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用户:Geoffrey Critzer

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我今年60岁,最近在堪萨斯大学获得了数学硕士学位。这是我一生中最棒的经历之一。

我在OEIS中有大约1900份提交文件。过去20年来,使用和贡献OEIS一直是我生活中的一大乐趣。我认为OEIS尚处于起步阶段。我想知道,当数据库中有数百万个序列时,OEIS在数学世界中将占据什么位置。

我喜欢通过考虑组合对象类上执行的任务与其生成函数的形式代数运算(如和、积、合成、导数)之间的对应关系来理解整数序列。正如Flajolet和Sedgewick在他们的开创性著作《分析组合数学》中所说,“在解决组合枚举问题时,生成函数的效率令人惊讶。”我想学习如何像生成功能学家一样思考。

请随时与我联系,了解本页上的任何信息。



二进制字的一些分解:

(0+1)*二进制字是0或1的序列。.

0*(10*)*二进制字是一个0的字符串,后跟1的序列和0的字符串。.

0*(11*00*)*1*二进制字是一个0的字符串,后面跟着1的非空字符串序列,0的非空字符串后面跟着1的字符串。

利用上面给出的第二个分解,我们得到:A078057号(x)=40000澳元(x) /(1-x*40000澳元(x) )。A003688号(x)=A003945号(x) /(1-x*A003945号(x) )。A015448号(x)=A003946号(x) /(1-x*A003946号(x) 。。。请参阅Joerg Arndt的评论。

(1+00*1)*0*二进制字是(1的OR,至少一个0后跟一个1)后面跟一个0的序列。。我们可以标记前面紧跟着0的1。囊性纤维变性。A034867号.

偶数为0的二进制字为空,或在此类字前面加1,或在类字前面加01*0。

奇数为0的二进制字是一个0或011*,或在这样一个字前面加上1,或在那样一个字之前加上01*0。


没有两个连续0的二进制字是空的,或者在这样的字之前加上一个0或1,或者在那样的字之前再加上01。

没有两个连续0的二进制字是1或10的序列,可能在其前面加上0。

一种二进制字,其中包含相等数量的1和0,并且每个前缀包含的1至少与0相同,因此该字为空,或者在该字的前面附加1和0。

包含相等数量的1和0的二进制单词是上述两种单词的序列,这些单词前面加上1,后面加上0。

每个二进制字都包含一个最大前缀,该前缀包含相等数量的1和0。其中B(x)在上文中定义,G(x)是A063886号。此最大前缀的平均长度为n/2,其分布如所示A237520型.

C(x)=1/(1-x/(1-x))是n组分数量的o.g.f。C(x)*x/(1-x)*C(x。C(x)*x^2/*(1-x^2)*C(x。C(x)*(x^3+x^4)/(1-x^2)^2*C(x。


n集的最小覆盖是一组点A之间的关系,这些点A没有唯一地覆盖到唯一覆盖的点的分区的一组块B中,因此A中的每个元素都与B中的至少2个元素相关。和{n>=0}(exp(x)-1)^n/n!*经验((2^n-n-1)x)。

生成函数简洁精确。

通常,生成函数是描述组合类的最简洁和精确的方法。考虑一下Martin J Erickson在A105476号:

“a(n)也是使用1和2的n的组成数,使得每一轮相似的数字可以任意分组”。为了理解所列举的内容,示例几乎是必不可少的。

“例如,a(4)=15,因为4=(1)+(2)=(2)+(1+1)=(1+1。

然而,通过快速检查生成函数:1/(1-(x/(1-x)+x^2/(1-x^2)),我们立即准确地意识到正在计算的内容。

生成函数的代数简化通常掩盖了通过符号方法推导的简单性。A105476号当每个偶数部分可以是两种类型时,也是n的组成数。1/(1-(a+(b-c)/2),其中=b=1/(1-x)。c=1/(1+x)。

通过集包含排序的n集的幂集上的偏序集中的链与有序集分区具有“规范”对应关系。参考Nelson,Schmidt参考A007047号((exp(x)-1)^2+2*(exp(x)-1)+1)*(1/(1-y*(exp(x)-1)))是双变量,例如fA038719号.

