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| A085478号 |
| 按行读取的三角形：T（n，k）=二项式（n+k，2*k）。 |
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60
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1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 6, 5, 1, 1, 10, 15, 7, 1, 1, 15, 35, 28, 9, 1, 1, 21, 70, 84, 45, 11, 1, 1, 28, 126, 210, 165, 66, 13, 1, 1, 36, 210, 462, 495, 286, 91, 15, 1, 1, 45, 330, 924, 1287, 1001, 455, 120, 17, 1, 1, 55, 495, 1716, 3003, 3003, 1820, 680, 153, 19, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.5
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评论
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T（n，k）是具有k+1峰值的半长n+1的非递减Dyck路径数。T（n，k）是半长n+1的非递减Dyck路径数，在高度>=2处有k个峰值。T（n，k）是区域n+1，具有k+1列的定向列-凸多项式的数目-Emeric Deutsch公司2004年5月31日
Riordan阵列（1/（1-x），x/（1-x）^2）-保罗·巴里，2005年5月9日
第n行给出了n波序列底线g.f.倒数系数的绝对值Floor van Lamoen（fvlamoen（AT）planet.nl），2006年9月24日
T（n，k）也是幂等序的个数，它提供高度k>=1（高度（α）=|Im（α）|）和腰围n（腰围（α）=max（Im（alpha））的（n链的）完全变换-阿卜杜拉希·奥马尔2008年10月2日
A085478号与联合生成A078812号作为多项式u（n，x）系数的三角形数组：最初，u（1，x）=v（1，x）=1；当n>1时，u（n，x）=u（n-1，x）+x*v（n-1）x和v（n，x）=u。请参阅Mathematica部分-克拉克·金伯利2012年2月25日
T（n，k）也是2*n+1到2*k+1部分的组成数（有序分区），这些部分都是奇数。证明：当k>=0时，k列的o.g.f.，x^k/（1-x）^（2*k+1），是具有o.g.f.（x/（1-x ^2））^（2*k+1）（平分，奇数部分）的序列的奇数索引成员的o.g.f。因此，T（n，k）是由多项式的和得到的A048996美元对于2*n+1到2*k+1部分的划分，它们都是奇数。例如，根据分区[1，1，5]和[1，3，3]的数字，T（3，1）=3+3，即3/（2！*1！）和3/（1！*2！）。将这些分区的数量作为条目的数字三角形为A152157号. -沃尔夫迪特·朗2012年7月9日
x的降次幂的第n行多项式是代数函数F（x）*G（x）^n关于0的第n个泰勒多项式，其中F（x。例如，对于n=4，（1+平方（1+4*x））/（2*sqrt（1+4*x））*（（1+立方（1+4**））/2）^8=（x^4+10*x^3+15*x^2+7*x+1）+O（x^5）-彼得·巴拉2018年2月23日
第n行还给出了中给出的三对角n X n矩阵M_n的特征多项式的系数A332602型：Phi（n，x）：=Det（M_n-x*1_n）=和{k=0..n}T（n，k）*（-x）^k，对于n>=0，Phi（0，x）:=1-沃尔夫迪特·朗2020年3月25日
看起来，n次多项式的最大根等于包含边1的（2n+1）-gon的不同对角线之和。x^3-6x^2+5x-1的最大根为5.048917…=（1+1.80193…+2.24697…）之和。或者，n次多项式的最大根等于σ（2n+1）的平方。检查：5.048917…是σ（7）的平方，2.24697….给定N=2n+1，σ（N）（N奇数）可以定义为1/（2*sin（Pi/（2*N））。关于9-gon，x^4-10x^3+15x^2-7x+1的最大根是8.290859…，=（1+1.879385…+2.532088…+2.879386…）之和，是sigma（9）的平方，2.879385A231187型进一步阐明sigma（7）-加里·亚当森2022年6月28日
对于n>=1，第n行由-4*sin（Pi/（4*n+2））^2的最小多项式的系数给出-埃里克·韦斯特因2023年7月12日
用L表示这个下三角数组，则L*diag（二项式（2*k，k）^2）*transpose（L）是A143007号，A_n X A_n晶格的水晶球序列的方形阵列-彼得·巴拉2024年2月6日
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链接
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詹姆斯·伊斯特和尼古拉斯·哈姆，Z^2的格路和子幺半群，arXiv:1811.05735[math.CO]，2018年。
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配方奶粉
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T（n，k）=（n+k）/（n-k）*（2*k）！）。
