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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A003418号 当n>=1,a(0)=1时,{1,2,…,n}的最小公倍数(或LCM)。
(原M1590)
337
1,1,2,6,12,60,60,420,840,2520,2520,27720,27720,360360,360360,720720720,12252240,12252240,232792560,232792560,232792560,5354228880,5354228880,26771144400,80313433200,80313433200,2329089562800,2329089562800,2329089562800 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,3个

评论

对称群S_n的最小指数,即x^a(n)=1的最小正整数-弗朗茨·瓦拉贝克2008年12月28日

素数的最高幂次小于或等于n的所有素数的乘积。a(0)=1按惯例。

也是最小的数,其除数集包含一个n项算术级数-莱因哈德·祖姆凯勒2002年12月9日

与黎曼假设等价的断言是:| log(a(n))-n |<sqrt(n)*log(n)^2-莱克莱·比达西2006年8月27日。(对于n=1和n=2,这是错误的。应该添加“对于n足够大”吗-格奥尔基·古宁斯基2011年10月22日)

对于k=0,1,2,3,…,序列b(n)=和{i=0..k-1}((n+i)mod(k-i))的周期-保罗P.熔岩2009年2月18日

Farhi的推论3给出了一个简单的证明A003418号(n) >=2^(n-1)。Farhi证明的主要定理是N中所有k的恒等式lcm(二项式(k,0),二项式(k,1),…,二项式(k,k))=lcm(1,2,…,k,k+1)/(k+1)-乔纳森·沃斯·波斯特2009年6月15日

似乎是三角形T(n,k)=b的行积(A010766号)其中b=邮编:A130087/邮编:A130086. -马茨格兰维克2009年7月8日

Greg Martin(见链接)证明了“在开区间(0,1)中,其最小分母最多为n的所有有理数集合上采样的伽马函数的乘积等于(2*Pi)^(1/2)*a(n)^(-1/2)-乔纳森·沃斯·波斯特2009年7月28日

a(n)=lcm(邮编:A188666(n) 你说,邮编:A188666(n) +1,…,n)-莱因哈德·祖姆凯勒2011年4月25日

a(n+1)是最小整数,因此m中的所有多项式a(n+1)*(1^i+2^i+…+m^i),对于i=0,1,…,n,都是整系数多项式-弗拉基米尔·谢韦列夫2011年12月23日

看来A020500年(n) =a(n+1)/a(n)。-阿舍尔·奥尔(Asher.Auel(AT)里德.edu)

第n个不同值=A051451型(n) 一-马修·范德马斯特2009年11月27日

a(n+1)=第n行的最小公倍数A213999号. -莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月3日

对于n>2,(n-1)=和{k=2..n}exp(A003418号(n) *2*i*Pi/k)-埃里克·德斯比厄2012年9月13日

第一列减去第二列A027446号. -埃里克·德斯比厄2013年3月29日

对于n>0,a(n)是最小的数k,因此n是k的第n个除数-米歇尔·拉格诺2014年4月24日

当被视为profinite整数时,Z中增长最慢的整数>0收敛到Z^中的0-赫伯特·埃伯勒2016年5月1日

所有相等的连续项的最大数目是多少?我找到了从a(370261)到a(370372)的112个相等的项-德米特里·卡梅内茨基2019年5月5日

答:存在任意长的具有相同值的连续项序列;另外,不同值的连续项的最大运行是从a(1)到a(5)(参见链接rogerb.Eggleton)-伯纳德·肖特2019年8月7日

与Ramanujan关于高度复合数的论文中的不等式(54)有关A002182号,也用于邮编:A199337:一个(A329570型(m) )^2是一个(非极小)界,在这个界上,所有的高复合数都可以被m整除,根据该不等式的右部分-M、 哈斯勒2020年1月4日

对于n>2,a(n)的形式为2^e_1*p_2^e_2*…*p_m^e_m,其中e_m=1,e=楼层(log_2(p_m))<=e_1。因此,2^e*p峎m^e峎m是一个原始Zumkeler数(A180332号)因此,2^e_1*p_m^eμm是一个Zumkeller数(A083207)因此,对于n>2,a(n)=2^e_1*p_m^e_m*r,其中r是2*p峎m的相对素数,是一个Zumkeller数(见我在A002182号了解详情)-伊万·N·伊纳基耶夫2020年5月10日

参考文献

J、 M.Borwein和P.B.Borwein,Pi和年度股东大会,Wiley,1987,P。365

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

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多林·安德里卡、索林·杜勒斯库和乔治·C·t·林·乌尔卡,群的指数:性质、计算与应用,光盘。数学。和应用,施普林格,查姆(2020),57-108。

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巴基尔·法希,二项式系数最小公倍数恒等式及其应用,arXiv:0906.2295[math.NT],2009年。

巴基尔·法希,二项式系数最小公倍数恒等式及其应用,艾默尔。数学。月刊116(9)(2009),836-839。

史蒂芬·芬奇,Cilleruelo的LCM常数2013年。[缓存副本,经作者许可]

