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A000255 a(n)=n*a(n-1)+(n-1)*a(n-2),a(0)=1,a(1)=1。
(原M2905 N1166)
92
1、1、3、11、53、309、2119、16687、148329、1468457、16019531、190899411、2467007773、34361893981、513137616783、8178130767479、13857156531409、24861753313617、47106033220679059397653627525472727、19690321886243846661、4392920666171724421 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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0,3个

评论

a(n)计算没有子串[k,k+1]的[1,…,n+1]的置换数。-蓝笑脸2001年10月13日

也为(n-2)=!n/(n-1)哪里!n是n的亚因子,A000166号(n) 一。-莱克莱·比达西2002年6月18日

对于矩阵i(i=1,M,i=1,i=1,M,i=1)M(i=1,M,i=1)的矩阵i(i=1)

另外,对于n>0,非奇异nxn(0,1)-矩阵的最大永久数,这是由只有n-10的矩阵实现的,都在主对角线上。[有关证明,请参阅下一条。]-W、 埃德温·克拉克2003年10月28日

Richard Brualdi和W、 埃德温·克拉克,2003年11月15日:设n>=4。取一个非奇异的nxn(0,1)-矩阵A。它有t>=n-1,0,否则将有两行所有的1。设B是通过用1代替A的t-(n-1)从A得到的矩阵。设D是除了0以外的所有1在对角线上的前n-1位置的矩阵。很容易看出这个矩阵是非奇异的。现在我们得到了per(A)<=per(B)<=per(D),其中第一个不等式是因为用1代替0不能减少永久性,第二个不等式来自Brualdi等人的推论4.4。参考文献,它表明per(D)是任何n×n矩阵的最大永久数,n-10。推论4.4要求n>=4。n<4的a(n)可以直接计算。

偏移量为1时,(0,1)-矩阵的永久性,大小为nx(n+d),d=1且n个零不在一条线上。这是Seok Zun Song等人的定理2.3的特例,(0,1)-矩阵的永久数的极值,第201-202页。-雅普间谍2003年12月12日

以2开头的n+2的不动点自由置换数,例如,对于1234,我们有2143、2341、2413,因此a(2)=3。也是2..n+2与1..n+1不一致的置换数。E、 g.对于123对234的排列,我们有234,342和432。比较A047920型. -乔恩·佩里2004年1月23日。[这可以通过标准论证来证明,d(n+2)=(n+1)(d(n+1)+d(n))代表混乱A000166号(n+1选择1的位置,则要么1处于换位,要么处于长度至少为3的循环中,等等)。-D.G.罗杰斯,2006年8月28日]

斯特林变换A006252号(n+1)=[1,1,2,4,14,38,…]是a(n)=[1,3,11,53309,…]。-迈克尔·索莫斯2004年3月4日

A000255(n+1)是自收敛到1/(e-2)的分子序列;参见A096654号. -克拉克·金伯利2004年7月1日

欧拉的解释是“从2开始的无固定点置换”,他列出了148329个术语(尽管他当时是盲人)。-高德纳2007年1月25日

等于lim{k->inf}邮编:A153869^k-加里·W·亚当森2009年1月3日

连接到A002469号(有n张牌的捕鼠器游戏):A002469号(n) =(n-2)*A000255(n-1)+A000166号(n) 一。(参见三角形邮编:A159610). -加里·W·亚当森2009年4月17日

汉克尔变换是A059332号. -保罗·巴里2009年4月22日

这个序列出现在对欧拉发散级数1-1的分析中!+2个!-3个!+4。。。拉克鲁瓦,见哈代。有关这个和相关的发散级数的信息,请参见邮编:A163940. -约翰内斯W.梅杰2009年10月16日

a(n),n>=1,还列举了在一组(无序)项链上分布n个珠子的方法,标签从1到n不同,不包括只有一个珠子的项链,以及一条允许有任意数量珠子的开放绳索。每一条无珠项链和一条无珠绳在计数中都贡献了一个因子1,例如a(0):=1*1=1。有k!k>=0串珠的跳线的可能性,这意味着跳线的两端应视为固定的,简而言之:固定跳线。这就产生了(n)序列的指数卷积{n!=A000142号(n) }和子因子{A000166号(n) }。

