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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000027号 正整数。也称为自然数、整数或计数,但这些术语不明确。
(原名M0472 N0173)
1942
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

对于一些作者来说,术语“自然数”和“计数数”包括0,即指非负整数A001477号; 术语“整数”通常也指整组(有符号)整数A001057号.

a(n)是最小的正整数,它与单调递增且满足a(a(n))=n(cf。A007378号).

逆欧拉变换A000219号.

矩形阵列具有A000027号因为反对偶是三角数补码的离散,A000217号(三角形构成该数组的第1列)。该数组也是A038722号. -克拉克·金伯利2003年4月5日

对于非零x,定义f(n)=楼层(nx)-楼层(n/x)。然后是f=A000027号当且仅当x=tau或x=-tau-克拉克·金伯利2005年1月9日

奇数k(即n)的形式(2^i)*k的数字=A006519号(n)*A000265号(n) );因此n唯一地对应于有序对(i,k),其中i=A007814号,千=A000265号(带有A007814号(2个)=A001511号(n) ,A007814号(2n+1)=0)-Lekraj Beedassy公司2006年4月22日

如果偏移量更改为0,我们将得到以下模式:对于当前序列(由n个点定义的1-空间中的区域数),a(n)=二项式(n,0)+二项式,A000124号(由n条直线定义的2个空间中的区域数),A000125号(由n个平面定义的3个空间中的区域数),A000127号(由n个超平面定义的4个空间中的区域数),A006261号,A008859号,A008860号,A008861号,A008862号A008863号,其中最后六个序列被类比地解释,并且在每个“…by n…”子句中假设偏移量为0,从而导致所有序列的(0)=1,这对应于根本不使用超平面切割的情况,因此具有一个区域Peter C.Heinig(算法(AT)gmx.de),2006年10月19日

在没有两点重合的情况下,在直线上定义一个总体布置的点的数量。然后,当假定偏移量为0时,这些是由直线上一般排列的n个点定义的区域数。例如,a(0)=1,因为使用任何点都不会离开一个区域。序列满足递归a(n)=a(n-1)+1。这有以下几何解释:假设总布置中已经有n-1个点,从而定义了n-1点可以在直线上获得的最大区域数,现在总布置中又增加了一个点。然后它将不与其他点重合,并充当分隔墙,从而在已有的a(n-1)=(n-1。请参阅以下评论A000124号用于类似解释Peter C.Heinig(算法(AT)gmx.de),2006年10月19日

序列a(n)=n(对于n=1,2,3)和a(n)=n+1(对于n=4,5,…)给出了半群I_n\S_n的秩(生成集的最小基数),其中I_n和S_n表示[n]上的对称逆半群和对称群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日

序列a(n)=n(对于n=1,2),a(n”)=n+1(对于n=3)和a(n“)=n+2(对于n=4,5,…)给出了半群PT_n\T_n的秩(生成集的最小基数),其中PT_n和T_n表示[n]上的部分变换半群和变换半群-詹姆斯·伊斯特2007年5月3日

“上帝创造了整数;其他一切都是人类的工作。”这句著名的引语是利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker)1886年在柏林自然福舍尔-弗萨姆隆(Berliner Naturforscher-Versammlung)的演讲中所说的“Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht,alles andere ist Menschenwerk”的翻译。该声明的第一次发表可能是在海因里希·韦伯(Heinrich Weber)的《利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker)》(Jahresberichte D.M.V.2(1893)5-31)中-克拉克·金伯利2007年7月7日

的二项式变换A019590型,的二项式逆变换A001792号. -菲利普·德尔汉姆2007年10月24日

写作A000027号作为N,也许N X N和N之间最简单的一对一对应关系是:f(m,N)=((m+N)^2-m-3n+2)/2。其逆函数由I(k)=(g,h)给出,其中g=k-J(J-1)/2,h=J+1-g,J=楼层((1+sqrt(8k-7))/2)。因此,I(1)=(1,1),I(2)=(1,2),我(3)=(2,1),依此类推;映射I通过连续的反对偶填充第一象限晶格-克拉克·金伯利2008年9月11日

a(n)也是前n个奇数整数的平均值-伊恩·肯特2008年12月23日

等于的INVERTi变换A001906号,从(1,3,8,21,55,…)开始的均匀诱导斐波那契数-加里·亚当森,2009年6月5日

这些也是2个粗糙数:没有素因子小于2的正整数-迈克尔·波特2009年10月8日

素数p的a(p)=p的全乘序列-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年10月18日

自然数的三角形T(k,j),按行读取,其中T(k、j)=二项式(k,2)+j=(k^2-k)/2+j,其中1<=j<=k。换句话说,a(n)=n=二项法(k,2中)+j,k是最大整数,因此二项式。例如,T(4,1)=7,T(4.2)=8,T(4.3)=9,T(4.4)=10。注意T(n,n)=A000217号(n) ,第n个三角形数-丹尼斯·沃尔什2009年11月19日

