1,4

无符号数也称为斯特灵循环数：（s，n，k）＝具有完全k个周期的n个对象的排列数。

无符号数（从右向左读）也给出了具有复杂k的1…n的排列数，其中置换的复杂性被定义为周期长度的总和减去周期数。换句话说，复杂性等于所有周期中的（周期长度）- 1之和。对于n＝5，具有复杂性0、1、…、4的排列数是1, 10, 35、50, 24。-斯隆，08月2日2019

无符号数也是具有左至右极大值的1…n的排列数（参见Kovavoa和Lewis，史米斯）。

With P(n) = the number of integer partitions of n, T(i,n) = the number of parts of the i-th partition of n, D(i,n) = the number of different parts of the i-th partition of n, p(j,i,n) = the j-th part of the i-th partition of n, m(j,i,n) = multiplicity of the j-th part of the i-th partition of n, Sum_[T(i,n)=k]_{i=1}^{P(n)} = sum running from i=1 to i=p(n) but taking only partitions with T(i,n)=k parts into account, Product_{j=1..T(i,n)} = product running from j=1 to j=T(i,n), Product_{j=1..D(i,n)} = product running from j=1 to j=D(i,n) one has S1(n,k) = Sum_[T(i,n)=k]_{i=1}^{P(n)} (n!{j＝1…t（i，n）} p（j，i，n）*（1 /乘积{{j＝1…d（i，n）}m（j，i，n））例如，S1（6，3）＝225，因为n＝6具有k＝3个部分的以下分区：（114）、（123）、（222）。他们的肤色是：（114）：（6）！/ 1×1×4）*（1/2）！* 1！= 90，（123）：（6）！/ 1×2×3）*（1/1）！* 1！* 1！= 120，（222）：（6）！/ 2×2×2）*（1/3！）= 15。复合物的和是90＋120＋15＝225＝s1（6，3）。-托马斯维德，八月04日2005

行和等于0。-乔恩佩里11月14日2005

S（n，k）枚举由k增长非平面（无序）树构成的无序N-顶点森林。第一列和F. Bergeron等人的E.F.的证明。引用，特别是表1，最后一行（非平面递归）A049029. -狼人郎10月12日2007

S（n，k）枚举由k元一元树构成的n阶顶点k-森林（出自{0,1}的出度r），其顶点深度（距离根）j＞0为j＋1色（j＝0为k根）。-狼人郎，10月12日2007，2月22日2008

t（n，k）＝A04903（n，k），k＝1…n-莱因哈德祖姆勒3月18日2013

无符号数组的细化是A036039. 对于“自然生长”的非平面树的森林的关联，旗杆上的旗子的位置，和完整图的顶点的着色Kyn，参见A130534. -汤姆·科普兰3月30日和05月2014日

第一类的斯特灵数与由1924的NoLund中的降阶乘和卷积或广义伯努利数Byn有关[k＝1，n+1；t（n+1，k）x^（k-1）]＝（x-1）！/（X-1-N）！=（x+b（0））^ n＝Byn（x），用（b（0））k＝Byk（0）和相关联的Apple多项式Byn（x）由E.F.[t/（e^ t-1）] ^（n+1）*e^（xt）＝EXP（b（x）t）定义。-汤姆·科普兰9月29日2015

x=e^ z，dxx=d/dx，dyz＝d/dz，pnn（x），该项的行多项式，x^ n（dxx）^ n=pnn（dz z）=（dz z）！/（dz z—n）！=（xdx x）！/（xdx x -n）！-汤姆·科普兰11月27日2015

从算子关系Z+PSI（1）+ SuMu{{N> 0 }（-1）^ n（-1／N）二项（d，n）＝z+psi（1 +d）为d= d/dz和psi的DigaMa函数，zeta（n+1）＝SuMu{{kn-1（}）（1／k）s（k，n）}/k！对于n＞0和ζ的黎曼ζ函数。-汤姆·科普兰8月12日2016

