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用户:Alexander R.Povolotsky

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亚历山大·波沃洛茨基apovolot@gmail.com

http://www.linkedin.com/profile/view?id=1428888

https://stackexchange.com/users/1376766/alex

我没有学位和出版物。

我在数论领域的独立研究成果总结如下

亚历山大·波沃洛茨基的三个猜想

1) n!+素数(n)!=m^k(到目前为止仅在k=2的情况下证明)

参见www.primepuzzles.net/consurchitectures/consub_059.htm

问题与困惑:猜测。推测59。

2) n!+n^2!=m^2(到目前为止只证明了n是素数的情况)

3) n!+总和(j^2,j=1,j=n)!=m^2(目前没有证据)

其中!=表示“不相等”,j、k、m、n为整数

目录

=
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sqrt(Pi)的标识
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以下是我经验性发现的身份:

Sqrt[Pi]=(1/(2^j)((k*Gamma[5+2j]Gamma[1+l]超几何PFQ[{1,5/2+j,3+j},{3+j+l/2,7/2+j+l/2},-1])/Gamma[6+2j+l]+l/2},-1])/伽马[8+2 j+l])/(2^(-5-3 j-l)伽马[5+2 j]伽马[1+l](k超几何PFQ正则化[{1,5/2+j,3+j},{3+j+l/2,7/2+j+l/2},-1]+1/2(3+j)(5+2j)(k+m)

对于任意的j,k,l,m来说似乎是真的其中j、k、l和m是有符号整数。

基于Mathematica的WolframAlpha和Maple都确认了上述特定集合{j,k,l,m}的身份。

如何通过分析证明这个身份?

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A010724号第二阶段:重复(6,8)。2

{6, 8, 6, 8, 6, 8, 6, 8, 6, 8, 6, 8, 6, 8, 6, ...}

当n>0时,a(0)=6,a(n)=10-eulerphi(a(n-1))Alexander R.Povolotsky,2016年10月16日

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不同排列的基特定“等比”对
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作为介绍,例如,考虑集合S10,它包含以10为基数的所有数字的所有可能的不同排列:1,2,...,8,9,0

可以看到,集合{98765432101234567890}中的一对(P)产生了比率

然后可以在这个集合中找到另一对(S10),其比率相同

然后问题出现了,在这个集合(S10)中是否还有其他比率相同的对(P)。。。

另一个问题是,在多对存在的集合(S10)中是否只有一个比率?

最后,同样的问题也可以扩展到其他(而不是以10为基数的)集合(Sn)中的不同排列。

此外(如后文所示),从经验上看(根据计算机程序对基数从2到10的结果),比率的值可以表示为

(1)

对于n=1。。。无穷大,其中n=r-1,其中r是基的基数。

例如,如果取基数10(r=10)则n=r-1=9如果将n=9放入上述公式中,则得到8.0000000729

因此,现在我将尝试将我的问题概括如下:

根据为数字基2-10编写的详尽的计算机程序(该程序搜索最小的、小于“n”但可能大于1的比率(R)的最大对数),发现在覆盖范围内的一整套不同排列中,排列对(P),可以找到满足上述条件的,且此类对的数量等于:{2,2,3,3,5,7,5,7,…}。如果将后者视为整数序列,则可能是(根据OEISA039649号,A039650型,A214288型)与phi相关,这是Euler totiten函数。

我已经推导出了给定基数中配对的比率(R)值的以下经验公式(1)(基于上述定义的条件):

该公式(1)也可以表示为A221740型(n)/A221741号(n) ,

哪里A221740型A221741号是OEIS的整数序列(由我提交),用于覆盖由上述右侧表达式中的分子和分母(相应地)生成的值。

Gerry Myerson将我的问题改写为:给定“n”,找到整数“a”、“b”,使其存在“k”(如果可能,大于1,但小于“n”),因此“ka”和“kb”在写入以“n”为基数时,只使用所有n个“数字”一次(允许前导零)。

在Gerry的术语中,“n”是我所称的基数“r”,{ka,kb}是我所说的成对(P)。他定义为“k”,我称之为比率(R),它可以表示为k=I/l,其中“I”和“l”都是整数。对于每个“n”,“k”的值是不同的。如经验公式所示,“i”和“l”(因此“k”)都是“n”的函数。在每个被覆盖的碱基“n”(从2到10)中,有几个对,满足“n”的特定比率(“k”或“R”)-给定“n”中的对数也是“n”函数。

根据所得结果,得出以下两个猜想:

1) 任何数字基(基数)r中所有不同置换的每个完整集都包含一些素数对(P),其比率(r)如上所定义。

2) 比率(R)可通过(经验)公式(1)计算。

如果有人已经提供了关于这个特定主题的参考资料,请提供给我,我会很感激这样的参考资料。

PS我对此问题的结果分析如所述oeis.org网站/A212958型和中http://math.stackexchange.com/questions/210578/permutation-identities-similar-to-7901234568-9876543210-cdot-1234567890/283117#283117

有人能提供我上述猜想的分析证据或反驳吗?

7901234568 / 9876543210 * 1234567890 = 0987654312

上面是整数算术恒等式,其中所有成员都是所有十进制基数1、2、…、,。。。,8,9,0(无副本)

另请参阅我对自己问题的回答

http://math.stackexchange.com/questions/210578/q-re-pervariations-with-no-duplicates-of-decimal-base-digits-1-2-8-9-0

另请参阅我的问题在http://mathoverflow.net/questions/176028/猜想-on-fractions-where-each-digit-appears-once-in-numerator-and-denomator

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24/Pi身份
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24/Pi=和((30*k+7)二进制(2k,k)^2(超几何2F1[1/2-k/2,-k/2、1、64])/(-256)^k,k=0…无穷大)

此标识的另一个版本是:

求和[(30*k+7)*二项式[2k,k]^2*(求和[二项式[k-m,m]*二项式[k,m]*16^m,{m,0,k/2}])/(-256)^k,{k,0,infinity}]

在Maple格式中,上述公式为:

总和(总和((二项式(k-m,m)*(二项制(k,m))*16^m),m=0…k/2))/((-256)^k/((30*k+7)*(二项式(2*k,k))^2),k=0…无穷大)

这个身份最初是由我在

http://old.nabble.com/A-surrising-consurchitecture%3A-n%3Dx%5E2%2BT_y%2BF_m-tt21117722.html#a34826777

另请参见A132714号,A220852型,A220853型

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sqrt(e)的标识
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sqrt(exp(1))=16/31*(总和((1/2)^n*(1/2*n^3+1/2*n+1)/n!,n=1.无穷大)+1)

sqrt(e)=(16/31)*(1+Sum_{n>=1}(1/2)^n*(1/2*n^3+1/2*n+1)/n!)

