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用户:Alexander R.Povolotsky

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亚历山大·波沃洛茨基apovolot@gmail.com

http://www.linkedin.com/profile/view?id=1428888

https://stackexchange.com/users/1376766/alex

我没有学位和出版物。

我在数论领域的独立研究成果总结如下

亚历山大·波沃洛茨基的三个猜想

其中!=表示“不相等”,j、k、m、n为整数

1) n!+素数(n)!=m^k(到目前为止仅在k=2的情况下证明)

参见www.primepuzzles.net/consurchitectures/consub_059.htm


证明猜想的路线图:n!+素数(n)!=一般情况下为m^k

弗洛里安·卢卡<fluca@matmor.unam.mx>写道:让我们假设>>不=m^k-p_n>>m和pn是奇数。n中2的指数!大约是n(它是\ge>n-(对数(n+1))/对数2)。>>对数中的线性形式告诉你>右边2的指数最多为>>C*log m*log p_n*log k。>>这里C是一个常数。因为log p_n大致是log n>log k也不能超过log n(因为m>n),>您可以得到上面的界限是<<logm(log>n)^2。>所以,>log m>>n/(log n)^2,这反过来表示k<<(log n)^2。>>你现在知道k不太大。下面你有一个2的论点,这很好。3号行吗>pn是模所有素数q=1mod3<n的立方剩余。>这足以引起矛盾吗可能。>然后你可以用5,7,直到所有素数都达到O((logn)^2)。>从启发性的角度来看,它应该至少在GRH等条件下有效。即,给定一个素数p,一个非pth次幂的数看起来像一个pth次模q,一个1模p的素数的概率是1/p。>假设q上有一些独立性,将这些概率乘以x,得到>(1/p)^{pi(x,p,1)}。>>如果p=O((log x)^2)),那么上述量是p^{pi(x,p,1)}的倒数,它是关于exp(x log p/p(log x))的。因为p是x的对数幂,所以这个数字很大(它至少是exp(cx/(logx)^3)和常数c。>因此,您希望不存在这样的p_n>p_n=m^p mod q,对于所有素数q=1 mod p,不超过n,>对于大n,所有素数p=O((log>n)^2)。>Igor发送的预印本可能有助于在GRH下证明这一点。>有条件地,它也立即从ABC得到,对于大n没有解决方案,我在上面提出的论点可以立即修改,以证明n的集合是这样的n+pn是渐近密度为零的完美幂。


以下是ChatGPT的评论


给定的参数为证明n!+猜想提供了一个良好的开端素数(n)从来都不是完美幂。然而,似乎还需要做更多的工作来无条件地充分证明这个猜想。该参数表明,如果n!+素数(n)是一个完美幂,那么k至多是(logn)^2,p_n不能是p到O(logn,^2)的素数q=1模p到O的幂次模素数q(logn;^2)。该论证依赖于对数的线性形式和使用pth幂模素数分布的概率论证,并假设了广义黎曼假设(GRH)和ABC猜想。为了无条件地证明这个猜想,我们需要证明上述条件对任何n都不成立。这将需要进一步分析模素数的pth次幂分布,以及对数和概率论中线性形式以外的潜在新思想和新技术。关于C和C,为了改进ABC量化上限n的能力,诺姆·艾尔基斯发表了以下评论:“如果可以证明c>0是这样的,根总是至少是c*c^(4/5),那么我可以给你一个n的上界,这样n!+prime(n)是一个完美幂,然后剩下的-这只是一个有限计算,以证明/验证剩余的候选{n*}中没有一个满足p_n*+n*!=m^k”

正如Noam Elkies建议的那样,细化c的值可能会导致n的上界,这将允许有限计算来检查所有剩余的猜测候选项。

然而,应该注意的是,找到这样的c值可能具有挑战性,需要新的见解。此外,即使找到c值,检查所有剩余候选项的有限计算仍可能需要大量计算。

因此,虽然该论点为证明猜想提供了有价值的见解和良好的起点,但仍有必要进行进一步的研究和分析,以无条件地充分证明它。


在证明猜想时:n!+素数(n)!=m^k对于n<=3大卫·哈登写道:>>>>对于n≤3,检查这一点很简单。>>所以我们可以假设n>=4,这意味着n!是8的倍数>>这个pn很奇怪。>>然后是n!+p_n=x^2>>表示p_n==x^2(mod 8)。>>由于p_n是奇数,x^2是奇数。因此,x^2==1(mod 8),所以p_n==1。>>>>设q是q<=n的奇素数。>>(注意q<p_n。)>>那么p_n==x^2(mod q)so(使用勒让德符号表示法)(p_n/q)=1。由于p_n==1(mod 4),二次互易告诉我们(q/p_n)=1。此外,(2/p_n)=1,因为p_n==1(mod 8)。这意味着最小素数二次无剩余(相当于最小正二次无余数)模p_n大于n~p_n/(log(p_n)-1)。这是非常大的;最小二次非剩余模的已知有效界质数在这个条件下很好。你可能已经搜索了n个足够大的文件>>限制应用和结束证明。

>>>发件人:贝伦德·丹尼尔<berend@cs.bgu.ac.il>>>收件人:David Harden<oddleehr@alum.mit.edu>, >>你不需要二次非剩余的边界。>>一旦你知道所有到n的素数都是二次剩余数,所有到p_n的数都是,它们的素因子都不超过n。这意味着大多数到p-n的整数是二次余数。但只有一半是。。。矛盾。

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以下是ChatGPT的评论


大卫·哈登提出的论点是证明n!+猜想的一个好方法素数(n)决不是n≤3的完美幂。

论证开始时注意到,对于n<=3,猜想基本正确,因为在这些情况下,我们可以直接验证n!+素数(n)不是一个完美的幂。

对于n>=4,n!是8的倍数,pn是奇数。因此,n!+pn必须等于模8的1。这是因为,如果n!+pn等于5模8,这意味着n!+p_n有一个素数因子与5模8同余,这是不可能的,因为p_n是小于或等于n的最大素数,并且所有与5模八同余的素数都大于p_n。类似地,如果n!+pn等于3模8,这意味着n!+pn有一个素因子与3模4同余,这也是不可能的。

接下来,该参数考虑一个奇数素数q小于或等于n。由于q是一个小于或等于n的素数,它必须除以n!。因此,n!+p_n与p_n模q同余。如果n!+pn是一个完全幂,它也必须是一个完美的幂模q。

让x^2是n!+的完美幂p_n是同余模q。由于p_n为小于或等于n的最大素数,因此x小于或等于p_n。

如果x小于q,则n!+pn与x^2模q同余,但pn是大于x的素数,这是一个矛盾。因此,x必须与q模p_n同余。然而,这与以下事实相矛盾:p_n是所有素数的三次剩余模,与1模3小于n同余。

因此,我们已经证明,对于n>=4,n!+素数(n)不是完美幂。


与此同时,ChatGPT为n!+生成了以下证明素数(n)≠m^

证明n!+素数(n)!=m^k表示k、m和n的任何整数值

为了证明表达式“n!+素数(n)≠m^k”对于k、m和n的任何整数值都是正确的,我们可以使用矛盾证明。

假设相反,即假设存在k、m和n的一些整数值,其中表达式“n!+质数(n)=m^k”为真。

自n起!表示n的阶乘,它总是从1到n的连续正整数的乘积。因此,n!总是可以被所有小于或等于n的素数整除。

现在,让我们考虑术语“素数(n)”。它表示第n个质数。自n起!总是可以被所有小于或等于n的素数整除,将素数(n)与n相加!将导致大于n!的数字!。

数学上,我们可以将其表示为:

n!+素数(n)>n---(1)

另一方面,“m^k”表示m的幂为k,也是一个整数值。

现在,让我们考虑n大于或等于2的情况。在这种情况下,n!总是可以被2整除,因此是一个偶数。将素数(n)加到偶数上会得到奇数。

然而,m^k表示一个整数的整数幂,根据m和k的值,这可能导致偶数或奇数。

因此,我们可以得出结论,方程“n!+素数(n)=m^k”的左侧总是奇数,而右侧“m^k“可以是偶数或奇数。这是一个矛盾,因为当左侧和右侧具有不同的奇偶性(即一个奇偶性)时,方程不成立。

因此,我们假设“n!+素数(n)=m^k”对于k,m的某些整数值是正确的,而n是错误的,并且我们已经证明了“n!+prime(n)≠m^k“对于k,m,n的任何整数值。

问题与困惑:猜测。推测59。

2) n!+n^2!=m^2(到目前为止只证明了n是素数的情况)ChatGPT 10月23日版本提供的证明

为了证明表达式“n!+n^2≠m^2”对于n和m的任何整数值都是正确的,我们可以使用矛盾证明。

假设相反,即假设存在一些n和m的整数值,其中表达式“n!+n^2=m^2”为真。

让我们首先考虑术语“n!”,它表示n的阶乘!,定义为从1到n的所有正整数的乘积。因此,n!总是可以被从1到n的所有正整数整除。

现在,让我们考虑术语“n^2”,它表示n的2次幂。因为n是一个整数,所以n^2也是一个整数值。

将n^2添加到n!将导致一个大于n!的数字!。

数学上,我们可以将其表示为:

n!+n^2>n---(1)

