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提示
(问候来自百科全书行上的整数序列!)
A001147号 奇数双阶乘:a(n)=(2*n-1)!!=1*3*5*…*(2*n-1)。
(原M3002 N1217)
527
1、1、3、15、105、945、10395、135135、2027025、34459425、654729075、13749310575、316234143225、7905853580625、213458046676875、619028335363629551898783962510625、633265987762850625、22164309547699771875、8200794532637891559375 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

0,3个

评论

薛定谔第三问题的解决方案。

对称群S{2n}(cf。A000085型).

a(n+2)是n个点上具有n-2个Steiner点的全Steiner拓扑的数目。

a(n)也是完全图K(2n)中完全匹配的数目。-Ola Veshta(olaveshta(AT)my deja.com),2001年3月25日

从2*n个项中选择n对不相交项的方法数。-Ron Zeno(rzeno(AT)hotmail.com),2002年2月6日

从2*n-1个项目中选择n-1个不相交的项目对的方法数(一个项目保持未配对)。-巴托斯·佐尔塔克2012年10月16日

对于n>=1,a(n)是对称群S_2n中的置换数,其循环分解是n个不相交换位的乘积。-艾哈迈德法尔斯(ahmedfares(AT)my deja.com),2001年4月21日

a(n)是n+1变量具有交换、非关联乘法的不同乘积的数目。-安德鲁·沃尔特斯(awalters3(AT)yahoo.com),2004年1月17日。例如,a(3)=15,因为四个变量w、x、y和z的乘积可以用15种方式精确地构造,假设交换性而不是结合性:1。宽(x(yz))2。宽(3)。w(z(xy))4。x(宽(yz))5。x(y(wz))6。x(z(wy))7。y(宽(xz))8。y(x(wz))9。y(z(wx))10。z(宽(xy))11。z(x(wy))12。z(y(wx))13。(宽x)(yz)14。(wy)(xz)15。(wz)(xy)。

a(n)=E(X^(2n)),其中X是标准正态随机变量(即X是正态的,平均值=0,方差=1)。例如a(3)=E(X^6)=15,等等,参见Abramowitz和Stegun或Hoel,Port and Stone。-杰罗姆·科尔曼,2004年4月6日

1,1,1,1,1,1,。。。第二个欧拉变换通过公式t(n)=和{k=0..n}E(n,k)s(k),其中E(n,k)是二阶欧拉数(A008517型). -罗斯拉海2005年2月13日

正函数在正轴上的第n阶矩的积分表示法:a(n)=int(x^n*exp(-x/2)/sqrt(2*Pi*x),x=0..infinity),n=0,1。-卡罗尔·彭森2005年10月10日

a(n)是n+1的二进制总分区数(每个非单例块必须精确地划分为两个块),或者等效地,是具有n+1标记叶的无序完整二叉树的数目(Stanley,ex 5.2.6)。-米奇·哈里斯2006年8月1日

a(n)是斜对称2nx2n矩阵的pfaffan,其(i,j)项为i<j-大卫·凯伦2006年9月25日

a(n)是n+1顶点上递增有序根树的数目,其中“递增”表示顶点被标记为0,1,2,…,n,因此从根开始的每条路径都有递增的标签。用阶乘数计算无序根数的增加A000142号. -大卫·凯伦2006年10月26日

n阶完全多Skolem型序列的个数-德国金刚砂2006年11月24日

a(n)=所有Dyck n路径的总权重(A000108号)当每一条路径都用其上行终点高度的乘积加权时。例如,当n=3时,5条Dyck 3路径UUUDDD,uududdd,UUDDUD,ududd,UDUDUD的权重分别为1*2*3=6,1*2*2=4,1*2*1=2,1*1*1=1,6+4+2+2+1=15。按最后一步上升高度计算重量A102625型. -大卫·凯伦2006年12月29日

a(n)是n个顶点上递增的三元树的数目。增加的二叉树用普通阶乘计数(A000142号)用三重因式增加四元树(A007559号). -大卫·凯伦2007年3月30日

