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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 827 第二类斯特灵数的三角形,S2(n,k),n>=1, 1<k<=n。 五百三十一
1, 1, 1,1, 3, 1,1, 7, 6,1, 1, 15,25, 10, 1,1, 31, 90,65, 15, 1,1, 63, 301,350, 140, 21,1, 1, 127,966, 1701, 1050,266, 28, 1,266, 28, 1,γ,y,γ,y,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,5

评论

也称为斯特灵集合数和写{n,k}。

S2(n,k)将n-集的划分计数为k非空子集。

三角形S2(n,k),1 <=k<=n,由行读取,由[0, 1, 0,2, 0, 3,0, 4, 0,5, 0, 6,…]δ[1, 0, 1,0, 1, 0,1, 0, 1,0, 1,…]给出,其中δ是定义在DeleHAM中的操作符。A084938.

{ 1,…,n+1 }的分区数为非连续整数的k+ 1非空子集,包括分区1×2,…n+1,如果n=k,例如,S2(3,2)=3,因为{1,2,3,4}的分区数为三个非连续整数子集的数量是3,即13 2 2 4, 14。-奥古斯丁·O·穆纳吉3月20日2005

从一张K牌牌上画出n张牌(有替换物)。让PROB(n,k)是每个卡至少被绘制一次的概率。然后,PROB(n,k)=s2(n,k)*k!/k^ n(参见A090582A-赖纳罗森塔尔10月22日2005

定义fay1(x),fay2(x),…,使得fay1(x)=e^ x,n=2, 3,…,f{{n+1}(x)=(d/dx)(x*fyn(x))。然后Fyn(x)=E^×*SuMu{{K=1…n}s2(n,k)*x^(k-1)。-米兰扬吉克5月30日2008

彼得巴拉,OCT 03 2008:(开始)

对于第二类受限制的斯特灵数表A14334-A14396.

S2(n,k)给出了使用k个不同符号的长度n的“模式”的数目——参见[库伯和甘乃迪],用于“模式”的确切定义。例如,AdCBB和XXEGTT两个字的长度6都具有相同的字母模式。长度为3的词的五种模式是AAA、AAB、ABA、BAA和ABC,将该表的行3作为(1,3,1)。

等价地,S2(n,k)给出了长度n的正整数序列(nE1,…,Nyn)的序列,具有k个不同的条目,使得Ny1=1和Ni(i+1)<=1+max {j=1…i } njj为i>=1(限制增长函数)。例如,斯特灵(4,2)=7,因为长度4的序列具有满足条件的2个不同的条目是(1,1,1,2),(1,1,2,1),(1,1,1,1),(1,1,2,2),(1,2,2,2),(1,2,2,1)和(1,2,1,2)。

(结束)

平面中子集的组合数。-马格兰维克1月13日2009

S2(n+1,k+ 1)是[n]的对偶不相交、非空子集的大小k集合的数目。例如:S2(4,3)=6,因为有六个这样的集合(3)的子集具有基数2:{(1)(23)},{(12)(3)},{(13)(2)},{(1)(2)},{(1)(3)},{(())。-杰弗里·克里茨,APR 06 2009

考虑一组A000 0217(n)n个颜色的球,其中,对于每一个整数k=1到n,正好在集合中出现一个颜色,总共k次。(每一个球都有一种颜色,与同一颜色的其他球是不可区分的)A(n+1,k+ 1)等于选择每种颜色0个或更多个球的方式,这样选择至少一次(N-K)颜色,并且没有两种颜色被选择相同的正次数。-马修范德马斯特11月22日2010

S2(n,k)是n个顶点上具有精确k根树的单调标记森林的数目,每个高度都是一个或更少。见链接“计数森林与斯特灵和贝尔号码”下面。-丹尼斯·P·沃尔什11月16日2011

如果D是算子D/DX,而E是算子XD/DX,则斯特灵数给出:E^n=SUMU{{K=1…n} S2(n,k)*x^k*d^k。- Hyunwoo Jang,12月13日2011。