Hofstatter-连续序列(参见A004001号):a(n)=a(a(n-1))+a(n-a(n-1)),其中a(1)=1,a(2)=2-雅罗斯拉夫·克里泽克2009年12月11日

a(n)也是李代数sl(2)的不可约表示的维数-列奥尼德·贝德拉图克2010年1月4日

弗洛伊德的三角形按行读取-保罗·穆尔贾迪2010年1月25日

介于k和2k之间的数字数,其中k是整数-乔瓦尼·特奥菲拉托2010年3月26日

由a(2n)=r*a(n),a(2n+1)=a(n)+a(n+1)生成,r=2;在无限集合中,中所示数组的第2行A178568号. -加里·亚当森2010年5月29日

1/n=连分数[n]。设barover[n]=[n,n,n…]=1/k。那么k-1/k=n。例如:[2,2,2,…]=(sqrt(2)-1)=1/k,其中k=。则2=k-1/k-加里·亚当森2010年7月15日

二进制展开包含一次1的n位数字的数目-弗拉基米尔·舍维列夫2010年7月30日

发件人克拉克·金伯利2011年1月29日:(开始)

让T表示“自然数数组A000027号":

1 2 4 7 ...

3 5 8 12 ...

6 9 13 18 ...

10 14 19 25 ...

T(n,k)=n+(n+k-2)*(n+k-1)/2。请参见A185787号用于基于T的序列列表,例如行、列、对角线和子数组。(结束)

斯特恩多项式B(n,x)在x=2处求值。请参见A125184号. -T.D.诺伊2011年2月28日

log(2)的Maclaurin级数的分母为1-1/2+1/3-1/4+-穆罕默德·阿扎里安2011年10月13日

作为伯努利数B_n的函数(参见。A027641号:(1,-1/2,1/6,0,-1/30,0,1/42,…)):让V=B_n的变量,将(-1/2)更改为(1/2)。然后是三角形A074909号(被斩首的帕斯卡三角形)*[1,1/2,1/6,0,-1/30,…]=向量[1,2,3,4,5,…]-加里·亚当森2012年3月5日

2n+1正好分成两部分的分区数-韦斯利·伊万·赫特2013年7月15日

整数n除以u(n)=2u(n-1)-u(n-2);u(0)=0,u(1)=1(卢卡斯序列A001477号). -托马斯·M·布里奇2013年11月3日

对于这个序列,广义连分式a(1)+a(1,评估为1/(e-2)=A194807号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年1月20日

e-1的恩格尔展开(A091131号= 1.71828...). -雅罗斯拉夫·克里泽克2014年1月23日

a(n)是长度n同时避免经典意义上的213、231和321的排列数,这些排列是递增一元二叉树的宽度第一搜索读取单词。有关更多详细信息,请参阅避免231排列的条目A245898型. -曼达·里尔2014年8月5日

a(n)也是在经典意义上同时避免213、231和321的排列数,可以实现为具有2n-1个节点的递增严格二叉树上的标签。请参见A245904型有关增加严格二叉树的详细信息-曼达·里尔2014年8月7日

a(n)=最小k,使得2*Pi-和{h=1..k}1/(h^2-h+3/16)<1/n-克拉克·金伯利2014年9月28日

a(n)=最小k,使得Pi^2/6-和{h=1..k}1/h^2<1/n-克拉克·金伯利2014年10月2日

螺旋结S(2,k,(1))的行列式。a(k)=det(S(2,k,(1)))。这些结也是圆环结T(2,k)-瑞恩·斯蒂斯2014年12月15日

作为函数,单位映射对非负整数{0,1,2,3…}的限制,A001477号,到正整数{1,2,3,…}-M.F.哈斯勒2015年1月18日

另请参见A131685型(k) =最小正数m,使得c(i)=m(i^1+1)(i^2+2)。。。(i^k+k)/k!取所有i>=0的整数值:对于k=1,A131685型(k) =1,这意味着这是一个定义良好的整数序列-亚历山大·波沃洛茨基2015年4月24日

a(n)是n+2组成n个部分的数量,避开第2部分-米兰Janjic2016年1月7日

不符合Benford定律【Berger-Hill,2017年】-N.J.A.斯隆2017年2月7日

正整数的有限多子集的参数化,其中,对于p_j,j-th素数n=Product_{j}p_j^(e_j)对应于包含j的e_j副本的多集(“Heinz编码”——参见A056239号,A003963号,A289506型,A289507型,A289508型,A289509型). -克里斯托弗·史密斯2017年7月31日