在中的列表分区转换和相关操作下,此序列本质上是自倒数的A133314号. 更确切地说,A001147号以及-A001147号加上前导1是对等的。因此,它们的e.g.f.s是相互的。看到了吗邮编:A132382对于这个结果的扩展。-汤姆·科普兰2007年11月13日

罗斯·德鲁2008年3月16日:(开始)

这也是排列n个不同对的元素的方法的数目,假设元素的顺序是重要的,但是这些对是不可区分的,即,在标签的排列之后相同的排列是等价的。

如果这个序列和A000680型分别用a(n)和b(n)表示,则a(n)=b(n)/n!在哪里n!=排列对标签的方法数。

例如,有90种方式来排列3对[11]、[2 2 2]、[3 3]的元素,当这些对可区分时:A={[112233]、[112323]。。。。[332211]。

通过对A应用6个重标记置换,我们可以将A划分为90/6=15个子集:B={[112233]、[113322]、[221133]、[2233111]、[331122]、[332211]}、{[112323]、[113232]、[221313]、[223131]、[331212]、[332121]}、….}

B中的每一个子集或等价类都代表一个唯一的对关系模式。例如,上面的子集B1表示{3个不相交对},子集B2表示{1个不相交对+2个交织对},顺序是显著的(对比度A132101号). (结束)

A139541号(n) =a(n)*a(2*n)。-莱因哈德·祖姆凯勒2008年4月25日

a(n+1)=和{j=0..n}A074060型(n,j)*2^j-汤姆·科普兰2008年9月1日

德国金刚砂2009年6月5日:(开始)

{2n1,2nn中所有对易点的自由数是固定的。例如:a(2)=3,因为在2143=(12)(34)、3412=(13)(24)和4321=(14)(23)中,我们有2+0+1相邻的换位。

a(n)=和{k>=0}k*A079267号(n,k)。

(结束)

汉克尔变换是邮编:A137592. -保罗·巴里2009年9月18日

(1,3,15,105,…)=反变换A000698号开始(1,2,10,74,…)。-加里·W·亚当森2009年10月21日

a(n)=(-1)^(n+1)*H(2*n,0),其中H(n,x)是概率论者的Hermite多项式。概率论者Hermite多项式的母函数如下:exp(x*t-t^2/2)=Sum{i>=0}H(i,x)*t^i/i!。-贝德拉图克2009年10月31日

a(n+1)的Hankel变换是邮编:A168467. -保罗·巴里2009年12月4日

奇数的偏积。-朱丽·斯特潘·格拉西莫夫2010年10月17日

看到了吗A094638号用于连接到微分运算符。-汤姆·科普兰2011年9月20日

(n)a(n)是指{1,…,n ^2}的{1,…,n ^2}中的k个元素的确切k个元素的{1,…,k^2}为k=1,…,k ^{1,2,2,…,9}{1,2,2,,…,9}的15个子集{1,2,2,,{9}{1,2,2,6},{1,2,2,6},{1,2,2,6},{1,2,2,6},{1,3,3,5},{1,3,3,3,3,9{9{},{1,3,7},{1,3,8},{1,3,9},{1,4,5},{1,4,6},{1,4,7},{1,4,8},和{1,4,9}。-丹尼斯·P·沃尔什2011年12月2日

a(n)是贝塞尔多项式y_n(x)的主导系数(cf。A001498号). -贝德拉图克2012年6月1日

对于n>0:a(n)也是对称n×n矩阵M的行列式,由M(i,j)=min(i,j)^2定义,对于1<=i,j<=n-恩里克·佩雷斯·赫雷罗2013年1月14日

a(n)也是sin(x)^(2n)从0到Pi/2的平均值的分子。-让·弗朗索瓦·阿尔科弗2013年6月13日

a(n)是2n点上的Brauer幺半群的大小(参见A227545号). -詹姆斯米切尔2013年7月28日

对于n>1:a(n)是M(n)/M(1)的分子,其中M(i)具有M(n+1)/M(n)~n-1/2的性质(例如,大Kendell-Mann数,请参见A000140型A181609号,表示为n-->无穷大)。-米哈伊尔·盖琴科夫2014年1月14日

a(n)=维数2(n-1)的多元正态分布的一阶中心矩的符号表示所需的上三角矩阵表示数,即e[X_1*X_2…*X_2(2n-2)| mu=0,Sigma]。见下文中有关CRAN和Phillips参考的symmoments R包的渐晕图。-凯姆·菲利普斯2014年8月10日