一些线性丢番图不等式组

方程X+Y+Z=n在非负整数中的解的数量是多少,例如X>=Y和X>=Z。有两种情况:i.)X>=Y+Z.ii.)X<Y+Z。情况i的o.g.f.为案例二。有o.g.f。.为每种情况添加o.g.fA156040号.


方程X+Y+Z=n在非负整数中的解的个数是多少,使得X+Y>=Z。有三种情况:i.)X和Y都>=Z.ii.)X或Y独占地>=Z.iii.)X或Y都不>=Z。情况i由o.g.f枚举。.参见。A001840号案例二。具有ogf:2*x^2*1/(1-x)*1/(1-x^3)*1/。A001399号案例iii.有o.g.f.:x^4*1/(1-x^2)*1/(1-x ^2)x1/(1-x ^3)Cf。A008731号.将这3个案例相加得出A001318号.

或者,我们可以用1/(1-x)*1(1-x)*1/(1-x。这是A000217号-A008805号=A001318号.



所有n-置换的反演

所有n-置换中的反转总数是多少?中提供了一个非常优雅的组合证明A001809号但更令人满意的是使用符号方法将组合结构直接转换为生成函数。在这种情况下,组合类将是由具有特殊指定的一对无序元素的排列组成的排列的超集。让因子(例如f.)x^2/2!选择 一双元素在排列中的数量,然后让1/(1-x)的三个因子(例如f's)线性顺序所选反转对之前、之间和之后的元素。粗体强调生成函数执行任务(构建结构)。



在所有n-置换上增加子序列

所有n-置换中递增子序列的数量等于[n]上的部分置换的数量。(部分置换是从[n]的一个子集到另一个子集的双射)。

例如f.1/(1-x)对集合进行线性排序或置换。例如,f.x^i/i!构建一个i集。一个集合是无序的,所以让我们把它看作是按其自然顺序存在的。使用与上述倒置枚举类似的思想,我们可以看到乘积x^i/i*(1/(1-x))^(i+1)是所有n-置换中长度为i的递增子序列数的示例f。对于i=0,1,。。。,我们有5个A000142号(我们必须同意,每个n-置换正好有一个长度为零的递增子序列),2015年5月63日,A001809号,A001810号,A001811号,A001812号.如果我们对所有i>=0的所有此类序列求和,则得到1/(1-x)*exp(x/(1-xA002720型其中,尼尔·斯隆(Neil Sloane)指出序列计算了[n]的所有排列中增加的子序列的总数。在P.Flajolet和R.Sedgewick的第132页,<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/books.html“>分析组合数学</a>,2009;对于部分置换的数量,对e.g.f.有一个同样透明的推导。这两个e.g.f's相等,生成函数逻辑证明是完整的。



具有生成函数的一些构造

函数2x作为例如f.执行指定(或不指定)组合结构中的原子的任务。

功能执行将标记原子装袋的琐碎任务。

构造类S公司由带有标签的物品袋组成,其中一些物品已被特别指定。根据“合成公式”(Miklos Bona称之为,枚举组合学导论,第170页),我们得到了:


双色图是一个二部图,其中“一些”连通分量是可区分的。B(x)=exp(2A(x)),其中B(xA047863号A(x)是代表A001832号.

让我们在n-1个节点上选择简单标记图的“一些”节点,然后在所选节点和标记n的节点之间添加一条边。我们在n个节点上构造了一个简单标记图,得到了函数方程:G'(x)=G(2x),其中G(x)是例如f.forA006125号.

例如f。列举了将n个带标签的对象放入袋子中并专门指定其中至少一个对象的方法。

通过指定标记定向循环中的至少一个节点,构建标记章鱼:。指定的节点成为章鱼的身体,它们之间的节点成为触角。所以其中A(x)是用于A029767号.


在{1,2,…,n}上构造一个集合分区,然后指向(区分)其中一个元素。x*B'(x)其中B'(x)=exp(exp(x)-1)。首先选择{1,2,…,n}的一个非空子集S,然后指向S的一个元素,然后划分S.x*exp(x)*B(x)的补码,从而完成相同的任务。所以我们有:B(x)*exp(x)=B'(x)。



指向(区分){1,2,…,n}置换中的元素。x*P'(x),其中P(x)=1/(1-x)。现在,通过在指定元素的右侧放置分隔条,“指向”{1,2,…,n}排列中的元素。我们构造了{1,2,…,n}的非空子集的置换及其补码的置换。x*P(x)*P(x)。所以我们有P'(x)=P(x)^2。



