平铺,网页,2019年。
朱莉·克里斯托夫(Julie Christophe)、Jean-Paul Doignon和塞缪尔·菲奥里尼(Samuel Fiorini),计数生物订单,J.整数序列。,2003年第6卷。
钟凯来(Kai Lai Chung)和费勒(W.Feller),硬币流通中的波动《美利坚合众国国家科学院院刊》,第35卷,第10期(1949年),605-608。
J.齐格勒,一些不错的Hankel行列式,arXiv:1109.1449[math.CO],2011年。
约翰·西格勒和克里斯蒂安·克拉蒂海尔,正交多项式矩线性组合的Hankel行列式,arXiv:2003.01676[math.CO]2020年。
Laura Colmenarejo、Aleyah Dawkins、Jennifer Elder、Pamela E.Harris、Kimberly J.Harry、Selvi Kara、Dorian Smith和Bridget Eileen Tenner,关于Stirling置换的幸运统计和位移统计,arXiv:2403.03280[math.CO],2024。
CombOS-组合对象服务器,生成Dyck路径
阿尔多·康卡(Aldo Conca)、汉斯·克里斯蒂安·赫比格(Hans-Cristian Herbig)和斯里坎斯·艾扬格(Srikanth B.Iyengar),一些经典表示的矩映射的Koszul性质,arXiv:1705.02688[math.AC],2017年,也数学集合呼吸(2018) 69.3, 337-357.
哈里·克莱恩,左右排列、设置分区和模式避免《澳大利亚组合数学杂志》,61(1)(2015),57-72。
Alissa S.Crans,一个秘密序列:加泰罗尼亚数字视频(2014)。
Danielle Cressman、Jonathan Lin、An Nguyen和Luke Wiljanen,广义动作图,海报,(2020年)。
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、E.Brendsdal、B.N.Cyven和E.K.Lloyd,多烯烃类的计数:一个完整的数学解决方案,J.化学。Inf.计算。科学。,35 (1995) 743-751. [带注释的扫描副本]
Dennis E.Davenport、Lara K.Pudwell、Louis W.Shapiro和Leon C.Woodson,有序树的边界《整数序列杂志》,第18卷(2015年),第15.5.8条。
Dennis E.Davenport、Louis W.Shapiro和Leon C.Woodson,凸多边形三角剖分与有序树的双射《整数》(2020)第20卷,第A8条。
科林·德芬特,加泰罗尼亚区间和唯一排序排列,arXiv:1904.02627[math.CO],2019年。
C.Defant和K.Zheng,具有连续模式避免堆栈的堆栈排序,arXiv:2008.12297[数学.CO],2020年。
伊塔洛·J·德杰特,限制生长弦在布尔晶格B_(2k+1)两个中间能级中的作用波多黎各大学,2018年。
伊塔洛·J·德杰特,通过有序根树的自然枚举重新解释Mütze定理,arXiv:1911.02100[math.CO],2019年。
E.Deutsch和B.E.Sagan,Catalan数和Motzkin数及相关序列的同余J.Num.Theory 117(2006),191-215。
E.Deutsch和L.Shapiro,精细数字综述,离散数学。,241 (2001), 241-265.
吉米·德维利特和布鲁诺·特霍,链上的关联、幂等、对称和保序操作,arXiv:1805.11936[math.RA],2018年。
T.Dokos和I.Pak,随机双交替Baxter置换的期望形状,arXiv:1401.0770[math.CO],2014年。
C.Domb和A.J.Barrett,梯形图的枚举,离散数学。9(1974),341-358。(带注释的扫描副本)
C.Domb和A.J.Barrett,关于“梯形图枚举”中表2的注释,离散数学。9 (1974), 55. (带注释的扫描件)
T.多斯利克,在(圆桌)上握手,JIS 13(2010)#10.2.7。
Eric S.Egge、Kailee Rubin、,雪豹排列及其奇偶线,arXiv:1508.05310[math.CO],2015年。
Roger B.Eggleton和Richard K.Guy,加泰罗尼亚人又罢工了!函数是凸函数的可能性有多大?《数学杂志》,61(1988):211-219。
Shalosh B.Ekhad、Nathaniel Shar和Doron Zeilberger,避免SYMBOLIC d长度d+r但数字r的置换的1…d的数量,arXiv:1504.02513[math.CO],2015年。
Gennady Eremin,分解加泰罗尼亚数字,arXiv:1908.03752[math.NT],2019年。
A.EspañA、X.Leoncini和E.Ugalde,走向同步的路径组合,arXiv:2205.05948[math.DS],2022。
I.M.H.Etherington,非关联幂与函数方程,数学。天然气。,21 (1937), 36-39. [带注释的扫描副本]
I.M.H.Etherington,关于非关联组合,程序。爱丁堡皇家学会,59(第二部分,1938-1939),153-162。[带注释的扫描副本]
I.M.H.Etherington,非结合组合的几个问题(I)爱丁堡数学。注释,32(1940),第i-vi.页[带注释的扫描件]。第二部分[未扫描]由A.Erdelyi和I.M.H.Etherington撰写,位于同一期的第vii-xiv页。
Jackson Evoniuk、Steven Klee和Van Magnan,枚举最小长度格路径,J.国际顺序。,第21卷(2018年),第18.3.6条。
卢卡·法拉利和埃马努埃勒·穆纳里尼,一些路径格中边的计数,arXiv预印本arXiv:1203.6792[math.CO],2012。
FindStat-组合统计查找器,排序排列所需的堆叠排序数
D.C.Fielder和C.O.Alford,从霍加特和和和和三角导出的序列的研究,斐波那契数的应用,3(1990)77-88。《第三届斐波那契数及其应用年度会议论文集》,意大利比萨,1988年7月25日至29日。(带注释的扫描副本)
菲利普·弗拉乔莱(Philippe Flajolet)、埃里克·福西(Eric Fusy)、泽维尔·古尔登(Xavier Gourdon)、丹尼尔·帕纳里奥(Daniel Panario)和尼古拉斯·普扬(Nicolas Pouyanne),组合渐近中Darboux方法与奇异性分析的混合,arXiv:math/0606370[math.CO],2006年。
菲利普·弗拉乔莱、泽维尔·古登和菲利普·杜马斯,梅林变换和渐近性:调和和,算法数学分析专集。理论。计算。科学。144(1995),第1-2、3-58号。
P.Flajolet和R.Sedgewick,分析组合数学, 2009; 参见第18、35页
D.Foata和G.-N.Han,双布隆多项式三角形,公羊。J.23(2010),107-126
Dominique Foata和Guo Niu Han,双子数和新的q正切数,夸脱。数学杂志。62 (2) (2011) 417-432
S.Forcey、M.Kafashan、M.Maleki和M.Strayer,加泰罗尼亚对象的递归双射,arXiv预印本arXiv:12122.1188[math.CO],2012和J.国际顺序。16 (2013) #13.5.3.