设XY1，…，XYN是指数分布具有平均值＝1的I.D随机变量。设y＝max {x1，…，x}n}。然后（- 1）^ n * n！/SuMi{{K＝1…n+1 } A（n+1，k）t^（k-1）是y的矩生成函数。y的期望是n次谐波数。-杰弗里·克里茨12月25日2018

在描述无限等位基因模型下大小N样本中等位基因类的大小的多元概率分布的EWEN抽样理论中，S（n，k）给出了n个等位基因的样本具有完全K个不同类型的概率的系数。-挪亚罗森伯格2月10日2019

M. Abramowitz和I. A. Stegun，EDS，数学函数手册，国家标准局应用数学。系列55, 1964（和各种改版），第833页。

A. T. Benjamin和J. J. Quinn，确凿的证据：组合证明的艺术，M.A.A. 2003，P.93FF。

B. A. Bondarenko，广义Pascal三角形和金字塔（在俄语），FANE，塔什干，1990，ISBN 5-64—0733-8。圣克拉拉圣克拉拉斐波那契协会英文翻译，圣克拉拉，CA，1993；见第32页。

G. Boole，有限差分，第五版，纽约，纽约：切尔西，1970。

L. Comtet，高级组合数学，雷德尔，1974；第五章，第310页。

J. H. Conway和R. K. Guy，《数字之书》，哥白尼出版社，NY，1996，第93页。

F. N. David，M. G. Kendall和D. E. Barton，对称函数和联合表，剑桥，1966，第226页。

S. N. Elaydi，差分方程导论，第三版，SpRIGER，2005。

H. H. Goldstine，数值分析史，Springer Verlag，1977；第2.7节。

R. L. Graham，D. E. Knuth和O. Patashnik，具体的数学。Addison Wesley，读，MA，1990，第245页。在第二版中，参见第6章，特别是第259页。

M. Miyata和J. W. Son，关于排列的复杂性和双射的度量空间，张量，60（1998），第1，109—116（MR17688 39）。

J. Riordan，组合分析导论，第48页。

R. Sedgewick和P. Flajolet，算法分析导论，Addison Wesley，Read，MA，1996。

J. Stirling，微分法，伦敦，1749；见第10页。

诺伊，三角形的行1至100，扁平化。

德斯基，N. P. Cakic，T. Mansour。基于微分算子的广义斯特灵数的改进方法数学莱特。23（2010），115～120。DOI：101016/J.AML.200

M. Abramowitz和I. A. Stegun，编辑，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十打印，1972 [替代扫描副本]。

Nikita Alexeev和Peter ZografHultman数、多边形粘性和矩阵积分，ARXIV预告ARXIV：1111.3061 [数学，PR ]，2011。

Joerg Arndt事项计算（FXTBook），第277页。

费尔南多·巴贝罗G，Jes的萨拉斯，爱德华多J.S.Viasas-Nor，一类线性递归的二元生成函数一、总体结构，阿西夫：1307.2010（数学，Co），2013。

E. Barcucci，A. Del Lungo和R. Pinzani，“德科”多面体、排列与随机生成理论计算机科学，159, 1996，29—42。

Nicolas Behr，Vincent Danos，Ilias Garnier，随机重写系统的组合变换与矩互模拟，ARXIV：1904.07313〔C.Lo〕，2019。

Hacene Belbachir和Mourad Rahmani二项式系数倒数的和《整数序列》，第15卷（2012），第122.8页。

J. L. Cereceda整数幂和的广义Akaya-TangigaWa算法J. Int. Seq。16（2013）×133.2。

J. L. Cereceda整数幂和的迭代过程《整数序列》杂志，17（2014），第145.3页。

瑞奇，陈国忠，关于第一类斯特灵数生成函数的一个注记《整数序列》杂志，18（2015），第153.8页。

T. Copeland一类微分算子与斯特灵数，发电机、反演和矩阵、二项式和积分变换，拉格朗日拉拉

H. Crane普遍存在的EWENS抽样公式，统计科学，31（2016），1-19。

Thierry Dana Picard和David G. Zeitoun定积分序列、无穷级数与斯特灵数《科学技术数学教育国际杂志》，6月19日2011。

Sajal K. Das，Joydeep Ghosh和Narsingh Deo，斯特灵网络：多处理器系统的多功能组合拓扑，离散应用数学37（1992）：119-146。

R. M. Dickau斯特灵第一类数

阿斯卡·达马迪耶尔和Damir Yeliussizov游走、分区和正规排序《组合数学》电子杂志，22（4）（2015），第4页。

FUNSTAT-组合统计查找器排列的显著性数，置换循环分解中的循环数.

