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用户:Geoffrey Critzer

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==联系人:gcritzer@ku.edu


我是堪萨斯大学的研究生。我喜欢通过考虑在组合对象类上执行的任务与其生成函数的形式代数运算(如和、积、合成、导数)之间的对应关系来理解整数序列。正如Flajolet和Sedgewick在他们的开创性著作《分析组合学》中所说的那样,有一种令人愉快的“在解决组合计数问题时生成函数的惊人效率”。我想学习如何像生成函数学家那样思考。请随时与我联系本页上的任何内容。



二进制字的一些分解:

(0+1)*二进制字是0或1的序列。.

0*(10*)*二进制字是一个0的字符串,后跟一个1的序列和一个0的字符串。.

0*(11*00*)*1*一个二进制字是一个0的字符串,后面是一个1的非空字符串序列,0的非空字符串后跟1的字符串。

我们利用上述第二个分解:A078057号(十)=A040000美元(x) /(1-x*A040000美元(x) )。A003688号(十)=A003945号(x) /(1-x*A003945号(x) )。A015448号(十)=A003946号(x) /(1-x*A003946号(x) 。。。参见约格·阿恩特的评论。

(1+00*1)*0*二进制字是(1或至少一个0后跟1)后跟0的序列。. 前面紧跟着0的标记。囊性纤维变性。A034867号.

偶数为0的二进制字为空,或在该字前加1或在该字前加01*0。

一个奇数为0的二进制字是一个0或一个011*或一个1加在这样一个字前面,或者是一个01*0。


一个没有两个连续0的二进制字是空的,或者在这个字前面加一个0或1,或者在这个字前面加一个01。

一个没有两个连续的0的二进制字是一个1或10的序列,可能前面有一个0。

一种二进制字,包含相等数量的1和0,并且每个前缀至少包含与0一样多的1,则该词是空的或在该词后附加1和0。

一个包含相等数量的1和0的二进制字是由上述两种类型的字组成的序列,这些字前面加1,后加0。

每一个二进制字都包含一个最大前缀,该前缀包含相等数量的1和0。式中,B(x)在上面定义,G(x)是o.G.fA06386号. 这个最大前缀的平均长度为n/2,其分布如A237520号.

C(x)=1/(1-x/(1-x))是n. C(x)*x/(1-x)*C(x)是n. C(x)*x^2/*(1-x^2)*C(x)是n. C(x)*(x^3+x^4)/(1-x^2)^2*C(x)是n.C(x)的所有成分的水平数。


一个n-集的最小覆盖是一组点A的关系,这些点不是唯一覆盖到一组块B中的一个唯一覆盖点的分区,使得A中的每个元素至少与B中的2个元素相关。 Sum{n>=0}(exp(x)-1)^n/n!*经验值((2^n-n-1)x)。

生成函数简洁而精确。

通常生成函数是描述组合类的最简洁和精确的方法。想想马丁埃里克森在A105476号:

“a(n)也是使用1和2的n的合成数,这样每个相似的数可以任意分组”。一个例子对于理解所列举的内容几乎是必不可少的。

举例来说,a(4)=15,因为4=(1)1+(1)1+(1)1+(1)1+(1)1+1(1)1+1+1+1+1(1)的1+1+1+1+1(1)的1+1+1+1+1(1+1)1+1+1(1+1+1+1)=1+1+1+1+1=1(1+1+1+1)1=(1+1+1+1)1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=2)2+1+1+1+1)2+1)1)1)1)1)1)1)1)1)1)1)1)1)1)1)1)1)1)1)=(2)+(1+1)=(1+1)+(2)=(2)+(2)=(2+2)”。

然而,通过快速检查生成函数:1/(1-(x/(1-x)+x^2/(1-x^2)),我们可以立即准确地意识到计算的是什么。

生成函数的代数化简通常会使通过符号法推导的简单性变得模糊。A105476号也是当每个偶数部分可以是两种类型时n的组成数。1/(1-(a+(b-c)/2)),其中a=b=1/(1-x)。c=1/(1+x)。

在偏序集n上有序包含集上的有序包含集。参考Nelson,Schmidt参考A007047号. ((exp(x)-1)^2+2*(exp(x)-1)+1)*(1/(1-y*(exp(x)-1)))是双变量,例如A038719号.