通过以所有可能的方式执行以下过程,构造A={0,1,2,…,n-1}的所有置换集。用包含元素0的a的子集S标记一些框,将a\S的元素放入框中,从每个框中的元素开始循环。x*(x+1)*(x+2)***(x+n-1)=和{k=1,..n}箍筋2(n,k)x^n。


将{1,2,…,n}的所有集合分区的集合构造成正好k个块:将n+k个未标记的对象放置到标记为1到k的框中,每个框中至少有一个对象。构建所有函数f_k:[m]->[k],使得f[1]=k,其中m是每个框中的对象数量。x/(1-x)*x/(1-2 x)***x/

预序是某些元素块的偏序。A(exp(x)-1),其中A(x)是例如fA001035号.传递关系是一些元素块或一些非自反点的偏序。A(x+exp(x)-1)。


????????????????????是否有一个组合参数来解释这个恒等式:D'(x)=D(x)*x/(1-x)其中D(xA000166号(混乱)。为什么奇数排列的数量和奇数错位的数量是x^2/2/(1-x)和x^2/2!exp(-x)/(1-x)。囊性纤维变性。A000166号????????????????????


考虑将字母表{1,2,…,m}上所有n个字母的单词集映射为所有n个排列的单词集,步骤如下:从左向右扫描单词,并按照从最小到最大的顺序记录字母的位置。例如,单词(2,3,1,2)映射到置换(3,1,4,2)。请参见A038675号映射到身份置换的n个单词的数量等于将最多n-1个不可区分的球放入n个可区分的框中的方法的数量。请参阅中的第一条评论2017年1月就普通生成函数而言,这是3个因素(o.g.f)的乘积:x*1/(1-x)*1/(1-x)^n。通过同样的推理,我们看到映射到具有k个下降的排列的n个单词的数量是最多将n-1-k个球放入n个箱子的方法的数量。这样的单词是一个不递减的序列(尽管是按排列顺序),至少有k个严格递增。转换成o.g.f.s的因子,我们得到:x^(k+1)*1/(1-x)*1/。参见中的公式部分A000583号.

所有对合上的反转

长度N的所有对合的反演总数的E.G.F.为:

(1*z^2/2!+2*z^3/3!+6*z^4/4!)*。

从计算离散数学,Skiena和Pemmaraju,剑桥大学出版社,2003年,第69页,我们得到了这样的定义:“如果i>j和p(i)<p(j),置换p中的一对元素(p(i

因此,我将为每个倒置关联一个无序对,其两个成员是长度N的对合的无序元素。有三种(互斥和穷尽)方式可以发生这种情况:i.两个成员处于同一个2循环中。(ii)一个成员是一个不动点,oher是一个2圈。iii.)两个成员处于不同的循环中。对于情况i,很明显只有1个这样的无序对。对于案例ii。有两个这样的无序对。我通过写出对合(1)(23)、(2)(13)和(3)(12)中发现的无序对,并计算其中一个成员是不动点,另一个成员在2循环中的数,说服了自己这一点。对于第三种情况,有6个这样的无序对。计算对合线(12)(34)、(13)(24)和(14)(23)中适当的无序对。

根据E.G.F的和积规则,我们得到了期望的结果。



内函数的多元生成函数

下面是一个指数多元生成函数,它计算所有函数f的类:{1,2,…,n}->{1,2,…,n}。

A(x,v,w,y,z)=(1-z x exp(w T(x,v)))^-y其中T(x、v)=和{n>=1}n^(n-1)(vx)^n/n!

变量x标记大小(映射的元素数量=n),y标记循环数,z标记递归元素的数量,w标记(直接)映射到递归元素的非递归元素数量,v标记非递归元素的数目。



设f是一个随机选择的(均匀分布)函数,从{1,2,…}到{1,2…}。f恰好有k个大小为n的循环的概率是1/(exp(1/n)*n^k*k!)。(这与{1,2,…}的随机排列相同)。当n变大(泊松(1/n))时检查分布,我们预计大约有大小为n或更小的H(n)个循环(特别是如果我们忽略小循环),其中H(n)是调和数。