Bill Gosper斯特灵第一类三角形的彩色插图2, 3, 4，5, 6, 7

D. B. Gruenberg关于渐近、斯特灵数、Γ函数和多原点，阿西夫：数学/ 0607514 [数学，C]，2006。

J. HinesS-斯特林数的推广数学。Mag.，29（1956），200—203。

Yoshinari Inaba整数幂与Tyigaang-TangigaMatrix的超幂和《整数序列》杂志，第8卷（2005），第05.2.7条。

Charles Knessl和Joseph B. Keller用射线法求解递归方程的斯特灵数渐近性Stud。APPL数学84（1991），1，43-56。

Tanya Khovanova和Joel Brewster Lewis摩天楼

D. E. Knuth卷积多项式，阿西夫：数学/ 9207221 [数学，CA ]，1993；Mathematica J，2（1992），67.78。

W. Lang关于斯特灵数三角形的推广J.整数SEQS，第3卷（2000），γ.00 .2.4。

D. E. Loeb斯特灵数的一个推广，阿西夫：数学/ 9502217 [数学，C]，1995。

M. M. Mangontarum，J. Katriel，关于R－惠特尼和R－DoLink数的q-玻色子算子和q-类似J. Int. Seq。18（2015）；

T. Mansour，A. Munagi，M. Shattuck，递推关系与二维集划分J. Int. Seq。14（2011）α-114.1

Toufik Mansour，Matthias Schork和Mark Shattuck，再论广义斯特灵和贝尔数《整数序列》杂志，第15卷（2012），第128页。

B. H. Margolius时间非齐次拟生灭过程的瞬态和周期解排队系统，第56卷，数字3-4/ 2007年8月。[来自斯隆，朱尔09 2009

N. Norlund沃勒森根切尔西酒吧。公司，纽约，1954。

K. A. Penson，P. Blasiak，A. Horzela，G·H·E·杜尚和A. I. Solomon，Laguerre型导数：Dobinski关系与组合恒等式J. Math。Phys。第50, 083512卷（2009）。

G. Rzadkowski连续导数的两个公式及其应用，JIS 12（2009）09.

M. D. Schmidt广义J -因子函数、多项式及其应用J. Int. Seq。13（2010），10。

Raymond Scurr，格洛丽亚奥利弗，重新审视斯特灵数字离散数学。189（1998），1-3，209 - 219。MR1637 761（99天：11019）。

Mark Shattuck第一类斯特灵数的对合卷积恒等式，整数，12, 2012，αa59。-来自斯隆，04月2日2013

Warren D. Smith谜团：计算新记录

M. Z. Spivey贝尔数的广义递推，JIS 11（2008）0.

M. Z. Spivey关于一般组合递归的解J. Int. Seq。14（2011）×11 .9。

R. P. Stanley闵可夫斯基空间中的排序事件，阿西夫：数学/ 0501256 [数学，C]，2005。

N. M. TemmeHTTP//ALGO.iRIA.Fr/Simials/Sim92-93/TEMME.PDFStud。APPL数学89（1993），3，23-243。

A. N.，蒂马舍夫关于第一类和第二类斯特灵数的渐近展开式，（俄语）DISKRET。地垫10（1998），第3148—159号在离散数学中的翻译。APPL8（1998），5，533-54。

Eric Weisstein的数学世界，置换循环

Eric Weisstein的数学世界，斯特灵第一类数

Thomas Wieder关于A000 8255的评论

奥伊斯维基，阶乘多项式

“核心”序列的索引条目

S（n，k）＝S（n-1，k-1）-（n-1）*s（n-1，k），n，k>＝1；s（n，0）＝s（0，k）＝0；s（0, 0）＝1。

无符号数A（n，k）＝s（n，k）满足a（n，k）＝a（n-1，k-1）+（n-1）*a（n-1，k），n，k>＝1；a（n，0）＝a（0，k）＝0；a（0, 0）＝1。

E.g.f.：对于第m列（无符号）：（（-log（1-x））^ m）/m！.

