搜索： a001710-编号：a001710
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1, 1, 1, 3, 12, 60, 360, 2520, 20160, 181440, 1814400, 19958400, 239500800
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0,4
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链接
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关键词
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死去的
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状态
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经核准的
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A002260号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）=k表示n>=1，k=1..n。 |
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457
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1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
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1,3
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评论
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旧名称：整数1到k，后跟整数1到k+1等（分形序列）。
开始一次又一次的计数。
PARI函数t1，t2可用于通过向下的反对角线读取方阵T（n，k）（n>=1，k>=1）：n->T（t1（n），t2（n））-迈克尔·索莫斯2002年8月23日
任意分形序列s的上修剪是s，但s的下修剪虽然是分形序列，但不必是s本身。然而A002260号是A002260号（s的上修边是删除每个项第一次出现后剩下的；s的下修边是从序列s-1中删除所有0后剩下的。）-克拉克·金伯利2009年11月2日
这是最大的正整数序列，因此一旦出现整数k，对于序列的其余部分，k的数量总是超过（k+1）的数量，第一次出现的整数是有序的-富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2013年10月23日
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参考文献
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克拉克·金伯利（Clark Kimberling），“分形序列和空间分布”，《阿尔斯组合学》（Ars Combinatoria）45（1997）157-168。（介绍上修边、下修边和签名序列。）
M.Myers，Smarandache Crescendo Subsequences，R.H.Wilde，《纪念选集》，布里斯托尔Banner Books出版社，1998年，第19页。
F.Smarandache，《未解决问题中涉及的数字序列》，Hexis，Phoenix，2006年。
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链接
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Jerry Brown等人。，问题4619《学校科学与数学》（美国），第97卷（4），1997年，第221-222页。
Glen Joyce C.Dulatre、Jamilah V.Alarcon、Vhenectit M.Florida和Daisy Ann A.Disu，关于分形序列，DMMMSU-CAS科学监测（2016-2017）第15卷第2期，109-113。
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配方奶粉
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第n项是n-m*（m+1）/2+1，其中m=楼层（sqrt（8*n+1）-1）/2）。
上述公式适用于偏移量0；对于偏移量1，使用a（n）=n-m*（m+1）/2，其中m=楼层（（-1+sqrt（8*n-7））/2）-克拉克·金伯利2011年6月14日
a（k*（k+1）/2+i）=i，对于k>=0和0<i<=k+1-莱因哈德·祖姆凯勒2001年8月14日
a（n）=（2*n+圆（sqrt（2*n））-圆（squart（2xn））^2）/2-布莱恩·坦尼森2003年10月11日
a（n）=n-二项式（楼层（（1+sqrt（8*n））/2），2）-保罗·巴里2004年5月25日
T（n，k）=Sum_{i=1..k}i*二项式（k，i）*二项式（n-k，n-i）（视为三角形，见示例）-米尔恰·梅卡2012年4月11日
T（n，k）=和{i=最大值（0，n+1-2*k）..n-k+1}（i+k）*二项式（i+k-1，i）*二项式（k，n-i-k+1）*（-1）^（n-i-k+1.）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月18日
G.f.：x*y/（（1-x）*（1-x*y）^2）=和{n，k>0}T（n，k）*x^n*y^k-迈克尔·索莫斯2014年9月17日
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例子
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前六行：
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
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MAPLE公司
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在：=0；对于n从1到150，do对于i从1到n，do在：=在+1；l打印（在，i）；日期：日期：#N.J.A.斯隆2006年11月1日
seq（seq（i，i=1..k），k=1..13）#彼得·卢什尼，2009年7月6日
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数学
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FoldList[{#1，#2}&，1，Range[2，13]]//平展(*罗伯特·威尔逊v2011年5月10日*）
扁平[表格[范围[n]，{n，20}]](*哈维·P·戴尔2013年6月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）t1（n）=n-二项式（楼层（1/2+sqrt（2*n）），2）/*该序列*/
（哈斯克尔）
a002260 n k=k
a002260_行n=[1..n]
a002260_tabl=迭代（\row->map（+1）（0:row））[1]
（最大值）T（n，k）：=和（（i+k）*二项式（i+k-1，i）*二项式（k，n-i-k+1）*（-1）^（n-i-k+1），i，最大值（0，n+1-2*k），n-k+1）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年10月18日*/
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交叉参考
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关键词
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作者
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Angele Hamel（amh（AT）mathematics.soton.ac.uk）
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扩展
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状态
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经核准的
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A000254号
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| 第一类无符号Stirling数s（n+1，2）：a（n+1）=（n+1）*a（n）+n！。
（原M2902 N1165）
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172
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0, 1, 3, 11, 50, 274, 1764, 13068, 109584, 1026576, 10628640, 120543840, 1486442880, 19802759040, 283465647360, 4339163001600, 70734282393600, 1223405590579200, 22376988058521600, 431565146817638400, 8752948036761600000, 186244810780170240000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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0,3
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评论
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正好有两个循环的n+1元素的排列数。
的行总和A094310号：在对称群S_n中，每个置换因子成k个独立的圈；a（n）=总和k除以S_n.-哈雷-弗兰德（哈雷（AT）umich.edu），2004年6月28日
最后一列的顶层与高度n的所有装饰性多柱体的总和。装饰性多柱体是一种定向柱形凸面多柱体，其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中达到。例如：a（2）=3，因为高度为2的装饰多面体是垂直和水平多米诺骨牌，其最后一列的标高分别为2和1-Emeric Deutsch公司，2006年8月12日
对于所有组合n>=6，a（n）可被n整除。a（2*n）可被2*n+1整除-勒罗伊·奎特2007年5月20日
对于n>=2，n-1 X n-1矩阵M（i，j）的行列式=i+2，对于i=j，则为1（i，j=1..n-1）。例如，对于n=3，[（3，1），（1，4）]的行列式。参见第53次普特南考试，1992年，问题B5-弗兰兹·弗拉贝克2008年1月13日，2008年3月26日
当我们对调和序列中的项求和（无需简化）时，分数的分子。(1 + 1/2 = 2/2 + 1/2 = 3/2; 3/2 + 1/3 = 9/6 + 2/6 = 11/6; 11/6 + 1/4 = 44/24 + 6/24 = 50/24;...). 这个分数的分母是n*A000142号. -埃里克·德斯比亚2009年1月7日
高阶指数积分E（x，m=2，n=1）~exp（-x）/x^2*（1-3/x+11/x^2-50/x^3+274/x^4-1764/x^5+13068/x^6-…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号和A028421号了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
a（n）是正好包含2个圈的[n+1]的置换数。例如：a（2）=3，因为置换（1）（23）、（12）（3）、（13）（2）是[3]仅有的两个循环的置换汤姆·伍德沃德（Tom Woodward（twoodward（AT）macalester.edu），2009年11月12日
除n=4外，如果n是复合的，则a（n）mod n=0，如果n为素数，则=n-1-加里·德特利夫斯2010年9月11日
调和数H（n）的分子=Sum_{i=1..n}1/i（未约化时）。请参见A001008号（Wolstenholme数）表示约化分子-拉胡尔·贾阿2015年2月18日
a（n）是前n个数的（n-1）-st初等对称函数-安东·扎哈罗夫2016年11月2日
对数（x）的第n次迭代积分是x^n*（n！*log（x）-a（n））/（n！）^2+具有任意系数的n-1次多项式。这可以用递推关系a（n）=（n-1）！+来证明n*a（n-1）-莫森·马苏米（Mohsen Maesumi）2018年10月31日
[n]的所有排列中从左到右的最大值（或最小值）的总数。a（3）=11=3+2+2+1+1：（1）（2）（3），（1）-阿洛伊斯·海因茨2020年8月1日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第833页。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证明：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，身份186-190。
N.Bleistein和R.A.Handelsman，积分的渐近展开，多佛出版社，1986年，见第2页。MR0863284（89天：41049）
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第217页。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton，《对称函数和联合表》，剑桥，1966年，第226页。
高善珍，限制结构排列（筹）。
K.Javorszky，《自然秩序：自然秩序》，2016年，ISBN 978-3-99057-139-2。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔，简单的标记网格图案，arXiv:12011.1323[math.CO]，2012年。
谢尔盖·基塔耶夫和杰弗里·雷梅尔，象限标记网格图案，J.国际顺序。15 (2012), #12.4.7.