见下式。或者,这个问题的e.g.f.被认为是(exp(-x)/(1-x))*(1/(1-x)),即子因子的e.g.f.s(来自无序项链问题,没有恰好有一个珠子的项链)和阶乘(来自固定绳索问题)的乘积。因此,输入的递归也成立。a(0):=1。这个评论来源于MalinSjodahl发现的一系列关于某些夸克和胶子图的组合问题的重复(2010年2月27日)。-狼牙2010年6月2日

a(n)=(n-1)a(n-1)+(n-2)a(n-2)给出相同序列偏移量为1。-乔恩·佩里2012年9月20日

还有,减少的2x(n+2)拉丁矩形的数量。-_A.H.M.Smeets,2013年11月3日

欧拉差分表的第二列(示例中的第二条对角线A068106号). -纳瓦雷特·恩里克2016年12月13日

如果我们在A000166号根据它们的起始位数,我们将得到(n+1)等数量的类,每个类的大小为a(n)(以数字1开头的类是空的,因为没有乱序以1开头)。因此,A000166号(n+2)=(n+1)*a(n),因此a(n)是A000166号. 例如,对于n=3,我们有44=4*11(参见链接)。-恩里克·纳瓦雷特2017年1月11日

当n>=1时,在[n+2]上避免子串(j,j+2),1<=j<=n的循环置换数。例如,当n=2时,S4中避免子串{13,24}的3个循环置换是(1234),(1423),(1432)。请注意,这些圆形排列中的每一个代表一行表示法中的4个置换(参见link 2017)。-恩里克·纳瓦雷特2017年2月15日

取正整数k的模a(n)为周期序列,k为偶数时精确除以k,k为奇数时除以2*k。这是因为同余a(n+k)=(-1)^k*a(n)(mod k)对所有n和k都成立,而这反过来又很容易通过利用给定的递归进行归纳来证明。-彼得·巴拉2017年11月21日

参考文献

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链接

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Seok Zun Song等人。,(0,1)-矩阵的永久数的极值林,代数及其应用。373年(2003年),第197-210页。

公式

E、 g.f.:经验值(-x)/(1-x)^2。

a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*(n-k+1)*n!/k!。-蓝笑脸

(n+1)的逆二项式变换!。-Robert A.Stump(bee峎es107(AT)yahoo.com),2001年12月9日

a(n)=楼层((1/e)*n!*(n+2)+1/2)。-贝诺伊特·克罗伊特2004年1月15日

a(n)={(n+2)n!/e} ,其中{x}表示最近的整数。提议人西蒙·普劳夫1993年3月。

显然lim{n->inf}log(n)-log(a(n))/n=1。-杰拉尔德·麦加维2004年6月12日

a(n)=(n*(n+2)*a(n-1)+(-1)^n)/(n+1)对于n>=1,a(0)=1。请参阅Charalambides参考。

a(n)=伽马(n+3,-1)*经验值(-1)/(n+1)(不完全伽马函数)。-马克·范霍伊2009年11月11日

a(n)=A000166号(n)+A000166号(n+1)。

n-b取n+1的算术平均数(n-b),则取n+1的平均数。-富兰克林·T·亚当斯·沃特斯2010年5月20日

a(n)=超几何([2,-n],[],1)*(-1)^n=KummerU(2,3+n,-1)*(-1)^n。请参阅Abramowitz Stegun手册(有关参考,请参见。A103921号)第504页,第13.1.10页,以及第507页,第13.4.16页。-狼牙2010年5月20日

