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| A000330号 |
| 方形金字塔数字：a（n）=0^2+1^2+2^2+…+n^2=n*（n+1）*（2*n+1）/6。
（原名M3844 N1574）
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462
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0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201, 6930, 7714, 8555, 9455, 10416, 11440, 12529, 13685, 14910, 16206, 17575, 19019, 20540, 22140, 23821, 25585, 27434, 29370
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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序列正好包含一个大于1的平方，即4900（根据加德纳的说法）-贾德·麦克拉尼，2001年3月19日，2007年3月22日[这是Watson的结果-查尔斯·格里特豪斯四世，2013年6月21日]
n X n菱形中的菱形数。-马蒂·德克雷恩（Matti DeCraene（AT）rug.ac.be），2000年5月14日
给出由n个X n个正方形组成的正方形数。在1 X 1正方形中，形成一个。在2X2正方形中，形成五个正方形。在一个3×3的正方形中，形成了14个正方形，依此类推。-克里斯蒂·史密斯（Kristie Smith）（kristie10spud（AT）hotmail.com），2002年4月16日
a（n-1）=B_3（n）/3，其中B_3-迈克尔·索莫斯2004年3月13日
避免13-2的排列数，该排列正好包含一次模式32-1。
由于3*r=（r+1）+r+（r-1）=T（r+1。。。（i） 式中，f（r）=（r-1）*T（r）=（r+1）*T。对n求和，关系式（i）的右手边伸缩到f（n+1）+f（n）=T（n）*（（n+2）+（n-1）），其中结果Sum_{r=1..n}r^2=n*（n+1）*（2*n+1）/6紧随其后-Lekraj Beedassy公司2004年8月6日
同样作为a（n）=（1/6）*（2*n^3+3*n^2+n），n>0：结构化三角菱形数（顶点结构5）（参见。A006003号=交替顶点；A000447号=结构性钻石；A100145号有关结构化数字的更多信息）James A.Record（James.Record（AT）gmail.com），2004年11月7日
{1，2，…，n}中最后一个分量大于或等于其他分量的整数的三元组数。
右金字塔第1面的最大立方体数，以第n面为正方形底，高度为n。-帕斯奎尔·库托洛（p.CUTOLO（AT）inwind.it），2007年7月9日
如果2集Y和（n-2）集Z是n集X的不相交子集，则（n-3）是与Y和Z相交的X的4个子集的数目-米兰Janjic2007年9月19日
我们也有恒等式（1+（1+4）+（1+4+9）+…+（1+4+9+16+…+n^2）=n（n+1）（n+2）（n+（n+1。。。通常，k重嵌套平方和可以表示为n（n+1）。。。（n+k）（n+（n+1）++（n+k））/（k+2）！（k+1）/2）-亚历山大·波沃洛茨基2007年11月21日
这个序列的项是以下收敛和的恩格尔展开式的系数：1/（1^2）+（1/1^2）*-亚历山大·波沃洛茨基2007年12月10日
二项式（2*n-3，n-1）的汉克尔变换是-a（n）-保罗·巴里2008年2月12日
起始（1,5,14,30，…）=[1,4,5,2,0,0,0，…]的二项式变换-加里·亚当森2008年6月13日
起始（1,5,14,30，…）=[1,2,0,0,0，…].a（n）=Sum_{i=0..n}二项式（n+2，i+2）*b（i）的二项式变换的第二部分和，其中b（iBorislav St.Borisov（b.St.Borisov（AT）abv.bg），2009年3月5日
该序列与A000217号通过a（n）=n*A000217号（n） -和{i=0..n-1}A000217号（i） 这是恒等式n^2*（d*n-d+2）/2-求和{i=0..n-1}i*（d*1-d+2）/2=n*（n+1）（2*d*n-2*d+3）/6中的情况d=1，或者也是n^2x（n+2*d+1）/2-和{i=0..n-1}i*（i+2*d+1）/2=n*-布鲁诺·贝塞利2010年4月21日，2012年4月3日
对于n=337，a（n）/n=k^2（k=整数）；a（337）=12814425，a（n）/n=38025，k=195，即，数字k=195是前337个正整数的二次平均值（均方根）。还有其他这样的数字——请参阅A084231号和A084232号. -雅罗斯拉夫·克里泽克2010年5月23日
此外，解决“交替硬币游戏”的步数：给定2n+1个硬币（n+1个黑色，n个白色），交替设置成一行（BWBW…BWB），一次平移（而不是旋转）一对相邻的硬币（1B和1W），以便最后的安排为BBBBB。。BW…WWWWW（黑人被白人隔开）。孤立的硬币无法移动-卡米娜·苏里亚诺2010年9月10日