一些线性丢番图不等式组

方程X+Y+Z=n的非负整数解的个数是多少?X>=Y和X>=Z。有两种情况:i.)X>=Y+Z。ii.)X<Y+Z。情况i的o.g.f.为. 案例二。有o.g.f。. 每种情况加上o.g.f.`sA156040型.


方程X+Y+Z=n的非负整数解的个数是多少?X+Y>=Z。有3种情况:i.)X和Y都>=Z。ii.)X或Y独占>=Z。iii.)X和Y都不>=Z。情况i.由o.g.f.枚举。. 囊性纤维变性。A001840. 案例二。有ogf:2*x^2*1/(1-x)*1/(1-x^3)*1/(1-x^2)Cf。A001399型. 案例三有o.g.f.:x^4*1/(1-x^2)*1/(1-x^2)*1/(1-x^3)Cf。A008731号. 加上3个案例013A018号.

或者,我们可以用1/(1-x)*1(1-x)*1/(1-x)来枚举所有解,并减去以1/(1-x^2)*1/(1-x^2)*x/(1-x)计算的坏解(x+Y<Z)。这是A000217-A008805型=A001318型.



所有n-置换的逆

所有n-置换中的反转总数是多少?中提供了一个非常优雅的组合证明A001809型. 但更令人满意的是采用符号方法将组合结构直接转换为生成函数。在这种情况下,组合类将是一个置换的超集,它由一对特殊指定的无序元素组成。让系数(例如f.)x^2/2!选择 一对在一个排列中的元素,然后让三个因子(例如f)为1/(1-x)线性顺序所选反转对之前、之间和之后的元素。大胆的做法是强调生成函数执行任务(构建结构)。



在所有n-置换上增加子序列

所有n-置换中递增子序列的数目等于[n]上部分置换的数目。(部分置换是从[n]的一个子集到另一个子集的双射。

e.g.f.1/(1-x)线性排序或置换集合。e.g.f.x^i/i!建立一个i集。一个集合是无序的,所以让我们把它看作是按自然顺序排列的。使用与上面列举的倒数相似的思想,我们可以看到乘积x^i/i!*(1/(1-x))^(i+1)是所有n-置换中长度为i的递增子序列数的e.g.f。对于i=0,1,…,5,我们有A000142号(我们必须同意,对于每个n-置换,只有一个长度为零的递增子序列),A001563号,A001809型,A001810,A001811号,A001812号. 如果我们对所有i>=0的所有这些序列求和,我们得到1/(1-x)*exp(x/(1-x)),作为A002720其中Neil Sloane指出序列计算[n]的所有排列中递增子序列的总数。在P.Flajolet和R.Sedgewick的132页上,<a href=http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/books.html“>分析组合学</a>,2009;对于部分置换数,也有一个同样透明的e.g.f.推导。二者相等,生成函数逻辑证明完备。



一些具有母函数的结构

函数2x作为一个e.g.f.执行在组合结构中指定(或不指定)一个原子的任务。

功能执行装袋标记原子的琐碎任务。

构建类S由一袋袋有标签的物品组成,其中一些物品是专门指定的。通过“组合公式”(Miklos Bona称之为“枚举组合学导论”,第170页),我们得到:


一个2色图是一个二部图,其中“一些”连通的部分被区分。B(x)=exp(2a(x)),其中B(x)是A047863号A(x)是A001832号.

让我们在n-1个节点上选择一个简单标记图的“一些”节点,然后在所选节点和标记为n的节点之间添加一条边。我们在n个节点上构造了一个简单标记图,我们得到了一个函数方程:G'(x)=G(2x),其中G(x)是e.G.fA006125型.

e.g.f。列举将n个标记的对象放入一个袋子的方法的数量,并特别指定其中至少一种。

通过在标记的有向循环中指定至少一个节点来构造带标签的章鱼:. 指定的节点成为章鱼的身体,它们之间的节点成为触角。所以其中A(x)是A029767号.


