Shyam Sunder Gupta的迷人三角数

迷人的三角数

可以排列成紧凑的三角形图案的数字被称为三角形数字。三角数是由序列1+2+3+4+5+6+7……+n的部分和构成的

吨₁= 1
吨₂= 1 + 2 = 3
吨_三= 1 + 2 + 3 = 6
吨₄= 1 + 2 + 3 + 4 = 10

所以n^第个三角形数可以得到为T_n个=n*（n+1）/2，其中n是任意自然数。换言之，三角数构成系列1,3,6,10,15,21,28。。。。。

成群的鸟经常以这种三角形的队形飞行。即使是一起飞行的几架飞机也构成了这种编队。古希腊数学家，尤其是毕达哥拉斯人，首先研究了这些数字的性质。

你听说过以下关于这位著名数学家的著名故事吗卡尔·F·高斯。

“老师要求班上的每个人找出从1到100的所有数字的总和。令所有人惊讶的是，高斯立即给出了5050的答案。老师问他这是怎么做的。高斯解释说，不是把所有从1到100的数字相加，而是把第一项和最后一项相加，即1+100=101，然后把第二项和最后第二项相加即2+99=101，依此类推。每对总和是101，它们将是50对这样的数对（总共要加100个数字），所以答案是101*50=5050。因此，从1到N的数字之和是（N/2）*（N+1），其中N/2是对的数量，N+1是每对的总和。这是著名的n公式^第个三角形数字。"

[5]中发布的三角数的一些有趣特性是：

三角数的奇异性质：

两个连续三角形数字的和总是一个正方形：

吨₁+T型₂= 1 + 3 = 4 = 2²
吨₂+T型_三= 3 + 6 = 9 = 3²

如果T是一个大于9*T+1的三角形数：

9*T型₁+1=9*1+1=10=T₄
9*T型₂+1=9*3+1=28=T₇

三角形数不能以2、4、7或9结尾：

如果T是一个三角形数，那么8*T+1总是一个完美的正方形：

8*T型₁+ 1 = 8 * 1 + 1 = 9 = 3²
8*T型₂+1=8*3+1=25=5²

三角数的数字根（即获得一个数字之前的最终数字和）总是1、3、6或9。

从1开始的n个连续立方体的和等于n的平方^第个三角形数，即T_n个²= 1^三+ 2^三+ 3^三+ ... + n个^三

吨₄²= 10²= 100 = 1^三+ 2^三+ 3^三+ 4^三
吨₅²= 15²= 225 = 1^三+ 2^三+ 3^三+ 4^三+ 5^三

大于1的三角形数决不能是立方体、四次方或五次方。

算术级数中不存在四个不同的三角形数。

几何级数中不存在四个不同的三角形数。

两个连续三角形数的平方和也是一个三角形数。
吨₁²+T型₂²= 1²+ 3²=10=吨₄
吨₂²+T型_三²= 3²+ 6²=45=T₉
T型_三²+T型₄²= 6²+ 10²=136=吨₁₆
吨_n-1个²+T型_n个²=T_n个²

（巴西巴西利亚大学的Diego Marques博士在2011年4月20日的电子邮件中表示，“这也适用于惊人的斐波那契数列，即平方和
两个连续的fibonacci数也是fibonaci数）。

所有的完全数都是三角数。

三角形数1和6的平方产生三角形数1与36。
吨₁²=1*1=1=T₁
T型_三²=6*6=36=T₈

谁能找到第三个三角形数，它的平方也是三角形数？。

（来自比哈尔邦巴特那的AMRIK S NIMBRAN在2011年12月21日的电子邮件中表示，“我花了一些时间找到了证明任何其他正方形三角形数不可能存在的证据
除了1和36（三角形数的平方）之外，证明的来源是：L.J.Mordel，丢番图方程，1969年，伦敦学术出版社，定理7，第268-269页）。

序列1、11、111、1111、11111…中的数字，。。。等都是以9为底的三角形数。

唯一也是素数的三角形数是3。

回文三角数：许多三角形数字中，一些也是回文的（即向前和向后读取相同的数字）是1、3、6、55、66、171、595、666、3003、5995、8778、15051、66066、617716、828828、1269621、1680861、3544453、5073705、56765、6295926、351335153、61477416、178727871、1264114621、1634004361等。这些可以称为回文三角数.共有28个回文三角数低于10¹⁰.
已知最大的仅包含奇数的回文三角形数：
吨_32850970= 539593131395935

已知最大的仅包含偶数的回文三角形数：
吨_128127032= 8208268228628028
有关这些数字的更多信息，请访问帕特里克·德·格斯特

可逆三角数：许多三角形数中的一些，其反转也是三角形数，它们是：

1,3,6,10,55,66,120,153,171,190,300,351,595,630,666,820,3003,5995,8778,15051,
17578,66066,87571,156520,180300,185745,547581,557040,617716,678030,828828,
1269621,1461195,1680861,1851850,3544453,5073705,5676765,5911641,6056940,
6295926,12145056,12517506,16678200,35133153,56440000,60571521,61477416,
65054121,157433640,178727871,188267310,304119453,354911403,1261250200,
12641146211382301910163400436117752754911945725771等。

