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| A132393号 |
| 第一类无符号斯特林数三角形（参见A048994美元)，按行读取，T（n，k）表示0<=k<=n。 |
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117
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 1, 0, 6, 11, 6, 1, 0, 24, 50, 35, 10, 1, 0, 120, 274, 225, 85, 15, 1, 0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1, 0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1, 0, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1, 0, 362880, 1026576, 1172700
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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另一个名称：第一类无意义斯特林数三角形。
三角形T（n，k），0<=k<=n，由[0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5，…]DELTA[1,0,1,0,1,1,0,1，…]给出的行读取，其中DELTA是在A084938号.
指数Riordan数组[1/（1-x），log（1/（1-x））]-拉尔夫·斯蒂芬，2014年2月7日
这是相关或Jabotinsky类型的下三边形Sheffer矩阵|S1|=（1，-log（1-x））（请参阅下面的W.Lang链接A006232号表示法和参考）。这意味着下面给出的示例f.s|S1|是从单项基{x^n}到升阶乘基{risefac（x，n）}的转移矩阵，n>=0-沃尔夫迪特·朗2017年2月21日
对于n>=k>=1，T（n，k）也是由从集合{1，2，…，n-1}中选择的不同长度的n-k正交向量组成的n-k维单元（多面体）的总体积。参见T（n，k）的基本对称函数公式和下面的示例-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
y=y（t；x）=x*（1-t（-log（1-x）/x））=x+t*log（1-x）的组成逆w.r.t.x是x=x（t；y）=ED（y，t）：=Sum_{d>=0}d（d，t）*y^（d+1）/（d+1）！，当前三角形对角序列的o.g.f.s D（D，t）的e.g.f=Sum{m>=0}t（D+m，m）*t^m。参见P.Bala链接以获得证明（其中d=n-1，n>=1是对角线的标签）。
这种反演给出了D（D，t）=P（D，t）/（1-t）^（2*D+1），分子多项式P（D，t）=Sum_{m=0.D}A288874型（d，m）*t^m。参见下面的示例。另请参见中的P.Bala公式A112007号.（结束）
对于n>0，T（n，k）是从1到n的整数的排列数，当从特定的一端查看时，这些整数有k个可见数字，从这个意义上讲，较高的值会在随后的位置隐藏较低的值-伊恩·达夫2019年7月12日
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参考文献
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Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第31、187、441、996页。
R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，第二名。编辑，表259，第259页。
史蒂夫·罗曼，《伞形微积分》，多佛出版社，纽约（1984年），第149-150页
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链接
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J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas和Eduardo J.s.Villaseñor，一类线性递归的二元生成函数。一、总体结构，arXiv:1307.2010[math.CO]，2013年。
Jean-Luc Baril和Sergey Kirgizov，置换的纯下降统计量，预印本，2016年。
W.S.Gray和M.Thitsa，系统互连与组合整数序列，in：系统理论（SSST），2013年第45届东南研讨会，会议日期：2013年3月11日至11日，数字对象标识符：10.1109/SSST.2013.6524939。
Tanya Khovanova和J.B.Lewis，摩天大楼数量，J.国际顺序。16 (2013) #13.7.2.