五、 加夫里科夫,关于最小公倍数为D幻数的性质,arXiv:1806.09264[math.NT],2018年。

S、 拉布和佩兰托瓦瓦,由标记态射生成的回文序列,arXiv:1409.7510[math.CO],2014年。

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P、 卢什尼和S.Wehmeier,lcm(1,2,…,n)是在Farey序列中的点上采样的正弦值的乘积,arXiv:0909.1838[math.CA],2009年。

德斯马查尔和约瑟夫·曼宁,严格复合整数的最大游程《数学公报》,99,第213-219页(2015年)。

格雷格·马丁,在分母相同的分数上伽马函数值的乘积,arXiv:0907.4384[math.CA],2009年。

M、 奈尔,关于素数的Chebychev型不等式阿默尔。数学。月刊89(2)(1982),126-129。

S、 拉马努扬,高复合数,伦敦数学学会学报。2,第十四卷,第1期(1915年),第347-409页。(可提供质量更好的变体和附加脚注在这里.)

E、 塞尔默,关于二项式系数的素数,数学。斯堪的。39(1976年),第2号,271-281(1977年)。

乔纳森·桑多,欧拉常数不合理的判定准则,过程。AMS 131(2003),3335。

罗斯玛丽·沙利文和尼尔·沃特林,从1到n的整数集上的独立整除对,整数13(2013年)#A65。

M、 切比切夫,梅莫尔市郊首府,J.数学。纯贴花17(1852),366-390。

海尔格·冯·科赫,首府分配区数学学报。第24卷第1卷(1901年),第159-182页。

埃里克·韦斯坦的数学世界,最小公倍数,切比雪夫函数,Mangoldt函数.

可除序列索引

“核心”序列的索引项

与lcm相关的序列的索引项

公式

素数定理表明lcm(1,2,…,n)=exp(n(1+o(1)))为n->无穷大。(1,n)其他字(1,n,…n)-乔纳森·桑多2005年1月17日

a(n)=积(p^(floor(logn/logp))),其中p穿过不超过n的素数(即素数2到素数)A007917号(n) )-莱克莱·比达西2004年7月27日

Greg-Martin证明了a(n)=lcm(1,2,3,…,n)=乘积{i=Farey(n),0<i<1}2*Pi/Gamma(i)^2。这可以重写(对于n>1)为a(n)=(1/2)*(乘积{i=Farey(n),0<i<=1/2}2*sin(i*Pi))^2-彼得·卢什尼2009年8月8日

用于计算的递归公式:a(0)=1;a(1)=1;a(n)=lcm(n,a(n-1))-恩里克·佩雷斯·赫雷罗2011年1月8日

恩里克·佩雷斯·赫雷罗2011年6月1日:(开始)

a(n)/a(n-1)=A014963号(n) 一。

如果n是素数幂p^k,则a(n)=a(p^k)=p*a(n-1),否则a(n)=a(n-1)。

a(n)=乘积{k=2..n}(1+(A007947号(k) -1)*楼层(1/A001221型(k) )),对于n>1。(结束)

a(n)=A079542号(n+1,2)对于n>1。

a(n)=exp(和{k=1..n}和{d | k}moebius(d)*log(k/d))-彼得·卢什尼2012年9月1日

a(n)=A025529号(n)-A027457号(n) 一-埃里克·德斯比厄2013年3月14日

a(n)=exp(Psi(n))=2*乘积{k=2。。A002088号(n) }(1-exp(2*Pi*i*A038566号(k+1)/A038567号(k) )),其中i是虚单位,Psi是第二个切比雪夫函数-埃里克·德斯比厄2014年8月13日

a(n)=A064446号(n)*A038610(n) 一-安东尼布朗2016年6月16日

a(n)=A000142号(n)/A025527型(n)=A000793号(n)*A225558号(n) 一-安蒂·卡尔图宁2017年6月2日

log(a(n))=和{k>=1}(A309229k/1号文件)-马茨格兰维克2019年8月10日

彼得罗斯哈吉科斯塔斯2020年7月24日:(开始)

Nair(1982)证明了n>=9时2^n<=a(n)<=4^n。另见Farhi(2009年)。奈尔也证明了这一点

a(n)=lcm(m*二项式(n,m):1<=m<=n)和

a(n)=gcd(a(m)*二项式(n,m):n/2<=m<=n)。(结束)

和{n>=1}1/a(n)=A064859号. -伯纳德·肖特2020年8月24日

例子

{1,2,3,4,5,6}=60的LCM。到6的素数是2、3和5。floor(log(6)/log(2))=2,因此2的指数为2。

floor(log(6)/log(3))=1,因此3的指数为1。

floor(log(6)/log(5))=1,因此5的指数为1。因此,a(6)=2^2*3^1*5^1=60-大卫·A·科尼思2017年6月2日

枫木

A003418号:=n->lcm(顺序(i,i=1..n));

