A001497-OEIS公司

抵消

0,4

（反）贝塞尔多项式P（n，x）：=Sum_{m=0.n}a（n，m）*x^m，行多项式，在Grosswald参考文献中称为Theta_n（x），求解x*（d^2/dx^2）P（n，x）-2*（x+n）*（d/dx）P（n，x）+2*n*P（n，x）=0。

Carlitz将相关Sheffer关联多项式定义为

B（0，x）=1

B（1，x）=x

B（2，x）=x+x^2

B（3，x）=3x+3x^2+x^3

B（4，x）=15 x+15 x ^2+6 x ^3+x ^4

…（参见数学世界参考），则P（n，x）=2^n*B（n，x/2）是A119274号. -汤姆·科普兰2008年2月10日

指数Riordan数组[1/sqrt（1-2x），1-sqrt（1-2 x）]。 -保罗·巴里，2010年7月27日

发件人弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年3月18日：（开始）

对于B（n，k）{…}，我们有第二类Bell多项式

B（n，k）{f'，f''，f''…}=T（n-1，k-1）*（1-2*x）^（k/2-n），其中f（x）=1-sqrt（1-2*x）。

前几行的展开为：

1平方米（1-2*x）；

1/（1-2*x）^（3/2），1/（1-2*x）；

3/（1-2*x）^（5/2），3/（1-2*x）|2，1/（1-2*x）*^（3/2）；

15/（1-2*x）^（7/2），15/。（结束）

还有Bell变换A001147号（不包括列0，即1,0,0，…）。有关Bell变换的定义，请参见A264428型. -彼得·卢什尼2016年1月19日

的反对角线A099174号是此条目的行。将每个对角线除以其第一个元素将生成A054142号. -汤姆·科普兰2016年10月4日

的行多项式p_n（x）A107102号是（-1）^n B_n（1-x），其中B_n。 -汤姆·科普兰2016年10月10日

a（n-1，m-1）计数具有n个标记叶和m个根的有根无序二元林。 -大卫·德斯·贾丁斯2019年2月23日

发件人宋嘉宁2021年11月29日：（开始）

多项式P_n（x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k满足：对于n>=1，P_n。

{P（n，x）}与1/（1+x^2）^（n+1）和x/（1+x^2）（n+2）的傅里叶变换有关：

（i）对于n>=0，实数t，我们有积分{x=-oo..oo}exp（-i*t*x）/（1+x^2）^（n+1）dx=Pi/（2^n*n！）*P_n（|t|）*exp（-|t|；

（ii）对于n>=0，实数t，我们有积分{x=-oo..oo}x*exp（-i*t*x）/（1+x^2）^（n+2）dx=Pi/（2^（n+1）*（n+1）！)*（（-t）*P_n（-|t|））*exp（-| t|）。（结束）

假设f（x）是定义在（a，b）上的n次可微函数，对于0≤a<b<=+oo，则对于n>=1，f（sqrt（x））在（a^2，b^2）上的第n阶导数是和{k=1..n}（（-1）^（n-k）*T（n-1，k-1）*f^（k）-宋嘉宁2023年11月30日

参考文献

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链接

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彼得·巴拉，广义Dobinski公式

保罗·巴里，Riordan阵列、作为矩的正交多项式和Hankel变换，J.国际顺序。14（2011）第11.2.2号，第8章。

汤姆·科普兰，一类微分算子与Stirling数

E.Deutsch、L.Ferrari和S.Rinaldi，生产矩阵《应用数学进展》，34（2005），第101-122页。

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E.格罗斯瓦尔德，贝塞尔多项式，课堂笔记数学。第698卷，1978年，第18页。

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B.勒克莱尔，阶梯Schur函数的幂与贝塞尔多项式的对称类似，离散数学。, 153 (1996), 213-227.

罗伯特·S·迈尔，广义Stirling数和Euler数的玻色子算子序恒等式，arXiv:2308.10332[math.CO]，2023年。见第19页。

Toufik Mansour、Matthias Schork和Mark Shattuck，广义Stirling数和Bell数的再认识《整数序列杂志》，第15卷（2012年），第12.8.3号。

Toufik Mansour、Matthias Schork和Mark Shattuck，关于亚纯Weyl代数的Stirling数《应用数学快报》，第25卷，第11期，2012年11月，第1767-1771页。-来自N.J.A.斯隆2012年9月15日

W.Mlotkowski和A.Romanowicz，二项式序列族《概率与数理统计》，第33卷，法新社。2（2013年），第401-408页。

马蒂亚斯·佩特雷奥勒（Mathias Pétréolle）和阿兰·索卡尔（Alan D.Sokal），格路和分支连分式。二、。多元Lah多项式和Lah对称函数，arXiv:1907.02645[math.CO]，2019年。

冯琦、郭柏妮，加泰罗尼亚文、Fuss和Fuss-Catalan数的一些性质和推广《数学分析与应用：选定主题》（2018年），Wiley，Ch.5，101-133。

