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| A000292号 |
| 四面体（或三角锥）数：a（n）=C（n+2,3）=n*（n+1）*（n+2）/6。
（原名M3382 N1363）
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813
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0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925, 3276, 3654, 4060, 4495, 4960, 5456, 5984, 6545, 7140, 7770, 8436, 9139, 9880, 10660, 11480, 12341, 13244, 14190, 15180
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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a（n）是三角形金字塔中每个边包含n个球的球数。
五个柏拉图多面体（四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体）数之一（参见。A053012号).
此外，（1/6）*（n^3+3*n^2+2*n）是使用<=n种颜色为三角形顶点着色的方法的数量，允许旋转和反射。群是具有循环指数（x1^3+2*x3+3*x1*x2）/6的二面体群D_6。
自然数与其自身的卷积Felix Goldberg（felixg（AT）tx.technion.ac.il），2001年2月1日
通过1*a（x-2）+4*a（x-1）+1*a（x）=x^3与欧拉数（1，4，1）相连-戈特弗里德·赫尔姆斯2002年4月15日
a（n）是所有可能乘积p*q的和，其中（p，q）是有序对，p+q=n+1。例如，a（5）=5+8+9+8+5=35-阿玛纳斯·穆尔西2003年5月29日
n+3个节点上的三角形标记图的数量-乔恩·佩里2003年6月14日
n+3的排列数正好有1个下降并避免了模式1324-迈克·扎布罗基2004年11月5日
此多面体的Schlaefli符号：{3,3}。
Riordan数组下n^2的变换（1/（1-x^2），x）-保罗·巴里2005年4月16日
a（n）只是n={1,2,48}的完美平方。例如，a（48）=19600=140^2-亚历山大·阿达姆楚克2006年11月24日
a（n+1）是3个变量中n次完全齐次对称多项式的项数-理查德·巴恩斯2017年9月6日
这也是平均“置换熵”，和（（pi（n）-n）^2）/n！，覆盖所有可能的n！排列pi.-杰夫·博斯科尔（jazzerciser（AT）hotmail.com），2007年3月20日
a（n）=（d/dx）（S（n，x），x）|_{x=2}。在x=2时计算的切比雪夫S多项式的一阶导数。请参见A049310型. -沃尔夫迪特·朗2007年4月4日
如果X是一个n集，Y是X的固定（n-1）子集，那么a（n-2）等于X与Y相交的3个子集的数目-米兰Janjic2007年8月15日
a（n）是歌词作者的真爱在歌曲“圣诞节的十二天”中截至并包括第n天收到的礼物数量。a（12）=364，几乎是一年中的天数伯纳德·希尔（Bernard（AT）braeburn.co.uk），2008年12月5日
这是一个alpha=0的“Matryoshka doll”序列，乘法对应项是A000178号：seq（添加（i，i=α..k），k=α..n），n=α..50）-彼得·卢什尼2009年7月14日
a（n）是n个不同数的非递减三元排列的数目-塞缪尔·萨维茨2009年9月12日
a（n+4）是4个元素之和上编号为n的不同分区的数量。例如，a（6）=a（2+4），因为我们在4个元素的和上有10个不同的2分区2=2+0+0+0=1+1+0+0=0+2+0+0=1+0+1+0=0+0+2+0+1+0=1+0+0+0+0+1+0+1+0+0+0+1+0+0+0-阿图尔·贾辛斯基2009年11月30日
a（n）对应于使用中描述的技术记忆n节诗句的总步骤数A173564号.-易卜拉希马·费伊（ifaye2001（AT）yahoo.fr），2010年2月22日
a（n）也是从第二项开始，通过将对角线与三个对角线端点相交，在n个角中形成的三角形的数量（参见Sommars链接中表格的第一列）-亚历山大·瓦恩伯格2010年8月21日
列总和：
1 4 9 16 25...
1 4 9...
1...
..............
--------------
1 4 10 20 35...