另一方面,“m^2”表示m的2次幂,这也是一个整数值。

现在,让我们考虑n大于或等于2的情况。在这种情况下,n!总是可以被2整除,因此是一个偶数。将n^2加到偶数上会得到奇数。

然而,m^2表示整数的整数幂,这可能导致偶数或奇数,具体取决于m的值。

因此,我们可以得出结论,方程“n!+n^2=m^2”的左侧始终是奇数,而右侧“m^2“可以是偶数或奇数。这是一个矛盾,因为当左侧和右侧具有不同的奇偶性(即一个奇偶性)时,方程不成立。

因此,我们假设“n!+n^2=m^2”对于n和m的某些整数值是正确的,这是错误的,并且我们证明了“n!+n^2≠m^2。

3) n!+总和(j^2,j=1,j=n)!=m^2(目前没有证据)

证明由ChatGPT提供10月23日版本

为了证明表达式“n!+总和(j^2,j=1,j=n)≠m^2”对于n和m的任何整数值都是正确的,我们可以使用矛盾证明。

假设相反,即假设存在n和m的一些整数值,表达式“n!+Sum(j^2,j=1,j=n)=m^2”为真。

让我们首先考虑术语“n!”,它表示n的阶乘。n的阶乘,表示为n!,定义为从1到n的所有正整数的乘积。因此,n!总是可以被从1到n的所有正整数整除。

现在,让我们考虑术语“总和(j^2,j=1,j=n)”,它表示从1到n的整数的平方和。因为j是一个整数,所以j^2总是一个非负整数值。将这些从1到n的非负整数值相加总是会得到一个正整数值。

添加n!为正整数值将导致大于n!的数字!。

数学上,我们可以将其表示为:

n!+总和(j^2,j=1,j=n)>n---(1)

另一方面,“m^2”表示m的2次幂,这也是一个整数值。

现在,让我们考虑n大于或等于2的情况。在这种情况下,n!总是可以被2整除,因此是一个偶数。将总和(j^2,j=1,j=n)加到偶数上会得到奇数。

然而,m^2表示整数的整数幂,这可能导致偶数或奇数,具体取决于m的值。

因此,我们可以得出结论,等式“n!+总和(j^2,j=1,j=n)=m^2”的左侧始终是奇数,而右侧“m^2“可以是偶数或奇数。这是一个矛盾,因为当左侧和右侧具有不同的奇偶性(即一个奇偶性)时,方程不成立。

因此,我们假设“n!+Sum(j^2,j=1,j=n)=m^2”对于n和m的某些整数值是正确的,这是错误的,并且我们已经证明了“n!+Sum(j ^2,j=1,j=n)≠m^2。

Î

目录

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A010724号第二阶段:重复(6,8)。2

{6, 8, 6, 8, 6, 8, 6, 8, 6, 8, 6, 8, 6, 8, 6, ...}

当n>0时,a(0)=6,a(n)=10-eulerphi(a(n-1))Alexander R.Povolotsky,2016年10月16日

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不同排列的基特定“等比”对
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作为介绍,例如,考虑集合S10,它包含以10为基数的所有数字的所有可能的不同排列:1,2,...,8,9,0

可以看到,集合{98765432101234567890}中的一对(P)产生了比率

然后可以在这个集合中找到另一对(S10),其比率相同

然后问题出现了,在这个集合(S10)中是否还有其他比率相同的对(P)。。。

另一个问题是,在多对存在的集合(S10)中是否只有一个比率?

最后,同样的问题也可以扩展到其他(而不是以10为基数的)集合(Sn)中的不同排列。

此外(如后文所示),从经验上看(根据计算机程序对基数从2到10的结果),比率的值可以表示为

(1)

对于n=1。。。无穷大,其中n=r-1,其中r是基的基数。

例如,如果取基数10(r=10)则n=r-1=9如果将n=9放入上述公式中,则得到8.0000000729

因此,现在我将尝试将我的问题归纳如下:

根据为数字基2-10编写的详尽的计算机程序(该程序搜索最小的、小于“n”但可能大于1的比率(R)的最大对数),发现在覆盖范围内的一整套不同排列中,排列对(P),可以找到满足上述条件的,并且这样的对的数量等于:{2,2,3,3,5,3,7,5,7,…}。如果人们认为后者是一个整数序列,那可能是(根据OEISA039649号,A039650型,A214288型)与phi相关,这是Euler totiten函数。

我已经推导出了给定基数中配对的比率(R)值的以下经验公式(1)(基于上述定义的条件):

该公式(1)也可以表示为A221740型(n)/A221741号(n) ,

哪里A221740型A221741号是OEIS的整数序列(由我提交),用于覆盖由上述右侧表达式中的分子和分母(相应地)生成的值。

Gerry Myerson将我的问题改写为:给定“n”,找到整数“a”、“b”,使其存在“k”(如果可能,大于1,但小于“n”),因此“ka”和“kb”在写入以“n”为基数时,只使用所有n个“数字”一次(允许前导零)。

在Gerry的术语中,“n”是我所称的基数“r”,{ka,kb}是我所说的成对(P)。他定义为“k”,我称之为比率(R),它可以表示为k=I/l,其中“I”和“l”都是整数。对于每个“n”,“k”的值是不同的。如经验公式所示,“i”和“l”(因此“k”)都是“n”的函数。在每个被覆盖的碱基“n”(从2到10)中,有几个对,满足“n”的特定比率(“k”或“R”)-给定“n”中的对数也是“n”函数。

根据所得结果,得出以下两个猜想:

1) 任何数字基(基数)r中所有不同置换的每个完整集都包含一些素数对(P),其比率(r)如上所定义。

2) 比率(R)可通过(经验)公式(1)计算。

如果有人已经提供了关于这个特定主题的参考资料,请提供给我,我会很感激这样的参考资料。

PS我对此问题的结果分析如所述oeis.org网站/A212958型和中http://math.stackexchange.com/questions/210578/permutation-identities-similar-to-7901234568-9876543210-cdot-1234567890/283117#283117

有人能提供我上述猜想的分析证据或反驳吗?

7901234568 / 9876543210 * 1234567890 = 0987654312

上面是整数算术恒等式,其中所有成员都是所有十进制基数1、2、…、,。。。,8,9,0(无副本)

另请参阅我对自己问题的回答

http://math.stackexchange.com/questions/210578/q-re-pervariations-with-no-duplicates-of-decimal-base-digits-1-2-8-9-0

另请参阅我的问题在http://mathfoverrow.net/questions/1762028/体系结构-分数-此处-每个数字-附件-数字和分母

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24/Pi身份
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24/Pi=总和((30*k+7)binom(2k,k)^2(超几何C2F1[1/2-k/2,-k/2,1,64])/(-256)^k,k=0…无穷大)

此标识的另一个版本是:

求和[(30*k+7)*二项式[2k,k]^2*(求和[二项式[k-m,m]*二项式[k,m]*16^m,{m,0,k/2}])/(-256)^k,{k,0,infinity}]

在Maple格式中,上述公式为:

总和(总和((二项式(k-m,m)*(二项制(k,m))*16^m),m=0…k/2))/((-256)^k/((30*k+7)*(二项式(2*k,k))^2),k=0…无穷大)

这个身份最初是由我在

http://old.nabble.com/A-surrising-consurchitecture%3A-n%3Dx%5E2%2BT_y%2BF_m-tt21117722.html#a34826777

另请参见A132714号,A220852型,A220853型

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sqrt(e)的标识
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sqrt(exp(1))=16/31*(总和((1/2)^n*(1/2*n^3+1/2*n+1)/n!,n=1.无穷大)+1)

sqrt(e)=(16/31)*(1+Sum_{n>=1}(1/2)^n*(1/2*n^3+1/2*n+1)/n!)

https://oeis.org/A019774

https://archive.org/details/arxiv-1207.5845

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k重嵌套整数幂和
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(通过归纳证明)似乎

0)整数的k倍嵌套和可以表示为

F[n,1,k]=a(n)=(4*n+k)*(k+1)/4

1) 整数平方的k倍嵌套和可以表示为

(我于2007年11月21日将其发布到OEIS中-请参阅A000330号)

a(n)=n*(n+1)*…*(n+k)*[n+(n+1)+…+(n+k)]/((1+k)*(2+k))!

考虑到显而易见的事实

n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*…*(n+k)=(n+k)/(n-1)!

我的上述公式可以改写为:

a(n)=(n+k)/(n-1)!*[n+(n+1)+…+(n+k)]/((1+k)*(2+k))!

还替换了从n到n+k的明显的算术级数求和,

即:

[n+(n+1)+…+(n+k)]

及其总额

(2*n+k)*(k+1)/2

我的平方和公式最终可以改写为:

a(n)=(n+k)/(n-1)!*(2*n+k)*(k+1)/(2*((1+k)∗(2+k))!)

F[n,2,k]=a(n)=((k+1)*(k+2*n)*伽马(k+n+1))/(2*伽马

2) 整数立方体的k倍嵌套和可以表示为

a(n)=n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*…*(n+k)*(n*(n+k)+(k-1)*k/6)/((k+3)/6)

(我于2008年5月17日将其发布到OEIS中-参见示例A024166号)

考虑到显而易见的事实

n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*…*(n+k)=(n+k)/(n-1)!