使用四个连续的数字n、n+1、n+2和n+3，取所有可能的对（n，n+1）、（n，n+2）、（n，n+3），（n+1，n+2）。所有六个区域的总和为60*a（n+1）。
使用三个连续奇数j，k，m，（j+k+m）^3-（j^3+k^3+m^3）等于576*a（n）=24^2*a（n），其中n=（j+1）/2。（结束）
对于n>0，此序列的数字根A010888型（a（n））形成纯周期27圈{1，5，5，3，1，1，5、6，6，7，2，9，7，7，3，3，4，8，8，6，4，4，9，9}。
对于n>0，此序列的单位数字A010879号（a（n））形成纯周期20-循环{1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0,0}。（结束）
该序列模型n的Pisano周期长度，n>=1:1、4、9、8、5、36、7、16、27、20、11、72、13、28、45、32、17、108、19、40-R.J.马塔尔2012年10月17日
奇数n>1的正则n边形内部对角线的交点数除以n为平方金字塔数；也就是说，A006561号（2*n+1）/（2*n+1）=A000330号（n-1）=（1/6）*n*（n-1”）*（2*n-1）-马丁·瑞诺2013年3月6日
对于k=1到n，k^2的第r次连续求和的公式是（2*n+r）*（n+r/（（r+2）*（n-1）！）（H.W.古尔德）-加里·德特利夫斯2014年1月2日
第n方金字塔数=第n三角双金字塔数（Johnson 12），即第n个+（n-1）-st四面体数之和。例如，第三个四面体数是10=1+3+6，第二个是4=1+3。在三角形“双金字塔形式”中，这些数字可以写成1+3+6+3+1=14。对于“方形金字塔形式”，重新敲定为1+（1+3）+3+6）=14-约翰·理查德森2014年3月27日
我们从整数1、2、3……构造一个数字三角形。。。，n如下。第一列包含2*n-1个整数1。第二列包含2*n-3个整数2。。。最后一列只包含一个整数n。三角形中所有数字的和是a（n）。
下面是一个n=5的示例：
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3
1 2
1
（结束）
雅可比多项式P（n-1，-n+2,2,3）或等价于帕斯卡三角形前n行向量的点积之和(A007318号)上对角切比雪夫T系数向量（1,3,2,0，…）(A053120号)或下向矢量（1，-7,32，-120400，…）(A001794号). a（5）=1+（1,1）。(1,3) + (1,2,1).(1,3,2) + (1,3,3,1).(1,3,2,0) + (1,4,6,4,1).(1,3,2,0,0) = (1 + (1,1).(1,-7) + (1,2,1).(1,-7,32) + (1,3,3,1).(1,-7,32,-120) + (1,4,6,4,1).（1，-7,32，-120400））*（-1）^（n-1）=55-理查特克2018年7月3日
终止级数恒等式1-5*n/（n+4）+14*n*（n-1）/（n+4）*（n+5））-30*n*0表示n=1,2,3，。。。。囊性纤维变性。A002415号和A108674号. -彼得·巴拉2019年2月12日
n除以a（n）当n==+-1（mod 6）（参见A007310号). （见De Koninck参考。）示例：a（11）=506=11*46，a（13）=819=13*63-伯纳德·肖特2020年1月10日
对于n>0，a（n）是长度为n+2的三元单词的数量，其中3个字母等于2，0仅作为最后一个字母出现。例如，对于n=2，4个单词的长度为22212212222220-米兰Janjic2020年1月28日
猜想：每个整数都可以表示为三个广义平方金字塔数的和。下面给出了一个相关的猜想A336205型对应于五边形情况。这些猜想的一个更强大的版本是，对于所有r>=3，每个整数都可以表示为三个广义r-角锥体数的和。这里的“广义”是指包括负指数-阿尔图·阿尔坎2020年7月30日
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参考文献
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第813页。
A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》，多佛出版社，纽约，1964年，第194页。
A.T.Benjamin和J.J.Quinn，《真正重要的证据：组合证明的艺术》，M.A.A.2003，同上，215223。
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第122页，见#19（3（1）），I（n）；第155页。
H.S.M.Coxeter，《多面体数》，R.S.Cohen、J.J.Stachel和M.W.Wartofsky编辑，《为德克·斯特鲁克撰写：纪念德克·斯特鲁克的科学、历史和政治论文》，雷德尔，多德雷赫特，1974年。
S.J.Cyvin和I.Gutman，苯系烃中的Kekulé结构，化学讲义，第46期，施普林格，纽约，1988年（第165页）。