Chanchal Kumar和Amit Roy，整数序列与单调理想，arXiv:2003.10098[math.CO]，2020年。
John A.Rochowicz Jr。，调和数：见解、近似和应用《教育电子表格》（eJSiE），8（2）（2015），第4条。
J.Ser，工厂会计1933年，巴黎，戈瑟·维拉斯[当地副本]。
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配方奶粉
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设P（n，X）=（X+1）*（X+2）*（X+3）**（X+n）；则a（n）是X的系数；或a（n）=P'（n，0）-贝诺伊特·克洛伊特2002年5月9日
求和{k>0}a（k）*x^k/k^2=经验（x）*（总和{k>0}（-1）^（k+1）*x^k/（k*k！））-迈克尔·索莫斯2004年3月24日；已由更正沃伦·D·史密斯2006年2月12日
a（n）是x^（n+2）在（-log（1-x））^2中的系数，乘以（n+2）/2
a（n）~2^（1/2）*Pi^（1/2）*log（n）*n^（1/1）*e^-n*n^n.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月6日
例如：log（1-x）/（x-1）。（=（log（1-x））^2/2，如果偏移量为1）-迈克尔·索莫斯2004年2月5日
带递归的D-有限：a（n）=a（n-1）*（2*n-1）-a（n-2）*（n-1）^2，如果n>1-迈克尔·索莫斯2004年3月24日
a（n）=n*和{k=1..n}（-1）^（k+1）*二项式（n，k）/k-弗拉德塔·乔沃维奇2005年1月29日
p^2除以素数p>3的a（p-1）。a（n）=（求和{i=1..n}1/i）/产品{i=1.n}1/i-亚历山大·阿达姆楚克2006年7月11日
a（n+1）=和{i=1..层（（n-1）/2）}n/（（n-i）*i）+总和{i=天花板（n/2）..地板（n/2/（2*（n-i）*i）-山珍高2010年9月14日
a（n）=（a（n-1）*（n^2-2*n+1）+（n+1）！）/（n-1）对于n>2。
除n=2外，如果n是复合的，则（a（n+1）^2-a（n）^2）mod n^2=0，如果n为素数，则4*n。
除n=2外，如果n是复合的，（a（n+1）^3-a（n）^2）mod n=0；如果n是素数，则n-2。
似乎，除了n=2，（a（n）^2+a（n+1）^2）mod n=0（如果n是复合的）和=2（如果n是素的）。（结束）
a（n）=积分{x=0..oo}（x^n-n！）*log（x）*exp（-x）dx-格鲁·罗兰2011年3月28日
a（n）=3*n/2+2*（n-2）*n>=2时，求和{k=0..n-3}二项式（k+2,2）/（n-2-k）-加里·德特利夫斯2011年9月2日
a（n）/（n-1）！=ml（n）=n*ml（n-1）/（n-1。ml的G.f:x*（1-log（1-x））/（1-x）^2-保罗·魏森霍恩2011年11月18日
a（n）=det（|S（i+2，j+1）|，1<=i，j<=n-2），其中S（n，k）是第二类斯特林数-米尔恰·梅卡2013年4月6日
例如：x/（1-x）*E（0）/2，其中E（k）=2+E（k+1）*x*（k+1/（k+2）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年6月1日[编辑：迈克尔·索莫斯2013年11月28日]
0=a（n）*（a（n+4）-6*a（n+3）+7*a（n+2）-a（n+1））-a-迈克尔·索莫斯2013年11月28日
对于计算序列的简单方法，请乘以n！通过（1-x^n）/（1-x）dx的0到1的积分-拉胡尔·贾阿2015年2月18日
a（n）~sqrt（2*Pi*n）*n^n*（log（n）+gamma）/exp（nA001620号.（结束）
a（n）=（（-1）^（n+1）/2*（n+1”）*Sum_{k=1..n}k*Bernoulli（k-1）*Stirling1（n，k）-弗拉基米尔·克鲁奇宁，2016年11月20日
a（n）=（n）！*（digamma（n+1）+gamma），其中gamma是Euler-Marcheroni常数A001620号. -佩德罗·卡塞雷斯2018年3月10日
伽马射线'（x）=a（x-1）-（x-1）*gamma，其中gamma'（x）是gamma函数在正整数处的导数，gamma是Euler-Mascheroni常数。例如。：
伽玛'（1）=-伽玛，伽玛'（2）=1-伽玛，伽玛'（3）=3-2*伽玛，
伽马'（22）=186244810780170240000-51090942171709440000*伽马。（结束）
以下都是推测：
例如：对于非零m，（1/m）*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）*（1/n）*二项式（m*n，n）*x^n/（1-x）^11*x^3/3！+50*x^4/4！+。。。。
对于非零m，a（n）=（1/m）*n*求和{k=1..n}（-1）^（k+1）*（1/k）*二项式（m*k，k）*二项式（n+（m-1）*k，n-k）。
a（n）^2=（1/2）*n^2*Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）*（1/k^2）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）。（结束）
a（n）=n！*1/（1-1 ^2/（3-2 ^2/-彼得·巴拉2024年3月16日
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例子
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（1x）^-1*（-log（1-x））=x+3/2*x^2+11/6*x^3+25/12*x^4+。。。
G.f.=x+x^2+5*x^3+14*x^4+94*x^5+444*x^6+3828*x^7+25584*x^8+。。。
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MAPLE公司
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a:=n->加（n！/k，k=1..n）：序列（a（n），n=0..21）#零入侵拉霍斯2008年1月22日
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数学
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表[（PolyGamma[m]+EulerGamma）（m-1）！，｛m，1，24｝](*沃特·梅森*)
表[n！*谐波编号[n]，{n，0，19}](*罗伯特·威尔逊v2005年5月21日*）
表[Sum[1/i，{i，1，n}]/乘积[1/i、{i、1、n}]，{n，1，30}](*亚历山大·阿达姆楚克2006年7月11日*）
Abs[StirlingS1[范围[20]，2]](*哈维·P·戴尔2011年8月16日*）
表[Gamma'[n+1]/。EulerGamma->0，{n，0，30}](*李涵2024年2月14日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，（n+1）！/2*和（k=1，n，1/k/（n+1-k））}/*迈克尔·索莫斯，2004年2月5日*/
（Sage）[范围（1，22）中i的stirling_number1（i，2）]#零入侵拉霍斯2008年6月27日
（马克西玛）
a（n）：=（-1）^（n+1）/2*（n+1”）*和（k*bern（k-1）*stirling1（n，k），k，1，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年11月20日*/
（岩浆）a:=[]；对于[1..22]中的n，做一个：=一只猫[Abs（StirlingFirst（n，2））]；结束；a//马吕斯·A·伯蒂2020年1月1日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的,改变
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作者
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状态
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经核准的
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 6, 11, 6, 1, 0, 24, 50, 35, 10, 1, 0, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, 0, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1, 0, 362880, 1026576, 1172700
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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另一个名称：第一类无符号斯特灵数的三角形。
三角形T（n，k），0<=k<=n，由[0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5，…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,1，…]给出的行读取，其中DELTA是在A084938号.
指数Riordan数组[1/（1-x），log（1/（1-x））]-拉尔夫·斯蒂芬2014年2月7日
这是相关或Jabotinsky类型的下三边形Sheffer矩阵|S1|=（1，-log（1-x））（请参阅下面的W.Lang链接A006232号表示法和参考）。这意味着下面给出的示例f.s|S1|是从单项基{x^n}到上升阶乘基{risefac（x，n）}的转移矩阵，n>=0-沃尔夫迪特·朗2017年2月21日
对于n>=k>=1，T（n，k）也是由从集合{1，2，…，n-1}中选择的不同长度的n-k正交向量组成的n-k维单元（多面体）的总体积。参见T（n，k）的初等对称函数公式和下面的一个例子-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
y=y（t；x）=x*（1-t（-log（1-x）/x））=x+t*log（1-x）的组成逆w.r.t.x是x=x（t；y）=ED（y，t）：=Sum_{d>=0}d（d，t）*y^（d+1）/（d+1）！，当前三角形对角序列的o.g.f.s D（D，t）的e.g.f=Sum{m>=0}t（D+m，m）*t^m。参见P.Bala链接以获得证明（其中d=n-1，n>=1是对角线的标签）。
这个反演得到D（D，t）=P（D，t）/（1-t）^（2*D+1），分子多项式P（D、t）=Sum_{m=0..D}A288874型（d，m）*t^m。参见下面的示例。另请参见中的P.Bala公式A112007号.（结束）
对于n>0，T（n，k）是从1到n的整数的排列数，当从特定的一端查看时，这些整数有k个可见数字，从这个意义上讲，较高的值会在随后的位置隐藏较低的值-伊恩·达夫2019年7月12日
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参考文献
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Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第31、187、441、996页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，第二名。编辑，表259，第259页。
Steve Roman，《数学微积分》，多佛出版社，纽约（1984年），第149-150页
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，置换的纯下降统计量，预印本，2016年。
W.S.Gray和M.Thitsa，系统互连与组合整数序列，in：系统理论（SSST），2013年第45届东南研讨会，会议日期：2013年3月11日至11日，数字对象标识符：10.1109/SSST.2013.6524939。
Tanya Khovanova和J.B.Lewis，摩天大楼数量，J.国际顺序。16 (2013) #13.7.2.