网址:http://www.strw.leidenoniv.nl/~mathar/public/mathar20071105.pdf https://oeis.org/A019774

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k重嵌套整数幂和
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(通过归纳证明)似乎

0)整数的k倍嵌套和可以表示为

F[n,1,k]=a(n)=(4*n+k)*(k+1)/4

1) 整数平方的k倍嵌套和可以表示为

(我于2007年11月21日将其发布到OEIS中-请参阅A000330号)

a(n)=n*(n+1)*…*(n+k)*[n+(n+1)+…+(n+k)]/((1+k)*(2+k))!

考虑到显而易见的事实

n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*…*(n+k)=(n+k)/(n-1)!

我的上述公式可以改写为:

a(n)=(n+k)/(n-1)!*[n+(n+1)+…+(n+k)]/((1+k)*(2+k))!

还替换了从n到n+k的明显算术级数求和,

即:

[n+(n+1)+…+(n+k)]

及其总额

(2*n+k)*(k+1)/2

我的平方和公式最终可以改写为:

a(n)=(n+k)/(n-1)!*(2*n+k)*(k+1)/(2*((1+k)∗(2+k))!)

F[n,2,k]=a(n)=((k+1)*(k+2*n)*伽马(k+n+1))/(2*伽马

2) 整数立方体的k倍嵌套和可以表示为

a(n)=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*…*(n+k)*(n*(n+k)+(k-1)*k/6)/((k+3)/6)

(我于2008年5月17日将其发布到OEIS中-参见示例A024166号)

考虑到显而易见的事实

n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*…*(n+k)=(n+k)/(n-1)!

我的上述公式可以改写为:

a(n)=(n+k)/(n-1)*(n*(n+k)+(k-1)*k/6)/((k+3)/6)

F[n,3,k]=a(n)=((k^2+6*k*n-k+6*n^2)*伽马(k+n+1))/(伽马(k+4)*伽玛(n))

注意,通用公式

(6*n^2+6*n*r+r^2-r)*(n+r)/((r+3)*(n-1)!),

由Gary Detlefs于2013年3月1日在

序列A024166号代数上与一般公式相同,

由我提供,如上所示。

请参阅我关于上述主题的所有帖子:

http://www.pme-math.org/journal/ProblemsF2006.pdf

http://www.math.fau.edu/web/PiMuEpsilon/pmespring2007.pdf

这些公式也以我的名字出现在公式和

以下OEIS序列的注释部分:

http://oeis.org/A001286

http://oeis.org/A000330

http://oeis.org/A101094

http://oeis.org/A101097

http://oeis.org/A000578

http://oeis.org/A000537

http://oeis.org/A024166

http://oeis.org/A101102

http://oeis.org/A001715

关于四次幂-inA101090标准Gary Detlefs,2013年3月1日表示:

“一般来说,1的四次幂的第r次连续求和

到n=(2*n+r)*(12*n^2+12*n*r+r^2-5*r)*/((r+4)*(n-1)!)"

用k替换r以形成我的符号形式

a(n)=((k+2*n)*(k^2+12*k*n-5*k+12*n^2)*γ(k+n+1))/(γ(k+5)*Gamma(n))

两个问题:

1) 这是如何联系和/或从Faulhaber公式推导出来的?

2) 有人把这个公式推广到任何程度吗?

也就是说,如何将其推广到m倍的公式中m次整数幂的嵌套和?

是否可以递归地为定义了3个整数参数F[n,m,k]的代数函数?

总结如下:

递归定义为F[n,m,k]=n*F[n、m-1、k]-k*F[n-1,m-1,k+1]

以下是迄今为止我所知的部分封闭式子案例m=1,2,3,4(我认为-符合上述递归定义)。。。可能会生成更多的子案例-需要多少?:

F[n,1,k]=(4*n+k)*(k+1)/4,

F[n,2,k]=((k+1)*(k+2*n)*伽马(k+n+1))/(2*伽玛(k^2+3*k+3)*Gamma(n)),

F[n,3,k]=((k^2+6*k*n-k+6*n^2)*伽马(k+n+1))/(伽马(k+4)*伽玛(n)),

F[n,4,k]=((k+2*n)*(k^2+12*k*n-5*k+12*n^2)*γ(k+n+1))/(γ(k+5)*Gamma(n))

如果我没弄错的话,这个问题是一个线性偏微分方程有三个自变量n,m,k。


PS另请参阅

http://math.stackexchange.com/questions/128763/k-fold-nested-sum-of-integer-powers

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Pi及其收敛性的Stephen Lucas恒等式的推广
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我猜想以下恒等式代表了斯蒂芬·卢卡斯(Stephen Lucas)的概括(参见本节末尾对其出版物的引用??Pi及其收敛点之间的实验获得恒等式:

(1)

以未格式化的形式:

(-1)^n*(Pi−A002485型(n)/A002486号(n) )=(abs(i)*2^j)^(-1)*Int((x^l*(1-x)^m*(k+(i+k)*x^2))/(1+x^2,x=0…1)


其中整数n=3,4,5,。。。用作OEIS中的术语索引A002485型(n) 和A002486号(n) ,

和{i,j,k,l,m}是一些整数(可以通过实验或其他方法找到),它们可能是n的一些函数。

我的概括推测中“有趣”(我认为)的部分是,“I”存在于两者中:

积分前面和积分本身中系数的分母。


1) 例如,在Lucas引用的22/7的旧已知公式中

22/7-Pi=整数(x^4*(1-x)^4*/(1+x^2),x=0。。1)

n=3,i=-1,j=0,k=1,l=4,m=4-关于我上述建议的推广。

在Maple表示法中

i: =-1;j: =0;k: =1;l: =4;m: =4;积分(x^l*(1-x)^m*(k+(k+i)*x^2)/((1+x^2,*(abs(i)*2^j)),x=0…1)

产量22/7-Pi


2) 在卢卡斯的333/106公式中

Pi-333/106=1/530*整数(x^5*(1-x)^6*(197+462*x^2)/(1+x^2。。1)

n=4,i=265,j=1,k=197,l=5,m=6-关于我上述建议的泛化。

在Maple表示法中i: =265;j: =1;k: =197;l: =5;m: =6;积分(x^l*(1-x)^m*(k+(k+i)*x^2)/((1+x^2,*(abs(i)*2^j)),x=0…1)

产量Pi-333/106


3) 在卢卡斯的355/113公式中

355/113-Pi=1/3164*国际(x^8*(1-x)^8*。。1)

n=5,i=791,j=2,k=25,l=8,m=8-关于我上述建议的泛化。

在Maple表示法中

i: =791;j: =2;k: =25;l: =8;m: =8;积分(x^m*(1-x)^l*(k+(k+i)*x^2)/((1+x^2,*(abs(i)*2^j)),x=0…1)