Ca3、Ca4、Gi3和Gi4三角形和（参见A180662号Connell-Pol三角形的定义A159797号是复制四面体数的移位版本的线性和，例如，Gi3（n）=17*a（n）+19*a（n-1）和Gi4（n）=5*a（m）+a（n-1）。
此外，Connell序列的Kn3、Kn4、Ca3、Ca4、Gi3和Gi4三角和A001614号作为三角形，也是上述序列移位版本的线性和。（结束）
a（n-2）=n_0（n），n>=1，其中a（-1）：=0，是三维空间中一般位置上n个平面的顶点数。请参阅下面的注释A000125号用于总布置。对阿诺德问题的评论，1990-11年，见阿诺德参考，第506页-沃尔夫迪特·朗2011年5月27日
我们考虑图G的最佳真顶点着色。假设标记，即着色从1开始。通过优化，我们的意思是使用的最大标号是G的所有可能标号使用的最大整数标号的最小值。设S=差值之和|l（v）-l（u）|，G的所有边uv和l（w）的和是与G的顶点w相关联的标号。如果G的所有可能标号都是S-不变的，并且产生S的相同整数分区，那么我们说G允许唯一标号。通过偏移，这个序列给出了n个顶点上完整图的S-值，n=2，3-K.V.Iyer公司2011年7月8日
相对论量子开弦四维情况下横向Virasoro算符换向器的中心项（参考Zwiebach）-汤姆·科普兰2011年9月13日
在第43页的Ovsienko参考中，显示为Sturm-Liouville运算符的系数-汤姆·科普兰2011年9月13日
由3形式v[ijk]所跨越的空间的尺寸，该形式耦合到覆盖圆环内3个循环的M2-平面世界表（参考Green、Miller、Vanhove等式3.9）-斯蒂芬·克劳利2012年1月5日
a（n+1）是所有项都在{0，1，…，n}和（项之和）=n中的2X2矩阵的数目。此外，a（n+1）是所有项都在{0,1，…，n}和-克拉克·金伯利2012年3月19日
使用n+4个连续三角数t（1），t（2）。。。，t（n+4），其中n是该序列的第n项，通过连接点（t（1），（t（2。。。，（t（1），t（2））到（t（n+3），t。这个多边形的面积将是这个序列中每个项的一半-J.M.贝戈2012年5月5日
皮萨诺周期长度：1、4、9、8、5、36、7、16、27、20、11、72、13、28、45、32、17108、19、40。（Pisano序列模m是辅助序列p（n）=a（n）mod m，n>=1，对于某些m.p（n。此处引用了m>=1时p（n）周期的长度。）-R.J.马塔尔2012年8月10日
a（n）是与任何精确包含n+2叶的系统发育树（0级系统发育网络）相一致的有根三元组的最大可能数目-杰斯珀·詹森2012年9月10日
对于n>0，此序列的数字根A010888型（a（n））形成纯周期27周期{1，4，1，2，8，2，3，3，4，7，4，5，2，5，6，6，7，1，7，8，5，8，9，9，9}，它只是重新表述了上面的皮萨诺周期长度-蚂蚁王2012年10月18日
a（n）是函数f从{1,2,3}到{1,2，…，n+4}的个数，使得f（1）+1<f（2）和f（2-丹尼斯·沃尔什2012年11月27日
a（n）是具有n+1个顶点的路径图的Szeged指数；参见Diudea等人的参考文献，第155页，等式（5.8）-Emeric Deutsch公司2013年8月1日
也可以通过单个块转置排序的长度为n的排列数-文森特·瓦特2013年8月21日
a（n）是3 X 3矩阵行列式
|（n，1）C（n，2）C（n3）|
|C（n+1，1）C（n+1,2）C（n+1,3）|
|C（n+2,1）C（n+2,2）C（n+2,3）|
（结束）
在物理学中，a（n）/2是自旋为S=n/2的粒子的自旋算符S_z^2的迹。例如，当S=3/2时，S_z特征值为-3/2、-1/2、+1/2、+3/2，它们的平方和为10/2=a（3）/2-斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月6日
a（n+1）=（n+1*（n+2）*（n+3）/6也是n次齐次多项式的Hilbert空间的维数-L.埃德森·杰弗里2013年12月12日
对于n>=4，a（n-3）是1,2…，n的排列数，上（1）-下（0）个元素的分布为0…0111（n-4个零），或者等价地，a（n-3）是上下系数{n，7}（参见A060351型). -弗拉基米尔·舍维列夫2014年2月15日
a（n）是通过绘制点（n^2，（n+1）^2）创建的区域面积的一半。一条线连接点（n^2，（n+1）^2）和（（n+1，（n+2）^2，），从（0,1）到每个递增点画一条线。从（0,1）到（4,9），面积为2；从（0,1）到（9,16），面积为8；其他区域为20,40,70，。。。，2*a（n）-J.M.贝戈2014年5月29日
a（n+1）表示n>=1时，字母表[4]={1、2、3、4}（或任何其他四个不同的数字）上非递减n字母单词的数量。a（2+1）=10来自单词11、22、33、44、12、13、14、23、24、34；这也是对称4X4矩阵中不同元素的最大数目。受2014年7月20日评论的启发R.J.卡诺在A000582号. -沃尔夫迪特·朗2014年7月29日
