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1, -1, 1, -1, -2, 1, -3, -3, -3, 1, -15, -12, -6, -4, 1, -105, -75, -30, -10, -5, 1, -945, -630, -225, -60, -15, -6, 1, -10395, -6615, -2205, -525, -105, -21, -7, 1, -135135, -83160, -26460, -5880, -1050, -168, -28, -8, 1, -2027025, -1216215, -374220, -79380, -13230, -1890, -252, -36, -9, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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那么T（n，k）=二项式（n，k）*b（n-k）。
构成多项式矩阵TB（n，k，t）=t（n，k）*t^（n-k）=二项式，
开头为
1;
-1, 1;
-1*t，-2，1；
-3*t^2，-3*t，-3，1；
-15*t^3，-12*t^2，-6*t，-4，1；
-105*t^4，-75*t^3，-30*t^2，-10*t，-5，1；
设Pc（n，t）=LPT（Pb（.，t））。
则[TB（t）]^（-1）=TC（t）=[二项式（n，k）*Pc（n-k，t）]=LPT（TB），
其第一列是
Pc（0，t）=1
Pc（1，t）=1
Pc（2，t）=2+t
Pc（3，t）=6+6*t+3*t^2
Pc（4，t）=24+36*t+30*t^2+15*t^3
Pc（5，t）=120+240*t+270*t^2+210*t^3+105*t^4。
注意，这不是完整的矩阵TC。完整的矩阵是通过沿着下三角Pascal矩阵的对角线乘以这些多项式，将系数树嵌入矩阵中而形成的。
exp[Pb（.，t）*x]=1+[（1-2t*x）^。
exp[Pc（.，t）*x]=1/{1+[（1-2t*x）^（1/2）-1]/t}=1/exp[Pb（.，t）*x）=例如TC第一列的f。
TB（t）和TC（t）互逆，是阿贝尔群的生成元。
设sb（t，m）和sc。
设Esb（t，m）和Esc。
那么B（t，m）是C（t，m）的逆，Esb（t，姆）是Esc（t，米）的倒数，而sb（t，m.）和sc（t、m）在LPT下形成一个倒易对。行和、交替符号行和以及相关数量之间也存在类似的关系。
所有群成员的形式都是B（t，m）*C（u，p）=TB（t）^m*TC（u）^p=[二项式（n，k）*s（n-k）]
对于矩阵的第一列，与项s（n）相关的e.f.Es（x）=exp[m*Pb（.，t）*x]*exp[p*Pc（.，u）*x]，因此群乘法同构于矩阵乘法和相关序列的e.f.的乘法（见示例）。
通过将exp[Pb（.，t）*x]表达式中的2替换为任何自然数，这些结果可以推广到其他整值数组组。
一般来说，
[M=产品{i=0..j}B[s（i），M（i）]*C[t（i）和n（i）]
=exp（u*x）*产品{i=0..j}{exp[m（i）*Pb（.，s（i））*x]*exp[n（i）*Pc（.，t（i）]*x]}
=exp（u*x）*Product_{i=0..j}{1+[（1-2*s（i）*x）^（1/2）-1]/s（i）}^m（i）/{1+[（1-2*t（i）*x）^（1/2）-1]/t（i）{n（i）
=exp（u*x）*H（x）
[例如，对于M]=I_o[2*（u*x）^（1/2）]*H（x）。
M是M（i）和n（i）正整数和s（i）及t（i）整数的整值矩阵。要反转M，请将M的Product中的B更改为C。
H（x）是M的第一列的e.g.f.，将帕斯卡矩阵与该列的项对角相乘生成M。参见示例。
M的G.f.，即M的行多项式的e.G.f.，意味着行多项式形成Appell序列（参见Wikipedia和Mathworld）-汤姆·科普兰2013年12月3日
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链接
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配方奶粉
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[G.f.表示TB（n，k，t）]=GTB（u，x，t）=exp（u*x）*{1+[（1-2t*x）^（1/2）-1]/t}=exp[（u+Pb（.，t））*x]其中TB（n、k、t）=（D_x）^n（D_u）^k/k！GTB（u，x，t）评估。当u=x=0时。
[G.f.表示TC（n，k，t）]=GTC（u，x，t）=exp（u*x）/{1+[（1-2t*x）^（1/2）-1]/t}=exp[（u+Pc（.，t））*x]其中TC（n、k，t）=（D_x）^n（D_u）^k/k！GTC（u，x，t）评估。当u=x=0时。
[例如，对于TB（n，k，t）]=I_o[2*（u*x）^（1/2）]*{1+[（1-2t*x）*（1/2）-1]/t}和
[例如，对于TC（n，k，t）]=I_o[2*（u*x）^（1/2）]/{1+[（1-2t*x）*（1/2）-1]/t}
其中I_o是第一类第零修正贝塞尔函数，即。，
I_o[2*（u*x）^（1/2）]=Sum_｛j>=0｝（u^j/j！）*（x^j/j！）。
所以[例如，对于TB（n，k）]=I_o[2*（u*x）^（1/2）]*（1-2x）^（1/2）。
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例子
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一些组成员和关联的数组是
（t，m）：：数组：：Asc。矩阵：：Asc。序列：例如，用于序列
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(0,1).::.B.：：。。A132013号.::.(1,-1,0,0,0,0,...).....::.s（x）.=。1倍
(0,1).::.C.：：。。A094587号.::.(0!,1!,2!,3!,...)......::.1./.s（x）
(0,1).::.参考编号：：~A055137号.::.(1,0,-1,-2,-3,-4,...)..::.经验（x）.*.s（x）
(0,1).::.地址：：……-……：。。A000522号…………：.exp（x）./。秒（x）
(0,1).::.答：：……-……：：。(1,-2,3,-4,5,-6,...)...::.exp（-x）.*.s（x）
..............................................................................