H.G.Forder,组合学中的几个问题,数学。公报,第45卷,1961年,199-201年。[带注释的扫描副本]
傅世硕和王亚玲,关于两个Schröder三角形的双射递归,arXiv:1908.03912[math.CO],2019年。
J.R.Gaggins,构建多边形的质心,数学。加兹。,61 (1988), 211-212.
Mohammad Ganjtabesh、Armin Morabbi和Jean-Marc Steyaert,枚举RNA结构的数量
乔尔·盖伊和文森特·皮劳,Weyl偏序集的弱序,arXiv:1804.06572[math.CO],2018年。
E.-K.Ghang和D.Zeilberger,零算术:仅使用一表示整数,arXiv预印本arXiv:1303.0885[math.CO],2013。
A.Ghasemi、K.Sreenivas和L.K.Taylor,数值稳定性与加泰罗尼亚数,arXiv预印本arXiv:1309.4820[math.NA],2013年。
埃蒂安·吉斯,奇异的数学长廊,arXiv:1612.063732016年。
Juan B.Gil和Michael D.Weiner,关于避免图案的Fishburn排列,arXiv:1812.01682[math.CO],2018年。
S.吉兰德、C.约翰逊、S.拉什、D.伍德,袜子匹配问题,Involve,《数学杂志》,第7卷(2014),第5期,691-697。
萨缪尔·吉拉乌多,复数社交代数II:多二次型操纵子及相关操纵子,arXiv:1603.01394[math.CO],2016年。
萨缪尔·吉拉乌多,树序列和语法树中的模式避免,arXiv:1903.00677[math.CO],2019年。
Lisa R.Goldberg,加泰罗尼亚数和黎曼球的分支覆盖高级数学。85(1991),第2期,129-144。
S.Goldstein、J.L.Lebowitz和E.R.Speer,离散时间促进的完全非对称简单排除过程,arXiv:2003.04995[math-ph],2020年。
K.Gorska和K.A.Penson,作为豪斯多夫矩的多维加泰罗尼亚语和相关数字,arXiv预印本arXiv:1304.6008[math.CO],2013。
H.W.古尔德,Larcombe加泰罗尼亚数公式的证明与推广,祝贺。数字。165(2003)第33-38页。
阿兰·古比尔(Alain Goupil)和吉尔斯·谢弗(Gilles Schaeffer),N圈因子分解与给定亏格的计数映射,欧洲。《组合数学杂志》(1998)19 819-834。
B.Gourevitch,皮尤大学(单击Mathematiciens、Gosper)
D.Gouyou-Beauchamps,Chemins sous-diagonaux et tableau de Young公司第112-125页,“Combinatoire Enumerative(蒙特利尔,1985)”,Lect。数学笔记。1234年,施普林格,1986年。(带注释的扫描副本)
Taras Goy和Mark Shattuck,具有Catalan项的Toeplitz-Hessenberg矩阵的行列式《印度科学院学报-数学科学》,第129卷(2019年),第46条。
柯蒂斯·格林和布雷迪·哈兰,形状和吊钩数量(额外镜头),数字视频(2016)
凯瑟琳·格林希尔(Catherine Greenhill)、伯纳德·曼斯(Bernard Mans)和阿里·波米里(Ali Pourmiri),动态超图上的平衡分配,arXiv:2006.07588[cs.DS],2020年。
H.G.Grundman和E.A.Teeple,具有小基数的广义快乐数序列《整数序列杂志》,第10卷(2007年),第07.1.8条。
R.K.盖伊,将多边形剖分为三角形,研究论文#9,数学。卡尔加里大学系,1967年。[带注释的扫描副本]
R.K.盖伊,猫道、沙阶和帕斯卡金字塔,J.整数序列。,第3卷(2000),#00.1.6。
R.K.Guy和J.L.Selfridge,阶梯状圆括号的筑巢和栖息习惯(带注释的缓存副本)
马克·海曼(Mark Haiman),附埃兹拉·米勒(Ezra Miller)的附录,平面上n点的交换代数、趋势委员会。代数,MSRI Publ 51(2004):153-180。[见定理1.2]
郭乃涵,标准拼图的枚举[缓存副本]
布雷迪·哈兰和谢尔盖·塔巴奇尼科夫,饰带图案,数字视频(2019);更多视频
F.Harary和R.W.Robinson,无枝树的数量,Jnl。Reine Angewandte Mathematik莱因·安格万特·马塞马提克278(1975),322-335。(带注释的扫描件)
Elizabeth Hartung、Hung Phuc Hoang、Torsten Mütze和Aaron Williams,通过置换语言的组合生成。一、基础,arXiv:1906.06069[cs.DM],2019年。
Aoife轩尼诗,Riordan阵列及其在连分式、正交多项式和格路径中的应用研究2011年10月,沃特福德理工学院博士论文
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr,河内塔——神话与数学,Birkhäuser 2013。参见第259页。图书网站
V.E.Hoggatt,Jr.和M.Bicknell,由帕斯卡三角矩阵的逆产生的加泰罗尼亚语序列和相关序列,光纤。夸脱。,14 (1976), 395-405.
V.E.Hoggatt,Jr.和Paul S.Bruckman,H卷积变换,斐波纳契夸脱。,第13卷(4),1975年,第357页。
C.Homberger,排列和对合中的模式:结构和枚举方法,arXiv预印本arXiv:1410.2657[math.CO],2014。
W.Hürlimann(2009)。用幂律推广Benford定律:对整数序列的应用《国际数学与数学科学杂志》,文章编号970284。
Hxien-Kuei Hwang、Mihyun Kang和Guan-Huei Duh,次临界拉格朗日型的渐近展开《LIPIcs算法分析学报》(2018年),第110卷,第29条。
安德斯·海伦格伦,四个整数序列1985年10月4日。从本质上观察到A000984号A002426号是彼此的二项式逆变换,如下所示A000108号A001006号.