对于n>1:a(n)是量子电动力学中仅具有一个带电环的真空极化的2n阶费曼图的个数(内部顶点数)。-罗伯特·科奎罗2014年9月15日

用中间的0(1,0,1,0,3,…)=a(n)(cf。邮编:A123023),e.g.f.是e^(t^2/2),所以这是Appell序列的基A099174号例如,e^(t^2/2)e^(x*t)=exp(P(,x),t)=无符号A066325号(x,t),概率论者的(或规范化的)Hermite多项式。P(n,x)=(a.+x)^n,其中(a.)^n=a u n,并包含A066325号(x,t)=exp(UP(.,x),t),即UP(n,P(.,t))=x^n=P(n,UP(.,t)),其中UP(n,t)是A066325号例如,(P(,t))^n=P(n,t)。-汤姆·科普兰2014年11月15日

在一个二叉树的大小上,由一个松弛的二叉树构成。它是由一个大小为n的二叉树构造的,其中保留后序遍历中的第一个叶,而所有其他叶都被指针替换。这些链接可能指向已经被后序遍历访问过的任何节点。right height是删除所有指针后从根到任何叶的所有路径上的最大右边数(或右子边数)。大小为n的无界松弛压缩二叉树的数目为A082161号(n) 一。见Genitrini等人。链接。-迈克尔·沃纳2017年6月20日

n阶阶梯图中不同邻接矩阵的个数。-埃里克·W·维斯坦2017年7月22日

克里斯托弗J.斯迈思2018年1月26日:(开始)

a(n)=以n+1值作为二元概率分布乘积之和来编写概率分布的基本不同方法的数目。见上面米奇哈里斯的评论。这是因为每一种方法都对应于一个完整的二叉树,其叶子由n+1个值标记。(此评论应归功于Niko Brummer。)

还有二叉树的数目,其根由(n+1)-集S标记,其n+1叶由S的单个子集集标记,其他节点由S的子集集标记,因此用T标记的节点的两个子节点由T的2个分区的两部分标记。这也源于Mitch Harris上面的评论,因为叶标签决定树的其他顶点的标签。

(结束)

参考文献

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埃里克·韦斯坦的数学世界,邻接矩阵

埃里克·韦斯坦的数学世界,双阶乘

埃里克·韦斯坦的数学世界,电流变液

埃里克·韦斯坦的数学世界,阶梯横档图

埃里克·韦斯坦的数学世界,正态分布函数

维基百科,菲菲

维基百科,赫米特多项式

可除序列索引

相关分区计数序列的索引项

与阶乘数相关的序列的索引项

与括号相关的序列的索引项

“核心”序列的索引项

公式

E、 g.f.:1/平方米(1-2*x)。

D-有限递归:a(n)=a(n-1)*(2*n-1)=(2*n)!/(n!*2^n)=A010050型(n)/A000165号(n) 一。

a(n)~sqrt(2)*2^n*(n/e)^n。

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a(n)=和{k=0..n}(-2)^(n-k)*A048994号(n,k)。-菲利普·德莱厄姆2005年10月29日

对数(1+x+3*x^2+15*x^3+105*x^4+945*x^5+10395*x^6+…)=x+5/2*x^2+37/3*x^3+353/4*x^4+4081/5*x^5+55205/6*x^6+…,其中[1,5,37,353,4081,55205,…]=A004208. -菲利普·德莱厄姆2006年6月20日

1/3+2/15+3/105+。。。=1/2。[乔利公式216]

和{j=1..n}j/a(j+1)=(1-1/a(n+1))/2。[乔利公式216]