简单标记图的多元生成函数

这是一个包含4个变量的生成函数,用于计算简单标记图。

A(x,w,y,z)=exp(z*x)^y*exp(x)^(-y)*(和{n>=0}(1+w)^二项式(n,2)x^n/n!)^

y^kz^jw^mx^n的系数(乘以n!后)是n个节点上具有k个连接组件、j个孤立节点和m条边的简单标记图的数量。

整数分区

这里有3个生成函数,用于将n的整数分区数划分为不同的部分。

G.f.:产品{m>=1}(1+x^m)=1/Product{m>=0}(1-x^(2m+1))=Sum{k>=0{产品{i=1..k}x^i/(1-x ^i)。

划分为不同部分的分区数=划分为奇数部分的分区数量。n分为k个完全不同的部分的分区数=至少有1个、1个、2个……的分区数。。。一个k。



一些概率问题

这里有两个概率问题,可以用生成函数和计算机代数系统(如Mathematica或Maple)轻松回答。

掷三个普通骰子,他们的脸之和为k。然后掷k枚硬币,然后计算人头数。发生10次头部撞击的概率是多少?195973/9437184. A(B(x))^3中x^10的系数,其中A(x)=(x-x^7)/(6(1-x))和B(x)=(1+x)/2


在骰子游戏中,如果某个骰子的面之和为25,则您获胜。您可以一次性掷骰子的每个正整数。当然,要掷25,你至少需要5个骰子,而掷25个以上的骰子对你没有帮助。相应地,你先掷5个骰子一次,然后再掷6个骰子。。。最后(如果你还没有赢),你会拼命尝试投25个ace。你获胜的可能性有多大?8119686580790083201/28430288029929701376。这是1/(1-A(x))中x^25的系数,其中A(x”)=(x-x^7)/(6(1-x))。

一些转换

如果A(x)是序列{A(n)}n>=0的e.g.f.,那么序列{n^k*A(n

B(x)=总和{j=1,..,k}斯特林2(k,j)*x^j*A^j(x),其中A^j(x)是A(x)的j阶导数。这可以通过将分析组合学中给出的指向论点扩展到组合对象的多个(但不一定是不同的)元素(原子)来看出。在这里,我们认为原子“指向”(指定)的顺序很重要。换句话说,B(x)是示例f,表示选择由a(x)计数的组合对象,然后选择其标记原子的k元组。

如果我们让A(x)是自由标记树的e.g.f.,并且k=2,那么我们可以对“双根”自由标记树和函数之间的双射进行生成函数解释{1,2,…,n}->{1,2,…,n}。参见“枚举组合数学简介”,米克洛斯·博纳,第267页。


如果A(x)是序列{A(n)}n>=0的e.g.f.,那么序列{C(n+k-1,k)*A(n

B(x)=和{j=0,..k-1}C(k-1,j)*x^(j+1)/(j+1A^(j+1)(x)。我们再次“指向”组合对象的原子(不一定是不同的)。这一次,我们认为定点的顺序并不重要。换言之,B(x)是示例f,表示选择由a(x)计数的组合对象,然后选择其标记原子的k个多集的方法数。

如果我们让A(x)是自由标记树的e.g.f.,并且k=2,那么除了忽略根的顺序之外,我们可以看到“无序双根”树和函数之间的双射,如上图所示{1,2,…,n}->{1,2,…,n}这样,在所有循环元素中,最小的总是映射到最大的。囊性纤维变性。A052182号.


如果A(x)是序列{A(n)}n>=0的e.g.f.,那么序列{C(n,k)*A(n

B(x)=x^k/k!*A^k(x)。换句话说,B(x)是例如f.,表示选择由a(x)计数的组合对象,然后选择其原子的k大小子集的方法数量。

如果A(x)是序列{A(n)}n>=0的e.g.f.,那么序列{k!*A(n

B(x)=x^k*A^k(x)。换句话说,B(x)是例如f.,表示选择由a(x)计数的组合对象,然后选择其原子的k置换的方法数量。


如果A(x)是序列{A(n)}n>=0的e.g.f.,那么序列{k^n*A(n

B(x)=A(k*x)。例如,设k=2和A(x)为循环置换的例f:Log(1/(1-x)),则我们有A032179号.