我的上述公式可以改写为:

a(n)=(n+k)/(n-1)*(n*(n+k)+(k-1)*k/6)/((k+3)/6)

F[n,3,k]=a(n)=((k^2+6*k*n-k+6*n^2)*伽马(k+n+1))/(伽马(k+4)*伽玛(n))

注意,通用公式

(6*n^2+6*n*r+r^2-r)*(n+r)/((r+3)*(n-1)!),

由Gary Detlefs于2013年3月1日在

序列A024166号代数上与一般公式相同,

由我提供,如上所示。

请参阅我关于上述主题的所有帖子:

http://www.pme-math.org/journal/ProblemsF2006.pdf

http://www.math.fau.edu/web/PiMuEpsilon/pmespring2007.pdf

这些公式也以我的名字出现在公式和

以下OEIS序列的注释部分:

http://oeis.org/A001286

http://oeis.org/A000330

http://oeis.org/A101094

http://oeis.org/A101097

http://oeis.org/A000578

http://oeis.org/A000537

http://oeis.org/A024166

http://oeis.org/A101102

http://oeis.org/A001715

关于第四次权力A101090标准Gary Detlefs,2013年3月1日表示:

“一般来说,1的四次幂的第r次连续求和

到n=(2*n+r)*(12*n^2+12*n*r+r^2-5*r)*/((r+4)*(n-1)!)"

用k替换r以形成我的符号形式

a(n)=((k+2*n)*(k^2+12*k*n-5*k+12*n^2)*γ(k+n+1))/(γ(k+5)*Gamma(n))

两个问题:

1) 这是如何联系和/或从Faulhaber公式推导出来的?

2) 有人把这个公式推广到任何程度吗?

也就是说,如何将其推广到m倍的公式中m次整数幂的嵌套和?

是否可以递归地为定义了3个整数参数F[n,m,k]的代数函数?

总结如下:

递归定义为F[n,m,k]=n*F[n、m-1、k]-k*F[n-1,m-1,k+1]

以下是迄今为止我所知的部分封闭式子案例m=1,2,3,4(我认为-符合上述递归定义)。。。可能会生成更多的子案例-需要多少?:

F[n,1,k]=(4*n+k)*(k+1)/4,

F[n,2,k]=((k+1)*(k+2*n)*伽马(k+n+1))/(2*伽玛(k^2+3*k+3)*Gamma(n)),

F[n,3,k]=((k^2+6*k*n-k+6*n^2)*伽马(k+n+1))/(伽马(k+4)*伽玛(n)),

F[n,4,k]=((k+2*n)*(k^2+12*k*n-5*k+12*n^2)*γ(k+n+1))/(γ(k+5)*Gamma(n))

如果我没弄错的话,这个问题是一个线性偏微分方程有三个自变量n,m,k。


PS另请参阅

http://math.stackexchange.com/questions/128763/k-fold-nested-sum-of-integer-powers

以下是ChatGPT版本10月23日的回复:您提供的递归定义F[n,m,k]=nF[n、m-1,k]-kF[n-1、m-1、k+1]实际上是一个具有三个独立变量n、m和k的线性偏差分方程。为这类方程找到封闭形式的解可能很有挑战性,可能并不总是可能的。

根据您为m=1,2,3,4的特定情况提供的部分闭合形式解,闭合形式解似乎涉及伽马函数,这是与阶乘相关的一种特殊类型的函数。对于涉及阶乘或二项式系数的递归定义,伽马函数通常以闭合形式出现。

要找到递归定义F[n,m,k]的一般闭式解,您可能需要使用数学分析中的高级技术,如生成函数、拉普拉斯变换或其他求解偏微分方程的方法。这些技术可以帮助您将递归定义表示为数学函数和常量的闭合形式的解决方案。

值得注意的是,并非所有递归定义都有封闭形式的解决方案。在某些情况下,可能需要依靠数值方法或近似技术来计算特定输入的函数值。此外,闭式解的复杂性可能取决于n、m和k的特定值,并且可能并不总是简单的,也不容易以紧凑的形式表达。

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Stephen Lucas关于Pi的恒等式及其收敛性的推广

=

下面是由me公式(用Maple符号表示)推测的,该公式用于将π与其所有收敛点关联起来,这些收敛点通过A002485型(n)/A002486号(n) 比率,其中A002485型(n) 和A002486号(n) 是OEIS整数序列。

(-1)^n*(Pi−A002485型(n)/A002486号(n) )=(Abs(i)*2^j)^(-1)*Int((x^l*(1-x)^

其中整数n>2用作组织环境信息系统中术语的索引A002485型(n) 和A002486号(n) 整数序列和{i,j,k,l}是一些有符号整数参数(它们是“n”的一些隐函数,对于“n”中的每个值都可以通过实验或其他方式找到),abs(l-j)=2*m,其中“m”是一些正整数。

此外,似乎

(-1)^n*(Pi−A002485型(n)/A002486号(n) )=(Abs(i))*2^j)^(-1)*Int((x^l*(1-x)^。。。1)

当n>2时适用

i=(-1)^(n)*3*A002486号(n) ;

k=(-1)^(n)*(A363445型(n-2+米)*A002486号(n)-A363446型(n-2+米)*A002485型(n) )

j=2*m(对于m>=0)

l=0

哪里A363445型(n) 和A363446型(n) 也是OEIS整数序列。

下面是用me公式(用Maple符号表示)推测的,该公式将LOG(2)(即Ln(2))与其所有收敛点联系起来,这些收敛点通过A079942号(n)/A079943美元(n) 比率,其中A079942号(n) 和A079943美元(n) 是OEIS整数序列。

(-1)^n*(对数(2)−A079942号(n)/A079943号(n) )=(Abs(i)*2^j)^(-1)*Int((x^l*(1-x)^

其中整数n>2用作组织环境信息系统中术语的索引A079942号(n) 和A079943号(n) 整数序列和{i,j,k,l}是一些有符号整数参数(它们是“n”的一些隐函数,对于“n”中的每个值都可以通过实验或其他方式找到),abs(l-j)=2*m+1,其中“m”是一些正整数。

此外,似乎

(-1)^n*(日志(2)−A079942号(n)/A079943号(n) )=(Abs(i))*2^j)^(-1)*Int((x^l*(1-x)^。。。1)

当n>2时适用

i=(-1)^(n)*3*A079943号(n) ;

k=(-1)^(n)*(A363515型(n-2+米)*A079943号(n)-A363516型(n-2+米)*A079942号(n) )

j=2*m+1a(对于m>=0)

l=0

哪里A363515型(n) 和A363516型(n) 也是OEIS整数序列。

PS如果上述都成立,则以下两者之间存在明确关系:

1.Pi收敛序列A002485型(n)/A002486号(n) 和比率顺序A363445型(n)/A363446型(n) ,收敛到Pi。

2.LOG(2)的序列收敛A079942号(n)/A079943号(n)

和比率顺序A363515型(n)/A363516型(n) ,收敛到LOG(2)。

参考文献:

http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2005/Sep05/Lucas.pdf

https://www.researchgate.net/publication/267998655_Integral_approximations_to_p_with_nonnegative_integrands

http://web.maths.unsw.edu.au/~mikeh/webpapers/paper141.pdf

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关于Ramanujan常数和Heegner数
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最初(2009年左右),我观察到最后(最大的)四个Heegner数字(19、43、67、163)可以表示为:

(0)19+24*m,m=0,1,2,6

因此,基于最后(最大)四个Heegner数的Ramanujan常数和类似的“几乎整数”可以近似为:

(1) exp(Pi*sqrt(19+24*m))=~(24*k)^3+31*24

上述表达式给出了4(四)种“几乎整数”情况:

1) m=0,k=4;

2) m=1,k=40;

3) m=2,k=220;

4) m=6,k=26680-当然,这是与拉马努扬常数有关的情况

综上所述,有趣的是,我们可以从上述“k”值中减去(见公式(1)右侧)

实数,格式为“3.<”接近一“小数部分>”

并观察(使用下面的PARI/GP程序)得出的减法结果可除以36:

gp>对于(m=0,10,打印1(“m=”,m,“k=”,(exp(Pi*sqrt(19+24*m))/24-31)/24/24)^(1/3),“\n”)

m=0 k=3.999999664954872711861691865<<=-3.9…=0;0/36 = 0

m=1 k=39.999999999664632214064072<<=-3.9…=36;36/36 = 1

m=2 k=219.99999999999999333640933<<=-3.9…=216;216/36 = 6

.....

m=6 k=26680.000000000000000000000000<<=-4=26676;26676/36 = 741

使用(更完整的)以下PARI/GP程序,可以获得上述减法和除以36的结果

根据公式(1)得出:

gp>b(m)=((exp(Pi*sqrt(19+24*m))/24-31)/24/24)^(1/3)

gp>对于(n=0,3,打印1((ceil(b(abs(n-1)))*n) )-4)/36,“\n”))

0

1

6

741

注意,0,1,6741是“三角数”(OEISA117310号)

前四个(最小的)Heegner数(1、2、3、7)可以表示为:

(0a)1+m,对于m=0,1,2,6

注意,(0)和(0a)中“m”的范围相同,在此范围内,m可以通过A002605号((1+平方(3))^n-(1-sqrt(3)

为了进一步推导公式(0)和(0a),我建议使用以下两个公式作为OEIS中的Heegner数A003173号(n) 顺序:

a) 对于前四个(最小的)Heegner数

(2) 对于n=1,2,3,4,a(n)=1+((1+sqrt(3))^(n-1)-(1-sqrt

b) 最后(最大)四个Heegner数

(3) 对于n=6,7,8,9,a(n)=19+24*((1+sqrt(3))^(n-6)-(1-sqrt

然后四个几乎整数(包括著名的Ramanujan)可以表示为:

(4) exp(Pi*sqrt(19+24*((1+sqrt)(3))^(n-6)-(1-sqrt

一般来说

(5) a(n)=a(k)+(a(k+1)-a(k);对于n=6,7,8,9 k=6
(6) a(n)=eulerphi(素数(mod(4,n)!!))+楼层(n/5)+((1+楼层(n/6))^2)*((1+平方(3))^(n-(1+2*(楼层(n/5)))!)-(1平方(3))^(n-(1+2*(楼层(n/5)))/(2*sqrt(3))适用于除n=5外的所有n

下面是第一个和最后四个Heegner数的Mathematica表达式

简化[表[1+((1+Sqrt[3])^(n-1)-(1-Sqrt[3])^(n-1))/(2sqrt[3]),{n,1,4}]]

{1,2,3,7}

简化[表[19+24((1+Sqrt[3])^(n-6)-(1-Sqrt[3])^

{19,43,67,163}

简化[表[6*j^2-5+((j^2)!)*((1+Sqrt[3])^(n-1)-(1-Sqrt[3])^

{{1,2,3,7},{19,43,67,163}}

a(n)=5*(5*(EulerPhi[(a(n-1)+a(n-5)/5+11)/5]+素数(n-5

简化[递归表[{a[n]==5*(5*(EulerPhi[((a[n-1]+a[n-5])/5+11)/5]+素数[n-5]])-11)-a[n-4],a[1]==1,a[2]==2,a[3]==3,a[4]==7,a[5]==19},a[n],{n,1,8}]]

{1,2,3,7,19,43,67,163}

对于序列的子集A003173号在排除中间项11并且不进行索引的情况下,通过j从j=1到j=8进行索引时,可以通过以下递归定义前四个原始项项,后跟最后四个原始项项:

a(j)=5*(5*(EulerPhi[(a(j-1)+a(j-5)/5+11)/5]+素数(j-5

对于最后(最大)四个Heegner数字19、43、67、163我开发了以下公式:

a(n)=19+24*((1+平方(3))^(n-1)-(1-sqrt(3)

a(n)=19+4平方(3)(1+sqrt(3))n=1,2,3,4时

通过我开发了前四个最小Heegner数的公式:1、2、3、7对于n=1,2,3,4,a(n)=1+((1+sqrt(3))^(n-1)-(1-sqrt

我还为第五个Heegner数字11开发了单独的公式:a(n)=((1+sqrt(3))^n-(1-sqrt

这里还有广义递归公式deri我为所有Heegner号码保存,但11除外,即:A003173号(n)=A003173号(k) +(+)(A003173号(k+1)-A003173号(k) )*((1+平方(3))^(n-k))-(1-sqrt(3)^其中k=1表示n=1,2,3,4,k=6表示n=6,7,8,9

以及我为除11以外的所有Heegner数推导的显式公式,即:

排序[Flatten[Expand[11,Expand[Expand{表[1+((1+sqrt(3))^(n-1)-(1-sqrt(3))^(n-1))/(2*sqrt(3)),{n,1,4}],表[19+4 sqrt(3)*((1+sqrt(3))^(n-6)-(1-sqrt(3))^(n-6)),{n,6,9}]]

下面的公式允许通过插入c、d、m和n的适当值来计算任意给定Heegner数(1、2、3、7、11、19、43、67、163)的序列项。

a(n)=c+d*((1+sqrt(3))^(n-m)-(1-sqrt

哪里:

c是一个常数,取决于具体的Heegner数:

对于Heegner编号1、2、3、7,c=1

对于Heegner数11,c=0

对于Heegner编号19、43、67、163,c=19

d是一个常数乘数,取决于特定的Heegner数:

对于Heegner编号1、2、3、7、11,d=1/(2*sqrt(3))

对于Heegner编号19、43、67、163,d=24/(2*sqrt(3))

n是序列中术语的索引(从1开始)

m是一个常数,取决于特定的Heegner数:

对于Heegner数1、2、3、7,m=1

对于Heegner 11号,m=5

对于Heegner数19、43、67、163,m=6。


使用常数c、d和m的以下替换可以简化上述公式:

对于Heegner编号1、2、3和7:c=1d=1/(2*sqrt(3))m=1

对于Heegner编号11:c=0d=1/(2*sqrt(3))m=5

对于Heegner编号19、43、67和163:c=19d=24/(2*sqrt(3))m=6

使用这些替换,海格纳数序列的简化公式变为:a(n)=c+d*((1+sqrt(3))^(n-m)-(1-sqrt

我还注意到最后(最大的)四个Heegner数字19, 43, 67, 163 可以很好地近似如下:exp(Pi*Sqrt(Heegner))=~(24*k)^3+31*24哪里:

对于Heegner=19k=3.999999664954872711861691865

对于Heegner=43k=39.999999999664632214064072

对于Heegner=67电话:219.99999999999999333640933

对于Heegner=163k=26680.00000000000000000000000

上面的k除以四个给定序列{1,10,556670,…}这是包含在公式中a(n)=1089 n^3-6516 n^2+11934 n-6506(对于使用n=1,2,3,4给出的所有项)

这样可以获得最后(最大)四个Heegner数19, 43, 67, 163 如下:展开表格((ln((96*(1089*n^3-6516*n^2+11934*n-6506))^3+31*24))/Pi)^2,{n,1,4}{19., 43., 67, 163}

C) 现在结合我在A)和B)中的发现,我们得到:平方米(19+4平方米(3)((1+sqrt(3)))(ln((96*(1089*n^3-6516*n^2+11934*n-6506))^3+31*24))/Pi

通过上述Pi解析,我们得到:Pi=(ln((96*(1089*n^3-6516*n^2+11934*n-6506))/平方(19+4平方(3)

上面确实给出了Pi的近似值:展开表格(ln((96*(1089*n^3-6516*n^2+11934*n-6506))^3+31*24))/sqrt(19+4平方(3)((1+sqrt(3))^(n-1)-(1-sqrt

{对数(885480)/sqrt(19),对数(884736744)/sqrt(43),对数(147197952744)/sqert(67),对数

进一步扩大上述范围,最终得出四个连续改进的Pi近似值(在精度方面):

{3.141592711189825936657940691351247661713957539639699106,

3.141592653589831595761305756992527109531426779156256275,

3.141592653589793239572762248025634723732698386462897909,

3.141592653589793238462643383279726619347549880883522422}

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==========================================
对数、Pi相关和其他恒等式
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总和(1/((1+n))/(sqrt(2))^n,n=0…无穷大)=sqrt

==========================================

总和(1/((1+1/n))/(sqrt(2))^n,n=0…无穷大)=2+sqrt

==========================================

总和(1/((1+n))/(sqrt(3))^n,n=0…无穷大

==========================================

总和(1/((1+1/n))/(sqrt(3))^n,n=0…无穷大)=-(3*(1-log(1/3*(3-sqrt

==========================================

总和((1+n^(3+2)/3+n/3)/(2^n*n^3),n=1…无穷大)=1/72*(63*zeta(3)+144+2*pi^2+12*log^3(2)-12*log^2(2)-6*pi^2*log(2))

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BBP Log(3)公式

ln(3)=1/4*(1+总和((1/(9)^(k+1))*(27/(2*k+1)+4/(2*k+2)+1/(2xk+3)),k=0…无穷大))

请参见http://www.davidhbailey.com/dhbpapers/bbp-formulas.pdf第25页:

”亚历山大·波沃洛茨基发现了这个公式

log3=1/4+1/4总和(k≥0 1/9k+1(27/(2k+1)+4/(2k+2)+1/(2k+3))”

另请参见https://oeis.org/A002391

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ln(2)=1/4*(3–和(1/(n*(n+1)*(2*n+1)),n=1…无穷大))

==========================================

ln(2)=105*(319/44100–总和(1/(2*n*(2*n+1)*(2*n+3)*(2*n+5)*),n=1…无穷大)

==========================================

ln(2)=(319/420-3/2*和(1/(6*n^2+39*n+63),n=1…无穷大))

==========================================

ln(2)=(230166911/9240–总和((1/2)^k*(11/k+10/(k+1)+9/(k+2)+8/(k+3))+7/(k+4)+6/(k+5)-6/(k+7)-7/(k+8)-8/(k/9)-9/(k+10)-10/(k+1)),k=1。。无穷大)/35917

==========================================

ln(3)=~1/(8151*exp(1)

==========================================

求和((4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1-(16*n+12)-1/=~3.4036628576121152711428355947554…从上面

