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Gamma函数


伽马函数

(完整)伽马函数伽马(n)定义为阶乘的复杂的真实的论点。它与阶乘的通过

 伽马(n)=(n-1)!,
(1)

由于勒让德(Legendre)现在被普遍使用而不是高斯(Gauss)的更简单的符号而产生的一种略显不幸的符号Pi(n)=n!(高斯1812;爱德华兹2001,第8页)。

它是分析的除了在z=0,-1,-2,……和残留物z=-k

 Res_(z=-k)伽马(z)=((-1)^k)/(k!)。
(2)

没有积分z(z)在其中伽马(z)=0.

gamma函数在Wolfram公司语言作为伽马射线[z(z)].

有许多常用的符号约定来表示伽马函数的幂。虽然沃森(1939)等作者使用伽玛^n(z)(即使用类似三角函数的约定),书写也很常见[伽马射线(z)]^n.

伽马函数可以定义为定积分对于R[z]>0(欧拉积分形式)

伽马(z)=int_0^inftyt^(z-1)e^(-t)dt
(3)
=2int_0^inftye^(-t^2)t^(2z-1)dt,
(4)

 伽马(z)=int_0^1[ln(1/t)]^(z-1)dt。
(5)

完整的伽马函数伽马(x)可以推广到上不完整的伽马函数 伽马(a,x)和更低不完全伽马函数 γ(a,x).

γReImAbs
分钟 马克斯
重新
伊姆河 由webMathematica提供支持

真实和虚构部分的绘图伽马(z)在复杂平面中,如上图所示。

正在集成方程式()按零件为真实的可以看出

伽马(x)=int_0^输入t^(x-1)e^(-t)dt
(6)
=[-t^(x-1)e^(-t)]_0^infty+int_0^inffy(x-1
(7)
=(x-1)int_0^inftyt^(x-2)e^(-t)dt
(8)
=(x-1)伽马射线。
(9)

如果x个是一个整数 n=1,2,3。。。,然后

伽马(n)=(n-1)伽马
(10)
=(n-1)(n-2)伽马
(11)
=(n-1)(n-2)。。。1
(12)
=(n-1)!,
(13)

所以伽马函数减少到阶乘的对于正整数参数。

美好的关系伽马(z)黎曼zeta函数 泽塔(z)由提供

 zeta(z)Gamma(z)=int_0^infty(u^(z-1))/(e^u-1)du
(14)

对于R[z]>1(哈维尔2003年,第60页)。

伽马函数也可以由无限的产品形式(Weierstrass形式)

 伽马(z)=[ze^(gammaz)product_(r=1)^infty(1+z/r)e^(-z/r)]^(-1),
(15)

哪里伽马射线Euler-Mascheroni常数(将军1999年,第157页;哈维尔2003年,第57页)。取的两边的对数(◇),

 -ln[Gamma(z)]=lnz+gammaz+sum_(n=1)^infty[ln(1+z/n)-z/n]。
(16)

差异化,

-(伽马^'(z))/(伽马(z)=1/z+γ+总和(n=1)^(infty)((1/n)/(1+z/n)-1/n)
(17)
=1/z+γ+总和(n=1)^(infty)(1/(n+z)-1/n)
(18)
伽马^'(z)=-伽马(z)[1/z+Gamma+sum_(n=1)^(infty)(1/(n+z)-1/n)]
(19)
=伽马(z)Psi(z)
(20)
=伽马(z)psi_0(z)
(21)
伽马射线^'(1)=-伽马(1){1+伽马+[(1/2-1)+(1/3-1/2)+…+(1/(n+1)-1/n)+…]}
(22)
=-(1+γ-1)
(23)
=-伽马射线
(24)
伽马^'(n)=-伽马(n){1/n+伽马+[(1/(1+n)-1)+(1/[(2+n)-1/2)+(1/1(3+n)-1/3)+…]}
(25)
=-(n-1)!(1/n+gamma-sum_(k=1)^(n)1/k),
(26)

哪里磅/平方英寸(z)地高玛函数psi0(z)一夫多妻制功能.n个第个导数表示为多囊蜂功能 psi_n(磅/平方英寸),psi(n-1), ...,磅/平方英寸0.

最小值x_0个属于伽马(x)对于真实的 积极的 x=x_0在以下情况下实现

 伽马^'(x_0)=伽马(x_0)psi_0(x_0s)=0
(27)
 psi0(x0)=0。
(28)

这可以通过数值求解得出x_0=1.46163。。。(组织环境信息系统A030169号;扳手1968),其具有连分数[1,2,6,63,135,1,1,1,1,4,1,38…](OEISA030170型).x_0个,伽马(x_0)达到0.8856031944。。。(组织环境信息系统A030171号),其中有继续的分数[0、1、7、1、2、1、6、1、1…](OEISA030172号).