谢尔盖·基塔耶夫（Sergey Kitaev）和菲利普·张（Philip B.Zhang），短长网格图案的分布，arXiv:1811.07679[math.CO]，2018年。
X.-T.Su、D.-Y.Yang和W.-W.Zhang，关于广义阶乘的一个注记《澳大利亚组合数学杂志》，第56卷（2013年），第133-137页。
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配方奶粉
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T（n，k）=T（n-1，k-1）+（n-1）*T（n-1，k），n，k>=1；T（n，0）=T（0，k）；T（0,0）=1。
展开1/（1-t）^x=Sum_｛n>=0｝p（x，n）*t^n/n！；然后p（x，n）的系数产生三角形-罗杰·L·巴古拉2008年4月18日
求和{k=0..n}x^k*T（n，k）=x*（1+x）*（2+x）*（n-1+x），n>=1-菲利普·德莱厄姆2008年10月17日
例如，第k列：（-log（1-x））^k，k>=0。
例如，三角形（见2008年4月18日Baluga的评论）：exp（-x*log（1-z））。
行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k，对于n>=0，是R（n、x）=risefac（x，n-1）：=Product_{j=0..n-1}x+j，其中n=0的空乘积被置为1。见上文2017年2月21日的评论。这意味着：
T（n，k）=sigma^{（n-1）}_（n-k），对于n>=k>=1，在n-1个符号1、2、…、n-1中，具有阶m的初等对称函数sigma^{（n-1））_m，具有二项式（n-1，m）项。参见下面的示例。（完）
列序列k的Boas-Buck型递归：T（n，k）=（n！*k/（n-k））*Sum_{p=k.n.n-1}β（n-1-p）*T（p，k）/p！，对于n>k>=0，输入T（k，k）=1，β（k）=A002208号（k+1）/A002209号（k+1）。请参阅中的注释和参考A286718型. -沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
第n行多项式：n*求和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（-x，k）*二项法（-x、2*n-k）=n*求和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（1-x，k）*二项（-x，2*n-k）-彼得·巴拉，2024年3月31日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
1；
0，1；
0, 1, 1;
0, 2, 3, 1;
0, 6, 11, 6, 1;
0, 24, 50, 35, 10, 1;
0, 120, 274, 225, 85, 15, 1;
0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1;
0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1;
---------------------------------------------------
生产矩阵为
0, 1
0, 1, 1
0, 1, 2, 1
0, 1, 3, 3, 1
0, 1, 4, 6, 4, 1
0、1、5、10、10、5、1
0, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
0, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
...
三期复发：50=T（5,2）=1*6+（5-1）*11=50。
Sheffer a序列的递归[1，1/2，1/6，0，…]：50=T（5，2）=（5/2）*（二项式（1，1）*1*6+二项式。消失的z序列从T（0，0）=1生成k=0列。（结束）
初等对称函数T（4，2）=sigma^{（3）}_2=1*2+1*3+2*3=11。这里的单元格（多边形）是3个矩形，总面积为11-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
对角线的O.g.f.s：d=2（第三对角线）[0,6,50，…]有d（2，t）=P（2，t）/（1-t）^5，其中P（2、t）=2+t，n=2行A288874型. -沃尔夫迪特·朗，2017年7月20日
列k=2和n=5的Boas-Buck递推：T（5，2）=（5！*2/3）*（（3/8）*T（2,2）/2！+（5/12）*T（3,2）/3！+（1/2）*T（4,2）/4！）=(5!*2/3)*((3/16 + (5/12)*3/3! + (1/2)*11/4!) = 50.测试序列开始：{1/2，5/12，3/8，…}-沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
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MAPLE公司
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a132393_row:=进程（n）局部k；seq（coeff（expand（pochhammer（x，n）），x，k），k=0..n）结束：#彼得·卢什尼2010年11月28日
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数学
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p[t]=1/（1-t）^x；表[ExpandAll[（n！）SeriesCoefficient[Series[p[t]，{t，0，30}]，n]]，{n，0，10}]；a=表[（n！）*系数列表[系列系数[系列[p[t]，{t，0，30}]，n]，x]，{n，0，10}]；压扁[a](*罗杰·L·巴古拉2008年4月18日*）
压扁[表[Abs[StirlingS1[n，i]]，{n，0，10}，{i，0，n}]](*哈维·P·戴尔2014年2月4日*）
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黄体脂酮素
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（最大值）create_list（abs（stirling1（n，k）），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（哈斯克尔）
a132393 n k=a132393_tabl！！不！！k个
a132393_row n=a132393-tabl！！n个
a132393_tabl=地图（地图abs）a048994_tabl
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交叉参考
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关键词
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作者
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菲利普·德莱厄姆，2007年11月10日，2008年10月15日，2007年10月17日
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状态
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经核准的
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A001286号
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| Lah数：a（n）=（n-1）*n/2
（原名M4225 N1766）
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+10
70
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1, 6, 36, 240, 1800, 15120, 141120, 1451520, 16329600, 199584000, 2634508800, 37362124800, 566658892800, 9153720576000, 156920924160000, 2845499424768000, 54420176498688000, 1094805903679488000, 23112569077678080000, 510909421717094400000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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2,2
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评论
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0,1,2,3,4，…的第一个欧拉变换-罗斯·拉海耶2005年3月5日
偏移量为0：n×n矩阵的行列式m（i，j）=（i+j+1）/我/j-贝诺伊特·克洛伊特2005年4月11日
这些数字出现在表示n（n+1）（n+2）。。。（n+k）[n+（n+1）+（n+2）+…++（1+4+9+16+…+n^2），n（n+1）（n+2）（n+3）-亚历山大·波沃洛茨基2006年10月16日
a（n）是对称群S_n上弱Bruhat阶的Hasse图中的边数。对于S_n中的置换p，q，如果p，q与相邻的转置不同，并且q比p多一个倒置，则q覆盖弱Bruhart阶的p。因此23514覆盖23154，因为转置交换了第三项和第四项。囊性纤维变性。A002538号为了强大的布鲁哈特秩序-大卫·卡伦2007年11月29日
a（n）也是{1,2，…，n}的所有置换中的例外数（置换p的例外是这样的p（j）>j的值j）。证明：超过j（n-1）！乘以数字j+1、j+2、…中的每一个。。。，n；现在，求和{j=1..n}（n-j）（n-1）！=不！（n-1）/2。例如：a（3）=6，因为置换123、132、312、213、231、321的异常数分别为0、1、1、2、1-Emeric Deutsch公司2008年12月15日
（-1）^（n+1）*a（n）是n X n矩阵的行列式，其（i，j）-第个元素对于i=j是0，对于j>i是j-1，对于j<i是j-米歇尔·拉格诺2010年5月4日
对于m>=4，a（m-2）是除一条边外，具有m个完全顶点的简单图中的哈密顿圈数。证据：想想m个人的不同的圆桌座位，这样“1”和“2”可能不是邻居；计数是（m-3）（m-2）/2.另请参阅A001710号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2014年6月17日
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参考文献
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A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，第90页，例4。
Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第156页。
A.P.Prudnikov，Yu。A.Brychkov和O.I.Marichev，“积分与级数”，第1卷：“初等函数”，第4章：“有限和”，纽约，Gordon和Breach科学出版社，1986-1992年。
约翰·里尔丹，《组合分析导论》，威利出版社，1958年，第44页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Yasmin Aguillon等人。，论停车功能与河内塔，arXiv:2206.00541[math.CO]，2022。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki，树丛中的图案，arXiv:1611.07793[cs.DM]，2016年。
Eldar Fischer、Johann A.Makowsky和Vsevolod Rakita，限制集配分函数的MC-完整性，arXiv:2302.08265[math.CO]，2023年。
Jennifer Elder、Pamela E.Harris、Jan Kretschmann和J.Carlos Martínez Mori，S_n弱阶布尔区间，arXiv:2306.14734[math.CO]，2023年。
Lucas Chaves Meyles、Pamela E.Harris、Richter Jordaan、Gordon Rojas Kirby、Sam Sehayek和Ethan Spingarn，单位间隔停车函数与二面体，arXiv:2305.15554[math.CO]，2023。
桑迪·克拉夫扎尔、乌洛什·米卢蒂诺维奇和西里尔·皮特，Hanoi图和一些经典数，世博会。数学。23（2005），编号4371-378。
S.Lehr、J.Shallit和J.Tromp，关于自动实的向量空间，理论。计算。科学。163（1996），第1-2期，193-210页。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。
P.A.Piza，Kummer数字《数学杂志》，21（1947/1948），257-260。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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a（n）=和{i=0..n-1}（-1）^（n-i-1）*i^n*二项式（n-1，i）.-Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日[更正人：阿米拉姆·埃尔达尔2022年5月2日]
a（n+1）=（-1）^（n+1）*det（M_n），其中M_n是n X n矩阵M_（i，j）=max（i*（i+1）/2，j*（j+1）/2）-贝诺伊特·克洛伊特2004年4月3日
的第五个二项式变换A135218号: (1, 1, 1, 25, 25, 745, 3145, ...). -加里·亚当森2007年11月23日
如果我们定义f（n，i，x）=和{k=i.n}和{j=i.k}二项式（k，j）*Stirling1（n，k）*Stiling2（j，i）*x^（k-j），那么a（n）=（-1）^n*f（n、2、-2），（n>=2）-米兰Janjic2009年3月1日
a（n）=（n+1）*和{k=1..n-1}1/（k^2+3*k+2）-加里·德特利夫斯2011年9月14日
a（n+1）=a（n）*n*（n+1”）/（n-1）-柴华武，2018年4月11日
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例子
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G.f.=x^2+6*x^3+36*x^4+240*x^5+1800*x^6+15120*x^7+141120*x^8+。。。
a（10）=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）*（1*2*3*4*5*6*7*8*9）=16329600-莱因哈德·祖姆凯勒2010年5月15日
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MAPLE公司
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seq（总和（mul（j，j=3..n），k=2..n）），n=2.21）#零入侵拉霍斯2007年6月1日
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数学
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表[Sum[n！，{i，2，n}]/2，{n，2，20}](*零入侵拉霍斯2009年7月12日*）
nn=20；使用[{a=累加[Range[nn]]，t=范围[nn]！}，时间@@@线程[{a，t}]](*哈维·P·戴尔2013年1月26日*）
表[（n-1）n！/2，{n，2，30}](*文森佐·利班迪2016年9月9日*）
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黄体脂酮素
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（Sage）[（n-1）*在（2，21）范围内n的阶乘（n）/2]#零入侵拉霍斯2009年5月16日
（哈斯克尔）
a001286 n=总和[1..n-1]*乘积[1..n-1]
（岩浆）[（n-1）*阶乘（n）/2:n in[2..25]]//文森佐·利班迪2016年9月9日
（Python）
来自未来进口部
对于范围（2100）内的n：
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交叉参考
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囊性纤维变性。A001710号,A052609型,A062119号,A075181号,A060638型,A060608年,A060570级,A060612型,A135218号,A019538年,A053495号,A051683号,A213168型,A278677型,A278678型,A278679型,A008292年.