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a(n)=(-1)^n*subs({log(e)=1,x=0},coeff(简化(级数(e^(x*t-t^2/2),t,2*n+1)),t^(2*n))*(2*n)!)。-贝德拉图克2009年10月31日

a(n)=2^n*伽马(n+1/2)/伽马(1/2)。-詹姆·奥利弗·拉丰2009年11月9日

G、 f.:1/(1-x/(1-2x/(1-3x/(1-4x/(1-5x/(1-…(续分数))。-Aoife轩尼诗(Aoife.Hennessy(AT)gmail.com),2009年12月2日

a(n+1)的g.f.为1/(1-3x/(1-2x/(1-5x/(1-4x/(1-7x/(1-6x/(1-…)。。。。(续分数)。-保罗·巴里2009年12月4日

a(n)=和{i=1..n}二项式(n,i)*a(i-1)*a(n-i)。-弗拉基米尔·谢韦列夫2010年9月30日

E、 g.f.:A(x)=1-sqrt(1-2*x)满足微分方程A'(x)-A'(x)*A(x)-1=0。-弗拉基米尔·克鲁基宁2011年1月17日

a(n)=邮编:A123023(2*n+1)。-迈克尔·索莫斯2011年7月24日

a(n)=(1/2)*和{i=1..n}二项式(n+1,i)*a(i-1)*a(n-i)。请参阅上面的链接。-丹尼斯·P·沃尔什2011年12月2日

a(n)=和{k=0..n}(-1)^k*二项式(2*n,n+k)*斯特林1(n+k,k)[Kauers和Ko]。

a(n)=A035342号(n,1),n>=1(三角形的第一列)。

a(n)=A001497号(n,0)=A001498号(n,n),第一列,分别。贝塞尔三角形的主对角线。

加里·W·亚当森2011年7月19日:(开始)

a(n)=M^n的左上项和M^(n-1)的顶行项之和,其中M=(1,2)Pascal三角形(Cf。A029635号)生产矩阵如下:

1,2,0,0,0。。。

1,3,2,0,0。。。

1,4,5,2,0。。。

9,7,9,5。。。

  ...

例如,a(3)=15是M^3上排的左项:(15,46,36,8),a(4)=105=(15+46+36+8)。

(结束)

G、 f.:A(x)=1+x/(W(0)-x;W(k)=1+x+x*2*k-x*(2*k+3)/W(k+1);(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月17日

a(n)=和{i=1..n}二项式(n,i-1)*a(i-1)*a(n-i)。-丹尼斯·沃尔什2011年12月2日

a(n)=A009445号(n)/A014481号(n) 一。-莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月3日

a(n)=(-1)^n*和{k=0..n}2^(n-k)*s(n+1,k+1),其中s(n,k)是第一类斯特林数,A048994号. -米尔恰梅尔卡2012年5月3日

a(n)=(2*n)4!=高斯因子(2*n,4)=积{j=1..2*n,gcd(j,4)=1}j-彼得·卢什尼2012年10月1日

G、 f.:(1-1/Q(0))/x,其中Q(k)=1-x*(2*k-1)/(1-x*(2*k+2)/Q(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月19日

G、 f.:1+x/Q(0),式中Q(k)=1+(2*k-1)*x-2*x*(k+1)/Q(k+1);(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月1日

G、 f.:2/G(0),式中G(k)=1+1/(1-2*x*(2*k+1)/(2*x*(2*k+1)-1+2*x*(2*k+2)/G(k+1));(续分数)。-谢尔盖·格拉德科维2013年5月31日

G、 f.:G(0)/2,式中G(k)=1+1/(1-x/(x+1/(2*k+1)/G(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月1日