中定义的算术函数v_1(n,1)A289197型. -罗伯特·普莱斯2017年8月22日

对于n>=3,a(n)=n是在n个单位边的正方形中绘制的不规则八角形的最小面积,其边与轴平行,有4个顶点与正方形的4个顶点重合,其余4个顶点具有整数坐标。请参阅后勤事务链接-米歇尔·马库斯2018年4月28日

a(n+1)是由长度为n的链的不相交并集定义的偏序集上的行运动顺序-尼克·迈尔斯,2018年6月8日

使用Wolfram编号方案中的规则50、58、114、122、178、186、206、220、238、242、250或252,第n代一维元胞自动机中的1的数量以单个1开始-弗兰克·霍尔斯坦2019年3月25日

(1,2,3,4,5,…)是(1,-2,3,-4,5,..)的第四个INVERT变换-加里·亚当森2019年7月15日

参考文献

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链接

N.J.A.斯隆,n=1..50000的n,a(n)表[一个大文件]

阿基米德实验室,这个号码有什么特别之处?

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C.K.Caldwell,顶级古玩

Case和Abiessu,有趣的数字

S.Crandall,有趣的数字短命

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E.弗里德曼,这个数字有什么特别之处?

R.K.盖伊,致N.J.A.Sloane的信

米兰·扬基克,有限集上某些函数的枚举公式

Kival Ngaokrajang,与许多其他序列的关系图解,当序列被视为一个由其反对偶读取的三角表时。其他图示当序列被视为由行读取的居中三角表时。

迈克·基思,所有数字都很有趣:一种建设性的方法

比萨的莱昂纳多·皮萨诺,初始术语说明摘自《计算之书》,1202年(大卫·辛马斯特摄)。

R.Munafo,特定数字的显著特性

G.Pfeiffer,计算传递关系《整数序列杂志》,第7卷(2004年),第04.3.2条。

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J.Striker,动态代数组合学:提升、行移和共振,AMS通知,2017年6月/7月,第543-549页。

G.维尔曼的《数字年鉴》,NOMBRES en BREF(法语)

埃里克·魏斯坦的数学世界,自然数,正整数,计数编号 组成,Davenport-Schinzel序列,幂等数,N个,Smarandache Ceil函数,整数,恩格尔扩张、和三项式系数

维基百科,数字列表,有趣的数字悖论、和弗洛伊德三角

Robert G.Wilson v,0到11159之间的数字的英文名称,不带空格或连字符

Robert G.Wilson v,0到100999之间的数字的美式英语名称,不带空格或连字符

“核心”序列的索引项

a(a(n))=2n族序列的索引项

自然数排列序列的索引项

相关分区计数序列的索引项

常系数线性递归的索引项,签名(2,-1)。

可除序列索引

与Benford定律相关的序列索引项

配方奶粉

a(2k+1)=A005408号(k) ,k>=0,a(2k)=A005843号(k) ,k>=1。

与a(p^e)相乘=p^e-大卫·W·威尔逊2001年8月1日

另一个g.f.:求和{n>0}φ(n)*x^n/(1-x^n)(阿波斯托)。

当视为数组时:T(k,n)=n+1+(k+n)*(k+n+1)/2。主对角线为2n*(n+1)+1(A001844号),反对角线和为n*(n^2+1)/2(A006003号). -拉尔夫·斯蒂芬2004年10月17日

Dirichlet生成函数:zeta(s-1)-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2005年9月11日

通用:x/(1-x)^2。例如:x*exp(x)。a(n)=n。a(-n)=-a(n)。

g.f.A(x)的级数反转为x*C(-x)^2,其中C(x)是A000108号. -迈克尔·索莫斯2006年9月4日

G.f.A(x)满足0=f(A(x,A(x^2)),其中f(u,v)=u^2-v-4*u*v-迈克尔·索莫斯2006年10月3日

的卷积A000012号(全一序列)-塔尼亚·霍瓦诺娃2007年6月22日

a(n)=2*a(n-1)-a(n-2);a(1)=1,a(2)=2。a(n)=1+a(n-1)-菲利普·德尔汉姆2008年11月3日

a(n)=A000720号(A000040型(n) )-尤里·斯蒂潘·杰拉西莫夫2009年11月29日

a(n+1)=和{k=0..n}A101950号(n,k)-菲利普·德尔汉姆2012年2月10日

a(n)=和φ(d)=和A000010号(d) ●●●●-雅罗斯拉夫·克里泽克2012年4月20日

通用公式:x*产品{j>=0}(1+x^(2^j))^2=x*(1+2*x+x^2)*(1=2*x^2+x^4)*(2+2*x^4+x^8)*…=x+2x^2+3x^3+-加里·亚当森2012年6月26日

a(n)=det(二项式(i+1,j),1≤i,j≤n)-米尔恰·梅卡2013年4月6日

例如:x*E(0),其中E(k)=1+1/(x-x^3/(x^2+(k+1)/E(k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月3日

