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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A003418号 n>=1,a(0)=1时{1,2,…,n}的最小公倍数(或LCM)。
(原名M1590)
342
1, 1, 2, 6, 12, 60, 60, 420, 840, 2520, 2520, 27720, 27720, 360360, 360360, 360360, 720720, 12252240, 12252240, 232792560, 232792560, 232792560, 232792560, 5354228880, 5354228880, 26771144400, 26771144400, 80313433200, 80313433200, 2329089562800, 2329089562800 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
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0,3

评论

对称群S_n的最小指数,即对于S_n中的所有x,x^a(n)=1的最小正整数-弗兰兹·弗拉贝克2008年12月28日

根据约定,素数的最大幂小于或等于n.a(0)=1的所有素数的乘积。

也是其除数集包含n项算术级数的最小数-莱因哈德·祖姆凯勒2002年12月9日

与黎曼假设等价的断言是:|log(a(n))-n|<sqrt(n)*log(n)^2-Lekraj Beedassy公司2006年8月27日。(对于n=1和n=2,这是错误的。是否应添加“足够大的n”-乔治·古宁斯基2011年10月22日)

序列b(n)=Sum_{i=0..k-1}((n+i)mod(k-i))对于k=0,1,2,3,…的周期-保罗·拉瓦2009年2月18日

Farhi的推论3给出了一个简单的证明A003418号(n) >=2^(n-1)。Farhi中证明的主要定理是恒等式lcm(二项式(k,0),二项式。。。,二项式(k,k)=lcm(1,2,…,k,k+1)/(k+1)表示N中的所有k-乔纳森·沃斯邮报2009年6月15日

似乎是三角形T(n,k)=b的行积(A010766号)其中b=A130087型/A130086型. -Mats Granvik公司2009年7月8日

Greg Martin(见链接)证明了“在开区间(0,1)中所有有理数集上采样的Gamma函数的乘积,其最小分母最多为n”等于(2*Pi)^(1/2)*a(n)^-乔纳森·沃斯邮报2009年7月28日

a(n)=lcm(A188666号(n) ,A188666号(n) +1。。。,n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2011年4月25日

a(n+1)是最小整数,当i=0.1,。。。,n、 是具有整数系数的多项式-弗拉基米尔·舍维列夫2011年12月23日

看起来A020500型(n) =a(n+1)/a(n).-Asher Auel(Asher.Auel(AT)reed.edu)

第n个不同值=A051451号(n) ●●●●-马修·范德马斯特2009年11月27日

a(n+1)=第n行的最小公共倍数A213999型. -莱因哈德·祖姆凯勒2012年7月3日

对于n>2,(n-1)=Sum_{k=2..n}exp(A003418号(n) *2*i*Pi/k)-埃里克·德斯比亚2012年9月13日

第一列减去第二列A027446号. -埃里克·德斯比亚2013年3月29日

对于n>0,a(n)是最小的数字k,因此n是k的第n个除数-米歇尔·拉格诺2014年4月24日

Z中增长最慢的整数>0,当被视为profinite整数时,在Z^中收敛到0-赫伯特·埃伯勒2016年5月1日

所有相等的连续术语的最大数量是多少?我发现从a(370261)到a(370372)有112个相等项-德米特里·卡梅内茨基2019年5月5日

答:存在任意长的具有相同值的连续项序列;此外,从a(1)到a(5),具有不同值的连续项的最大运行次数为5(参见链接Roger B.Eggleton)-伯纳德·肖特2019年8月7日

与Ramanujan关于高度复合数的论文中的不等式(54)有关A002182号,也用于A199337号:a(A329570型(m) 根据不等式的右边部分,^2是一个(非最小)界限,在这个界限之上,所有高度合成的数字都可以被m整除-M.F.哈斯勒2020年1月4日

对于n>2,a(n)的形式为2^e_1*p_2^e_2*…*p_m^e_m,其中e_m=1且e=楼层(log_2(p_m))<=e_1。因此,2^e*p_m^e_m是一个基本的Zumkeler数(A180332号). 因此,2^e_1*p_m^e_m是Zumkeller数(A083207号). 因此,对于n>2,a(n)=2^e_1*p_m^e_m*r是Zumkeller数,其中r相对2*p_m是素数A002182号详细信息)-伊万·伊纳基耶夫2020年5月10日

对于n>1,2|(a(n)+2)。。。n |(a(n)+n),所以a(n。。a(n)+n都是复合的,并且(部分)一个素间隙至少为n。(比较n!+2..n!+n)-斯蒂芬·威瑟姆2021年10月9日

参考文献

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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

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多林·安德里卡(Dorin Andrica)、索林·杜勒斯库(Sorin RŢdulescu)和乔治·科特林·厄尔卡什,群的指数:性质、计算和应用,光盘。数学。和应用,Springer,Cham(2020),57-108。

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巴基尔·法希,二项式系数最小公倍数恒等式及其应用,arXiv:0906.2295[math.NT],2009年。