在对称群S3作用下计算平面分割轨道的q多项式次数。轨道计数生成函数为product_{i<=j<=k<=n}（（1-q^（i+j+k-1））/（1-qqu（i+j+k-2）））。参见q-TSPP参考-奥利维尔·杰拉德2015年2月25日
如果n是偶数，则a（n）=和{k=1..n/2}（2k）^2。如果n是奇数，则a（n）=和{k=0..（n-1）/2}（1+2k）^2。这可以用分别位于2k或2k+1边长平台上的方形金字塔内的堆叠盒来说明。最大的k是2k X 2k或（2k+1）X（2k+1）基数-R.K.盖伊2015年2月26日
在平面的一般位置画n条线。任何三个定义一个三角形，所以在所有我们看到的C（n，3）=a（n-2）三角形中（6条线产生4个三角形，依此类推）Terry Stickels，2015年7月21日
a（n-2）=fallfac（n，3）/3！，n>=3，也是秩3和维数n的反对称张量的独立分量的个数。这里falfac是下降阶乘-沃尔夫迪特·朗2015年12月10日
n+3的组合数（有序分区）精确到4个部分-尤根·威尔2016年1月2日
n-1的弱组分（有序弱分区）的数量精确到4个部分-尤根·威尔2016年1月2日
对于n>=2，给出了计算两个上n×n三角形矩阵乘积时两个非零矩阵元素的乘法数-约翰·M·科菲2016年6月23日
C（n+2,3）是在n+2个对象中选择1个三元组的方法数，因此a（n）是指数Bell多项式B_{n+2}（x1，x2，…）中x1^（n-1）*x3的系数，因此它与A050534号和A001296号（见公式）-西里尔·达玛姆2018年2月26日
a（n）也是（n+4）-路径补码图中的3个圈数-埃里克·韦斯特因2018年4月11日
a（n）+4*a（n-1）+a（n-2）=n^3=A000578号（n） ，对于n>=0（扩展名称中给出的a（n）公式）。这是立方体的Worpitzky恒等式。（维度n>=1的秩3张量分解为对称、混合和反对称部分的分量数）。关于（n-2），请参阅我2015年12月10日的评论-沃尔夫迪特·朗2019年7月16日
a（n）也给出了长度为k（以某种长度单位）的正则三角形的总数，其中k来自{1,2，…，n}，在长度为n的封闭三角形的火柴棒排列中，但只计算了具有封闭三角形方向的三角形。无符号行和A122432号（n-1，k-1），对于n>=1。请参阅安德鲁·霍罗伊德中的注释A085691号. -沃尔夫迪特·朗2020年4月6日
a（n）是n+1元素上的bigrassmannian置换数，即具有唯一左世系和唯一右世系的置换-拉斐尔·马尔登2020年8月21日
a（n-2）是使用n种或更少颜色的三角形边或顶点的手性成对着色数-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日
a（n-2）是{1,2，…，n}的子集数，其直径为其大小。例如，对于n=4，a（2）=4，集合是{1,3}，{2,4}，}1,2,4}，{1,3,4}-恩里克·纳瓦雷特2020年12月26日
对于n>1，a（n-2）是{1,2，…，n}的子集数，其中第二大元素是子集的大小。例如，对于n=4，a（2）=4，集合是{2,3}、{2,4}、}1,3,4}和{2,3,4{-恩里克·纳瓦雷特2021年1月2日
a（n）是长度为n+2且正好为3个0的二进制字符串的数目-恩里克·纳瓦雷特2021年1月15日
除了零之外，这个序列是帕斯卡矩阵的第四条对角线A007318号和矩阵表示的唯一非对角（第四）IM=(A132440号)^3/3! 微分算子D^3/3！，作用于o.g.f.系数的行向量或幂级数时。
M=e^{IM}是Appell多项式序列p_n（x）=e^}D^3/3A025035型M的第一列用双零填充。
a（n）是整数长度半径>=1且中心位于n X n网格中网格点的圆数-阿尔伯特·斯瓦福德2021年6月11日
具有n+1个顶点的所有连通图的最大维纳指数-艾伦·比克2022年7月9日
除了上述n^3恒等式外，第三个欧拉行（1,4,1）与四面体数还有一个额外的联系：a^2（n）+4*a^2。例如，a^2（2）+4*a^2。虽然欧拉三角形和三角数C（n+1,2）的（1,1）行也发生了类似的情况=A000217号（n） =T（n），即T（n-1）+T（nA000332号也就是说，（1,11,11,1）与4个连续项的平方的点积A000332号通常不是A000332号. -理查德·彼德森2022年8月21日
对于n>1，a（n-2）是Diophantine方程x1+x2+x3+x4+x4+x5=n的解的数目，受约束条件0<=x1，1<=x2，2<=x3，0<=x4<=1，0<=x5，x5是偶数-丹尼尔·切卡2022年11月3日
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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a（n）=C（n+2.3）=n*（n+1）*（n+2）/6（见名称）。
通用格式：x/（1-x）^4。
a（n）=-a（-4-n）表示Z中的所有。
a（n）=和{k=0..n}A000217号（k） =和{k=1..n}和{j=0..k}j，三角数的部分和。
a（n）=和{1<=i<=j<=n}|i-j|-阿玛纳斯·穆尔西2002年8月5日