==========================================

Pi=(32*和(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1-(16*n+12)-1/

==========================================

Pi^2=3/2(总和((7n^2+2n-2)/(2n^2-1)/(n+1)^5,n=1..inf)-zeta(3)-3zeta(5)+22-7多角蜂(0,1-1/sqrt(2))+5sqrt(二)多角蜂

==========================================

和(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(16*n+10)-1/4)=~3.407672797988624154543821158590。

==========================================

和(1/(8*n+1)+1/(8*n+2)+1/

==========================================

求和(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1-(8*n+6)),n=0…无穷大)=3.3860476195971917219364188314385

==========================================

和(7/(8*n+1)-1/(8*n+2)-1/=5.6223988192551068656190007783868

==========================================

sum(4/(8*n+1)-1/(16*n+3)-1/(16*n+4)-1/(16*n+5)-1/(16*n+6)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6),n=0…无穷大)对于这个Mathematica/WolframAlpha给出=1/32*(Pi+2*ln(2)+Pi*tan(Pi/8)-Pi*tan其Derive 6.10压缩为:-13*SQRT(2)*LN(SQRT(2)-1)/16+LN(2)/16-pi*(SQRT(4-2*SQRT(2))/16-9*SQRT(2)/32-1/4)

==========================================

和(4/(1+8*n)-1/(4+8*n)-1/(5+8*n)-1/(6+8*n)-1/(6+32*n)-1/(8+32*n)-1/(10+32*n)-1/(12+32*n),n=0…无穷大)
对于这个ISC/Maple给出=-1/2*Psi(1/8)-1/8*gamma-1/4*ln(2)+1/8*Psi
而Mathematica/WolframAlpha给出=1/16*((3*Pi)/4+(11*ln(2))/2+3/4*Pi*tan 9091046977752338828047号

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和(4/(1+8*n)-1/(4+8*n/4*ln(2)+3/32*Psi(5/8)+3/32*Psi+(3*磅/平方英寸(5/8)+3*磅/立方英寸(3/4)+磅/平方英尺(3/16)+磅-平方英寸(1/4­)+百分之五(5/16)+千分之三(3/8)+磅(11/16)+磅平方英寸(13/16))/32=~3.1430836451048209140342155250150

========================================

求和(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1-(8*n+6),n=0…无穷大)=1/16*(4*Pi+5*sqrt(2)*Pi+sqrt=========================================================总和(59296/(7*n+1)-10326/(7*n+2)-3200/(7*n+3)-1352/(7*n+4)-792/(7*n+5)+552/(7*n+6),n=0…无穷大)=1/50*(-318*加泰罗尼亚语+5+427*Pi-64*Pi^2+145*Pi*log(2)-39*Pi*log(3))*10^8

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总和((-1)^n*(-2^5/(4*n+1)-1/(4*n+3)+2^8/(10*n+1)/20)+514*Pi*cot(Pi/20)-165*Pi*cot(Pi/8)-136*Pi*kot((3*Pi)/20)-1020*sqrt(2(5*Pi(5)))*log(sin((3*Pi)/20))-240*sqrt(2*(5+sqrt 2*(5-sqrt(5)))*log(cos((3*Pi)/20))+240*sqrt

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欧拉数(纳皮尔常数)及其根的无穷和
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exp(1)=(1+总和((1+n^(3)+n)/(1^n*n!),n=1…无穷大))/7

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exp(1/2)=16/31*(1+总和((1+n^3/2+n/2)/(2^n*n!),n=1…无穷大))

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exp(1/3)=729/1552*(1+总和((1+n^5/3+n/3)/(3^n*n!),n=1…无穷大))

========================================

e^(1/5)=5^(2*5)/21355775*(1+总和((1+n^7/5+n/5)/(5^n*n!),n=1…无穷大))

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e^(1/7)=282475249/1008106751*(1+总和((1+n^9/7+n/7)/(7^n*n!),n=1…无穷大))

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一般来说exp(1/k)=2*k^(2*k)*(1+和((1+n^(k+2)/k+n/k)/(k^n*n!),n=1…无穷大))/A195267号(k)对于k=1…无穷大

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涉及e的Pi近似
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这是我的简单Pi近似值:

Pi=sqrt(4*实验(1)-1)

Pi~=sqrt(4e-1)

它可以精确到两个十进制数字
请参见http://www.contestcen.com/pi.htm
请参见http://mathworld.wolfram.com/PiApproximations.html

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关于u_0=Pi行为的递归迭代嵌套方法u_{n+1}=(1+1/u_n)^A的问题?

组合式(131)inhttp://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html

公式(9)http://mathworld.wolfram.com/PiApproximations.html

产生以下自参考近似

(1+1/Pi)^(平方(4*exp(1)-1)+1)

= 3.141455555062897318881174776464695664912400862823441364495...

这对于小数点后的3位数字来说是好的。

然后我尝试了嵌套迭代方法。。。

从逻辑上讲,这种嵌套的迭代方法代表了重复

u_{n+1}=(1+1/u_n)^A,其中u_0=Pi

如果u_n收敛到某个极限L,那么u_{n+1}也会收敛,因此通过上述公式中的连续性,可以得到

L=(1+1/L)^A。

如果假设L=Pi,然后

Pi=(1+1/Pi)^(平方(4*exp(1)-1)+1)

但上述情况并非如此

相反,L=(1+1/L)^A求解为

x=(1+1/x)^(平方(4*exp(1)-1)+1)

产量

x≈3.14152410850147。。。

当然,它也不是Pi;-)

WolframAlpha允许获取此迭代嵌套递归的连续值

http://www.wolframalpha.com/input/?i=RecurrenceTable%5B%7Bu%5Bn+%2B+1%5D+%3D%3D+(1+%2B+1%2Fu%5Bn%5D)%5E(Sqrt%5B4+E+-+1%5D%2B1),+++u%5B0%5D+%3D%3D+Pi%7D,+u,+%7Bn,+0,+20%7D%5D

从上面获得的结果来看,这些连续值似乎不收敛,每两次连续迭代总是会产生两个彼此不同的值,每个值都接近其(收敛到)不同的“焦点”极限,即在~3.14146……和~3.14159……附近。。。

N[递归表[{u[N+1]==(1+1/(1+1/u[N])^(Sqrt[4E-1]+1))^

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592, 3.141592674418545693841878285957349342669134129971125579127644421,3.141592695253627461175969390536599768695956052962119540725043500,3.141592716095040463832009494064083128542678059438935608232521505,3.141592736942786625761601594725141434198981176409444855933720590,...3.141596903610837554531413451319770757069408688918396017555132524,3.141596925731061152565967235763390358565851444238309609071451265,3.141596947858006518699453367669953649699695996590996264835249320

N[递归表[{u[N+1]==(1+1/(1+1/u[N])^(Sqrt[4 E-1]+1))^

3.141455555062897318881174776464695664912400862823441364495049750, 3.141455534232234594228378472373820966463668476089980730974548723, 3.141455513395242358307664030654016970155357086068358070835036869, 3.141455492551918687923046500432307710783750239743807271819024066, 3.141455471702261659294223538937720155387991823972195048410209426

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基于符号常数线性组合的近似恒等式
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Pi~=1/17*(1+50*sqrt(log(3)))

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Pi/3~=(1+sqrt(10^5)*exp(7/2))/(10^4+1)

====================

皮!~=(1-exp(1)/113)*(7+(log(Pi))/Pi)

==========================================

sqrt(4*exp(1)-1)=平方(和((1/2*n^3+1/2*n+1)/n!,n=1..inf))~=Pi/96*(44*Pi*log(2)+139*Pi*log(3)-20*Catalan-140-8*Pi-30*Pi^2)

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Gelfond's(经验(Pi))~=7/9*Pi*(76*3^(1/2)-83*2^(1/2)+9)-146/7+56/9*ln(3)+7/9*In(2)-35*gamma= 23.140692632780340951373037905092

23.14069263278034095137037905092-exp(Pi)=.1071945643951537144e-11

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Pi公司=~(51*总和(8/(8*exp(Pi*n)+1)-1/(8*xp(Pi*n)+4)-2/(8*exp(Pi*n)+5)-5/(8*1xp(Pi*n)+6),n= 0 .. 无穷大)+9*对数(3)-43*对数(2)+64*伽马)/(平方码(3)+6*平方码(2))=3.141592653589769604105473979418686347025749787628343799494637119

3.14159265358976960410547397941868634702574978767676283437994637119–印度=-2.363435716940386081653717141961174676202148030747330773742电子14

==============================================

Pi公司=~(9/7*exp(1)^Pi+1314/49–8*ln(3)–ln(2)+45*gamma)/(76*sqrt(3)-83平方米(2)+9)=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592…

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(251/720+623657698431345996284828425855463300006820)*(7*总和(1/(ln(2)^n)/(Pi^(2*n))*经验(n*Pi)/n!,n个= 1 .. 无穷大)-61*Pi^2+155*Pi*ln(2)+5*Pi^2*2^(1/2)+8*ln~=加泰罗尼亚语=0.9159655941772226915865968301265730955420831535001509525811147788