S（n，k）＝t（n-1，k-1），n＞1，k＞1，其中t（n，k）是三角形[-1，-1，-2，-2，-3，-3，-4，-4，-5，-5，---，--，……]δ[a，y]，…，]和delta是DeleHAM算子定义的A084938. 无符号数也为S（n，k）＝t（n-1，k-1），对于n＞0和k＞0，其中t（n，k）＝[ 1, 1, 2，2, 3, 3，4, 4, 5，5，…]δ[1, 0, 1，0, 1, 0，1, 0，…]。

和〔（1）^（n i）斯特林s1〔n，i〕二项式〔i，k〕，{i，0，n}＝＝（- 1）^（n- k）斯特林s1〔n+1，k+1〕。- Carlo Wood（卡罗（AT）Alion.com），2月13日2007

G.f.：S（n）＝乘积{{j＝1…n}（X-J）（即，（x-1）（x-2）（x-3）＝x^ 3 -6x^ 2＋11x- 6）。-乔恩佩里11月14日2005

a（n，k）＝s（k，n）＝（- 1）^（k- n）*s1（k，n）=（（-1）^（k n））*（k）！/{（n-1）！* 2 ^（K-N）}*[{ 1 /（K-N）！}*k^（kn-1）-{（1/6）*（1 /（kN-2）！）}*k^（K-N-2）+{（1/72）*（1 /（K-N-4）！）}*k^（K-N-3）-{（1/6480）*（5 /（K-N-6）！- 36 /（K-N-4）！}*k^（K-N-4）+{（1/155520）*（5 /（K-N-8））！- 144 /（K-N-6）！}*k^（K-N-5）-{（1/6531840）*（7 /（K-N-10）！- 504 /（K-N-8）！+ 2304 /（K-N-6）！}*k^（K-N-6）+{（1/1175731200）*（35 /（K-N-12）！- 5040 /（K-N-10）！+ 87264 /（K-N-8）！}*k^（K-N-7）-{（1/7054387200）*（5 /（K-N-14）！- 1260 /（K-N-12）！+ 52704 /（K-N-10）！- 186624 /（K-N-8）！}*k^（K-N-8）+{（1/338610585600）*（5 /（K-N-16）！- 2016 /（K-N-14）！+ 164736 /（K-N-12）！- 2156544 /（K-N-10）！}* k^（K-N-9）-…]-安德鲁·拉博西亚雷3月27日2006

下三角矩阵A000 827*A000 8255＝i，单位矩阵。-汤姆·科普兰4月25日2014

A（n，k）＝S（n，k）＝Limi{{Y-＞0 } SuMu{{j＝0…k}（-1）^ j*二项式（k，j）*（（-j*y）！/（-J*Y-N）！* y^（-k）/k！= Suthi{{j＝0…k}（-1）^（n- j）*二项式（k，j）*（（j*y- 1 +n）！/（J*Y-1）！* y^（-k）/k！-汤姆·科普兰8月28日2015

从丹尼尔骗局1月16日2016：（开始）

设x~（0）：＝1（空乘积），对于n>＝1：

Xyn（n）：＝乘积{{＝0…n-1 }（X-K），称为阶乘项（布尔，1970）或阶乘多项式（Eaydii，2005：P.60），以及

x~（-n）：＝1 / [乘积{{K＝0…n-1 }（x+k）〕。

然后，对于n>＝1：

x~（n）＝SuMu{{k＝1…n} t（n，k）*x^ k，

1／[Xi]（-n）] = SuMu{{K＝1…n} t（n，k）**x^ k，

x^ n＝SuMu{{K＝1…n}A000 827（n，k）*x~（k），

在哪里？A000 827（n，k）是第二类的斯特灵数。

行和（无论是签名还是绝对值）都是

SuMu{{K＝1…n} t（n，k）＝0 ^（n-1），

SuMu{{＝1…n} t（n，k）＝t（n+1,1）＝n！（结束）

S（n，m）=（（1）^（n m）/n）*SuMi{{i＝0…M-1 } C（2×N-M I，M I-1）*A000 85 17（N-M＋1，N-M i+ 1）。-弗拉迪米尔克鲁钦宁2月14日2018

