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A003418号 |
| n>=1,a(0)=1时{1,2,…,n}的最小公倍数(或LCM)。 (原名M1590)
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342
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1, 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720, 12252240, 12252240, 232792560, 232792560, 232792560, 232792560, 5354228880, 5354228880, 26771144400, 26771144400, 80313433200, 80313433200, 2329089562800, 2329089562800
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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对称群S_n的最小指数,即对于S_n中的所有x,x^a(n)=1的最小正整数-弗兰兹·弗拉贝克2008年12月28日
根据约定,素数的最大幂小于或等于n.a(0)=1的所有素数的乘积。
也是其除数集包含n项算术级数的最小数-莱因哈德·祖姆凯勒2002年12月9日
与黎曼假设等价的断言是:|log(a(n))-n|<sqrt(n)*log(n)^2-Lekraj Beedassy公司2006年8月27日。(对于n=1和n=2,这是错误的。是否应添加“足够大的n”-乔治·古宁斯基2011年10月22日)
序列b(n)=Sum_{i=0..k-1}((n+i)mod(k-i))对于k=0,1,2,3,…的周期-保罗·拉瓦2009年2月18日
Farhi的推论3给出了一个简单的证明A003418号(n) >=2^(n-1)。Farhi中证明的主要定理是恒等式lcm(二项式(k,0),二项式。。。,二项式(k,k)=lcm(1,2,…,k,k+1)/(k+1)表示N中的所有k-乔纳森·沃斯邮报2009年6月15日
似乎是三角形T(n,k)=b的行积(A010766号)其中b=A130087型/A130086型. -Mats Granvik公司2009年7月8日
Greg Martin(见链接)证明了“在开区间(0,1)中所有有理数集上采样的Gamma函数的乘积,其最小分母最多为n”等于(2*Pi)^(1/2)*a(n)^-乔纳森·沃斯邮报2009年7月28日
a(n)=lcm(A188666号(n) ,A188666号(n) +1。。。,n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2011年4月25日
a(n+1)是最小整数,当i=0.1,。。。,n、 是具有整数系数的多项式-弗拉基米尔·舍维列夫2011年12月23日
看起来A020500型(n) =a(n+1)/a(n).-Asher Auel(Asher.Auel(AT)reed.edu)
第n个不同值=A051451号(n) ●●●●-马修·范德马斯特2009年11月27日
a(n+1)=第n行的最小公共倍数A213999型. -莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月3日
对于n>2,(n-1)=Sum_{k=2..n}exp(A003418号(n) *2*i*Pi/k)-埃里克·德斯比亚2012年9月13日
第一列减去第二列A027446号. -埃里克·德斯比亚2013年3月29日
对于n>0,a(n)是最小的数字k,因此n是k的第n个除数-米歇尔·拉格诺2014年4月24日
Z中增长最慢的整数>0,当被视为profinite整数时,在Z^中收敛到0-赫伯特·埃伯勒2016年5月1日
所有相等的连续术语的最大数量是多少?我发现从a(370261)到a(370372)有112个相等项-德米特里·卡梅内茨基2019年5月5日
答:存在任意长的具有相同值的连续项序列;此外,从a(1)到a(5),具有不同值的连续项的最大运行次数为5(参见链接Roger B.Eggleton)-伯纳德·肖特2019年8月7日
与Ramanujan关于高度复合数的论文中的不等式(54)有关A002182号,也用于A199337号:a(A329570型(m) 根据不等式的右边部分,^2是一个(非最小)界限,在这个界限之上,所有高度合成的数字都可以被m整除-M.F.哈斯勒2020年1月4日
对于n>2,a(n)的形式为2^e_1*p_2^e_2*…*p_m^e_m,其中e_m=1且e=楼层(log_2(p_m))<=e_1。因此,2^e*p_m^e_m是一个基本的Zumkeler数(A180332号). 因此,2^e_1*p_m^e_m是Zumkeller数(A083207号). 因此,对于n>2,a(n)=2^e_1*p_m^e_m*r是Zumkeller数,其中r相对2*p_m是素数A002182号详细信息)-伊万·伊纳基耶夫2020年5月10日
对于n>1,2|(a(n)+2)。。。n |(a(n)+n),所以a(n。。a(n)+n都是复合的,并且(部分)一个素间隙至少为n。(比较n!+2..n!+n)-斯蒂芬·威瑟姆2021年10月9日
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参考文献
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J.M.Borwein和P.B.Borwein.,《Pi和AGM》,威利出版社,1987年,第365页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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多林·安德里卡(Dorin Andrica)、索林·杜勒斯库(Sorin RŢdulescu)和乔治·科特林·厄尔卡什,群的指数:性质、计算和应用,光盘。数学。和应用,Springer,Cham(2020),57-108。
哈维尔·齐卢埃洛、胡安霍·鲁埃、保利乌斯·萨尔卡和安娜·祖马拉卡雷吉,正整数集的最小公倍数,arXiv:1112.3013[math.NT],2011年。
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巴基尔·法希,二项式系数最小公倍数恒等式及其应用,arXiv:0906.2295[math.NT],2009年。
巴基尔·法希,二项式系数最小公倍数恒等式及其应用阿默尔。数学。每月116(9)(2009),836-839。
史蒂文·芬奇,Cilleruelo的LCM常数, 2013. [经作者许可,缓存副本]
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乔纳森·桑多,欧拉常数不合理的判据,程序。AMS 131(2003),3335。
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M.Tchebichef,梅莫尔-苏尔-莱斯-诺姆布雷斯首映式,J.数学。Pures Appliques 17(1852),366-390。
赫尔热·冯·科赫,首映提名分配《数学学报》。24 (1) (1901), 159-182.