这些可以称为可逆三角形数.
请注意，所有回文三角数上述为特殊情况可逆三角形数。

正方形三角形数：有无穷多个三角形数，它们也是序列1、36、1225、41616、1413721、48024900、1631432881、55420693056等给出的正方形。这些可以称为正方形三角形（ST）数.n^第个正方形三角形数K_n个可以很容易地从递推公式中得到
K（K）_n个=34*K_n-1个-K（K）_n-2个+ 2.
所以知道前两个ST数字，即K₁=1和K₂=36，则可以获得所有其他连续的正方形三角形数，例如。
K（K）_三=34*K₂-K（K）₁+ 2 = 34 * 36 -1 + 2 = 1225
K（K）₄=34*K_三-K（K）₂+ 2 = 34 * 1225 - 36 + 2 = 41616
下面的非递归公式也给出了n^第个变量n的正方形三角形数。
K（K）_n个= [{(1 + 2^½)^2个- (1 - 2^½)^2个}/(4*2^½)]²
值得注意的是，所有偶数平方三角形数的数字根，即36、41616、48024900、55420693056。。etc总是9，所有ODD正方形三角形数的数字根，即1125、1413721、1631432881。。。etc总是1。此外，方形三角形数永远不能以2、3、4、7、8或9结尾。

有一对三角形数，使得每对数的和和和差也是三角形数，例如（15，21），（105，171），（378，703），（780，990），（1485，4186），（2145，3741），（5460，6786）。。。等。：

21+15=36=吨₈ :21-15=6=吨_三

171+105=276=吨₂₃:171-105=66=吨₁₁

703+378=1081=吨₄₆:703-378=325=吨₂₅

等等。

存在着同时是两个三角形数之和、之差和之积的无限三角形数，例如：

吨₅₅=吨₁₀+T型₅₄=吨₁₅₄₀-T型₁₅₃₉=吨₇*T型₁₀

吨₇₅=吨₂₉+T型₆₉=吨₇₇-T型₁₇=吨₅*T型₁₉

等等。

关于三角数的一些新观察:

有一些三角形数是三个连续数的乘积。例如210是一个三角形数，它是连续三个数字5、6和7的乘积。这样的三角形数只有6个，其中最大的是258474216，如下所示：
1*2*3=6=T_三

4*5*6=120=T₁₅

5*6*7=210=T₂₀

9*10*11=990=T₄₄

56*57*58=185136=T₆₀₈

636*637*638=258474216=吨₂₂₇₃₆

三角形数字120是三个、四个和五个连续数字的乘积。
4 * 5 * 6 =2 * 3 * 4 * 5 =1 * 2 * 3 * 4 * 5 =120

已知没有其他三角形数是四个或更多连续数的乘积。

有无穷多个三角形数，它们是两个连续数的乘积。例如，6是两个连续数字2和3的乘积。其他部分如下所示：
2*3=6=T_三

14*15=210=T₂₀

84*85=7140=T₁₁₉

492*493=242556=T₆₉₆

2870*2871=8239770=T₄₀₅₉

16730*16731=279909630=吨₂₃₆₆₀

97512*97513=9508687656=电话₁₃₇₉₀₃

568344*568345=323015470680=吨₈₀₃₇₆₀

3312554*3312555=10973017315470=电话_4684659

19306982*19306983=372759573255306=吨_27304196 等。

两个素数乘积的三角数可以称为三角半素数.
例如，6是一个三角半素数。其他一些示例三角半素数是：

10,15,21,55,91,253,703,1081,1711,1891,2701,3403,5671,12403,13861,15931,
18721,25651,34453,38503,49141,60031,64261,73153,79003,88831,104653,108811,
114481,126253,146611,158203,171991,188191,218791,226801,258121,269011,286903,
3515413719533385003392941482653497503等，如下所示：
2*3=6=T_三

3*5=15=T₅

3*7=21=T₆

5*11=55=T₁₀

7*13=91=T₁₃

11*23=253=T₂₂

19*37=703=T₃₇

Harshad三角数：
Harshad（或Niven）数是指可以被其数字之和整除的数。例如，1729（19*91）可以被1+7+2+9=19整除，因此1729是一个哈沙德数。

Harshad三角数可以定义为可被其数字之和整除的三角数。例如，三角形数1128可以被1+1+2+8=12整除（即1128/12=94）。所以1128是一个Harshad三角数。其他示例包括：