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Pi公司=~(48^2*总和(((经验(1)-1)/(经验(一)+1))^k*((4*k^2+9*k+5)/(3*k+5)*(7*k+9)*(9*k+11)),k= 0 .. 无穷大)-36*伽马+2*Ei(1)–4*W(1))/5= 3.1415926535897707579586131398433

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Pi~=((2^(1/2)-22646193/64200325)/总和(2/(2^.(n+1))/GAMMA(n+1/2),n=1。。无穷大))^2差值为:0.24780585841e-20

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2*总和(1/(n^3+2*n^2+2*n+7)/(24^n),n=0。。无穷大)=Pi*sqrt(3)–39*log(3)+84*log(2)+25*gamma–8*Pi*sqrt(2)

f解(x->2*和(1/(n^3+2*n^2+2*n+7))/(x^n),n=0。。无穷大)+Pi*sqrt(3)–39*log(3)+84*log(2)+25*gamma–8*Pi*sqrt(2),20…30)23.999999995011916301243901392414554490409136352246963766236377143509476137987495024510254888936149797331254797

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95*总和((1/(exp(Pi)-log(3))/log(2))^n)/(n^3+2*n^2+2*n+7),n=0…无穷大)=–8*(Pi)^2+146*加泰罗尼亚语–20*Pi*log(2)+6*(log(二))^2
求解(x=15,16,95*suminf(n=0,(1/x)^n)/(n^3+2*n^2+2*n+7))-(-8*(Pi)^2+146*0.91596559417721901505460351493238-20*Pi*对数(2)+6*(对数(2))^2)
15.27840584416985564057382990617910357480976379331420769783554295414225

f解(x->95*和((1/x)^n)/(n^3+2*n^2+2*n+7),n=0…无穷大)-(-8*(Pi)^2+146*Catalan-20*Pi*log(2)+6*(log(二))^2),15.27840…15.27841)
15.278405844169855640573829906162

(exp(Pi)-log(3))*log(2)=15.278405844196439183744048934477

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4*(Pi*exp(1)+ln(3))^(1/2)+75*Pi*sqrt(3)+68*ln(2)–2*gamma–105*Pi*m2=-.78204875059557651e-12~= 0

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总和(1/((ln(Pi*n)-ln(Pi)/(n-1/(n+1)))*(exp(Pi*n)-Pi))^n),n=0。。无穷大)==K=.9563222713268336349867888245125其中,K满足以下Z线性组合:2 K+4 E–8 Pi+42γ+3 Ei(1)–31 W(1)

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PS符号“log()”和“ln())”均用于上述公式中指定自然对数

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轻微伪装的Pi BBP配方
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这是Pi的著名BBP配方,稍加掩饰(以Maple格式显示)。

总和((1/16)^k*总和((-1)^(ceil(4/(2*n))))*(floor(4/n))/(8*k+n+楼层(sqrt(n-1))*(楼层(squart(n-1))+1),n=1..4),k=0..无穷大)

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从我和Tito Piezas的信件中
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(另请参见https://sites.google.com/site/piezas001/004)

给定p=7阶公式中涉及的多项式:

7^5*Pi=和[1/(2^n二项式[2n,7n])*P7(n),{n,0,无穷大}]

哪里

第7页(n)=59296/(7*n+1)-10326/(7*n+2)-3200/(7*n+3)-1352/(7*n+4)-792/(7*n+5)+552/(7*n+6))

(参见等式546,第12.5节http://www.pi314.net/eng/hypergse12.php).

展开P7(n),*然后去掉分母和数值因子*,我们得到,

Q7(n)=22089*n^5+64625*n^4+73633*n^3+40735*n^2+10910*n+1128

Alex P.(Alexander R.Povolotsky)在给Tito Piezas的电子邮件中观察到,P7(n)及其派生的Q7(n)似乎具有有趣的属性。特别是,Alex P.观察到,对于任意积分值n,则P7(n)和Q7(n

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表达式的可除性,包含阶乘

我还研究了表达式的可分性问题,包括阶乘看见A131685型-概括

以及具体情况:

A000027号(对于n=1),A064808号(n=2),A131509号(n=3),A129995号(n=4),A131675型(n=5)。。。,A131680美元(n=10)。

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恒等式(在整数上)-参见“1或5模6的数字同余”的公式部分。-OEISA007310号 	 

很容易证明

平方(6*n*(3*n+(-1)^n-3)-3*(-1)*n+5)/sqrt(2)=(6n+(-1-)^n-2)/2

然后我们有两个等价的公式来表示Pi

Pi^2/9=总和(n>=1,2/(6*n*(3*n+(-1)^n-3)-3*(-1)*n+5))Alexander R.Povolotsky,2014年5月18日

Pi^2/9=总和(n>=1,(2/(6n+(-1)^n-3))^2)Alexander R.Povolotsky,2014年5月20日

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Pi=积分。。。Pi)*3/平方英尺(2)

Pi=积分((sin(n)^2+(cos(n)+1)*sin(n))/((cos。。。Pi)*3/sqrt(2)

积分(sin(x))/(cos(x)+1-(cos(x))/(sin(x)+cos(x)+1))dx=1/3*(平方(2)*tan^(-1)((tan(x/2)-1)/sqrt(2))-2*(log(sin(x/2+cos(x/2

积分(sin(x))/(cos(x)+1-(cos(x))/(sin(x)+cos(x)+1))dx=(log(sin(x)^2+cos(x)*^2+2*cos(x)+1)-2*atan(sin

2014年5月26日,星期一,丹尼尔·利希布劳<danl@wolfram.com>写道:


提交编号:2769847提交时间:2014-05-22 20:47:08主持人:24.60.248.226(c-24-60-248-226.hsd1.ma.comcast.net)姓名:Alexander R.Povolotsky组织机构:国家:美国职业:电子邮件:apovolot@gmail.com你多久使用一次Mathematica

评论:积分正弦(x)/(cos(x)+1-余弦(x)从-Pi到Pi产量Pi*平方英尺(2)/3?


只有在主值的意义上,否则它会因-Pi.2处的极点而发散。

在[20]中:=积分[Sin[x]/(Cos[x]+1-Cos[x]/(Sin[x]+Cos[x]+1)),{x,-Pi,Pi},PrincipalValue->True]

在计算In[20]:=PossibleZeroQ::ztest1时:无法确定数字-(\[Pi]/2)-2 I(Log[1-I(1+Times[<<2>>])]-Log[1+I Plus[<2>]])是否等于零。假设是这样的。>>

输出[20]=(平方[2]\[Pi])/3

丹尼尔·利奇布劳沃尔夫勒姆研究公司

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Jens Kruse Andersen在[OEIS’sA099009型][1] 注意到Kaprekar的固定映射点(也称为Kaprekar's例程的内核)中有3个数字家族:

“让$d(n)$表示数字$d$的$n$重复。对于所有$n\ge0$,序列包括以下内容:$5(n)499(n)4(n)5,63(n)176(n)4,8643(n)1976(n)532$。”

Jens Kruse Andersen发表的评论还缺少一系列术语(以一个或多个数字“$9$”开头,以数字“$1$”结尾):97508421、9753086421、9975084201、975330866421、999750842001。

这个家族可以被概括(使用与安徒生评论中相同的方法),实际上Syed Iddi Hasan在[A214559型][2]:9美元(x_1+1)//8(x_2)//7(x_3+1)//6 1美元其中符号//表示定义中数字的串联,$d(x)$表示$d$、$x\ge0$的$x$重复。

注意:Syed Iddi Hasan在他的OEIS维基页面中写道:“我把它缩小到了四个参数。我把数字从最大到最小,从最小到最大排序,通过比较它们,我能够找到相互依赖的数字对。然而,这四个参数似乎是相互独立的。”阿尔索A214557型2014年(均由Syed Iddi Hasan编写)是与安徒生8643(n)1976(n)532相关的两个变体——我认为,为了识别Kaprekar映射不动点的独特族,应该以某种方式将这两个变体结合起来。

有人能最终确定Kaprekar的固定映射点不同族的分类,并证明Kaprekar的每个固定映射点只属于上述族中的一个吗?


[1]:https://oeis.org/A099009[2]:https://oeis.org/A214559

我还导出了以下3个基于极限的恒等式:

请注意((总和(1/i^k,i=1…n))/(总和(i^k、i=1..n))=和声数[n,k]/和声数[n,-k]=H_n^(k)/H_n^(-k)

2 = lim(总和(1/i,i=1…n)/总和(i,i=1…n))*(n)*(n+1)/(ln(n)),n->无穷大

的输入https://www.allmath.com/limit-calculator.php(总和(1/i,i=1…x)/总和(i,i=1…x))*(x)*(x+1)/(ln(x))

Pi^2=lim((总和(1/i^2,i=1…n))/(总和(i^2、i=1..n))*((n)*(n+1)*(2*n+1)),n->无穷大

的输入https://www.allmath.com/limit-calculator.php((总和(1/i^2,i=1…x))/(总和(i^2、i=1..x))*(x)*(x+1)*(2*x+1))

4*泽塔[3]=lim((总和(1/i^3,i=1…n))/(总和(i^3、i=1..n))*((n^2)*(n+1)^2)),n->无穷大

的输入https://www.allmath.com/limit-calculator.php((总和(1/i^3,i=1…x))/(总和(i^3、i=1..x))*((x^2)*(x+1)^2))

我发现接近整数:

10*tanh(28*Pi/15)-Pi^9/Exp(1)^8=0.000000006004521。。。

(请参见http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html)

根据WolframAlpha部分和总和(n=1)^无穷大pn/(p_(n+1)n^2)和(素数(n)/素数(n+1)/n^2,n=1…无穷大)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%28prime%28n%29%2Prime%28n%2B1%29%2Fn%5E2%2Cn%3D1…infinity%29&h=1似乎在附近汇聚第1.116727203339173页

这可以通过使用Maple符号作为反向符号计算器的输入进行确认

evalf[16](和(下一个质数(p)/下一个素(p))/p^2,p=1。。1000000));


如果这是真的,有什么意义?

