1,2

对于一些作者来说，术语“自然数”和“计数数”包括0，即指非负整数A001477号; 术语“整数”通常也指整组（有符号）整数A001057号.

a（n）是最小的正整数，它与单调递增且满足a（a（n））=n（cf。A007378号).

逆欧拉变换A000219号.

矩形阵列具有A000027号因为反对偶是三角数补码的离散，A000217号（三角形构成该数组的第1列）。该数组也是A038722号. -克拉克·金伯利2003年4月5日

对于非零x，定义f（n）=楼层（nx）-楼层（n/x）。然后是f=A000027号当且仅当x=tau或x=-tau-克拉克·金伯利2005年1月9日

奇数k（即n）的形式（2^i）*k的数字=A006519号（n）*A000265号（n） ）；因此n唯一地对应于有序对（i，k），其中i=A007814号，千=A000265号（带有A007814号（2个）=A001511号（n） ，A007814号（2n+1）=0）-Lekraj Beedassy公司2006年4月22日

如果偏移量更改为0，我们将得到以下模式：对于当前序列（由n个点定义的1-空间中的区域数），a（n）=二项式（n，0）+二项式，A000124号（由n条直线定义的2个空间中的区域数），A000125号（由n个平面定义的3个空间中的区域数），A000127号（由n个超平面定义的4个空间中的区域数），A006261号,A008859号,A008860号,A008861号,A008862号和A008863号，其中最后六个序列被类比地解释，并且在每个“…by n…”子句中假设偏移量为0，从而导致所有序列的（0）=1，这对应于根本不使用超平面切割的情况，因此具有一个区域Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月19日

在没有两点重合的情况下，在直线上定义一个总体布置的点的数量。然后，当假定偏移量为0时，这些是由直线上一般排列的n个点定义的区域数。例如，a（0）=1，因为使用任何点都不会离开一个区域。序列满足递归a（n）=a（n-1）+1。这有以下几何解释：假设总布置中已经有n-1个点，从而定义了n-1点可以在直线上获得的最大区域数，现在总布置中又增加了一个点。然后它将不与其他点重合，并充当分隔墙，从而在已有的a（n-1）=（n-1。请参阅以下评论A000124号用于类似解释Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月19日

序列a（n）=n（对于n=1,2,3）和a（n）=n+1（对于n=4,5，…）给出了半群I_n\S_n的秩（生成集的最小基数），其中I_n和S_n表示[n]上的对称逆半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日

序列a（n）=n（对于n=1,2），a（n”）=n+1（对于n=3）和a（n“）=n+2（对于n=4,5，…）给出了半群PT_n\T_n的秩（生成集的最小基数），其中PT_n和T_n表示[n]上的部分变换半群和变换半群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日

“上帝创造了整数；其他一切都是人类的工作。”这句著名的引语是利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）1886年在柏林自然福舍尔-弗萨姆隆（Berliner Naturforscher-Versammlung）的演讲中所说的“Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht，alles andere ist Menschenwerk”的翻译。该声明的第一次发表可能是在海因里希·韦伯（Heinrich Weber）的《利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）》（Jahresberichte D.M.V.2（1893）5-31）中-克拉克·金伯利2007年7月7日

的二项式变换A019590型，的二项式逆变换A001792号. -菲利普·德尔汉姆2007年10月24日

写作A000027号作为N，也许N X N和N之间最简单的一对一对应关系是：f（m，N）=（（m+N）^2-m-3n+2）/2。其逆函数由I（k）=（g，h）给出，其中g=k-J（J-1）/2，h=J+1-g，J=楼层（（1+sqrt（8k-7））/2）。因此，I（1）=（1,1），I（2）=（1，2），我（3）=（2，1），依此类推；映射I通过连续的反对偶填充第一象限晶格-克拉克·金伯利2008年9月11日