1, 3, 6, 10, 21, 36, 45, 120, 153, 171, 190, 210, 300, 351, 378, 465, 630, 666, 780, 820, 990, 1035, 1128, 1275, 1431, 1540, 1596, 1770, 2016, 2080, 2556, 2628, 2850, 2926, 3160, 3240, 3321, 3486, 3570, 4005, 4465, 4560, 4950, 5050, 5460, 5565, 5778, 5886, 7140, 7260, 8001,8911, 9180, 10011, 10296, 10440, 11175, 11476, 11628, 12720, 13041, 13203, 14196, 14706, 15225, 15400, 15576, 16110, 16290, 16653, 17020, 17205, 17766, 17955, 18145, 18528, 20100, 21321, 21528, 21736, 21945, 22155, 23220, 23436, 24090, 24310, 24976, 25200, 28680, 29646, 30628, 31626, 32640, 33930, 35245, 36585, 37128, 39060, 40470, 41328,41616、43365、43956、45150、46360、51040、51360、51681、52326、52650、53956、56280、56616、61776、63903、64620、65341、67896、69006、70125、70500、72010、73536、73920、76636、78210、79401、79800、8020081810、88410、89676、90100、93096、93528、97020、100128、101025、103740、105111、105570等。

快乐三角数：
如果您迭代求平方的过程数字的十进制数字，如果进程终止于1，则原始编号称为快乐数字。例如7 -> 49-> 97 -> 130 -> 10 -> 1.

A类快乐三角数被定义为三角数，它也是一个快乐数。例如，考虑一个三角形数946，其中946->133->19-> 82 -> 68 -> 100 -> 1. 所以946是一个快乐三角数字。快乐三角数的其他示例包括：

1, 10, 28, 91, 190, 496, 820, 946, 1128, 1275, 2080, 2211, 2485, 3321, 4278, 8128, 8256, 8778, 9591, 9730, 11476, 12090, 12880, 13203, 13366, 13530, 15753, 16471, 17205, 17578, 20910, 21115, 21321, 22791, 24753, 25651, 27261, 29890, 30135, 31626, 33670, 35245, 36046, 41328, 43660, 43956, 44253, 46360, 47586, 48205, 50721, 53301, 53956, 54615,55278、56280、56953、58311、61425、62128、66430、69378、69751、70125、75855、76245、77815、79003、80200、81810、82621、84666、87571、90100、90951、93961、99681、100128、101025、102831、103285、105570、107416、110215、117370、119316、122760、123256、123753、126253、127260、129286、130305等。

唯一也是三角形的斐波那契数是1、3、21和55。

唯一也是重复数字的三角形数字是55、66和666。

3是唯一也是费马数的三角形数。

每个六边形数都是一个三角形数。

每个五边形数是三角形数的三分之一。

如果M是梅森素数，那么M^第个三角数是一个完美数。

三角形数的倒数之和收敛到2：

1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28 + 1/36 + 1/45 + ....= 2

有许多对三角形数T_一和T_b条（其中T_一>1和T_b条>1和T_一不等于T_b条)这样他们的产品T_一*T型_b条是一个完美的正方形。例如：
吨₂*T型₂₄= 3 * 300 = 900 = 30²
吨₂*T型₂₄₂= 3 * 29403 = 88209 = 297²
吨_三*T型₄₈=6*1176=7056=84²
吨₆*T型₁₆₈= 21 * 14196 = 298116 = 546²
吨₁₁*T型₅₂₈= 66 * 139656 = 9217296 = 3036²
吨₁₂*T型₆₂₄= 78 * 195000 = 15210000 = 3900²
注：Ta*Tb的乘积是公式（2a+1）的完美平方²-1=b。这为每个三角形索引生成一个完美的正方形，从而为每个三角形数生成一个完美的正方形。
（Steve Homewood在2018年6月27日的电子邮件中提交的说明）。

每个正整数都可以写成三个三角数的和。

每4个^第个大于1的幂是两个三角形数的和。
2⁴=16=T_三+T型₄=T₁+T型₅
三⁴=81=吨₈+T型₉=T₅+T型₁₁
4⁴=256=吨₁₅+T型₁₆=T₁₁+T型₁₉
5⁴=625=吨₂₄+T型₂₅=T₁₉+T型₂₉
6⁴=1296=吨₃₅+T型₃₆=T₂₉+T型₄₁
7⁴=2401=吨₄₈+T型₄₉=T₄₁+T型₅₅
观察上面形成的图案。
观察：如果n⁴=T_一+T型_b条=T_c（c）+T型_d日则a=n²-1，b=n²，c=a-n或n²-n-1和d=a+b-c-1或n²+n-1。
（Steve Homewood提交的意见见2018年7月1日的电子邮件）。

对于任何自然数n，数字1+9+9²+ 9^三+ ... + 9^n个是一个三角形数字。

1=温度₁
1+9=T₄
1 + 9 + 9²=T₁₃
1 + 9 + 9²+ 9^三=T₄₀
1 + 9 + 9²+ 9^三+ 9⁴=T₁₂₁

奇怪的模式：
吨₁+T型₂+T型_三=T₄
吨₅+T型₆+T型₇+T型₈=T₉+T型₁₀
吨₁₁+T型₁₂+T型₁₃+T型₁₄+T型₁₅=T₁₆+T型₁₇+T型₁₈
吨₁₉+T型₂₀+T型₂₁+T型₂₂+T型₂₃+T型₂₄=T₂₅+T型₂₆+T型₂₇+T型₂₈

