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A000166号
次阶乘或伦次数,或错位:n个元素没有固定点的排列数。
(原名M1937 N0766)
545
1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, 32071101049, 481066515734, 7697064251745, 130850092279664, 2355301661033953, 44750731559645106, 895014631192902121, 18795307255050944540, 413496759611120779881, 9510425471055777937262
抵消
0,4
评论
欧拉(1809)不仅给出了序列的前10个左右项,而且还证明了a(n)=(n-1)*(a(n-1。
a(n)是矩阵的永久值,对角线上为0,其他地方为1。-Yuval Dekel,2003年11月1日
a(n)是长度n的脱位数。长度n的脱位是{1,2,…,n}的置换p,其中p的所有上升中最小的是偶数(如果没有上升,则取n)。例如:a(3)=2,因为我们有213和312(i=2时的最小上升)。见J.Désarménien链接和Bona参考(第118页)。 -Emeric Deutsch公司2007年12月28日
a(n)是高度为n且在最后一列中具有偶数个细胞的deco多聚体的数量。装饰多面体是一种定向柱-凸多面体,其中沿对角线测量的高度仅在最后一列中获得。 -Emeric Deutsch公司2007年12月28日
归因于尼古拉斯·伯努利(Nicholas Bernoulli)提出的概率问题。见大卫·M·伯顿(David M.Burton)第6版《数学史》第494页第15题。 -穆罕默德·阿扎里安2008年2月25日
a(n)是{1,2,…,n}与p(1)!=1并且在连续位置中没有从右到左的最小值。例如a(3)=2,因为我们有231和321。 -Emeric Deutsch公司2008年3月12日
a(n)是{1,2,…,n}与p(n)!=n,并且在连续位置没有从左到右的最大值。例如a(3)=2,因为我们有312和321。 -Emeric Deutsch公司2008年3月12日
完备图K_ n的布尔复形的同构型中的楔形(n-1)球的个数-布里吉特·坦纳2008年6月4日
序列中唯一的质数是2。-霍华德·伯曼(Howard_Berman(AT)hotmail.com),2008年11月8日
发件人Emeric Deutsch公司,2009年4月2日:(开始)
a(n)是{1,2,…,n}正好有一个小上升的排列数。置换(p_1,p_2,…,p_n)中的小上升是位置i,使得p_{i+1}-p_i=1。(例如:a(3)=2,因为我们有312和231;见查拉兰比德斯参考文献,第176-180页。)(另见大卫、肯德尔和巴顿,第263页。 -N.J.A.斯隆2014年4月11日]
a(n)是{1,2,…,n}正好有一个小下降的排列数。置换(p_1,p_2,…,p_n)中的一个小下降是位置i,使得p_i-p_{i+1}=1。(例如:a(3)=2,因为我们有132和213。)(结束)
对于n>2,a(n)+a(n-1)=A000255号(n-1);哪里A000255号= (1, 1, 3, 11, 53, ...). -加里·W·亚当森2009年4月16日
连接到A002469号(n张牌捕鼠器游戏):A002469号(n) =(n-2)*A000255号(n-1)+A000166号(n) ●●●●。(参考三角形A159610型.) -加里·W·亚当森2009年4月17日
发件人Emeric Deutsch公司2009年7月18日:(开始)
a(n)是长度n-1的所有非错位的最大不动点的值之和。例如:a(4)=9,因为长度3的非错位分别为123、132、213和321,具有最大的不动点3、1、3和2。
a(n)是长度n+1的非错位数,其中最大和最小不动点之间的差值为2。例如:a(3)=2,因为我们有1’43’2和32’14’;a(4)=9,因为我们有1'23'54、1'43'52、1'53'24、52'34'1、52'14'3、32'54'1、213'45'、243'15'和413'25'(标记了极端不动点)。
(结束)
a(n),n>=1,也是带有n个珠子的无序项链的数量,标记从1到n不等,其中每条项链有>=2个珠子。这产生了M2多项式公式,该公式涉及没有下面给出的部分1的分区。由于M2(p)计算分区p给出的具有循环结构的排列,因此该公式给出了没有不动点(没有1个循环)的排列数,即错位,从而得到子因子及其递推关系和输入。假设每条没有珠子的项链在计数中有一个因子1,因此a(0)=1。这一评论来源于Malin Sjodahl发现的一系列关于某些夸克和胶子图的组合问题的重复出现(2010年2月27日)。 -Wolfdieter Lang公司2010年6月1日