康托定理的类比

不存在从任何集合到其幂集的满射函数。

一家摄影公司(希望向一所非常大的学校的学生出售更多照片)决定为每一个可能的学生群体拍照。他们分别为每个学生拍照,每个学生与其他学生配对,他们甚至拍了一张没有人的照片和一张每个人都在照片中的照片。如果学校的学生人数有限,那么照片就比学生多,这一点也不奇怪。

如果学生人数无限怎么办?我们可能认为照片的数量和学生的数量是一样的,因为两者都是无限的。我们试图通过向每个学生分发一张照片来证明这一点,希望我们能够分发每张照片。但这是不可能的,因为无论我们如何分发照片,总会有至少一张照片没有分发出去。

原因如下:分发照片后(以任何可能的方式),指导每个学生看他们收到的照片,并观察照片中是否有他们的照片。然后告诉学生们“如果你在收到的照片中被拍到,那么在学校的东侧排队。如果你不在给你的照片中,那么就在学校的西侧排队。”现在,摄影公司肯定拍到了学校西侧学生小组的照片。但没有一个学生可能有那张照片。学校东侧的学生都没有照片,因为他们的照片上有照片,但他们不在西侧小组。学校西侧的学生不可能持有该照片,因为他们属于西侧小组,但他们持有的照片没有展示他们。

盒装产品

两个盒装产品,例如f.'s。

如果我们取一个例如f.A(x)的导数,新的例如f.A'(x)在{1,2,…,n}上构建一个A结构,但它有一个额外(秘密)原子的优点。我们可以想象,这个额外的秘密原子是元素1。


设B(x),C(x)为例f.,表示在一组标记对象上构建B结构,C结构的方法。设A(x)为例f,表示将{1,2,…,n}划分为两个不相交子集S,T的方法的数目,使得S并T={1,2…,n{,1是S的元素。例如,设B(x)=x*exp(x)和C(x)=exp(x)。积分B'(x)*C(x)*dx是包含元素1的{1,2,…,n}的所有子集上元素总数的示例f。囊性纤维变性A001792号.


设B(x)=C(x)=exp(x)-1。Integral(Integral B'(x)*C'(x)*dx)*dx)是{1,2,…,n}上精确分成两个块的集合分区数,以便元素1和n不在同一块中。同样地,Integral(Integral(B'(x)*C'(x)*exp(exp(x)-1)*dx)*dx)是{1,2,…,n}到任意数量块中的集合分区数,因此元素1和n不在同一块中。囊性纤维变性A005493号安德烈·戈德评论。




将n*sqrt(2)的小数部分提升到n次方发散

对于实数x,让{x}表示x的小数部分。

我想证明序列a(n)={n*sqrt(2)}^n发散。我将研究a(n)的两个子序列,并证明其中一个子序列b(n)收敛到0,而另一个子序列c(n)则收敛到exp(-1/(2*sqrt(2))。

带k的指数k={1,2,…}sqrt(2)的连分式表示中的有理收敛序列。设p(k)是第k收敛的分子,q(k)为第k收敛中的分母。

p(k)=((1-sqrt(2))^k+(1+sqrtA001333号A000129号.

定义序列b(n)=b(2k-1)={q(2k-l)*sqrt(2)}^q(2k-1)。换句话说,b(n)由a(n)中的项组成,其中n是第一、第三、第五……中的分母,。。。奇数位置。。。收敛序列的。这些正是<sqrt(2)的收敛点。关键的观察结果是

{q(2k-1)*sqrt(2)}=q(2k-1)*sqrt(2)-p(2k-1)。


例如,前10个收敛点是:

1/1、3/2、7/5、17/12、41/29、99/70、239/169、577/408、1393/985、3363/2378

考虑到第九个收敛1393/985。985*sqrt(2)的小数部分是985*m2(2)-1393。

使用p(k)、q(k)和关键观测的公式,我们可以看到

b(n)=b(2k-1)=[(1-sqrt(2)))^(2k)*(1+sqrt。

定义序列c(n)=c(2k)={q(2k”)*sqrt(2)}^q(2k)。换言之,c(n)由a(n)中的项组成,其中n的分母为2、4、6,。。。偶数位置。。。收敛序列的。这些正是>sqrt(2)的收敛点。关键的观察结果是