a（n）也是前n个奇数整数的平均值-伊恩·肯特2008年12月23日

等于的INVERTi变换A001906号，从（1，3，8，21，55，…）开始的均匀诱导斐波那契数-加里·亚当森，2009年6月5日

这些也是2个粗糙数：没有素因子小于2的正整数-迈克尔·波特2009年10月8日

素数p的a（p）=p的全乘序列-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年10月18日

自然数的三角形T（k，j），按行读取，其中T（k、j）=二项式（k，2）+j=（k^2-k）/2+j，其中1<=j<=k。换句话说，a（n）=n=二项法（k，2中）+j，k是最大整数，因此二项式。例如，T（4,1）=7，T（4.2）=8，T（4.3）=9，T（4.4）=10。注意T（n，n）=A000217号（n） ，第n个三角形数-丹尼斯·沃尔什2009年11月19日

Hofstatter-连续序列（参见A004001号)：a（n）=a（a（n-1））+a（n-a（n-1）），其中a（1）=1，a（2）=2-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年12月11日

a（n）也是李代数sl（2）的不可约表示的维数-列奥尼德·贝德拉图克2010年1月4日

弗洛伊德的三角形按行读取-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日

介于k和2k之间的数字数，其中k是整数-乔瓦尼·特奥菲拉托2010年3月26日

由a（2n）=r*a（n），a（2n+1）=a（n）+a（n+1）生成，r=2；在无限集合中，中所示数组的第2行A178568号. -加里·亚当森2010年5月29日

1/n=连分数[n]。设barover[n]=[n，n，n…]=1/k。那么k-1/k=n。例如：[2,2,2，…]=（sqrt（2）-1）=1/k，其中k=。则2=k-1/k-加里·亚当森2010年7月15日

二进制展开包含一次1的n位数字的数目-弗拉基米尔·舍维列夫2010年7月30日

发件人克拉克·金伯利2011年1月29日：（开始）

让T表示“自然数数组A000027号":

1 2 4 7 ...

3 5 8 12 ...

6 9 13 18 ...

10 14 19 25 ...

T（n，k）=n+（n+k-2）*（n+k-1）/2。请参见A185787号用于基于T的序列列表，例如行、列、对角线和子数组。（结束）

斯特恩多项式B（n，x）在x=2处求值。请参见A125184号. -T.D.诺伊2011年2月28日

log（2）的Maclaurin级数的分母为1-1/2+1/3-1/4+-穆罕默德·阿扎里安2011年10月13日

作为伯努利数B_n的函数（参见。A027641号：（1，-1/2，1/6，0，-1/30，0，1/42，…））：让V=B_n的变量，将（-1/2）更改为（1/2）。然后是三角形A074909号（被斩首的帕斯卡三角形）*[1，1/2，1/6，0，-1/30，…]=向量[1，2，3，4，5，…]-加里·亚当森2012年3月5日

2n+1正好分成两部分的分区数-韦斯利·伊万·赫特2013年7月15日

整数n除以u（n）=2u（n-1）-u（n-2）；u（0）=0，u（1）=1（卢卡斯序列A001477号). -托马斯·M·布里奇2013年11月3日

对于这个序列，广义连分式a（1）+a（1，评估为1/（e-2）=A194807号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年1月20日

e-1的恩格尔展开(A091131号= 1.71828...). -雅罗斯拉夫·克里泽克2014年1月23日

a（n）是长度n同时避免经典意义上的213、231和321的排列数，这些排列是递增一元二叉树的宽度第一搜索读取单词。有关更多详细信息，请参阅避免231排列的条目A245898型. -曼达·里尔2014年8月5日

a（n）也是在经典意义上同时避免213、231和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见A245904型有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日

