A008275-OEIS公司

A008275号

由第一类斯特林数行读取的三角形，s（n，k），n>=1，1<=k<=n。

265

1, -1, 1, 2, -3, 1, -6, 11, -6, 1, 24, -50, 35, -10, 1, -120, 274, -225, 85, -15, 1, 720, -1764, 1624, -735, 175, -21, 1, -5040, 13068, -13132, 6769, -1960, 322, -28, 1, 40320, -109584, 118124, -67284, 22449, -4536, 546, -36, 1, -362880, 1026576, -1172700, 723680, -269325, 63273, -9450, 870, -45, 1

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,4

无符号数也称为斯特林循环数：|s（n，k）|=正好有k个循环的n个对象的排列数。

无符号数字（从右到左读取）也给出了复杂度为k的1..n的置换数，其中置换的复杂度定义为周期长度减去周期数之和。换句话说，复杂性等于所有周期的（周期长度）-1之和。对于n=5，复杂度为0、1、2、3、4的排列数为1、10、35、50、24。 -N.J.A.斯隆2019年2月8日

无符号数字也是1..n从左到右最大k的排列数（参见Khovanova和Lewis，Smith）。

其中P（n）=n的整数分区数，T（i，n）=n的第i个分区的部分数，D（i，n）=n第i个划分的不同部分数，P（j，i，n=从i=1到i=p（n）的和，但只考虑T（i，n）=k部分的分区，Product_{j=1..T（i、n）}=从j=1到j=T（i），Product__{j=1..D（i，n）}=从j=1到j=D（i）的积，其中S1（n，k）=sum_[T（i p（j，i，n））*（1/Product_{j=1..D（i，n！).例如，S1（6,3）=225，因为n=6具有以下k=3部分的分区：（114）、（123）、（222）。他们的肤色是：（114）：（6！/1*1*4）*（1/2！*1！）=90，（123）：。络合物之和为90+120+15=225=S1（6,3）。 -托马斯·维德2005年8月4日

行总和等于0。 -乔恩·佩里2005年11月14日

|s（n，k）|枚举由k个递增的非平面（无序）树组成的无序n顶点森林。从第一列和f.Bergeron等参考文献的示例f中，尤其是表1最后一行（非平面“递归”）的证明，见A049029号. -Wolfdieter Lang公司2007年10月12日

|s（n，k）|枚举由k个一元树（从{0,1}出阶r）组成的无序递增n顶点k森林，其深度（距根的距离）j>=0的顶点以j+1种颜色出现（对于k个根，j=0）。 -Wolfdieter Lang公司2007年10月12日，2008年2月22日

无符号数组的细化为A036039号有关“自然生长”的非平面树根森林、旗杆上旗帜的布置以及完整图K_n顶点的颜色，请参见A130534型. -汤姆·科普兰2014年3月30日和4月5日

第一类Stirling数与下降阶乘和1924年Norlund通过求和{k=1..n+1}T（n+1，k）*x^（k-1）=（x-1）卷积或广义Bernoulli数B_n有关！/（x-1-n）！=（x+B.（0））^n=B_n（x），用（B.（0。 -汤姆·科普兰2015年9月29日

使用x=e^z、D_x=D/dx、D_z=D/dz和p_n（x）该条目的行多项式，x^n（D_x）^n=p_n！/（D_z-n）！=（xD_x）！/（xD_x-n）！. -汤姆·科普兰2015年11月27日

从算子关系z+Psi（1）+sum_{n>0}（-1）^n（-1/n）二项式（D，n）=z+Psi（1+D），其中D=D/dz，Psi是digamma函数，Zeta（n+1）=sum_{k>n-1}（1/k）|S（k，n）|/k！对于n>0且Zeta为Riemann-Zeta函数。 -汤姆·科普兰2016年8月12日

设X_1，。..，X_n是平均值为1的指数分布的i.i.d.随机变量。设Y=最大值{X_1，…，X_n}。那么（-1）^n*n！/（Sum_{k=1..n+1}a（n+1，k）t^（k-1））是Y的矩母函数。Y的期望值是n次谐波数。 -杰弗里·克雷策2018年12月25日

在描述无限等位基因模型下大小为n的样本中等位基因类大小的多元概率分布的Ewens抽样理论中，|s（n，k）|给出了n个等位基因样本恰好具有k个不同类型的概率公式中的系数。 -诺亚·A·罗森博格2019年2月10日

尼尔森（1906）以苏格兰数学家詹姆斯·斯特林（1692-1770）的名字命名。 -阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月11日和2023年10月2日

牛顿于1664或1665年写的手稿（Turnbull第169页）中发现了前几行多项式和递归公式，给出了有理幂二项式定理的几何表示。 -汤姆·科普兰，2022年12月10日

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埃里克·魏斯坦的数学世界，置换循环.

埃里克·魏斯坦的数学世界，第一类斯特林数.

托马斯·维德，对A008275的评论.

OEIS Wiki，阶乘多项式.