第二类的斯特灵多项式(A.K. Bell/Toudar多项式)是下降阶乘(A.k.PoCHHAMP符号或第一类斯特灵多项式)的二元组合逆,即二项式(Bell(x,n),n=x^ n/n)。(参见Copfield的2007个公式),这意味着二项式(XD,n)=二项式(Bell(,,:xD:),n)=:xd:^n/n!其中d=d/dx和:xd:^n=x^n*d^n-汤姆·科普兰4月17日2014

S2(n,k)是N-MyRyoSkas(俄罗斯嵌套娃娃)筑巢的方式,因此K MatRySokas完全不包含在任何其他MatRySokka中。-卡洛桑纳10月17日2015

行多项式R(n,x)=SUMY{{K=1…n} S2(n,k)*x^ k出现在n次幂的e,n(x,x)=SuMu{{M}=0 } m^ n*x^ m/m的分子中。,作为e(n,x)=EXP(x)*x*r(n,x),对于n>=1。-狼人郎,APR 02 2017

对于n和k的偏移0,这是SHIFER乘积矩阵。A000 7318*A04903(EXP(t),(Exp(t)- 1))与E.F.EXP(t)*EXP(x*(EXP(t)- 1))表示。-狼人郎6月20日2017

在K + 1的长度为N+ 1的未标记字母上没有重复字母的单词数。-托马斯安东3月14日2019

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“核心”序列的索引条目

公式

S2(n,k)=k*s2(n-1,k)+s2(n-1,k-1),n>1。S2(1,K)=0,K>1。S2(1, 1)=1。

E.g.f.:a(x,y)=e^(y*e^ x y)。第m列:(e ^ x-1)^ m/m;.

S2(n,k)=(1/k!)* Suthi{{i=0…k}(- 1)^(k- i)*二项式(k,i)*i^ n。

行和:贝尔数A000 0110(n)=SuMu{{K=1…n} S2(n,k),n>0。

S(n,k)=和(Iy1*Iy2***i*(N-K))在所有(N-K)-组合{Iy1,Iy2,…,Iyk }上加上数字{1, 2,…,k}的总和。此外,S(n,k)=和(1 ^(Ry1)* 2 ^(Ry2)***k ^(rayk))在整数rj j>0上,j=1…k,和{{= 1…k} rjj=nk.[CalalaBbID]。-狼人郎,8月15日2019。

A019538(n,k)=k!*S2(n,k)。

A028 248(n,k)=(k-1)!*S2(n,k)。

对于渐近性,参见Hsu(1948),以及其他来源。

第k行(k>=1)包含n=1到k的(n,k),其中a(n,k)=(1/(n-1)!)* Suthi{{q=1…[ 2×n+1(- 1)^(n-1)] /4 }(二项式(n-1,2*q-2)*(n-2*q+2)^(k-1)-二项式(n-1,2×q-1)*(n-2*q+1)^(k-1))。例如,行7包含S2(7, 3)=301 {A000 1298,S2(n+4,n)},将计算如下:S2(7, 3)=a(3, 7)=1/(3-1);* Suthi{{=1…2 }(二项式(3-1,2×q-2)*(3-2*q+2)^(7-1)-二项式(3-1,2×q-1)*(3-2*q+1)^(7-1))= SUMU{{Q= 1…2 }(二项式(2, 2×q-2)*(5-2*q)^ 6 -二项式(2, 2*q-1)*(4-2*q)^ 6)/2!=(二项式(2, 0)* 3 ^ 6 -二项式(2, 1)* 2 ^ 6 +二项式(2, 2)* 1 ^ 6 -二项式(2, 3)* 0 ^ 6)/2!=(729 - 128 + 1 - 0)/ 2=301。-安德鲁·拉博西亚雷,军07 2004