在{1,2,…,n}上构造一个集合分区,然后指向(区分)其中一个元素。x*B'(x),其中B'(x)=exp(exp(x)-1)。 首先选择{1,2,…,n}的一个非空子集,然后指向S的一个元素,然后划分S的补码。x*exp(x)*B(x)。 因此我们得到:B(x)*exp(x)=B'(x)。



指向{1,2,…,n}排列中的元素。x*P'(x),其中P(x)=1/(1-x)。 现在通过在指定元素的右侧放置分隔条来“指向”在{1,2,…,n}排列中的元素。我们构造了{1,2,…,n}的一个非空子集的置换及其补的置换。x*P(x)*P(x)。所以我们有P'(x)=P(x)^2。



通过以所有可能的方式执行以下过程,构造A={0,1,2,…,n-1}的所有置换的集合。用包含元素0的a的子集S标记一些框,将a\S的元素放入框中,从每个框中的元素开始循环。 x*(x+1)*(x+2)***(x+n-1)=Sum{k=1,..n}Stirling2(n,k)x^n。


将{1,2,…,n}的所有集分区集构造成k个块:将n+k个未标记对象放入标记为1到k的框中,每个框中至少有一个对象。构建所有函数 f k:[m]->[k],使f[1]=k,其中m是每个框中的对象数。x/(1-x)*x/(1-2x)***x/(1-kx)=和{n>=0}斯特林2(n,k)x^n

预序是某些元素块的偏序。A(exp(x)-1),其中A(x)是A001035型传递关系是某些元素块或某些不可逆点的偏序。A(x+exp(x)-1)段。


????????????????????是否有一个组合参数来解释恒等式:D'(x)=D(x)*x/(1-x),其中D(x)是A000166号(错乱)。 为什么奇数置换数和奇数无序数x^2/2的e.g.f!/(1-x)和x^2/2!分别为exp(-x)/(1-x)。囊性纤维变性。A000166号????????????????????


考虑将字母表{1,2,…,m}上的所有n个字母的单词集合通过以下过程转换成所有n个排列的集合:从左到右扫描单词,并按从最小到最大的顺序记录字母的位置。例如,单词(2,3,1,2)映射到置换(3,1,4,2)。看到了吗A038675号. 映射到身份置换的n个单词的数量等于将最多n-1个不可区分的球放入n个可区分的框中的方法的数目。请参见中的第一条评论A001700型. 在普通生成函数中,这是3个因子(o.g.f)的乘积:x*1/(1-x)*1/(1-x)^n。通过同样的推理,我们可以看到映射到具有k个下降的置换的n个单词的数量是将最多n-1-k个球放入n个容器的方法的数目。这样的单词是一个不递减的序列(尽管是按排列顺序排列的),至少有k个严格递增。转化为o.g.f.s的因子,我们得到:x^(k+1)*1/(1-x)*1/(1-x)^n。所以n次幂的o.g.f.是x/(1-x)^(n+1)*和{k=0..n-1}E(n,k)x^k,其中E(n,k)是k个下降的置换数。请参见中的公式部分A000583号.

所有对合上的逆

长度为N的所有对合的倒数总数的E.G.F.为:

(1*z^2/2!+2*z^3/3!+6*z^4/4!)*(exp(z+z^2/2)在这里,我把第一个因子保留为不简单的形式,以使解释更加透明。

从计算离散数学,Skinena和Pemmaraju,剑桥大学出版社,2003年,第69页,我们得到了这样的定义:“置换p中的一对元素(p(i),p(j))表示如果i>j且p(i)<p(j)的反转。”

因此,我将把一个无序对与每一个倒数相联系,它的两个成员是长度为N的对合的无序元素。这有三种方式(相互排斥和穷尽):i.)两个成员处于同一个2-循环中。ii.)一个成员是一个固定点,oher处于2个循环中。三)两个成员都在2个周期内。对于案例一,很明显只有一对这样的无序对。对于案例二。有两个这样的无序对。我通过写出对合(1)(23),(2)(13)和(3)(12)中发现的无序对,并计算其中一个成员是不动点,另一个成员在2-循环中的数目,以此说服了自己。对于案例三,有6个这样的无序对。计算渐开线(12)(34)、(13)(24)和(14)(23)中适当的无序对。

根据E.G.F的和积法则,我们得到了期望的结果。



内函数的多元母函数

这是一个指数多元母函数,它计算所有函数f:{1,2,…,n}->{1,2,…,n}的类。

A(x,v,w,y,z)=(1-z x exp(w T(x,v))^-y其中T(x,v)=和{n>=1}n^(n-1)(v x)^n/n!