一些身份：
吨_n个²=T_n个+T型_n-1个*T型_n+1
吨_n个²-1=2*T_n个*T型_n-1个
（2*a+1）²*T型_n个+T型_一=T_{（2*a+1）*n+a}

有关此类身份的更多信息，请参阅Terry Trotter[11]。

三角形数字出现在Pascal三角形中。事实上，帕斯卡三角形的第三对角线给出了所有三角形数字，如下所示：

1
1 1
121
13 31
1 464 1
1 510 105 1
1 61520156 1
1 72135 35217 1
1 82856 70 56288 1
1 93684 126 126 84369 1

毕达哥拉斯三角形（a，b，c）中唯一已知的例子是（8778，10296，13530）：
8778²+ 10296²= 13530²
（T₁₃₂)²+（T₁₄₃)²=（T₁₆₄)²
毕达哥拉斯三角形中周长和面积都是三角形的唯一已知例子是：
（3312、14091、14475），周长=31878=T₂₅₂面积=23334696=T₆₈₃₁
（3405996、8013265、8707079），周长=20126340=T₆₃₄₄面积=13646574268470=T_5224284
你能找到其他例子吗？更多访问卡洛斯·里维拉。
约翰·麦克马洪（John McMahon）在以下毕达哥拉斯三元组中发现了惊人的好奇心[15]，这些三元组都是由毕达哥罗斯三元组（5、12、13）通过前缀生成的三角形数字：
15,112,113
25,三12,三13
三5,612,613
45,1012,1013
55,1512,1513等等。
这可以概括如下（其中5与n连接，12、13与n连接^第个三角形数字）：
[n个5]²+ [吨_n个12]²= [吨_n个13]².
（朱利安·波尚（Julian Beauchamp）在2022年11月24日的电子邮件中报道）。

有许多组三角形数字满足以下模式：
吨₈ +T型₃₅ +T型₂₃ =T₉ +T型₂₁ +T型₃₆
8 + 35 + 23= 9 + 21 +36个

连续三角形数之和：
吨₂₈+T型₂₉+T型₃₀+ ... + 吨₃₄=吨₈₃
吨₁₁₈+T型₁₁₉+T型₁₂₀+ ... + 吨₁₂₄=吨₃₂₁

吨₁₆+T型₁₇+T型₁₈+T型₁₉= 2*吨₂₅
吨₁₀₃+T型₁₀₄+T型₁₀₅+T型₁₀₆= 2*吨₁₄₈

观察这个无限三角形数的模式。
吨₁₀=T₅₊₅=55
吨₁₀₀=T₅₀₊₅₀=5050
吨₁₀₀₀=T_500+500=500500
吨₁₀₀₀₀=T_5000+5000=50005000
吨₁₀₀₀₀₀=T_50000+50000=5000050000
吨_1000000=T_{500000+500000}=500000500000等等。

吨_吨₅ +吨_吨₆ =吨₂₆
吨_吨₁₂ +吨_吨₁₄ =吨₁₃₁
吨_吨₁₅ +吨_吨₄₂ =吨₉₁₁
吨_吨₂₆ +吨_吨₃₄ =吨₆₉₁
吨_吨₃₆ +吨_吨₅₅ =吨₁₆₇₈
吨_吨₄₂ +吨_吨₁₂₀ =吨₇₃₁₆等等。

级联三角形数：
13和136101521是由前n个三角形数串联而成的素数。136是由前n个三角形数串联而成的唯一已知三角形数。31、631、10631、55453628211510631、786655453628、211510632和1059178665545、3628、111510631是由前n个三角数反向串联而成的素数[14]。

高度复合三角数：
这样的数字d（n）n个,大于任何较小值n个被高度评价复合数字。如果n是一个三角形数，那么它可以被称为高复合三角数例如，28是一个三角形数字，d（28）=6。所有小于28的三角形数的除数都小于6。所以28是一个高度复合三角数。
全部高度复合三角数5*10以下¹³是：
1, 3, 6, 28, 36, 120, 300, 528, 630, 2016, 3240, 5460, 25200, 73920, 157080, 437580, 749700, 1385280, 1493856, 2031120, 2162160, 17907120, 76576500, 103672800, 236215980, 842161320, 3090906000, 4819214400, 7589181600, 7966312200, 13674528000, 20366564400, 49172323200, 78091322400, 102774672000, 557736444720, 666365279580, 876785263200,1787835551040、2427046221600、3798207594720、2428765859520和26571463158240。