SuMu{{N>=0 } S2(n,k)*x^ n=x^ k/((1-x)(1-2x)(1-3x)…(1-kx))。

设p(n)=n的整数分区数A000 000 41p(i)=n,d(i)的第i个分区的部分数=n,p(j,i)的i次划分的不同部分的数目=n,m(i,j)的第i个分区的第j部分=n的第i个分区的第j部分的多重数,和SuMu{{i=1…p(n),p(i)=m }=从i=1到i=p(n)的和,但只考虑具有p(i)=m部分的分区。然后S2(n,m)=SuMu{{i=1,p(n),p(i)=m }n!/(乘积{{j=1…p(i)} p(i,j)!)* 1 /(乘积{{j=1…d(i)}m(i,j)!)例如,S2(6, 3)=90,因为n=6具有M=3个部分的以下分区:(114)、(123)、(222)。他们的肤色是:(114):6!(1)* 1!* 4!* 1 /(2)!* 1!= 15,(123):6!(1)* 2!* 3!* 1 /(1)!* 1!* 1!= 60,(222):6!(2)* 2!* 2!* 1 /(3!)= 15。复合物的和为15±60+15=90=s2(6, 3)。-托马斯维德,军02 2005

SuMu{{K=1…n} k*s2(n,k)=b(n+1)-b(n),其中b(q)是贝尔数(b)。A000 0110-埃米里埃德奇01月11日2006

递归:S2(n+1,k)=SuMu{{i=0…n}二项式(n,i)*s2(i,k-1)。对于n=0或k=1的起始条件s2(n,k)=1,对于k=0,s2(n,k)=0。我们有密切相关的递归S2(n,k)=SuMu{{i=k.n}二项式(n-1,i-1)*s2(i-1,k-1)。-托马斯维德1月27日2007

第二类S2(n,k),n=1,2,…,k=1,2,…,n的斯特灵数的表示,作为类型(n)f(n-1)的超几何函数的特殊值:S2(n,k)=(- 1)^(k-1)*超几何([-k+1,2,…,2),[1,1,…,1 ],1)/(k-1)!,即在分子中具有n个参数:一个等于-k+ 1和n-1个参数均等于2;并且在分母中具有n-1个参数均等于1,并且该参数的值等于1。例子:S2(6,k)=SEQ(EVFF((1)^)(k-1)*超几何([-k+1,2,2,2,2],[1,1,1,1,1],1)/(k-1)!k=1,6)=1,31,90,65,15,1。-卡罗尔·彭森3月28日2007

汤姆·科普兰,10月10日2007:(开始)(初始索引固定,4月17日2014)

Bell(n,x)=Suthi{{=1…n} S2(n,j)*x^ j=SuMu{{j=1…n}e(n,j)*滞后(n,-x,j-n)=SuMu{{j=1…n}[e(n,j)/n!*!*滞后(n,-x,j-n)] = SUMJ{{=1…n} e(n,j)*二项式(贝尔(x,)+ j,n),其中Bell(n,x)是Bell/ToucARD/指数多项式;S2(n,j),第二类的斯特灵数;E(n,j),欧拉数;滞后(n,x,m),m阶的相关Laguerre多项式。

通过替换贝尔多项式的负成分逆,得到阶乘n。*二项式(x,n),对于方程中的x,方程变成x^ n=和(j=1…n)s2(n,j)*j!*二项式(x,j)。

注意E(n,j)/n!= E(n,j)/SuMu{{K=1…n}e(n,k)。还有N!*滞后(n,1,j-n)A086895用一个简单的组合解释来解释座位安排,对x=1的等式给出组合解释;n!*贝儿(n,1)=n!* Suthi{{j=1…n}s2(n,j)=SuMu{{j=1…n}e(n,j)*n!*滞后(n,1,J-N)。

(结束)

第n行=非零项的最左边列A127701^(n-1)。此外,(n+1)第1行的三角形=A127701*第n行;删除零点。例子:A127701*〔1, 3, 1,0, 0, 0,…〕=〔1, 7, 6,1, 0, 0,0,…〕。-加里·W·亚当森11月21日2007

行多项式是由D^ n(E^(x*t))给出的,在x=0,其中D是算子(1+x)*d/dx。囊性纤维变性。A147315A094198. 也见A18522. -彼得巴拉11月25日2011