a（n）=最小k，使得2*Pi-和{h=1..k}1/（h^2-h+3/16）<1/n-克拉克·金伯利2014年9月28日

a（n）=最小k，使得Pi^2/6-和{h=1..k}1/h^2<1/n-克拉克·金伯利2014年10月2日

螺旋结S（2，k，（1））的行列式。a（k）=det（S（2，k，（1）））。这些结也是圆环结T（2，k）-瑞恩·斯蒂斯2014年12月15日

作为函数，单位映射对非负整数{0,1,2,3…}的限制，A001477号，到正整数{1,2,3，…}-M.F.哈斯勒2015年1月18日

另请参见A131685型（k） =最小正数m，使得c（i）=m（i^1+1）（i^2+2）。。。（i^k+k）/k！取所有i>=0的整数值：对于k=1，A131685型（k） =1，这意味着这是一个定义良好的整数序列-亚历山大·波沃洛茨基2015年4月24日

a（n）是n+2组成n个部分的数量，避开第2部分-米兰Janjic2016年1月7日

不符合Benford定律【Berger-Hill，2017年】-N.J.A.斯隆2017年2月7日

正整数的有限多子集的参数化，其中，对于p_j，j-th素数n=Product_{j}p_j^（e_j）对应于包含j的e_j副本的多集（“Heinz编码”——参见A056239号,A003963号,A289506型,A289507型,A289508型,A289509型). -克里斯托弗·史密斯2017年7月31日

中定义的算术函数v_1（n，1）A289197型. -罗伯特·普莱斯2017年8月22日

对于n>=3，a（n）=n是在n个单位边的正方形中绘制的不规则八角形的最小面积，其边与轴平行，有4个顶点与正方形的4个顶点重合，其余4个顶点具有整数坐标。请参阅后勤事务链接-米歇尔·马库斯2018年4月28日

a（n+1）是由长度为n的链的不相交并集定义的偏序集上的行运动顺序-尼克·迈尔斯，2018年6月8日

使用Wolfram编号方案中的规则50、58、114、122、178、186、206、220、238、242、250或252，第n代一维元胞自动机中的1的数量以单个1开始-弗兰克·霍尔斯坦2019年3月25日

（1，2，3，4，5，…）是（1，-2，3，-4，5，..）的第四个INVERT变换-加里·亚当森2019年7月15日

T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第1页。

T.M.Apostol，《数论中的模函数和Dirichlet级数》，Springer-Verlag，1990年，第25页。

W.Fulton和J.Harris，《表征理论：第一门课程》（1991年），第149页。[来自列奥尼德·贝德拉图克2010年1月4日]

I.S.Gradstein和I.M.Ryshik，级数、积和积分表，第1卷，Verlag Harri Deutsch，1981年。

R.E.Schwartz，《你可以指望怪物：前100个数字及其特征》，A.K.Peters和MAA，2010年。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

N.J.A.斯隆，n=1..50000的n，a（n）表[一个大文件]

阿基米德实验室，这个号码有什么特别之处？

逻辑事务局，Pick和Pick和Colegram（法语），编号10512018年4月18日。

保罗·巴里，整数序列上的加泰罗尼亚变换及相关变换《整数序列杂志》，第8卷（2005年），第05.4.5条。

詹姆斯·巴顿，数字

A.Berger和T.P.Hill，什么是本福德定律？、通知、Amer。数学。《社会》，64:2（2017），132-134。

A.Breiland、L.Oesper和L.Taalman，p-环面结的着色类密苏里在线数学杂志。科学。，21 (2009), 120-126.

N.Brothers、S.Evans、L.Taalman、L.Van Wyk、D.Witchzak和C.Yarnall，螺旋结密苏里州数学杂志。科学。，22 (2010).

C.K.Caldwell，顶级古玩

Case和Abiessu，有趣的数字

S.Crandall，有趣的数字短命

O.柯蒂斯，有趣的数字

M.DeLong、M.Russell和J.Schrock，n等于+/-1（mod m）的T（m，n，r，s）扭环面结的着色性和行列式，Involve，第8卷（2015），第3期，361-384。

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P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第371页。

