Gamma函数

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（完整）伽马函数定义为阶乘的到复杂的和真实的数论据。它与阶乘的通过

(1)

由于勒让德（Legendre）现在被普遍使用而不是高斯（Gauss）的更简单的符号而产生的一种略显不幸的符号（高斯1812；爱德华兹2001，第8页）。

它是分析的除了,,,……和残留物是

(2)

没有分数在其中.

gamma函数在沃尔夫拉姆语言作为伽马射线[z（z）].

有许多常用的符号约定来表示伽马函数的幂。而像Watson（1939）这样的作者使用（即使用类似三角函数的约定），书写也很常见.

伽马函数可以定义为定积分对于（欧拉积分形式）

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或

(5)

完整的伽马函数可以推广到上不完整的伽马函数和更低不完全伽马函数 .

	分钟	马克斯
重新
伊姆河

真实和虚构部分的绘图在复杂平面中，如上图所示。

正在集成方程式(三)按零件为真实的可以看出

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如果是一个整数 , 2, 3, ..., 然后

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所以伽马函数减少到阶乘的对于一正整数参数。

美好的关系和黎曼zeta函数由提供

(14)

对于（哈维尔，2003年，第60页）。

伽马函数也可以由无限的产品形式(Weierstrass形式)

(15)

哪里是Euler-Mascheroni常数（将军1999年，第157页；哈维尔2003年，第57页）。取的两边的对数(◇),

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差异化，

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哪里是地高玛函数和是多囊蜂功能.第个导数表示为多囊蜂功能 ,, ...,.

最小值属于对于真实的积极的在以下情况下实现

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这可以通过数值求解得出（组织环境信息系统A030169号;扳手1968），其具有连分数[1,2,6,63,135,1,1,1,1,4,1,38…]（OEISA030170型).在,达到0.8856031944。。。（组织环境信息系统A030171号)，其中有继续的分数[0、1、7、1、2、1、6、1、1…]（OEISA030172号).

欧拉极限形式为

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所以

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（《将军》1999年，第156页）。

伽马函数上的一个是一个整个函数可以表示为

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哪里是欧拉-马斯切罗尼常数和是黎曼zeta函数（扳手1968）。安渐近级数对于由提供

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写作

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这个满足

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（布尔盖1883年，戴维斯1933年，艾萨克森和萨尔泽1943年，扳手1968年）。Wrench（1968）对级数展开系数进行了数值计算，约为0

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这个Lanczos近似给出了对于用任意常数表示这样的话.

伽马函数满足函数方程

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其他身份包括

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使用(41)，伽玛函数有理数的可以减少到恒定的时间或例如，

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对于,

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参数的伽马函数可以使用勒让德复制公式

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参数的伽马函数可以用三倍公式表示

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一般结果是高斯乘法公式

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伽马函数也与黎曼-泽塔函数通过

(53)

对于整数,2, ..., 的前几个值分别为1、1、2、6、24、120、720、5040、40320、362880，…（OEIS）A000142号). 对于半整数参数，具有特殊形式

(54)

哪里是一个双阶乘。的前几个值, 3, 5, ... 因此

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,, ... （组织环境信息系统A001147号和A000079号; Wells 1986，第40页）。一般来说，对于一正整数 , 2, ...

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对于，此类型的简单封闭形式表达式似乎不存在对于正整数然而，Borwein和Zucker（1992）给出了伽马函数与平方根的恒等式椭圆形积分奇异值即。，椭圆模量这样的话

(62)

哪里是一个完全椭圆积分第一类和是互补积分。M.Trott（pers.comm.）开发了一种自动生成数百个这样的身份。

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坎贝尔（Campbell）（1966年，第31页）中也给出了其中一些。

一些奇怪的身份包括

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其中Magnus和Oberhettinger（1949年，第1页）只给出了最后一个案例

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（马格努斯和奥伯赫廷格1949年，第1页）。Ramanujan还给出了一些令人着迷的身份：

(92)

φ（m，n）φ（n，m）=（伽马^3（m+1）伽马^ 3（n+1））/（伽马（2m+n+1）伽玛（2n+m+1））×（cosh[pi（m+n）sqrt（3）]-cos[pi[m-n）]）/（2pi^2（m^2+mn+n^2）），

(93)

哪里

(94)

(95)

（伯恩特，1994年）。

Ramanujan给出了无限的总和

sum_（k=0）^inff（8k+1）[（伽马（k+1/4））/（k！伽马（1/4））]^4=1+9(1/4)^4+17((1·5)/(4·8))^4+25((1·5·9)/(4·8·12))^4+... =（2^（3/2））/（sqrt（pi）[伽马（3/4）]^2）