Milan Janjić,限制性三元词和插入词,arXiv:1905.04465[math.CO],2019年。
S.约翰逊,加泰罗尼亚数字
A.Joseph和P.Lamprou,加泰罗尼亚语数字的新解释,arXiv预印本arXiv:1512.00406[math.CO],2015。
R.Kahkeshani,加泰罗尼亚数的推广,J.国际顺序。16 (2013) #13.6.8
曼纽尔·考尔斯(Manuel Kauers)和多伦·齐尔伯格(Doron Zeilberger),限制运行的标准杨表计数,arXiv:2006.10205[math.CO],2020年。
J.Keitel和L.Bartosch,作为微扰理论基准的零维O(N)向量模型、大N展开和函数重规范化群,arXiv预打印arXiv:1109.3013[第二部分统计信息],2012年。
克拉克·金伯利,整数序列的矩阵变换,J.整数序列。,2003年第6卷。
马丁·克拉扎尔,答案是什么?-组合枚举中PIO公式的备注、结果和问题,arXiv:1808.084492018年。
马丁·克拉泽和理查德·霍斯克,加泰罗尼亚数字是线性递归序列吗?,arXiv:210717[math.CO],2021。发表于《美国数学月刊》,129:2,166-171,DOI:10.1080/00029890.2022.2005392。
D.E.克努思,卷积多项式《数学杂志》,第2卷(1992年),第67-78页。
M.Konvalinka和S.Wagner,随机缠结图的形状,arXiv预印本arXiv:1512.0168[第二版,mes-hall],2015年。
G.Kreweras,细分市场调查巴黎大学统计研究所,巴黎大学统计局,第15号(1970年),3-41。[带注释的扫描副本]
G.Kreweras,非croisées d’un循环的Sur les分区,(法语)离散数学。1(1972),第4期,333-350。MR0309747(46#8852)
C.Krishnamachary和M.Bheemasena Rao,元素为欧拉数、预备伯努利数和其他数的行列式,J.印度数学。《社会学杂志》,14(1922),55-62,122-138和143-146。[带注释的扫描副本]
Nate Kube和Frank Ruskey,满足a(n-a(n))=0的序列《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.5.5条。
Shrinu Kushagra、Shai Ben-David和Ihab Ilyas,用于去重的半监督聚类,arXiv:11810.04361[cs.LG],2018年。
玛丽·路易斯·莱克纳和M·沃勒,解析组合学和格路径计数邀请函; 预印本,2015年12月。
沃尔夫迪特·朗,关于Stirling数三角形的推广,J.整数序列。,第3卷(2000),#00.2.4。
Peter J.Larcombe、Daniel R.French、,关于“其他”加泰罗尼亚数字:历史公式的重新审视,预印本2000-2016。
P.J.Larcombe等人。,正弦函数的某些级数展开式:加泰罗尼亚数和收敛性,纤维。Q.,52(2014),236-242。
J.W.Layman,Hankel变换及其一些性质《整数序列》,4(2001),#01.1.5。
皮埃尔·莱斯坎,关于流的练习:收敛加速,arXiv预印本arXiv:1312.4917[cs.NA],2013。
薛永林,模为2^k的奇数加泰罗尼亚数,arXiv:1012.1756[math.NT],2010-2011年。
Elżbieta Liszewska和Wojciech Młotkowski,加泰罗尼亚序列的一些亲缘关系,arXiv:1907.10725[math.CO],2019年。
J.-L.Loday和B.Vallette,代数运算,版本0.9992012。
R.P.Loh、A.G.Shannon、A.F.Horadam、,与费马系数相关的可除性准则和序列生成器《预印本》,1980年。
萨拉·马达里亚加,树状代数和四代数非对称操作的Gröbner-Shirshov基,arXiv:1304.5184[math.RA],2013年。
Colin L.Mallows和Lou Shapiro,草坪上的球《整数序列》,第2卷,1999年,第5期。
C.Mallows和R.J.Vanderbei,哪个年轻的表可以代表一个外和?,J.国际顺序。18(2015)15.9.1。
K Manes、A Sapounakis、I Tasoulas、P Tsikouras、,长度为2和3的投票路径模字符串的等价类,arXiv预印本arXiv:1510.01952[math.CO],2015。
图菲克·曼苏尔,计算堤坝路径中高度k处的峰值《整数序列杂志》,第5卷(2002年),第02.1.1条
图菲克·曼苏尔,Dyck路径统计《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.1.5条。
Toufik Mansour和Mark Shattuck,根据峰谷最大距离计算堤防路径《整数序列杂志》,第15卷(2012年),第12.1.1号。
Toufik Mansour和Yidong Sun,涉及Narayana多项式和加泰罗尼亚数的恒等式(2008),arXiv:0805.1274[math.CO];离散数学,第309卷,第12期,2009年6月28日,第4079-4088页
R.J.Marsh和P.P.Martin,Pascal数组:计算加泰罗尼亚集合,arXiv:math/0612572[math.CO],2006年。
数学溢出,黎曼zeta(n>1)的几何/物理/概率解释?,Tom Copeland于2021年8月发布的答案。
彼得·麦卡拉和阿萨莫阿·恩昆塔,加泰罗尼亚和莫茨金积分表示,arXiv:1901.07092[math.NT],2019年。
乔恩·麦卡蒙德,位于意外位置的非交叉隔墙,arXiv:math/0601687[math.CO],2006年。
D.Merlini、R.Sprugnoli和M.C.Verri,打印机的等待模式离散应用数学,144(2004),359-373;FUN与算法'01,Isola d'Elba,2001。
恩格拉·梅斯特雷和何塞·阿加皮托,一类Riordan群自同构,J.国际顺序。,第22卷(2019年),第19.8.5条。
Sam Miner和I.Pak,避免排列的随机模式的形状, 2013.
Marni Mishna和Lily Yen,设置没有k嵌套的分区,arXiv:1106.5036[math.CO],2011年。
S.Mizera,组合数学与Kawai-Lewellen-Tye关系的拓扑,arXiv:1706.08527[hep-th],2017年。
T.Motzkin,超曲面交比,公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》,51(1945),976-984。
T.S.Motzkin,超曲面交比与多边形分割、永久优势和非结合积的组合公式之间的关系,公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》,54(1948),352-360。
托尔斯滕·穆策和弗兰齐斯卡·韦伯,离散立方体中间层2因子的构造,arXiv预印本arXiv:11111.2413[math.CO],2011。
利维乌·尼古拉斯库,计算2-球面上的莫尔斯函数,arXiv:math/0512496[math.GT],2005-2006。
J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,任意水平的自由拟对称函数,arXiv:math/0405597[math.CO],2004年。
R.J.Nowakowski、G.Renault、E.Lamoureux、S.Mellon和T.Miller,木材游戏!, 2013.