J.M.De Koninck和A.Mercier，1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres，Probléme 310，第46-196页，Ellipses，巴黎，2004年。
E.Deza和M.M.Deza，数字，世界科学出版社（2012），第93页。
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第1卷，1919年；第2卷，1920年；1923年第3卷，见第2卷，第2页。
M.Gardner，Fractal Music，Hypercards and More，纽约州弗里曼，1991年，第293页。
M.Holt，《数学难题和游戏》，沃克出版公司，1977年，第2页和第89页。
西蒙·辛格，《辛普森一家及其数学秘密》。伦敦：Bloomsbury Publishing PLC（2013）：188。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
B.Babcock和A.van Tuyl，重温传播和覆盖数字，arXiv预印本arXiv:1109.5847[math.AC]，2011。
J.L.Bailey，便于拟合某些逻辑曲线的表格《数学年鉴》。《统计》，第2卷（1931年），第355-359页。[带注释的扫描副本]
S.Butler和P.Karasik，关于嵌套和的一点注记，J.国际顺序。13（2010），10.4.4，p=1，在第一个显示的方程式第4页。
比卡什·查克拉博蒂，无词证明：自然数幂和，arXiv:2012.11539[math.HO]，2020年。
亚历山大·迪亚兹·洛佩兹（Alexander Diaz-Lopez）、帕梅拉·哈里斯（Pamela E.Harris）、埃里克·因斯科（Erik Insko）和达伦·佩雷兹·拉文（Darleen Perez-Lavin），经典Coxeter群的峰集，arXiv预印本arXiv:1505.04479[math.GR]，2015。
迈克尔·多尔蒂（Michael Dougherty）、克里斯托弗·弗伦奇（Christopher French）、本杰明·萨德霍姆（Benjamin Saderholm）和钱文阳（Wenyang Qian），加泰罗尼亚数线性组合的Hankel变换《整数序列杂志》，第14卷（2011年），第11.5.1条。
T·亚伦·格列佛，六角整数金字塔序列《国际数学论坛》，2011年第6卷，第17期，第821-827页。
Milan Janjić，限制性三元词和插入词，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019年。
M.Janjic和B.Petkovic，计数函数，arXiv预印本arXiv:1301.4550[math.CO]，2013。
T.Mansour，2-1型模式的限制排列，arXiv:math/0202219[math.CO]，2002年。
西蒙·普劳夫，盖恩斯-奎尔克猜想的逼近《魁北克大学论文》，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。
G.N.Watson，方形金字塔的问题《数学信使》48（1918），第1-22页。
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配方奶粉
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G.f.:x*（1+x）/（1-x）^4。
例如：（x+3*x^2/2+x^3/3）*exp（x）。
a（n）=n*（n+1）*（2*n+1）/6=二项式（n+2,3）+二项式。
对于Z中的所有n，a（n）=-a（-1-n）。
a（n）=二项式（2*（n+1），3）/4-保罗·巴里2003年7月19日
a（n）=（（（n+1）^4-n^4）-（（n/1）^2-n^2））/12.-Xavier Acloque，2003年10月16日
a（n）=sqrt（求和{j=1..n}求和{i=1..n{（i*j）^2）。
a（n）=（和{k=1..n}和{j=1..n{和{i=1..nneneneep（i*j*k）^2）^（1/3）。（结束）
a（n）=和{i=1..n}i*（2*n-2*i+1）；平方和等于1+（1+3）+（1+3+5）+-乔恩·佩里2004年12月8日
和{n>=1}1/a（n）=6*（3-4*log（2））；和{n>=1}（-1）^（n+1）*1/a（n）=6*（Pi-3）-菲利普·德尔汉姆2005年5月31日
从n（-1，0，1，2，…）开始，a（n）=二项式（n+2，2）+2*二项式Borislav St.Borisov（b.St.Borisov（AT）abv.bg），2009年3月5日
a（n）=s（n+1，n）^2-2*s（n+1,n-1），其中s（n，k）是第一类斯特林数，A048994号. -米尔恰·梅卡2012年4月3日
a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）+2-蚂蚁王2012年10月17日
a（n）=求和{i=1..n}求和{j=1..nneneneep最小值（i，j）-恩里克·佩雷斯·埃雷罗2013年1月15日