发件人沃尔夫迪特·朗2013年10月9日:(开始)

a(n)=产品{k=1..n-1}2*sin(Pi*k/n),n>1。

a(n)=产品{k=1..n-1}(2*sin(Pi*k/(2*n))^2,n>1。

这些恒等式用于计算正n边形中某些线的长度比的乘积。关于第一个恒等式,请参阅Gradstein-Ryshik参考文献,第62页,第1.392页。将第一个因子移到左边,并取极限x->0(L'Hópital)。第二行位于第一行之后。多亏了塞普·马斯托宁他让我考虑了n-gon长度的产品。(结束)

a(n)=和{j=0..k}(-1)^(j-1)*j*二项式(n,j)*二项法(n-1+k-j,k-j),k>=0-米尔恰·梅卡2014年1月25日

a(n)=A052410号(n)^A052409号(n) ●●●●-莱因哈德·祖姆凯勒2014年4月6日

a(n)=和{k=1..n^2+2*n}1/(平方(k)+sqrt(k+1))-皮埃尔·卡米2014年4月25日

a(n)=地板(1/sin(1/n))=地板-克拉克·金伯利2014年10月8日

a(n)=楼层(1/(对数(n+1)-对数(n)))-托马斯·奥多夫斯基2014年10月10日

a(k)=det(S(2,k,1))-瑞恩·斯蒂斯2014年12月15日

a(n)=1/(1/(n+1)+1/(n+1-皮埃尔·卡米2015年1月22日

a(n)=总和{m=0..n-1}斯特林1(n-1,m)*Bell(m+1),对于n>=1。这对应于Bell(m+1)=Sum_{k=0..m}Stirling2(m,k)*(k+1),对于m>=0,根据Stirling 2*Stirling/1=单位矩阵的事实。请参见A048993号,A048994号A000110号. -沃尔夫迪特·朗2015年2月3日

a(n)=Sum_{k=1..2n-1}(-1)^(k+1)*k*(2n-k)。此外,令人惊讶的是,a(n-查理·马里恩2016年1月5日

通用公式:x/(1-x)^2=(x*r(x)*r(x^3)*r,其中r(x)=(1+x+x^2)^2=(1+2x+3x^2+2x^3+x^4)-加里·亚当森2017年1月11日

a(n)=地板(1/(Pi/2-弧(n)))-克拉克·金伯利2020年3月11日

a(n)=Sum_{d|n}mu(n/d)*sigma(d)-里杜安·乌德拉(Ridouane Oudra)2020年10月3日

a(n)=和{k=1..n}φ(gcd(n,k))/φ(n/gcd(n,k))-理查德·奥尔勒顿2021年5月9日

MAPLE公司

A000027号:=n->n;序列(A000027号(n) ,n=1..100);

数学

范围@77(*罗伯特·威尔逊v2015年3月31日*)

黄体脂酮素

(岩浆)[1..100][n:n;

(PARI){a(n)=n};

(R) 1:100(1:100)

(外壳)序列1 100

(哈斯克尔)

a000027=id

a000027_list=[1..]--莱因哈德·祖姆凯勒2012年5月7日

(Maxima)临时名单(n,n,1,30)/*马丁·埃特尔2012年11月7日*/

(Python)

定义A000027号(n) :返回n#柴华武2022年5月9日

交叉参考

A001477号=非负数。

的部分总和A000012号.

囊性纤维变性。A001478号,A001906号,A007931号,A007932号,A027641号,A074909号,A089353号(多集),A178568号,A194807号.

囊性纤维变性。A026081号=美国英语中逆字母顺序的整数,A107322号=数字的英文名称,其反面的字母数相同,A119796号=从0到10,按英文反拼写字母顺序,A005589号等,参见。A185787号(包括基于自然数数组的序列列表A000027号).

参考Boutrophedon变换:A000737号,A231179号;

囊性纤维变性。A038722号(被视为三角形时镜像),A056011号(boutrophedon)。

囊性纤维变性。A048993号,A048994号,A000110号(见2015年2月3日的公式)。

囊性纤维变性。A289187型.

囊性纤维变性。A000010号,A008683号,A000203号.

上下文中的序列:A131738号 A199969型 A303502型*A001477号 A087156号 A254109号

相邻序列:A000024号 A000025号 A000026号*A000028号 A000029号 A000030型

关键词

核心,非n,容易的,多重,

作者

N.J.A.斯隆

扩展

链接编辑人丹尼尔·福格斯2009年10月7日

状态

经核准的

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