0、3

A（n）计数没有子串〔k，k+1〕的〔1，…，n+1〕的排列。-伦斯迈利10月13日2001

也是（n-2）=！N/（N - 1）在哪里！n是n的子阶乘，A000 0166（n）。-莱克拉吉贝达西6月18日2002

此外，对于n＞0，三对角n×n矩阵M的行列式，使得m（i，i）＝i和i＝1…n-1，m（i，i＋1）＝-1，m（i+1，i）＝i。Mario Catalani（马里奥.Cat alat（AT）UNITO.IT），FEB 04 2003。

此外，对于n＞0，非奇异n×n（0，1）-矩阵的极大永久性，这是由N-1＝0的矩阵实现的，都在主对角线上。[为证明，见下一条目。]W·埃德温·克拉克10月28日2003

Richard Brualdi的证明W·埃德温·克拉克，11月15日2003：让n>＝4。取一个非奇异的nxn（0,1）-矩阵A。它具有t>＝n-1，0，否则将有1行的两行。让B是通过替换A的0的1的t-（n-1）而得到的矩阵。这种矩阵很容易看出是非奇异的。现在我们得到了每（a）<=（b）<＝（d），其中第一个不等式如下，因为在Braldii等人中，用0的1代替1不能减少永久性和第二个从推论中的第二个。参考文献表明，每（D）是n×1 0的任意n×n矩阵的最大永久值。推论4.4需要n＞4。A（n）可直接计算n＜4。

用偏移1，n（x，n+d）的（0,1）-矩阵的常量，d＝1，n个零点不在一行上。这是Seok Zun Song等定理2.3的一个特例，（0,1）-矩阵的永久性的极值，pp.201-202。-Jaap间谍12月12日2003

从2开始的n+ 2的固定点自由排列的数目，例如对于1234，我们有2143, 2341, 2413，所以A（2）＝3。2…n+1的排列数与1…n＋1没有一致。例如，对于123的234排列，我们有234, 342和432。对比A047 920. -乔恩佩里，1月23日2004。这可以通过标准参数证明D（n＋2）＝（n＋1）（d（n＋1）+d（n））。A000 0166（N+ 1个选择，其中1个去，然后1个在换位，或者在一个周期中至少3个，等等）。- D. G. Rogers，8月28日2006

斯特灵变换A000 6252（n+1）＝[1,1,2，4]，14，38，…]是（n）＝[1,3，11，53309，…]。-米迦勒索摩斯04三月2004

A000 0255（n+1）是自收敛分子到1／（E-2）的分子序列；A09665. -克拉克·金伯利，朱尔01 2004

欧拉的解释是“固定点自由排列从2开始”，他列出的条款高达148329（尽管当时他是瞎子）。-高德纳1月25日2007

等于Limi{{K-> INF}A1538K.加里·W·亚当森，03月1日2009

连接到A000 2496（带N卡捕鼠器游戏）：A000 2496（n）=（n-2）*A000 0255（n-1）+A000 0166（n）。（Cf. triangleA159610）-加里·W·亚当森4月17日2009

汉克尔变换是A059332. -保罗·巴里4月22日2009

这个序列出现在Euler的发散级数1—1的分析中。+ 2！- 3！+ 4！…通过LaRixx，见哈代。有关此和相关发散序列的信息，请参见A16940. -约翰内斯·梅杰10月16日2009

A（n），n>＝1，还列举了在一组（无序的）项链上分配n个珠，从1到n不同的方法，不包括具有一个珠子的项链，以及一个允许有任意数量珠子的开放的绳索。每一个无底项链和无底绳在计数中贡献一个因子1，例如A（0）：＝1×1＝1。有K！绳的可能性为K>＝0珠子，这意味着绳子的两端应该被视为固定的，简而言之：固定的绳索。这产生了（n）序列（n）的指数（Aka二项）卷积。=A000 0142（n）}和子因子{A000 0166（n）}。