G、 f.:G(0),式中G(k)=1+2*x*(4*k+1)/(4*k+2-2*x*(2*k+1)*(4*k+3)/(x*(4*k+3)+2*(k+1)/G(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月22日

a(n)=(2*n-3)*a(n-2)+(2*n-2)*a(n-1),n>1。-伊万·N·伊纳基耶夫2013年7月8日

G、 f.:G(0),其中G(k)=1-x*(k+1)/(x*(k+1)-1/G(k+1));(连分式)。-谢尔盖·格拉德科维2013年8月4日

a(n)=2*a(n-1)+(2n-3)^2*a(n-2),a(0)=a(1)=1。-菲利普·德莱厄姆2013年10月27日

G、 倒数:和{n>=0}x^n/a(n)=1F1(1;1/2;x/2),合流超几何函数。-R、 J.马萨2014年7月25日

0=a(n)*(+2*a(n+1)-a(n+2))+a(n+1)*(+a(n+1))表示Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2014年9月18日

a(n)=(-1)^n/a(-n)=2*a(n-1)+a(n-1)^2/a(n-2)Z中的所有n-迈克尔·索莫斯2014年9月18日

彼得·巴拉2015年2月18日:(开始)

式(a)=(n-2)*(n-2)=(n-2)*(n-2)。

序列b(n)=A087547号(n) [1264,开始。。。],满足相同的二阶递推方程。由此得到广义连分式展开式lim{n->inf}b(n)/a(n)=Pi/2=1+1/(3-6/(7-15/(10-)。。。-n*(2*n-1)/((3*n+1)-…)))。(结束)

E、 第n个元素(n=1,2,…)等于a(n-1)的序列的g.f为1-sqrt(1-2*x)。-西斯塔尼斯拉夫2017年1月6日

{n*1>和!=经验值(1/2)。-丹尼尔·苏托2017年2月6日

a(n)=A028338号(n,0),n>=0。-沃尔夫朗迪特尔2017年5月27日

a(n)=(乘积{k=0..n-2}二项式(2*(n-k),2))/n!。-斯佩齐亚2018年11月13日

a(n)=和{i=0..n-1}和{j=0..n-i-1}C(n-i-1,j)*a(i)*a(j)*a(n-i-j-1),a(0)=1-弗拉基米尔·克鲁基宁2020年5月6日

阿米拉姆埃尔达2020年6月29日:(开始)

和{n>=1)1/a(n)=sqrt(e*Pi/2)*erf(1/sqrt(2)),其中erf是误差函数。

和{n>=1)(-1)^(n+1)/a(n)=sqrt(Pi/(2*e))*erfi(1/sqrt(2)),其中erfi是虚误差函数。(结束)

例子

a(3)=1*3*5=15。

乔尔阿恩特2013年9月10日:(开始)

有一个(3)=15对合的6个元素没有固定点:

#:置换换位

01:[1 0 3 2 5 4](0,1)(2,3)(4,5)

02:[1 0 4 5 2 3](0,1)(2,4)(3,5)

03:[1 0 5 4 3 2](0,1)(2,5)(3,4)

04:[2 3 0 1 5 4](0,2)(1,3)(4,5)

05:[2 4 0 5 1 3](0,2)(1,4)(3,5)

06:[2 5 0 4 3 1](0,2)(1,5)(3,4)

07:[3 2 1 0 5 4](0,3)(1,2)(4,5)

08:[3 4 5 0 1 2](0,3)(1,4)(2,5)

09:[3 5 4 0 2 1](0,3)(1,5)(2,4)

10: [4 2 1 5 0 3](0,4)(1,2)(3,5)

11: [4 3 5 1 0 2](0,4)(1,3)(2,5)

12: [4 5 3 2 0 1](0,4)(1,5)(2,3)

13: [5 2 1 4 3 0](0,5)(1,2)(3,4)

14: [5 3 4 1 2 0](0,5)(1,3)(2,4)

15: [5 4 3 2 1 0](0,5)(1,4)(2,3)

(结束)

G、 f.=1+x+3*x^2+15*x^3+105*x^4+945*x^5+10395*x^6+135135*x^7+。。。

枫木

f:=n->(2*n)!/(n!*2^n);

A001147号:=过程(n)双阶乘(2*n-1);结束:#R、 J.马萨2009年7月4日

A001147号:=n->2^n*pochhammer(1/2,n)#彼得·卢什尼2009年8月9日

G(x):=(1-2*x)^(-1/2):f[0]:=G(x):对于n从1到29,f[n]:=diff(f[n-1],x)od:x:=0:序列(f[n],n=0..19)#泽伦瓦拉乔斯,2009年4月3日;与偏移量对齐约翰内斯W.梅杰2009年8月11日