冯琦、石晓天和刘福凤，关于第二类Bell多项式特殊值的几个公式及其应用2015年预印本。

亚历山大·斯托伊莫夫，关于弦图的个数，离散。数学。 218 (2000), 209-233.引理2.2。

埃里克·魏斯坦的数学世界，贝塞尔多项式

贝塞尔函数或多项式相关序列的索引项

配方奶粉

a（n，m）=（2*n-m）！/（m！*（n-m）！*2^（n-m）），如果n>=m>=0，则为0（摘自格罗斯瓦尔德，第7页）。

a（n，m）=0，n<m；a（n，-1）：=0；a（0，0）=1；a（n，m）=（2*n-m-1）*a（n-1，m）+a（n-1,m-1），n>=m>=0（摘自格罗斯瓦尔德第23页，（19））。

例如，对于第m列：（（1-sqrt（1-2*x））^m）/（m！*sqrt。

G.f.：1/（1-xy-x/（1-xy-2x/（2-xy-3x/（1-xy-4x/（2-……）（续分数））。 -保罗·巴里2009年1月29日

T（n，k）=如果（k<=n，C（2n-k，2（n-k））*（2（n-k）-1）！！，0）=如果（k<=n，C（2n-k，2（n-k））*A001147号（n-k），0）。 -保罗·巴里2011年3月18日

n>=1的行多项式由在x=0时计算的1/t*D^n（exp（x*t））给出，其中D是运算符1/（1-x）*D/dx。 -彼得·巴拉2011年11月25日

矩阵乘积A039683号*A008277美元给出了此三角形的签名版本。行多项式的Dobinski型公式：R（n，x）=（-1）^n*exp（x）*Sum_{k=0..inf}k*（k-2）*（k-4）*。..*（k-2*（n-1））*（-x）^k/k！.参见。A122850个. -彼得·巴拉2014年6月23日

例子

三角形开始

1,

1, 1,

3, 3, 1,

15, 15, 6, 1,

105, 105, 45, 10, 1,

945, 945, 420, 105, 15, 1,

10395, 10395, 4725, 1260, 210, 21, 1,

135135, 135135, 62370, 17325, 3150, 378, 28, 1,

2027025, 2027025, 945945, 270270, 51975, 6930, 630, 36, 1

生产矩阵开始

1, 1,

2, 2, 1,

6, 6, 3, 1,

24, 24, 12, 4, 1,

120, 120, 60, 20, 5, 1,

720, 720, 360, 120, 30, 6, 1,

5040, 5040, 2520, 840, 210, 42, 7, 1,

40320, 40320, 20160, 6720, 1680, 336, 56, 8, 1,

362880, 362880, 181440, 60480, 15120, 3024, 504, 72, 9, 1

这是指数Riordan数组A094587号或[1/（1-x），x]斩首。

-保罗·巴里2011年3月18日

MAPLE公司

f:=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则（1+x）^n展开（（2*n-1）*x*f（n-1）+f（n-2））；fi；结束；

行：=n->seq（系数（f（n），x，n-k），k=0..n）：seq（行（n）），n=0..9）；

数学

m=9；扁平[表[（n+k）！/（2^k*k！*（n-k）！），{n，0，m}，{k，n，0和-1}]](*Jean-François Alcover公司2011年9月20日*）

y[n_，x_]：=平方[2/（Pi*x）]*E^（1/x）*BesselK[-n-1/2，1/x]；t[n_，k_]：=系数[y[n，x]，x，k]；表[t[n，k]，{n，0,9}，{k，n，0，-1}]//展平(*Jean-François Alcover公司2013年3月1日*）

黄体脂酮素

（PARI）T（k，n）=如果（n>k | | k<0 | | n<0，0，（2*k-n）！/（n！*（k-n）！*2^（k-n））/*拉尔夫·斯蒂芬*/

（PARI）{T（n，k）=如果（k<0|k>n，0，二项式（n，k）*（2*n-k）！/2^（n-k）/n！）}； /*迈克尔·索莫斯2006年10月3日*/

（哈斯克尔）

a001497 n k=a001497_tabl！！不！！k个

a001497_row n=a001497 _ tabl！！n个

a001497_tabl=[1]：f[1]1其中

f xs z=ys:f ys（z+2）其中

ys=zipWith（+）（[0]++xs）（zipWise（*）[z，z-1..]（xs++[0]））

--莱因哈德·祖姆凯勒2014年7月11日

（岩浆）/*作为三角形*/[[阶乘（2*n-k）/（阶乘（k）*阶乘（n-k）*2^（n-k））：k in[0..n]]：n in[0..15]]； //文森佐·利班迪2015年8月12日

（鼠尾草）#使用[bell_matrix来自A264428型]

#添加列1，0，0。..在三角形的左侧。

bell_matrix（λn：A001147号（n），第9页）#彼得·卢什尼2016年1月19日

交叉参考

的反射版本A001498号这被认为是主要条目。

同一三角形的其他版本见A144299号,A111924号和A100861号.

行总和给出A001515号.a（n，0）=A001147号（n）（双阶乘）。

囊性纤维变性。A104556号（矩阵求逆）。A039683美元,A122850个.

囊性纤维变性。A245066型（中心术语）。

囊性纤维变性。A054142号,A099174号,A107102号.

上下文中的序列：A039797号 A143171号 A112292号*A123244号 A364505型 A105599号

相邻序列：A001494号 A001495号 A001496号*A001498号 A001499号 A001500型

关键词

非n,表,美好的

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的