请看下面的公式。或者，对于这个问题的E.F.被看作是（EXP（-x）/（1-x））*（1 /（1-x）），即对于子阶乘（来自无序项链问题，没有项链恰好一个珠子）和阶乘（来自固定绳问题）的乘积。因此，输入的递归也成立。A（0）：＝1。这个评论源于一个由Malin Sjodahl发现的对于某些夸克和胶子图（2月27日2010）的组合问题的递归。-狼人郎，军02 2010

a（n）＝（n-1）a（n-1）+（n-2）a（n-2）给出相同的序列偏移1。-乔恩佩里9月20日2012

此外，减少了2×（n + 2）拉丁矩形。- A·H·M·SMEETSH，03月11日2013

Euler差分表的第二列（第二对角线的例子）A068 106）-恩里克纳瓦雷特12月13日2016

如果我们将[n+1]的排列划分为A000 0166根据它们的起始数字，我们将得到（n＋1）等分类，每个大小A（n）（从数字1开始的类是空的，因为没有错误开始于1）。因此，A000 0166（n＋2）＝（n+1）*a（n），因此a（n）是[n+1]的每个非空类排列的大小。A000 0166. 例如，对于n＝3，我们有44＝4×11（参见链接）。-恩里克纳瓦雷特1月11日2017

对于n>＝1，在[n+1]上避免子串（j，j＋2），1＜＝j＜n＝n的循环排列（循环记号）的数目，例如，对于n＝2，避免子串{13，24}的S4中的3个循环排列是（1234），（1423），（1432）。注意，这些循环排列中的每一个表示一行符号中的4个排列（参见链接2017）。-恩里克纳瓦雷特2月15日2017

当K是偶数时，取正整数k的序列A（n）是周期性的，精确周期划分K，当k为奇数时，2×k除以k。这是从同余A（n+k）＝（- 1）^ k*a（n）（mod k）保持的所有n和k，这反过来很容易证明通过使用给定的递归。-彼得巴拉11月21日2017

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E.g.f.：EXP（-x）/（1-x）^ 2。

A（n）＝SUMU{{K＝0…n}（-1）^ k*（n+k+ 1）*n！K！-伦斯迈利

逆二项变换（n＋1）！- Robert A. Stump（BeeEase107（AT）雅虎.com），12月09日2001

A（n）＝楼层（（1／e）*n！＊（n＋2）＋1/2）。-班诺特回旋曲1月15日2004

A（n）＝{（n＋2）n！/e}，其中{x}表示最近的整数。提出的西蒙·普劳夫1993年3月。

显然Limi{{N-> INF} log（n）-log（a（n））/n＝1。-杰拉尔德麦加维6月12日2004

a（n）＝（n*（n+1）*a（n-1）+（-1）^ n）/（n+1）n＝1，a（0）＝1。参见CalalaBbIDs引用。

A（n）＝γ（n＋3，- 1）*EXP（- 1）/（n+1）（不完全伽马函数）。-马克范霍伊11月11日2009

A（n）=A000 0166（n）+A000 0166（n＋1）。

如果取B（n）＝（- 1）^（n+1）*a（n）为n＞0，则对于n＞1，第一n项的算术平均值为-b（n-1）。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯5月20日2010

A（n）＝超几何（[2，-n]，[]，1）*（-1）^ n＝KummerU（2,3+n，-1）*（-1）^ n。参见Abramowitz Stegun手册（参见参考文献）。A10921P 504，131.10，复发507，13 4.16。-狼人郎5月20日2010

从狼人郎，军02 2010：（开始）

A（n）＝n！*（1 + SuMu{{K＝0…n-2 } SF（N-K）/（N-K）！）用子因子SF（n）：A000 0166（n）（这是指数卷积）。

a（n）＝sf（n+ 1）+sf（n），n>＝0，用sf（n）＝：A000 0166（n）。（电子邮件中的观察）加里德莱夫斯）（结束）

A（n）＝1（n＋1）*楼层（（n＋1）！+1）/e。-加里德莱夫斯7月11日2010

A（n）=（次阶乘（n+1））/（n+1）。-亚力山大·R·波洛夫茨基1月26日2011

G.f.：1／（1-X-2X^ 2 /（1-3X-6X^ 2）/（1-5X-12X^ 2）/（1-7X-20X^ 2）/（1 -…/（1）-（2n+1）x -（n+1）（n+2）x^ 2 /（1…（连分数）。-保罗·巴里4月11日2011

