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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A008275号 由第一类斯特林数行读取的三角形,s(n,k),n>=1,1<=k<=n。 226
1,-1,1,2,-3,1,-6,1,24,-50,35,-10,1,-120,274,-225,85,-15,1,720,-1764,1624,-735,175,-21,1,-5040,13068,-13132,6769,-1960,322,-28,1,40320,-109584,118124,-67284,22449,-4536,546,-36,1,-362880,1026576,-11722700,723680,-269325,63273,-9450,870,-45,1 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,4个

评论

无符号数也被称为斯特林圈数:| s(n,k)|=n个对象的排列数,正好有k个圈。

无符号数(从右到左读)也给出了复杂度为k的1..n置换数,其中置换的复杂度定义为循环长度减去循环数的总和。所有循环的长度(1)的总和。当n=5时,复杂度为0,1,2,3,4的置换数为1,10,35,50,24。-N、 斯隆2019年2月8日

无符号数也是1..n的排列数,k从左到右最大(参见Khovanova和Lewis,Smith)。

其中P(n)=n的整数分区数,T(i,n)=n的第i个分区的个数,D(i,n)=n的第i个分区的不同部分的个数,P(j,i,n)=n的第i个分区的j个部分的重数,和,n) {i=j=1..T(i,n)}=产品从j=1运行到i=D i=P(n)但只考虑具有T(i,i,n)=k部分的分区分区,产品{j=j=1..T(i,i,n)}=产品运行从j=1从j=1到j=T(i,i,n),产品{j=1..D(i,n)}=产品运行从j=1从j=1到j=D(i,i,n)的产品{j=1..D(i,i,n)D)D(i,n)的一个有S1 n,k)=k[T(i,i,n)=k]k]的{i=1}{i=1}}^{P(n)}(n!/乘积{j=1..T(i,n)}p(j,i,n))*(1/产品{j=1..D(i,n)}m(j,i,n)!)。例如,S1(6,3)=225,因为n=6具有以下k=3部分的分区:(114)、(123)、(222)。他们的肤色是:(114):(6!/1*1*4)*(1/2!*1!)=90,(123):(6!/*1*1/3)*(1*1/3)!*1号!*1!)=120,(222):(6!/2*2*2)*(1/3!)=15。肤色之和为90+120+15=225=S1(6,3)。-托马斯·威德2005年8月4日

行和等于0。-乔恩·佩里2005年11月14日

|s(n,k)|枚举由k个递增的非平面(无序)树组成的无序n顶点森林。从第一列的e.g.f.和f.Bergeron等人。参考,尤其是表1,最后一行(非平面“递归”),见A049029号. -狼牙2007年10月12日

|s(n,k)|枚举由k棵一元树(从{0,1}出度r)组成的无序递增n顶点k-森林,其深度(距根的距离)j>=0的顶点为j+1颜色(k根的j=0)。-狼牙,2007年10月12日,2008年2月22日

T(n,k)=A048993号(n,k),对于k=1..n-莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月18日

无符号数组的精化是A036039号. 有关“自然生长”的有根非平面树的森林的关联,旗杆上旗子的配置,以及完整图K帴n顶点的着色,请参见邮编:A130534. -汤姆·科普兰2014年3月30日至4月5日

第一类斯特林数与下降阶乘和诺伦德在1924年通过和{k=1..n+1}T(n+1,k)*x^(k-1)=(x-1)卷积或推广的伯努利数B峎n有关!/(x-1-n)!=(x+B.(0))^n=B\u n(x),用(B(0))^k=B\u k(0)和由e.g.f.(t/(exp(t)-1))^(n+1)*exp(x*t)=exp(B.(x)t)定义的相关Appell多项式B_n(x)(x)。-汤姆·科普兰2015年9月29日

如果x=e^z,D_x=D/dx,D_z=D/dz,并且p_n(x)是此条目的行多项式,则x^n(D_x)^n=p_n(D_z)=(D_z)!/(D逖z-n)!=(xD_x)!/(xD_x-n)!。-汤姆·科普兰2015年11月27日

从z+Psi(1)+sum{n>0}(-1)^n(-1/n)二项式(D,n)=z+Psi(1+D),D=D/dz,Psi是digamma函数,Zeta(n+1)=sum{k>n-1}(1/k)|/k!对于n>0和Zeta,Riemann-Zeta函数。-汤姆·科普兰2016年8月12日