半程:=过程(n)局部a、b、c、d、k、s;a:=0;b:=1;c:=1;d:=n;s:=空;do k:=iquo(n+b,d);a、 b,c,d:=c,d,k*c-a,k*d-b;如果2*a>b,则断开fi;s:=s,(a/b);od:[s]结束:LCM:=proc(n)local i;(1/2)*mul(2*sin(Pi*i),i=halfarey(n))^2结束:#彼得·卢什尼

#下一个枫树计划:

a: =proc(n)选项记住`如果`(n=0,1,ilcm(n,a(n-1)))结束:

顺序(a(n),n=0..33);  #海因茨2021年6月10日

数学

表格[LCM@@范围[n],{n,1,40}](*斯特凡·斯坦伯格,2006年4月1日*)

折叠列表[LCM,1,范围@28]

A003418号[0]:=1;A003418号[1] :=1;A003418号[注意]:=A003418号[n] =LCM[n,A003418号[n-1]];(*恩里克·佩雷斯·赫雷罗,2011年1月8日*)

表[Product[Prime[i]^Floor[Log[Prime[i],n]],{i,PrimePi[n]}],{n,0,28}](*魏周2011年6月25日*)

表[积[分圆[n,1],{n,2,m}],{m,0,28}](*弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年5月22日*)

a1[n_1]:=1/12(Pi^2+3(-1)^n(PolyGamma[1,1+n/2]-PolyGamma[1,(1+n)/2])//简化

a[n_x]:=分母[Sqrt[a1[n]]];

表[If[IntegerQ[a[n]],a[n],a[n]*(a[n])[[2]]],{n,0,28}](*格里·马滕斯2018年4月7日[更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2021年7月16日)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=局部(t);t=n>=0;对于素数(p=2,n,t*=p^(log(n)\log(p));t

(PARI)a(n)=如果(n<1,n==0,1/内容(向量(n,k,1/k)))

(PARI)a(n)=my(v=素数(primepi(n)),k=平方根(n),L=对数(n+.5));prod(i=1,#v,如果(v[i]>k,v[i],v[i]^(L\log(v[i]))\\查尔斯R格雷特豪斯四世2011年12月21日

(PARI)a(n)=lcm(向量(n,i,i))\\Bill Allombert,2012年4月18日[via]查尔斯R格雷特豪斯四世]

(平价)n=1;lim=100;i=1;j=1;直到(n==lim,a=lcm(j,i+1);i++;j=a;n++;打印(n”“a);)\\迈克·温克勒2013年9月7日

(Sage)[lcm(量程(1,n))表示量程(1,30)]#泽伦瓦拉乔斯2009年6月6日

(哈斯克尔)

a003418=折叠lcm 1。从枚举到2

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月4日,2011年4月25日

(岩浆)[1]cat[指数(对称群(n)):n in[1..28]]//阿卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2013年9月10日

(岩浆)[Lcm([1..n]):n in[0..30]]//布鲁诺·贝尔塞利2015年2月6日

(方案)(定义(A003418号n) (让循环((n n)(m1))(如果(0?n)m(循环(-n 1)(lcm m n))));;安蒂·卡尔图宁2018年1月3日

(蟒蛇)

从functools导入reduce

从操作员导入mul

从sympy进口筛

def integerlog(n,b):#求最大整数k>=0,使b^k<=n

kmin,kmax=0,1

当b**kmax<=n时:

kmax*=2

如果是真的:

kmid=(kmax+kmin)//2

如果b**kmid>n:

kmax=kmid

其他:

kmin=kmid

如果kmax kmin<=1:

休息

返回kmin

定义A003418号(n) 公司名称:

return reduce(mul,(p**siever.primerange(1,n+1))中p的整数log(n,p)),1)#柴华武2021年3月13日

(Python)#生成序列的初始段

从数学导入gcd

从itertools导入累加

def lcm(a,b):返回a*b//gcd(a,b)

def aupton(nn):return[1]+list(累加(范围(1,nn+1),lcm))

打印(aupton(30))#迈克尔·S·布兰尼基2021年6月10日

交叉引用

Row产品A133233号.

囊性纤维变性。A000142号,A000793号,A002110型,A002182号,A00201,A002944号,A014963号,A020500年,A025527型,A038610,A051173号,A064446号,A064859号,A069513号,A072938号,A093880型,A094348号,A096179号,A099996年,A102910号,A106037号,A119682年,邮编:A179661,A193181号,A225558号,A225630,A225632号,A225640,A225642号.

囊性纤维变性。A025528号(重数a(n)的素数)。

囊性纤维变性。A275120型(连续相等项的运行长度),邮编:A276781(从项a(1)=1开始的序数变换)。

上下文顺序:A085911 A211418号 A058312号*A109935型 A347304飞机 A065887号

相邻序列:A003415 A003416号 A003417型*A003419号 A003420 A003421号

关键字

,容易的,核心,美好的

作者

罗兰·安德森(Roland.Anderson(AT)swipnet.se)

状态

经核准的

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