产量355/113-Pi


4) 在卢卡斯103993/33102的公式中

Pi-103993/33102=1/755216*国际(x^14*(1-x)^12*(124360+77159x^2)/(1+x^2。。1)

其中n=6,i=-47201,j=4,k=124360,l=14,m=12-关于我上述建议的泛化。

在Maple表示法中

i: =-47201;j: =4;k: =124360;l: =14;m: =12;积分(x^l*(1-x)^m*(k+(k+i)*x^2)/((1+x^2,*(abs(i)*2^j)),x=0…1)

产量Pi-103993/331


5) 在卢卡斯的104348/33215公式中

104348/33215-Pi=1/38544*国际(x^12*(1-x)^12*。。1)

n=7,i=-2409,j=4,k=1349,l=12,m=12-关于我上述建议的泛化。

在Maple表示法中

i: =-2409;j: =4;k: =1349;l: =12;m: =12;积分(x^l*(1-x)^m*(k+(k+i)*x^2)/((1+x^2,*(abs(i)*2^j)),x=0…1)

产量104348/33215-Pi


6) 它也适用于收敛型



它不属于A002485型(n)/A002486号(n) 收敛序列



i=47201,j=4,k=77159,l=14,m=12-关于我上述建议的泛化。

在Maple表示法中

i: =47201;j: =4;k: =77159;l: =14;m: =12;积分(x^l*(1-x)^m*(k+(k+i)*x^2)/((1+x^2,*(abs(i)*2^j)),x=0…1)

产量6186692489999119/196928538206400-印度


另请参见http://math.stackexchange.com/questions/1956/is-there-an-integration-that-proves-pi-333-106/127618#127618

更新#1:http://math.stackexchange.com/questions/860499/seeking-proof-for-the-formula-relating-pi-with-its-convergents

Matt B.提供了分析证明,并通过将参数数量从5个减少到4个来改进公式


下面是Stephen Lucas出版物中涵盖的Matt B.公式中所有情况的参数列表,箭头右侧的内容是实际的Maple代码,可以复制(在“编辑”模式下),然后粘贴到(比方说)反向符号计算器(它接受Maple代码)中并在那里运行。


注意,为了简洁起见,我将Matt B使用的一些参数名称替换为:“alpha”替换为“a”,“beta”替换为(B),“epsilon”替换成(c),“m'”替换成“p”。


104348/33215-Pi->a:=1349;b: =-1060;p: =6;c: =0;积分((x^(c+2*p)*(1-x)^(2*p)x(a+b*x^2))/((a-b)*2^(p-2)*((-1)^(c)*(1+x^2)),x=0…1)

Pi-103993/33102->a:=124360;b: =77159;p: =6;c: =2;利息((x^(c+2*p)*(1-x)^(2*p)x(a+b*x^2))/((a-b)*2^(p-2‌)*((-1)^(c)*(1+x^2)),x=0…1)

355/113-Pi->a:=25;b: =816;p: =4;c: =0;积分((x^(c+2*p)*(1-x)^(2*p)x(a+b*x^2))/((a-b)*2^(p-2)*((-1)‌)^(c) *(1+x^2)),x=0…1)

Pi-333/106->a:=197;b: =462;p: =3;c: =-1;整数((x^(c+2*p)*(1-x)^(2*p)(a+b*x^2))/((a-b)*2^(p-2)*((-1) ^(c)*(1+x^2)),x=0…1)

22/7-Pi->a:=1;b: =0;p: =2;c: =0;积分((x^(c+2*p)*(1-x)^(2*p)x(a+b*x^2))/((a-b)*2^(p-2)*((-1)‌^(c) *(1+x^2)),x=0…1)


显然,公式中的参数在某种程度上取决于“n”。对“n”最直接的依赖是在Matt B命名为“m”(我称之为“p”)的地方观察到的:{2,3,4,4,6,6}。。。注意,当“n”->无穷大时,积分应为0。。。

最近(请参阅http://math.stackexchange.com/questions/860499/seeking-proof-for-the-formula-relating-pi-with-its-convergents)

托马斯·巴鲁切尔(Thomas Baruchel)进行了广泛的计算,并观察到最初提供的五参数符号(i,j,k,l,m)

j=m/2-2,相应的m=2*(j+2)

这使得最初的推测依赖于4个参数,如下所示:

并以未格式化的形式:

(-1)^n*(Pi−A002485型(n)/A002486号(n) )=(abs(i)*2^j)^(-1)*Int((x^l*(1-x)^

看见https://mathoverflow.net/questions/175762/is-formula-valid-for-relating-pi-with-all-of-its-oeis-a002485n-a002486n-c

该观察结果证实了之前的Matt B结果,该结果也基于4个参数。

注意,右侧积分下的扩展表达式由3个项组成,如下所示:

(k*(1-x)^(2*(j+2))*x^(l+2)

更新#2:

根据他的计算结果,托马斯·巴鲁切尔还发现,即使有4个参数,这个公式也能为每个n产生无穷多个解。

当然,为了最小化(i,k),最好能在(l,m)上找到一些有趣的规则,更好的是,将参数的数量减少到一个,这真的很酷。

托马斯和我分享了他的计算结果,所以现在我有很多实验发现五元组{n,i,j,k,l}-其中n在2到26之间变化,对于每个“n”值,Thomas为我提供了许多i,j、k,l值的有效组合。。。当然,根据这些数据,很容易发现(如果有的话)i、j、k、l之间以及与“n”之间是如何相互关联的,但这种相互关联(如果存在)并不明显,也很难通过观察得出。。。(尽管可以清楚地看到,随着“n”从2增加到26,“i”的绝对值正在急剧增加)。

Will Sawin注意到了(并在MathOverflow中提供的证明中使用)

在所有发现的情况下[j-l]都是同余模2

积分[((1-x)^l*x^(2*(2+j)))*(k+(k+m)x^2))/(2^j*(1+x^2,*Abs[m]),{x,0,1}]=条件表达式[(2^(-5-3*j-l)*Sqrt[Pi]*Gamma[5+2*j]*Gamma[1+l]*(k*超几何PFQ正则化[{1,5/2+j,3+j},{3+j+l/2,7/2+j+l/2},-1]+((3+j)(5+2j)(k+m)超几何PFQR正则化[},7/2+j,4+j}/2},-1])/2)/Abs[m],Re[j]>-5/2&&Re[l]>-1]

m=2*(j+2)

积分[(1-x)^l*x^(2*(2+j)))*(k+(k+2*(j+2))*x^2))/(2^j*(1+x^2=条件表达式[(2^(-5-3*j-l)*Sqrt[Pi]*Gamma[5+2*j]*Gamma[1+l]*(k*2*(j+2)超几何PFQ正则化[{1,5/2+j,3+j},{3+j+l/2,7/2+j+l/2},-1]+((3+j)(5+2j)(k+2*(j/2))j+l/2,9/2+j+l/2},-1])/2))/Abs[2*(j+2)],Re[j]>-5/2&&Re[l]>-1]

如果我没有犯错误,RHS可以减少(执行集成后)为:

(abs(i)*2^j)^(-1)*伽马(2*j+5)*(k+i)*伽玛(l+3)*HPFQ(1,l/2+3/2,l/2+2;j+l/2+4,j+l/2+9/2;-1)/伽马(2*j+l+6))

其中HPFQ是HypergeometricPFQ的缩写

可以从讨论的参数恒等式中导出pi的非理性测度,如果假设这个恒等式的RHS成立,当LHS上的有理分式等于0时,那么我们得到:

Pi=(abs(i)*2^j)^(-1)*伽马(2*j+5)*(k+i)*伽玛(l+3)*超几何PFQ;-1)/伽马(2*j+l+6))

也许有人可以通过编程检查是否有满足上述要求的{i,j,k,l}?

