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问候整数序列的在线百科全书!)
A000 8255 由第一类斯特灵数行,S(n,k),n>=1, 1 <=k<=n的三角形所读取的三角形。 二百一十五
1,-1, 1, 2,-3, 1,-6, 11,-6, 1, 24,-50, 35,-10, 1,-120, 274,-225, 85,-15, 1, 720,-1764, 1624,-735, 175,-735, 175,--,--,--,--,--,--,--,--,--,--,-- 列表图表参考文献历史文本内部格式
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1,4

评论

无符号数也称为斯特灵循环数:(s,n,k)=具有完全k个周期的n个对象的排列数。

无符号数(从右向左读)也给出了具有复杂k的1…n的排列数,其中置换的复杂性被定义为周期长度的总和减去周期数。换句话说,复杂性等于所有周期中的(周期长度)- 1之和。对于n=5,具有复杂性0、1、…、4的排列数是1, 10, 35、50, 24。-斯隆,08月2日2019

无符号数也是具有左至右极大值的1…n的排列数(参见Kovavoa和Lewis,史米斯)。

With P(n) = the number of integer partitions of n, T(i,n) = the number of parts of the i-th partition of n, D(i,n) = the number of different parts of the i-th partition of n, p(j,i,n) = the j-th part of the i-th partition of n, m(j,i,n) = multiplicity of the j-th part of the i-th partition of n, Sum_[T(i,n)=k]_{i=1}^{P(n)} = sum running from i=1 to i=p(n) but taking only partitions with T(i,n)=k parts into account, Product_{j=1..T(i,n)} = product running from j=1 to j=T(i,n), Product_{j=1..D(i,n)} = product running from j=1 to j=D(i,n) one has S1(n,k) = Sum_[T(i,n)=k]_{i=1}^{P(n)} (n!{j=1…t(i,n)} p(j,i,n)*(1 /乘积{{j=1…d(i,n)}m(j,i,n))例如,S1(6,3)=225,因为n=6具有k=3个部分的以下分区:(114)、(123)、(222)。他们的肤色是:(114):(6)!/ 1×1×4)*(1/2)!* 1!= 90,(123):(6)!/ 1×2×3)*(1/1)!* 1!* 1!= 120,(222):(6)!/ 2×2×2)*(1/3!)= 15。复合物的和是90+120+15=225=s1(6,3)。-托马斯维德,八月04日2005

行和等于0。-乔恩佩里11月14日2005

S(n,k)枚举由k增长非平面(无序)树构成的无序N-顶点森林。第一列和F. Bergeron等人的E.F.的证明。引用,特别是表1,最后一行(非平面递归)A049029. -狼人郎10月12日2007

S(n,k)枚举由k元一元树构成的n阶顶点k-森林(出自{0,1}的出度r),其顶点深度(距离根)j>0为j+1色(j=0为k根)。-狼人郎,10月12日2007,2月22日2008

t(n,k)=A04903(n,k),k=1…n-莱因哈德祖姆勒3月18日2013

无符号数组的细化是A036039. 对于“自然生长”的非平面树的森林的关联,旗杆上的旗子的位置,和完整图的顶点的着色Kyn,参见A130534. -汤姆·科普兰3月30日和05月2014日

第一类的斯特灵数与由1924的NoLund中的降阶乘和卷积或广义伯努利数Byn有关[k=1,n+1;t(n+1,k)x^(k-1)]=(x-1)!/(X-1-N)!=(x+b(0))^ n=Byn(x),用(b(0))k=Byk(0)和相关联的Apple多项式Byn(x)由E.F.[t/(e^ t-1)] ^(n+1)*e^(xt)=EXP(b(x)t)定义。-汤姆·科普兰9月29日2015

x=e^ z,dxx=d/dx,dyz=d/dz,pnn(x),该项的行多项式,x^ n(dxx)^ n=pnn(dz z)=(dz z)!/(dz z—n)!=(xdx x)!/(xdx x -n)!-汤姆·科普兰11月27日2015

从算子关系Z+PSI(1)+ SuMu{{N> 0 }(-1)^ n(-1/N)二项(d,n)=z+psi(1 +d)为d= d/dz和psi的DigaMa函数,zeta(n+1)=SuMu{{kn-1(})(1/k)s(k,n)}/k!对于n>0和ζ的黎曼ζ函数。-汤姆·科普兰8月12日2016