(96)

和

sum_（k=0）^infty（-1）^k（4k+1）[（（2k-1）！！）/（（2k）！）]^5=1-5(1/2)^5+9((1·3)/(2·4))^5-13((1·3·5)/(2·4·6))^5+... =2/（[伽马（3/4）]^4）

(97)

（哈代1923；哈代1924；惠普尔1926；沃森1931；贝利1935；哈代1999，第7页）。

以下内容渐近级数在概率论中偶尔有用（例如一维的随机游走):

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（组织环境信息系统A143503型和A061549号; 格雷厄姆等。1994). 这个级数也给出了一个很好的渐近推广属于第一类斯特林数到小数。

众所周知是超越的（Davis 1959），照原样（Le Lionnais 1983；Borwein and Bailey 2003，p.138），而Chudnovsky显然最近证明了就是它自己超越的（博文和贝利2003年，第138页）。

对于对于所有整数（Borwein和Bailey，2003年，第137页）。例如收敛迭代（组织环境信息系统A068466号)通过定义

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设置和,然后

(101)

（Borwein和Bailey，2003年，第137-138页）。

没有已知的此类迭代（博文和博文1987；博文和扎克1992；Borwein和Bailey，2003年，第138页）。

另请参见

贝利定理,巴恩斯G函数,比奈斐波那契数公式,Bohr-Mollerup定理,迪加玛功能,弗兰斯·罗宾逊常数高斯乘法公式,不完整Gamma函数,克纳尔公式,兰姆达功能,Lanczos近似,Legendre复制公式,日志Gamma函数,梅林公式,亩功能,Nu函数,皮尔逊功能,Polygamma函数,正规化Gamma函数,斯特林系列,超阶乘探索此主题在数学世界的课堂上

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。“伽马（阶乘）函数”和“不完全伽马函数”。§6.1和6.5英寸手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第255-258和260-263页，1972年。Arfken，G.“The伽马函数（阶乘函数）。“通道10英寸数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第339-341页以及539-5721985。阿廷，E。这个伽马函数。纽约：霍尔特、莱茵哈特和温斯顿，1964年。贝利，西北部。概括超几何级数。英国剑桥：剑桥大学出版社，1935年。伯恩特，公元前。拉马努詹氏笔记本，第四部分。纽约：Springer-Verlag，第334-3421994页。拜尔，W.H.公司。CRC公司标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第218页，1987Borwein，J.和Bailey，D。数学实验：21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利：AK Peters，2003年。Borwein，J.和Borwein，P.B。圆周率&AGM:分析数论和计算复杂性研究。纽约：Wiley，第6页，1987年。博温，J.M。和I.J.Zucker。“使用Complete快速评估小有理分式的Gamma函数第一类椭圆积分。"IMA J.数值分析 12,519-526, 1992.Bourguet，L.“欧洲的国际事务et quelques autres功能统一。"数学学报。 2, 261-295,1883坎贝尔，R。《欧莱里安与勒乌斯的艺术》（Les intégrales eulériennes et leurs）应用。巴黎：Dunod，1966年。H.T.戴维斯。表，共个高等数学函数。印第安纳州布卢明顿：普林西比亚出版社，1933年。戴维斯，P.J.公司。“Leonhard Euler积分：伽马函数的历史简介。”阿默尔。数学。每月 66, 849-869, 1959.爱德华兹，H.M。黎曼氏Zeta函数。纽约：多佛，2001年。埃尔代利，A。；马格纳斯，W。；Oberhettinger，F。；和F.G.特里科米。“伽马函数”第1章在里面较高的先验函数，第1卷。纽约：克里格，第1-55页，1981芬奇，S.R。“Euler-Mascheroni常数”§1.5在里面数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第28-40页，2003高斯，C.F。“无限巡回检察长”

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"和“不完全伽玛射线

和相关功能。“第43章和第45章在里面安功能地图集。华盛顿特区：《半球》，第411-421和435-443页，1987G.N.沃森。“Ramanujan提出的定理（XI）。”J.伦敦数学。Soc公司。 6, 59-65, 1931.G.N.沃森。“三重积分。”夸脱。数学杂志。，牛津大学。2 10,266-276, 1939.威尔斯，D。这个企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯：企鹅图书，第40页，1986年。F.J.惠普尔。西。“A广义超几何级数之间的基本关系。"J.伦敦数学。Soc公司。 1, 138-145, 1926.惠特克，E.T。和Watson，G.编号。一现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。扳手，J.W。Jr.“关于伽马函数。"数学。计算。 22, 617-626, 1968.

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Gamma函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“伽马函数”。来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

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