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| A000027号 |
| 正整数。也称为自然数、整数或计数，但这些术语不明确。
（原名M0472 N0173）
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2097
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1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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a（n）是最小的正整数，它与单调递增且满足a（a（n））=n（cf。A007378号).
在没有两点重合的情况下，在直线上定义一个总体布置的点的数量。然后，当假定偏移量为0时，这些是由直线上一般排列的n个点定义的区域数。例如，a（0）=1，因为使用任何点都不会离开一个区域。序列满足递归a（n）=a（n-1）+1。这有以下几何解释：假设总布置中已经有n-1个点，从而定义了n-1点可以在直线上获得的最大区域数，现在总布置中又增加了一个点。然后它将不与其他点重合，并充当分隔墙，从而在已有的a（n-1）=（n-1。请参阅以下评论A000124号用于类似解释Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月19日
序列a（n）=n（对于n=1,2,3）和a（n）=n+1（对于n=4,5，…）给出了半群I_n\S_n的秩（生成集的最小基数），其中I_n和S_n表示[n]上的对称逆半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日
序列a（n）=n（对于n=1,2），a（n”）=n+1（对于n=3）和a（n“）=n+2（对于n=4,5，…）给出了半群PT_n\T_n的秩（生成集的最小基数），其中PT_n和T_n表示[n]上的部分变换半群和变换半群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日
“上帝创造了整数；其他一切都是人类的工作。”这句著名的引语是利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）1886年在柏林自然福舍尔-弗萨姆隆（Berliner Naturforscher-Versammlung）的演讲中所说的“Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht，alles andere ist Menschenwerk”的翻译。该声明的第一次发表可能是在海因里希·韦伯（Heinrich Weber）的《利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）》（Jahresberichte D.M.V.2（1893）5-31）中-克拉克·金伯利2007年7月7日
写作A000027号作为N，也许N X N和N之间最简单的一对一对应关系是：f（m，N）=（（m+N）^2-m-3n+2）/2。其倒数由I（k）=（g，h）给出，其中g=k-J（J-1）/2，h=J+1-g，J=楼层（（1+sqrt（8k-7））/2）。因此，I（1）=（1,1），I（2）=（1，2），我（3）=（2，1），依此类推；映射I通过连续的反对偶填充第一象限晶格-克拉克·金伯利2008年9月11日
a（n）也是前n个奇数整数的平均值-伊恩·肯特2008年12月23日
这些也是2个粗糙数：没有素因子小于2的正整数-迈克尔·波特2009年10月8日
自然数的三角形T（k，j），按行读取，其中T（k、j）=二项式（k，2）+j=（k^2-k）/2+j，其中1<=j<=k。换句话说，a（n）=n=二项法（k，2中）+j，k是最大整数，因此二项式。例如，T（4,1）=7，T（4.2）=8，T（4.3）=9，T（4.4）=10。注意T（n，n）=A000217号（n） ，第n个三角形数-丹尼斯·沃尔什2009年11月19日
Hofstatter-连续序列（参见A004001号)：a（n）=a（a（n-1））+a（n-a（n-1）），其中a（1）=1，a（2）=2-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年12月11日
由a（2n）=r*a（n），a（2n+1）=a（n）+a（n+1）生成，r=2；在无限集合中，中所示数组的第2行A178568号. -加里·亚当森2010年5月29日
1/n=连续分数[n]。设barover[n]=[n，n，n…]=1/k。然后k-1/k=n。示例：[2,2,2，…]=（sqrt（2）-1）=1/k，其中k=。则2=k-1/k-加里·亚当森2010年7月15日
1 2 4 7 ...
3 5 8 12 ...
6 9 13 18 ...
10 14 19 25 ...
T（n，k）=n+（n+k-2）*（n+k-1）/2。请参见A185787号用于基于T的序列列表，例如行、列、对角线和子数组。（完）
log（2）的Maclaurin级数的分母为1-1/2+1/3-1/4+-穆罕默德·阿扎里安2011年10月13日
作为伯努利数B_n的函数（参见。A027641美元：（1，-1/2，1/6，0，-1/30，0，1/42，…））：让V=B_n的变量，将（-1/2）更改为（1/2）。然后是三角形A074909号（被斩首的帕斯卡三角形）*[1，1/2，1/6，0，-1/30，…]=向量[1，2，3，4，5，…]-加里·亚当森2012年3月5日
a（n）是同时避免经典意义上的213、231和321的长度为n的排列的数量，这些排列是递增的一元二叉树的广度优先搜索阅读词。有关更多详细信息，请参阅避免231排列的条目A245898型. -曼达·里尔2014年8月5日
a（n）也是在经典意义上同时避免213、231和321的排列数，可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见2004年2月有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日
a（n）=最小k，使得2*Pi-和{h=1..k}1/（h^2-h+3/16）<1/n-克拉克·金伯利2014年9月28日
a（n）=最小k，使得Pi^2/6-和{h=1..k}1/h^2<1/n-克拉克·金伯利2014年10月2日
螺旋结S（2，k，（1））的行列式。a（k）=det（S（2，k，（1）））。这些结也是圆环结T（2，k）-瑞恩·斯蒂斯2014年12月15日
a（n）是n+2组成n个部分的数量，避开第2部分-米兰Janjic2016年1月7日
不符合本福德定律[Berger Hill，2017]-N.J.A.斯隆2017年2月7日
对于n>=3，a（n）=n是在n个单位边的正方形中绘制的不规则八角形的最小面积，其边与轴平行，有4个顶点与正方形的4个顶点重合，其余4个顶点具有整数坐标。请参阅后勤事务链接-米歇尔·马库斯2018年4月28日
a（n+1）是由长度为n的链的不相交并集定义的偏序集上的行运动顺序-尼克·迈尔斯，2018年6月8日
使用Wolfram编号方案中的规则50、58、114、122、178、186、206、220、238、242、250或252，第n代一维元胞自动机中的1的数量以单个1开始-弗兰克·霍尔斯坦2019年3月25日
（1，2，3，4，5，…）是（1，-2，3，-4，5，…）的第四个逆变换-加里·亚当森2019年7月15日
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参考文献
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T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第1页。
T.M.Apostol，《数论中的模函数和Dirichlet级数》，Springer-Verlag，1990年，第25页。
W.Fulton和J.Harris，《表征理论：第一门课程》（1991年），第149页。[来自列奥尼德·贝德拉图克2010年1月4日]
I.S.Gradstein和I.M.Ryshik，级数、积和积分表，第1卷，Verlag Harri Deutsch，1981年。
R.E.Schwartz，《你可以指望怪物：前100个数字及其特征》，A.K.Peters和MAA，2010年。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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A.Berger和T.P.Hill，什么是本福德定律？、通知、Amer。数学。《社会》，64:2（2017），132-134。
A.Breiland、L.Oesper和L.Taalman，p-环面结的着色类密苏里在线数学杂志。科学。，21 (2009), 120-126.