埃里克·魏斯坦的数学世界,最小公倍数,切比雪夫函数,Mangoldt函数.
可除序列索引
“核心”序列的索引项
与lcm相关的序列的索引项
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配方奶粉
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素数定理意味着lcm(1,2,…,n)=exp(n(1+o(1)))为n->无穷大。换句话说,log(lcm(1,2,…,n))/n->1表示n->infinity-乔纳森·桑多2005年1月17日
a(n)=乘积(p^(floor(log n/log p)),其中p穿过不超过n的素数(即素数2到A007917号(n) )-Lekraj Beedassy公司2004年7月27日
Greg Martin证明了a(n)=lcm(1,2,3,…,n)=Product{i=Farey(n),0<i<1}2*Pi/Gamma(i)^2。这可以重写(对于n>1)为a(n)=(1/2)*(Product_{i=Farey(n),0<i<=1/2}2*sin(i*Pi))^2-彼得·卢什尼2009年8月8日
用于计算的递归公式:a(0)=1;a(1)=1;a(n)=lcm(n,a(n-1))-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年1月8日
发件人恩里克·佩雷斯·埃雷罗,2011年6月1日:(开始)
a(n)/a(n-1)=A014963号(n) ●●●●。
如果n是素数幂p^k,则a(n)=a(p^k)=p*a(n-1),否则a(n。
a(n)=产品{k=2..n}(1+(A007947号(k) -1)*地板(1/A001221号(k) ),对于n>1。(结束)
a(n)=A079542号(n+1,2)对于n>1。
a(n)=exp(求和{k=1..n}求和{d|k}莫比乌斯(d)*log(k/d))-彼得·卢什尼2012年9月1日
a(n)=A025529号(n)-A027457号(n) ●●●●-埃里克·德斯比亚2013年3月14日
a(n)=exp(Psi(n))=2*产品{k=2。。A002088号(n) }(1-exp(2*Pi*i*A038566号(k+1)/A038567号(k) ),其中i是虚单位,Psi是第二个切比雪夫函数-埃里克·德斯比亚2014年8月13日
a(n)=A064446号(n)*A038610型(n) ●●●●-安东尼布朗2016年6月16日
a(n)=A000142号(n)/A025527号(n)=A000793号(n)*A225558型(n) ●●●●-安蒂·卡图恩2017年6月2日
log(a(n))=和{k>=1}(A309229型(n,k)/k-1/k)-Mats Granvik公司2019年8月10日
发件人Petros Hadjicostas公司2020年7月24日:(开始)
Nair(1982)证明了2^n<=a(n)<=4^n对于n>=9。另见Farhi(2009)。奈尔也证明了
a(n)=lcm(m*二项式(n,m):1<=m<=n)和
a(n)=gcd(a(m)*二项式(n,m):n/2<=m<=n)。(结束)
和{n>=1}1/a(n)=A064859号. -伯纳德·肖特2020年8月24日
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例子
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{1,2,3,4,5,6}的LCM=60。6以内的素数是2、3和5。floor(log(6)/log(2))=2,所以2的指数是2。
floor(log(6)/log(3))=1,因此3的指数为1。
floor(log(6)/log(5))=1,因此5的指数为1。因此,a(6)=2^2*3^1*5^1=60-大卫·A·科内斯2017年6月2日
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MAPLE公司
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A003418号:=n->lcm(序列(i,i=1..n));
HalfFarey:=proc(n)局部a,b,c,d,k,s;a:=0;b:=1;c:=1;d:=n;s:=空;dok:=iquo(n+b,d);a、 b,c,d:=c,d,k*c-a,k*d-b;如果2*a>b,则打破fi;s:=s,(a/b);od:[s]结束:LCM:=进程(n)局部i;(1/2)*mul(2*sin(Pi*i),i=HalfFarey(n))^2结束:#彼得·卢什尼
#下一个Maple计划:
a: =proc(n)选项记忆`如果`(n=0,1,ilcm(n,a(n-1)))结束:
seq(a(n),n=0..33)#阿洛伊斯·海因茨2021年6月10日
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数学
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表[LCM@@范围[n],{n,1,40}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月1日*)
文件夹列表[LCM,1,范围@28]
A003418号[0] := 1;A003418号[1] := 1;A003418号[编号]:=A003418号[n] =LCM[n,A003418号[n-1]];(*恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年1月8日*)
