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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A094645号 第一类广义斯特林数三角形。 10
1、-1、-1、1、1、0、-1、1、0、-1、0、1、0、1、0、1、2、-1、2、2、2、1、2、1、1、1、6、5、5、5、5、5、5、5、5、5、1、1、0、120、15449、49、140、70、14、1、1、140、14、1、1、140、14、1、1、70、14、1、1、14、1、1、20、1、20、0、50、5040、8028、28、64、64、6363、4809、48、48、48、38、38、2938、294、27、1、0、40320、69264、8540、8540、50、50840、44835、35,1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

狼牙2011年6月20日:(开始)

行多项式s(n,x):=和(T(n,k)*x^k,k=0..n)满足risefac(x-1,n)=s(n,x),上升阶乘risefac(x-1,n):=积(x-1+j,j=0..n-1),n>=1,risefac(x-1,0)=1。将公式risefac(x,n)=s1(n,x)与A132393(未签名的斯特林1)。

这是下三角谢弗阵列。

T(x,z)=(1-z)*exp(-x*log(1-z))(从公式部分重写的示例f)。请参阅下面的W.Lang链接A006232对于谢弗矩阵和罗马参考。在表示列e.g.s的符号中,这是Sheffer(1-z,-log(1-z))。在本影表示法(参见罗马)中,这被称为谢弗(exp(t),1-exp(-t))。

行多项式满足s(n,x)=(x+n-1)*s(n-1,x),s(0,x)=1,s(n,x)=(x-1)*s1(n-1,x),n>=1,s1(0,x)=1,无符号Stirling1行多项式s1(n,x)。

行多项式也满足

s(n,x)-s(n,x-1)=n*s(n-1,x),n>1,s(0,x)=1。

(根据Meixner标识,请参阅下面给出的Meixner引用A060338号).

行多项式也满足(来自推论3.7.2。p、 罗马参考文献50)

s(n,x)=(x-1)*s(n-1,x+1),n>=1,s(0,n)=1。

指数卷积恒等式是

s(n,x+y)=和(二项式(n,k)*s(k,y)*s1(n-k,x),k=0..n),

n>=0,对称x<->y。

n=0和0的行和为1,交替的行和为1、-2、2,后跟0,例如f.(1-x)^2。

谢弗a序列Sha(n)=邮编:A164555(n)/A027642号(n) 对于e.g.f.x/(1-exp(-x)),z序列是Shz(n)=-1,而e.g.f.-exp(x)。

逆Sheffer矩阵是((-1)^(n-k))*A105794号(n,k),例如f.exp(z)*exp(x*(1-exp(-z)))。(结束)

三角形T(n,k),按行读取,由(-1,1,0,2,1,3,2,4,3,5,…)DELTA(1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,…),其中DELTA是中定义的运算符A084938号. -菲利普·德莱厄姆2012年1月16日

还有t*(t-1)*Sum[(-1)^(n+m)t^(m-1)StirlingS1[n,m],{m,n}]的系数,其中t^k等于k给出n!,由此可知n行与[0,…,n]的点积等于(n-1)!。-伍特·梅森2012年5月15日

参考文献

S、 罗曼,《本影演算》,学术出版社,纽约,1984年。

链接

n=0..65时的n,a(n)表。

M、 W.科菲,M.C.莱丁顿,关于m次方和的Fibonacci多项式表达式及其对Faulhaber公式和Fermat定理的启示,arXiv:1510.05402[math.NT],2015年。

公式

E、 g.f.:(1-y)^(1-x)。

和{k,0<=k<=n}T(n,k)*x^k=A000007号(n) 你说,A000142号(n) 你说,A000142号(n+1),A001710(n+2),A001715号(n+3),A001720(n+4),A001725号(n+5),A073001730(n+6),A049388号(n) 你说,A049389号(n) 你说,A049398号(n) 你说,A051431号(n) x=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。-菲利普·德莱厄姆2007年11月13日

如果我们定义f(n,i,a)=和(二项式(n,k)*斯特林1(n-k,i)*乘积(-a-j,j=0..k-1),k=0..n-i),则| T(n,i)|=| f(n,i,-1)|,对于n=1,2,…;i=0…n-米兰-扬吉奇2008年12月21日

狼牙2011年6月20日:(开始)

T(n,k)=| S1(n-1,k-1)|-| S1(n-1,k)|,n>=1,k>=1,其中| S1(n,k)|=A132393(n,k)(无符号斯特林1)。

递归:T(n,k)=T(n-1,k-1)+(n-2)*T(n-1,k),如果n>=k>=0,T(n,k)=0;T(n,-1)=0;T(0,0)=1。

E、 g.f.列k:(1-x)*((-log(1-x))^k)/k!。(结束)

例子

1个;

-1,1;

0,-1,1;

0,-1,0,1;

0,-2,-1,2,1;

0,-6,-5,5,5,1;

0、-24、-26、15、25、9、1;

...

重复:

-2=T(4,1)=T(3,0)+(4-2)*T(3,1)=0+2*(-1)。

行多项式:

s(3,x)=-x+x^3=(x-1)*s1(2,x)=(x-1)*(x+x^2)。

s(3,x)=(x-1)*s(2,x+1)=(x-1)*(-x(x+1)+(x+1)^2)。

s(3,x)-s(3,x-1)=-x+x^3-(-(x-1)+(x-1)^3)=3*(-x+x^2)=3*s(2,x)。

枫木

A094645号_行:=n->seq((-1)^(n-k)*coeff(展开(pochhammer(x-n+2,n)),x,k),k=0..n):seq(打印(A094645号_第(n)行,n=0..6)#彼得·卢什尼2013年5月16日

数学

t[n,k_2;u]/;n>=k>=0:=t[n,k]=t[n-1,k]+(n-2)*t[n-1,k];t[n_u,k_92;n<k=0;t[,-1]=0;t[0,0]=1;展平[表[t[n,k],{n,0,10},{k,0,n}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年9月29日*);

表[系数列表[t*(t-1)*Sum[(-1)^(n+m)*t^(m-1)*StirlingS1[n,m],{m,n}],t],{n,1,7}](*伍特·梅森2012年5月15日*)

交叉引用

囊性纤维变性。A049444号,A0498号A0458,A094646号,A132393,A105794号.

上下文顺序:A309447飞机 A320312型 邮编:A269942*A105793号 邮编:A158566 邮编:A128410

相邻序列:A094642号 A094643号 A094644号*A094646号 A094647号 A094648号

关键字

容易的,签名,

作者

弗拉德塔·乔沃维奇2004年5月17日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月10日03:47。包含336368个序列。(运行在oeis4上。)