三角数丰富与不足：
这样的数字s（n）是n个,大于n个被称为富足数字。如果n是一个三角形数，那么它可以被称为丰富的三角数例如，36是一个三角形数字，s（36）=1+2+3+4+6+9+12+18=55，大于36。所以36是一个丰富的三角数。
全部丰富的三角数低于10⁵是：
36,66,78,120,210,276,300,378,528,630,666,780,820,990,1128,1176,1326,1540,1596,1770,1830,2016,2080,2346,2556,2628,2850,3160,3240,3486,3570,3828,4095,4278,4560,4656,4950,5460,5778,5886,6216,6328,6786,7140,7260,7626,7875,8256,8646,8778,9180,9730,9870,10296,10440,10878,11628,12090,12246,12720,12880,13530,14028,14196,14706,15400,15576,16110,16290,16836,17020,17766,17955,18336,18528,19110,19900,20100,20706,20910,21528,21736,21945,22578,23220,23436,24090,24310,24976,25200,25878,26106,26565,26796,27966,28680,28920,29646,29890,30628,30876,31626318783264033670339303471634980357783712837950382263906039340，40470,41328,41616,42486,43660,43956,44850,45150,46056,46360,47586,48516,48828,49770,51040,51360,52326,52650,53628,53956,54285,55278,56280,56616,57630,57970,58996,59340,60378,60726,61425,61776,62128,63546,64620,64980,66066,66430,67896,69006,69378,70500,72390,73536,73920,75078,76636,77028,78210,78606,79800,80200,81810,82215,83028,83436,84666,86320,86736,87990,88410,89676,90100,91806,93096,935289483096580902098346和98790。
这样的数字s（n）是n个,小于n个被称为缺陷数字。如果n是一个三角形数，那么它可以被称为缺三角数例如21是一个三角形数字，s（21）=1+3+7=11，小于21。所以21是一个三角数不足。
全部三角数不足低于10⁵是：
1,3,10,15,21,45,55,91,105,136,153,171,190,231,253,325,351,406,435,465,561,595,703,741,861,903,946,1035,1081,1225,1275,1378,1431,1485,1653,1711,1891,1953,2145,2211,2278,2415,2485,2701,2775,2926,3003,3081,3321,3403,3655,3741,3916,4005,4186,4371,4465,4753,4851,5050,5151,5253,5356,5565,5671,5995,6105,6441,6555,6670,6903,7021,7381,7503,7750,8001,8385,8515,8911,9045,9316,9453,9591,10011,10153,10585,10731,11026,11175,11325,11476,11781,11935,12403,12561,13041,13203,13366,13695,13861,14365,14535,14878,15051,15225,15753,15931,16471,16653,17205,17391,17578,18145,18721,18915,19306,19503,19701,20301,20503,21115,21321,22155,22366,22791,23005,23653,23871,24531,24753,25425,25651,26335,27028,27261,27495,27730,28203,28441,29161,29403,30135,30381,31125,31375,32131,32385,32896,33153,33411,34191,34453,35245,35511,36046,36315,36585,36856,37401,37675,38503,38781,39621,39903,40186,40755,41041,41905,42195,42778,43071,43365,44253,44551,45451,45753,46665,46971,47278,47895,48205,49141,49455,50086,50403,50721,51681,52003,52975,53301,54615,54946,55611,55945,56953,57291,58311,58653596856003161075624816283563190639036426165341657036679567161，67528,68265,68635,69751,70125,70876,71253,71631,72010,72771,73153,74305,74691,75466,75855,76245,77421,77815,79003,79401,80601,81003,81406,82621,83845,84255,85078,85491,85905,87153,87571,88831,89253,90525,90951,91378,92235,92665,93961,94395952669570396141974619790399235和99681。

两个三角数的奇异和。
以一个10位三角数字为例1061444835可以看出，这个三角形数是10614^第个和44835^第个三角形数字。所以两个三角形数之和等于这两个三角形数字的指数串联而成的数。
吨₁₀₆₁₄+T型₄₄₈₃₅=1061444835
其他示例包括：
吨₉₀+T型₄₁₅=90415
吨₅₈₅+T型₉₁₀=585910
吨₁₂₀+T型₁₅₄₅=1201545
吨₁₅₀+T型₁₇₂₆=1501726
吨₂₄₄+T型₂₁₉₆=2442196
吨₇₀₀+T型₃₆₇₆=7003676
吨₇₆₉+T型₃₈₄₆=7693846
吨₁₄₇₄+T型₅₂₂₆=14745226
吨₂₈₂₉+T型₆₉₇₀=28296970
吨₃₀₃₀+T型₇₁₇₁=30307171等等。
你们能观察到最后两个例子中的美丽图案吗。

观察更多无穷三角形数的图案。
吨₆=21
吨₆₆=2211
吨₆₆₆=222111
吨₆₆₆₆=22221111等等。
（由William Downie提交，参见2015年9月9日的电子邮件）。

吨_三=6
吨₃₃=561
吨₃₃₃= 55611
吨₃₃₃₃= 5556111等等。

sqrt（T）为整数的序列为：

√温度₁，√T₈，√T₄₉，√T₂₈₈，√T₁₆₈₁，√T₉₈₀₀，√T₅₇₁₂₁,..
上述序列中任意两个连续数字的乘积是一个三角形数，它是两个连续数的乘积：

√温度₁*√温度₈=6=T_三= 2 * 3

√温度₈*√温度₄₉=210=吨₂₀= 14 * 15

√温度₄₉*√温度₂₈₈=7140=吨₁₁₉= 84 * 85

√温度₂₈₈*√温度₁₆₈₁=242556=吨₆₉₆= 492 * 493

√温度₁₆₈₁*√温度₉₈₀₀=8239770=T₄₀₅₉= 2870 * 2871

√温度₉₈₀₀*√温度₅₇₁₂₁=279909630=吨₂₃₆₆₀= 16730 * 16731
等等。
（由丹麦N Mander博士（先生）提交，参见其2011年10月22日的电子邮件）。