Robert R.Forslund，现有位置编号系统的逻辑替代方案《西南纯粹与应用数学杂志》，1995年第1卷，第27-29页。

E.弗里德曼，这个数字有什么特别之处？

R.K.盖伊，致N.J.A.Sloane的信

米兰·扬基克，有限集上某些函数的枚举公式

Kival Ngaokrajang，与许多其他序列的关系图解，当序列被视为一个由其反对偶读取的三角表时。其他图示当序列被视为由行读取的居中三角表时。

迈克·基思，所有数字都很有趣：一种建设性的方法

比萨的莱昂纳多·皮萨诺，初始术语说明摘自《计算之书》，1202年（大卫·辛马斯特摄）。

R.Munafo，特定数字的显著特性

G.Pfeiffer，计算传递关系《整数序列杂志》，第7卷（2004年），第04.3.2条。

R.菲利普斯，从1到31的数字

J.Striker，动态代数组合学：提升、行移和共振，AMS通知，2017年6月/7月，第543-549页。

G.维尔曼的《数字年鉴》，NOMBRES en BREF（法语）

埃里克·魏斯坦的数学世界，自然数,正整数,计数编号 组成,Davenport-Schinzel序列,幂等数,N个,Smarandache Ceil函数,整数,恩格尔扩张、和三项式系数

维基百科，数字列表,有趣的数字悖论、和弗洛伊德三角

Robert G.Wilson v，0到11159之间的数字的英文名称，不带空格或连字符

Robert G.Wilson v，0到100999之间的数字的美式英语名称，不带空格或连字符

“核心”序列的索引项

a（a（n））=2n族序列的索引项

自然数排列序列的索引项

相关分区计数序列的索引项

常系数线性递归的索引项，签名（2，-1）。

可除序列索引

与Benford定律相关的序列索引项

a（2k+1）=A005408号（k） ，k>=0，a（2k）=A005843号（k） ，k>=1。

与a（p^e）相乘=p^e-大卫·W·威尔逊2001年8月1日

另一个g.f.：求和{n>0}φ（n）*x^n/（1-x^n）（阿波斯托）。

当视为数组时：T（k，n）=n+1+（k+n）*（k+n+1）/2。主对角线为2n*（n+1）+1(A001844号)，反对角线和为n*（n^2+1）/2(A006003号). -拉尔夫·斯蒂芬2004年10月17日

Dirichlet生成函数：zeta（s-1）-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2005年9月11日

通用：x/（1-x）^2。例如：x*exp（x）。a（n）=n。a（-n）=-a（n）。

g.f.A（x）的级数反转为x*C（-x）^2，其中C（x）是A000108号. -迈克尔·索莫斯2006年9月4日

G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2）），其中f（u，v）=u^2-v-4*u*v-迈克尔·索莫斯2006年10月3日

的卷积A000012号（全一序列）-塔尼亚·霍瓦诺娃2007年6月22日

a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）；a（1）=1，a（2）=2。a（n）=1+a（n-1）-菲利普·德尔汉姆2008年11月3日

a（n）=A000720号(A000040型（n） ）-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2009年11月29日

a（n+1）=和{k=0..n}A101950号（n，k）-菲利普·德尔汉姆2012年2月10日

a（n）=和φ（d）=和A000010号（d） ●●●●-雅罗斯拉夫·克里泽克2012年4月20日

通用公式：x*产品{j>=0}（1+x^（2^j））^2=x*（1+2*x+x^2）*（1=2*x^2+x^4）*（2+2*x^4+x^8）*…=x+2x^2+3x^3+-加里·亚当森2012年6月26日

a（n）=det（二项式（i+1，j），1≤i，j≤n）-米尔恰·梅卡2013年4月6日

例如：x*E（0），其中E（k）=1+1/（x-x^3/（x^2+（k+1）/E（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月3日