三个无序的2-森林有3个顶点和两个增长的（非平面）树：（（1），（2,3）），（（2），（1,3）），（（3），（1,2））。

三角形开始：

一

- 1, 1

2，3, 1

- 6, 11，6, 1

24，50, 35，10, 1

- 120, 274，- 225, 85，- 15, 1

720，-1764, 1624，-735, 175，-21, 1

- 5040, 13068，-13132, 6769，-1960, 322，-28, 1

40320，-109584, 118124，-67284, 22449，-4536, 546，-36, 1

同一三角形的另一个版本，来自乔尔格阿尔恩特，OCT 05 2009：

S（n，k）：＝具有精确k周期的n个元素的排列数（“斯特灵循环数”）

n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9

------------------------------------

1×1 1

2、2、1、1

3、6、2、3、1

4、24、6、11、6、1

5、120、24、50、35、10、1

6，720，120，274，225，85，15，1

7，5040，720，1764，1624，735，175，21，1

8，40320，5040，13068，13132，6769，1960，322，28 1

9，362880，40320，109584，118124，67284，22449，4536，546 36 1

由两个增加的（非平面）树组成：（（1），（（23）（24））），（（2），（（13）（14）），（（3），（（12）（14）），（（14），（（（））））；（（α），（2,3,4）），（（（）），（1,2,4）），（（α），（1,2,3）），（（1,2），（3,4）），（（1,3），（2,4）），（（1,4），（，））。十一个具有11个顶点的无序2-森林的S（4，2）＝十一；-狼人郎2月22日2008

与（组合）：SEQ（SEQLIN（n，k），k＝1…n），n＝1…10）；零度拉霍斯，军03 2007

对于我从0到9做SEQ（斯特林1（I，J），J＝1…i）零度拉霍斯11月29日2007

平坦[表[STRIGLS1[n，k]，{n，1, 10 }，{k，1，n}[] ] [〔1；；47〕]让弗兰5月18日2011＊）

（PARI）t（n，k）＝（n＜1, 0，n）！＊PoCOFEFF（二项式（x，n），k）

（PARI）t（n，k）＝（n＜1, 0，n）！* PoCoFEF（PoCoFEF（（1 +x+x*o（x^ n））^ y，n），k）

（PARI）VECSTRILLN（n）＝VEC（因子（向量（N-1，I，1-I*’x））/*（一个返回所有S（n，k）为向量的函数）*/\\ Bill Allombert（Bill Allombert（AT）数学，U-BordEux1.FR），3月16日2009

（最大值）CREATEY列表（STRILG1（n＋1，k+ 1），n，0, 30，k，0，n）；伊曼纽勒穆纳里尼，军01 2012 *

（哈斯克尔）

A00 8255 N K= A000 827 5Tabl！！（N-1）！（K-1）

A000 827 5L行n＝A00 827 55Tabl！（N-1）

AAA82555Tabl =图尾$尾A048 99 4a Tabl

——莱因哈德祖姆勒3月18日2013

Diagonals：A000 0217，A000 0914，A000 1303，A000 0915，A053567等。

囊性纤维变性。A049099，A000 827（第二类斯特灵数字）A039 814，A039 815，A039 816，A039 817，A04903，A08788.

囊性纤维变性。A084938，A094216，A000 827（行反转）A000 827，A000 827，A094262，A121632，A130534（无符号版本）A0875（三角形MOD 2）A000 0142（绝对值的行和）。

语境中的顺序：A13871 A121748 A1748*A130534 A10716 A105613

相邻序列：A000 827 A000 827 A000 827*A000 827 A000 827 A000 827

标志，塔布，好，核心

斯隆

经核准的