如果n<k，T（n，0）=1，T（n，k）=0；T（n，k）=和{j>=0}T（n-1-j，k-1）*（j+1）。如果k>0，T（0,0）=1，T（0，k）=0；T（n，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k）+Sum_{j>=0}（-1）^j*T（n-l，k+j）*A000108号（j） ●●●●。对于k列，g.f.：求和{n>=0}T（n，k）*x^n=（x^k）/（1-x）^（2*k+1）-菲利普·德尔汉姆2004年2月15日
T（n，k）=2*T（n-1，k）+T（n-1，k-1）-T（n-2，k）-菲利普·德尔汉姆2012年2月6日
k列的O.g.f.：x^k/（1-x）^（2*k+1），k>=0。[参见上面三角形的o.g.f.，以及对构图的评论-沃尔夫迪特·朗2012年7月9日]
例如：（2/sqrt（x+4））*sinh（（1/2）*t*sqrt（1+3*x+x^2）*t^5/5！+（1+6*x+5*x^2+x^3）*t^7/7！+。。。。囊性纤维变性。A091042号. -彼得·巴拉2013年7月29日
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例子
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三角形的开头为：
1;
1 1;
1 3 1;
1 6 5 1;
1 10 15 7 1;
1 15 35 28 9 1;
1 21 70 84 45 11 1;
1 28 126 210 165 66 13 1;
1 36 210 462 495 286 91 15 1;
1 45 330 924 1287 1001 455 120 17 1;
1 55 495 1716 3003 3003 1820 680 153 19 1;
...
（0,1,0,1,0，0,0，…）DELTA（1,0,1，-1，0,0,0…）开始：
1
0, 1
0, 1, 1
0, 1, 3, 1
0, 1, 6, 5, 1
0, 1, 10, 15, 7, 1
0、1、15、35、28、9、1
0, 1, 21, 70, 84, 45, 11, 1
0, 1, 28, 126, 210, 165, 66, 13, 1. （结束）
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MAPLE公司
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T：=（n，k）->二项式（n+k，2*k）：seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..11）；
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数学
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（*第一个程序*）
u[1，x_]：=1；v[1，x_]：=1；z=13；
u[n，x_]：=u[n-1，x]+x*v[n-1、x]；
v[n，x]：=u[n-1，x]+（x+1）*v[n-1、x]；
表[展开[u[n，x]]，{n，1，z/2}]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z/2}]
cu=表[系数列表[u[n，x]，x]，{n，1，z}]；
表格[cu]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z}]
cv=表[系数列表[v[n，x]，x]，{n，1，z}]；
表格[cv]
（*第二个节目*）
表[二项式[n+k，2k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2019年8月1日*）
系数列表[表[Fibonacci[2 n+1，Sqrt[x]]，{n，0，10}]，x]//展平(*埃里克·韦斯特因2023年7月3日*）
连接[{{1}}，系数列表[Table[MinimalPolynomial[-4Sin[Pi/（4n+2）]^2，x]，{n，20}]，x]](*埃里克·韦斯特因2023年7月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）T（n，k）=二项式（n+k，n-k）
（哈斯克尔）
a085478 n k=a085478_tabl！！不！！k个
a085478_row n=a085478 _ tabl！！n个
a085478_tabl=zipWith（zipWitha007318）a051162_tabl a025581_tabl
（岩浆）[二项式（n+k，2*k）：k in[0..n]，n in[0..12]]//G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
（Sage）[[二项式（n+k，2*k）用于k in（0..n）]用于n in（0..12）]#G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
（GAP）平面（列表（[0..12]，n->List（[0..n]，k->二项式（n+k，2*k）））#G.C.格鲁贝尔2019年8月1日
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交叉参考
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关键词
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作者
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已批准
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