更新#3:

由于Jaume Oliver Lafont,至少有一个案例对最后一个问题作出了肯定的回答:i=-1,j=-2,k=1,l=0

这种情况应该有无限多吗?

P.S.根据与Jaume Oliver Lafont的讨论,取决于积分体分子中多项式x次的值(分母保持为相同的“1+x^2”),结果从“Pi”到“log(2)”,也到“+/-(Pi-P/q)”以及“+/-,所以现在也许可以产生两个不同的参数化族:一个是Pi和Pi及其收敛点之间的差异,另一个是log(2)及其收敛点间的差异。

P.P.S.公司。积分[x^(2*(j+2))*(1-x)^l*(k+(k+m)*x^2)/((1+x^2,*(Abs[m]*2^j)),{x,0,1}]

产生以下结果:

条件表达式[(1/Abs[m])2^(-5-3 j-l)Sqrt[\[Pi]]Gamma[5+2 j]Gamma[1+l](k超几何PFQ正则化[{1,5/2+j,3+j},{3+j+l/2,7/2+j+l/2},-1]+1/2+j+l/2},-1]),Re[l]>-1&&Re[j]>-(5/2)](2)

Free WolframAlpha超时了,我使用了一种解决方法,将积分分解为两个积分。积分[x^(2*(j+2))*(1-x)^l*(k+(k+m)*x^2)/((1+x^2

第一个(以Maple格式输入到WolframAlpha)

整数(x^(2*(j+2))*(1-x)^l*(k+m)*x^2/(1+x^2),x=0…1)

屈服,屈服

条件表达式[(k Gamma[5+2 j]Gamma[1+l]超几何PFQ[{1,5/2+j,3+j},{3+j+l/2,7/2+j+l/2},-1])/Gamma[6+2 j+l],Re[l]>-1&&Re[j]>-5/2]

第二部分

整数(x^(2*(j+2))*(1-x)^l*(k+m)*x^2/(1+x^2),x=0…1)

还是超时了,所以我在Wolfram云开发平台中解决了这个问题。(使用默认的Mathematica语言)

积分[x^(2*(j+2))*(1-x)^l*(k+m)*x^2/(1+x^2),{x,0,1}]

它给了我们什么

条件表达式[(k+m)Gamma[7+2j]Gamma[1+l]超几何PFQ[{1,7/2+j,4+j},{4+j+l/2,9/2+j+1/2},-1])/Gamma[8+2j+l],Re[l]>-1&&Re[j]>-(7/2)]

因此,结合我们的两个结果(不显示条件)

(k伽马[5+2 j]伽马[1+l]超几何PFQ[{1,5/2+j,3+j},{3+j+l/2,7/2+j+l/2},-1])/伽马[6+2 j+l]+((k+m)伽马[7+2 j]Gamma[1+l]超几何PFQ[{1,7/2+j、4+j}、{4+j+l/2,9/2+j+1},-1)/伽玛[8+2 j+l](3)

我发现(也许是由于条件),2)和3)都给出了正确的案例结果:1)、3)和5),但对于案例2)和4),给出了不同于Maple测试结果的结果(尽管在这两种情况下,(2)和(3)得出的结果是相同的)。

同样,在比较结果(2)和(3)时,我们特别注意到,(2)显式包含Sqrt[\[Pi]],而(3)不。。。

我已经将(2)和(3)等同起来,并根据Sqrt[Pi]解决了这个问题

Sqrt[Pi]=(1/(2^j)*((k Gamma[5+2 j]Gamma[1+l]超几何PFQ[{1,5/2+j,3+j},{3+j+l/2,7/2+j+l/2},-1]2},-1])/伽马[8+2 j+l])/(2^(-5-3 j-l)伽马[5+2 j]伽马[1+l](k超几何PFQ正则化[{1,5/2+j,3+j},{3+j+l/2,7/2+j+l/2},-1]+1/2(3+j)(5+2j)(k+m)

它确实给出了上述情况1)、2)、3)、4)、5)中给定的每组{j、k、l、m}的Sqrt[Pi]

我假设上面的表达式(4)将为其他(无限)数量的{j,k,l,m}集合生成Sqrt[Pi]。


有人能解释一下我的结果吗?

这是一个有趣的身份吗?

我收到通知,Maple将(4)右侧的表达式简化为sqrt(Pi)。

对于任意的j,k,l,m,这似乎是正确的。

基于Mathematica的WolframAlpha和Maple都确认了上述特定集合{j,k,l,m}的身份。

基于上述,这个恒等式对于任何{j,k,l,m}的任意集合都是成立的,我们可以考虑情况j=k=l=m:

Sqrt[Pi]=(2^(5+3 j)(伽马[5+2 j]伽马[8+3 j]超几何PFQ[{1,5/2+j,3+j},{3+(3 j)/2,7/2+(3 j+2j]伽马[6+3j]伽玛[8+3j](超几何PFQ正则化[{1,5/2+j,3+j},{3+(3j)/2,7/2+(3J)/2},-1]+(15+11j+2j^2)超几何PFQ正则化[{1,7/2+j,4+j},{4+(3j)/2,(3(3+j))/2},-1]))(5)

参考文献:

http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2005/Sep05/Lucas.pdf

https://www.researchgate.net/publication/267998655_Integral_approximations_to_p_with_nonnegative_integrands

http://web.maths.unsw.edu.au/~mikeh/webpapers/paper141.pdf

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关于Ramanujan常数和Heegner数
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最初(2009年左右),我观察到最后(最大的)四个Heegner数字(19、43、67、163)可以表示为:

(0)19+24*m,m=0,1,2,6

因此,基于最后(最大)四个Heegner数的Ramanujan常数和类似的“几乎整数”可以近似为:

(1) exp(Pi*sqrt(19+24*m))=~(24*k)^3+31*24

上述表达式给出了4(四)种“几乎整数”情况:

1) m=0,k=4;

2) m=1,k=40;

3) m=2,k=220;

4) m=6,k=26680-当然,这是与拉马努扬常数有关的情况

综上所述,有趣的是,我们可以从上面的“k”值中减去(在公式(1)的右侧)

实数,格式为“3.<”接近一“小数部分>”

并观察(使用下面的PARI/GP程序)得出的减法结果可除以36:

gp>对于(m=0,10,打印1(“m=”,m,“k=”,(exp(Pi*sqrt(19+24*m))/24-31)/24/24)^(1/3),“\n”)

m=0 k=3.999999664954872711861691865<<=-3.9…=0;0/36 = 0

m=1 k=39.999999999664632214064072<<=-3.9…=36;36/36 = 1

m=2 k=219.99999999999999333640933<<=-3.9…=216;216/36 = 6

.....

m=6 k=26680.000000000000000000<=-4=26676;26676/36 = 741

使用(更完整的)以下PARI/GP程序,可以获得上述减除36的结果

根据公式(1)得出:

gp>b(m)=((exp(Pi*sqrt(19+24*m))/24-31)/24/24)^(1/3)

gp>对于(n=0,3,打印1((ceil(b(abs(n-1)))*n) )-4)/36,“\n”))

0

1

6

741

注意,0,1,6741是“三角数”(OEISA117310号)

前四个(最小的)Heegner数(1、2、3、7)可以表示为:

(0a)1+m,对于m=0,1,2,6

注意,(0)和(0a)中“m”的范围相同,在此范围内,m可以通过A002605号((1+平方(3))^n-(1-sqrt(3)

为了进一步推导公式(0)和(0a),我建议使用以下两个公式作为OEIS中的Heegner数A003173号(n) 顺序:

a) 对于前四个(最小的)Heegner数

(2) 对于n=1,2,3,4,a(n)=1+((1+sqrt(3))^(n-1)-(1-sqrt

b) 最后(最大)四个Heegner数

(3) 对于n=6,7,8,9,a(n)=19+24*((1+sqrt(3))^(n-6)-(1-sqrt

然后四个几乎整数(包括著名的Ramanujan)可以表示为:

(4) exp(Pi*sqrt(19+24*((1+sqrt)(3))^(n-6)-(1-sqrt

一般来说

(5) a(n)=a(k)+(a(k+1)-a(k);对于n=6,7,8,9 k=6

(6) a(n)=eulerphi(素数(mod(4,n)!!))+楼层(n/5)+((1+楼层(n/6))^2)*((1+平方(3))^(n-(1+2*(楼层(n/5)))!)-(1平方(3))^(n-(1+2*(楼层(n/5)))/(2*sqrt(3))适用于除n=5外的所有n

下面是第一个和最后四个Heegner数的Mathematica表达式

简化[表[1+((1+Sqrt[3])^(n-1)-(1-Sqrt[3])^

{1,2,3,7}

简化[表[19+24((1+Sqrt[3])^(n-6)-(1-Sqrt[3])^

{19,43,67,163}

简化[表[6*j^2-5+((j^2)!)*((1+Sqrt[3])^(n-1)-(1-Sqrt[3])^

{{1,2,3,7},{19,43,67,163}}

a(n)=5*(5*(EulerPhi[(a(n-1)+a(n-5)/5+11)/5]+素数(n-5

简化[递归表[{a[n]==5*(5*(EulerPhi[((a[n-1]+a[n-5])/5+11)/5]+素数[n-5]])-11)-a[n-4],a[1]==1,a[2]==2,a[3]==3,a[4]==7,a[5]==19},a[n],{n,1,8}]]

{1,2,3,7,19,43,67,163}

对于序列的子集A003173号在排除中间项11并且不进行索引的情况下,通过j从j=1到j=8进行索引时,可以通过以下递归定义前四个原始项项,后跟最后四个原始项项:

a(j)=5*(5*(EulerPhi[(a(j-1)+a(j-5)/5+11)/5]+素数(j-5


A) 对于最后(最大)四个Heegner数字19、43、67、163我开发了以下公式:

a(n)=19+24*((1+平方(3))^(n-1)-(1-sqrt(3)a(n)=19+4平方(3)(1+sqrt(3))n=1,2,3,4时

顺便说一下,我还为前四个最小的Heegner数(1、2、3、7)开发了公式对于n=1,2,3,4,a(n)=1+((1+sqrt(3))^(n-1)-(1-sqrt

我还为第五个Heegner数字11开发了单独的公式:a(n)=((1+sqrt(3))^n-(1-sqrt

这里还有我为除11以外的所有Heegner数推导的广义递归公式,即:A003173号(n)=A003173号(k) +(+)(A003173号(k+1)-A003173号(k) )*((1+平方(3))^(n-k))-(1-sqrt(3)^其中k=1表示n=1,2,3,4,k=6表示n=6,7,8,9

以及我为除11以外的所有Heegner数推导的显式公式,即:

排序[Flatten[Expand[11,Expand[Expand{表[1+((1+sqrt(3))^

B) 另一方面,我注意到最后(最大的)四个Heegner数19, 43, 67, 163 可以很好地近似如下:exp(Pi*Sqrt(Heegner))=~(24*k)^3+31*24哪里:

对于Heegner=19k=3.999999664954872711861691865

对于Heegner=43k=39.999999999664632214064072

对于Heegner=67电话:219.99999999999999333640933

对于Heegner=163k=26680.00000000000000000000000

上面的k除以四个给定序列{1,10,556670,…}这是包含在公式中a(n)=1089 n^3-6516 n^2+11934 n-6506(对于所有使用n=1,2,3,4给出的术语)

这样可以获得最后(最大)四个Heegner数19, 43, 67, 163 如下:展开表格((ln((96*(1089*n^3-6516*n^2+11934*n-6506))^3+31*24))/Pi)^2,{n,1,4}{19., 43., 67, 163}

C) 现在结合我在A)和B)中的发现,我们得到:平方米(19+4平方米(3)((1+sqrt(3)))(ln((96*(1089*n^3-6516*n^2+11934*n-6506))^3+31*24))/Pi

通过上述Pi解析,我们得到:Pi=(ln((96*(1089*n^3-6516*n^2+11934*n-6506))/平方码(19+4平方码(3)(1+sqrt(3)))

上面确实给出了Pi的近似值:展开表格(ln((96*(1089*n^3-6516*n^2+11934*n-6506))^3+31*24))/sqrt(19+4平方(3)((1+sqrt(3))^(n-1)-(1-sqrt

{对数(885480)/sqrt(19),对数(884736744)/sqrt(43),对数(147197952744)/sqert(67),对数

进一步扩大上述范围,最终得出四个连续改进的Pi近似值(在精度方面):