有无穷多对正整数（a，b），因此2*T_一=T_b条其中a和b是整数和T_n个是n^第个三角形数字。
2*T型₂=T_三= 6

2*T型₁₄=T₂₀=210

2*T型₈₄=T₁₁₉= 7140

2*T型₄₉₂=T₆₉₆= 242556

2*T型₂₈₇₀=T₄₀₅₉= 8239770

2*T型₁₆₇₃₀=T₂₃₆₆₀=279909630

2*T型₉₇₅₁₂=T₁₃₇₉₀₃= 9508687656

2*T型₅₆₈₃₄₄=T₈₀₃₇₆₀= 323015470680

2*T型_3312554=T_4684659= 10973017315470

2*T型_19306982=T_27304196= 372759573255306
等等。
用一个₀=0和b₀=0，以下递归方程可以给出a和b的进一步值：

一_n个=3*a_n-1个+2*b个_n-1个+ 2

b条_n个=4*a_n-1个+3*b个_n-1个+ 3

（由Roy Blatchford先生提交，参见2011年3月17日的电子邮件）。

有无穷多对正整数（a，b），因此3*T_一=T_b条其中a和b是整数和T_n个是n^第个三角形数字。
3*T型₁=T₂= 3

3*T型₅=T₉= 45

3*T型₂₀=T₃₅= 630

3*T型₇₆=T₁₃₂= 8778

3*T型₂₈₅=T₄₉₄= 122265

3*T型₁₀₆₅=T₁₈₄₅= 1702935

3*T型₃₉₇₆=T₆₈₈₇= 23718828

3*T型₁₄₈₄₀=T₂₅₇₀₄= 330360660

3*T型₅₅₃₈₅=T₉₅₉₃₀= 4601330415

3*T型₂₀₆₇₀₁=T₃₅₈₀₁₇= 64088265153
等等。
用一个₀=0和b₀=0，以下递归方程可以给出a和b的进一步值：

一_n个=2*a_n-1个+b条_n-1个+1个

b条_n个=3*a_n-1个+2*b个_n-1个+ 2

（由尼日利亚的Muniru A.Asiru博士提交，参见其2014年12月28日的电子邮件）。

三角数的立方：
6*（T₁+T型₂+T型_三) + 4 = 4^三
6*（T₁+T型₂+T型_三+T型₄) + 5 = 5^三
6*（T₁+T型₂+T型_三+T型₄+T型₅) + 6 = 6^三
6*（T₁+T型₂+T型_三+T型₄+T型₅+T型₆) + 7 = 7^三
6*（T₁+T型₂+T型_三+T型₄+T型₅+ ...... + 吨_n-1个)+n=n^三
（Don Davis于2013年6月20日通过电子邮件提交）。

一个三角形数的平方减去下一个三角形的平方，就是一个立方体。
吨₂²-T型₁²=2^三
吨_三²-T型₂²= 3^三
吨₄²-T型_三²=4^三
吨₅²-T型₄²= 5^三
吨_n个²-T型_n-1个²=n个^三
（由Berke Terzioglu提交，参见2015年5月27日的电子邮件）。

有趣的三角形数字立方体图案。

（由Tony Foster提交，参见其2015年7月24日的电子邮件）。

黄金比率和三角数之间的联系。

（由Tony Foster提交，参见其2015年7月29日的电子邮件）。

帕斯卡三角形中三角形数的平方和。

（由Tony Foster提交，参见2017年11月20日的电子邮件）。

一个整洁的三角形数字图案。

（由Tony Foster提交，参见2017年12月17日的电子邮件）。

π和三角数之间的关系。
所有三角形数的平方倒数之和收敛于4*(π²- 9)/3:

1 + 1/3²+ 1/6²+ 1/10²+ 1/15²+ 1/21²+ 1/28²+ 1/36²+ 1/45²+ ....= 4*(π²- 9)/3
所有三角形数的立方体的倒数之和收敛于8*(10 - π²):

1 + 1/3^三+ 1/6^三+ 1/10^三+ 1/15^三+ 1/21^三+ 1/28^三+ 1/36^三+ 1/45^三+ ....= 8*(10 - π²)
（由尼日利亚Okoh Ufuoma Cyrus提交，参见2013年4月26日的电子邮件）。

带有交替符号的三角形数的倒数之和为：

1 - 1/3 + 1/6 - 1/10 + 1/15 - 1/21 + 1/28 - 1/36 + 1/45 - ....=4*log2-2（约0.7725887222）
带有交替符号的三角形数的平方倒数之和为：

1 - 1/3²+ 1/6²- 1/10²+ 1/15²- 1/21²+ 1/28²- 1/36²+ 1/45²- ....=12-16*log2（约0.9096451110）
带有交替符号的三角数立方体的倒数之和为：