欧拉极限形式为

 伽马(z)=1/zproduct_(n=1)^infty[(1+1/n)^z(1+z/n)_(-1)],
(29)

所以

伽马(z)=lim_(n->infty)((n+1)^z)/(z(1+z)(1+z/2)(1+z/3)。。。(1+z/n)
(30)
=lim(n->infty)((n+1)^zn!)/(z(z+1)(z+2)(z+3)。。。(z+n))
(31)
=lim_(n->infty)(n!)/((z)_(n+1))(n+1)^z
(32)
=lim(n->infty)(n!)/(z)(n+1))n^z
(33)

(《将军》1999年,第156页)。

伽马函数上的一个1/伽马(z)是一个整体功能可以表示为

 1/(伽马(z))=zexp[gammaz-sum_(k=2)^infty((-1)^kzeta(k)z^k)/k],
(34)

哪里伽马射线Euler-Mascheroni常数泽塔(z)黎曼zeta函数(扳手1968)。渐近级数对于1/伽马(z)由提供

 1/(伽马(z))~z+gammaz^2+1/(12)(6gamma^2-pi^2)z^3+1/(12)[2gamma^3-gammapi^2+4zeta(3)]z^4+。。。。
(35)

写作

 1/(伽马(z))=sum_(k=1)^inftya_kz^k,
(36)

这个(_k)满足

 a_n=na_1a_n-a_2a(n-1)+总和(k=2)^n(-1)^kzeta(k)a(n-k)
(37)

(布尔盖1883年,戴维斯1933年,艾萨克森和萨尔泽1943年,扳手1968年)。Wrench(1968)对级数展开系数进行了数值计算,约为0

 1/(z(1+z)伽马(z))=1+(伽马-1)z+[1+1/2(伽马-2)伽马-1/(12)pi^2]z^2+。。。。
(38)

这个Lanczos近似给出了伽马(z+1)对于z> 0个用任意常数表示西格玛这样的话R[z+西格玛+1/2]>0.

伽马函数满足函数方程

伽马(1+z)=zGamma(z)
(39)
伽马(1-z)=-zGamma(-z)。
(40)

其他身份是

伽马(x)伽马(-x)=-pi/(xsin(pix))
(41)
伽马(x)伽马(1-x)=pi/(sin(pix))
(42)
|(ix)|^2=(像素)/(正弦(像素))
(43)
|(n+ix)|=sqrt((像素)/(正弦(像素)))产品_(s=1)^(n)平方码(s^2+x^2)。
(44)

使用(41),伽玛函数伽马(r)有理数的第页可以减少到恒定的时间伽马(压裂(r))1/伽马(压裂(r))例如,

伽马(2/3)=(2pi)/(sqrt(3)伽马(1/3))
(45)
伽马(3/4)=(平方(2)π)/(伽马(1/4))
(46)
伽马(3/5)=平方(2-2/(平方(5)))pi/(伽马(2/5))
(47)
伽马(4/5)=平方(2+2/(平方(5)))π/(伽马(1/5))。
(48)

对于R[z]=-1/2,

 |(-1/2+iy)|^2=pi/(cosh(piy))。
(49)

参数的伽马函数2盎司可以使用勒让德复制公式

 γ(2z)=(2pi)^(-1/2)2^(2z-1/2)γ(z)γ(z+1/2)。
(50)

参数的伽马函数3赫兹可以用三倍公式表示

 γ(3z)=(2pi)^(-1)3^(3z-1/2)γ(z)γ(z+1/3)伽马(z+2/3)。
(51)

一般结果是高斯乘法公式

 伽马(z)伽马(z+1/n)。。。伽玛(z+(n-1)/n)=(2pi)^((n-1)/2)n^(1/2-nz)伽玛(nz)。
(52)

伽马函数也与黎曼-泽塔函数 泽塔(z)通过

 伽马(s/2)pi^(-s/2)zeta。
(53)

对于整数n=1,2, ..., 的前几个值伽玛(n)是1、1、2、6、24、120、720、5040、40320、362880、,…(OEIS)A000142号). 对于半整数参数,伽马(n/2)具有特殊形式

 伽马(1/2n)=(n-2)!!平方(pi))/(2^((n-1)/2)),
(54)

哪里不!!是一个双阶乘。的前几个值n=1, 3, 5, ... 因此

伽马(1/2)=平方(pi)
(55)
伽马(3/2)=1/2平方(pi)
(56)
伽马(5/2)=3/4平方米(pi),
(57)

15平方米(pi)/8,105平方米(pi)/16, ... (组织环境信息系统A001147号A000079号; Wells 1986,第40页)。一般来说,对于n个正整数 n=1, 2, ...