{3.141592711189825936657940691351247661713957539639699106,

3.141592653589831595761305756992527109531426779156256275,

3.141592653589793239572762248025634723732698386462897909,

3.141592653589793238462643383279726619347549880883522422}

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对数、Pi相关和其他恒等式
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==========================================

总和(1/((1+n))/(sqrt(2))^n,n=0…无穷大)=sqrt

==========================================

总和(1/((1+1/n))/(sqrt(2))^n,n=0…无穷大)=2+sqrt

==========================================

总和(1/((1+n))/(sqrt(3))^n,n=0…无穷大

==========================================

总和(1/((1+1/n))/(sqrt(3))^n,n=0…无穷大)=-(3*(1-log(1/3*(3-sqrt

==========================================

总和((1+n^(3+2)/3+n/3)/(2^n*n^3),n=1…无穷大)=1/72*(63*zeta(3)+144+2*pi^2+12*log^3(2)-12*log^2(2)-6*pi^2*log(2))

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BBP Log(3)公式

ln(3)=1/4*(1+总和((1/(9)^(k+1))*(27/(2*k+1)+4/(2*k+2)+1/(2xk+3)),k=0…无穷大))

请参见http://www.davidhbailey.com/dhbpapers/bbp-formulas.pdf第25页:

“亚历山大·波沃洛茨基发现了这个公式

log3=1/4+1/4总和(k≥0 1/9k+1(27/(2k+1)+4/(2k+2)+1/(2k+3))”

另请参见https://oeis.org/A002391

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ln(2)=1/4*(3–和(1/(n*(n+1)*(2*n+1)),n=1…无穷大))

==========================================

ln(2)=105*(319/44100–总和(1/(2*n*(2*n+1)*(2*n+3)*(2*n+5)*),n=1…无穷大)

==========================================

ln(2)=(319/420-3/2*和(1/(6*n^2+39*n+63),n=1…无穷大))

==========================================

ln(2)=(230166911/9240–总和((1/2)^k*(11/k+10/(k+1)+9/(k+2)+8/(k+3))+7/(k+4)+6/(k+5)-6/(k+7)-7/(k+8)-8/(k/9)-9/(k+10)-10/(k+1)),k=1。。无穷大)/35917

==========================================

ln(3)=~1/(8151*exp(1)

==========================================

求和((4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1-(16*n+12)-1/=~3.4036628576121152711428355947554…从上面

==========================================

Pi=(32*和(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1-(16*n+12)-1/

==========================================

Pi^2=3/2(总和((7n^2+2n-2)/(2n^2-1)/(n+1)^5,n=1..inf)-zeta(3)-3zeta(5)+22-7多角蜂(0,1-1/sqrt(2))+5sqrt(二)多角蜂

==========================================

和(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(16*n+10)-1/4)=~3.407672797988624154543821158590。

==========================================

和(1/(8*n+1)+1/(8*n+2)+1/

==========================================

求和(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1-(8*n+6)),n=0…无穷大)=3.3860476195971917219364188314385

==========================================

和(7/(8*n+1)-1/(8*n+2)-1/=5.6223988192551068656190007783868

==========================================

和(4/(8*n+1)-1/(16*n+3)-1/对于这个Mathematica/WolframAlpha给出=1/32*(Pi+2*ln(2)+Pi*tan(Pi/8)-Pi*tan其Derive 6.10压缩为:-13*SQRT(2)*LN(平方根(2)-1)/16+LN(2)/16-pi*(平方根

==========================================

和(4/(1+8*n)-1/(4+8*n
对于这个ISC/Maple给出=-1/2*Psi(1/8)-1/8*gamma-1/4*ln(2)+1/8*Psi
而Mathematica/WolframAlpha给出=1/16*((3*Pi)/4+(11*ln(2))/2+3/4*Pi*tan 9091046977752338828047号

==========================================

总和(4/(1+8*n)-1/(4+8*n,n=0…无穷大)=-1/2*Psi(1/8)-1/8*gamma-1/4*ln(2)+3/32*Psi*gamma-1/4*ln(2)+(3*Psi(5/8)+3*Psi

========================================

求和(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1-(8*n+6),n=0…无穷大)=1/16*(4*Pi+5*sqrt(2)*Pi+sqrt=========================================================总和(59296/(7*n+1)-10326/(7*n+2)-3200/(7*n+3)-1352/(7*n+4)-792/(7*n+5)+552/(7*n+6),n=0…无穷大)=1/50*(-318*加泰罗尼亚语+5+427*Pi-64*Pi^2+145*Pi*log(2)-39*Pi*log(3))*10^8

========================================

总和((-1)^n*(-2^5/(4*n+1)-1/(4*n+3)+2^8/(10*n+1,n=0…inf)=1/80*(-16*Pi+514*Pi*tan(Pi/20)-165*Pi*tan(Pi/8)-136*Pi*stan((3*Pi)/20)+514*Pi*cot))*log(sin(Pi/20))+620*sqrt(2)*log(sin(Pi/8))-1020*sqrt(2(5-sqrt(2*(5-sqrt(5)))*log(cos(Pi/20))+1020*sqrt

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欧拉数(纳皮尔常数)及其根的无穷和
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exp(1)=(1+总和((1+n^(3)+n)/(1^n*n!),n=1…无穷大))/7

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exp(1/2)=16/31*(1+总和((1+n^3/2+n/2)/(2^n*n!),n=1…无穷大))

========================================

exp(1/3)=729/1552*(1+总和((1+n^5/3+n/3)/(3^n*n!),n=1…无穷大))

========================================

e^(1/5)=5^(2*5)/21355775*(1+总和((1+n^7/5+n/5)/(5^n*n!),n=1…无穷大))

========================================

e^(1/7)=282475249/1008106751*(1+总和((1+n^9/7+n/7)/(7^n*n!),n=1…无穷大))

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一般来说exp(1/k)=2*k^(2*k)*(1+和((1+n^(k+2)/k+n/k)/(k^n*n!),n=1…无穷大))/A195267号(k)对于k=1…无穷大

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涉及e的Pi近似
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这是我的简单Pi近似值:

Pi=sqrt(4*实验(1)-1)

Pi~=sqrt(4e-1)

它可以精确到两个十进制数字
请参见http://www.contestcen.com/pi.htm
请参见http://mathworld.wolfram.com/PiApproximations.html

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关于u_0=Pi行为的递归迭代嵌套方法u_{n+1}=(1+1/u_n)^A的问题?

组合式(131)inhttp://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html

公式(9)http://mathworld.wolfram.com/PiApproximations.html

自我参考近似下的收益率

(1+1/Pi)^(平方(4*exp(1)-1)+1)

= 3.141455555062897318881174776464695664912400862823441364495...