a（n）=（n+3）*a（n-1）/n-拉尔夫·斯蒂芬2003年4月26日
n×n对称帕斯卡矩阵M_（i，j）=C（i+j+2，i）的行列式-贝诺伊特·克洛伊特2003年8月19日
由指数与级数长度（n）的乘积减去指数（i）构成的级数的和：a（n）=和[i（n-i）]马丁·史蒂文·麦考密克（mathseq（AT）wazer.net），2005年4月6日
a（n）=和{k=0..层（（n-1）/2）}（n-2k）^2[偏移量0]；a（n+1）=和{k=0..n}k^2*（1-（-1）^（n+k-1））/2[偏移量0]-保罗·巴里2005年4月16日
SL_2的Verlinde公式值，g=2:a（n）=Sum_{j=1..n-1}n/（2*sin^2（j*Pi/n））-西蒙·塞韦里尼2006年9月25日
a（n）=和{k=1..n}二项式（n*k+1，n*k-1），a（0）=0-保罗·拉瓦2007年4月13日
从[1，3，3，1，…]的1=二项式变换开始；例如，a（4）=20=（1，3，3，1）点（1，三，3，一）=（1+9+1）-加里·亚当森2007年11月4日
当n>=4时，a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n-3）-a（n-4）-杰姆·奥利弗·拉丰2008年11月18日
Gradstein-Ryshik 1.513.7中的总和{n>=1}1/a（n）=3/2，情况x=1-R.J.马塔尔2009年1月27日
例如：（x^3）/6+x^2+x）*exp（x）-杰弗里·克雷策2009年2月21日
偏移量为1时，a（n）=（1/6）*楼层（n^5/（n^2+1））-加里·德特利夫斯2010年2月14日
a（n）=（3*n^2+6*n+2）/（6*（h（n+2）-h（n-1））），n>0，其中h（n）是第n次谐波数-加里·德特利夫斯2011年7月1日
a（n）=1+1/（x+1）+1/（x+1）^2+1/（x+1）^3+…+麦克劳林展开式中的x^2系数1/（x+1）^n-弗朗西斯科·达迪2011年8月2日
a（n）=sin（x）*exp（（n+1）*x）的Maclaurin展开式中的x^4系数-弗朗西斯科·达迪2011年8月4日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+1-蚂蚁王2012年10月18日
通用公式：x*U（0），其中U（k）=1+2*x*（k+2）/（2*k+1-x*（2*k+1）*（2*k+5）/；（连分数，第3类，3步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年12月1日
a（n^2-1）=（1/2）*（a（n*2-n-2）+a（n|2+n-2））和
G.f.:x+4*x^2/（Q（0）-4*x）其中Q（k）=1+k*（x+1）+4*x-x*（k+1）*（k+5）/Q（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月14日
a（n+1）=det（C（i+3，j+2），1<=i，j<=n），其中C（n，k）是二项式系数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
当n>1时，a（n）=a（n-2）+n^2-伊万·伊纳基耶夫2013年4月16日
当n>0时，a（2n）=4*（a（n-1）+a（n））-伊万·伊纳基耶夫2013年4月26日
G.f.:x*G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x/（x+（k+1）/（k+4）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月2日
a（n）=n+2*a（n-1）-a（n-2），其中a（0）=a（-1）=0-理查德·福伯格2013年7月11日
对于任何非负整数m和n，a（n）*（m+1）^3+a（m）*（n+1）=a（n*m+n+m）。这是关于三角数的欧拉定理的三维模拟，即t（n）x（2m+1）^2+t（m）=t（2nm+n+m），其中t（n）是第n个三角数-伊万·伊纳基耶夫2013年8月20日
和{n>=0}a（n）/（n+1）！=2*e/3=1.8121878856393….和{n>=1}a（n）/n！=13*e/6=5.88961062832-理查德·福伯格2013年12月25日
a（k*n）=a（k）*a（n）+4*a（k-1）*a-罗伯特·伊斯雷尔2015年4月20日
Dirichlet g.f.：（zeta（s-3）+3*zeta（s-2）+2*zeto（s-1））/6-伊利亚·古特科夫斯基2016年7月1日
通用公式：x/（1-x）^4=（x*r（x）*r（x^2）*r，其中r（x）=（1+x）^4=（1+4x+6x^2+4x^3+x^4）；和x/（1-x）^4=（x*r（x）*r（x^3）*r其中r（x）=（1+x+x^2）^4-加里·亚当森2017年1月23日
a（n）=1*C（n，1）+2*C（n，2）+1*C。
a（n-2）=1*C（n，3），其中C（n、k）的系数是使用k种颜色的手性三角形着色对的数量。
