A000255-OEIS公司

抵消

0,3

a（n）统计没有子串[k，k+1]的[1，…，n+1]的置换。 -伦·斯迈利2001年10月13日

此外，对于n>0，三对角n×n矩阵M的行列式，使得M（i，i）=i，对于i=1…n-1，M（i、i+1）=-1，M（i+1，i）=i.Mario Catalani（Mario Catalani，AT）unito.it），2003年2月4日

此外，对于n>0，非奇异nXn（0,1）-矩阵的最大永久性，这是由仅含n-10的矩阵实现的，都在主对角线上。[有关证据，请参阅下一项。]-W·埃德温·克拉克2003年10月28日

Richard Brualdi和W·埃德温·克拉克2003年11月15日：设n>=4。取一个非奇异的n×n（0,1）-矩阵A。它的t>=n-1，0’s，否则将有两行所有的1’s。让B是通过将A的0’s的t-（n-1）替换为1’s而从A获得的矩阵。让D是对角线上第一个n-1位置上除0以外的所有1的矩阵。这个矩阵很容易看出是非奇异的。现在我们得到了per（A）<=per（B）<=per（D），其中第一个不等式如下，因为用1替换0不能减少永久性，第二个不等式来自Brualdi等人参考文献中的推论4.4，它表明per（D）是具有n-1 0的ANY n X n矩阵的最大永久性。推论4.4要求n>=4。对于n<4，可以直接计算a（n）。

偏移量为1时，永久值为（0,1）-矩阵的大小为n X（n+d），d=1，n个零不在一条线上。这是Seok-Zun Song等人的定理2.3的特例，（0,1）-矩阵的永久数极值，第201-202页。 -雅普间谍2003年12月12日

以2开头的n+2的不动点自由排列的数目；例如，对于1234，我们有2143、2341、2413，因此a（2）=3。还有与1..n+1没有协议的2..n+2排列数。例如，对于234的排列，123有234、342和432。比较A047920号. -乔恩·佩里2004年1月23日。[这可以通过建立错位的d（n+2）=（n+1）（d（n+1A000166号（n+1选择1的位置，然后1处于换位，或者处于长度至少为3的循环中，等等）。-D.G.Rogers，2006年8月28日]

斯特林变换A006252号（n+1）=[1,1,2,4,14,38，…]是a（n）=[1,3,11,53309，…]。 -迈克尔·索莫斯2004年3月4日

a（n+1）是自乘子到1/（e-2）的分子序列；参见A096654号. -克拉克·金伯利2004年7月1日

欧拉的解释是“从2开始的固定无点排列”，他列出了148329个术语（尽管当时他是盲人）。 -高德纳2007年1月25日

等于lim_{k->infinity}A153869号^k、。 -加里·W·亚当森2009年1月3日

汉克尔变换是A059332号. -保罗·巴里2009年4月22日

这个序列出现在欧拉发散级数1-1的分析中！ + 2! - 3! + 4! ...拉克鲁瓦，见哈迪。有关此序列和相关发散序列的信息，请参见A163940型. -约翰内斯·梅耶尔2009年10月16日

a（n），n>=1还列举了在一组（无序）项链上分配n个珠子的方法，这些珠子的标签从1到n不等，但不包括只有一个珠子和一根允许有任意数量珠子的开绳的项链。每一条无珠项链以及无珠绳索在计数中都有一个因子1，例如a（0）：=1*1=1。有k个！k>=0珠子的跳线的可能性，这意味着跳线的两端应被视为固定的，简而言之：固定跳线。这就产生了序列{n=A000142号（n） }和子要素{A000166号（n） }。

请参见下面的公式。或者，这个问题的e.g.f.被视为（exp（-x）/（1-x））*（1/（1-x。因此，具有输入的递归也成立。a（0）：=1。这一评论来源于Malin Sjodahl发现的一系列关于某些夸克和胶子图的组合问题的重复出现（2010年2月27日）。 -Wolfdieter Lang公司2010年6月2日

a（n）=（n-1）a（n-1。 -乔恩·佩里2012年9月20日

此外，减少了2X（n+2）拉丁矩形的数量。 -A.H.M.斯密茨2013年11月3日

欧拉差分表的第二列（示例中的第二对角线A068106号). -恩里克·纳瓦雷特2016年12月13日

如果我们将[n+2]的排列划分为A000166号根据它们的起始数字，我们将得到（n+1）个大小为a（n）的等分类（以数字1开头的类是空的，因为没有从1开始的错位）。因此，A000166号（n+2）=（n+1）*a（n），因此a（nA000166号例如，对于n=3，我们有44=4*11（见链接）。 -恩里克·纳瓦雷特，2017年1月11日