表[Product[Prime[i]^Floor[Log[Prime[i],n]],{i,PrimePi[n]}],{n,0,28}](*Wei Zhou公司2011年6月25日*)
表[积[分圆[n,1],{n,2,m}],{m,0,28}](*弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年5月22日*)
a1[n_]:=1/12(Pi^2+3(-1)^n(PolyGamma[1,1+n/2]-PolyGamma[1,(1+n)/2])//简化
a[n_]:=分母[Sqrt[a1[n]]];
表[If[IntegerQ[a[n]],a[n],a[n]*(a[n])[[2]]],{n,0,28}](*格里·马滕斯,2018年4月7日[更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2021年7月16日]*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=局部(t);t=n>=0;对于素数(p=2,n,t*=p^(log(n)\log(p)));t吨
(PARI)a(n)=如果(n<1,n==0,1/内容(向量(n,k,1/k))
(PARI)a(n)=my(v=素数(素数(n)),k=平方(n),L=对数(n+.5));prod(i=1,#v,如果(v[i]>k,v[i],v[i]^(L\log(v[i)))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年12月21日
(PARI)a(n)=lcm(向量(n,i,i))\\Bill Allombert,2012年4月18日[通过查尔斯·格里特豪斯四世]
(PARI)n=1;lim=100;i=1;j=1;直到(n==lim,a=lcm(j,i+1));i++;j=a;n++;打印(n“”a);)\\迈克·温克勒2013年9月7日
(弧垂)[lcm(范围(1,n)),用于范围(1、30)中的n]#零入侵拉霍斯,2009年6月6日
(哈斯克尔)
a003418=折叠lcm 1。枚举从2
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月4日,2011年4月25日
(岩浆)[1]cat[指数(对称群(n)):[1..28]]中的n//阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2013年9月10日
(岩浆)[Lcm([1..n]):n in[0.30]]//布鲁诺·贝塞利2015年2月6日
(方案)(定义(A003418号n) (让回路((n n)(m 1))(如果(0?n)m(回路(-n 1)(lcm m n)));;安蒂·卡图恩2018年1月3日
(Python)
从functools导入reduce
从运算符导入mul
来自sympy导入筛
def integerlog(n,b):#查找最大整数k>=0,这样b^k<=n
kmin,kmax=0,1
而b**kmax<=n:
kmax*=2
为True时:
kmid=(kmax+kmin)//2
如果b**kmid>n:
kmax=kmid
其他:
kmin=kmid
如果kmax-kmin<=1:
打破
返回kmin
定义A003418号(n) :
返回减少(mul,(p**integerlog(n,p)for p in siever.素数范围(1,n+1)),1)#柴华武2021年3月13日
(Python)#生成序列的初始段
从数学导入gcd
从itertools导入累加
定义lcm(a,b):返回a*b//gcd(a,b)
定义aupton(nn):返回[1]+列表(累加(范围(1,nn+1),lcm))
打印(aupton(30))#迈克尔·布拉尼基2021年6月10日
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交叉参考
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的行产品A133233号.
囊性纤维变性。A000142号,A000793号,A002110号,A002182号,A002201号,A002944号,A014963号,A020500型,A025527号,A038610型,A051173号,A064446号,A064859号,A069513号,A072938号,A093880型,A094348号,A096179号,A099996号,A102910号,A106037标准,A119682号,A179661号,A193181号,A225558型,A225630型,A225632型,A225640型,A225642号.
囊性纤维变性。A025528号(具有多重性的a(n)的素因子数)。
囊性纤维变性。A275120型(连续相等项的运行长度),A276781型(从a(1)=1开始的序数变换)。
上下文中的序列:A085911型 A211418型 A058312号*A109935号 A347304型 A065887号
相邻序列:A003415号 A003416号 A003417号*A003419号 A003420号 A003421号
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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罗兰·安德森(Roland.Anderson(AT)swipnet.se)
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状态
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经核准的
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