设F(x)=E^(E^ x)。然后对于n>=1, 1/f(x)*(d/dx)^ n(f(x))=1/f(x)*(d/dx)^(n-1)(E^×*f(x))=SuMu{{k=1…n}s2(n,k)*e^(k*x)。类似的公式适用于A039 75A1057A111577A14334A15437. -彼得巴拉01三月2012

S2(n,k)=A04903(n,k),1 <= k<=n-莱因哈德祖姆勒3月26日2012

第n对角线的O.G.F.是d^ n(x),其中D是算子x/(1-x)*d/dx。-彼得巴拉,朱尔02 2012

N*I!*S2(n-1,i)=SUMU{{=(i+1)…n}(-1)^(j-i+1)*j!/(J-I)*S2(n,j)。-列奥尼德贝德拉图克8月19日2012

G.f.:(1/q(0)- 1)/(x*y),其中q(k)=1(y+k)*x-(k+1)*y*x^ 2 /q(k+1);(连分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯克09月11日2013

汤姆·科普兰,4月17日2014:(开始)

将Pascal下三角矩阵的n次对角线乘以x^ n,并将结果指定为A000 7318(x)=p(x)。

用上面定义的Bell(n,x)=b(n,x),d=d/dx,和:xd:^n=x^n*d^n,Dobinski公式给出了模糊f(y)^b(x,)=e^(-x)*e^(f(y)*x)。然后f(y)^b(…,xd:)g(x)=[f(y)^(xd)] g(x)=e^[[1-f(y)]:xd:] g(x)=g[f(y)x]。

特别地,对于f(y)=(1+y),

a)(1±y)^ b(x,)=e^(-x)*e^((1 +y)*x)=e^(x*y)=e^〔log(1+y)b(x,x)〕,

b)(i+DP)^(b,x)= e^(x*DP)=p(x)=e^ [x*(e^ -m i)]=e^ [m*b(x,x)],具有dp=A132440,M=A23 838-I= log(I+DP)和I=恒等矩阵,以及

c)(1 +DP)^(xd)=e^(dp:xd:=)p(x)=e^[[(e^-m i):xd:]=e^[m *xd],与动作e^(dp:xd::)g(x)=g[(i+DP)*x]。

d)p(x)^ m=p(m*x),这意味着(Sum{{=1…m} Ayk)^ j=b(j,m*x),其中和仅在用(aak)^ q= b(x,x)^ q=b(q,x)的幂次化之后对其进行模糊评价。例如(a1+a2+a3)^ 2=a1 ^ 2+a2 ^ 2+a3 ^ 2+2(a1*a2+a1*a3+a2*a3)=3×b(2,x)+6×b(1,x)2=9x^ 2+3x= b(2,3x)。

e)p(x)^ 2=p(2x)=e^ [m*b(?,2x)]=A038 207(x),n-超立方体的面向量。

(结束)

作为上面提到的一些倒数的矩阵等价物,A000 827*A000 8255=i,作为下三角矩阵的单位矩阵。-汤姆·科普兰4月26日2014

O.G.F.用于三角形的第n对角线(n=0,1,2,…):SuMu{{K>=0 } k^(k+n)*(x*e^(-x))^ k/k!C.对角线的生成函数A039 75. 也参见A112492. -彼得巴拉6月22日2014

楼层〔1〕/(- 1 + SuMu{{N>=K} 1 /S2(n,k))=A03856(k-1),k>=2。小数部分在大K处变为零。李察·R·福尔伯格1月17日2015

丹尼尔骗局,1月16日2016:(开始)

设Xyn(n),称为阶乘项(布尔,1970)或阶乘多项式(Eaydii,2005:p 60),表示下降阶乘积{{k=0…n-1 }(X-K)。然后,对于n>=1,x~(n)=SuMu{{k=1…n}。A000 8255(n,k)*x^ k,x^ n=SuMu{{k=1…n}t(n,k)*x}(k),其中A000 8255(n,k)是第一类的斯特灵数。