对于n>=1，[n+2]上避免子串（j，j+2），1<=j<=n的循环置换数（循环表示法）。例如，对于n=2，S4中避免子串{13,24}的3个循环置换为（1234），（1423），（1432）。请注意，这些圆形排列中的每一个都以单线符号表示4个排列（参见链接2017）。 -恩里克·纳瓦雷特2017年2月15日

取模为正整数k的序列a（n）是周期的，当k为偶数时，精确周期除以k，当k是奇数时，周期除以2*k。这源于对所有n和k都成立的同余a（n+k）=（-1）^k*a（n）（modk），而这又很容易通过使用给定的递归进行归纳来证明。 -彼得·巴拉2017年11月21日

[n]的置换数，其中第k个不动点是k色的，所有其他点都是单色的。 -阿洛伊斯·海因茨2025年4月28日

参考文献

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马克斯·伦尼和E.J.F.Primrose，与子因子序列相连的序列，注3207，数学。加兹。第52卷，第382号（1968年），第381-382页。[带注释的扫描副本]

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配方奶粉

例如：exp（-x）/（1-x）^2。

a（n）=和{k=0..n}（-1）^k*（n-k+1）*n！/k！。 -伦·斯迈利

（n+1）的二项式逆变换！.-Robert A.Stump（bee_ess107（AT）yahoo.com），2001年12月9日

a（n-2）=！n/（n-1）其中！n是n的子因子，A000166号（n） ●●●●。 -Lekraj Beedassy公司2002年6月18日

a（n）=地板（1/e）*n！*（n+2）+1/2）。 -贝诺伊特·克洛伊特2004年1月15日

显然lim_{n->infinity}log（n）-log（a（n））/n=1。 -杰拉尔德·麦卡维2004年6月12日

a（n）=（n*（n+2）*a（n-1）+（-1）^n）/（n+1）对于n>=1，a（0）=1。请参见Charalambides参考。

a（n）=GAMMA（n+3，-1）*exp（-1）/（n+1）（不完整的GAMMA函数）。 -马克·范·霍伊2009年11月11日

a（n）=A000166号（n）+A000166号（n+1）。

A002469号（n） =（n-2）*a（n-1）+A000166号（n） ●●●●。 -加里·W·亚当森2009年4月17日

如果我们对n>0取b（n）=（-1）^（n+1）*a（n），那么对于n>1，前n项的算术平均值为-b（n-1）。 -富兰克林·T·亚当斯-沃特斯2010年5月20日

a（n）=超几何（[2，-n]，[]，1）*（-1）^n=KummerU（2,3+n，-1）*（-1）^n。参见Abramowitz-Stegun手册（参考参见示例。A103921号)第504页，第13.1.10页，关于复发，第507页，第13.4.16页。 -Wolfdieter Lang公司2010年5月20日

a（n）=n！*（1+Sum_{k=0..n-2}sf（n-k）/（n-k！)子要素sf（n）：=A000166号（n）（这是指数卷积的结果）。 -Wolfdieter Lang公司2010年6月2日

a（n）=1/（n+1）*楼层（（n+1！+1） /e）。 -加里·德特利夫斯2010年7月11日

a（n）=（次阶乘（n+2））/（n+1）。 -亚历山大·波沃洛茨基2011年1月26日

通用公式：1/（1-x-2x^2/（1-3x-6x^2/-（1-5x-12x^2/（1-7x-20x^2//（1-…/（1-（2n+1）x-（n+1）（n+2）x^2/.（1-…（连分数））。 -保罗·巴里2011年4月11日

G.f.：浅层（[1,2]，[]，x/（x+1））/（x+1）。 -马克·范·霍伊2011年11月7日

发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月24日至2014年2月5日：（开始）

连续分数：

例如1/E（0），其中E（k）=1-2*x/（1+x/（2-x-2/（1+x*（k+1）/E（k+1。

通用公式：S（x）/x-1/x=Q（0）/x-1/x其中S（x）=和{k>=0}k！*（x/（1+x））^k，Q（k）=1+（2*k+1）*x/（1+x-2*x*（1+x）*（k+1）/（2*x*（k+1）+（1+x）/Q（k+1。

G.f.：1/Q（0），其中Q（k）=1+x-x*（k+2）/（1-x*（k+1）/Q（k+1））。

G.f.：1/x/Q（0），其中Q（k）=1/x-（2*k+1）-（k+2）*（k+1）/Q（k+1。

G.f.：（1+x）/（x*Q（0））-1/x，其中Q（k）=1-2*k*x-x^2*（k+1）^2/Q（k+1）。

G.f.：2/x/G（0）-1/x，其中G（k）=1+1/（1-x*（2*k+2）/（x*（2%k+1）-1+x*（2\*k+2）/G（k+1）））。

G.f.：（Sum_｛k>=0｝k！*（x/（1+x））^k）-1）/x=Q（0）/（2*x）-1/x，其中Q（k）=1+1/（1-x*（k+1）/（x*（k+1）+（1+x）/Q（k+1）））。