1 - 1/3^三+ 1/6^三- 1/10^三+ 1/15^三- 1/21^三+ 1/28^三- 1/36^三+ 1/45^三- ....=96*log2+12*zeta（3）-80（约0.9668121717）
（Mauro Fiorentini在2015年1月3日的电子邮件中提交）。

连续三角形数的平方和：

吨₁₁²+T型₁₂²+T型₁₃²=T₁₉₃
吨₁²+T型₂²+T型_三²+T型₄²+T型₅²+T型₆²+T型₇²=T₅₆
吨₄²+T型₅²+T型₆²+T型₇²+T型₈²+T型₉²+T型₁₀²+T型₁₁²+T型₁₂²=T₁₉₁
吨₁²+T型₂²+T型_三²+T型₄²+.......+ 吨₂₃²+T型₂₄²+T型₂₅²+T型₂₆²=T₁₁₉₆
吨₁²+T型₂²+T型_三²+T型₄²+.......+ 吨₈₆²+T型₈₇²+T型₈₈²+T型₈₉²=T₂₄₂₉₇
吨₇₄²+T型₇₅²+T型₇₆²+T型₇₇²+.......+ 吨₁₆₁²+T型₁₆₂²+T型₁₆₃²+T型₁₆₄²=T₁₀₉₅₇₇
（由John McMahon提交，参见2018年5月3日和2018年12月2日的电子邮件）。

十个连续三角数之和：
从T开始₀=0，以10为基数，

T的前10个三角形数之和₀至T₉=165
来自T的下10个三角形数的和₁₀至T₁₉=1165
来自T的下10个三角形数的和₂₀至T₂₉=三165
来自T的下10个三角形数的和₃₀至T₃₉=6165
来自T的下10个三角形数的和₄₀至T₄₉=10165
来自T的下10个三角形数的和₅₀至T₅₉=15165
等等。

同样的模式在其他基础上也很明显。例如，以2为基数

从T开始₀=0，以2为基数，

T的前两个三角形数之和₀至T₁=1
接下来两个三角形数的和=1001
接下来两个三角形数的和=11001
接下来两个三角形数的和=110001
接下来两个三角形数的和=1010001
接下来两个三角形数的和=11111001
等等。

请注意，要添加的三角形数必须与基数本身相对应。最后（三个？）数字始终相同。前面的数字总是三角形数字（在它们各自的基数中）。
（由朱利安·波尚提交，参见其2019年5月9日的电子邮件）。

三角数和平方2：
三角形数字和√2之间有很好的联系，如下所示：
n->无穷大，√T_n+1-√吨_n个=√2/2。
证据很简单：
使用三角形数的一般公式T_n个=n（n+1），我们得到，
√[（n+1）（n+2）/2]-√[n（n+1）/2]=√2/2。
=>√[（n+1）（n+2）]-√[n（n+1。
但当n趋于无穷大时，这就变成
√[（n+1）²]-√[n²]=1
=>（n+1）-n=1。
示例：当n较小时，如n=7时，如下所示：
√温度₈-√吨₇=√36-√28=0.708926927（=近似√[2]/2（只更正到小数点后两位）。

但当n=500时，例如，结果精确到小数点后5位：
√温度₅₀₁-√吨₅₀₀= √125751 - √125250 = 0.707107135
随着n值的增加，这种收敛将继续。
（由朱利安·波尚提交，参见其2022年9月17日的电子邮件）。

连续三角数之和：

吨₂₃²=T₃₃+T型₃₄+吨₃₅+ ..... + 吨₇₆+T型₇₇+吨₇₈
吨₂₃^三=T₉₃₃+T型₉₃₄+吨₉₃₅+ ..... + 吨₉₇₆+T型₉₇₇+吨₉₇₈
（由John McMahon提交，参见其2020年8月24日的电子邮件）。

三角数的位数

在基数10中，当T的数字长度_k个第k个三角形数，在T的数字长度上增加1_k-1号机组，k的数字近似于2（√2=1.4142135623730950488…）或20（√20=4.4721359549995793928…）的平方根，取决于T_k个具有奇数或偶数位数。以下是一些示例：
吨₄₅=1035和45²= 2025

吨₁₄₁=10011和141²= 19881

吨₄₄₇=100128和447²= 199809

吨₁₄₁₄=1000405和1414²= 1999396

吨₄₄₇₂=10001628和4472²= 19998784

吨₁₄₁₄₂=100005153和14142²= 199996164

吨₄₄₇₂₁=1000006281和44721²= 1999967841

吨₁₄₁₄₂₁=10000020331和141421²= 19999899241

吨₄₄₇₂₁₄=1000000404505和447214²= 200000361796

吨_1414214=100001326005和1414214²= 2000001237796

吨_4472136=10000002437316和4472136²= 20000000402496

吨_14142136=100000012392316和14142136²= 200000010642496

吨_44721360=1000000042485480和44721360²= 2000000040249600

吨_141421356=10000000037150046和141421356²= 19999999932878736
等等。
在其他基数中，k的近似数字是平方（2）和平方（2*base）。一般来说，p边多边形数的k增加一位数，近似于2p-4的平方根，在某些条件下，近似于（2p-4）*基。