巴基尔·法希,二项式系数最小公倍数恒等式及其应用阿默尔。数学。每月116(9)(2009),836-839。

史蒂文·芬奇,Cilleruelo的LCM常数, 2013. [经作者许可,缓存副本]

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P.Luschny和S.Wehmeier,lcm(1,2,…,n)是在Farey序列中的点上采样的正弦值的乘积,arXiv:0909.1838[math.CA],2009年。

戴斯·麦克海尔和约瑟夫·曼宁,严格复合整数的最大运行次数《数学公报》,第99页,第213-219页(2015年)。

格雷格·马丁,分母相同的分数的Gamma函数值的乘积,arXiv:0907.4384[math.CA],2009年。

M.奈尔,素数的Chebychev型不等式阿默尔。数学。月刊89(2)(1982),126-129。

S.Ramanujan,高度复合数《伦敦数学学会学报》。2,第十四卷,第1期(1915年),第347-409页。(有一种质量更好的变体,带有附加脚注在这里.)

E.S.Selmer,关于二项式系数的素因子个数,数学。扫描。39(1976),第2期,271-281(1977)。

乔纳森·桑多,欧拉常数不合理的判据,程序。AMS 131(2003),3335。

罗斯玛丽·沙利文和尼尔·沃特林,从1到n的整数集上的独立可除对,INTEGERS 13(2013)#A65。

M.Tchebichef,梅莫尔-苏尔-莱斯-诺姆布雷斯首映式,J.数学。Pures Appliques 17(1852),366-390。

赫尔热·冯·科赫,首映提名分配《数学学报》。24 (1) (1901), 159-182.

埃里克·魏斯坦的数学世界,最小公倍数,切比雪夫函数,Mangoldt函数.

可除序列索引

“核心”序列的索引项

与lcm相关的序列的索引项

配方奶粉

素数定理意味着lcm(1,2,…,n)=exp(n(1+o(1)))为n->无穷大。换句话说,log(lcm(1,2,…,n))/n->1表示n->infinity-乔纳森·桑多2005年1月17日

a(n)=乘积(p^(floor(log n/log p)),其中p穿过不超过n的素数(即素数2到A007917号(n) )-Lekraj Beedassy公司2004年7月27日

Greg Martin证明了a(n)=lcm(1,2,3,…,n)=Product{i=Farey(n),0<i<1}2*Pi/Gamma(i)^2。这可以重写(对于n>1)为a(n)=(1/2)*(Product_{i=Farey(n),0<i<=1/2}2*sin(i*Pi))^2-彼得·卢什尼2009年8月8日

用于计算的递归公式:a(0)=1;a(1)=1;a(n)=lcm(n,a(n-1))-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年1月8日

发件人恩里克·佩雷斯·埃雷罗,2011年6月1日:(开始)

a(n)/a(n-1)=A014963号(n) ●●●●。

如果n是素数幂p^k,则a(n)=a(p^k)=p*a(n-1),否则a(n。

a(n)=产品{k=2..n}(1+(A007947号(k) -1)*地板(1/A001221号(k) ),对于n>1。(结束)

a(n)=A079542号(n+1,2)对于n>1。

a(n)=exp(求和{k=1..n}求和{d|k}莫比乌斯(d)*log(k/d))-彼得·卢什尼2012年9月1日

a(n)=A025529号(n)-A027457号(n) ●●●●-埃里克·德斯比亚2013年3月14日

a(n)=exp(Psi(n))=2*产品{k=2。。A002088号(n) }(1-exp(2*Pi*i*A038566号(k+1)/A038567号(k) ),其中i是虚单位,Psi是第二个切比雪夫函数-埃里克·德斯比亚2014年8月13日

a(n)=A064446号(n)*A038610型(n) ●●●●-安东尼布朗2016年6月16日

a(n)=A000142号(n)/A025527号(n)=A000793号(n)*A225558型(n) ●●●●-安蒂·卡图恩2017年6月2日

log(a(n))=和{k>=1}(A309229型(n,k)/k-1/k)-Mats Granvik公司2019年8月10日

发件人Petros Hadjicostas公司2020年7月24日:(开始)

Nair(1982)证明了2^n<=a(n)<=4^n对于n>=9。另见Farhi(2009)。奈尔也证明了

a(n)=lcm(m*二项式(n,m):1<=m<=n)和

a(n)=gcd(a(m)*二项式(n,m):n/2<=m<=n)。(结束)

和{n>=1}1/a(n)=A064859号. -伯纳德·肖特2020年8月24日

例子

{1,2,3,4,5,6}的LCM=60。6以内的素数是2、3和5。floor(log(6)/log(2))=2,所以2的指数是2。

floor(log(6)/log(3))=1,因此3的指数为1。

floor(log(6)/log(5))=1,因此5的指数为1。因此,a(6)=2^2*3^1*5^1=60-大卫·A·科内斯2017年6月2日

MAPLE公司

A003418号:=n->lcm(序列(i,i=1..n));