三角形第三列（m=2）|A111596号（n，m）|：|S1|的矩阵乘积。S2斯特林数矩阵。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A028246号
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| 三角形数组a（n，k）=（1/k）*和{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n；n>=1，1<=k<=n，按行读取。 |
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+10
63
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 7, 12, 6, 1, 15, 50, 60, 24, 1, 31, 180, 390, 360, 120, 1, 63, 602, 2100, 3360, 2520, 720, 1, 127, 1932, 10206, 25200, 31920, 20160, 5040, 1, 255, 6050, 46620, 166824, 317520, 332640, 181440, 40320, 1, 511, 18660, 204630, 1020600, 2739240, 4233600, 3780000, 1814400, 362880
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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设M=n X n矩阵，第（i，j）项为a（n+1-j，n+1-i），例如，如果n=3，M=[1 1 1；3 1 0；2 0 0]。给定序列s=[s（0）..s（n-1）]，设b=[b（0）.b（n-1。则s（k）=Sum_{i=0..n-1}b（i）*二项式（k，i）=Sum_{i=0..n-1}c（i）*k^i，k=0..n-1-加里·亚当森2001年11月11日
Julius Worpitzky的1883算法生成伯努利数。
举例来说[维基百科]：
B0=1；
B1=1/1-1/2；
B2=1/1-3/2+2/3；
B3=1/1-7/2+12/3-6/4；
B4=1/1-15/2+50/3-60/4+24/5；
B5=1/1-31/2+180/3-390/4+360/5-120/6；
B6=1/1-63/2+602/3-2100/4+3360/5-2520/6+720/7；
...
注意，在这个算法中，伯努利数的奇数n和为0，而不是1，B1的和=1/2=（1/1-1/2）。B3=0=（1-7/2+13/3-6/4）=0。B4的总和=-1/30。（结束）
根据Worpitzky的算法并给定M=A028246号作为无穷下三角矩阵，M*[1/1，-1/2，1/3，…]（即带交替符号的调和级数）=从[1/1，1/2，1/6，…]开始的伯努利数-加里·亚当森2012年3月22日
G（x，t）=1/（1+（1-exp（x*t））/t）=1+1 x+（2+t）*x^2/2！+（6+6t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了行多项式A090582号，永曲面的f多项式（参见A019538年).
G（x，t-1）=1+1*x+（1+t）*x^2/2！+（1+4t+t^2）*x^3/3！+。。。给出了行多项式A008292年，置换面体的h-多项式。
G[（t+1）x，-1/（t+1”）]=1+（1+t）x+（1+3t+2t^2）x^2/2！+。。。给出了当前三角形的行多项式。（结束）
Worpitzky三角形似乎是这个三角形的恰当名称-约翰内斯·梅耶尔2009年6月18日
如果帕斯卡三角形被写成下三角矩阵并乘以A028246号乘积是一个上三角矩阵，其中第（i，j）项是（i+1）^j。例如，
1,0,0,0 1,1,1, 1 1,1, 1, 1
1,1,0,0 * 0,1,3, 7 = 1,2, 4, 8
1,2,1,0 0,0,2,12 1,3, 9,27
1,3,3,1 0,0,0, 6 1,4,16,64
因此，从0开始对所有三个矩阵的行和列进行编号，乘积的（i，j）项为（i+1）^j.-Jack A.Cohen（ProfCohen，at）comcast.net），2010年8月3日
设S_n（m）=1^m+2^m+…+n^m。然后，对于n>=0，我们将S_n（m）表示为二项式系数的线性组合：
S_n（m）=和{i=1..n+1}a（i+n*（n+1）/2）*C（m，i）。例如，S_2（m）=a（4）*C（m，1）+a（5）*C-弗拉基米尔·舍维列夫2011年12月21日
给定集合X=[1..n]和1<=k<=n，则a（n，k）是X的子集S的大小为k的集合T的数量，这样S要么为空，要么包含1和X的另一个元素，这样T的任何两个元素要么是可比较的，要么是不相交的-迈克尔·索莫斯，2013年4月20日
使用从-1开始的行和列索引，a（n，k）给出了标准n维单纯形第一次重心细分中的k维面数（应用Brenti和Welker，引理2.1）。例如，2-单纯形（三角形）的重心细分有1个空面、7个顶点、12条边和6个三角形面，将该三角形的第4行表示为（1,7,12,6）。囊性纤维变性。A053440美元. -彼得·巴拉2014年7月14日
例如，g（x，t）=exp[P（.，t）x]=1/t-1/[t+（1-t）（1-e^（-xt^2））]=（1-t，*x+（-2t+3t^2-t^3）*x^2/2！+（6t^2-12t^3+7t^4-t^5）*x^3/3！+。。。对于第一个元素为空的移位、反向、有符号多项式，由无穷小生成器g（u，t）d/du=[（1-u*t）（1-（1+u）t）]d/du生成，即exp[x*g（u、t）d/du]ueval。在u＝0时生成多项式。请参见A019538年下面的G.Rzadkowski链接用于连接伯努利数和欧拉数、Ricatti微分方程和KdV方程的孤子解。这个例子的x中的倒数是Ginv（x，t）=（-1/t^2）*log{[1-t（1+x）]/[（1-t）（1-tx）]}=[1/（1-t。分子有符号，移位A135278号（反转A074909号)，而有理函数是A074909号此外，dG（x，t）/dx=g（g（x、t），t）（参见。A145271号). （增加了分析G（x，t），Ginv于2015年12月28日进行了更正和扩展。）-汤姆·科普兰2014年11月21日
算符R=x+（1+t）+te^{-D}/[1+t（1-e^（-D））]=x+“1+t”+t-（t+t^2）D+（t+3t^2+2t^3）D^2/2！-。。。包含当前三角形的反向行多项式的例如f.，即。，A123125号*A007318号（行和列偏移量分别为1和1）。Umbrally，R^n1=q_n（x；t）=（q.（0；t）+x）^n，其中q_m（0；t）=（t+1）^（m+1）-t^（m+1）A074909号，并且D＝D/dx。换句话说，R生成与基序列相关联的Appell多项式A074909号例如，R 1=q_1（x；t）=（q（0；t）+x）=q_1（0；t）+q__0（0；吨）x=（1+2t）+x，并且R ^ 2 1=q_2（x；t）=（q。在x=0时计算多项式会重新生成基序列。通过R中的简单符号更改，R生成与A248727号. -汤姆·科普兰，2015年1月23日
{S（n，m）}_{m>=0}与S（n、m）=Sum_{k=1..m}k^n，n>=0，（未定义和置为0）的例子f.e（n，x）是exp（x）*R（n+1，x）与指数行多项式R（n，x）=Sum（k）=1..n}a（n，k）*x^k/k！。例如，对于n=2，A000330号：exp（x）*（1*x/1！+3*x^2/2！+2*x^3/3！）。
然后通过拉普拉斯变换发现{S（n，m）}{m>=0}的o.g.f.g（n，x）是g（n、1/p）=p*Sum{k=1..n}a（n+1，k）/（p-1）^（2+k）。
因此G（n，x）=x/（1-x）^（n+2）*Sum_{k=1..n}A008292年（n，k）*x^（k-1）。
例如，n=2:g（2，1/p）=p*（1/（p-1）^2+3/（p-1；因此G（2，x）=x*（1+x）/（1-x）^4。
这也是反向的：从o.g.f.到{S（n，m）}_{m>=0}的e.g.f。（结束）
a（n，k）是一组大小为n的成对不相交非空子集的k元组数-多里安·古约特2019年5月21日
a（n-1，k）是部分有序集中长度为k的链的数目，该部分有序集由通过包含排序的n元集的子集构成，使得链的第一项是空集或n元集。
此外，a（n-1，k）是按集合包含排序的n个集合的不同k级根模糊子集的数目。（结束）
T（n，k）是（n-1）-集上部分变换半群中秩为（k-1）的D类中格林L类的大小-杰弗里·克雷策2023年1月9日
T（n，k）是[n]上具有周期k的强连接二元关系的数目(A367948型)和索引1。参见Ki Hang Kim参考中的定理5.4.25（6）-杰弗里·克雷策2023年12月7日
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参考文献
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Ki Hang Kim，布尔矩阵理论与应用，Marcel Dekker，纽约和巴塞尔（1982）。
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链接
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V.S.Abramovich，自然数的幂和，Kvant，第5期（1973年），22-25。（俄语）
H.Belbachir、M.Rahmani和B.Sury，二项式系数倒数的矩和，J.国际顺序。14 (2011) #11.6.6.