发件人Emeric Deutsch公司2010年9月6日:(开始)
a(n)是{1,2,…,n,n+1}的排列数,从1开始,没有序列。置换(p_1,p_2,…,p_n)中的序列是这样的位置i,即p_{i+1}-p_i=1。示例:a(3)=2,因为我们有1324和1432。
a(n)是{1,2,…,n}的排列数,这些排列不以1开头并且没有序列。置换(p_1,p_2,…,p_n)中的序列是这样的位置i,即p_{i+1}-p_i=1。例如:a(3)=2,因为我们有213和321。
(结束)
增加有色1-2棵树,为最右边的非叶分支选择两种颜色,除了最左边的路径上,最左边的道路上没有超度数为1的顶点。 -文锦Woan2011年5月23日
a(n)是A170942号,n>0。 -莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月29日
a(n)是n人博弈中的最大完全混合纳什均衡数,每个博弈有2个纯期权。 -雷蒙达斯·维杜纳斯2014年1月22日
序列卷积A135799号序列由1+x^2/(2*x+1)生成。 -托马斯·巴鲁切尔2016年1月8日
n维置换面体的子多面体的内部晶格点的数目,其顶点对应于避开132和312的置换。 -罗伯特·戴维斯2016年10月5日
考虑n个半径不同的圆,其中每个圆要么放在某个较大的圆内,要么包含一个较小的圆(不允许有公共点)。然后a(n)给出了此类组合的数量。 -安东·扎哈罗夫2016年10月12日
如果我们在A000240型根据它们的起始数字,我们将得到(n+1)个大小为a(n)的等分类,即。,A000240型(n+1)=(n+1A000240型例如,对于n=4,我们有45=5*9。 -恩里克·纳瓦雷特2017年1月10日
将具有子串n1但在{12,23,…,(n-1)n}中没有子串的[n]的置换称为d_n1。如果我们根据它们的起始数字对它们进行划分,我们将得到(n-1)个大小相等的类A000166号(n-2)(以数字1开头的类是空的,因为我们必须有子串n1)。因此d_n1=(n-1)*A000166号(n-2)和A000166号(n-2)是d_n1中每个非空类的大小。例如,d_71=6*44=264,因此d_71中有264个排列分布在6个非空大小类中A000166号(5) = 44.(要从更基本的排列递归获得d_n1中的排列,请参阅下面的链接“禁止模式”。)-恩里克·纳瓦雷特2017年1月15日
此外,还包括n冠图中的最大匹配数和最小边覆盖数。 -埃里克·韦斯特因2017年6月14日和12月24日
取模为正整数k的序列a(n)是周期的,当k为偶数时,精确周期除以k,当k是奇数时,周期除以2*k。这源于所有n和k的同余a(n+k)=(-1)^k*a-彼得·巴拉2017年11月21日
a(n)是一个有n个顶点的有向无自循环图(不一定连通)的不同可能解的数目,每个顶点的进出度正好为1。 -帕特里克·霍洛帕宁2018年9月18日
如M.Wachs和V.Reiner所注意到的,a(n)是n个对象集合(在大小为n!的向量空间中)上的随机到顶部和随机到随机洗牌算子的核的维数。请参阅下面的Reiner、Saliola和Welker参考。 -纳迪娅·拉弗雷涅尔2019年7月18日
a(n)是与n个参与者交换秘密圣诞老人礼物的不同排列数。 -帕特里克·霍洛帕宁2019年12月30日
a(2*n+1)是偶数。更一般地说,a(m*n+1)可以被m*n整除,它是从a(n+1)=n*(a(n)+a(n-1))=n*A000255号(n-1)对于n>=1。a(2*n)是奇数;事实上,a(2*n)==1(mod 8)。其他可除性属性包括a(6*n)==1(mod 24)、a(9*n+4)==a(9*n+7)==0(mod 9)、b(10*n)==1(mod 40)、a。 -彼得·巴拉2022年4月5日
猜想:n>2的a(n)仅对n=4的a(4)=3^2是一个完美幂。这已在n≤1000时得到验证。 -孙志伟2025年1月9日
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王毅和朱宝轩,数论序列和组合序列单调性猜想的证明,arXiv预印本arXiv:1303.5595[math.CO],2013。
埃里克·魏斯坦的数学世界,皇冠图.
埃里克·魏斯坦的数学世界,解除量程.
埃里克·魏斯坦的数学世界,边缘覆盖物.