产品{n>=1}（1+1/a（n））=sinh（平方（2）*Pi）/（3*sqrt（2）*Pi）。
产品{n>=2}（1-1/a（n））=sqrt（2）*sinh（sqert（2）*Pi）/（33*Pi）。（结束）
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例子
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a（2）=3*4*5/6=10，三层球组成的金字塔中的球数，底部三角形为6，中间层为3，顶部为1。
考虑正方形阵列
1 2 3 4 5 6 ...
2 4 6 8 10 12 ...
3 6 9 12 16 20 ...
4 8 12 16 20 24 ...
5 10 15 20 25 30 ...
...
G.f.=x+4*x^2+10*x^3+20*x^4+35*x^5+56*x^6+84*x^7+120*x^8+165*x^9+。。。
例如，a（3+1）=20个不减3个字母的单词覆盖{1,2,3,4}:111,222,333；444, 112, 113, 114, 223, 224, 122, 224, 133, 233, 144, 244, 344; 123, 124, 134, 234. 4 + 4*3 + 4 = 20. -沃尔夫迪特·朗2014年7月29日
例如，对于维数为4的秩3反对称张量a的a（4-2）=4个独立分量：a（1,2,3）、a（1,2,4）、a“1,3,4”和a（2,3,4）-沃尔夫迪特·朗2015年12月10日
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MAPLE公司
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a： =n->n*（n+1）*（n+2）/6；seq（a（n），n=0..50）；
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数学
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表[二项式[n+2,3]，{n，0，20}](*零入侵拉霍斯2010年1月31日*）
FoldList[Plus，0，Rest[FoldLtetrist[Plus、0，Range[50]]]（*由更正罗伯特·威尔逊v2013年6月26日*）
累计[累计[范围[0，50]]](*哈维·P·戴尔2011年12月10日*）
表[n（n+1）（n+2）/6，{n，0，100}](*韦斯利·伊万·赫特2013年9月25日*）
嵌套[累加，范围[0，50]，2](*哈维·P·戴尔2017年5月24日*）
线性递归[{4，-6，4，-1}，{0，1，4，10}，20](*埃里克·韦斯特因2017年9月8日*）
系数列表[级数[x/（-1+x）^4，{x，0，20}]，x](*埃里克·韦斯特因2017年9月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=（n）*（n+1）*（n+2）/6\\修正人哈里·史密斯2008年12月22日
（PARI）a=矢量（10000）；a[2]=1；对于（i=3，#a，a[i]=a[i-2]+i*i）\\斯坦尼斯拉夫·西科拉2013年11月7日
（PARI）是（n）=我的（k=平方英寸（6*n，3））；k*（k+1）*（k+2）==6*n\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年12月13日
（导数）v（n）:=[1，2，3，…，n]w（n）：=[n，…，3，2，1]a
（哈斯克尔）
a000292 n=n*（n+1）*（n+2）`div`6
a000292_list=扫描1（+）a000217_list
（岩浆）[0..50]]中的[n*（n+1）*（n+2）/6:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月3日
x、 y，z=1，1，1
产量0
为True时：
收益率x
x、 y，z=x+y+z+1，y+z+1z+1
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000217号（第一个差异），A001044号，（参见上述示例），A061552号,A040977号,A133111号,A133112号,A152205号,A158823号,A156925号,A157703型,A173564号,A058187号,A190717号,A190718号,A100440号,A181118号,A222716号.
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关键词
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非n,核心,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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