Hacene Belbachir和Mourad Rahmani，二项式系数倒数的交替和《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.2.8号。
F.Brenti和V.Welker，重心细分的f向量，arXiv:math/0606356v1[math.CO]，数学。Z.，259（4），849-8652008年。
巴蒂班德拉·查纳克亚和普特拉·哈沙，自然数幂的广义嵌套求和，arXiv:1808.08699[math.NT]，2018年。见表1。
E.Delucchi、A.Pixton和L.Sabarka。细分单纯复形的面向量arXiv:1002.3201v3[math.CO]，《离散数学》，第312卷，第2期，2012年1月，第248-257页。
G.H.E Duchamp、N.Hoang-Nghia和A.Tanasa，基于选择/商原理的单词Hopf代数，arXiv:1207.6522[math.CO]，2012-2013年；Séminaire Lotharingien de Combinatoire 68（2013），第B68c条。
盖·卢查德（Guy Louchard）、沃纳·沙钦格（Werner Schachinger）和马克·丹尼尔·沃德（Mark Daniel Ward），几何分布词中不同相邻对的数量：一个概率和组合分析，arXiv:2203.14773[math.PR]，2022。见第5页。
Rajesh Kumar Mohapatra和Tzung-Pei Hong，整数序列分析中有限模糊子集的个数《数学》（2022）第10卷，第7期，第1161页。
A.Riskin和D.Beckwith，问题10231，美国。数学。月刊，102（1995），175-176。
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配方奶粉
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a（n，k）=S2（n，k）*（k-1）！其中S2（n，k）是第二类斯特林数（参见。A008277号). 同时a（n，k）=T（n，k）/k，其中T（n、k）=A019538年.
本质上与三角形[1，0，2，0，3，0，4，0，5，0，6，0，7，…]DELTA[1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，…]相同的三角形，其中DELTA是Deléham的运算符，定义于A084938号，但表示法不同。
对于n>=1，行生成多项式P（n，t）由P（1，t）=t，P（n+1，t）=t（t+1）（d/dt）P（n、t）给出（参见Riskin和Beckwith参考文献）-Emeric Deutsch公司，2005年8月9日
可以从H.Hasse关于zeta函数和Bernoulli数之间关系的证明中读取到的Delta矩阵（参见下面的链接）。
设P=具有条目的下三角矩阵P[行，列]=二项式（行，列）。
设J=带交替符号的单位矩阵J[r，r]=（-1）^r。
设N（m）=列矩阵，N（m，r）=（r+1）^m，N（1）-->自然数。
设V=Vandermonde矩阵，其中V[r，c]=（r+1）^c。
V也是N（0）||N（1）||M（2）||L（3）。。。（指数r、c总是从0开始）。
然后，Delta=P*J*V和B'=N（-1）'*Delta，其中B是伯努利数的列矩阵，'表示转置，或者对于单个第k个伯努利数B_k和适当的Delta列，
B_k=N（-1）'*Delta[*，k]=N（-1）'*P*J*N（k）。
H.Hasse使用单柱代替V并假设无限维，结果表明，在x=N（-1）*P*J*N（s）中，s可以是任何复数，s*zeta（1-s）=x。
他的定理是：s*zeta（1-s）=Sum_{n>=0..inf}（n+1）^-1*delta（n，s），其中delta（n，s）=Sum_{j=0..n}（-1）^j*二项式（n，j）*（j+1）^s。
（结束）
a（n，k）=k*a（n-1，k）+（k-1）*a-约翰内斯·梅耶尔2009年6月18日
重新表述上述Meijer递推：设M是在两条对角线和其余零中M（r，r）=M（r、r+1）=r，r>=1的（n+1）X（n+1”）双对角矩阵。三角形的行a（n+1，.）是M^n的行1-加里·亚当森2011年6月24日
例如，A（x，t）=g[（t+1）x，-1/（t+1。。。，公司。x中的倒数是
B（x，t）=-对数（t/（1+t）+1/（1+t）（1+x））=（1/（1+t））x-（1+2t）/（1+t）^2）x^2/2+（（1+3t+3t^2）/（1+t）^3）x^3/3+。。。。分子是的行多项式A074909号，有理函数是re-index Pascal三角形的有符号列（省略初始常数）A007318号.
设h（x，t）=1/（dB/dx）=（1+x）（1+t（1+x）），则行多项式P（n，t）=（1/n！）（h（x，t）*d/dx）^n x，在x=0处求值，A=exp（x*h（y，t）*d/dy）y，eval。当y=0，dA/dx=h（A（x，t），t）时，P（1，t）=1+t。（系列于2015年12月29日添加）（结束）
让<n，k>表示欧拉数A173018型（n，k），则T（n，k）=和{j=0..n}<n，j>*二项式（n-j，n-k）-彼得·卢什尼2013年7月12日
矩阵产品A007318号*A131689型.第n行多项式R（n，x）=和{k>=1}k^（n-1）*（x/（1+x））^k，对开区间（-1/2，inf）中的x有效。囊性纤维变性A038719号.R（n，-1/2）=（-1）^（n-1）*（2^n-1）*Bernoulli（n）/n-彼得·巴拉2014年7月14日
第n行多项式R（n，x）=（1+x）o（1+x）o。。。o（1+x）（n个因子），其中o表示Dukes和White的黑菱形乘法运算符。请参阅Bala链路中的示例E11-彼得·巴拉2018年1月12日
和{i=0..k}二项式（k，i）*a（n，i）=（k+1）^n。
（结束）
行生成多项式R（n，x）=Sum_{i=1..n}a（n，i）*x^i满足递推方程R（n+1，x）=R（n，x）+Sum_{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*R（k+1，x）*R（n-k，x），n>=1，初始值R（1，x）=x-沃纳·舒尔特2021年6月17日
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例子
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三角形a（n，k）开始于：
n \k 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1: 1
2: 1 1
3: 1 3 2
4: 1 7 12 6
5: 1 15 50 60 24
6: 1 31 180 390 360 120
7: 1 63 602 2100 3360 2520 720
8: 1 127 1932 10206 25200 31920 20160 5040
9: 1 255 6050 46620 166824 317520 332640 181440 40320
-----------------------------------------------------
三角形的第5行是{1,15,50,60,24}，它是{1,15,25,10,1}乘以{0！，1！，2！，3！，4！}。
此外，对于幂和，我们有
S_0（n）=C（n，1）；
S_1（n）=C（n，1）+C（n、2）；
S_2（n）=C（n，1）+3*C（n、2）+2*C（n,3）；
S_3（n）=C（n，1）+7*C；
S_4（n）=C（n，1）+15*C；等。
（结束）
对于X=[1,2,3]，集合T是{{}}、{{}、}、1,2}}，{{}、{1,3}}和{}，1,2,3}-迈克尔·索莫斯，2013年4月20日
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MAPLE公司
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a:=（n，k）->加（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n，i=0..k）/k；
seq（打印（seq（a（n，k），k=1..n）），n=1..10）；
T:=（n，k）->加（eulerin1（n，j）*二项式（n-j，n-k），j=0..n）：
seq（打印（seq（T（n，k），k=0..n）），n=0..9）#彼得·卢什尼2013年7月12日
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||k>n，0，n！*polceoff（（x/log（1+x+x^2*O（x^n）））^（n+1），n-k））}/*迈克尔·索莫斯2002年10月2日*/
（PARI）{T（n，k）=斯特林（n，k，2）*（k-1）！}\\G.C.格鲁贝尔2019年5月31日
（圣人）
x=多基因（ZZ，‘x’）
A=[]
对于范围（0，n，1）中的m：
A.附加（（-x）^m）
对于范围（m，0，-1）内的j：
A[j-1]=j*（A[j-1-A[j]）
返回列表（A[0]）
（Sage）[[stirling_number2（n，k）*factorial（k-1）for k in（1..n）]for n in（1..10）]#G.C.格鲁贝尔2019年5月30日
（岩浆）[[StirlingSecond（n，k）*阶乘（k-1）：k in[1..n]]：n in[1..10]]//G.C.格鲁贝尔2019年5月30日
（GAP）平面（列表（[1..10]，n->列表（[1.n]，k->斯特林2（n，k）*阶乘（k-1）））#G.C.格鲁贝尔2019年5月30日
（Python）#假设偏移量（n，k）=（0，0）。
定义T（n，k）：
如果k>n：返回0
如果k==0：返回1
返回k*T（n-1，k-1）+（k+1）*T（n-1，k）
对于范围（9）中的n：
打印（[T（n，k）表示范围（n+1）中的k）]#彼得·卢什尼2022年4月26日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007318号,A008292年,A046802号,A074909号,A090582号,A123125号,A130850型,A135278号,A141618号,A145271号,A163626号,A248727号,A263634型.