（由Tony Sand先生提交，参见其2022年3月11日的电子邮件）。
单位以10为底的三角形数字位数：

三角数0、1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171、190、210、231、253、276、300、325、351、378、406、435、465等的单位位数。
形成具有两个半部的重复序列，其中第二半部是第一半部的镜像，如下所示：

0, 1, 3, 6,0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0,6, 3, 1, 0,0, 1, 3, 6, 0, ... (https://oeis.org/A008954在整数序列在线百科全书上）

可以看出，序列以0、1、3、6…开始，以…结束。。。6, 3, 1, 0.
如何解释此镜像？考虑序列中的第二个5，它对应于T₉= 45.

45 + 10 = 55

所以序列中的下一个数字是5，镜像为5。接下来考虑序列中的第二个6，它对应于T₈＝36，依此类推。

45 + 10 = 55
36 + 9+10+11 = 66
28 + 8+9+10+11+12 = 78
21 + 7+8+9+10+11+12+13 = 91
15 + 6+7+8+9+10+11+12+13+14 = 105
10 + 5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 = 120
06 + 4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16 = 136
03+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17=153
01 + 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18 = 171
00 + 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19 = 190

请注意，每个三角形数字的和总是10的倍数：
45 + 10 = 45
36 + 9+10+11 = 66 = 36 + (9+11)+10 = 36 + 20+10 = 36 + 30
28 + 8+9+10+11+12 = 78 = 28 + (8+12)+(9+11)+10 = 28 + 20+20+10 = 28 + 50

10的倍数相加，单位数字不变。这就是为什么序列的前半部分被映射到后半部分的原因。

如果我们考虑以11为基数的三角形数字的单位数，情况也是如此。

三角形数（以11为基数）的单位数字0、1、3、6、A、14、1A、26、33、41、50、60、71、83、96、AA、114、12A、146、163、181、1A0、210。。。
形成一个较短的重复序列，并以稍微不同的方式镜像，如下所示：

0, 1, 3, 6,A、 4、A、，6, 3, 1, 0,0，1，3，6，A，4，A，6，3，1，0，0

发生这种情况的原因如下：
A+5+6=1A（因为基11中5+6=10）
6 + 4+5+6+7 = 26
3 + 3+4+5+6+7+8 = 33
1 + 2+3+4+5+6+7+8+9 = 41
0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+A=50
请注意，每个三角形数字的和总是11的倍数：

A+5+6=1A=A+10
6 + 4+5+6+7 = 26 = 6 + (4+7)+(5+6) = 6 + 10+10 = 6 + 20
3 + 3+4+5+6+7+8 = 33 = 3 + (3+8)+(4+7)+(5+6) = 3 + 10+10+10 = 3 + 30

加上11的倍数，以11为基数的单位数字不变。
基数10为其他偶数基数提供了模板，基数11为其他奇数基数提供模板。

（由Tony Sand先生提交，参见其2023年5月12日的电子邮件）。

五次幂整数和三角数的总和。

（托尼·福斯特提交，参见其2022年8月31日的电子邮件）。

如果你发现任何新的有趣的观察结果请给我三角数字电子邮件我。
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参考文献：
[1] 球，W.W。R。和H.S.科克塞特。M。数学娱乐与论文，第13版。纽约：多佛，第59页，1987年。
[2] 阿尔伯特·H·拜勒。数字理论中的娱乐。纽约：多佛，1966年。
[3] 康威，J.H。和盖伊·R·K。《数字之书》。纽约：Springer-Verlag，第33-38页，1996年。
[4] H.E.杜德尼。数学娱乐。纽约：多佛，第67和167页，1970年。
[5] Gupta，Shyam Sunder，“三角数的奇异性质”科学记者1987年9月，印度。
[6] 盖伊，R.K。数论中未解决的问题，第二版。纽约：Springer-Verlag，第136-138页和第147-150页，1994年。
[7] Le Lionnais，F。不可重复。巴黎：赫尔曼，1983年。
[8] 约瑟夫·马达奇（Joseph S.Madachy）。玛达奇的数学再现。纽约：多佛，1979年。
[9] Clifford A.Pickover。数字奇观。纽约：牛津大学出版社，2001年。
[10] 新泽西州斯隆。答：。和Plouffe，S。整数序列百科全书。加州圣地亚哥：学术出版社，1995年。
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[12] 大卫·威尔斯。企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯：企鹅出版社，1997年。
[13] 威尔斯，大卫。《好奇有趣的几何企鹅词典》。伦敦：企鹅出版社，1991年。
[14] Gupta，Shyam Sunder“三角数的Smarandache序列”，《Smarandache概念期刊》（2003年第14卷）。
[15] 罗恩·诺特博士毕达哥拉斯直角三角形。

本页面创建于2002年10月26日。
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