狼牙2010年6月2日:(开始)

a(n)=n!*(1+Sum{k=0..n-2}sf(n-k)/(n-k)!)对于子因子sf(n):=A000166号(n) (这来自指数卷积)。

a(n)=sf(n+1)+sf(n),n>=0,其中sf(n):=A000166号(n) 一。(电子邮件中的观察来自加里·德特勒夫斯.)(结束)

a(n)=1/(n+1)*楼层(((n+1)!+1) /e)。-加里·德特勒夫斯2010年7月11日

a(n)=(子工厂(n+2))/(n+1)。-亚历山大波伏洛茨基2011年1月26日

G、 f.:1/(1-x-2x^2/(1-3x-6x^2/(1-5x-12x^2/(1-7x-20x^2/(1-…/(1-(2n+1)x-(n+1)(n+2)x^2/(1-。。。(续分数)。-保罗·巴里2011年4月11日

G、 f.:超几何([1,2],[],x/(x+1))/(x+1)。-马克·范霍伊2011年11月7日

谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月24日至2014年2月5日:(开始)

连分数:

E、 g.f.1/E(0),其中E(k)=1-2*x/(1+x/(2-x-2/(1+x*(k+1)/E(k+1)))。

G、 f.:S(x)/x-1/x=Q(0)/x-1/x其中S(x)=和{k>=0}k!*(x/(1+x))^k,Q(k)=1+(2*k+1)*x/(1+x-2*x*(1+x)*(k+1)/(2*x*(k+1)+(1+x)/Q(k+1)))。

G、 f.:1/Q(0),其中Q(k)=1+x-x*(k+2)/(1-x*(k+1)/Q(k+1))。

G、 f.:1/x/Q(0),其中Q(k)=1/x-(2*k+1)-(k+2)*(k+1)/Q(k+1)。

G、 f.:(1+x)/(x*Q(0))-1/x其中Q(k)=1-2*k*x-x^2*(k+1)^2/Q(k+1)。

G、 f.:2/x/G(0)-1/x,其中G(k)=1+1/(1-x*(2*k+2)/(x*(2*k+1)-1+x*(2*k+2)/G(k+1)))。

G、 f.:((和{k>=0}k!*(x/(1+x))^k)-1)/x=Q(0)/(2*x)-1/x,其中Q(k)=1+1/(1-x*(k+1)/(x*(k+1)+(1+x)/Q(k+1)))。

G、 f.:W(0),其中W(k)=1-x*(k+1)/(x*(k+1)-1/(1-x*(k+2)/(x*(k+1)-1/W(k+1)))。

G、 f.:G(0)/(1-x),其中G(k)=1-x^2*(k+1)*(k+2)/(x^2*(k+1)*(k+2)-(1-x*(1+2*k))*(1-x*(3+2*k))/G(k+1))。(结束)

彼得·巴拉2013年9月20日:(开始)

序列b(n):=n!*(n+2)满足a(n)的定义递归,但起始值b(0)=2和b(1)=3。这导致有限连分式展开a(n)=n!*(n+2)*(1/(2+1/(1+1/(2+2/(3+)。。。+(n-1)/n))),适用于n>=2。

也是a(n)=n!*(n+2)*(和{k=0..n}(-1)^k/(k+2)!)。设n->无穷大得到无穷连分式展开式1/e=1/(2+1/(1+1/(2+2/(3+)。。。+(n-1)/(n+…))))的原因。(结束)

圆形(n+a)=n!/e) /(n+1)。-托马斯奥多夫斯基2013年11月7日

如果n>=0,0=a(n+1)+2*a(n+2)-a(n+3))+a(n+1)*(+2*a(n+2)-a(n+3))+a(n+2)*(+a(n+2))。-迈克尔·索莫斯2014年5月6日

a(n-3)=(n-2)*A000757号(n-2)+(2*n-5)*A000757号(n-3)+(n-3)*A000757号(n-4),n>=3。-路易斯·曼努埃尔·里维拉·马丁内斯2015年3月14日

a(n)=A000240(n)+A000240(1>n),n。让D(n)=A000240(n) 是{12,23,…(n-1)n,n1}中没有子串的[n]的置换。设d(n)=a(n-1)是{12,23,…(n-1)n}中没有子串的[n]的置换。让d_n1=A000240(n-1)是在{12,23,…,(n-1)n}中有子串n1但没有子串的[n]的置换。然后链接“禁止模式”显示双射d_n1~d(n-1),由于dn=d_n1 U d(n),我们得到dn=d(n-1)ud(n)。取基数,我们得到n-1的结果,即a(n-1)=A000240(n-1)+A000240(n) 一。例如,在最后一个方程中n=4,我们得到a(4)=11=3+8。-恩里克·纳瓦雷特2017年1月16日