C.D.Olds(提案人)和H.W.Becker(讨论),问题4277阿默尔。数学。《月刊》第56期(1949年),第697-699页。[带注释的扫描副本]
伊戈尔·帕克,加泰罗尼亚数字页面
伊戈尔·帕克,加泰罗尼亚数字的历史,arXiv:1408.5711【math.HO】,2014年。
郝磐、孙志伟,组合恒等式及其在加泰罗尼亚数中的应用,arXiv:math/0509648[math.CO],2005-2006。
A.Panayotopoulos和P.Tsikouras,迂回与莫茨金语,J.整数序列。,2004年第7卷。
A.Panholzer和H.Prodinger,三元树和非交叉树的双射,离散数学。,250(2002),181-195(见公式4)。
A.帕普利斯,拉普拉斯变换反演的一种新方法,夸脱。申请。数学14(1957),405-414。[选定页面的注释扫描]
罗伯特·帕维亚宁,模式2-13出现k次的排列的格路计数《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.3.2条。
Ludovic Patey,类Ramsey定理与计算模,arXiv:1901.04388[math.LO],2019年。
P.Peart和W.-J.Woan,通过Hankel和Stieltjes矩阵生成函数,J.整数序列。,第3卷(2000),#00.2.1。
P.Peart和W.-J.Woan,高度k无峰值的堤坝路径《整数序列》,4(2001),#01.1.3。
Robin Pemantle和Mark C.Wilson,多元生成函数渐近性的二十个组合例子SIAM版本,50(2)(2008),199-272。
K.A.Penson和J.-M.Sixdeniers,加泰罗尼亚数及其相关数的积分表示《整数序列》,4(2001),#01.2.5。
卡罗尔·彭森和卡罗尔·兹科夫斯基,Ginibre矩阵乘积:Fuss-Catalan和Raney分布,arXiv版本; 物理学。Rev E.vol.83,061118(2011)。
T.K.Petersen和Bridget Eileen Tenner,置换的深度,arXiv:1202.4765[math.CO],2012-2014年。
维尔·佩特森,枚举哈密顿循环《组合数学电子杂志》,第21卷,第4期,2014年。
文森特·皮劳,砖多面体、格商和Hopf代数,arXiv预印本arXiv:1505.07665[math.CO],2015。
文森特·皮劳,卵石树,arXiv:2205.06686[math.CO],2022年。
Maxim V.Polyakov、Kirill M.Semenov-Tian-Shansky、Alexander O.Smirnov和Alexey A.Vladimirov,准正规化量子场论,arXiv:1811.08449[hep-th],2018年。
亚历山大·波斯特尼科夫,Permuthodrea、associahedra和beyond2005年,arXiv:math/0507163[math.CO],2005年。
J.-B.Priez和A.Virmaux,广义停车函数的非交换Frobenius特征:在枚举中的应用,arXiv预印本arXiv:1411.4161[math.CO],2014-2015。
L.Pudwell和A.Baxter,避免成对图案的递增序列, 2014.
阿隆·雷格夫,用平行对角线枚举三角剖分《整数序列杂志》,第15卷(2012年),第12.8.5号;arXiv预印arXiv:1208.39152012。
阿隆·雷格夫(Alon Regev)、阿米泰·雷格芙(Amitai Regev,S_n的字符表中的恒等式,arXiv预印本arXiv:1507.03499[math.CO],2015。
阿米泰·雷格夫(Amitai Regev)、纳撒尼尔·沙尔(Nathaniel Shar)和多伦·齐尔伯格(Doron Zeilberger),Touchard加泰罗尼亚身份的简短证明, 2015.
阿米泰·雷格夫(Amitai Regev)、纳撒尼尔·沙尔(Nathaniel Shar)和多伦·齐尔伯格(Doron Zeilberger),Touchard加泰罗尼亚身份的简短证明,[本地副本,仅pdf文件,无活动链接]
C.M.Ringel,遗传artin代数的加泰罗尼亚组合学,arXiv预印本arXiv:1502.06553[数学.RT],2015。
J.Riordan,圆上2n点对弦的交点分布,数学。公司。,29 (1975), 215-222.
J.Riordan,圆上2n点对弦的交点分布,数学。公司。,29 (1975), 215-222. [带注释的扫描件]
N.A.Rosenberg,计算合并历史,J.计算生物学。,14 (2007), 360-377.
E.Rowland和R.Yassawi,有理函数对角线的自动同余,arXiv预印本arXiv:1310.8635[math.NT],2013-2014。
E.Rowland和D.Zeilberger,元自动化的一个案例研究:组合序列同余自动机的自动生成,arXiv预印本arXiv:1311.4776[math.CO],2013。
阿尔伯特·萨德,《排列表》(Sur les Chevauchements des Permutations)作者马赛出版,1949年。[带注释的扫描副本]
A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras,关于Dyck路的支配偏序《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.2.5条。
A.Sapounakis和P.Tsikouras,关于k色Motzkin词《整数序列杂志》,第7卷(2004年),第04.2.5条。
E.Schröder,维耶组合问题,Z.f.数学。物理。,15 (1870), 361-376. [带注释的扫描件]
A.Schuetz和G.Whieldon,多边形剖切和级数反转,arXiv预印本arXiv:1401.7194[math.CO],2014。
J.A.von Segner,三角洲中按对角线分出的平面直线图(quibus figurae planae rectlinea),诺维通信学院。科学。推动。Petropolitane,7(1758/1759),203-209年。
Sarah Shader,加权加泰罗尼亚数及其可除性麻省理工学院科学研究所,2014年。
L.W.夏皮罗,加泰罗尼亚三角形,离散数学。,14, 83-90, 1976.