G.f.：W（0），其中W（k）=1-x*（k+1）/。

G.f.：G（0）/（1-x），其中G（k）=1-x^2*（k+1）*（k+2）/。（结束）

发件人彼得·巴拉2013年9月20日：（开始）

序列b（n）：=n！*（n+2）满足a（n）的定义递归，但起始值b（0）=2和b（1）=3。这导致了有限连分式展开a（n）=n！*（n+2）*（1/（2+1/（1+1/（2+2/（3+…+（n-1）/n）））），对n>=2有效。

同时a（n）=n！*（n+2）*（和{k=0..n}（-1）^k/（k+2）！ ).让n->无穷大给出了由于Euler的无限连续分式展开1/e=1/（2+1/（1+1/（2+2/（3+…+（n-1）/（n+…）））。（结束）

如果n>=0，则0=a（n）*（+a（n+1）+2*a（n+2）-a（n+3））+a（n+1）*（+2*a。 -迈克尔·索莫斯2014年5月6日

a（n-3）=（n-2）*A000757号（n-2）+（2*n-5）*A000757号（n-3）+（n-3*A000757号（n-4），n>=3。 -路易斯·曼努埃尔·里维拉·马丁内斯2015年3月14日

a（n）=A000240型（n）+A000240型（n+1），n>=1。设D（n）=A000240型（n）是{12,23，…，（n-1）n，n1}中没有子串的[n]的置换。设d（n）=a（n-1）是[n]在{12,23，…，（n-1）n}中没有子串的置换。让d_n1=A000240型（n-1）是在{12,23，…，（n-1）n}中具有子串n1但没有子串的[n]的置换。然后链接“禁止模式”显示双射d_n1~d（n-1），因为dn=d_n1U d（n），我们得到dn=d（n-1）U d（n）。通过基数，我们得到了n-1的结果，即a（n-1）=A000240型（n-1）+A000240型（n） ●●●●。例如，对于最后一个方程中的n=4，我们得到a（4）=11=3+8。 -恩里克·纳瓦雷特2017年1月16日

a（n）=（n+1）！*超深层（[-n]，[-n-1]，-1）。 -彼得·卢什尼2018年11月2日

和{n>=0}（-1）^n*n！/（a（n）*a（n+1））=e-2（Herzig，1998）。 -阿米拉姆·埃尔达尔2022年3月7日

a（n）=KummerU（-n，-n-1，-1）。 -彼得·卢什尼2022年5月10日

例子

a（3）=11:1 3 2 4； 1 4 3 2; 2 1 4 3; 2 4 1 3; 3 2 1 4; 3 2 4 1; 4 1 3 2; 4 2 1 3; 4 3 2 1; 2 4 3 1; 3 1 4 2.最后两个对应于（n-1）*a（n-2），因为它们包含a[j，n+1，j+1]。

脐带问题。对于n=4，我们考虑以下弱的两部分组成4：（4,0）、（2,2）、（1,3）和（0,4），其中（3,1）不出现，因为没有带1珠的项链。这些组成部分分别贡献4！*1，（二项式（4,2）*2）*sf=A000166号（n）（见项链评论）。这加起来就是24+6*2+4*2+9=53=a（4）。 -Wolfdieter Lang公司2010年6月2日

G.f.=1+x+3*x^2+11*x^3+53*x^4+309*x^5+2119*x^6+16687*x^7+。..

MAPLE公司

a:=n->超深层（[2，-n]，[]，1）*（-1）^n:

seq（简化（a（n）），n=0..19）； #彼得·卢什尼2014年9月20日

seq（简化（KummerU（-n，-n-1，-1）），n=0..21）； #彼得·卢什尼2022年5月10日

数学

c=系数列表[系列[Exp[-z]/（1-z）^2，{z，0，30}]，z]；对于[n=0，n<31，n++；打印[c[[n]]*（n-1）！ ]]

表[n]+子阶乘[n+1]，{n，0，20}](*零入侵拉霍斯2009年7月9日*）

递归表[{a[n]==na[n-1]+（n-1）a[n-2]，a[0]==1，a[1]==1}，a[n]，{n，20}](*哈维·P·戴尔2011年5月10日*）

a[n_]：=如果[n<0，0，四舍五入[n！（n+2）/E]](*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*）

a[n_]：=如果[n<0，0，n！系列系数[Exp[-x]/（1-x）^2，{x，0，n}]](*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*）

a[n_]：=如果[n<0，0，（-1）^n超几何PFQ[{-n，2}，{}，1]](*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*）