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关键词
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作者
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N.J.A.斯隆道格·麦肯齐（Doug McKenzie）（mckfam4（AT）aol.com）
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扩展
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李果于2006年12月16日更正了定义
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状态
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经核准的
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A094638号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）=|s（n，n+1-k）|，其中s（n、k）是第一类有符号的斯特林数A008276号（1<=k<=n；换句话说，第一类无符号斯特林数的顺序相反）。 |
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+10
61
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1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 6, 11, 6, 1, 10, 35, 50, 24, 1, 15, 85, 225, 274, 120, 1, 21, 175, 735, 1624, 1764, 720, 1, 28, 322, 1960, 6769, 13132, 13068, 5040, 1, 36, 546, 4536, 22449, 67284, 118124, 109584, 40320, 1, 45, 870, 9450, 63273, 269325, 723680, 1172700, 1026576, 362880
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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多项式系数三角形（x+1）（x+2）。。。（x+n），按x的递减幂展开-T.D.诺伊，2008年2月22日
T（n，k）是高度为n且具有k列的装饰多柱体的数量。装饰多面体是一种定向柱-凸多面体，其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得。示例：T（2,1）=1和T（2,2）=1，因为高度为2的deco-polyominoes是垂直和水平多米诺骨牌，分别有1列和2列-Emeric Deutsch公司2006年8月14日
设三角形U（n，k），0<=k<=n，按行读取，由[1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0，…]DELTA[1,1,2,3,3,4,5,6，…]给出，其中DELTA是在A084938号; 则T（n，k）＝U（n-1，k-1）-菲利普·德莱厄姆2007年1月6日
考虑c（t）=列向量（1，t，t^2，t^3，t^4，t^5，…）。
从1开始，对右侧的每个整数进行采样，我们得到（1,2,3,4,5，…）。T*c（1）=（1，1*2，1*2*3，1*3*4，…），给出n！对于n>0。将此序列称为右阶乘（n+）！。
从1开始，对左边的每个整数进行采样，我们得到（1,0，-1，-2，-3，-4，-5，…）。T*c（-1）=（1，1*0，1*0*-1，1*0-1*-2，…）=（1,0,0,0，…），左阶乘（n-）！。
每隔一个整数向右采样，我们得到（1,3,5,7,9，…）。T*c（2）=（1，1*3，1*3*5，…）=（1,3,15105945，…），给出A001147号对于n>0，右双阶乘，（n+）！！。
每隔一个整数向左取样，我们得到（1，-1，-3，-5，-7，…）。T*c（-2）=（1,1*-1，1*-1*-3，1*-1-3*-5，…）=（1，-1,3，-15105，-945，…）A001147号，左双阶乘，（n-）！！。
向右每3步取样，我们得到（1,4,7,10，…）。T*c（3）=（1，1*4，1*4*7，…）=（1,4,28280，…），给出A007559元对于n>0，右三阶乘，（n+）！！！。
向左每3步取样，我们得到（1，-2，-5，-8，-11，…），给出T*c（-3）=（1，1*-2，1*-2*-5，1*-2-5*-8A008544美元，左三重阶乘，（n-）！！！。
列表分区转换A133314号对于[1，T*c（T）]，给出[1，T*c（-T）]，所有奇数项取反；例如，LPT[1，T*c（2）]=（1，-1，-1，-3，-15，-105，-945，…）=（1-A001147号). 例如，对于[1，T*c（T）]=（1-xt）^（-1/T）。
上述结果适用于任何实数或复数。（结束）
设R_n（x）是Product_{k=0..n}（x+I*k）的实部，I_n（x）是虚部。然后，对于n=1,2，。。。，我们有R_n（x）=Sum_{k=0..floor（n+1）/2）}（-1）^k*Stirling1（n+1，n+1-2*k）*x^（n+1-2*k），I_n-米兰Janjic2008年5月11日
T（n，k）也是具有“反射长度”k的n的置换数（即，通过k从12..n获得的置换数不一定是相邻的置换数）。例如，当n=3时，132、213、321是通过一次转置获得的，而231和312需要两次转置-凯尔·彼得森，2008年10月15日
[x^（y+1）D]^n=x^。
例如，[x^（y+1）D]^4=x^。
（xD）^m可以根据第二类斯特林数和形式为x^j D^j的算符进一步展开。（End）
偏移量为0时，0<=k<=n:T[n，k）是{1,2，…，n}的每个大小为k的子集的乘积之和。例如，T（3,2）=11，因为有三个大小为2的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}。1*2+1*3+2*3=11-杰弗里·克雷策2011年2月4日
T（n+1，k+1）是初等对称函数a_k（1,2，…，n），n>=0，k>=0（a_0（0）：=1）。请参阅T.D.诺伊和杰弗里·克雷策上述意见。有关证明，请参阅斯坦利参考，第19页，第二证明-沃尔夫迪特·朗2011年10月24日
设g（t）=1/d（log（P（j+1，-t））/dt（见汤姆·科普兰的2007年公式）。t*Dirac[g（t）]的梅林变换（t到s）给出了求和{n=1..j}n^（-s），当j趋于无穷大时，给出了Re（s）>1的黎曼zeta函数。Dirac（x）是Diracδ函数。沿着以z^s/g（z）的z=1为中心的半径为1的圆的复轮廓积分给出了相同的结果-汤姆·科普兰2011年12月2日
行是Pochhammer符号的多项式展开式的系数，或上升阶乘，Pch（n，x）=（x+n-1）/（x-1）！。多项式中Pch（n，xD）=Pch（n，Bell（.，：xD:））的展开式，其项为：xD:^k=x^k*D^k，给出了Lah数A008297号Bell（n，x）是无符号Bell多项式或第二类Stirling多项式A008277号. -汤姆·科普兰2014年3月1日
纯辫子群上同调的Betti数或维数。见海德和拉加里亚斯链接第12和13页。
行多项式及其乘积出现在R.Stanley的Jack对称函数的表示中。请参阅Witt差动发电机上的Copeland链接。
（结束）
科普兰在公式部分给出的e.g.f.出现在Thm中叶芝量子场论的组合Dyson-Schwinger方程中。第62页的第2页与根树的Hopf代数有关。另见第70页的格林函数。
根据以上注释，此数组包含上升阶乘Pch（n，xD）=（xD+n-1）的Euler多项式展开式或状态数运算符xD中的系数/（xD-1）！=x[：Dx:^n/n！]x^{-1}=L_n^{-1{（-：xD:），其中：Dx:^n=D^n x^n和：xD:^n=x^n D^n。多项式L_n^}是-1阶拉盖尔多项式，即正规化Lah多项式。
Witt微分算子L_n=x^（n+1）D和行例如f.s出现在Foissy提出的Hopf和对偶Hopf代数关系中。对于对偶Hopf代数，Witt算子满足L_nL_k-L_kL_n=（k-n）L_（n+k）。（结束）
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参考文献
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M.Miyata和J.W.Son，《关于置换的复杂性和双射的度量空间》，Tensor，60（1998），第1期，109-116（MR1768839）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，第1卷，剑桥大学出版社，1997年。
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链接
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F.Bergeron，Ph.Flajolet和B.Salvy，增加树木的种类《计算机科学讲义》第581卷，J.-C.Raoult编辑，施普林格1992年，第24-48页。添加日期：2014年3月1日
F.Bergeron、Philippe Flajolet和Bruno Salvy，增加树木的种类2014年3月1日增补
F.Hivert、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon，二叉搜索树代数《理论计算机科学》，339（2005），129-165。
K.Yeats，量子场论的组合观《SpringerBriefs in Mathematical Physics》，2017年第15卷。
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配方奶粉
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其中P（n，t）=Sum_{k=0..n-1}t（n，k+1）*t^k=1*（1+t）*（1+2t）。。。（1+（n-1）*t）和P（0，t）=1，exp[P（.，t）*x]=（1-tx）^（-1/t）。T（n，k+1）=（1/k！）（D_T）^k（D_x）^n[（1-tx）^（-1/T）-1]在T=x=0时计算。（1-tx）^（-1/t）-1是当t=m-1时平面多叉树的例子。参见Bergeron等人在“增加树木的种类”中的文章-汤姆·科普兰2007年12月9日
上面的第一条注释和公式被重新表述为行n:Product_{i=0…n}（1+i*x）的o.g.f-杰弗里·克雷策2011年2月4日
带交替符号的第n行多项式是（n-1）x（n-1”矩阵的特征多项式，其中1在超对角线中，（1,2,3，…）在主对角线，其余为零。例如，[1,1,0；0,2,1；0,0,3]的特征多项式是x^3-6*x^2+11*x-6-加里·亚当森，2011年6月28日
例如：A（x，y）=x*y/（1-x*y）^（1+1/y）=Sum_{n>=1，k=1..n}T（n，k）*x^n*y^k/（n-1）-保罗·D·汉纳2011年7月21日
如果F（x，t）=（1-t*x）^（-1/t）-1，例如，对于A094638号当P（0，t）=0时，G（x，t）=[1-（1+x）^（-t）]/t是补偿。在x中求逆。因此，H（x，t）=1/（dG（x，t）/dx）=（1+x）^（t+1），