L.W.夏皮罗,加泰罗尼亚三角,离散数学。14(1976年),第1期,第83-90页。[带注释的扫描副本]
D.M.Silberger,整数(2n-2)的出现次数/不!(n-1)!Roczniki Polskiego Towarzystwa数学。13 (1969): 91-96. [带注释的扫描副本]
N.J.A.斯隆,初始术语说明
N.J.A.斯隆,五十年后的《整数序列手册》,arXiv:2301.03149[math.NT],2023年,第7页。
N.所罗门和S.所罗门,加泰罗尼亚数的自然推广,JIS 11(2008)08.3.5
Frank Sottile,舒伯特直线演算(枚举实代数几何的一节)
Michael Z.Spivey和Laura L.Steil,k二项式变换和Hankel变换,《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.1.1条。
R.P.斯坦利,希帕克斯、普鲁塔克、施罗德和霍夫,美国数学。《月刊》,第104卷,第4期,第344页,1997年。
R.P.斯坦利,加泰罗尼亚补遗
R.P.斯坦利,加泰罗尼亚数字的解释(注释)[带注释的扫描副本]
P.J.Stockmeyer,魅力手镯问题及其应用《图与组合数学》(华盛顿,1973年6月)第339-349页,R.A.Bari和F.Harary编辑。莱克特。数学笔记。,第406卷。施普林格·弗拉格,1974年。[扫描的带注释和更正的副本]
T.Stojadinovic,加泰罗尼亚数字2015年预印本。
C.树桩,加泰罗尼亚语系新词集,J.国际顺序。17 (2014) # 14.7.1
孙志伟和罗伯托·陶拉索,关于二项式系数的一些新同余,arXiv:0709.1665【math.NT】,2007-2011年。
P.Tarau,基于组合对象加泰罗尼亚族的通用编号系统,arXiv预印本arXiv:1406.1796[cs.MS],2014。
P.Tarau等人,Lambda术语、组合词、类型和基于树的算术计算的逻辑编程游戏场,arXiv预印本arXiv:1507.06944[cs.LO],2015。
I.Tasoulas、K.Manes、A.Sapounakis和P.Tsikouras,二元路径格中的小间隔链,arXiv:1911.10883[math.CO],2019年。
B.E.Tenner,Bruhat和弱序的区间结构,arXiv:2001.05011[math.CO],2020年。
Thotsaporn“Aek”Thanatipanonda和Doron Zeilberger,一些纯机会博弈的多重计算探索,arXiv:1909.11546[math.CO],2019年。
I.托多罗夫,研究量子场论,arXiv:1311.7258[math-ph],2013年。
迈克尔·托佩,半群同余:计算技术和理论应用,圣安德鲁斯大学博士论文(苏格兰,2019年)。
J.-D.乌尔维纳(J.-D.Urbina)、J.库伊伯斯(J.Kuipers)、Q.亨梅尔(Q.Hummel)和K.里希特(K.Richter),复散射中的多粒子关联与介观玻色子采样问题,arXiv预印本arXiv:1409.1558[quant-ph],2014年。
A.维埃鲁,Agoh猜想:证明、推广、类比,arXiv:1107.2938[math.NT],2011年。
杰拉德·维尔曼,诺布雷斯·德·加泰罗尼亚(法语)
D.W.Walkup,梧桐树的数量Mathematika,第19卷,第2期(1972年),200-204。
王文熙、穆罕默德·乌斯曼、阿利亚斯·阿尔马维、王开元、库尔德斯·梅尔和萨尔夫拉兹·库尔希德,对称性破缺谓词与模型计数研究新加坡国立大学(2020年)。
维基百科,加泰罗尼亚数字
J.Winter、M.M.Bonsangue和J.J.M.M..Rutten,无上下文余代数, 2013.
罗曼·维图拉(Roman Witula)、达米安·斯洛塔(Damian Slota)和埃德塔·赫特马尼科(Edyta Hetmanik),不同已知整数序列之间的桥,《数学与信息学年鉴》,41(2013),第255-263页。
W.-J.Woan,Hankel矩阵与格路《整数序列》,4(2001),#01.1.2。
文金焕,加权Motzkin序列的递归关系整数序列杂志,第8卷(2005),第05.1.6条。
文金焕,动物和2-Motzkin路径《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.5.6条。
文金焕,限制与非限制加权Motzkin路之间的关系《整数序列杂志》,第9卷(2006年),第06.1.7条。
严春艳和林志聪,避免模式对的反转序列,arXiv:1912.03674[math.CO],2019年。
F.Yano和H.Yoshida,非交叉分区中的一些集合分区统计和生成函数,离散。数学。,307 (2007), 3147-3160.
张彦,分次偏序集的四种变分,arXiv预印本arXiv:1508.00318[math.CO],2015。
配方奶粉
a(n)=二项式(2*n,n)/(n+1)=(2*n)/(n!*(n+1)!)=A000984号(n) /(n+1)。
递归:a(n)=2*(2*n-1)*a(n-1)/(n+1),a(0)=1。
递归:a(n)=和{k=0..n-1}a(k)a(n-1-k)。
G.f.:A(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x),并满足A(x。
a(n)=产品{k=2..n}(1+n/k)。
a(n+1)=Sum_{i}二项式(n,2*i)*2^(n-2*i)*a(i)。-图沙尔
已知a(n)是奇的当且仅当n=2^k-1,k=0,1,2,3-Emeric Deutsch公司,2002年8月4日,更正者M.F.哈斯勒2015年11月8日
在中使用斯特林近似A000142号我们得到了渐近展开式a(n)~4^n/(sqrt(Pi*n)*(n+1))丹福(Dan.Fux(AT)OpenGaia.com或danfux(AT)OpenGaia.com),2001年4月13日
积分表示:a(n)=(1/(2*Pi))*Integral_{x=0..4}x^n*sqrt((4-x)/x)-卡罗尔·彭森2001年4月12日
例如:exp(2*x)*(I_0(2**x)-I_1(2**)),其中I_n是贝塞尔函数-卡罗尔·彭森2001年10月7日
a(n)=多学科(n,6)/多学科(n,3)Daniel Dockery(peritus(AT)gmail.com),2003年6月24日
G.f.A(x)满足((A(x)+A(-x))/2)^2=A(4*x^2)-迈克尔·索莫斯2003年6月27日
G.f.A(x)满足Sum_{k>=1}k(A(x
a(n+m)=总和A039599号(n,k)*A039599号(m,k)-菲利普·德尔汉姆2003年12月22日
a(n+1)=(1/(n+1”))*和{k=0..n}a(n-k)*二项式(2k+1,k+1)-菲利普·德尔汉姆2004年1月24日
a(n)=和{k>=0}A008313号(n,k)^2-菲利普·德尔汉姆2004年2月14日