设X_1,…,X u n是指数分布的i.i.d.随机变量,平均值为1。设Y=max{X_1,…,X u n}。则(-1)^n*n!/(和{k=1..n+1}a(n+1,k)t^(k-1))是Y的矩母函数,Y的期望值是第n次谐波数。-杰弗里·克里特2018年12月25日

在无限等位基因模型下描述n大小样本中等位基因类大小的多元概率分布的Ewens抽样理论中,| s(n,k)|给出了n个等位基因样本具有k个不同类型的概率公式中的系数。-诺亚A罗森博格2019年2月10日

参考文献

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埃里克·韦斯坦的数学世界,置换循环.

埃里克·韦斯坦的数学世界,第一类斯特林数.

托马斯·威德,对A008275的评论.

OEIS维基,阶乘多项式.

“核心”序列的索引项

公式

s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)*s(n-1,k),n,k>=1;s(n,0)=s(0,k)=0;s(0,0)=1。

无符号数a(n,k)=| s(n,k)|满足a(n,k)=a(n-1,k-1)+(n-1)*a(n-1,k),n,k>=1;a(n,0)=a(0,k)=0;a(0,0)=1。

E、 g.f.:对于第m列(无符号):(-log(1-x))^m)/m!。

s(n,k)=T(n-1,k-1),n>1且k>1,其中T(n,k)是三角形[-1,-1,-2,-2,-3,-3,-4,-5,-5,-6,-6,…]DELTA[1,0,1,0,0,1,…]DELTA是Deléham在A084938号. 1,T=0,4,…(1,k,0,…,n,0,4)和(1,k,0,…)n(1,4,…,n,0,…,n,0,4,n,0,n,0,…(1,0,4,n,0,…,n,0,4,n,0,…,0,n,…,0,n,0,…(1,0,4,n,0,…,0,n,0,4,n,0,n,0,n,0,0,n,0。

和{i=0..n}(-1)^(n-i)*StirlingS1(n,i)*二项式(i,k)=(-1)^(n-k)*StirlingS1(n+1,k+1)。-卡洛·伍德(Carlo(AT)alinoe.com),2007年2月13日

G、 f.:S(n)=积{j=1..n}(x-j)(即,(x-1)*(x-2)*(x-3)=x^3-6*x^2+11*x-6)。-乔恩·佩里2005年11月14日

a(n,k)=s(k,n)=(-1)^(k-n)*S1(k,n)=((-1)^(k-n))*(k!/{(1-n)!*2^(k-n)})*[{1/(k-n)!}*k^(k-n-1)—{(1/6)*(1/(k-n-2)!)}*k^(k-n-2)+{(1/72)*(1/(k-n-4)!)}*k^(k-n-3)—{(1/6480)*(5/(k-n-6)!-36/(k-n-4)!)}*k^(k-n-4)+{(1/155520)*(5/(k-n-8)!-144/(k-n-6)!)}*k^(k-n-5)—{(1/6531840)*(7/(k-n-10)!-504/(k-n-8)!+2304/(k-n-6)!)}*k^(k-n-6)+{(1/1175731200)*(35/(k-n-12)!-5040/(k-n-10)!+87264/(k-n-8)!)}*k^(k-n-7)—{(1/7054387200)*(5/(k-n-14)!-1260/(k-n-12)!+52704/(k-n-10)!-186624/(k-n-8)!)}*k^(k-n-8)+{(1/338610585600)*(5/(k-n-16)!-2016/(k-n-14)!+164736/(k-n-12)!-2156544/(k-n-10)!)}*k^(k-n-9)-。。。。。]. -安德烈夫·拉博西2006年3月27日

作为下三角矩阵A008277号*A008275号=I,单位矩阵。-汤姆·科普兰2014年4月25日

a(n,k)=s(n,k)=lim{y->0}和{j=0..k}(-1)^j*二项式(k,j)*((-j*y)!/(-j*y-n)!)*是^(-k)/k!=和{j=0..k}(-1)^(n-j)*二项式(k,j)*((j*y-1+n)!/(j*y-1)!)*是^(-k)/k!。-汤姆·科普兰2015年8月28日

丹尼尔放弃了2016年1月16日:(开始)