“核心”序列的索引条目

配方奶粉

s（n，k）=s（n-1，k-1）-（n-1）*s（n-l，k），n，k>=1；s（n，0）=s（0，k）=0；s（0，0）=1。

无符号数a（n，k）=|s（n，k）|满足a（n，k）=a（n-1，k-1）+（n-1）*a（n-1，k），n，k>=1；a（n，0）=a（0，k）=0；a（0，0）=1。

例如：对于第m列（无符号）：（（-log（1-x））^m）/m！。

s（n，k）=T（n-1，k-1），n>1和k>1，其中T（n，k）是三角形[1，-1，-2，-2，-3，-3，-4，-4，-5，-6，-6，…]DELTA[1，0，1A084938号无符号数也是|s（n，k）|=T（n-1，k-1），对于n>0和k>0，其中T（n，k）=[1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，…]Δ[1，0，1，0，1，0，1，0，0，…]。

求和{i=0..n}（-1）^（n-i）*斯特林S1（n，i）*二项式（i，k）=（-1）*（n-k）*斯特林S1（n+1，k+1）。-卡罗·伍德（Carlo（AT）alinoe.com），2007年2月13日

第n行的G.f:Product_{j=1..n}（x-j）（例如，（x-1）*（x-2）*（x-3）=x^3-6*x^2+11*x-6）。 -乔恩·佩里2005年11月14日

s（n，k）=A048994号（n，k），对于k=1..n-莱因哈德·祖姆凯勒，2013年3月18日（修订人N.J.A.斯隆，2025年5月7日，根据曼弗雷德·博尔根斯2025年5月7日）

作为下三角矩阵A008277号*A008275号=I，单位矩阵-汤姆·科普兰2014年4月25日

a（n，k）=s（n，k）=lim_{y->0}和{j=0..k}（-1）^j*二项式（k，j）*（（-j*y）！/（-j*y-n）！)*y^（-k）/k！=和{j=0..k}（-1）^（n-j）*二项式（k，j）*（（j*y-1+n）！/（j*y-1）！)*y^（-k）/k！. -汤姆·科普兰2015年8月28日

发件人丹尼尔·福格斯2016年1月16日：（开始）

设x_（0）：=1（空积），且对于n>=1：

x_（n）：=Product_{k=0..n-1}（x-k），称为阶乘项（Boole，1970）或阶乘多项式（Elaydi，2005:p.60），以及x_（-n）：=1/[Product_{k=0..n-1{（x+k）]。

然后，对于n>=1:x_（n）=Sum_{k=1..n}T（n，k）*x^k，1/[x_（-n）]=Sum_{k=1A008277号（n，k）*x（k），其中A008277号（n，k）是第二类斯特林数。

行和（有符号值或绝对值）是和{k=1..n}T（n，k）=0^（n-1），和{k=1..n}|T（n、k）|=T（n+1）=n！.（结束）

s（n，m）=（（-1）^（n-m）/n）*和{i=0..m-1}C（2*n-m-i，m-i-1）*2008年5月17日（n-m+1，n-m-i+1）。 -弗拉基米尔·克鲁奇宁2018年2月14日

正交关系：和{i=0..n}i^p*和{j=k.n}（-1）^（i+j）*二项式（j，i）*斯特林1（j，k）/j！=δ（p，k），i，k，p<=n，n>=1。 -Leonid Bedratyuk公司2020年7月27日

发件人紫郑芳2020年12月28日：（开始）

求和{k=1..n}（-1）^k*k*T（n，k）=-T（n+1，2）。

求和{k=1..n}k*T（n，k）=（-1）^n*（n-2）！当n>=2时，=T（n-1，1）。（结束）

第n行多项式=n！*求和{k=0..2*n}（-1）^（n+k）*二项式（x，k）*二项式（x-1，2*n-k）=n！*求和{k=0..2*n+1}（-1）^（n+k+1）*二项式（x，k）*二项式（x-1，2*n+1-k）。 -彼得·巴拉2024年3月29日

例子

|s（3,2）|=3，对于三个无序2-森林，有三个顶点和两个增加（非平面）树：（1），（2,3）），（2），（1,3））（3），（1，2））。

三角形开始：

-1, 1

2, -3, 1

-6, 11, -6, 1

24, -50, 35, -10, 1

-120, 274, -225, 85, -15, 1

720, -1764, 1624, -735, 175, -21, 1

-5040, 13068, -13132, 6769, -1960, 322, -28, 1

40320, -109584, 118124, -67284, 22449, -4536, 546, -36, 1

同一三角形的另一个版本，来自乔格·阿恩特，2009年10月5日：（开始）

s（n，k）：=恰好具有k个循环的n个元素的置换数（“斯特林循环数”）

n |总m=1 2 3 4 5 6 7 8 9

-+-----------------------------------------------------

1| 1 1

2| 2 1 1

3| 6 2 3 1

4| 24 6 11 6 1

5| 120 24 50 35 10 1

6| 720 120 274 225 85 15 1

7| 5040 720 1764 1624 735 175 21 1

8| 40320 5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1

9| 362880 40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1

（结束）

|s（4,2）|=11是由（1），（23）（24）），（2），（13）（14），（3），（12）（14； ((1),(2,3,4)),((2),(1,2,3)), ((3), (1,2,4)), ((4),(1,2,3)); ((1,2),(3,4)), ((1,3),(2,4)), ((1,4),(2,3)). -Wolfdieter Lang公司，2008年2月22日

MAPLE公司

与（组合）：seq（seq（stirling1（n，k），k=1..n），n=1..10）； #零入侵拉霍斯2007年6月3日

对于从0到9的i，执行seq（stirling1（i，j），j=1。.i）od； #零入侵拉霍斯2007年11月29日

数学

压扁[表[StirlingS1[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日*）

扁平@桌子[系数[积[x-k，{k，0，n-1}]，x，范围[n]]，{n，范围[10]}](*奥利弗·塞佩尔2024年6月11日*）

a[n，n]：=1；a[n，0]：=0；a[0，k_]：=0；

a[n，k]：=a[n、k]=a[n-1，k-1]+（n-1）a[n-1，k]；

扁平@桌子[（-1）^（n-k）a[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}](*奥利弗·塞佩尔2024年6月11日*）

黄体脂酮素

（PARI）T（n，k）=如果（n<1，0，n！*polcoeff（二项式（x，n），k））

（PARI）T（n，k）=如果（n<1，0，n！*polceoff（polceof（（1+x+x*O（x^n））^y，n），k））