a(m+n+1)=和{k>=0}A039598号(米,克)*A039598号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2004年2月15日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*2^(n-k)*二项式(n,k)*二项式(k,floor(k/2))-保罗·巴里2005年1月27日
和{n>=0}1/a(n)=2+4*Pi/3^(5/2)=F(1,2;1/2;1/4)=A268813型=2.806133050770763……(参见《Pi大学》链接)-杰拉尔德·麦卡维贝诺伊特·克洛伊特2005年2月13日
a(n)=和{k=0..floor(n/2)}((n-2*k+1)*二项式(n,n-k)/(n-k+1))A053121号(n,k)^2,对于n>=0-保罗·D·汉纳2005年4月23日
a((m+n)/2)=和{k>=0}A053121号(米,克)*A053121号(n,k)如果m+n是偶数-菲利普·德尔汉姆,2005年5月26日
例如,求和{n>=0}a(n)*x^(2*n)/(2*n)!=贝塞尔(1,2*x)/x-迈克尔·索莫斯2005年6月22日
给定g.f.A(x),则B(x)=x*A(x^3)满足0=f(x,B(x)),其中f(u,v)=u-v+(u*v)^2或B-迈克尔·索莫斯2005年6月27日
a(n)=a(n-1)*(4-6/(n+1))。a(n)=2a(n-1)*(8a(n-2)+a(n-1))/(10a(n-2)-a(n-1))-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年2月8日
和{k>=1}a(k)/4^k=1-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2006年6月28日
a(n)=A047996号(2*n+1,n)-菲利普·德尔汉姆2006年7月25日
的二项式变换A005043号. -菲利普·德莱厄姆2006年10月20日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*A116395号(n,k)-菲利普·德莱厄姆2006年11月7日
a(n)=(1/(s-n))*Sum_{k=0..n}(-1)^k(k+s-n)*二项式(s-n,k)*s为非负自由整数的二项式[H.W.Gould]。
a(k)=和{i=1..k}|A008276号(i,k)|*(k-1)^(k-i)/k-安德烈·拉博西(AndréF.Labossière)2007年5月29日
a(n)=和{k=0..n}A129818号(n,k)*A007852号(k+1)-菲利普·德尔汉姆2007年6月20日
a(n)=和{k=0..n}A109466号(n,k)*A127632号(k) ●●●●-菲利普·德尔汉姆2007年6月20日
三角形的行和A124926号. -加里·亚当森2007年10月22日
极限_{n->oo}(1+Sum_{k=0..n}a(k)/A004171号(k) )=4/Pi-莱因哈德·祖姆凯勒2008年8月26日
a(n)=Sum_{k=0..n}A120730型(n,k)^2和a(k+1)=Sum_{n>=k}A120730型(n,k)-菲利普·德莱厄姆2008年10月18日
给定一个整数t>=1和初始值u=[a_0,a_1,…,a{t-1}],我们可以通过设置a_n=a_{n-1}+a_0*a_{n-1}+a_1*a{n-2}+…+来定义无限序列Phi(u)a_{n-2}*a_1表示n>=t。例如,当前序列是Phi([1])(也称为Phi([1,1]))-加里·亚当森2008年10月27日
a(n)=和{l_1=0..n+1}和{l_2=0..n}。。。和{l_i=0..n-i}。。。求和{l_n=0..1}δ(l_1,l_2,…,l_i,…,l_n-托马斯·维德2009年2月25日
a(n)=A000680号(n)/A006472号(n+1)-马克·多尔斯2010年7月14日;已由更正M.F.哈斯勒2015年11月8日
设A(x)为g.f.,则B(x)=x*A(x)满足微分方程B'(x)-2*B'(x)*B(x)-1=0-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年1月18日
的补语A092459号;A010058型(a(n))=1-莱因哈德·祖姆凯勒2011年3月29日
G.f:1/(1-x/(1-x/(1-x-(…)))(连分数)-乔格·阿恩特2011年3月18日
对于加泰罗尼亚级数,F(x)=(1-2*x-sqrt(1-4*x))/(2*x)是x中的o.g.F.,g(x)=x/(1+x)^2是F的组成逆(使n=0项无效)-汤姆·科普兰2011年9月4日
当H(x)=1/(dG(x)/dx)=(1+x)^3/(1-x)时,第n个加泰罗尼亚数由(1/n!)*((H(x。此外,dF(x)/dx=H(F(xA115291号. -汤姆·科普兰2011年9月4日
发件人汤姆·科普兰,2011年9月30日:(开始)
对于加泰罗尼亚级数,F(x)=(1-sqrt(1-4*x))/2是x中的o.g.F.,g(x)=x*(1-x)是组成逆函数,这将加泰罗尼亚语数字与A125181号.
当H(x)=1/(dG(x)/dx)=1/1(1-2x)时,第n个加泰罗尼亚数字(偏移量1)由(1/n。此外,dF(x)/dx=H(F(x。(结束)
总面积:(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)=G(0),其中G(k)=1+(4*k+1)*x/(k+1-2*x*(k+1)*(4*k+3)/(2%x*(4xk+3)+(2*k+3;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月30日
例如:exp(2*x)*(BesselI(0,2*x;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月30日
E.g.f.:超几何([1/2],[2],4*x),与上面给出的E.g.f一致,也由卡罗尔·彭森更进一步-沃尔夫迪特·朗2012年1月13日
A076050型(a(n))=n+1,对于n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2012年2月17日
a(n)=2008年2月255日(2*n-1)=A208355型(2*n)对于n>0-莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月4日
a(n+1)=A214292型(2*n+1,n)=A214292型(2*n+2,n)-莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月12日
通用系数:1+2*x/(U(0)-2*x),其中U(k)=k*(4*x+1)+2*x+2-x*(2*k+3)*(2xk+4)/U(k+1);(连分数,欧拉第一类,1步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月20日
G.f.:表皮([1/2,1],[2],4*x)-乔格·阿恩特2013年4月6日
雅可比多项式的特殊值,Maple表示法:a(n)=4^n*JacobiP(n,1,-1/2-n,-1)/(n+1)-卡罗尔·彭森2013年7月28日