G.f.：超几何（[1,2]，[]，x/（x+ 1））/（x+ 1）。-马克范霍伊07月11日2011

从谢尔盖·格拉德科夫斯克，9月24日2012 - 2月05日2014：（开始）

连分数：

E.F. 1／E（0），其中E（k）＝1～2×x/（1 +x/（2 -x- 2 /（1 +x*（k+1）/e（k+1））））。

G.f.：S（x）/x- 1 /x= q（0）/x- 1 /x，其中s（x）＝SuMu{{K>＝0 } K！*（x/（1＋x））^ k，q（k）＝1＋（2×k＋1）*x/（1 +x- 2×x（1 +x）*（k+1）/（2×x*（k+1）+（1＋x）/q（k+1）））。

G.f.：1／q（0）其中q（k）＝1＋x-x*（k+2）/（1 -x*（k+1）/q（k+1））。

G.f.：1／x/q（0），其中q（k）＝1／x-（2×k+1）-（k+2）*（k+1）/q（k+1）。

G.f.：（1±x）/（x*q（0））-1／x，其中q（k）＝1～2＊k*x-x^ 2 *（k+1）^ 2／q（k+1）。

G.f.：2／x/g（0）-1／x，其中G（k）＝1＋1 /（1×x（2×k+2）/（x*（2×k+1）-1 +x*（2＊k+2）/g（k+x）））。

G.f.：（（SUM{{K>＝0 } K）！*（x/（1±x））^ k）-1）/x= q（0）/（2×x）-1 / x，其中q（k）＝1＋1 /（1×x（k+1）/（x*（k+1）+（1＋x）/q（k+1）））。

G.f.：W（0）其中W（k）＝1 -x*（k+ 1）/（x*（k+ 1）- 1 /（1 -x*（k+2）/ /（x*（k+1）-1／w（k+1））））。

G.f.：G（0）/（1-x），其中G（k）＝1 -x^ 2 *（k+1）*（k+2）/（x^ 2 *（k+1）*（k+2）-（1-x*（1＋2＊k））*（1-x*（3＋2＊k））/g（k+1）。（结束）

从彼得巴拉，9月20日2013：（开始）

序列B（n）：＝n！*（n＋2）满足A（n）的定义递归，但起始值b（0）＝2，b（1）＝3。这导致有限连分数展开A（n）＝n。*（n + 2）*（1 /（2 + 1）/（1 + 1）/（2 + 2）/（3 +）。+（n-1）/n）（）），对于n>＝2有效。

也A（n）＝n！*（n+1）*（SUMU{{K＝0…n}（-1）^ k/（k+2）！）n＝无穷大给出无穷连续连分数展开1 /e＝1／（2＋1／/（1＋1／／（2＋2／／（3＋…+（N-1）/（N+…））（）由于欧拉。（结束）

A（n）＝圆（（n＝2）！/e）/（n＋1）。-托马斯奥多夫斯基07月11日2013

0＝a（n）*（+a（n+1）+2×a（n+2）-a（n+3））+a（n+1）*（+2×a（n+2）-a（n+3））+a（n+2）*（+a（n+2）），如果n>＝0。-米迦勒索摩斯06五月2014

a（n-3）＝（n-2）*A000 075（N-2）+（2×N-5）*A000 075（n-3）+（n-3）*A000 075（n－4），n>＝3。-路易斯曼努埃尔3月14日2015

A（n）=A000 0240（n）+A000 0240（n＋1），n>＝1。设D（n）=A000 0240（n）是[{]在{12，23，…，（n-1）n，n}中没有子串的排列。设d（n）＝a（n-1）为{12}，23，…，（n-1）n}中没有子串的[n]的排列。让DYN1A000 0240（n-1）是具有子串N1但没有子串在{12，23，…，（n-1）n}中的[n]的排列。然后链接“禁止模式”显示双射DYN1~D（N-1），并且由于DN＝DYN-Uüd（n），我们得到DN＝D（n-1）u d（n）。取基数，我们得到n-1的结果，即A（n-1）=A000 0240（n-1）+A000 0240（n）。例如，对于n＝4，在这个最后的等式中，我们得到a（4）＝11＝3＋8。-恩里克纳瓦雷特1月16日2017