小数点后三位数。

然后我尝试了嵌套迭代方法。。。

逻辑上,这种嵌套迭代方法表示递归

u_{n+1}=(1+1/u_n)^A,其中u_0=Pi

如果u_n收敛到某个极限L,那么u_{n+1}也会收敛,因此通过上述公式中的连续性,可以得到

L=(1+1/L)^A。

如果假设L=Pi,然后

Pi=(1+1/Pi)^(平方(4*exp(1)-1)+1)

但上述情况并非如此

相反,L=(1+1/L)^A求解为

x=(1+1/x)^(平方(4*exp(1)-1)+1)

产量

x≈3.14152410850147。。。

当然,它也不是Pi;-)

WolframAlpha允许获取此迭代嵌套递归的连续值

http://www.wolframalpha.com/input/?i=RecurrenceTable%5B%7Bu%5Bn+%2B+1%5D+%3D%3D+(1+%2B+1%2Fu%5Bn%5D)%5E(Sqrt%5B4+E+-+1%5D%2B1),+++u%5B0%5D+%3D%3D+Pi%7D,+u,+%7Bn,+0,+20%7D%5D

从上面获得的结果来看,这些连续值似乎不收敛,每两次连续迭代总是会产生两个彼此不同的值,每个值都接近其(收敛到)不同的“焦点”极限,即在~3.14146……和~3.14159……附近。。。

N[递归表[{u[N+1]==(1+1/(1+1/u[N])^(Sqrt[4E-1]+1))^

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592, 3.141592674418545693841878285957349342669134129971125579127644421,3.141592695253627461175969390536599768695956052962119540725043500,3.141592716095040463832009494064083128542678059438935608232521505,3.141592736942786625761601594725141434198981176409444855933720590,...3.141596903610837554531413451319770757069408688918396017555132524,3.141596925731061152565967235763390358565851444238309609071451265,3.141596947858006518699453367669953649699695996590996264835249320

N[递归表[{u[N+1]==(1+1/(1+1/u[N])^(Sqrt[4 E-1]+1))^

3.141455555062897318881174776464695664912400862823441364495049750, 3.141455534232234594228378472373820966463668476089980730974548723, 3.141455513395242358307664030654016970155357086068358070835036869, 3.141455492551918687923046500432307710783750239743807271819024066, 3.141455471702261659294223538937720155387991823972195048410209426

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基于符号常数线性组合的近似恒等式
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Pi~=1/17*(1+50*sqrt(log(3)))

==========================

Pi/3~=(1+平方(10^5)*exp(7/2))/(10^4+1)

====================

皮!~=(1-exp(1)/113)*(7+(log(Pi))/Pi)

==========================================

sqrt(4*exp(1)-1)=平方(和((1/2*n^3+1/2*n+1)/n!,n=1..inf))~=Pi/96*(44*Pi*log(2)+139*Pi*log(3)-20*Catalan-140-8*Pi-30*Pi^2)

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Gelfond's(经验(Pi))~=7/9*Pi*(76*3^(1/2)-83*2^(1/2)+9)-146/7+56/9*ln(3)+7/9*In(2)-35*gamma= 23.140692632780340951373037905092

23.14069263278034095137037905092-exp(Pi)=.1071945643951537144e-11

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Pi公司=~(51*总和(8/(8*exp(Pi*n)+1)-1/(8*xp(Pi*n)+4)-2/(8*exp(Pi*n)+5)-5/(8*1xp(Pi*n)+6),n= 0 .. 无穷大)+9*对数(3)-43*对数(2)+64*伽马)/(平方码(3)+6*平方码(2))=3.141592653589769604105473979418686347025749787628343799494637119

3.14159265358976960410547397941868634702574978767676283437994637119–印度=-2.363435716940386081653717141961174676202148030747330773742电子14

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Pi公司=~(9/7*exp(1)^Pi+1314/49–8*ln(3)–ln(2)+45*gamma)/(76*sqrt(3)-83平方米(2)+9)=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592…

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(251/720+623657698431345996284828425855463300006820)*(7*总和(1/(ln(2)^n)/(Pi^(2*n))*经验(n*Pi)/n!,n个= 1 .. 无穷大)-61*Pi^2+155*Pi*ln(2)+5*Pi^2*2^(1/2)+8*ln~=加泰罗尼亚语=0.9159655941772226915865968301265730955420831535001509525811147788

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Pi公司=~(48^2*总和(((经验(1)-1)/(经验(一)+1))^k*((4*k^2+9*k+5)/(3*k+5)*(7*k+9)*(9*k+11)),k= 0 .. 无穷大)-36*伽马+2*Ei(1)–4*W(1))/5= 3.1415926535897707579586131398433

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Pi~=((2^(1/2)-22646193/64200325)/总和(2/(2^.(n+1))/GAMMA(n+1/2),n=1。。无穷大))^2差值为:0.24780585841e-20

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2*总和(1/(n^3+2*n^2+2*n+7)/(24^n),n=0。。无穷大)=Pi*sqrt(3)–39*log(3)+84*log

f解(x->2*和(1/(n^3+2*n^2+2*n+7))/(x^n),n=0。。无穷大)+Pi*sqrt(3)–39*log(3)+84*log23.999999995011916301243901392414554490409136352246963766236377143509476137987495024510254888936149797331254797

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95*总和((1/(exp(Pi)-log(3))/log(2))^n)/(n^3+2*n^2+2*n+7),n=0…无穷大)=–8*(Pi)^2+146*加泰罗尼亚语–20*Pi*log(2)+6*(log(二))^2
求解(x=15,16,95*suminf(n=0,(1/x)^n)/(n^3+2*n^2+2*n+7))-(-8*(Pi)^2+146*0.91596559417721901505460351493238-20*Pi*log(2)+6*(log(二)^2))
15.27840584416985564057382990617910357480976379331420769783554295414225

f解(x->95*和((1/x)^n)/(n^3+2*n^2+2*n+7),n=0…无穷大)-(-8*(Pi)^2+146*Catalan-20*Pi*log(2)+6*(log(二))^2),15.27840…15.27841)
15.278405844169855640573829906162

(exp(Pi)-log(3))*log(2)=15.278405844196439183744048934477

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4*(Pi*exp(1)+ln(3))^(1/2)+75*Pi*sqrt(3)+68*ln(2)–2*gamma–105*Pi*m2=-.78204875059557651e-12~= 0

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总和(1/((ln(Pi*n)-ln(Pi)/(n-1/(n+1)))*(exp(Pi*n)-Pi))^n),n=0。。无穷大)==K=.9563222713268336349867888245125其中K满足以下Z线性组合:2 K+4 E–8 Pi+42γ+3 Ei(1)–31 W(1)

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PS符号“log()”和“ln())”均用于上述公式中指定自然对数

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轻微伪装的Pi BBP配方
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这是Pi的著名BBP配方,稍加掩饰(以Maple格式显示)。

总和((1/16)^k*总和((-1)^(ceil(4/(2*n))))*(floor(4/n))/(8*k+n+楼层(sqrt(n-1))*(楼层(squart(n-1))+1),n=1..4),k=0..无穷大)

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从我和Tito Piezas的信件中
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(另请参见https://sites.google.com/site/piezas001/004)

给定p=7阶公式中涉及的多项式:

7^5*Pi=和[1/(2^n二项式[2n,7n])*P7(n),{n,0,无穷}]

哪里

第7页(n)=59296/(7*n+1)-10326/(7*n+2)-3200/(7*n+3)-1352/(7*n+4)-792/(7*1+5)+552/(7*n+6))

(参见等式546,第12.5节http://www.pi314.net/eng/hypergse12.php).