对于n>0:a(n)=三角形中第n行的和A001263号. -莱因哈德·祖姆凯勒,2013年10月10日
a(n)=二项式(2n,n-1)/n和a(n=A059288号(n) ●●●●-乔纳森·桑多2013年12月14日
a(n-1)=Sum_{t1+2*t2+…+n*tn=n}(-1)^(1+t1+t2+…+tn)*多项式(t1+t2+…+tn,t1,t2,…,tn)*a(1)^t1*a(2)^t2**a(n)^tn-米尔恰·梅卡2014年2月27日
a(n)=和{k=1..n}二项式(n+k-1,n)/n,如果n>0。亚历山大·阿达姆楚克2014年3月25日
a(n)=-2^(2*n+1)*二项式(n-1/2,-3/2)-彼得·卢什尼2014年5月6日
a(n)=(4*A000984美元(n)-A000984号(n+1))/2-斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年8月9日
a(n)=A246458型(n)*46466元(n) ●●●●-汤姆·埃德加2014年9月2日
a(n)=(2*n)*[x^(2*n)]超深层([],[2],x^2)-彼得·卢施尼2015年1月31日
a(n)=4^(n-1)*hypergeom([3/2,1-n],[3],1)-彼得·卢什尼2015年2月3日
a(2n)=2*A000150美元(2n);a(2n+1)=2*A000150型(2n+1)+a(n)-约翰·博丁2015年6月24日
a(n)=Sum_{t=1..n+1}n^(t-1)*abs(斯特林1(n+1,t))/Sum_{t=1..n+1}abs-米歇尔·马库斯2015年10月6日
a(n)~4^(n-2)*(128+160/n^2+84/n^4+715/n^6-10180/n^8)/(n^(3/2)*Pi^(1/2)),其中n=4*n+3-彼得·卢什尼2015年10月14日
a(n)=和{k=1.floor((n+1)/2)}(-1)^(k-1)*二项式(n+1-k,k)*a(n-k),如果n>0;a(0)=1-大卫·帕西诺2016年6月29日
和{n>=0}(-1)^n/a(n)=14/25-24*arccsch(2)/(25*sqrt(5))=14/25-24*A002390号/(25*sqrt(5))=0.353403708337278061333-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月30日
C(n)=(1/n)*Sum_{i+j+k=n-1}C(i)*C(j)*C(k)*(k+1),n>=1-宇春记2016年2月21日
C(n)=1+和{i+j+k<n-1}C(i)*C(j)*C-宇春记2016年9月1日
a(n)=A001700号(n)-A162551号(n) =二项式(2*n+1,n+1)。-2*二项式(2*n,n-1)-塔拉斯·戈伊,2018年8月9日
G.f.:A(x)=(1-sqrt(1-4*x))/(2*x)=2F1(1/2.1;2;4*x)。G.f.A(x)满足A=1+x*A^2-R.J.马塔尔2018年11月17日
C(n)=1+Sum_{i=0..n-1}A000245型(i) ●●●●-宇春记2019年1月10日
发件人A.H.M.斯密茨2020年4月11日:(开始)
(1+sqrt(1+4*x))/2=1-和{i>=0}a(i)*(-x)^(i+1),对于任何具有|x|<1/4的复数x;对于任何具有|x|<1/4和x<>0的复数x,和sqrt(x+sqrt)(x+sqlt(x+…))=1-Sum_{i>=0}a(i)*(-x)^(i+1)。(结束)
a(3n+1)*a(5n+4)*a。23n+15三重划分的加泰罗尼亚乘积方程的第一种情况-宇春记2020年9月27日
a(n)=4^n*(-1)^(n+1)*3F2[{n+1,n+1/2,n},{3/2,1},-1],n>=1-Sergii Voloshyn公司2020年10月22日
a(n)=2^(1+2n)*(-1)^(n)/(1+n)*3F2[{n,1/2+n,1+n},{1/2,1},-1],n>=1-Sergii Voloshyn公司2020年11月8日
a(n)=(1/Pi)*4^(n+1)*Integral_{x=0..Pi/2}cos(x)^(2*n)*sin(x)*2dx-格雷格·德累斯顿2021年5月30日
发件人彼得·巴拉,2021年8月17日:(开始)
G.f.A(x)满足A(x)=1/sqrt(1-4*x)*A(-x/(1-4*x))和(A(x;这些是通式1/sqrt(1-4*x)*A((k-1)*x/(1-4*x))=Sum{n>=0}((k^(n+1)-1)/(k-1))*Catalan(n)*x^n的k=0和k=-1的情况。
2-sqrt(1-4*x)/A(k*x/(1-4**x))=1+和{n>=1}(1+(k+1)^n)*加泰罗尼亚语(n-1)*x^n。(结束)
和{n>=0}a(n)*(-1/4)^n=2*(sqrt(2)-1)(A163960型). -阿米拉姆·埃尔达尔2022年3月22日
对于所有n>=0的情况,0=a(n)*(16*a(n+1)-10*a(n+2))+a(n+1)*-迈克尔·索莫斯2022年12月12日
G.f.:(偏移量1)1/G(x),其中G(x)=1-2*x-x^2/G(x)(雅可比连分式)-尼古拉·潘泰利迪斯2023年2月1日
a(n)=K^(2n+1,n,1)表示所有n>=0,其中K^-弗拉迪斯拉夫·舒宾2023年8月17日
发件人彼得·巴拉,2024年2月3日:(开始)
g.f.A(x)满足以下函数方程:
A(x)=1+x/(1-4*x)*A(-x/(1-1-4*x))^2,
A(x^2)=1/(1-2*x)*A(-x/(1-2**))^2,对于任意k,
1/(1-k*x)*A(x/(1-k**))^2=1/(1-(k+4)*x)*A(-x/(1-(k+4)*x))^2。(结束)
例子
G.f.=1+x+2*x^2+5*x^3+14*x^4+42*x^5+132*x^6+429*x^7+。。。
发件人乔格·阿恩特和格雷格·史蒂文森,2011年7月11日:(开始)
以下3个换位的乘积导致S_4中出现4个循环:
(1,2)*(1,3)*(1,4);
(1,2)*(1,4)*(3,4);
(1,3)*(1,4)*(2,3);
(1,4)*(2,3)*(2,4);
(1,4)*(2,4)*(3,4). (结束)
对于n=3,a(3)=5,因为正好有5个长度为7的二进制序列,其中1的数量首先超过条目7中的零的数量,即000111001011001101101010011和0101011-丹尼斯·沃尔什2012年4月11日
发件人乔格·阿恩特2014年6月30日:(开始)
具有4个非根节点的(有序)树的a(4)=14个分支序列为(点表示零):
01:[1 11 11 1]
02: [ 1 1 2 . . ]
03: [ 1 2 . 1 . ]
04: [ 1 2 1 . . ]
05: [ 1 3 . . . ]
06: [ 2 . 1 1 . ]
07:[2.2..]
08: [ 2 1 . 1 . ]
09: [ 2 1 1 . . ]
10: [ 2 2 . . . ]
11: [ 3 . . 1 . ]
12: [ 3 . 1 . . ]
13: [ 3 1 . . . ]
14:[4….]