埃里克·魏斯坦的数学世界,指数分布.
埃里克·魏斯坦的数学世界,匹配.
埃里克·魏斯坦的数学世界,最大独立边集.
埃里克·魏斯坦的数学世界,Rooks问题.
埃里克·魏斯坦的数学世界,次级阶乘.
维基百科,解除量程.
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OEIS Wiki,解除量程编号.
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配方奶粉
a(n)=A008290号(n,0)。
a(n)+A003048号(n+1)=2*n!.-D.G.Rogers,2006年8月26日
a(n)={(n-1)!/exp(1)},n>1,其中{x}是最近的整数函数。 -西蒙·普劳夫,1993年3月[这使用偏移量1,有关偏移量为0的版本,请参见下文。 -查尔斯·格里特豪斯四世2012年1月25日]
当n>0时,a(0)=1,a(n)=圆形(n!/e)=地板(n!/e+1/2)。
a(n)=n!*求和{k=0..n}(-1)^k/k!。
D-有限,递归a(n)=(n-1)*(a(n-1)+a(n-2)),n>0。
a(n)=n*a(n-1)+(-1)^n。
例如:exp(-x)/(1-x)。
a(n)=和{k=0..n}二项式(n,k)*(-1)^(n-k)*k!=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*n!/(n-k)!. -保罗·巴里2004年8月26日
例如,f.y(x)满足y'=x*y/(1-x)。
的二项式逆变换A000142号. -罗斯·拉海耶2004年9月21日
在Maple记数法中,表示为[-1,无穷大]上正函数的n阶矩:a(n)=int(x^n*exp(-x-1),x=-1..无穷大),n=0,1。a(n)是函数exp(-1-x)*Heaviside(x+1)的汉堡矩。 -卡罗尔·彭森2005年1月21日
a(n)=A001120号(n) -n!. -菲利普·德尔汉姆2005年9月4日
a(n)=积分{x=0..oo}(x-1)^n*exp(-x)dx。 -杰拉尔德·麦卡维2006年10月14日
a(n)=和{k=2,4,…}T(n,k),其中T(n、k)=A092582号(n,k)=k*n!/(k+1)!对于1<=k<n和T(n,n)=1。 -Emeric Deutsch公司2008年2月23日
a(n)=n!/e+(-1)^n*(1/(n+2-1/(n+3-2/(n+4-3/(n+5-…))))。渐近结果(Ramanujan):(-1)^n*(a(n)-n!/e) ~1/n-2/n^2+5/n^3-15/n^4+。..,其中序列[1,2,5,15,…]是贝尔数的序列A000110号. -彼得·巴拉2008年7月14日
威廉·沃恩(William Vaughn)(沃恩(AT)cvs.rochester.edu),2009年4月13日:(开始)
a(n)=积分{p=0..1}(对数(1/(1-p))-1)^n dp。
证明:使用代换1=log(e)和y=e(1-p),上述积分可以转换为(-1)^n/e)积分{y=0..e}(log(y))^ndy。
从CRC积分表中,我们发现(log(y))^n的反导数是(-1)^n!求和{k=0..n}(-1)^ky(log(y))^k/k!。
利用e(log(e))^r=e对于任何r>=0,以及0(log!*求和{k=0..n}(-1)^k/k!,即“公式”部分的第9行。(结束)
a(n)=exp(-1)*Gamma(n+1,-1)(不完整的Gamma函数)。 -马克·范·霍伊2009年11月11日
通用公式:1/(1-x^2/(1-2x-4x^2/-(1-4x-9x^2//(1-6x-16x^2/(1-8x-25x^2/.(1-……(连分数))。 -保罗·巴里2009年11月27日
a(n)=Pano1(n)}M2(p)中的和{p,n>=1,其中Pano1。对于没有第1部分的分区,请参见下面给出的特征数组A145573号Abramowitz-Stegun(A-S)订单A002865号(n) 此类分区的总数。数组按A-St顺序给出每个分区的M2编号A036039号. -Wolfdieter Lang公司2010年6月1日
a(n)=行总和A008306号(n) ,n>1。 -加里·德特利夫斯2010年7月14日
a(n)=((-1)^n)*(n-1)*超几何([-n+2,2],[],1),n>=1;n=0时为1。 -Wolfdieter Lang公司2010年8月16日
a(n)=(-1)^n*超几何([-n,1],[],1),n>=1;n=0时为1。根据二项式卷积,例如f-Wolfdieter Lang公司2010年8月26日
积分{x=0..1}x^n*exp(x)=(-1)^n*(a(n)*e-n!).