P（n，t）=[（H（x，t）*d/dx）^n]x，在x=0处评估；即。，
F（x，t）=exp[x*P（.，t）]=exp[x*H（u，t）*d/du]u，在u=0时计算。
此外，dF（x，t）/dx=H（F（x、t），t）-汤姆·科普兰2011年9月20日
该条目的行多项式是A143491号乘以（1+x）。例如，（1+x）（1+5x+6x^2）=（1+6x+11x^2+6x^3）-汤姆·科普兰2016年12月11日
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例子
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三角形开始：
1；
1, 1;
1, 3, 2;
1, 6, 11, 6;
1, 10, 35, 50, 24;
...
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MAPLE公司
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T： =（n，k）->abs（斯特林1（n，n+1-k））：对于从1到10的n，do seq（T（n，k），k=1..n）od；#生成三角形形式的序列#Emeric Deutsch公司2006年8月14日
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数学
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表[系数列表[系列[产品[1+i x，{i，n}]，{x，0，20}]，x]，{n，0，6}](*杰弗里·克雷策2011年2月4日*）
表[StirlingS1时的绝对值[n，n-k+1]，{n，10}，{k，n}]//扁平(*迈克尔·德弗利格2015年8月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（n<1||k>n，0，（n-1）！*polceoff（polceof（x*y/（1-x*y+x*O（x^n））^（1+1/y），n，x），k，y））}/*保罗·D·汉纳2011年7月21日*/
（最大值）create_list（abs（stirling1（n+1，n-k+1）），n，0，10，k，0，n）；/*伊曼纽尔·穆纳里尼2012年6月1日*/
（哈斯克尔）
a094638 n k=a094638_tabl！！（n-1）！！（k-1）
a094638_row n=a094638 _ tabl！！（n-1）
a094638_tabl=地图背面a130534_tabl
（岩浆）[（-1）^（k+1）*StirlingFirst（n，n-k+1）：k in[1..n]，n in[1..10]]//G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
（Sage）[[stirling_number1（n，n-k+1）for k in（1..n）]for n in（1..10）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
（GAP）平面（列表（[1..10]，n->List（[1..n]，k->Stirling1（n，n-k+1）））#G.C.格鲁贝尔2019年12月29日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000108号,A014137号,A001246号,A033536号,A000984号,A094639号,A006134号,A082894号,A002897号,A079727号,A000217号（第2列），A000914号（第3列），A001303号（第4列），A000915号（第5列），A053567号（第6列），A000142号（行总和）。
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A130534型
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| 三角形T（n，k），0<=k<=n，按行读取，给出多项式（x+1）（x+2）的系数。。。（x+n），以x的幂递增展开。T（n，k）也是无符号斯特灵数|s（n+1，k+1）|，表示n+1个元素上正好包含k+1个循环的排列数。 |
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+10
61
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1, 1, 1, 2, 3, 1, 6, 11, 6, 1, 24, 50, 35, 10, 1, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1, 362880, 1026576, 1172700, 723680, 269325, 63273, 9450, 870, 45, 1
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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或者，三角形T（n，k），0<=k<=n，由[1,1,2,2,3,3,4,5,5,6,6，…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0，…]给出的行读取，其中DELTA是在A084938号.
高阶指数积分E（x，m，n）定义于A163931号.指数积分E（x，m=1，n）~（exp（-x）/x）*（1-n/x+n*（n+1）/x^2-n*（n+1）*（n+2）/x ^3+…）的渐近展开式，见阿布拉莫维茨和斯特根。这个公式是根据渐近展开的一般公式得出的，参见A163932号.我们重写E（x，m=1，n）~（exp（-x）/x）*（1-n/x+（n^2+n）/x^2-（2*n+3*n^2+n^3）/x^3+（6*n+11*n^2+6*n^3+n^4）/x^3-…）并观察到T（n，m）是分母中的多项式系数。查看的a（n，m）公式A028421号,A163932号和A163934号，将上面给出的偏移量移动到1，我们可以写出T（n-1，m-1）=a（n，m）=（-1）^（n+m）*Stirling1（n，m），参见Maple程序。
（结束）
置换中i左边大于i的元素的数量给出了反转向量的第i个元素。（Skiena-Pemmaraju 2003，p.69。）T（n，k）是在其反转向量中正好具有k 0的n个置换数。参见下面Mathematica代码中的证据-杰弗里·克雷策2010年5月7日
T（n，k）统计具有n+2个节点的“自然生长”有根树森林中具有k+1个树干的有根树。这对应于表示向量、李导数或流场和形式群律的无穷小生成器的迭代导数的系数之和。参考中的链接A139605型. -汤姆·科普兰2014年3月23日
初始n=1，T的行多项式为p（n，x）=x（x+1）。。。（x+n-1），x的幂对应于上述“自然生长”森林中有根树的树干数。在每个树干允许m种颜色的情况下，p（n，m）给出了森林的这种非平面颜色树的数量，其中每棵树具有n+1个顶点。
从Joni等人的链接来看，p（n，m）还表示n个可分辨标志在m个可分辨旗杆上的分布。
完整图K_n的色多项式是下降阶乘，它对K_n中n个顶点的着色进行编码，并给出p（n，m）的移位形式。
例如，对于行多项式：（1-y）^（-x）。
（结束）
不定项c（1）到c（n）中n X n Vandermonde矩阵V（n）的行列式|V（n
|V（n）|=产品{1<=j<k<=n}（c（j）-c（k））。设W（n，x）=|V（n）|*（c（1）c（2）。。。c（n））^x，则p（n，x）=W^（-1）[c（1）d/dc（1。参见Chervov链接，第47页-汤姆·科普兰2014年4月10日
让M表示下单位三角形数组A094587号对于k=0,1,2，。。。将M（k）定义为下单位三角形块数组
/确定0（_k）\
\0百万/
将k×k单位矩阵I_ k作为左上块；特别地，M（0）=M。那么现在的三角形等于无限矩阵乘积M（0，M（1）*M（2）*。。。（定义明确）。请参阅示例部分。（结束）
关于这个上升阶乘与维诺的拉盖尔故事时刻的关系，请参阅Hetyei链接，第4页-汤姆·科普兰2015年10月1日
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参考文献
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Sriram Pemmaraju和Steven Skiena，《计算离散数学》，剑桥大学出版社，2003年，第69-71页。[杰弗里·克雷策2010年5月7日]
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。第55辑，第十次印刷，1972年，第5章，第227-251页。[来自约翰内斯·梅耶尔2009年10月7日]
伊戈尔·维克托维奇·斯塔森科，关于广义特殊数三角形的序数《创新科学》第2-2期，国家Ufa出版社，埃特纳出版社，2024年，第15-19页。俄语。
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配方奶粉
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T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k>n或如果n<0，T（n，k）=T（n-1，k-1）+n*T（n-1,k）。T（n，0）=n=A000142号（n） ●●●●。T（2*n，n）=A129505号（n+1）。Sum_｛k=0..n｝T（n，k）=（n+1）=A000142号（n+1）。和{k=0..n}T（n，k）^2=A047796号（n+1）。T（n，k）=|箍筋1（n+1，k+1）|，参见A008275号.（x+1）（x+2）。。。（x+n）=和{k=0..n}T（n，k）*x^k阿里·博斯2008年7月11日]
对于k=1..n，设A={A_1，A_2，…，A_k}表示{1,2，…，n}的size-k子集。然后T（n，n-k）=总和（Product_{i=1..k}a_i），其中总和覆盖所有子集a。例如，T（4,1）=50，因为1*2*3+1*2x4+1*3*4+2*3*4=50-丹尼斯·沃尔什2011年1月25日
前面的公式表示T（n，k）=sigma_{n-k}（1,2,3，…，n），其中第（n-k）个初等对称函数sigma的不定项选择为1,2，。。。，n.参见2011年10月24日的评论A094638号sigma在那里被称为a-沃尔夫迪特·朗，2013年2月6日
三角形的第n行=M^n的顶行，其中M是生产矩阵：
1，1；
1, 2, 1;
1, 3, 3, 1;
1, 4, 6, 4, 1;
…（结束）
指数Riordan数组[1/（1-x），log（1/（1-x））]。递归：T（n+1，k+1）=和{i=0..n-k}（n+1）/（n+1-i）*T（n-i，k）-彼得·巴拉2014年7月21日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=0：1
n=1：1 1
n=2：2 3 1
n=3:6 11 6 1
n=4:24 50 35 10 1
n=5:120 274 225 85 15 1
n=6:720 1764 1624 735 175 21 1
n=7:5040 13068 13132 6769 1960 322 28 1