变量x表示大小(映射的元素数=n),y表示循环数,z表示循环数,w表示(直接)映射到递归元素的非递归元素数,v表示非递归元素的数量。



设f是从{1,2,…}到{1,2,…}的随机选择(均匀分布)函数。f有大小为n的k个循环的概率是1/(exp(1/n)*n^k*k!)。(这与{1,2,…}的随机排列相同)。当n变大时(Poisson(1/n)),我们预计会有大小为n或更小的H(n)循环(特别是如果忽略小循环),其中H(n)是调和数。


简单标号图的多元母函数

这是一个4个变量的生成函数,它计算简单的标记图。

A(x,w,y,z)=exp(z*x)^y*exp(x)^(-y)*(和{n>=0}(1+w)^二项式(n,2)x^n/n!)^是的

系数(乘以n后)y^k z^j w^m x^n是n个节点上具有k个连通分量、j个孤立节点和m条边的简单标记图的数目。

整数分区

这里有3个生成函数,用于将n的整数划分为不同的部分。

G、 f.:积{m>=1}(1+x^m)=1/积{m>=0}(1-x^(2m+1))=和{k>=0}积{i=1..k}x^i/(1-x^i)。

划分成不同部分的数目=划分成奇数部分的数目。n划分为k个不同部分的数目=至少有一个1,一个2。。。一个k。



一些概率问题

这里有两个概率问题,可以用生成函数和计算机代数系统如Mathematica或Maple轻松回答。

三个普通的骰子被滚动,他们的脸的总和被发现是k。然后投掷k个公平的硬币,然后计算人头的数目。10头发生的概率是多少?195973/9437184。A(B(x))^3中x^10的系数,其中A(x)=(x-x^7)/(6(1-x)),B(x)=(1+x)/2


如果你在游戏中赢了25张骰子。你可以掷一次骰子的每个正整数。当然,掷25个骰子至少需要5个骰子,掷超过25个骰子对你没有帮助。因此,你先掷5个骰子一次,然后掷六个骰子一次。。。最后(如果你还没准备好的话)你拼命的尝试投25张a。你获胜的可能性有多大?8119686580790083201/28430288029929701376。(x-1)中的系数(x-1)。

一些转变

如果A(x)是序列{A(n)}n>=0的e.g.f.,那么序列{n^k*A(n)}n>=0的e.g.f.:

B(x)=和{j=1,…,k}斯特林2(k,j)*x^j*A^j(x),其中A^j(x)是A(x)的第j阶导数。这可以通过将解析组合学中给出的指向参数扩展到组合对象的多个(但不一定是不同的)元素(原子)来看到的。在这里,我们认为原子被“指向”(指定)的顺序是重要的。换句话说,B(x)是选择由a(x)计数的组合对象,然后选择其标记原子的 k元组的方法的e.g.f。

如果我们让A(x)是自由标号树的e.g.f.且k=2,那么我们就得到了{1,2,…,n}->{1,2,…,n}函数之间双射的生成函数解释。参见“计数组合学导论”,米克洛斯博纳,第267页。


如果A(x)是序列{A(n)}n>=0的e.g.f.,那么序列{C(n+k-1,k)*A(n)}n>=0的e.g.f.为:

B(x)=和{j=0,..k-1}C(k-1,j)*x^(j+1)/(j+1)!*A^(j+1)(x)。我们再次“指向”一个组合物体的原子(不一定是不同的)。这一次我们不认为指向的顺序很重要。换言之,B(x)是选择由a(x)计数的组合对象,然后选择其标记原子大小k的多组的方法的e.g.f。

如果我们让A(x)是自由标号树的e.g.f.且k=2,沿着上述双射中所示的映射,除了忽略根的顺序之外,我们看到“无序双根”树和来自{1,2,…,n}{1,2,…,n}的函数之间的一个双射,这样在所有递归元素中,最小的总是映射到最大的。囊性纤维变性。A052182号.


如果A(x)是序列{A(n)}n>=0的e.g.f.,那么序列{C(n,k)*A(n)}n>=0的e.g.f.:

B(x)=x^k/k!*A^k(x)。换句话说,B(x)是选择由a(x)计数的组合对象,然后选择其原子大小k的子集的方法的e.g.f。

如果A(x)是序列{A(n)}n>=0的e.g.f.,那么序列{k的e.g.f!*a(n)}n>=0是:

B(x)=x^k*A^k(x)。换言之,B(x)是选择由a(x)计数的组合对象,然后选择其原子的k-置换的方法的e.g.f。


如果A(x)是序列{A(n)}n>=0的e.g.f.,那么序列{k^n*A(n)}n>=0的e.g.f.:

B(x)=A(k*x)。例如,假设k=2,A(x)是循环排列的e.g.f:Log(1/(1-x)),那么我们有A032179号.