a(n)=(n+1)!*超几何([-n],[-n-1],-1)。-彼得·卢什尼2018年11月2日

例子

a(3)=11:1 3 2 4;1 4 3 2;2 1 4 3;2 4 1 3;3 2 1 4;3 2 4 1;4 1 3 2;4 2 1 3;4 3 2 1;2 4 3 1;3 1 4 2。最后两个对应于(n-1)*a(n-2),因为它们包含a[j,n+1,j+1]。

脐带项链问题。当n=4时,考虑以下4的两部分组成:(4,0)、(2,2)、(1,3)和(0,4),其中(3,1)不出现,因为没有带1个珠子的项链。这些作文分别贡献4!*1,(二项式(4,2)*2)*sf(2),(二项式(4,1)*1)*sf(3),和1*sf(4),子因子sf(n):=A000166号(n) (见项链评论)。加起来就是24+6*2+4*2+9=53=a(4)。-狼牙2010年6月2日

G、 f.=1+x+3*x^2+11*x^3+53*x^4+309*x^5+2119*x^6+16687*x^7+。。。

枫木

a:=n->超几何([2,-n],[],1)*(-1)^n:

seq(简化(a(n)),n=0..19)#彼得·卢什尼2014年9月20日

数学

{n[z,n=0]系数(n=0,n=0)!]]

表[子工厂[n]+子工厂[n+1],{n,0,20}](*泽伦瓦拉乔斯2009年7月9日*)

循环表[{a[n]==n a[n-1]+(n-1)a[n-2],a[0]==1,a[1]==1},a[n],{n,20}](*哈维·P·戴尔2011年5月10日*)

a[n_x]:=如果[n<0,0,取整[n!(n+2)/E]](*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*)

a[n_x]:=如果[n<0,0,n!系列系数[Exp[-x]/(1-x)^2,{x,0,n}](*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*)

a[n_x]:=如果[n<0,0,(-1)^n超几何pfq[{-n,2},{},1]](*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=if(n<0,0,contfractpnqn(矩阵(2,n,i,j,j-(i==1)))[1,1])};

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,n!*波尔科夫(exp(-x+x*O(x^n))/(1-x)^2,n))};

(Sage)从Sage.combinat.sloane_函数导入ExtremesOfPermanentsSequence2

e=极限永久序列2()

it=e.gen(1,1,1)

[范围(20)内的下一个(it)]

#泽伦瓦拉乔斯2009年5月15日

(哈斯克尔)

a000255 n=a000255_列表!!n

a000255_list=1:1:zipWith(+)zs(尾部zs),其中

zs=zipWith(*)[1..]a000255\u列表

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月5日

(岩浆)I:=[1,3];[1]cat[n le 2选择I[n]else n*Self(n-1)+(n-1)*Self(n-2):n in[1..30]]//文琴佐·利班迪2018年8月9日

交叉引用

三角形行和A046740号. 三角形中的三角形A068106号.

囊性纤维变性。A000153号,A000166号,A000261,A001909号,A001910,A055790号.

囊性纤维变性。A090010型,A090012型,A090013型,A090014型,A090015型,A090016型.

A052655号给出具有最大永久数的非奇异(0,1)-矩阵的出现计数,A089475号不同数值的永久数量,A089480号所有非奇异(0,1)-矩阵的出现计数,A087982号,A087983号.

三角形中的对角线A010027号.

囊性纤维变性。邮编:A153869,邮编:A159610,A002469号.

a(n)=A086764号(n+1,1)。

上下文顺序:A074512号 A005502号 A305710*A318912型 邮编:A121580 A321732

相邻序列:A000252号 A000253 A000254号*A000256 A000257 A000258号

关键字

不,不,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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