n=8:40320 109584 118124 67284 22449 4536 546 36 1
n=9:362880 1026576 1172700 723680 269325 63273 9450 870 45 1个
n=10:3628800 10628640 12753576 8409500 3416930 902055 157773 18150 1320 55 1
T（3,2）=6，因为有6个{1,2,3,4}的置换在它们的反转向量中正好有2个0：{1，2，4，3}，{1，3，2，4}，}，2,1，3。各个反转矢量是{0，0，1}，{0，1，0}，{0，2，0}，{1，0，0}，{2，0，0}，{3，0，0}-杰弗里·克雷策2010年5月7日
T（3,1）=11，因为{1,2,3,4}正好有11个置换，有2个循环，即（1）（234），（1），（243），（2）（134），（3）（124）-丹尼斯·沃尔什2011年1月25日
使用注释部分中定义的数组M（k），无穷乘积M（0*）M（1）*M（2）*。。。开始
/ 1 \/1 \/1 \ / 1 \
| 1 1 ||0 1 ||0 1 | | 1 1 |
| 2 2 1 ||0 1 1 ||0 0 1 |... = | 2 3 1 |
| 6 6 3 1 ||0 2 2 1 ||0 0 1 1 | | 6 11 6 1 |
|24 24 12 4 1 || 0 6 6 3 1 || 0 2 2 1 || 24 50 35 10 1|
|... ||... ||... | |... |
（结束）
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MAPLE公司
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使用（组合）：A130534型：=进程（n，m）：（-1）^（n+m）*stirling1（n+1，m+1）结束进程：seq（seq(A130534型（n，m），m=0..n），n=0..10）#约翰内斯·梅耶尔，2009年10月7日，2012年9月11日修订
#将（1，0，0，…）添加为列0（并移动枚举）。
BellMatrix（n->n！，9）#彼得·卢什尼2016年1月27日
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数学
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表[Table[Length[Select[Map[ToInversionVector，Permutations[m]]，Count[#，0]==n&]]，{n，0，m-1}]，{m，0，8}]//网格(*杰弗里·克雷策2010年5月7日*）
行=10；
t=范围[0，行]！；
T[n_，k_]：=腹部[n，k，T]；
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a130534 n k=a130534_tabl！！不！！k个
a130534_row n=a130534-tabl！！n个
a130534_tabl=地图（地图abs）a008275_tabl
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交叉参考
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（结束）
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 20, 120, 840, 6720, 60480, 604800, 6652800, 79833600, 1037836800, 14529715200, 217945728000, 3487131648000, 59281238016000, 1067062284288000, 20274183401472000, 405483668029440000, 8515157028618240000, 187333454629601280000, 4308669456480829440000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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3,2
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评论
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a（n）也是不相交循环的乘积，a（3）=1，a（4）=4，a（5）=20，置换分解中减少的3个循环数-文锦Woan2008年12月21日
a（n）是在三个不同的循环中具有1、2和3的n个置换的数量-杰弗里·克雷策2009年4月26日
高阶指数积分E（x，m=1，n=4）~exp（-x）/x*（1-4/x+20/x^2-120/x^3+840/x^4-6720/x^5+60480/x^6-604800/x^7+…）的渐近展开导致了上述序列。请参见A163931号和A130534型了解更多信息。
（结束）
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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索马亚·巴拉蒂、贝塔·贝尼、阿巴斯·贾法扎德和丹尼尔·雅库比，混合限制斯特林数，arXiv:1812.02955[math.CO]，2018年。
D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，斯特林名录，贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。第77号，1962年，77页。
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配方奶粉
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例如，如果偏移量为0:1/（1-x）^4。
G.f.:G（0）/2，其中G（k）=1+1/（1-x/（x+1/（k+4）/G（k+1）））；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基，2013年6月1日
G.f.:W（0），其中W（k）=1-x*（k+4）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年8月26日
o.g.f.A（x）满足Riccati方程x^2*A'（x）+（4*x-1）*A（x”）+1=0。
G.f.作为S分数：A（x）=1/（1-4*x/（1-x/（1-5*x/（1-2*x/（1-6*x/（1-3*x/（1-…-（n+3）*x/（1-n*x/（1-…）））））））（应用Stokes，1982）。
A（x）=1/（1-3*x-x/（1-4*x/（1-2*x/。（结束）
和{n>=3}1/a（n）=6*e-15。
和{n>=3}（-1）^（n+1）/a（n）=3-6/e。（结束）
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MAPLE公司
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f:=进程（n）n/6; 结束；
BB:=[S，{S=生产（Z，Z，C），C=联合（B，Z，Z），B=生产（Z，C）}，标记]：seq（组合结构[计数]（BB，大小=n）/12，n=3..20）#零入侵拉霍斯2008年6月19日
G（x）：=1/（1-x）^4:f[0]：=G（x#零入侵拉霍斯2009年4月1日
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数学
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黄体脂酮素
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（岩浆）[因子（n）/6:n in[3..30]]//文森佐·利班迪，2011年6月20日
（哈斯克尔）
a001715=（翻转分区6）。a000142号--莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 5, 30, 210, 1680, 15120, 151200, 1663200, 19958400, 259459200, 3632428800, 54486432000, 871782912000, 14820309504000, 266765571072000, 5068545850368000, 101370917007360000, 2128789257154560000, 46833363657400320000, 1077167364120207360000
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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4,2
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评论
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高阶指数积分E（x，m=1，n=5）~exp（-x）/x*（1-5/x+30/x^2-210/x^3+1680/x^4-15120/x^5+151200/x^6-1663200/x^7+…）的渐近展开导致了这个序列。请参见A163931号和A130534型了解更多信息-约翰内斯·梅耶尔2009年10月20日
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参考文献
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N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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D.S.Mitrinovic和R.S.Mitrinovic，斯特林名录，贝尔格莱德大学。出版物。埃利克特罗恩。法克。序列号。材料Fiz。第77号（1962年），1-77。
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配方奶粉
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例如，如果偏移量为0:1/（1-x）^5。
和{n>=4}1/a（n）=24*e-64。
和{n>=4}（-1）^n/a（n）=24/e-8。（结束）
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数学
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黄体脂酮素
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（Magma）[因子（n）/24:n在[4..25]]中]//文森佐·利班迪2011年7月20日
（哈斯克尔）
a001720=（翻转div 24）。a000142号--莱因哈德·祖姆凯勒2014年8月31日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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