发件人沃尔夫迪特·朗2013年10月9日：（开始）

a（n）=产品{k=1..n-1}2*sin（Pi*k/n），n>1。

a（n）=产品{k=1..n-1}（2*sin（Pi*k/（2*n））^2，n>1。

这些恒等式用于计算正n边形中某些线的长度比的乘积。关于第一个恒等式，请参阅Gradstein-Ryshik参考文献，第62页，第1.392页。将第一个因子移到左边，并取极限x->0（L'Hópital）。第二行位于第一行之后。多亏了塞普·马斯托宁他让我考虑了n-gon长度的产品。（结束）

a（n）=和{j=0..k}（-1）^（j-1）*j*二项式（n，j）*二项法（n-1+k-j，k-j），k>=0-米尔恰·梅卡2014年1月25日

a（n）=A052410号（n）^A052409号（n） ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2014年4月6日

a（n）=和{k=1..n^2+2*n}1/（平方（k）+sqrt（k+1））-皮埃尔·卡米2014年4月25日

a（n）=地板（1/sin（1/n））=地板-克拉克·金伯利2014年10月8日

a（n）=楼层（1/（对数（n+1）-对数（n）））-托马斯·奥多夫斯基2014年10月10日

a（k）=det（S（2，k，1））-瑞恩·斯蒂斯2014年12月15日

a（n）=1/（1/（n+1）+1/（n+1-皮埃尔·卡米2015年1月22日

a（n）=总和{m=0..n-1}斯特林1（n-1，m）*Bell（m+1），对于n>=1。这对应于Bell（m+1）=Sum_{k=0..m}Stirling2（m，k）*（k+1），对于m>=0，根据Stirling 2*Stirling/1=单位矩阵的事实。请参见A048993号,A048994号和A000110号. -沃尔夫迪特·朗2015年2月3日

a（n）=Sum_{k=1..2n-1}（-1）^（k+1）*k*（2n-k）。此外，令人惊讶的是，a（n-查理·马里恩2016年1月5日

通用公式：x/（1-x）^2=（x*r（x）*r（x^3）*r，其中r（x）=（1+x+x^2）^2=（1+2x+3x^2+2x^3+x^4）-加里·亚当森2017年1月11日

a（n）=地板（1/（Pi/2-弧（n）））-克拉克·金伯利2020年3月11日

a（n）=Sum_{d|n}mu（n/d）*sigma（d）-里杜安·乌德拉（Ridouane Oudra）2020年10月3日

a（n）=和{k=1..n}φ（gcd（n，k））/φ（n/gcd（n，k））-理查德·奥尔勒顿2021年5月9日

A000027号：=n->n；序列(A000027号（n） ，n=1..100）；

范围@77(*罗伯特·威尔逊v2015年3月31日*）

（岩浆）[1..100][n:n；

（PARI）{a（n）=n}；

（R） 1:100（1:100）

（外壳）序列1 100

（哈斯克尔）

a000027=id

a000027_list=[1..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年5月7日

（Maxima）临时名单（n，n，1，30）/*马丁·埃特尔2012年11月7日*/

（Python）

定义A000027号（n） ：返回n#柴华武2022年5月9日

A001477号=非负数。

的部分总和A000012号.

囊性纤维变性。A001478号,A001906号,A007931号,A007932号,A027641号,A074909号,A089353号（多集），A178568号,A194807号.

囊性纤维变性。A026081号=美国英语中逆字母顺序的整数，A107322号=数字的英文名称，其反面的字母数相同，A119796号=从0到10，按英文反拼写字母顺序，A005589号等，参见。A185787号（包括基于自然数数组的序列列表A000027号).

参考Boutrophedon变换：A000737号,A231179号;

囊性纤维变性。A038722号（被视为三角形时镜像），A056011号（boutrophedon）。

囊性纤维变性。A048993号,A048994号,A000110号（见2015年2月3日的公式）。

囊性纤维变性。A289187型.

囊性纤维变性。A000010号,A008683号,A000203号.

上下文中的序列：A131738号 A199969型 A303502型*A001477号 A087156号 A254109号

相邻序列：A000024号 A000025号 A000026号*A000028号 A000029号 A000030型

核心,非n,容易的,多重,表

N.J.A.斯隆

链接编辑人丹尼尔·福格斯2009年10月7日

经核准的