设x_(0):=1(空积),对于n>=1:

x_u(n):=乘积{k=0..n-1}(x-k),称为阶乘项(Boole,1970)或阶乘多项式(Elaydi,2005:p.60),以及

x~(-n):=1/[乘积{k=0..n-1}(x+k)]。

那么,对于n>=1:

x(n)=和{k=1..n}T(n,k)*x^k,

1/[x_(-n)]=和{k=1..n}| T(n,k)|*x^k,

x^n=和{k=1..n}A008277号(n,k)*x(k),

哪里A008277号(n,k)是第二类斯特林数。

行和(有符号值或绝对值)是

和{k=1..n}T(n,k)=0^(n-1),

和{k=1..n}| T(n,k)|=T(n+1,1)=n!。(结束)

s(n,m)=((-1)^(n-m)/n)*和{i=0..m-1}C(2*n-m-i,m-i-1)*A008517型(n-m+1,n-m-i+1)。-弗拉基米尔·克鲁基宁2018年2月14日

例子

|s(3,2)|=3,对于三个顶点为3,两个递增(非平面)树的2-森林:((1),(2,3),((2),(1,3),((3),(1,2))。

三角形开始:

1

-1,1

2、-3、1

-6,11,-6,1

24、-50、35、-10、1

-120、274、-225、85、-15、1

720,-1764,1624,-735,175,-21,1

-5040、13068、-13132、6769、-1960、322、-28、1

40320,-109584,118124,-67284,22449,-4536,546,-36,1

同一个三角形的另一个版本乔尔阿恩特2009年10月5日:

s(n,k):=n个元素的排列数,正好有k个圈(“Stirling圈数”)

n |总m=1 2 3 4 5 6 7 8 9

  -+-----------------------------------------------------

1 | 11

2 | 2 1 1 1

3 | 6 2 3 1

4 | 24 6 11 6 1

5 | 120 24 50 35 10 1

6 | 720 120 274 225 85 15 1

7 | 5040 720 1764 1624 735 175 21 1

8 | 40320 5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1

9 | 362880 40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1

|s(4,2)|=11的11个具有4个顶点的4点无序2-森林,由两个增加(非平面)的树木组成的11个无序2-森林4顶点,由两个增加(非平面)树组成的树木组成的11个无序2-森林,由两个增加(非平面)的树木组成:((1),((23)(24)),((2),(12)(14),(4),(4),(1,2,2),11(11,(4),(2,2,4),(4),(1,2,2,3),(4),(1,2,2,3),((1,2,2,4),((1,2,4)),((1,3,3,4),(1,(1,3,4),(2,4),(4),(4)4)(2,3))。-狼牙2008年2月22日

枫木

有(组合):seq(seq(斯特林1(n,k),k=1..n),n=1..10)#泽伦瓦拉乔斯2007年6月3日

对于从0到9的i,按顺序(stirling1(i,j),j=1。。i) 外径#泽伦瓦拉乔斯2007年11月29日

数学

展平[表格[StirlingS1[n,k],{n,1,10},{k,1,n}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年5月18日*)

黄体脂酮素

(PARI)T(n,k)=如果(n<1,0,n!*波尔科夫(二项式(x,n,k))

(PARI)T(n,k)=如果(n<1,0,n!*^x(系数x+O)

(PARI)vecstirling(n)=Vec(factorback(vector(n-1,i,1-i*'x))/*(一个以向量形式返回所有s(n,k)的函数)*/\\Bill Allombert(Bill.Allombert(AT)math.u-bordeaux1.fr),2009年3月16日

(Maxima)创建_列表(stirling1(n+1,k+1),n,0,30,k,0,n)/*伊曼纽尔·穆纳里尼2012年6月1日*/

(哈斯克尔)

a008275 n k=a008275表格!!(n-1)!!(k-1)

a008275第n行=a008275表格!!(n-1)

a008275_tabl=地图尾$tail a048994_tabl

--莱因哈德·祖姆凯勒2013年3月18日

交叉引用

对角线:A000217,A000914型,013A003,A000915型,A053567号等等。

囊性纤维变性。A048994号,A008277号(第二类斯特林数),A039814号,A039815号,A039816号,A039817号,A048993号,A087748号.

囊性纤维变性。A084938号,A094216,A008276号(行反转),A027087年,A0278号,A094262号,A121632型,邮编:A130534(未签名版本),A087755号(三角形模型2),A000142号(绝对值的行和)。

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N、 斯隆

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