康托定理类比

不存在从任何集合到其幂集中的满射函数。

一家摄影公司(希望能向一所大型学校的学生出售更多的照片)决定为每一个可能的学生群体拍照。他们为每个学生单独拍照,每个学生与其他学生配对,每三个学生组成的小组,等等。他们甚至拍一张没有人的照片和一张所有人的照片。一点也不奇怪,如果学校的学生人数有限,那么照片就比学生多。

如果有无限多的学生呢?我们可能认为照片的数量和学生的数量是一样的,因为两者都是无限的。我们试图通过向每个学生分发一张照片来证明这一点,希望我们能够分发每一张照片。但这是不可能的,因为无论我们如何分发照片,总会有至少一张照片没有被分发出去。

原因如下: 分发照片后(以任何可能的方式),指导每个学生看他们收到的照片,观察他们是否在照片中。然后告诉学生们“如果你收到的照片中有你的照片,那么在学校东侧排队。如果你不在给你的照片里,那就在学校西侧排队。”现在,摄影公司肯定会给学校西侧的学生们拍了一张照片。但是没有一个学生可能有那张照片。学校东侧的学生中没有一个可以拥有这张照片,因为他们持有的照片中有照片,但他们不属于西区小组。学校西侧的学生不能持有这张照片,因为他们属于西区小组,但他们持有的照片中没有他们的特征。

盒装产品

两个e.g.f.的盒装产品。

如果我们取一个e.g.f.A(x)的导数,新的e.g.f.A'(x)在{1,2,…,n}上建立了一个A结构,但是它有一个额外的(秘密)原子来构建。我们可以想象这个超秘密的原子是元素1。


在(a,B)的结构上建立(a,B)结构的方法。设A(x)是将{1,2,…,n}划分为两个不相交子集S,T的例子,使得S并集T={1,2,…,n}且1是S的一个元素。那么我们有:A'(x)=B'(x)*C(x)。例如,让B(x)=x*exp(x)和C(x)=exp(x)。积分B'(x)*C(x)*dx是包含元素1的{1,2,…,n}的所有子集上元素总数的e.g.f。囊性纤维变性A07901792号.


设B(x)=C(x)=经验(x)-1。Integral(Integral B'(x)*C'(x)*dx)*dx)是{1,2,…,n}上的集合分区数,正好分成两个块,这样元素1和n不在同一块中。同样,Integral(Integral(B'(x)*C'(x)*exp(exp(x)-1)*dx)*dx)是{1,2,…,n}的集合分区的数目,因此元素1和n不在同一个块中。囊性纤维变性A005493号安德烈·戈德评论。




n*sqrt(2)的第n次幂的分数部分发散

{x表示实数的一部分。

我想证明序列a(n)={n*sqrt(2)}^n发散。我将研究a(n)的两个子序列,并证明一个子序列b(n)收敛到0,而另一个子序列c(n)收敛到exp(-1/(2*sqrt(2))。

用k表示k={1,2,…}sqrt(2)连分式表示的有理收敛序列。设p(k)为第k次收敛的分子,q(k)为第k次收敛的分母。

p(k)=((1-sqrt(2))^k+(1+sqrt(2))^k)/2 q(k)=((1+sqrt(2))-(1-sqrt(2))/(2*sqrt(2))。这些公式在Sloanes OEIS中给出A001333号A000129号.

定义序列b(n)=b(2k-1)={q(2k-1)*sqrt(2)}^q(2k-1)。换句话说,b(n)由a(n)中的项组成,其中n是第1、3、5……中的分母,。。。奇怪的位置。。。收敛序列的。这些正是<sqrt(2)的收敛点。关键的观察是

{q(2k-1)*sqrt(2)}=q(2k-1)*sqrt(2)-p(2k-1)。


例如,前10个收敛点是:

1/1、3/2、7/5、17/12、41/29、99/70、239/169、577/408、1393/985、3363/2378

考虑到第九次会聚1393/985。985*sqrt(2)的小数部分是985*sqrt(2)-1393。

利用p(k),q(k)的公式和关键观测,我们看到

b(n)=b(2k-1)=[(1-sqrt(2))^(2k)*(1+sqrt(2))]^q(2k-1),收敛到0。

定义序列c(n)=c(2k)={q(2k)*sqrt(2)}^q(2k)。换句话说,c(n)是由a(n)中的项组成的,其中n在分母的第2、4、6……偶数位置。。。收敛序列的。这些正是>sqrt(2)的收敛点。关键的观察是