{q(2k)*sqrt(2)}=q(2k)*squart(2”)-p(2k”)+1。

例如,考虑到第十个收敛点,3363/2378。

2378*sqrt(2)的小数部分是2378*m2(2)-3363+1。

使用p(k)、q(k)和关键观测值的公式,我们可以看到

c(n)=c(2k)=[1-(1-sqrt(2)))^(2k

c(n)收敛到exp(-1/(2*sqrt(2)))。


如果你给我一个有理数p/q,它等于sqrt(2),我会在裂缝正好相隔1个单位的人行道上跨q步(我的步长正好是sqrt的2个单位)。我正好在第四条裂缝上。如果你给我一个有理数p/q,它略大于sqrt(2),我会迈出q步,但我不会完全到达第pth裂缝。


假设我们在区间(0,1)中有一个实数的可数无限集a,1是a的一个极限点。我们从a中的元素生成一个序列,并将n项提升到n次方。我们被允许按照我们想要的任何顺序排列A的元素,并且我们可以将每一项依次提升为更高的幂。我们不允许复制A中的元素,也就是说,我们必须将A中的每个元素精确地放在序列的一个位置。

例如序列a(n)={n*sqrt(2)}^n,其中{x}表示x的小数部分。另一个例子是序列a(n)=(1-1/n)^n。

有可能构造这样一个收敛到0的序列吗?

一种可能是将一组适当的分数按其“标准顺序”排列:(1/2)^1, (1/3)^2, (2/3)^3, (1/4)^4, (3/4)^5, (1/5)^6, (2/5)^7, (3/5)^8, (4/5)^9, (1/6)^10, ...看起来这些项越来越小,但我们能证明收敛到0吗?

也许一个更容易解决的问题是:如果我们规定1是A的唯一极限点怎么办?对!如果1是唯一的极限点,我们考虑形式a(n)=(1-1/n^p)^n的任何序列,其中p在(0,1)中。


Sin(x)Cos(x)/x=Product_{k>=1}(1-x/(k*Pi/2))(1+x/(k*Pi/2。

凯利定理

具有n+2个节点的所有树(自由、未标记)上的不同度序列的数量等于函数f的数量:{1,2,…,n}->{1,2,…,n+2}。

具有n+2个节点的树的度序列是正整数d(1),d(2),…的序列,。。。,d(n+2)使得d(1)>=d(2)>=…>=d(n+2)和d(1)+d(2)+…+d(n+2)=2*n+2。

让我调用函数f的“image”序列:{1,2,…,n}->{1,2,…,n+2}正整数序列j(1),j(2),。。。,j(k)使得j(1)>=j(2)>=…>=j(k)和j(1)+j(2)+…+j(k)=n,每个j(i)是函数f下共像集的大小(基数)。

(我这里所说的共像集是指函数所诱导的域的集合分区块。)

我们看到图像序列是整数n的分区。

如果我们在图像序列中的每个j(i)上加上1,然后根据需要加上尽可能多的1,使图像序列和为2*n+2,那么我们就得到了具有n+2个节点的树的度序列。

凯利定理说函数的数量f:{1,2,…,n}->f: {1,2,…,n+2},图像序列j(1),j(2),。。。,j(n)等于度序列为d(1)、d(2)、…、,。。。,d(n+2)。

例如:6个节点上的“星形”图具有度序列5,1,1,1。“星形”图有六个标签,有六个函数f:{1,2,3,4}->{1,2,3,4,5,6}具有图像序列4。(每个元素都映射到共同域中的单个元素。)

另一个例子(在另一个方向):有360个函数f:{1,2,3,4}->{1,2,3,4,5,6}与图像序列1,1,1,1(内射函数)。具有6个节点的“路径”图有360个标号,其度序列为2,2,2,2,1,1。



Dirchlet生成函数

我们可以在整数n除以d~d的除数集上定义一个等价关系~,只要除以d的最大完美平方等于除以d的最完美平方。和{n>=1}2^(小ω(n))/n^s*zeta(2s)=zeta(s)^2。成本加运费。A253196号.