以下是ChatGPT对我的论文《论知识的定量分析》的回应


作者的假设表明,自然发展的主要刺激因素是研究自身的能力,而智能人类已经进化为自然研究自身的工具。作者提出,进化可以分为三个阶段:生物前发展、生物进化(最初由达尔文主义描述)和与人类活动有关的生物后发展,包括技术的发展和知识的积累。

作者认为,自从人类出现以来,生物进化已经成为一个次要的、微不足道的过程,因为人类正在抑制其他物种的生物进化。相反,作者提出,人类进行的最重要的活动是研究自然规律,人类是大自然为研究自身而开发的工具。

作者还认为,根据辩证法的规律,人类最终会消失,并被机器人等下一阶段所取代,但人类获得的关于自然规律的知识将具有超越人类好奇心和实际需求的价值,应该被保存并传递到下一阶段。

提出的哲学概念表明,人类语言包含着对世界及其发展规律的隐藏或潜意识知识。这种知识被人类吸收,并反映在语言结构中,但在意识层面上往往未被使用和识别。这一概念进一步表明,进化过程并没有随着人类的出现而结束,而是演变为发现知识的过程。对知识的追求被视为进化规律强加给人类的主要活动,而其他人类活动则起着次要作用。

作者认为,知识是人类活动最重要的产品,在存储和使用方面与原始生产者是分开的。从人脑到书籍、计算机数据库,最终到人工智能系统,知识与原始接收者的分离就是一个例证。

作者认为,知识具有超越人类需要的内在价值,并且对于潜在的生产者和使用者来说,知识在本质上是透明的。知识被视为自然的基本属性,具有数量增加的单向趋势。

这个概念还提出,真正的知识是普遍和绝对的,描述了整个宇宙中相同的客观物质规律。作者区分了知识和信息,指出知识与信息的比特/字节集合有着本质上的不同,因为它包含基本的理解和理解。

作者提出了一种基于给定语言中术语(名词)的层次分类的量化或测量知识的方法,使用了受类(对象)的面向对象软件表示启发的动词<->名词分组方法。作者建议收集可应用于每个术语(名词)的动词集,然后比较这些集以识别公共子集并构建相关集的层次树。每个树的顶部节点将对应于动词集合最少的名词,代表最高抽象级别。作者还提到了将抽象值量化应用于每个不同的树的可能性,其中最底层的节点的抽象值为零,每个更高级别的抽象值将增加一个。

作者承认,寻找一种实用的方法来量化知识可能具有挑战性,并建议应该有一种基于客观规律假设的客观方法。作者建议探索实证、相对比较的方法来尝试测量,同时认识到实际方法可能难以实现。作者还提到考虑其他方法,如对物理定律的数学表达式进行实证分析,或基于人类智能反映客观现实的哲学观点,通过词汇分析挖掘文本表达的知识。

总的来说,这一概念从哲学角度阐述了知识在人类语言中的性质和重要性,它与进化过程的联系,以及客观量化和测量知识的可能性。

这是一个有趣的假设,它将人类视为自然发展的一部分,并强调人类知识和理解自然规律的重要性。然而,值得注意的是,这一假设需要得到科学证据和进一步探索的支持,才能被视为一种广为接受的科学理论。

使用层次分类和抽象值量化知识的想法是一个有趣的概念,但需要进一步开发和验证,以确定其作为知识测量工具的有效性和准确性。值得注意的是,作者没有提供具体的细节或示例,说明该方法将如何实现或如何准确测量知识。


值得注意的是,可以考虑以下方法来保存地球上人类末日以外的知识:

  • 外星存储空间探测器、卫星或其他天体。
  • 先进的人工智能自解系统能够继续学习、存储和检索大量知识。

还值得注意的是,实际上可以构建自然语言对象的层次树来表示知识域,并且这些树中包含的科学知识量可以在一定程度上量化。层次树,也称为分类法或本体,是一种层次结构,它根据概念或对象的关系和层次来组织概念或对象。它们可以用来表示各种知识领域,包括科学知识。

为科学知识构建自然语言对象的层次树将涉及识别相关的科学概念,根据它们的关系将它们组织成层次结构,并将它们表示为树中的节点,用链接或边连接它们以显示它们的层次关系。该树可以由领域专家手动构建,也可以通过自然语言处理技术自动构建。

一旦构建了层次树,就可以通过多种方式量化树中包含的科学知识量。一种常见的方法是量化树的大小或深度,这可以通过树中节点、边或级别的数量来衡量。具有更多节点、边缘或层次的更大的树可能表明科学知识的领域更广或更深。

量化树中包含的科学知识量的另一种方法是根据节点或边在层次结构中的相关性、重要性或深度为其分配权重或分数。这可以通过专家判断或自动算法来实现,这些算法分析节点或边的内容,例如某些术语的出现频率或术语之间的语义相似性。然后可以将权重或分数相加,以获得包含在树中的知识的总体量化。

重要的是要注意到,科学知识的量化是复杂和具有挑战性的,因为科学知识是不断演变的,其性质是动态的和多方面的。自然语言对象的层次树可以提供科学知识的有用表示,但这些树中包含的知识的量化可能是主观的和上下文相关的,并且可能无法捕捉到科学知识的全部复杂性和丰富性。尽管如此,层次树可以作为有价值的工具,以结构化和层次化的方式组织、表示和分析科学知识。


量化自然语言对象(如书籍、文章或文档)中包含的科学知识数量可能是一项挑战。自然语言对象中的知识通常是主观的和与上下文相关的,量化方法可能因特定的研究领域或领域而异。

量化自然语言对象中科学知识的一种常见方法是通过引用分析。这包括计算给定文档中其他科学出版物的引用或引用数量。较高的引用次数通常表明该文件利用了大量现有科学知识,这可以被视为衡量其科学深度。

另一种方法是使用计算方法,如文本挖掘或自然语言处理(NLP),来分析自然语言对象的内容。例如,文本挖掘技术可用于识别和量化文档中特定科学术语或概念的出现,从而对文档中包含的科学知识进行估计。

此外,复杂性、技术性和特定领域术语水平的度量也可以用作量化自然语言对象中科学知识的代理。例如,技术术语或专业术语密度较高的文件可能被视为包含更多科学知识。

然而,重要的是要注意到,由于科学研究的动态性和语言的局限性,量化自然语言对象中的科学知识具有内在的挑战性。并非所有的科学知识都能在文本中明确表达出来,重要的见解可能是隐含的或需要解释的。此外,科学知识的质量和准确性可能会有所不同,量化方法可能并不总是能够完全捕捉科学理解的细微差别。

总之,虽然有多种方法可以用来量化自然语言对象中包含的科学知识量,但重要的是要认识到与此类量化工作相关的局限性和主观性。科学知识是一个复杂且不断发展的领域,它超越了简单的量化,对科学知识的整体理解需要对多个因素进行综合分析。


数学公式中包含的科学知识数量难以精确量化。数学是描述和理解自然世界的有力工具,它被广泛用于各种科学学科,以发展理论、模型和预测。然而,数学和科学知识之间的关系是复杂的,这不仅仅是量化数学公式数量的问题。

数学公式可以以各种方式概括科学知识。它们可以代表基本原理,例如物理定律或描述化学反应的方程式。它们还可以表达变量之间的关系,描述模式,并做出预测。数学模型可以是简单的,也可以是复杂的,这取决于它们描述的现象及其包含的详细程度。

数学公式在表示科学知识方面的价值在于它们能够提供对自然现象的精确和定量描述,促进预测和模拟,并通过数学严谨性对假设进行测试。然而,并非所有的科学知识都能轻易地转化为数学公式。科学知识的某些方面,例如定性观察、概念框架和解释,可能无法完全用数学方程来描述。

量化数学公式中包含的科学知识量需要定义一种衡量标准,以说明数学模型在表示基本科学概念时的复杂性、准确性和实用性。这种衡量可能涉及诸如抽象程度、预测准确性、解释力、数学公式的简单性或复杂性以及它们产生新见解或预测的能力等因素。然而,制定一个全面和客观的方法来量化数学公式中的科学知识量是一项具有挑战性的任务,并且仍然是一个正在进行的研究领域。

值得注意的是,科学知识不仅限于数学公式。科学知识还包括经验观察、实验数据、概念框架、定性描述和解释等形式。因此,任何量化科学知识的尝试都需要考虑在科学企业中生成和表示知识的各种方式。