伽马(1/2+n)=(1·3·5…(2n-1))/(2^n)平方(pi)
(58)
=((2n-1)!!)/(2^n)平方英尺(π)
(59)
伽马(1/2-n)=(-1)^n2^n)/(1.3·5…(2n-1))平方(pi)
(60)
=((-1)^n2^n)/((2n-1)!)平方英尺(圆周率)。
(61)

对于,似乎不存在此类型的简单闭式表达式伽马(1/n)对于n个正整数n> 2个然而,Borwein和Zucker(1992)给出了将伽玛函数与平方根相关的恒等式椭圆形积分奇异值 kN(千牛顿)即。,椭圆模量 kN(千牛顿)这样的话

 (K^’(K_n))/(K(kN))=平方米(n),
(62)

哪里K(K)是一个完全椭圆积分第一类K^'(K)=K(K^')=K是互补积分。M.Trott(pers.comm.)开发了一种自动生成数百个这样的身份。

伽马(1/3)=2^(7/9)3^(-1/12)pi^(1/3)[K(K_3)]^(1/3)
(63)
伽马(1/4)=2pi^(1/4)[K(K_1)]^(1/2)
(64)
伽马(1/6)=2^(-1/3)3^(1/2)pi^(-1-2)[伽马(1/3)]^2
(65)
伽马(1/8)伽马(3/8)=(平方(2)-1)^(1/2)2^(13/4)pi^(1/2)K(K_2)
(66)
(伽马射线(1/8))/(伽马(3/8))=2(平方(2)+1)^(1/2)pi^(-1/4)[K(K_1)]^(1/2)
(67)
伽马(1/(12))=2^(-1/4)3^(3/8)(sqrt(3)+1)^(1/2)pi^(-1-2)伽马(1/4)伽马
(68)
伽马(5/(12))=2^(1/4)3^(-1/8)(sqrt(3)-1)^(1/2)pi^(1/2)(伽马(1/4))/(伽玛(1/3))
(69)
(伽马(1/(24))伽马((11)/(24)=平方(3)平方(2+sqrt(3))
(70)
(伽马(1/(24))伽马(5/(24=4·3^(1/4)(平方(3)+平方(2))π^(-1/2)K(K_1)
(71)
(伽马(1/(24))伽马(7/(24))/(伽马(5/(24))伽马((11)/(24))=2^(25/18)3^(1/3)(平方(2)+1)pi^(-1/3)[K(K_3)]^(2/3)
(72)
伽马(1/(24))伽马(5/(24=384(平方(2)+1)(平方(3)-sqrt(2))(2-sqrt(3))pi[K(K_6)]^2
(73)
伽马(1/(10))=2^(-7/10)5^(1/4)(sqrt(5)+1)^(1/2)pi^(-1/2)Gamma(1/5)Gamma(2/5)
(74)
伽马(3/(10))=2^(-3/5)(sqrt(5)-1)pi^(1/2)(伽马(1/5))/(伽玛(2/5))
(75)
(伽马(1/(15))伽马(4/(15=2·3^(1/2)5^(1/6)sin(2/(15)pi)[Gamma(1/3)]^2
(76)
(伽玛(1/(15))伽玛(2/(15))伽玛(7/(15)))/(伽玛(4/(15)))=2^2·3^(2/5)sin(1/5pi)sin
(77)
(伽马(2/(15))伽马(4/(15=(2^(-3/2)3^(-1/5)5^(1/4)(sqrt(5)-1)^(1/2)[伽马(2/5)]^2)/(sin(4/(15)pi))
(78)
(伽马(1/(15))伽马(2/(15=60(sqrt(5)-1)sin(7/(15)pi)[K(K_(15))]^2
(79)
(伽马(1/(20))伽马(9/(20=2^(-1)5^(1/4)(平方米(5)+1)
(80)
(伽马(1/(20))伽马(3/(20=2^(4/5)(10-2sqrt(5))^(1/2)pi^(-1)sin(7/(20)pi)sin
(81)
(伽马(1/(20))伽马(7/(20=2^(3/5)(10+2sqrt(5))^(1/2)pi^(-1)sin(3/(20)pi)sin
(82)
伽马(1/(20))伽马(3/(20=160(sqrt(5)-2)^(1/2)pi[K(K_5)]^2。
(83)