O.g.f.:求和{n>=0}n^n*x^n/(1+(n+1)*x)^(n+1。 -保罗·D·汉纳,2011年10月6日
绝对值((a(n)+a(n-1))*e-(A000142号(n)+A000142号(n-1))<2/n-基里卡米(Seiichi Kirikami)2011年10月17日
G.f.:表层([1,1],[],x/(x+1))/(x/1)。 -马克·范·霍伊2011年11月7日
连续分数:
通常,例如f(1+a*x)/exp(b*x)=U(0),其中U(k)=1+a*x/(1-b/(b-a*(k+1)/U(k+1)))。对于a=-1,b=-1:exp(-x)/(1-x)=1/U(0)。
例如:(1-x/(U(0)+x))/(1-x),其中U(k)=k+1-x+(k+1)*x/U(k+1。
例如:1/Q(0),其中Q(k)=1-x/(1-1/(1-(k+1)/Q(k+1。
G.f.:1/U(0),其中U(k)=1+x-x*(k+1)/(1-x*(k+1)/U(k+1))。
G.f.:Q(0)/(1+x),其中Q(k)=1+(2*k+1)*x/((1+x)-2*x*(1+x*)*(k+1)/(2*x*。
G.f.:1/Q(0),其中Q(k)=1-2*k*x-x ^2*(k+1)^2/Q(k+1)。
G.f.:T(0),其中T(k)=1-x^2*(k+1)^2/。(结束)
如果n>=0,则0=a(n)*(a(n+1)+a(n+2)-a(n+3))+a。 -迈克尔·索莫斯2014年1月25日
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*二项式(n,k)*(k+x)^k*(k+x+1)^-彼得·巴拉2017年2月19日
发件人彼得·卢什尼2017年6月20日:(开始)
a(n)=求和{j=0..n}求和{k=0..nneneneep二项式(-j-1,-n-1)*abs(斯特林1(j,k))。
a(n)=和{k=0..n}(-1)^(n-k)*Pochhammer(n-k+1,k)(比照。A008279号).(结束)
a(n)=n!求和{j=0..n-1}二项式(n,j)*a(j)。 -阿洛伊斯·海因茨2019年1月23日
和{n>=2}1/a(n)=A281682型. -阿米拉姆·埃尔达尔2020年11月9日
a(n)=KummerU(-n,-n,-1)。 -彼得·卢什尼2022年5月10日
a(n)=(-1)^n*Sum_{k=0..n}Bell(k)*Stirling1(n+1,k+1)。 -梅利卡·特布尼2022年7月5日
例子
a(2)=1,a(3)=2和a(4)=9,因为可能性是{BA},{BCA,CAB}和{BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA}。 -亨利·博托姆利2001年1月17日
完备图K_4的布尔复形等价于9个3-球面的楔。
n=6时的项链问题:没有第1部分的分区和n=6的M2编号:有A002865号(6) =4个这样的分区,即A-St顺序的(6)、(2,4)、(3^2)和(2^3),M2数字为5!分别为90、40和15,加起来为265=a(6)。这相当于一条项链有6个珠子,两条项链分别有2个和4个珠子、两条项链各有3个珠子和三条项链各两个珠子。 -Wolfdieter Lang公司2010年6月1日
G.f.=1+x^2+9*x^3+44*x^4+265*x^5+1854*x^6+14833*x^7+133496*x^8+。..