级数(超几何([1,1/2],[],2*x),x=0,20)#马克·范霍伊2013年4月7日

数学

表[(2 n-1)!!,{n,0,19}](*罗伯特·G·威尔逊五世,2005年10月12日*)

a[n_x]:=2^n伽马[n+1/2]/伽马[1/2](*迈克尔·索莫斯2014年9月18日*)

加入[{1},范围[1,41,2]!!] (*哈维·P·戴尔2017年1月28日*)

a[n\u]:=如果[n<0,(-1)^n/a[-n],系列系数[乘积[1-(1-x)^(2k-1),{k,n}],{x,0,n}]](*迈克尔·索莫斯2017年6月27日*)

(2范围[0,20]-1)!!(*埃里克·W·维斯坦2017年7月22日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,(-1)^n/a(-n),(2*n)!/n!/2^n)}/*迈克尔·索莫斯2014年9月18日*/

(PARI)x='x+O('x^33);Vec(塞拉普拉斯((1-2*x)^(-1/2)))\\乔尔阿恩特2011年4月24日

(岩浆)A001147号:=func<n | n eq 0选择1 else&*[k:k in[1..2*n-1乘2]]>[A001147号(n) :n在[0..20]]//克劳斯·布罗克豪斯2011年6月22日

(岩浆)I:=[1,3];[1]类别[n le 2选择I[n]其他(3*n-2)*自我(n-1)-(n-1)*(2*n-3)*自我(n-2):n in[1..25]]//文琴佐·利班迪2015年2月19日

(哈斯克尔)

a001147 n=产品[1,3。。2*n-1]

a001147_list=1:zipWith(*)[1,3..]a001147\u列表

--莱因哈德·祖姆凯勒2015年2月15日,2011年12月3日

(Sage)[上升因子(n+1,n)/2^n代表n in(0..15)]#彼得·卢什尼2012年6月26日

(蟒蛇)

从sympy导入因子2

defactorial2(2*n-1)

打印([a(n)表示范围(101)内的n)#印度教2017年7月22日

(间隙)A001147号:=函数(n)局部i,s,t;t:=1;i:=0;Print(t,“,”);for i in[1。。n] do t:=t*(2*i-1);打印(t,“,”);外径;结束;A001147号(100人)#斯佩齐亚2018年11月13日

(马克西玛)

a(n):=如果n=0,则1 else和(sum(二项式(n-1,i)*二项式(n-i-1,j)*a(i)*a(j)*a(n-i-j-1),j,0,n-1)/*弗拉基米尔·克鲁基宁2020年5月6日*/

交叉引用

囊性纤维变性。A000085型,A006882号,A000165号(2n)!!),A001818号,A009445号,A039683号,A102992号,A001190型(无标签),A000680型,A132101号.

囊性纤维变性。A086677号;A055142(对于这个序列,| a(n+1)|+1是可以使用交换、非关联乘法和n个给定变量的非空子集形成的不同乘积的数目)。

多项式的常项A098503号. 数组第一行A099020型.

囊性纤维变性。A079267号,A000698号,A029635号,A161198,A076795号,邮编:A123023,邮编:A161124,A051125型,A181983年,A099174号,A087547号,A028338号(第一列)。

子序列邮编:A248652.

囊性纤维变性。A082161号(无限高的松弛压缩二叉树)。

上下文顺序:29.4万澳元 A294001号 A294002号*A330797飞机 A000268号 A207818号

相邻序列:A001144 A001145 A001146*A001148 A001149 A001150

关键字

,容易的,美好的,核心

作者

N、 斯隆

扩展

删除错误注释:此序列既不计算n×n二元矩阵A的个数,也不计算n个顶点上没有长度为2的有向路径的简单有向图的个数(对于n=3,两者都是13)。-丹·德雷克2009年6月2日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年10月1日13:04。包含337443个序列。(运行在oeis4上。)