HalfFarey:=proc(n)局部a,b,c,d,k,s;a:=0;b:=1;c:=1;d:=n;s:=空;dok:=iquo(n+b,d);a、 b,c,d:=c,d,k*c-a,k*d-b;如果2*a>b,则打破fi;s:=s,(a/b);od:[s]结束:LCM:=进程(n)局部i;(1/2)*mul(2*sin(Pi*i),i=HalfFarey(n))^2结束:#彼得·卢什尼

#下一个Maple计划:

a: =proc(n)选项记忆`如果`(n=0,1,ilcm(n,a(n-1)))结束:

seq(a(n),n=0..33)#阿洛伊斯·海因茨2021年6月10日

数学

表[LCM@@范围[n],{n,1,40}](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月1日*)

文件夹列表[LCM,1,范围@28]

A003418号[0] := 1;A003418号[1] := 1;A003418号[编号]:=A003418号[n] =LCM[n,A003418号[n-1]];(*恩里克·佩雷斯·埃雷罗2011年1月8日*)

表[Product[Prime[i]^Floor[Log[Prime[i],n]],{i,PrimePi[n]}],{n,0,28}](*Wei Zhou公司2011年6月25日*)

表[积[分圆[n,1],{n,2,m}],{m,0,28}](*弗雷德·丹尼尔·克莱恩2014年5月22日*)

a1[n_]:=1/12(Pi^2+3(-1)^n(PolyGamma[1,1+n/2]-PolyGamma[1,(1+n)/2])//简化

a[n_]:=分母[Sqrt[a1[n]]];

表[If[IntegerQ[a[n]],a[n],a[n]*(a[n])[[2]]],{n,0,28}](*格里·马滕斯,2018年4月7日[更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2021年7月16日]*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=局部(t);t=n>=0;对于素数(p=2,n,t*=p^(log(n)\log(p)));t吨

(PARI)a(n)=如果(n<1,n==0,1/内容(向量(n,k,1/k))

(PARI)a(n)=my(v=素数(素数(n)),k=平方(n),L=对数(n+.5));prod(i=1,#v,如果(v[i]>k,v[i],v[i]^(L\log(v[i)))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年12月21日

(PARI)a(n)=lcm(向量(n,i,i))\\Bill Allombert,2012年4月18日[通过查尔斯·格里特豪斯四世]

(PARI)n=1;lim=100;i=1;j=1;直到(n==lim,a=lcm(j,i+1));i++;j=a;n++;打印(n“”a);)\\迈克·温克勒2013年9月7日

(弧垂)[lcm(范围(1,n)),用于范围(1、30)中的n]#零入侵拉霍斯,2009年6月6日

(哈斯克尔)

a003418=折叠lcm 1。枚举从2

--莱因哈德·祖姆凯勒2012年4月4日,2011年4月25日

(岩浆)[1]cat[指数(对称群(n)):[1..28]]中的n//阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2013年9月10日

(岩浆)[Lcm([1..n]):n in[0.30]]//布鲁诺·贝塞利2015年2月6日

(方案)(定义(A003418号n) (让回路((n n)(m 1))(如果(0?n)m(回路(-n 1)(lcm m n)));;安蒂·卡图恩2018年1月3日

(Python)

从functools导入reduce

从运算符导入mul

来自sympy导入筛

def integerlog(n,b):#查找最大整数k>=0,这样b^k<=n

kmin,kmax=0,1

而b**kmax<=n:

kmax*=2

为True时:

kmid=(kmax+kmin)//2

如果b**kmid>n:

kmax=kmid

其他:

kmin=kmid

如果kmax-kmin<=1:

打破

返回kmin

定义A003418号(n) :

返回减少(mul,(p**integerlog(n,p)for p in siever.素数范围(1,n+1)),1)#柴华武2021年3月13日

(Python)#生成序列的初始段

从数学导入gcd

从itertools导入累加

定义lcm(a,b):返回a*b//gcd(a,b)

定义aupton(nn):返回[1]+列表(累加(范围(1,nn+1),lcm))

打印(aupton(30))#迈克尔·布拉尼基2021年6月10日

交叉参考

的行产品A133233号.

囊性纤维变性。A000142号,A000793号,A002110号,A002182号,A002201号,A002944号,A014963号,A020500型,A025527号,A038610型,A051173号,A064446号,A064859号,A069513号,A072938号,A093880型,A094348号,A096179号,A099996号,A102910号,A106037标准,A119682号,A179661号,A193181号,A225558型,A225630型,A225632型,A225640型,A225642号.

囊性纤维变性。A025528号(具有多重性的a(n)的素因子数)。

囊性纤维变性。A275120型(连续相等项的运行长度),A276781型(从a(1)=1开始的序数变换)。

上下文中的序列:A085911型 A211418型 A058312号*A109935号 A347304型 A065887号

相邻序列:A003415号 A003416号 A003417号*A003419号 A003420号 A003421号

关键词

非n,容易的,核心,美好的

作者

罗兰·安德森(Roland.Anderson(AT)swipnet.se)

状态

经核准的

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