设XY1,…,XYN是指数分布具有平均值=1的I.D随机变量。设y=max {x1,…,x}n}。然后(- 1)^ n * n!/SuMi{{K=1…n+1 } A(n+1,k)t^(k-1)是y的矩生成函数。y的期望是n次谐波数。-杰弗里·克里茨12月25日2018

在描述无限等位基因模型下大小N样本中等位基因类的大小的多元概率分布的EWEN抽样理论中,S(n,k)给出了n个等位基因的样本具有完全K个不同类型的概率的系数。-挪亚罗森伯格2月10日2019

推荐信

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Eric Weisstein的数学世界,置换循环

Eric Weisstein的数学世界,斯特灵第一类数

Thomas Wieder关于A000 8255的评论

奥伊斯维基,阶乘多项式

“核心”序列的索引条目

公式

S(n,k)=S(n-1,k-1)-(n-1)*s(n-1,k),n,k>=1;s(n,0)=s(0,k)=0;s(0, 0)=1。

无符号数A(n,k)=s(n,k)满足a(n,k)=a(n-1,k-1)+(n-1)*a(n-1,k),n,k>=1;a(n,0)=a(0,k)=0;a(0, 0)=1。

E.g.f.:对于第m列(无符号):((-log(1-x))^ m)/m!.

S(n,k)=t(n-1,k-1),n>1,k>1,其中t(n,k)是三角形[-1,-1,-2,-2,-3,-3,-4,-4,-5,-5,---,--,……]δ[a,y],…,]和delta是DeleHAM算子定义的A084938. 无符号数也为S(n,k)=t(n-1,k-1),对于n>0和k>0,其中t(n,k)=[ 1, 1, 2,2, 3, 3,4, 4, 5,5,…]δ[1, 0, 1,0, 1, 0,1, 0,…]。

和〔(1)^(n i)斯特林s1〔n,i〕二项式〔i,k〕,{i,0,n}==(- 1)^(n- k)斯特林s1〔n+1,k+1〕。- Carlo Wood(卡罗(AT)Alion.com),2月13日2007

G.f.:S(n)=乘积{{j=1…n}(X-J)(即,(x-1)(x-2)(x-3)=x^ 3 -6x^ 2+11x- 6)。-乔恩佩里11月14日2005

a(n,k)=s(k,n)=(- 1)^(k- n)*s1(k,n)=((-1)^(k n))*(k)!/{(n-1)!* 2 ^(K-N)}*[{ 1 /(K-N)!}*k^(kn-1)-{(1/6)*(1 /(kN-2)!)}*k^(K-N-2)+{(1/72)*(1 /(K-N-4)!)}*k^(K-N-3)-{(1/6480)*(5 /(K-N-6)!- 36 /(K-N-4)!}*k^(K-N-4)+{(1/155520)*(5 /(K-N-8))!- 144 /(K-N-6)!}*k^(K-N-5)-{(1/6531840)*(7 /(K-N-10)!- 504 /(K-N-8)!+ 2304 /(K-N-6)!}*k^(K-N-6)+{(1/1175731200)*(35 /(K-N-12)!- 5040 /(K-N-10)!+ 87264 /(K-N-8)!}*k^(K-N-7)-{(1/7054387200)*(5 /(K-N-14)!- 1260 /(K-N-12)!+ 52704 /(K-N-10)!- 186624 /(K-N-8)!}*k^(K-N-8)+{(1/338610585600)*(5 /(K-N-16)!- 2016 /(K-N-14)!+ 164736 /(K-N-12)!- 2156544 /(K-N-10)!}* k^(K-N-9)-…]-安德鲁·拉博西亚雷3月27日2006

下三角矩阵A000 827*A000 8255=i,单位矩阵。-汤姆·科普兰4月25日2014

A(n,k)=S(n,k)=Limi{{Y->0 } SuMu{{j=0…k}(-1)^ j*二项式(k,j)*((-j*y)!/(-J*Y-N)!* y^(-k)/k!= Suthi{{j=0…k}(-1)^(n- j)*二项式(k,j)*((j*y- 1 +n)!/(J*Y-1)!* y^(-k)/k!-汤姆·科普兰8月28日2015

丹尼尔骗局1月16日2016:(开始)

设x~(0):=1(空乘积),对于n>=1:

Xyn(n):=乘积{{=0…n-1 }(X-K),称为阶乘项(布尔,1970)或阶乘多项式(Eaydii,2005:P.60),以及

x~(-n):=1 / [乘积{{K=0…n-1 }(x+k)〕。

然后,对于n>=1:

x~(n)=SuMu{{k=1…n} t(n,k)*x^ k,

1/[Xi](-n)] = SuMu{{K=1…n} t(n,k)**x^ k,

x^ n=SuMu{{K=1…n}A000 827(n,k)*x~(k),

在哪里?A000 827(n,k)是第二类的斯特灵数。

行和(无论是签名还是绝对值)都是

SuMu{{K=1…n} t(n,k)=0 ^(n-1),

SuMu{{=1…n} t(n,k)=t(n+1,1)=n!(结束)

S(n,m)=((1)^(n m)/n)*SuMi{{i=0…M-1 } C(2×N-M I,M I-1)*A000 85 17(N-M+1,N-M i+ 1)。-弗拉迪米尔克鲁钦宁2月14日2018

例子

三个无序的2-森林有3个顶点和两个增长的(非平面)树:((1),(2,3)),((2),(1,3)),((3),(1,2))。

三角形开始:

- 1, 1

2,3, 1

- 6, 11,6, 1

24,50, 35,10, 1

- 120, 274,- 225, 85,- 15, 1

720,-1764, 1624,-735, 175,-21, 1

- 5040, 13068,-13132, 6769,-1960, 322,-28, 1

40320,-109584, 118124,-67284, 22449,-4536, 546,-36, 1

同一三角形的另一个版本,来自乔尔格阿尔恩特,OCT 05 2009:

S(n,k):=具有精确k周期的n个元素的排列数(“斯特灵循环数”)

n=1,2,3,4,5,6,7,8,9

------------------------------------

1×1 1

2、2、1、1

3、6、2、3、1

4、24、6、11、6、1

5、120、24、50、35、10、1

6,720,120,274,225,85,15,1

7,5040,720,1764,1624,735,175,21,1

8,40320,5040,13068,13132,6769,1960,322,28 1

9,362880,40320,109584,118124,67284,22449,4536,546 36 1

由两个增加的(非平面)树组成:((1),((23)(24))),((2),((13)(14)),((3),((12)(14)),((14),((())));((α),(2,3,4)),((()),(1,2,4)),((α),(1,2,3)),((1,2),(3,4)),((1,3),(2,4)),((1,4),(,))。十一个具有11个顶点的无序2-森林的S(4,2)=十一;-狼人郎2月22日2008

枫树

与(组合):SEQ(SEQLIN(n,k),k=1…n),n=1…10);零度拉霍斯,军03 2007

对于我从0到9做SEQ(斯特林1(I,J),J=1…i)零度拉霍斯11月29日2007

Mathematica

平坦[表[STRIGLS1[n,k],{n,1, 10 },{k,1,n}[] ] [〔1;;47〕]让弗兰5月18日2011*)

黄体脂酮素

(PARI)t(n,k)=(n<1, 0,n)!*PoCOFEFF(二项式(x,n),k)

(PARI)t(n,k)=(n<1, 0,n)!* PoCoFEF(PoCoFEF((1 +x+x*o(x^ n))^ y,n),k)

(PARI)VECSTRILLN(n)=VEC(因子(向量(N-1,I,1-I*’x))/*(一个返回所有S(n,k)为向量的函数)*/\\ Bill Allombert(Bill Allombert(AT)数学,U-BordEux1.FR),3月16日2009

(最大值)CREATEY列表(STRILG1(n+1,k+ 1),n,0, 30,k,0,n);伊曼纽勒穆纳里尼,军01 2012 *

(哈斯克尔)

A00 8255 N K= A000 827 5Tabl!!(N-1)!(K-1)

A000 827 5L行n=A00 827 55Tabl!(N-1)

AAA82555Tabl =图尾$尾A048 99 4a Tabl

——莱因哈德祖姆勒3月18日2013

交叉裁判

Diagonals:A000 0217A000 0914A000 1303A000 0915A053567等。

囊性纤维变性。A049099A000 827(第二类斯特灵数字)A039 814A039 815A039 816A039 817A04903A08788.

囊性纤维变性。A084938A094216A000 827(行反转)A000 827A000 827A094262A121632A130534(无符号版本)A0875(三角形MOD 2)A000 0142(绝对值的行和)。

语境中的顺序:A13871 A121748 A1748*A130534 A10716 A105613

相邻序列:A000 827 A000 827 A000 827*A000 827 A000 827 A000 827

关键词

标志塔布核心

作者

斯隆

地位

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