对于n>=1,行和产生指数数(或贝尔数):SUMU{{K=1…n} t(n,k)=A000 0110(n)和SuMu{{N}(-1)^(n+k)*t(n,k)=(- 1)^ n*SuMu{{k=1…n}(-1)^ k*t(n,k)=(-1)^ n*A000 0597(n)A000 0597是互补的贝尔数。(结束)

例子

三角形S2(n,k)开始:

K 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9

N 10 11,12,13,14,15…

--------------------------------------------

1×1

2×1 1

3、1、3、1

4、1、7、6、1

5、1、15、25、10、1

6、1、31、90、65、15、1

7,1,63,301,350,140,21,1

8,1,127,966,1701,1050,266,28,1

9,1,255,3025,7770,6951,2646,462,36 1

10,1,511,9330,34105,42525,22827,5880,750 45

11,1,1023,28501,145750,246730,179487,63987,11880 1155

55 1

12,1,2047,86526,611501,1379400,1323652,627396,159027 22275

1705 66 66

13,1,4095,261625,2532530,7508501,9321312,5715424,1899612 359502

39325 2431 78 78

14,1,8191,788970,10391745,40075035,63436373,49329280,20912320 5135130

752752 66066 3367 3367 91 1

15,1,16383,2375101,42355950,210766920,420693273,408741333,216627840 67128490

12662650 1479478 106470 106470 4550 105 1

--------------------------------------------

x^ 4=1 x~(1)+7 x~(2)+6 x~(3)+1 x~(4),其中x~(k)=p(x,k)=k;*C(x,k)。-丹尼尔骗局1月16日2016

枫树

SEQ(SETAT[ STRIGLIN 2](n,k),k=1…n),n=1…10);零度拉霍斯,军02 2007

斯特林格2: =(n,k)->(1/k!)*加法((1)^(k i)*二项式(k,i)*i^ n,i=0…k);

Mathematica

表[斯特林S2(n,k),{n,11 },{k,n} / /平坦(*)Robert G. Wilson五世5月23日2006*)

BelMask[f],LeNy]:= [{t=数组[f,LeN,0 ] },表[Bur[n,k,t],{n,0,Le- 1 },{k,0,Le- 1 }] ];

行=12;

B=BelMatl〔1,行〕;

表[b[[n,k] ],{n,2,行},{k,2,n} / /平坦(*)让弗兰6月28日2018后彼得卢斯尼*)

黄体脂酮素

(PARI)为(n=1, 22,(k=1,n,Prrt1(斯特灵(n,k,2),”));乔尔格阿尔恩特4月21日2013

(PARI)斯特林2(n,k)=和(i=0,k,(- 1)^ i *二项式(k,i)*i^ n)*(-1)^ k/k!\\哈斯勒06三月2012

(哈斯克尔)

A00 827 7 N K= A000 827 7Tabl!!(N-1)!(K-1)

A000 827 7L行N = A00 827 77表!(N-1)

AA00 827 7Tabl =地图尾部$A048 99 3a Tabl莱因哈德祖姆勒3月26日2012

(最大值)CREATEY列表(STRILG2(n+1,k+ 1),n,0, 30,k,0,n);伊曼纽勒穆纳里尼,军01 2012 *

(SAGE)斯特林编号2(n,k)丹尼罗拉布夫10月11日2015

(j)n(()(1%!))*+/@((^ ~*(α(1)^))*(!){:)I.@>:)K Nb。史蒂芬马克迪,APR 06 2016

[岩浆] [ [斯特林第二(n,k):k在[1…n] ]:n在[ 1…12 ] ]中;格鲁贝尔5月22日2019

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 8255(斯特灵第一类数字)A04903(这个三角形的另一个版本)。

囊性纤维变性。A000 0217A000 1296A000 1297A000 1298A000 7318A024246A039 810-A039 813A049099A070107-A08111A0812127A094262A127701.

语境中的顺序:A250119 A1549 59 A080417*A21857 A19338 A185985

相邻序列:A000 827 A000 8255 A000 827*A000 827 A000 827 A000 8280

关键词

诺恩容易塔布核心

作者

斯隆

地位

经核准的

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