A（n）＝（n＋1）！*超几何（[-N]，[-N-1]，-1）。-彼得卢斯尼02月11日2018

A（3）＝11∶1、3、2、4、1、4、3、2、2、1、2、2、β、β、β、β、β、α、β、β、β、β、β、β、β、β、β、β、β、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、γ、最后两个对应于（n-1）*a（n-2），因为它们包含[j，n+1，j＋1 ]。

脐带项链问题。对于n＝4，考虑以下4个弱的两部分组成：（4，0），（2，2），（1，3），和（0，4），其中（3，1）不出现，因为没有带1珠的项链。这些组成分别贡献4！* 1，（二项式（4，2）* 2）*SF（2），（二项式（4，1）* 1）*SF（3），和1＊SF（4）与子因子SF（n）：=：A000 0166（n）（见项链评论）。这加起来为24 + 6×2 + 4×2 + 9＝53＝A（4）。-狼人郎，军02 2010

G.F.＝1＋x＋3×x ^ 2＋11×x ^ 3＋53×x ^ 4＋309×x ^ 5＋2119×x ^ 6＋16687×x ^＋＋＋…

A:N->超几何（[2，-n]，[]，1）*（-1）^ n：

Seq（简化（a（n）），n＝0…19）；彼得卢斯尼9月20日2014

C =系数列表[Exp[-Z] /（1 -Z）^ 2，{z，0, 30 }，Z]为[n＝0，n＜31，n++；打印[C[[n] ] *（n- 1）！] ]

表[子阶乘[n] +子阶乘[n+1]，{n，0, 20 }]（*）零度拉霍斯，JUL 09 2009＊）

递归[ {a[n]＝na[n-1 ] +（n-1）a[n-2 ]，a〔0〕＝＝1，a〔1〕＝＝1 }，a[n]，{n，20 }]（*）哈维·P·戴尔5月10日2011＊）

a[n]：=如果[n＜0, 0，圆[n！（n+1）/e]（*）米迦勒索摩斯，军01 2013 *）

a[n]：=如果[n＜0, 0，n！级数系数[Exp[-x] /（1 -x）^ 2，{x，0，n}]（*）米迦勒索摩斯，军01 2013 *）

a[n]：= I[ n＜0, 0，（-1）^ n超几何pFQ[{-n，2 }，{}，1 ] ]（*）米迦勒索摩斯，军01 2013 *）

（PARI）{A（n）＝IF（n＜0, 0），CraceFrpNQn（矩阵（2，n，i，j，j-（i＝1）））[1, 1 ] }；

（PARI）{A（n）＝IF（n＜0, 0，n）！＊POLCOFEF（EXP（-X+X*O（X^ n））/（1 -x）^ 2，n）}；

（SAGE）从SAGE.COMPATA.SLANEYA函数导入极值持久序列2

E=极值持久序列2（）

它= E.GEN（1, 1, 1）

[n.]（i）在范围（20）中

γ[]零度拉霍斯5月15日2009

（哈斯克尔）

A000 0255 n=a000 0255y列表！n！

A000 0255x列表＝1：1：ZIPOP（+）ZS（尾部ZS）

ZPS= ZIPOF（*）[1…] A000 0255Y列表

——莱因哈德祖姆勒，十二月05日2011

（岩浆）I＝〔1, 3〕；〔1〕猫〔n〕2选择i [ n]另外n*自（n-1）+（n-1）*自（n-2）：n在[ 1…30 ] ]；文森佐·利布兰迪，八月09日2018

三角形中的行和A0467. 三角形的对角线A068 106.

囊性纤维变性。A000 0153，A000 0166，A000 0261，A000，A000 1910，A055 790.

囊性纤维变性。A090010，A090012，A090013，A090014，A090015，A090016.

A052655给出具有最大永久性的非奇异（0, 1）-矩阵的出现计数。A089475永久值的不同值，A089480永久非全奇异（0, 1）-矩阵的出现计数A07982A，A089863.

三角形的对角线A010027.

囊性纤维变性。A1538，A159610，A000 2496.

A（n）=A08664（n+1,1）。

语境中的顺序：A07512 A000 5502 A3057*A318912 A121580 A32 1732

相邻序列：A000 0252 A000 0253 A000 0254*A000 0256 A000 0257 A000 0258

诺恩，容易，好

斯隆

经核准的