(结束)
MAPLE公司
A000108号:=n->二项式(2*n,n)/(n+1);G000108:=(1-平方(1-4*x))/(2*x);
规范:=[A,{A=Prod(Z,Sequence(A))},未标记]:[seq(combstruct[count](规范,大小=n+1),n=0..42)];
with(combstruct):bin:={B=并集(Z,Prod(B,B))}:seq(count([B,bin,unlabeled],size=n),n=1..25)#零入侵拉霍斯2007年12月5日
Z[0]:=0:对于k到42,做Z[k]:=简化(1/(1-Z*Z[k-1])od:g:=总和((Z[j]-Z[j-1]),j=1.42):gser:=级数(g,Z=0,42):seq(系数(gser,Z,n),n=0..41)#零入侵拉霍斯2008年5月21日
seq((2*n)*系数(级数(hypergeom([],[2],x^2),x,2*n+2),x、2*n),n=0..30)#彼得·卢什尼2015年1月31日
A000108列表:=proc(m)局部A,P,n;答:=[1,1];P:=[1];
对于从1到m-2的n,做P:=ListTools:-部分和([op(P),A[-1]]);
A:=[op(A),P[-1]]od;A端:A000108列表(31)#彼得·卢什尼2022年3月24日
数学
(*术语功能*)
加泰罗尼亚数字
(*术语功能定义*)
A000108号[n]:=(2n)/不/(n+1)!
(*术语功能定义*)
A000108号[n]:=超几何C2F1[1-n,-n,2,1](*理查德·奥尔勒顿2006年9月13日*)
(*术语表*)
表[CatalanNumber@n,{n,0,24}](*罗伯特·威尔逊v2011年2月15日*)
(*术语表*)
系数列表[Inverse Series[x/Sum[x^n,{n,0,31}],{x,0,31}]/x,x](*Mats Granvik公司2013年11月24日*)
(*TermListByIndexFunction*)
函数[n,加泰罗尼亚数字/@范围[0,n]]
系数列表[系列[(1-平方[1-4*x])/(2*x),{x,0,50}],x](*斯特凡诺·斯佩齐亚2018年8月31日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=二项式(2*n,n)/(n+1)\\M.F.哈斯勒2012年8月25日
(PARI)a(n)=(2*n)!/否!/(n+1)!
(PARI)a(n)=我的(a,m);如果(n<0,0,m=1;A=1+x+O(x^2);而(m<=n,m*=2;A=sqrt(subst(A,x,4*x^2));A+=(A-1)/(2*x*A));波尔科夫(A,n));
(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,极系数(serreverse(x/(1+x)^2+x*O(x^n)),n)}/*迈克尔·索莫斯*/
(PARI)(复发(a,b)=如果(b<=2,(a==2)+(a==b)+(a!=b)*(1+a/2),(1+b/b)*复发(a、b-1));a(n)=复发(n,n)\\R.J.卡诺2012年11月22日
(PARI)x='x+O('x^40);Vec(1平方(1-4*x))/(2*x)\\阿尔图·阿尔坎2015年10月13日
(MuPAD)组合::dyckWords::count(n)$n=0..38//零入侵拉霍斯2007年4月14日
(Magma)C:=函数<n|二项式(2*n,n)/(n+1)>;[0..60]]中的[C(n):n;
(岩浆)[加泰罗尼亚语(n):n in[0..40]]//文森佐·利班迪2011年4月2日
(哈斯克尔)
导入数据。列表(genericIndex)
a000108 n=通用索引a000108 _列表n
a000108_list=1:加泰罗尼亚文[1],其中
catalan cs=c:catalan(c:cs),其中
c=总和$zipWith(*)cs$reverse cs
--莱因哈德·祖姆凯勒2011年11月12日
a000108=映射最后一个$迭代(scanl1(+))。(++ [0])) [1]
--大卫·斯皮斯,2015年8月23日
(鼠尾草)[范围(27)中i的catalan_number(i)]#零入侵拉霍斯2008年6月26日
(Sage)#L.Seidel的广义算法
定义A000108号_列表(n):
D=[0]*(n+1);D[1]=1
b=正确;h=1;R=[]
对于范围(2*n-1)中的i:
如果b:
对于范围(h,0,-1)中的k:D[k]+=D[k-1]
h+=1;R追加(D[1])
其他:
对于范围(1,h,1)中的k:D[k]+=D[k+1]
b=不是b
返回R
A000108号_列表(31)#彼得·卢什尼2012年6月2日
(最大值)A000108美元(n) :=二项式(2*n,n)/(n+1)$makelist(A000108号(n) ,n,0,30)/*马丁·埃特尔2012年10月24日*/
(Python)
从gmpy2导入divexact
A000108号= [1, 1]
对于范围(1,10**3)中的n:
A000108号.append(divexact(A000108美元[-1]*(4*n+2),(n+2#柴华武2014年8月31日
(Python)
#也适用于Sage。
对于范围(1000)内的n:
A000108号.append(追加)(A000108号[-1]*(4*n+2)//(n+2#Günter Rote公司2023年11月8日
(间隙)A000108号:=列表([0..30],n->二项式(2*n,n)/(n+1))#穆尼鲁·A·阿西鲁,2018年2月17日
交叉参考
一排A060854号.
请参阅A001003级,A001190型,A001699号,A000081美元其他计算括号的方法。
枚举由编码的对象A014486号.
囊性纤维变性。A051168号(所述方形阵列的对角线)。
囊性纤维变性。A033552号,A176137号(分成加泰罗尼亚数字)。
囊性纤维变性。A000753号,A000736号(Boutrophedon变换)。
囊性纤维变性。A120303型(加泰罗尼亚数的最大素因子)。
囊性纤维变性。A121839号(倒数加泰罗尼亚常数),A268813型.
囊性纤维变性。A038003型,A119861号,A119908年,A120274号,20275年1月(奇数加泰罗尼亚数字)。
囊性纤维变性。A002390号(黄金比率自然对数的十进制展开)。
g.f.的平方根系数为A001795号/A046161号.
对于(n)mod 6,请参见A259667型.
关于基数2中的a(n),请参见A264663型.
汉克尔变换省略了第一个术语:A001477号,A006858号,A091962美元,A078920型,A123352号,A368025型.
囊性纤维变性。A001147号,A163960型.
囊性纤维变性。A332602型(推测生产矩阵)。
波利米诺群岛:A001683号(n+2)(定向),A000207号(无方向),A369314型(手性),A208355型(n-1)(非手性),A001764号{4,oo}。
关键词
核心,非n,容易的,特征,美好的
作者
状态
经核准的

查找|欢迎光临|维基|注册|音乐|地块2|演示|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。

许可协议、使用条款、隐私政策。.

上次修改时间:美国东部夏令时2024年5月30日08:26。包含372962个序列。(在oeis4上运行。)