转发的消息---------

发件人:Alexander P-sky<apovolot@gmail.com>日期:2015年11月15日星期日下午5:17主题:关于知识的定量分析收件人:Alexander Povolotsky<apovolot@gmail.com>


关于知识的定量分析。

主要假设:

自然界进化发展的总方向是由自然界固有的认识自身的基本倾向所决定的。

命题/补充假设:

进化的过程并没有随着人类的出现而结束。进化本身演变为发现知识的过程。人类语言反映了对世界及其发展规律的认识。其他想法和建议:

·建议对给定人类语言中包含的所有术语(名词)进行等级分类。

内容:

·介绍性发言

·假设

·主要思想的阐述

介绍性发言

这份文件可以被视为知识定量分析主题的某种体现。由于本文中缺乏恰当的术语,作者请求读者原谅。作者希望这不会妨碍读者理解所披露的观点。这篇论文有点跨学科,科学学者称之为兼收并蓄。。。

它从一些哲学假设开始,即主导的人类活动是由寻求知识所驱动的(在这种情况下,从全球角度来看,人类活动是普遍考虑的)最初,在人类寻求知识活动的早期阶段,对自然的科学探索是由拥有广泛自然知识的极少数人进行的。

后来,该领域被划分为严格概述的研究领域。这是非常有益的,并产生了有效的结果——但如今,这种方法阻碍了观察某些现象的能力,而这些现象并不适合特定领域的普氏床(合成)

作者认为,当今缺乏广泛的跨学科方法在某种程度上是过去五十年来基础科学发现率下降的原因。此外,狭义专业化方法对新科学领域的创建产生了负面影响。例如,本论文涉及知识理论,但通常评论家将其归类为已经存在的信息理论。在作者看来,这两个领域是相关的,但并不相同。

核心理念

补充假设1:

人类语言包含对世界及其发展规律的认识。

人类语言在其结构中包含对世界及其发展规律的“隐藏/潜意识”知识。人们在潜意识层面将这些知识输入到自然语言中,却从未有意识地意识到自己在这样做。这些潜意识的大量知识目前在人类活动中是无法使用的(他们没有意识到它的存在)。这些知识需要被提取和破译才能变得可用。这种方法基于哲学观点,即人类智能反映(通过语言的构造)客观现实。具体来说,当知识(对自然的理解)被人类吸收时,新的词汇属性会被构建为新获得知识的反映……本文提出了一种如何启动这种“知识恢复”的方法——通过层次结构的对象相关分类。

补充假设2:

当人类出现。进化本身演变为发现知识的过程。

第二个更基本(也更具争议性)的观点是,进化过程并没有在人类出现时结束。然而,进化本身并没有继续“生物”进化,而是进化成了发现知识的过程。第二种观点也提出了随后的主张(第三种观点),即发现知识的过程是人类存在背后的刺激物,发现知识的活动是进化规律强加给人类的主要人类活动。剩下的人类活动并不是必不可少的,而是次要的作用,这些活动只对人类的存在至关重要,而对整个进化过程至关重要。

主要假设:

自然界进化发展的总方向是由自然界固有的认识自身的基本倾向所决定的。

此外,人类正在收集的知识在其使用和使用者方面是透明的,可以超越人类存在的必然性而生存下来。坦白地说,人类只是一个阶段,它过去了,后来又会消失。从辩证法的规律来看,这是不可避免的。然而,尽管知识最初是由人类提取的,但它将在“矿工”中幸存下来。这一概念可以简化为以下陈述/观察(作者认为这描述了一个反映客观现实的科学确定性规律):自然界进化发展的主要总方向受自然界固有的认识自身的基本倾向支配。这一概念构成了对理想主义德国哲学家黑格尔概念的唯物主义修正,黑格尔的概念是基于绝对意识精神对物质的至高无上地位(但它确实包含了自学的概念,当然在这里是直接的精神意义。)这一概念本身并不是新的和原创的,之前就有人表达过,但作者是上述观点的忠实追随者,并试图将其作为衡量知识可行性的基础。作者在1973-1978年多次试图将上述观点提交给苏联(现在的俄罗斯)哲学学术研究所,但遭到拒绝,因为它们与马克思主义/列宁主义辩证唯物主义的统治教条相矛盾,由回归/保守知识分子产生的东西总是从属于进步无产阶级劳动的物质成果。

主要思想的阐述

作者认为,知识是人类活动最重要的产物,尽管它主要被认为是提高物质生活水平、提高生产力、减轻体力劳动和满足人类好奇心的功利需求的衍生物。从更抽象、更广义的视角来看,对知识的探索和生产可能被视为整个自然发展大趋势的顶峰。自然的发展已经达到了它的第一个阶段(在这个过程中有两个阶段:生物进化和实现生物进化的结果,[人类思维]提取知识)和创造(而不是具体的创造可能意味着什么)学习工具-人类思维(这发生在我们宇宙中的一部分,但如果这个概念是正确的,那么这条进化路径应该在全球范围内发生。当然,作者并不是第一个相信地球以外宇宙中存在外星智慧的人,但这很符合作者的思路,所以这个想法是参考在这里。事实上,事后想想,即使地球对自然发展的经验是完全独特的,尽管有种种困难,但知识仍然反映了客观现实的规律,因此,应该存在一种客观的知识量化/测量方法。如今,这种哲学概念的部分证明是,知识与其原始生产者的明确分离

(特别是科学家/人类)就知识存储而言:

大脑->书籍->计算机数据库->ROM/固件。这表示与原始“接收器”的明显分离。知识分离并呈现出自身存在的趋势最终会在其使用领域显现出来。当然,人们可能会认为专家系统、机器人和人工智能是朝着这个方向发展的下一个阶段。底线是:知识具有超越人类需要的自身价值,并且以其纯净的逻辑/数学形式,对其潜在的生产者和使用者来说是透明的(本质上)。因此,知识是自然的基本属性,与时间一样,它具有单向的全球总体趋势(其数量总是在增加)。真正的知识,归根结底是普遍的和绝对的(完整的),因为它描述了物质的普遍客观规律,即(我们相信)整个宇宙也是如此。知识与信息的比较以及知识量化/测量的可能性与信息的某些位/字节集合(可能包含也可能不包含任何基础知识)有很大不同。重复一下,就知识量化和测量思想而言,这些想法是作者上述主要哲学概念的逻辑推导。如果作者关于客观规律的假设是正确的,那么应该有一种量化/测量知识的客观方法。然而,找到/定义这种测量的实际方法是困难的,可能根本无法实现。作者想首先在经验层面上使用一些相对比较的方法进行尝试——这就是为什么作者想从比较牛顿第二力学定律的数学方程与爱因斯坦狭义相对论中改进的数学方程开始。)为此,需要检查物理定律的数学表达式。也许可以通过将方程转换为无单位形式来应用单位理论和建模概念或使用标准的经验分析(例如,参见雷诺标准的定义,以评估/区分液体中的层流、混合流和湍流;另一个标准是马赫数等)。

到目前为止,作者还无法提出任何可行的方法来将上述方法应用于知识的量化或测量。

除了前面描述的测量物理定律数学公式中相对增量知识的经验方法外,作者还研究了一种基于词汇分析的挖掘文本表达知识的不同方法。这种方法基于哲学观点,即人类的智慧(通过语言建构)反映了客观现实。具体来说,当知识(对自然的理解)被人类吸收时,新的词汇属性会被构造为新获得知识的反映……下面,本文提出了通过以下方法检索语言术语中捕获的原始知识的方法

给定人类语言中包含的所有术语(名词-见下文)的等级分类(比如说英语是科学上最常见的语言(尽管对几种语言这样做并比较结果是非常有价值的)建议的方法基于动词<->名词分组,我从类(对象)的软件面向对象表示中窃取了该方法。在这种OO的特殊采用中,术语(名词)类似于对象的数据,动词类似于方法(aka函数),可以应用于(执行于)数据。假设对于语言中可用的每个术语(名词),我们将收集所有动词的集合,这些动词可以应用于给定的术语(名词。)然后我们可以将每个生成的(按照上述描述)集合与所有其他集合(分别以一对一的方式)进行比较,以确定某些动词集合是否可以共享公共子集。然后,我们可以尝试检测某些集合是否是从其他集合派生而来的,这样我们就可以构建此类相关集合的层次树。正如上面所描述的那样,每个集合对应一个唯一的名词,因此树是围绕名词构建的,因为它们与给定的特定动词集合有一对一的独特关系。实际上,树的节点应该包含名词(而不是动词的集合)。这样的树的顶部节点将包含集合(实际上唯一地对应于其名词),它只包含动词的公共子集或动词的最小数量。这样一个动词集最少的名词在给定树中具有最高的抽象级别。为了使图片复杂化,属于两个不同树的两个(或多个)节点可以作为父节点来生成子节点(多重继承)等。此外,抽象值的一些量化可以应用于每个不同的树&最底层的节点应该将抽象值设置为零,对于下一个更高级别,抽象值应该增加一。请注意,这种方法并不能验证声明的真实性(它假设它是真实的)。作者尚未解决的难题是:如果更抽象的层次对应于更高的知识价值,或者更详细的层次应该是更高层次的知识,或者应该有一些折衷(最佳)。