a（n）=和{i=0..n-1}（n-i）*（2*i+1），a（0）=0。0之后，中三角形的行和A101447号. -布鲁诺·贝塞利2014年2月10日
a（n）=n+1+Sum_{i=1..n+1}（i^2-2i）-韦斯利·伊万·赫特2014年2月25日
a（n）=（2*n^3+3*n^2+n）/6，见Singh（2013）-阿隆索·德尔·阿特2015年2月20日
Dirichlet g.f.：zeta（s-3）/3+zeta（s-2）/2+zeta-伊利亚·古特科夫斯基2016年6月26日
a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n3）-a（n-4）-内森福克斯2019年12月4日
设T（n）=A000217号（n） ，第n个三角形数。那么a（n）=（T（n）+1）^2+（T（n）+2）^2+…+（T（n）+n）^2-（n+2）*T（n）^2-查理·马里恩2019年12月31日
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例子
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G.f.=x+5*x^2+14*x^3+30*x^4+55*x^5+91*x^6+140*x^7+204*x^8+。。。
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MAPLE公司
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with（combstruct）：ZL:=[st，{st=Prod（left，right），left=Set（U，card=r），right=Set（U，card=r），U=Sequence（Z，card>=1）}，unlabeled]：subs（r=1，stack）：seq（count（subs（r=2，ZL），size=m*2），m=1.45）#零入侵拉霍斯2008年1月2日
a： =n->总和（k^2，k=1..n）：序列（a（n），n=0…44）#零入侵拉霍斯2008年6月15日
nmax:=44；对于从0到nmax的n，do fz（n）：=乘积（（1-（2*m-1）*z）^（n+1-m），m=1..n）；c（n）：=abs（系数（fz（n），z，1））；结束do:a:=n->c（n）：seq（a（n），n=0..nmax）#约翰内斯·梅耶尔2009年3月7日
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数学
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表[w+2，3]+二项式[w+1，3]，{w，0，30}]
系数列表[级数[x（1+x）/（1-x）^4，{x，0，40}]，x](*文森佐·利班迪2014年7月30日*）
累计[范围[0，50]^2](*哈维·P·戴尔2014年9月25日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=n*（n+1）*（2*n+1）/6}；
（PARI）sumsq（n）=（x=0，n，y=x*（x+1）*（2*x+1）/6）；（打印1（y“，”））\\西诺·希利亚德2007年6月18日
（PARI）a（n）=总和（m=1，n，总和（i=1，m，（2*i-1））\\亚历山大·波沃洛茨基2007年11月4日
（哈斯克尔）
a000330 n=n*（n+1）*（2*n+1）`div`6
a000330_list=扫描1（+）a000290_list
（岩浆）[0..50]]中的[n*（n+1）*（2*n+1）/6:n//韦斯利·伊万·赫特2014年6月28日
（岩浆）[0]cat[（（2*n+3）*二项式（n+2,2））/3:n in[0..40]]//文森佐·利班迪2014年7月30日
（Python）a=λn：（n*（n+1）*（2*n+1））//6#因德拉尼尔·戈什2017年1月4日
（鼠尾草）[n*（n+1）*（2*n+1）/6代表n in（0..30）]#G.C.格鲁贝尔2019年12月31日
（GAP）列表（[0..30]，n->n*（n+1）*（2*n+1）/6）#G.C.格鲁贝尔2019年12月31日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000217号,A000292号,A000537号,A005408号,A006003号,A006331号,A033994号,A046092号,A050409号,A050446号,A050447号,A100157号,A132124号,A132112号,A156921号,A157702型,A258708型.
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关键词
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非n,容易的,核心,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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