谢尔盖·基塔耶夫（Sergey Kitaev）和菲利普·张（Philip B.Zhang），短长度网格图案的分布，arXiv:1811.07679[math.CO]，2018年。
X.-T.Su、D.-Y.Yang和W.-W.Zhang，关于广义阶乘的一个注记《澳大利亚组合数学杂志》，第56卷（2013年），第133-137页。
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配方奶粉
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T（n，k）=T（n-1，k-1）+（n-1）*T（n-1，k），n，k>=1；T（n，0）=T（0，k）；T（0,0）=1。
展开1/（1-t）^x=Sum_{n>=0}p（x，n）*t^n/n！；然后p（x，n）的系数产生三角形-罗杰·L·巴古拉，2008年4月18日
求和{k=0..n}x^k*T（n，k）=x*（1+x）*（2+x）*（n-1+x），n>=1-菲利普·德尔汉姆，2008年10月17日
例如，第k列：（-log（1-x））^k，k>=0。
例如，三角形（见2008年4月18日Baluga的评论）：exp（-x*log（1-z））。
行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k，对于n>=0，是R（n、x）=risefac（x，n-1）：=Product_{j=0..n-1}x+j，其中n=0的空乘积被置为1。见上文2017年2月21日的评论。这意味着：
T（n，k）=sigma^{（n-1）}_（n-k），对于n>=k>=1，在n-1符号1，2，…，n-1中使用阶数为m的基本对称函数sigma_{（n-1））_m，使用二项式（n-1，m）项。见下面的示例。（结束）
列序列k的Boas-Buck型递归：T（n，k）=（n！*k/（n-k））*Sum_{p=k.n.n-1}β（n-1-p）*T（p，k）/p！，对于n>k>=0，输入T（k，k）=1，β（k）=A002208号（k+1）/A002209号（k+1）。请参阅中的注释和参考A286718型. -沃尔夫迪特·朗2017年8月11日
第n行多项式：n*求和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（-x，k）*二项法（-x、2*n-k）=n*求和{k=0..2*n}（-1）^k*二项式（1-x，k）*二项（-x，2*n-k）-彼得·巴拉，2024年3月31日
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例子
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三角形T（n，k）开始于：
1;
0, 1;
0, 1, 1;
0, 2, 3, 1;
0, 6, 11, 6, 1;
0, 24, 50, 35, 10, 1;
0, 120, 274, 225, 85, 15, 1;
0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1;
0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1;
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生产矩阵为
0, 1
0, 1, 1
0, 1, 2, 1
0, 1, 3, 3, 1
0, 1, 4, 6, 4, 1
0, 1, 5, 10, 10, 5, 1
0, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
0, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
...
三期复发：50=T（5,2）=1*6+（5-1）*11=50。
Sheffer a序列的递归[1，1/2，1/6，0，…]：50=T（5，2）=（5/2）*（二项式（1，1）*1*6+二项式。消失的z序列从T（0，0）=1生成k=0列。（结束）
初等对称函数T（4，2）=sigma^{（3）}_2=1*2+1*3+2*3=11。这里的单元格（多边形）是3个矩形，总面积为11-沃尔夫迪特·朗2017年5月28日
对角线的O.g.f.s：d=2（第三对角线）[0,6,50，…]有d（2，t）=P（2，t）/（1-t）^5，其中P（2、t）=2+t，n=2行A288874型. -沃尔夫迪特·朗2017年7月20日
列k=2和n=5的Boas-Buck递推：T（5，2）=（5！*2/3）*（（3/8）*T（2,2）/2！+（5/12）*T（3,2）/3！+（1/2）*T（4,2）/4！）=(5!*2/3)*((3/16 + (5/12)*3/3! + (1/2)*11/4!) = 50.测试序列开始：{1/2，5/12，3/8，…}-沃尔夫迪特·朗，2017年8月11日
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MAPLE公司
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a132393_row:=进程（n）局部k；seq（系数（展开（pochhammer（x，n）），x，k），k=0..n）结束：#彼得·卢什尼，2010年11月28日
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数学
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p[t]=1/（1-t）^x；表[ExpandAll[（n！）SeriesCoefficient[Series[p[t]，{t，0，30}]，n]]，{n，0，10}]；a=表[（n！）*系数列表[系列系数[系列[p[t]，{t，0，30}]，n]，x]，{n，0，10}]；压扁[a](*罗杰·L·巴古拉2008年4月18日*）
压扁[表[Abs[StirlingS1[n，i]]，{n，0，10}，{i，0，n}]](*哈维·P·戴尔2014年2月4日*）
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黄体脂酮素
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（最大值）create_list（abs（stirling1（n，k）），n，0，12，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月11日*/
（哈斯克尔）
a132393 n k=a132393_tabl！！不！！k
a132393_row n=a132393-tabl！！n个
a132393_tabl=地图（地图abs）a048994_tabl
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交叉参考
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关键词
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作者
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菲利普·德尔汉姆，2007年11月10日，2008年10月15日，2007年10月17日
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状态
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经核准的
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