坎贝尔(Campbell)(1966年,第31页)中也给出了其中一些。

一些奇怪的身份包括

产品_(n=1)^(2)伽马(1/3)=(2pi)/(sqrt(3))
(84)
产品_(n=1)^(3)伽马(1/3)=(2pi)/(sqrt(3))
(85)
产品_(n=1)^(4)伽马(1/3)=(2piGamma(1/3))/(3sqrt(3))
(86)
产品_(n=1)^(5)伽马(1/3)=8/(27)pi^2
(87)
产品_(n=1)^(6)伽马(1/3)=8/(27)pi^2
(88)
产品_(n=1)^(7)伽马(1/3)=(32)/(243)pi^2伽马(1/3)
(89)
乘积_(n=1)^(8)伽玛(1/3n)=(640pi^3)/(2187sqrt(3)),
(90)

其中Magnus和Oberhettinger(1949年,第1页)只给出了最后一个案例

 (伽马^'(1))/(伽马(1)
(91)

(Magnus和Oberhettinger 1949年,第1页)。Ramanujan还给出了一些令人着迷的身份:

 (伽马^2(n+1))/(伽马(n+xi+1)伽马(n-xi+1))=product_(k=1)^infty[1+(x^2)/(n+k)^2)]
(92)
 φ(m,n)φ(n,m)=(伽马^3(m+1)伽马^ 3(n+1))/(伽马(2m+n+1)伽玛(2n+m+1))×(cosh[pi(m+n)sqrt(3)]-cos[pi,m-n)])/(2pi^2(m^2+mn+n^2)),
(93)

哪里

 φ(m,n)=产品_(k=1)^系数[1+((m+n)/(k+m))^3],
(94)
 产品_(k=1)^infty[1+(n/k)^3]产品_(k=1)^infty[1+3(n/(n+2k))^2]=(伽玛(1/2n))/(伽玛[1/2(n+1)])(cosh(pinsqrt(3))-cos(pin))/(2^(n+2)pi^(3/2)n)
(95)

(伯恩特,1994年)。

Ramanujan给出了无限的总和

 sum_(k=0)^inff(8k+1)[(伽马(k+1/4))/(k!伽马(1/4))]^4=1+9(1/4)^4+17((1·5)/(4·8))^4+25((1·5·9)/(4·8·12))^4+... =(2^(3/2))/(sqrt(pi)[伽马(3/4)]^2)
(96)

 sum_(k=0)^infty(-1)^k(4k+1)[((2k-1)!!)/((2k)!)]^5=1-5(1/2)^5+9((1·3)/(2·4))^5-13((1·3·5)/(2·4·6))^5+... =2/([伽马(3/4)]^4)
(97)

(哈代1923;哈代1924;惠普尔1926;沃森1931;贝利1935;哈代1999,第7页)。

以下内容渐近级数在概率论中偶尔有用(例如一维的随机游走):

 (伽马射线(J+1/2))/(伽马(J))=平方(J)(1-1/(8J)+1/(128J^2)+5/(1024J^3)-(21)/(32768J^4)+…)
(98)

(组织环境信息系统A143503型A061549号; 格雷厄姆等。1994). 这个级数也给出了一个很好的渐近推广属于第一类斯特林数到小数。

人们早就知道伽马(1/4)π^(-1/4)超越的(Davis 1959),照原样伽马(1/3)(Le Lionnais 1983;Borwein and Bailey 2003,p.138),而Chudnovsky显然最近证明了伽马(1/4)就是它自己超越的(Borwein和Bailey2003年,第138页)。

存在有效的迭代算法伽马(k/24)对于所有整数k个(Borwein和Bailey,2003年,第137页)。例如收敛迭代伽马(1/4)=3.6256099。。。(组织环境信息系统A068466号)通过定义

x_n=1/2(x_(n-1)^(1/2)+x(n-1,^(-1/2))
(99)
y_n号=(y(n-1)x(n-1,
(100)

设置x0=平方(2)y_1=2^(1/4),然后

 伽马(1/4)=2(1+sqrt(2))^(3/4)[product_(n=1)^inftyx_n^(-1)((1+x_n)/(1+y_n))^3]^(1/4)
(101)

(Borwein和Bailey,2003年,第137-138页)。

没有已知的此类迭代伽马(1/5)(博文和博文1987;博文和扎克1992;Borwein和Bailey,2003年,第138页)。


另请参见

贝利定理,巴恩斯G函数,比奈斐波那契数公式,Bohr-Mollerup定理,迪加玛功能,弗兰斯·罗宾逊常数 高斯乘法公式,不完整Gamma函数,克纳尔公式,兰姆达功能,Lanczos近似,Legendre复制公式,日志Gamma函数,梅林公式,功能,Nu函数,皮尔逊功能,Polygamma函数,正规化Gamma函数,斯特林系列,超阶乘 探索此主题在数学世界教室里

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/,http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/LogGamma网站/

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引用关于Wolfram | Alpha

Gamma函数

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“伽马函数”。来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

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