N.Brothers、S.Evans、L.Taalman、L.Van Wyk、D.Witchzak和C.Yarnall，螺旋结密苏里州数学杂志。科学。，22 (2010).
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第371页。
比萨的莱昂纳多·皮萨诺，初始术语说明摘自《计算之书》，1202年（大卫·辛马斯特摄）。
G.Pfeiffer，计算传递关系《整数序列杂志》，第7卷（2004年），第04.3.2条。
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配方奶粉
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另一个g.f.：求和{n>0}φ（n）*x^n/（1-x^n）（阿波斯托）。
通用：x/（1-x）^2。例如：x*exp（x）。a（n）=n.a（-n）=-a（n）。
G.f.A（x）满足0=f（A（x），A（x^2）），其中f（u，v）=u^2-v-4*u*v-迈克尔·索莫斯2006年10月3日
a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）；a（1）=1，a（2）=2。a（n）=1+a（n-1）-菲利普·德尔汉姆2008年11月3日
通用公式：x*产品{j>=0}（1+x^（2^j））^2=x*（1+2*x+x^2）*（1=2*x^2+x^4）*（2+2*x^4+x^8）*…=x+2 x ^2+3 x ^3+-加里·亚当森2012年6月26日
a（n）=det（二项式（i+1，j），1≤i，j≤n）-米尔恰·梅卡2013年4月6日
例如：x*E（0），其中E（k）=1+1/（x-x^3/（x^2+（k+1）/E（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月3日
a（n）=产品{k=1..n-1}2*sin（Pi*k/n），n>1。
a（n）=产品{k=1..n-1}（2*sin（Pi*k/（2*n））^2，n>1。
这些恒等式用于计算正n边形中某些线的长度比的乘积。关于第一个恒等式，请参阅Gradstein-Ryshik参考文献，第62页，第1.392页。将第一个因子移到左边，并取极限x->0（L'Hópital）。第二行位于第一行之后。多亏了塞普·马斯托宁他让我考虑了n-gon长度的产品。（完）
a（n）=和{j=0..k}（-1）^（j-1）*j*二项式（n，j）*二项法（n-1+k-j，k-j），k>=0-米尔恰·梅卡2014年1月25日
a（n）=和{k=1..n^2+2*n}1/（平方（k）+sqrt（k+1））-皮埃尔·卡米2014年4月25日
a（n）=地板（1/sin（1/n））=地板-克拉克·金伯利2014年10月8日
a（n）=楼层（1/（对数（n+1）-对数（n）））-托马斯·奥多夫斯基2014年10月10日
a（k）=det（S（2，k，1））-瑞恩·斯蒂斯2014年12月15日
a（n）=1/（1/（n+1）+1/（n+1-皮埃尔·卡米2015年1月22日
a（n）=总和{m=0..n-1}斯特林1（n-1，m）*Bell（m+1），对于n>=1。这对应于Bell（m+1）=Sum_｛k=0..m｝Stirling2（m，k）*（k+1），对于m>=0，从Stirling2*Stirling1=单位矩阵的事实来看A048993美元,A048994号和A000110号. -沃尔夫迪特·朗2015年2月3日
a（n）=Sum_{k=1..2n-1}（-1）^（k+1）*k*（2n-k）。此外，令人惊讶的是，a（n）=Sum_{k=1..2n-1}（-1）^（k+1）*k^2*（2n-k）^2-查理·马里恩2016年1月5日
通用公式：x/（1-x）^2=（x*r（x）*r（x^3）*r，其中r（x）=（1+x+x^2）^2=（1+2x+3x^2+2x^3+x^4）-加里·亚当森2017年1月11日
a（n）=地板（1/（Pi/2-弧（n）））-克拉克·金伯利2020年3月11日
a（n）=和{k=1..n}φ（gcd（n，k））/φ（n/gcd（n，k））-理查德·奥尔勒顿2021年5月9日
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MAPLE公司
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[1..100][n:n；
（PARI）{a（n）=n}；
（R） 1:100（1:100）
（外壳）序列1 100
（哈斯克尔）
a000027=id
（Maxima）临时名单（n，n，1，30）/*马丁·艾特尔2012年11月7日*/
（Python）
（Julia）印刷品（【1:280中的n换n】）#保罗·穆尔贾迪2024年4月9日
（Perl）打印连接（“，”，1..280）#保罗·穆尔贾迪2024年5月29日
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交叉参考
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