更一般地说,我们可以用划分n的最大k次方来划分n的除数。和{n>=1}θ_k(n)/n^s*zeta(k*s)=zeta(s)^2,其中θ_k(n)是n的第k个无幂除数。

每个整数都可以被唯一地分解为一个完美平方和一个无平方整数的乘积。和{n>=1}|mu(n)|/n^s*zeta(2s)=zeta(s)。通常,每个整数都可以被唯一地分解为完美k次幂和无k次幂整数的乘积。求和{n>=1}f(n)/n^s*zeta(k*s)=zeta(s),其中f(n)是k次无幂整数的特征函数。

n元素集的奇数大小子集的数量等于偶数大小子集的数量。素数为奇数的n的无平方除数等于素数为偶数的n中的无平方除数。Sum_{n>=1}μ(n)/n^s*zeta(s)=1。

如果我们把一个整数看作是其素因子的多集M,那么M的子多集数就是n的除数(sigma(n))。有一个多子集与M具有相同的基数,即M本身。我们可以用一种非常乏味的方式得出这个明显的结果。从M的所有子子集开始,使用包含/排除原则来抛出“坏”集合。1=Sum_{d|n}mu(d)*sigma(n/d)。

就多集而言,上面第二段中表达的思想可以表述为:只有一种方法可以将多集划分为两个子集a和B,从而使a的每个元素的多重性可以被k整除,并且B的每个元素都严格小于k。

只有一种方法可以将元素都具有偶数重数的多集划分为两个子多子集a、B,使得a中的每个元素都具有2重数,而B中的每一元素都具有可被4整除的重数。和{n>=1}A227291号(n) /n^s*zeta(4*s)=zeta(2*s)。泛化,如果n是k的次幂,则设d_k(n)=|mu(n^(1/k)|,否则为0。和{n>=1}d_k(n)/n^s*zeta(2*k*s)=zeta(k*s。


{a^m(1),b^m(2),…,n^m(n)}的偶数大小的多子集d(e)的数目等于奇数大小的多子集d(o)的数目当且仅当存在至少一个i,使得m(i)是奇数时。否则d(e)=d(o)+1。和{n>=1}lamda(n)/n^s*zeta(s)=zeta(2*s)。


我们可以通过a~b iff gcd(a,n)=gcd(b,n)定义{1,2,…,n}上的等价关系。和{n>=1}φ(n)/n^s*zeta(s)=zeta(s-1)。


设f(n)是一个特征函数,即如果n具有某种期望的性质,则f(n。设F(s)是序列F(n)的Dirichlet g.F。那么第n行整数的Dirichlet g.fA050873号具有所需属性的是zeta(s-1)/zeta(s)*F(s)。上面的转换是一个特定的实例,其中所需的属性只是n是一个正整数。

更一般地说,zeta(s-1)/zeta(s)*F(s)是Sum_{j=1..n}F(gcd(n,j))的Dirichlet g.F。例如,如果f(n)=n,那么f(s)=zeta(s-1),我们可以看到zeta(s1)/zeta(s)*f(sA050873号由以下给出A018804号.

n的k次无因次因子之和是所有1序列和序列的Dirichlet卷积{an}n>如果n可被大于1的k次幂整除,则由a(n)=0定义为=1,否则由a(n)=1定义。后者的Dirichlet g.f.是zeta(s-1)/zeta(k*s-k)。证明:写下{a_n}的前几个项的Dirichlet级数,然后将它们乘以zeta(k*s-k)的前几个项数。

使n/d无k次幂的除数d之和是a(n)=n的Dirichlet卷积和k次幂自由数的特征函数。所以Dirichlet g.f.是:zeta(s-1)*zeta(s)/zeta(k*s)




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带间隙的单词w(w)=g。

对于单词w,间隙g(w)是w的最小元素和最大元素之间缺少的部分的数量。

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例如:(exp(x)-1)^2。通常,对于字母表{1,2,…,m}中g(w)=g>0的单词,例如f.是:和{k=g+2..m}(m-k+1)*二项式((k-2),g)*(exp(x)-1)^(k-g)。

例子

a(3)=6,因为我们有:113131133311313331。


长度为n的二进制字的数量,THTH正好出现k次,HTHH正好出现j次。

AB=求解[A==va(z^4+A caah+B cba)&&B==vb(z^4+A cab+B cbbh),{A,B}]S=1/(1-2 z-A-B)/。AB公司vsub={va->u-1,vb->y-1}案例={caah->z^2,cab->0,cba->z+z^3,cbbh->z^3}序列[S/.vsub/.case,{z,0,10}]

传递对称关系Exp[2x]Exp[Exp[x]-x-1]的数目。总和k=0..nA124323号(n,k)*2^k