MAPLE公司
A000166号:=proc(n)选项记忆;如果n<=1,则1-n其他(n-1)*(进程名(n-1,+进程名(n-2));fi;结束;
a: =n->n!*总和(-1)^k/k!,k=0..n):序列(a(n),n=0..21); #零入侵拉霍斯2007年5月17日
ZL1:=[S,{S=Set(Cycle(Z,card>1))},标记]:seq(计数(ZL1,大小=n),n=0..21); #零入侵拉霍斯2007年9月26日
使用(combstruct):a:=proc(m)[ZL,{ZL=Set(Cycle(Z,card>=m))},标记];结束时间:A000166号:=a(2):seq(计数(A000166号,尺寸=n),n=0..21); #零入侵拉霍斯2007年10月2日
Z:=(x,m)->m!^2*总和(x^j/(m-j)!^2) ,j=0..m):R:=(x,n,m)->Z(x,m)^n:f:=(t,n,m)->总和(系数(R(x,n,m),x,j)*(t-1)^j*(n*m-j)!,j=0..n*m):序列(f(0,n,1),n=0..21); #零入侵拉霍斯2008年1月22日
a: =proc(n)如果`mod`(n,2)=1,那么求和(2*k*阶乘(n)/阶乘(2*k+1),k=1..楼((1/2)*n))其他1+求和(2*k*阶乘(n; #Emeric Deutsch公司2008年2月23日
G(x):=2*exp(-x)/(1-x):f[0]:=G(x; #零入侵拉霍斯2009年4月3日
seq(简化(KummerU(-n,-n,-1)),n=0..23); #彼得·卢什尼2022年5月10日
数学
a[0]=1;a[n]:=n*a[n-1]+(-1)^n;a/@范围[0,21](*罗伯特·威尔逊v*)
a[0]=1;a[1]=0;a[n_]:=圆形[n!/E]/;n>=1(*迈克尔·塔克提科斯2006年5月26日*)
范围[0,20]!系数列表[级数[Exp[-x]/(1-x),{x,0,20}],x]
dr[{n_,a1_,a2_}]:={n+1,a2,n(a1+a2)};转座[NestList[dr,{0,0,1},30]][[3]](*哈维·P·戴尔2013年2月23日*)
a[n]:=(-1)^n超几何PFQ[{-n,1},{},1]; (*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*)
a[n]:=n!级数系数[Exp[-x]/(1-x),{x,0,n}]; (*迈克尔·索莫斯2013年6月1日*)
表[子阶乘[n],{n,0,21}](*Jean-François Alcover公司,2014年1月10日*)
递归表[{a[n]==n*a[n-1]+(-1)^n,a[0]==1},a,{n,0,23}](*雷·钱德勒2015年7月30日*)
次阶乘[范围[0,20]](*埃里克·韦斯特因2017年12月31日*)
nxt[{n,a}]:={n+1,a(n+1)+(-1)^(n+1;嵌套列表[nxt,{0,1},25][[全部,2]](*哈维·P·戴尔2019年6月1日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<1,1,n*a(n-1)+(-1)^n)}; /*迈克尔·索莫斯2003年3月24日*/
(PARI){a(n)=n!*polceoff(exp(-x+x*O(x^n))/(1-x),n)}; /*迈克尔·索莫斯2003年3月24日*/
(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n,m^m*x^m/(1+(m+1)*x+x*O(x^n))^(m+1)),n)}/*保罗·D·汉纳*/
(PARI)A000166号=n->n!*总和(k=0,n,(-1)^k/k!) \\M.F.哈斯勒2012年1月26日
(PARI)a(n)=如果(n,四舍五入(n!/exp(1)),1)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月17日
(PARI)适用({A000166号(n) =n\/经验(n>0)},[0..22])\\M.F.哈斯勒2024年11月9日
(Python)请参阅Hobson链接。
(最大值)
s[0]:1$
s[n]:=n*s[n-1]+(-1)^n$
makelist(s[n],n,0,12); /*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年3月1日*/
(哈斯克尔)
a000166 n=a000166_列表!!n个
a000166_list=1:0:zipWith(*)[1..]
(zip带(+)a000166_list$tail a000166_list)
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年12月9日
(Python)
A000166号_列表,m,x=[],1,1
对于范围(10*2)内的n:
x、 m=x*n+m,-m
A000166号_list.append(x)#柴华武2014年11月3日
(岩浆)I:=[0,1];[1]cat[n le 2 select I[n]else(n-1)*(Self(n-1; //文森佐·利班迪2016年1月7日
交叉参考
对于概率a(n)/n!,请参阅A053557号/A053556号A103816号/A053556号.
对角线A008291号A068106号.列A008290号(n,0)。
A001120号有类似的复发。
有关其他错位编号,请参见A053871号,A033030型,A088991号,A088992号.
的成对和A002741号A000757号.的差异A001277号.
三角形中的对角线A008305型A010027号.
a(n)/n! =A053557号/A053556号=(N(N,N),共A103361号)/(D(n,n),共A103360标准).
第k列=第0列,共列A086764号和,共A334715飞机.第k=1列,共1列A364068型.
的行总和A216963型和,共A323671.
关键词
核心,非n,容易的,美好的
作者
扩展
次要编辑人M.F.哈斯勒2017年1月16日
状态
经核准的