{q(2k)*sqrt(2)}=q(2k)*sqrt(2)-p(2k)+1。

例如,考虑到第十次会聚,3363/2378。

2378*sqrt(2)的小数部分是2378*sqrt(2)-3363+1。

利用p(k),q(k)的公式和关键观测,我们看到

c(n)=c(2k)=[1-(1-平方英尺(2))^(2k)]^((1+平方英尺(2))^(2k)-(1-平方英尺(2))^(2k))/(2*sqrt(2))

c(n)收敛到exp(-1/(2*sqrt(2)))。


如果你给我一个有理数p/q等于sqrt(2),我会在一条裂缝间距正好为1个单位的人行道上前进q步(我的步幅长度正好是sqrt(2)个单位)。我会在pth裂缝上。如果你给我一个比sqrt(2)稍大的有理数p/q,我会迈出q大步,但我不会完全达到pth裂缝。


假设在区间(0,1)中有一个实数的可数无穷集a,其中1是a的极限点,我们从a中的元素构成一个序列,并将第n项提升到N次方。我们被允许按我们想要的任何顺序排列A的元素,并且我们可以将每个项依次提升到更高的幂次。我们不允许复制A中的元素,也就是说,我们必须将A的每个元素精确地放在序列的一个位置上。

例如序列a(n)={n*sqrt(2)}^n,其中{x}表示x的小数部分。另一个例子是序列a(n)=(1-1/n)^n。

有没有可能构造一个收敛到0的序列?

一种可能的方法是将一组适当的分数排列成它们的“规范顺序”: (1/2)^1,(1/3)^2,(2/3)^3,(1/4)^4,(3/4)^5,(1/5)^6,(2/5)^7,(3/5)^8,(4/5)^9,(1/6)^10,…;这些项看起来越来越小,但我们能证明收敛到0吗?

也许一个更容易解决的问题是:如果我们规定1是A的唯一极限点呢?是的!如果1是唯一的极限点,我们考虑a(n)=(1-1/n^p)^n形式的任何序列,其中p在(0,1)中。


在Sin(x)Cos(x)/x=乘积{k>=1}(1-x/(k*Pi/2))(1+x/(k*Pi/2))中x^2的系数给出了和{k>=0}1/(2k+1)^2=Pi^2/8。

凯莱定理

具有n+2个节点的所有树(自由的、未标记的)上的不同度序列的数目等于函数f:{1,2,…,n}->{1,2,…,n+2}。

具有n+2个节点的树的度序列是正整数d(1),d(2),…,d(n+2),使得d(1)>=d(2)>=…>=d(n+2)和d(1)+d(2)+。。。+d(n+2)=2*n+2。

让我称函数f的“图像”序列:{1,2,…,n}->{1,2,…,n+2}正整数序列j(1),j(2),…,j(k),使得j(1)>=j(2)>=。。。>=j(k)和j(1)+j(2)+。。。+j(k)=n,每个j(i)是函数f下的协像集的大小(基数)。

(我这里所说的共像集是函数所诱导的域的集合划分的块。)

我们看到图像序列是整数n的分区。

如果我们给图像序列中的每个j(i)加1,然后根据需要添加任意多个1,使图像序列和为2*n+2,那么我们就得到了一个具有n+2个节点的树的度序列。

Cayley定理指出,图像序列j(1),j(2),…,j(n)的函数f:{1,2,…,n+2}的个数等于在上述对应关系下具有度序列d(1),d(2),…,d(n+2)的标记树的数目。

例如:6个节点上的“星”图的阶数序列为5,1,1,1,1,1。“星”图有六个标号,有六个函数f:{1,2,3,4}->{1,2,3,4,5,6},它们的图像序列为4。(每个元素都映射到co域中的单个元素。)

另一个例子(在另一个方向):有360个函数f:{1,2,3,4}->{1,2,3,4,5,6},图像序列为1,1,1,1(内射函数)。有360个标记的“路径”图有6个节点,具有2,2,2,2,1,1阶序列。



Dirchlet生成函数

我们可以在整型n除以d的除数集上定义一个等价关系,如果除d的最大完全平方等于除d的最大完全平方。和{n>=1}2^(小Ω(n))/n^s*zeta(2s)=zeta(s)^2。C、 f。A253196.