展开P7(n),然后*去掉分母和数值因子*,我们得到,

Q7(n)=22089*n^5+64625*n^4+73633*n^3+40735*n^2+10910*n+1128

Alex P.(Alexander R.Povolotsky)在给Tito Piezas的电子邮件中观察到,P7(n)及其派生的Q7(n)似乎具有有趣的属性。特别是,Alex P.观察到,对于任意积分值n,则P7(n)和Q7(n

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表达式的可除性,包含阶乘

我还研究了表达式的可分性问题,包括阶乘看见A131685型-概括

以及具体情况:

A000027号(对于n=1),A064808号(n=2),A131509号(n=3),A129995号(n=4),A131675型(n=5)。。。,A131680型(n=10)。

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恒等式(在整数上)-参见“1或5模6的数字同余”的公式部分。-OEISA007310号 	 

很容易证明

平方(6*n*(3*n+(-1)^n-3)-3*(-1)*n+5)/sqrt(2)=(6n+(-1-)^n-2)/2

然后我们有两个等价的公式来表示Pi

Pi^2/9=总和(n>=1,2/(6*n*(3*n+(-1)^n-3)-3*(-1)*n+5))Alexander R.Povolotsky,2014年5月18日

Pi^2/9=总和(n>=1,(2/(6n+(-1)^n-3))^2)Alexander R.Povolotsky,2014年5月20日

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Pi=积分。。。Pi)*3/sqrt(2)

Pi=积分((sin(n)^2+(cos(n)+1)*sin(n))/((cos。。。Pi)*3/sqrt(2)

积分(sin(x))/(cos(x)+1-(cos=1/3*(平方(2)*tan^(-1)((tan(x/2)-1)/sqrt(2))-2*(log(sin(x/2+cos(x/2

积分(sin(x))/(cos(x)+1-(cos(log(sin(x)^2+cos(x)*^2+2*cos(x)+1)-2*atan(sin

2014年5月26日,星期一,丹尼尔·利希布劳<danl@wolfram.com>写道:


提交编号:2769847提交时间:2014-05-22 20:47:08主持人:24.60.248.226(c-24-60-248-226.hsd1.ma.comcast.net)姓名:Alexander R.Povolotsky组织机构:国家:美国职业:电子邮件:apovolot@gmail.com你多久使用一次Mathematica

评论:积分正弦(x)/(cos(x)+1-余弦(x)从-Pi到Pi产量圆周率(2)/3?


只有在主值的意义上,否则它会因-Pi.2处的极点而发散。

在[20]中:=积分[Sin[x]/(Cos[x]+1-Cos[x]/(Sin[x]+Cos[x]+1)),{x,-Pi,Pi},PrincipalValue->True]

在计算In[20]:=PossibleZeroQ::ztest1时:无法确定数字-(\[Pi]/2)-2 I(Log[1-I(1+Times[<<2>>])]-Log[1+I Plus[<2>]])是否等于零。假设是这样的。>>

输出[20]=(平方[2]\[Pi])/3

丹尼尔·利奇布劳沃尔夫勒姆研究公司

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Jens Kruse Andersen在[OEIS’sA099009型][1] 注意到Kaprekar的固定映射点(也称为Kaprekar's例程的内核)中有3个数字家族:

“让$d(n)$表示数字$d$的$n$重复。对于所有$n\ge0$,序列包括以下内容:$5(n)499(n)4(n)5,63(n)176(n)4,8643(n)1976(n)532$。”

Jens Kruse Andersen发表的评论还缺少一系列术语(以一个或多个数字“$9$”开头,以数字“$1$”结尾):97508421、9753086421、9975084201、975330866421、999750842001。

这个家族可以被概括(使用与安徒生评论中相同的方法),实际上Syed Iddi Hasan在[A214559型][2]:9美元(x_1+1)//8(x_2)//7(x_3+1)//6 1美元其中符号//表示定义中数字的串联,$d(x)$表示$d$、$x\ge0$的$x$重复。

注:在他的OEIS维基页面赛义德·伊迪·哈桑(Syed Iddi Hasan)中写道:“我将其缩小为四个参数。我将数字从最大到最小、从最小到最大排序,通过比较,我能够找到相互依存的数字对。然而,这四个参数似乎彼此独立。”阿尔索A214557型A214558型(均由Syed Iddi Hasan编写)是与安徒生8643(n)1976(n)532相关的两个变体——我认为,为了识别Kaprekar映射不动点的独特族,应该以某种方式将这两个变体结合起来。

有人能最终确定Kaprekar的固定映射点不同族的分类,并证明Kaprekal的每个固定映射点仅属于上述族之一吗?


[1]:https://oeis.org/A099009[2]:https://oeis.org/A214559

我还导出了以下3个基于极限的恒等式:

请注意((总和(1/i^k,i=1…n))/(总和(i^k、i=1..n))=和声数[n,k]/和声数[n,-k]=H_n^(k)/H_n^(-k)

2 = lim(总和(1/i,i=1…n)/总和(i,i=1…n))*(n)*(n+1)/(ln(n)),n->无穷大

的输入https://www.allmath.com/limit-calculator.php(总和(1/i,i=1…x)/总和(i,i=1…x))*(x)*(x+1)/(ln(x))

Pi^2=lim((总和(1/i^2,i=1…n))/(总和(i^2、i=1..n))*((n)*(n+1)*(2*n+1)),n->无穷大

的输入https://www.allmath.com/limit-calculator.php((总和(1/i^2,i=1…x))/(总和(i^2、i=1..x))*(x)*(x+1)*(2*x+1))

4*泽塔[3]=lim((总和(1/i^3,i=1…n))/(总和(i^3、i=1..n))*((n^2)*(n+1)^2)),n->无穷大

的输入https://www.allmath.com/limit-calculator.php((总和(1/i^3,i=1…x))/(总和(i^3、i=1..x))*((x^2)*(x+1)^2))

我发现接近整数:

10*tanh(28*Pi/15)-Pi^9/Exp(1)^8=0.000000006004521。。。

(请参见http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html)