(0,2).::.B.：：。。2014年12月13日.::.(1,-2,2,0,0,0,0...)....::.s（x）.=。（1-x）^2
(0,2).::.C.：：。。A132159号.::.(1!,2!,3!,4!,...)......::..1./.s（x）。
(0,2).::.收件人：：…-……：。（1，-1，-1,1,5,11,19,29，）：：.exp（x）.*.s（x）。
(0,2).::.rC.：：…-…：：。。A001339号…………：.exp（x）./。s（x）。
(0,2).::.答：：…-…：：。（-1）^n个。A002061号（n+1）……：：。exp（-x）.*.s（x）。
(0,2).::.交流：：…-…：：。。A000255号…………：：.exp（-x）./。s（x）。
..............................................................................
(1,1).::.B.：：。。时间：。(1,-A001147号（n-1）……：：。s（x）.=。（1-2x）^（1/2）
(1,1).::.收件人：：…-…：。。A055142号…………：：.exp（x）.*.s（x）。
(1,1).::.地址：：…-……：。。A084262号…………：.exp（x）./。s（x）。
(1,1).::.答：：…-…：：。(1,-2,2,-4,-4,-56,...).::.exp（-x）.*.s（x）。
(1,1).::.交流：：…-…：：。。A053871号…………：：.exp（-x）./。s（x）。
..............................................................................
(2,1).::.B.：：…-…：：。(1,-A001813号)...........::.s=[1+（1-4x）^（1/2）]/2。。。。
(2,1).::.C.：：…-…：：。。A001761号…………：.1./.s（x）。。
（2,1）.：：。收件人：：…-……：。(1,0,-3,-20,-183,...)..::.经验（x）.*.s（x）。。
(2,1).::.地址：：…-……：。(1,2,7,46,485,...).....::.经验（x）./。s（x）。
(2,1).::.答：：…-…：：。(1,-2,1,-10,-79,...)...::.exp（-x）.*.s（x）。
(2,1).::.答：：…-…：：。(1,0,3,20,237,...).....::.exp（-x）./。秒（x）
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
(1,2).::.B.：：~A134082号.::.(1,-2,0,0,0,0,...).....::.s（x）.=。1.-.2倍
(1,2).::.C.：：……-……：。。A000165号…………：.1./.s（x）。。
(1,2).::.rB.:：…..-…..：：。(1,-1,-3,-5,-7,-9,...).::.exp（x）.*.s（x）。
(1,2).::.地址：：……-……：。。A010844号…………：.exp（x）./。s（x）。。
(1,2).::.答：：……-……：。(1,-3,5,-7,9,-11,...)..::.exp（-x）.*.s（x）。
(1,2).::.答：：……-……：。。A000354号…………：：.exp（-x）./。s（x）。
..............................................................................
（波浪号表示匹配不准确——具体来说，符号与真实矩阵存在差异。）
注意，行和对应于s（x）的二项式变换和交替行和，对应于二项式逆变换或有限差分。
其他一些示例：
C（1,2）*B（0,1）=B（1，-2）*C（0，-1）=[二项式（n，k）*A002866号（n-k）]带asc。例如，f.（1-x）/（1-2x）。
B（1,2）*C（0,1）=C（1，-2）*B（0，-1）=2I-A094587号带有asc。例如，f.（1-2x）/（1-x）。
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交叉参考
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关键词
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作者
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汤姆·科普兰2007年11月11日、11月12日、19日、12月4日、6日
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扩展
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状态
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已批准
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