更一般地说,我们可以根据除数的最大k次幂对n的除数进行分类。和{n>=1}θu k(n)/n^s*zeta(k*s)=zeta(s)^2,其中θu k(n)是n的第k次无幂除数。

每一个整数的{a*n*a}和(a)是唯一的{a*1}和{n*2s)的{,其中f(n)是k次无幂整数的特征函数。

n元集合的奇数个子集的数目等于偶数大小子集的数目。素数的平方等于素数平方的奇数。和{n>=1}mu(n)/n^s*zeta(s)=1。

如果我们认为一个整数是其素因子的多集M,那么M的子多集的数目就是n的除数(sigma(n))。有一个多子集与M具有相同的基数,即M本身。我们可以用一种非常乏味的方式得出这个明显的结果。从M的所有子多子集开始,利用包含/排除原理抛出“坏”集。

关于多集,上面第二段所表达的思想可以表述为:只有一种方法可以将多集划分为两个子集a和B,这样a的每个元素的多重性都可以被k整除,而B的每个元素的多重性严格小于k。

只有一种方法可以将所有元素都具有偶数重数的多重集划分为两个子多子集a、B,使得a中的每个元素都有重数2,B中的每个元素都有可被4整除的重数。和{n>=1}A227291号(n) /n^s*zeta(4*s)=zeta(2*s)。推广,设d|k(n)=| mu(n^(1/k)|如果n是k次方,则为0。和{n>=1}d_k(n)/n^s*zeta(2*k*s)=zeta(k*s)。


{a^m(1),b^m(2),…,n^m(n)}的偶数多个子集d(e)等于奇数多个子集d(o)的当且仅当至少有一个i使得m(i)为奇数。否则d(e)=d(o)+1. 和{n>=1}lamda(n)/n^s*zeta(s)=zeta(2*s)。


我们可以通过a~b iff gcd(a,n)=gcd(b,n)来定义{1,2,…,n}上的等价关系。和{n>=1}φ(n)/n^s*zeta(s)=zeta(s-1)。


设f(n)为特征函数,即f(n)=1,如果n具有某种期望的性质,则f(n)=0。设F(s)是序列F(n)的Dirichlet g.F。第n行整数个数的Dirichlet g.fA050873号具有所需属性的是zeta(s-1)/zeta(s)*F(s)。正上方的转换是一个特殊的实例,其中所需的属性只有n是正整数。

更一般地说,zeta(s-1)/zeta(s)*F(s)是和{j=1..n}F(gcd(n,j))的Dirichlet g.F。例如,如果f(n)=n,那么f(s)=zeta(s-1),我们看到zeta(s-1)/zeta(s)*f(s)是A050873号它是由A018804号.

如果n可被大于1的第k次幂整除,则n的k次无幂因子之和是由a(n)=0定义的序列{a_n}n>=1的Dirichlet卷积,否则a(n)=1。后者的Dirichlet g.f.是zeta(s-1)/zeta(k*s-k)。证明:写出{a_n}的前几个项的Dirichlet级数,然后乘以zeta(k*s-k)的前几个项。

使n/d无k次方的除数d之和是a(n)=n与k次幂数的特征函数的Dirichlet卷积。所以Dirichlet g.f.是: zeta(s-1)*zeta(s)/zeta(k*s)




在建工程




带间隙的单词w(w)=g。

对于一个单词w,间隙g(w)是w的最小和最大元素之间缺失的部分数。

公式

E、 g.f.:(实验(x)-1)^2。{1..g-m}(g-m-k)一般为g(g-m)的二项式(g-m-k)=1(g-m,g-2)*。

例子

a(3)=6,因为我们有:113,131,133,311,313,331。


第h次出现次数和第h次出现的次数。

AB=求解[A==va(z^4+A caah+B cba)&&B==vb(z^4+A CAAB+B cbbh),{A,B}] S=1/(1-2Z-A-B)/.AB vsub={va->u-1,vb->y-1} caah->z^2,cab->0,cba->z+z^3,cbbh->z^3}系列[S/.vsub/.case,{z,0,10}]

传递对称关系的数目Exp[2x]Exp[x]-x-1]。总和k=0..nA124323号(n,k)*2^k